Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Transcripción

1 Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS 1

2 Prólogo El presente manual está dirigido a los estudiantes de las facultades de físico matemáticas de las Escuelas Normales Superiores que estudian la especialidad Matemáticas y Matemáticas y física. Ha sido escrito en correspondencia con el programa en vigor del curso Practicas para resolver problemas matemáticos. 2

3 Primera parte. ALGEBRA Capítulo I TRANSFORMACIONES IDÉNTICAS DE EXPRESIONES 1. Descomposición de polinomios en factores Para resolver muchos problemas algebraicos suele preciso representar el polinomio dado en forma del producto de dos o más polinomios o bien en forma del producto del polinomio por un monomio que contenga no menos de una variable. No obstante, cada polinomio permite realizar la descomposición en factores sobre el campo de números reales. P. ej., los polinomios no pueden ser descompuestos en factores. Semejantes polinomios reciben el nombre de no reducibles. Se considera que la descomposición de polinomios en factores está terminada si los polinomios obtenidos son no reducibles. Durante la descomposición de polinomios en factores se hace uso de diversos procedimientos: sacando el factor común de los paréntesis, mediante la agrupación, empleando las fórmulas de multiplicación abreviada, etc. Examinemos varios ejemplos de aplicación de estos procedimientos. EJEMPLO 1. Descompongamos el polinomio en factores 3

4 SOLUCIÓN. 1) P. ej., unamos los sumandos extremos en un grupo y los medios, en otro y en el segundo grupo sacamos de los paréntesis el factor común. Obtenemos: 2) Representemos los términos segundo y tercero del polinomio prefijado de la forma siguiente: Entonces escribimos: Agrupando los sumandos a pares y en cada grupo sacamos de los paréntesis los factores comunes: Queda por descomponer en factores el polinomio Esto es posible de realizar con dos procedimientos. 1-er procedimiento. 2-do procedimiento. De la ecuación hallamos las raíces: Empleando la fórmula de descomposición en factores de un trinomio cuadrático 4

5 obtenemos: Así, pues, EJEMPLO 2. Descomponemos en factores Solución. Aprovechemos que la expresión en los primeros paréntesis es la suma de las expresiones contenidas en los paréntesis segundo y tercero: Entonces A continuación, efectuamos la agrupación de los términos y sacamos de los paréntesis el factor común. Obtenemos: ( ) EJEMPLO 3. Descompongamos en factores SOLUCIÓN. Realicemos la agrupación y, después, saquemos de los paréntesis el factor común: Empleando seguidamente la fórmula obtenemos: EJEMPLO 5. Descompongamos en factores 5

6 SOLUCIÓN. Advirtiendo que y completando esta suma hasta el cuadrado perfecto, obtenemos EJEMPLO 6. Descompongamos en factores SOLUCIÓN. Como y entonces EJEMPLO 7. Descompongamos en factores SOLUCIÓN. Es fácil ver que el cuadrado perfecto a la expresión le falta el 8. Por ello, podemos escribir EJEMPLO 8. Demostremos que si y SOLUCIÓN. Representemos y en forma de la suma de los términos semejantes: y Entonces Recuerda que el signo significa que se divide por (sin resto) 6

7 Pero de cuatro números naturales sucesivos, por lo menos uno de ellos se divide por 3, así como dos números son pares, es decir, uno de ellos se divide también por 4, por lo tanto, el producto de estos cuatro números se divide por Así, pues, EJEMPLO 9. Demostrar que si donde es número impar, SOLUCIÓN. Notemos que Como es impar, donde Entonces, La expresión obtenida se divide por 16. Por esta razón, para demostrar que es suficiente demostrar que Analicemos dos posibles casos: es un número par y es un número impar. 1) Si es par, también lo es y, por lo tanto, es par, o sea, y, por consiguiente, lo que significa que 2) Si es impar, también lo es, pero entonces es par y también. Así, pues, en semejante caso 7

8 EJERCICIOS Descompongan en factores:

9 Demuestren que si, 46. Demuestren que si es un número mutuamente primo con 6, ( ) 47. Demuestren que si, 48. Con qué valores de la expresión es un número primo? 49. Demuestren que si a es un número par, es un número entero. 50. Demuestren que si, un número entero. 9

10 2. Transformaciones idénticas de expresiones racionales La sustitución de una expresión analítica por otra idénticamente igual a ella en cierto conjunto, lleva el nombre de transformación idéntica en este conjunto de la expresión dada. Al realizar transformaciones idénticas de una expresión es posible la variación de su campo de definición. Por ejemplo reduciendo los términos semejantes al simplificar la expresión (1) ampliamos su campo de definición: la expresión sólo está definida con mientras que el polinomio obtenido después de la simplificación está definido con cualesquiera valores de Las expresiones (1) y (2) son idénticamente iguales sólo en el conjunto El campo de definición de la expresión puede asimismo variar después de la simplificación de la fracción. Así, la fracción algebraica está definida con Después de simplificar por obtenemos la fracción (2) (3) (4) 10

11 Definida con Las expresiones (3) y (4) son idénticamente iguales en el conjunto La variación del campo de definición de la expresión es también posible como resultado de ciertas otras transformaciones, por lo que, después de efectuar la transformación de la expresión dada, siempre hay que saber responder a la pregunta en que conjunto ella es idéntica a la obtenida. Una expresión algebraica lleva el nombre de racional si ella sólo contiene operaciones de sumar, multiplicar, restar dividir y elevación a una potencia entera. EJEMPLO 10. Simplifiquemos la expresión SOLUCIÓN. Representando los términos semejantes como la suma de, obtenemos. Entonces La simplificación por se ha realizado partiendo de la condición de que. De modo que si. EJEMPLO 11. Simplifiquemos la expresión 11

12 SOLUCIÓN. Después de descomponer en factores el numerador, obtenemos (véase el ejem. 5); Por lo tanto, Como no se reduce a cero con ningún valor real de con todos los valores de EJEMPLO 12. Simplifiquemos la expresión SOLUCIÓN. Realizando las operaciones indicadas, obtenemos: Así, pues, si EJEMPLO 13. Simplifiquemos la expresión SOLUCIÓN. Reduciendo todas las fracciones al mínimo común denominador, obtenemos: Advirtiendo que transformamos el numerador de la siguiente forma: 12

13 Así, pues, si EJEMPLO 14. Demostremos que si, SOLUCIÓN. Entonces, Como De modo que EJEMPLO 15. Demostremos que si, donde entonces SOLUCIÓN. Consideremos el producto del primer factor en la primera fracción del segundo factor: Pero según el planteamiento Por ello, para el producto que consideramos, obtenemos 13

14 De forma análoga el producto del primer factor por la segunda fracción del segundo factor es igual a en tanto que por la tercera fracción, Sumemos los resultados obtenidos Como (véase el ejemplo 14). demostrar., lo que teníamos que En los siguientes ejemplos las transformaciones idénticas de expresiones racionales actúan no como objetivo, sino como medio para resolver problemas en los que se hace uso del método de inducción matemática. El indicado método se enuncia de la forma siguiente: La afirmación dependiente de un número natural n, es válida para cualquier n, si se realizan dos condiciones: a) la afirmación es válida para b) de la validez de la afirmación para (con cualquier valor natural de k) se desprende también su validez para La demostración según el método de inducción matemática se realiza así. Primero, la afirmación a 14

15 demostrar verifica para Esta parte de la demostración recibe el nombre de base de la inducción. La siguiente parte de la demostración lleva el nombre de paso de la inducción. En ella se demuestran la validez de la afirmación para en la suposición de la validez de la afirmación para (suposición de la inducción). EJEMPLO 16. Demostremos que SOLUCIÓN: Para la afirmación es válida, ya que Supongamos que ella es correcta con, es decir Demostremos en tal caso ella también es correcta con, o sea, En efecto, Así se ha demostrado la validez de la afirmación para cualquier número natural. EJEMPLO 17. Demostremos que Con la afirmación es válida ya que Supongamos que es correcta con 15

16 , es decir, Demostremos que entonces también es correcta con, o sea, En efecto, De este modo queda demostrada la validez de la afirmación para cualquier número natural. EJEMPLO 18. Demostremos que la suma de los cubos de tres números reales sucesivos se divide por 9. SOLUCIÓN. Demostremos que con cualquier natural. Ante todo comprobemos si la afirmación es cierta con. Tenemos: pero por lo tanto, con la afirmación es cierta. Supongamos que la afirmación es cierta con, o sea, Demostremos en tal caso también es cierta con. En realidad, Como cada sumando de la suma obtenida se divide por 9 (el primer sumando según la suposición de 16

17 inducción, el segundo por contener el factor 9), la suma también se divide por ese número. De acuerdo con el principio de inducción matemática llegamos a la conclusión de que la afirmación es cierta con todas las EJEMPLO 19. Demostremos que con cualquier natural. SOLUCIÓN: Si, pero Esto significa que con la afirmación es cierta. Supongamos que ella es cierta con, o sea, Demostremos que entonces también es cierta con. En efecto, tenemos Cada sumando se divide por 64, por consiguiente, toda la suma se divide, asimismo, por 64. Así, pues, la afirmación es cierta con todas las EJEMPLO 20. Demostremos que con cualquier natural. SOLUCIÓN: Con la afirmación es válida, ya que y. Supongamos que la afirmación es cierta con, es decir, Demostremos 17

18 que entonces también es cierta con. Efectivamente, tenemos: Si ahora demostramos que con todas las k, quedará demostrado que la expresión prefijada se divide por 24. Ante nosotros ha surgido un nuevo problema. Para resolverlo de nuevo hacemos uso del método de inducción matemática. Ante todo, comprobemos si es válida la afirmación con. Esto es evidente: Sea la afirmación cierta con, es decir, Demostremos que entonces también lo es con. En efecto, De dos números naturales sucesivos uno de ellos es obligatoriamente par, por lo tanto, mientras que Pero, en tal caso, De aquí llegamos a la conclusión de que con cualquier k natural. La afirmación queda demostrada. Así, pues, la afirmación es cierta para todas 18

19 Hemos de indicar que el ejemplo examinado puede ser resuelto sin aplicar el método de inducción matemática EJERCICIOS Simplifiquen las expresiones:

20 Demuestren la identidad: 72. Demuestren la identidad:. 73. Demuestren que si de la igualdad se deduce que 74. Demuestren que con es un número positivo. 75. Hallen el menor valor de la expresión 76. Demuestren que si, 77. Demuestren que si, 20

21 78. Demuestren que si y, 79. Demuestren que si, donde entonces 80. Demuestren que si, Las siguientes identidades han de demostrarse según el método de inducción matemática

22 ) ( 93., donde Deduzcan las fórmulas para las sumas: Demuestren las identidades: donde donde 22

23 105. donde 106. Demuestren la validez de las afirmaciones: