CAPÍTULO 4 Funciones Económicas

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1 CAPÍTULO 4 Funciones Económicas Introducción La actividad económica surge de la necesidad de utilizar recursos para producir los bienes materiales que satisfacen los deseos del hombre, ya sean básicos o no. Hay un conjunto de necesidades y una comparativa escasez de los medios disponibles para cumplirlos. Estos medios se dividen en recursos y tecnología. Los recursos representan los componentes que entran en los procesos de producción y se clasifican en mano de obra y capital. Mientras, que por tecnología se entiende el nivel de desarrollo de las fuerzas productivas, los instrumentos que se utilizan, el nivel de conocimiento y los medios de que dispone una sociedad para convertir los recursos en bienes y servicios para satisfacer sus necesidades. Se puede asumir que el nivel de satisfacción de las necesidades que una sociedad puede alcanzar, depende de la cantidad, de la calidad de los recursos disponibles y el nivel de su tecnología. Podría decirse que la meta económica de una sociedad sería alcanzar el más alto nivel de vida que sus recursos le permitan. Dentro de lo expuesto se plantean una serie de preguntas relativas al uso óptimo de los recursos, estabilidad y justicia, cuyas respuestas pueden darse total o parcialmente con ayuda de modelos matemáticos. La presencia de estos modelos ayuda a clarificar la consistencia, calidad y factibilidad de las preguntas formuladas.

2 La Demanda La conducta de los compradores en el mercado para un bien o servicio específico se resume en el término de demanda. La demanda de un bien X representa las distintas cantidades de X, por unidad de tiempo, que retirarán del mercado los consumidores a todos los precios alternativos posibles si se mantienen iguales o constantes otras cosas. La cantidad que retirarán los consumidores será afectada por algunas circunstancias, tales como: El precio del bien Los gustos y preferencias de los consumidores El número de consumidores Los precios de otros bienes relacionados La variedad de bienes a disposición de los consumidores Las expectativas de los consumidores referentes a los precios futuros del producto La función de demanda se puede expresar simbólicamente como: f : ] 0, a ] IR + x f ( x) = p Donde x es el número de unidades demandadas del bien X y p el precio por unidad. Supondremos, además, que la función de demanda es continua y decreciente. 100

3 La ley de demanda indica que se adquirirá más cantidad de un producto a precios bajos que a precios más altos. Por lo tanto, un cambio en el precio causará un cambio en la cantidad demandada. La curva de demanda de un bien requerido por el consumidor se obtiene variando el precio del bien, pero manteniendo constantes sus gustos y preferencias, su ingreso y los precios de otros bienes. De manera general su curva sería de la forma Demanda Ejemplo 1 Para cierto producto se sabe que se demandan 30 unidades si el precio de cada una es de $8; mientras que la cantidad demandada será 40 cuando el precio es de $6. Halle la expresión de la función de demanda si se supone que la relación es lineal. Solución Tomando la cantidad como variable independiente nuestra tarea será encontrar la ecuación de la recta determinada por los puntos (30,8) y (40,6). Aplicando la forma punto-pendiente tenemos: p = ( x 30) p = x

4 La Oferta Las cantidades de un bien o servicio que los vendedores están dispuestos a ofrecer en el mercado determina el concepto de oferta. La oferta de un bien X representa las distintas cantidades de X, por unidad de tiempo, que los vendedores llevarán al mercado a todos los precios alternativos posibles permaneciendo los demás factores constantes. Los principales factores que se mantienen constantes son: Los precios de los recursos La variedad de las técnicas de producción Las expectativas de los productores La función de oferta se puede expresar simbólicamente como: h : ] 0, b ] IR x h( x) = + p Donde x es el número de unidades demandadas del bien X y p el precio por unidad. Supondremos, además, que la función de oferta es continua y creciente. La ley de la oferta muestra que a precios más altos resulta más atractivo para los vendedores colocar bienes en el mercado que mantenerlos en inventario. De forma general su gráfica se presenta así Oferta 102

5 Equilibrio de Mercado Las curvas de demanda y oferta de un cierto bien X pueden graficarse en un mismo sistema de ejes coordenados para observar el peso de ambas en el mercado. El punto en que se cortan ambas curvas (las de oferta y demanda) determina el punto de equilibrio del mercado. El punto de equilibrio determina en su ordenada el precio de equilibrio y en su abscisa la cantidad de equilibrio. El precio y la cantidad de equilibrio se determinan matemáticamente al resolver simultáneamente las ecuaciones de demanda y oferta. Oferta P e Demanda x e Ejemplo 2 Si para el producto del ejemplo 1 se tiene la ecuación de oferta O ( p) = 3p 18 determine el precio y la cantidad de equilibrio de forma analítica. Solución Considere el sistema formado por las ecuaciones de demanda y oferta de un bien X D : p = O : x = 1 x p 18 Vamos a reescribirlo para resolver por eliminación para p 103

6 1 5 x x + 3p = p = x + 5 p = x + 3p = p = 88 p = 11 Podemos hallar x de la misma manera 1 5 x x + 3p = p = x x + 3p = 42 3p = x = 24 x = 15 Con lo cual el punto de equilibrio corresponde con el par (15,11). Significa que a un precio de 11 unidades monetarias los productores ofrecerán 15 unidades que corresponde con la cantidad que demandarán los consumidores. Un precio superior al de equilibrio determina un excedente e induce a los vendedores a competir entre sí, disminuyendo el precio hasta el nivel de equilibrio. Un precio menor al nivel de equilibrio provoca escasez, que hace que los consumidores, por oferta impulsen el precio de nuevo al equilibrio. Costo Total de Producción Generalmente se consideran los costos de producción de una empresa como las obligaciones en dinero incurridas en la producción, es decir, todo lo que la empresa debe pagar por los recursos que utiliza en producción. La función de Costo Total está determinada por los costos fijos que son conocidos, como por ejemplo alquiler de edificios, pago de energía eléctrica, etc.; y costos variables suponiendo que las condiciones de su oferta son conocidas. 104

7 Costo Total = Costos Fijos + Costos Variables C = C + C con C V = px T F V En donde x es el número de unidades producidas, y p el precio por unidad de los recursos. Simbólicamente + + C T : IR IR, CT ( x) = CF + CV En condiciones normales, x y C(x) son no negativas. Si cero está en el dominio de C, C ( 0) representa los gastos generales de la producción. Supondremos además que C ( x) es continua y creciente. Ejemplo 3 Una empresa tiene costos fijos de $3500 y la producción de cada artículo cuesta $50. a) Determine la función de costo total. b) Cuánto cuesta producir 1200 artículos? Solución a) Con base en la definición tenemos C( x) = x. b) Se quiere saber C (1200), utilizando el resultado anterior obtenemos C( 1200) = (1200) = Por lo tanto, a la empresa le cuesta $63500 producir 1200 artículos. 105

8 Costo Medio Total (Costo Unitario) El costo medio (promedio) de producción de cada unidad de un bien x se obtiene de dividir el costo total entre el número de unidades producidas. C Me ] 0, + [ ] 0, + [ :, C = Me CT ( x) x Donde x es el número de unidades producidas. Las curvas de costo medio se usan en el análisis del precio y de la producción. De la misma manera se pueden analizar los costos fijos medios y costos variables medios. La curva de costo medio total decrece hasta llegar a su punto mínimo y luego comienza a crecer, pero lentamente. Ingreso Total Representa el ingreso monetario total que los productores obtienen de sus ventas, o lo que es lo mismo: el gasto total en dinero de los consumidores (que componen la demanda) por llevarse la cantidad x del bien X. + [ 0, c] IR, I ( x) x p( ) IT : T = x Donde c > 0, p(x) es la función de demanda y x las unidades vendidas. 106

9 Ejemplo 4 Una fábrica de lámparas rústicas tiene costos fijos de $12000 y cada lámpara le significa un costo de $35. Si la empresa vende cada lámpara en $80 determine: a) La función de costo total y la función de ingreso total en términos de las unidades que produce y vende. b) Cuál es el costo total y el ingreso si el nivel de producción es de lámparas? Solución a) Si x representa el número de unidades que se producen y venden tenemos: C( x) = I( x) = 80x 35x b) Al evaluar con 10000tenemos: C(10000) = I(10000) = = Así que con producir lámparas se tiene un costo total de $ y un ingreso de $ Utilidad Total En el análisis económico utilidad es la diferencia existente entre los ingresos totales de una empresa y sus costos totales. UT [ 0, d ] IR, U ( x) = I ( x) C ( ) : T T T x 107

10 Ejemplo 5 Una fábrica de espejos para automóvil tiene costos fijos de $13700 y le cuesta $57.50 producir un espejo. Si la fábrica vende un espejo en $ determine: a) La función de utilidad en término de los espejos producidos y vendidos. b) Cuántos espejos debe vender para que sea un negocio rentable? Solución a) Usando x para representar las unidades producidas y vendidas además de las definiciones de costos totales e ingresos totales tenemos I( x) = x C( x) = x De donde U( x) = x ( x ) = 46x b) Para que el negocio sea rentable debe cumplirse U ( x) > 0, al resolver la inecuación 46x > 0 x > Dado que x representa las unidades producidas y vendidas debemos concluir que para lograr un negocio rentable deben producirse y venderse al menos 298 espejos. EJERCICIOS 1) Una panadería que vende su pan sin conservadores recogerá toda la mercadería que los comerciantes no vendan dentro de 4 días. El costo de producción es de $0.70 la pieza. La compañía distribuye 500 piezas a la semana y le devuelven alrededor del 8%. Qué precio debe tener cada pieza si la utilidad de la compañía es del 45% del costo? 108

11 2) Un restaurante adquirió 400 litros de leche a $0.30 cada uno. Su utilidad es alrededor del 1 65% del costo total. Si el 7 % de la leche se echara a perder antes de poder venderla, 2 qué precio por litro dará la utilidad deseada? 3) Cada semana una compañía vende q unidades de un producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p 600 5q q unidades, determine: =. Si le cuesta a la compañía ( 75q) dólares producir a. Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un ingreso de $17500? b. Qué precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener ingresos semanales por $18000? c. Cuántas unidades deberían producir y vender cada semana para obtener utilidades semanales de $5500? d. A qué precio por unidad generaría la compañía una utilidad semanal de $5750? 4) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada uno. El costo C 2 (en dólares) de producir q unidades cada semana está dado porc = q 0.1q. Cuántas unidades deberán producir y vender a la semana para obtener alguna utilidad? 5) Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano de obra son de $8 por unidad, y además, existen costos fijos de $4000 por semana. Cuántas unidades deberá producir y vender si desea obtener utilidades semanales de al menos $3000? 6) Se han vendido 1000 televisores a la semana a un precio de $450 cada uno. Un estudio de mercado revela que por cada $10 de descuento ofrecido al comprador, el número de aparatos vendidos aumentará en 10 por semana. 109

12 a. Determine la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. b. Si su función de costo es C( q) = q, cuál es la mayor utilidad que puede esperar? 7) Un fabricante vende su artículo a los comerciantes por $20 la pieza si el pedido es menos de 50. Si el pedido es de 50 piezas o más (hasta 600) el precio se reduce en 2 centavos por el número pedido. Cuántos artículos puede comprar con $4200? 8) A un precio de $50 por unidad, la demanda de cierto artículo es de 4500 unidades mientras que la oferta es de 3800 unidades. Si el precio se incrementa en $10 por unidad, la demanda y la oferta serán de 4400 y 4200 unidades respectivamente. a. Determine la ecuación de la demanda para el artículo, suponiendo que es lineal. b. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal. c. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. d. En cuánto debe gravarse al proveedor con un impuesto por unidad vendida para que el precio de equilibrio se incremente en $9? 9) Una empresa puede vender 200 unidades de cierto artículo al día a 3000 por unidad y 250 unidades a 2700 por unidad. La ecuación de oferta para tal artículo es de 6 q = p a. Determine la ecuación de la demanda para el artículo suponiendo que es lineal. b. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. c. De cuánto debe ser un subsidio para que la cantidad de equilibrio se incremente en dos unidades? 10) Una empresa tiene dos tipos de alternativas de equipo en la fabricación de un nuevo producto. Un equipo automatizado cuesta $ y produce artículos a un costo de $4 110

13 por unidad. Otro equipo semi-automatizado cuesta $ y produce artículos a un costo de $5.25 por unidad. a. Qué volumen de producción hace que ambos equipos cuesten lo mismo? b. Si hay que producir unidades, con cuál equipo sale más barato? 11) Halle la cantidad de equilibrio de una empresa dados costos fijos totales de $1200, costos variables por unidad de $2, ingresos por la venta de q unidades ( 100 q ) dólares. Además grafique ambas curvas en un mismo plano. 12) Encuentre el punto de equilibrio para una compañía que vende todo lo que produce, si el costo variable por unidad es de $2, los costos fijos de $105 y el ingreso total esta dado por ( 50 q ) dólares, donde q es el número de unidades vendidas. 13) El propietario de un edificio de departamentos puede rentar las 50 habitaciones si la renta es de $150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad de la renta, un departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. Qué renta deberá fijar para obtener un ingreso mensual de $8000? 14) El dueño de un pequeño hotel ha calculado que cada habitación ocupada le significa un gasto en arreglo y limpieza de $15 diarios. Además tiene costos fijos de $200 diarios. Si cobra $40 por día por habitación, cuántas habitaciones debe tener ocupadas para cubrir sus costos? 15) La función de costos totales de una empresa está dada por C ( x) = 7x + 20, mientras que su función de utilidad es U ( x) = 3x 20. Determine. a. La función de ingreso b. El punto de equilibrio de la empresa. 111

14 c. Para qué valores de x es rentable la empresa? Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I 112

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