Funciones Medibles e Integración

Transcripción

1 Capítulo 3 Fucioes Medibles e Itegració 3.1. Itroducció Sea X : Ω Ω dode Ω es el recorrido de X, es decir, para todo ω Ω existe ω Ω co X(ω) = ω. X determia la fució X 1 : P(Ω ) P(Ω) defiida por para A Ω. Propiedades. (i) X 1 ( ) =, X 1 (Ω ) = Ω. X 1 (A ) = {ω Ω : X(ω) A } = {X A } (ii) X 1 (A c ) = (X 1 (A )) c de modo que X 1 (Ω A ) = Ω X 1 (A ). (iii) X 1 ( t T A t) = t T X 1 (A t), X 1 ( t T A t) = t T X 1 (A t). Veamos la demostració de (ii) ω X 1 (A c ) X(ω) A c X(ω) / A ω / X 1 (A ) ω (X 1 (A )) c. Si C P(Ω ) es ua colecció de subcojutos de Ω, defiimos X 1 (C ) = {X 1 (C ) : C C }. Proposició 3.1 Si F es ua σ-álgebra de subcojutos de Ω etoces X 1 (F ) es ua σ-álgebra de subcojutos de Ω. Demostració. Usado las propiedades de X 1, (i) Ω F X 1 (Ω ) = Ω X 1 (F ). (ii) A F (A ) c F. Por lo tato si X 1 (A ) X 1 (F ) teemos (X 1 (A )) c = X 1 ((A ) c ) X 1 (F ). (iii) Si X 1 (A ) X 1 (F ) etoces X 1 (A ) = X 1 ( A ) X 1 (F ) porque A F.

2 32 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Proposició 3.2 Si C es ua colecció de subcojutos de Ω etoces X 1 (σ(c )) = σ(x 1 (C )). Demostració. Por la proposició 3.1, X 1 (σ(c )) es ua σ-álgebra y X 1 (C ) X 1 (σ(c )) porque C σ(c ) y por miimalidad σ(x 1 (C )) X 1 (σ(c )). Para ver el recíproco defiimos Etoces F es ua σ-álgebra ya que (i) Ω F porque X 1 (Ω ) = Ω σ(x 1 (C )). (ii) Si A F etoces (A ) c F ya que si X 1 (A ) σ(x 1 (C )). F = {B P(Ω ) : X 1 (B ) σ(x 1 (C ))}. X 1 (A c ) = (X 1 (A )) c σ(x 1 (C)) (iii) Si B F etoces X 1 (B ) σ(x 1 (C )), por lo tato X 1 ( B ) = X 1 (B ) σ(x 1 (C )) Por defiició, X 1 (F ) σ(x 1 (C )). Además C F porque X 1 (C ) σ(x 1 (C )). Como F es ua σ-álgebra, σ(c ) F y por lo tato X 1 (σ(c )) X 1 (F ) σ(x 1 (C )) Fucioes Medibles Defiició 3.1 Sea (Ω, F) y (Ω, F ) dos espacios medibles. Ua fució X : Ω Ω es medible si X 1 (F ) F. E este caso escribimos X F/F o X F si esta claro cual es la σ-álgebra F. Observació E Teoría de Probabilidad se dice que X es ua variable aleatoria. 2. La medibilidad de X o implica que X(A) F para todo A F. Por ejemplo, si F = {, Ω } etoces toda fució X : Ω Ω es medible, cualquiera sea F, pero si A F y X(A) es u subcojuto o vacío y propio de Ω etoces X(A) / F. 3. Si (Ω, F) es u espacio medible y X : Ω R, decimos que X es (Borel) medible si X es medible cuado tomamos la σ-álgebra de los boreliaos B como σ-álgebra e R. Si Ω es u subcojuto de R k o es R k y decimos que X es Borel medible, supoemos que F = B k. Ejemplo 3.1 Si A B la fució 1 A (x) es ua fució medible. Proposició 3.3 Sea X : (Ω, F) (Ω, F ) y supogamos que F = σ(c ), etoces X es medible si y sólo si X 1 (C) F.

3 3.2. FUNCIONES MEDIBLES 33 Demostració. y e cosecuecia X 1 (C) F σ(x 1 (C )) F X 1 (σ(c )) = X 1 (F ) = σ(x 1 (C )) F. Ejemplo 3.2 Ua fució cotiua X de R k e R es medible porque si O es la clase de los cojutos abiertos de R, etoces para todo A O se tiee que X 1 (A) es abierto y por lo tato está e B k. Ejemplo 3.3 Para mostrar que ua fució X : Ω R es Borel medible, es suficiete mostrar que {ω : X(ω) > c} F para todo real c. Porque si C es la clase de cojutos (c, ), c R, etoces σ(c) = B. Los cojutos {ω : X(ω) > c} se puede reemplazar por {ω : X(ω) c}, {ω : X(ω) < c} o {ω : X(ω) c}. Defiició 3.2 Sea (Ω, F, P ) u espacio de probabilidad y X : (Ω, F) (Ω, F ) ua variable aleatoria. Defiimos la fució P X = P X 1 e F por P X (A ) = P X 1 (A ) = P (X 1 (A )). P X es ua probabilidad sobre (Ω, F ) que se cooce como la medida iducida por, la distribució o la ley de X Para verificar que P X es ua medida de probabilidad sobre F observamos que 1. P X (Ω ) = P (Ω) = P X (A ) 0, A F. 3. Si (A ) 1 so disjutos 2 a 2 etoces P X ( A ) = P ( X 1 (A )) = P (X 1 (A )) = P X (A ) porque (X 1 (A )) 1 so disjutos e F. Si X toma valores e R su distribució P X es ua probabilidad e R caracterizada por su fució de distribució F X (x) = P X ((, x]) = P (X x). Decimos que F X es la fució de distribució de X. Si F X tiee ua desidad f X decimos que es la desidad de X. Proposició 3.4 La composició de fucioes medibles es medible. Demostració. Sea X : (E, E) (F, F) y Y : (F, F) (G, G) dos fucioes medible. Sea A G etoces (Y X) 1 (A) = X 1 (Y 1 (A)). Como Y es medible, B = Y 1 (A) F. Como X es medible, X 1 (B) E. Proposició 3.5 Si X, Y so fucioes medibles, tambié lo so X + Y, X Y, X Y, X Y y X/Y (Y 0).

4 34 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Demostració. Ejercicio. Dada ua fució X defiimos X + y X por X + (ω) = máx{0, X(ω)}, X (ω) = mí{0, X(ω)}. etoces X(ω) = X + (ω) X (ω) y X(ω) = X + (ω) + X (ω) y ambas fucioes X + y X so oegativas. Corolario 3.1 Las fucioes X +, X y X so medibles. Demostració. Ejercicio. Corolario 3.2 Si X = (X 1,..., X k ) es u vector aleatorio y g : R k R es medible, etoces g(x) es medible. E particular, si g es cotiua etoces es medible y el resultado vale. Demostració. Ejercicio. Ejemplos 3.4 k x i, 1 k k x i, sup x i, 1 i k k x i, so todas fucioes cotiuas de R k e R. Otro ejemplo iteresate es la proyecció π i : R k R defiida por k x 2 i π i (x 1,..., x k ) = x i. π i es cotiua y si X = (X 1,..., X k ) es u vector aleatorio etoces π i (X) = X i es ua variable aleatoria. Proposició 3.6 X = (X 1,..., X k ) es u vector aleatorio si y sólo si X i es ua variable aleatoria para i = 1,..., k. Demostració. El ejemplo aterior muestra que la codició es ecesaria. Para el recíproco comezamos co B k = σ(s k ) dode S k es la clase de los rectágulos abiertos e R k. Sea X 1,..., X k variables aleatorias y B = I 1 I k u rectágulo de lados I 1,..., I k. Etoces X 1 (B) = k X 1 i (I i ). Como cada X i es ua variable aleatoria, X 1 i (I i ) B k, de modo que X 1 (B) B k y X 1 (S k ) B k. E cosecuecia X 1 es medible. Proposició 3.7 X = (X 1, X 2,... ) es ua sucesió aleatoria si y sólo si para cada i 1 la i-ésima compoete X i es ua v.a. Además, X es ua sucesió aleatoria si y sólo si (X 1,..., X k ) es u vector aleatorio para todo k. Demostració. Ejercicio. Proposició 3.8 Sea X 1, X 2,... fucioes medibles defiidas sobre (Ω, F), etoces

5 3.3. σ-álgebras GENERADAS POR FUNCIONES 35 (i) sup X, íf X, lím sup X, lím if X so fucioes medibles. (ii) Si X (ω) X(ω) para todo ω Ω, X es ua fució medible. (iii) El cojuto e el cual la sucesió (X ) coverge es medible. Demostració. (i) {X α} F porque X es medible. Por lo tato {sup X α} = {X α} está e F, para todo α y e cosecuecia sup X es medible. De maera similar {íf X α} = {X α} F e íf X es medible. Como cosecuecia lím if X y lím sup X so medibles. (ii) Es cosecuecia de (i) porque lím X = lím sup X = lím if X. (iii) Teemos {ω : lím X (ω) existe } c = {ω : lím if X (ω) < lím sup X (ω)} = r Q{lím if X < r < lím sup X } = r Q{[lím if X < r] [lím sup X r] c } B. Observació 3.2 Observamos que la clase de las fucioes medibles o es cerrada si la operacioes ateriores se realiza ua catidad o-umerable de veces. Es decir si A o es umerable y f α : Ω R es medible para cada α A, o es ecesariamete cierto que f(ω) = sup f α (ω) α A sea medible. Por ejemplo, si A [0, 1] es u cojuto o medible y poemos f α (ω) = etoces para cada α A, f α es M-medible pero o es medible. { 1 si ω = α 0 si ω α sup f α (ω) = 1 A (ω) α A 3.3. σ-álgebras Geeradas por Fucioes Defiició 3.3 Sea X : (Ω, F) (R, B) ua variable aleatoria. La σ-álgebra geerada por X, σ(x), se defie como σ(x) = X 1 (B). Equivaletemete, σ(x) = {{X A}, A B}. E geeral, si X : (Ω, F) (Ω, F ) defiimos σ(x) = X 1 (F). Si G F es ua sub-σ-álgebra de F decimos que X es medible respecto a G si σ(x) G. Si para cada t T teemos X t : (Ω, F) (Ω, F ) defiimos la meor σ-álgebra que cotiee a todas las σ(x t ). σ(x t, t T ) = σ( t T σ(x t ))

6 36 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Ejemplos Si X(ω) = 32 para todo ω etoces σ(x) = {{X B}, B B} = σ(, Ω} = {, Ω} 2. Sea X = 1 A para algú A B. X toma valores e {0, 1} y y por lo tato σ(x) = {, Ω, A, A c }. X 1 ({0}) = A c, X 1 ({1}) = A, Defiició 3.4 Ua fució es simple si es medible y toma u úmero fiito de valores. Si X toma valores a 1,... a k, defiimos A i = X 1 ({a i }) = {X = a i }. Etoces {A i, i = 1,..., k} es ua partició de Ω y podemos represetar a X como y k X = a i 1 Ai σ(x) = σ(a 1,..., A k ) = { i I A i : I {i,....k}}. Proposició 3.9 Sea X ua fució medible y C ua clase de subcojutos de R tales que σ(c) = B. Etoces σ(x) = σ({x B} : B C) Demostració. σ({x B} : B C} = σ(x 1 (B), B C} = σ(x 1 (C)) = X 1 (σ(c)) = X 1 (B) = σ(x). El siguiete teorema es fudametal para la defiició de la itegral de Lebesgue. Teorema 3.1 (de Aproximació) Dada ua fució medible y o egativa X : Ω R +, existe ua sucesió creciete de fucioes simples o egativas X : Ω R + tales que X X. Demostració. Para todo etero positivo defiimos Q p, = {ω : p 1 2 X(ω) < p }, p = 1,..., 22 2 Q 0, = Ω p=1q 22 p, = {ω : X(ω) 2 } Etoces, como X es F-medible, Q p, F y los cojutos Q p,, p = 0, 1,..., 2 2 forma ua partició de Ω. Defiimos { p 1 X (ω) = 2 para ω Q p,, p = 1, 2,..., para ω Q 0,. Esta fució es simple y teemos que 0 X X.

7 3.4. INTEGRALES 37 Si ω Q p, etoces o bie ω Q 2p 1,+1 o ω Q 2p,+1 y e cosecuecia X (ω) = X +1 (ω) o X (ω) = X +1(ω). Además, si ω Q 0, etoces X (ω) = 2 X(ω), y e cosecuecia ω Q 0,+1 o ω Q p,+1 para algú p E cualquier caso X +1 (ω) X (ω). Por lo tato para todo etero X (ω) X +1 (ω) para todo ω Ω, y la sucesió de fucioes simples (X ) es creciete. Si X(ω) es fiita, etoces para 2 > X(ω) teemos que 0 X(ω) X (ω) < 2 y e cosecuecia X (ω) X(ω) cuado. Por otro lado, si X(ω) = etoces para todo, X (ω) = 2, y de uevo teemos que X (ω) X(ω) cuado Itegrales Fucioes Simples No Negativas Si X(ω) = c i1 Ai (ω) co c i 0, i = 1,...,, defiimos X dµ = c i µ(a i ). Esta suma siempre está defiida, auque su valor puede ser +, ya que todos los térmios so oegativos, y se cooce como la itegral de X respecto a µ, el valor esperado o la esperaza de X. Tomamos la coveció de que si x i = 0 y µ(a i ) = etoces c i µ(a i ) = 0. Como la represetació de ua fució simple o es úica, debemos verificar que la defiició es idepediete de la represetació que usemos. Supogamos que m X(ω) = c i 1 Ai (ω) = d j 1 Bj (ω), como ambas coleccioes de cojutos so particioes de Ω teemos que µ(a i ) = j=1 m µ(a i B j ) y µ(b j ) = j=1 µ(a i B j ). (3.1) Además, si A i B j o es vacío, tiee al meos u elemeto ω y X(ω) = c i = d j. Por lo tato c i µ(a i ) = j=1 m c i µ(a i B j ) = j=1 m m d j µ(a i B j ) = d j µ(b j ). j=1 Si teemos dos fucioes simples o-egativas m X(ω) = c i 1 Ai (ω), Y (ω) = d j 1 Bj (ω), j=1

8 38 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN podemos usar las represetacioes m m X = c i 1 Ai B j (ω), Y = d j 1 Ai B j (ω), j=1 j=1 e térmios de la partició A i B j. Ahora la fució simple X + Y tiee la represetació y m X + Y = (c i + d j )1 Ai B j j=1 j=1 m (X + Y ) dµ = (c i + d j )µ(a i B j ) m m = c i µ(a i B j ) + d j µ(a i B j ) j=1 j=1 m = c i µ(a i ) + d j µ(b j ) j=1 = X dµ + Y dµ de modo que la itegral de fucioes simples o-egativas es aditiva. Es imediato además que si α 0, β 0 y X, Y so fucioes simples o-egativas etoces (αx + βy ) dµ = α X dµ + β Y dµ de modo que la itegració es lieal e la clase de las fucioes simples o-egativas. Tambié es fácil ver que si X, Y so fucioes simples y X Y etoces X dµ Y dµ Fucioes Medibles No-Negativas Dada ua fució medible o-egativa X : Ω R +, sabemos que existe ua sucesió creciete de fucioes simples o-egativas X tales que X X. La itegral X dµ está defiida para todo y es creciete, por lo tato tiee u límite, que puede ser +. Defiimos X dµ = lím X dµ. Teemos que verificar que esta defiició o depede de la sucesió (X ) de fucioes simples aproximates. Proposició 3.10 Sea (X ) ua sucesió creciete de fucioes simples o-egativas y X = lím X Y dode Y es simple y o-egativa. Etoces X dµ Y dµ. (3.2) lím Demostració. Sea Y = k c i1 Ei. Si Y dµ =, para algú etero i, 1 i k, tal que c i > 0, µ(e i ) = +. Etoces para cualquier ε fijo co 0 < ε < c i, defiimos los cojutos A = {ω : X (ω) + ε > Y (ω)} (3.3)

9 3.4. INTEGRALES 39 La sucesió de cojutos A E i, 1, es moótoa creciete y coverge a E i, y por lo tato µ(a E i ) cuado. Por otro lado X dµ X 1 A E i dµ (c i ε)µ(a E i ) ( ). Por lo tato (3.2) vale si Y dµ =. Supogamos ahora que esta itegral es covergete y sea A = {ω : Y (ω) > 0} = i:ci>0e i. Como Y es simple, c = mí ci >0 c i > 0 y µ(a) <. Supogamos que ε > 0 y defiimos A de uevo por (3.3). Etoces X dµ X 1 A Adµ (Y ε)1 A Adµ = Y 1 A Adµ εµ(a A) Y 1 A dµ εµ(a). Como µ(a E i ) µ(e i ) para cada i, podemos evaluar las itegrales como sumas fiitas y ecotrar u etero 0 = 0 (ε) tal que X dµ Y dµ ε εµ(a) para 0, y hemos establecido (3.2) tambié e el caso Y dµ <. Veamos ahora que la defiició de la itegral o depede de la sucesió aproximate. Supogamos que teemos dos sucesioes crecietes de fucioes simples (X ) y (Y m ) que coverge a la fució X. Para cada m fijo teemos X = lím X Y m, y por la proposició aterior, lím X dµ Y m dµ. Haciedo ahora m, lím X dµ lím m Y m dµ. U argumeto similar demuestra que la desigualdad e setido cotrario tambié vale y por lo tato lím X dµ = lím Y m dµ. m Por lo tato la itegral está bie defiida para fucioes medibles o-egativas. Como cosecuecia de la liealidad de la itegral para fucioes simples, teemos que si α 0, β 0 etoces (αx + βy ) dµ = α X dµ + β Y dµ. De acuerdo a uestra defiició, si X 0 es medible, X dµ puede ser fiita o +. Decimos que ua fució medible X 0 es itegrable co respecto a la medida µ si X dµ <. Hay dos razoes por las cuales ua fució de este tipo puede o ser itegrable. O bie existe ua fució simple Y X para la cual Y dµ =, lo que implica la existecia de u c > 0 para el cual µ{ω : X(ω) > c} = +, o bie es posible que Y dµ < para todas las fucioes simples tales que Y X (lo que implica que µ{ω : X(ω) > c} <, para todo c > 0) pero, para cualquier sucesió Y de fucioes simples que coverja a X, Y dµ + cuado.

10 40 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Fucioes Medibles Itegrables. Sabemos que si X : Ω R es medible, tambié lo so X +, X y teemos X = X + X. Si ambas fucioes X + y X so itegrables, decimos que X es itegrable y defiimos X dµ = X + dµ X dµ. Usamos la otació L 1 (Ω, F, µ) o L 1 (µ) para la clase de fucioes itegrables y la otació X(ω) µ(dω) = X(ω) dµ(ω) = X dµ para la itegral. Si (Ω, F, P ) es u espacio de probabilidad y X : Ω R es ua variable aleatoria itegrable llamamos esperaza a su itegral y escribimos E(X) = X(ω) dp (ω) Variaza y Covariaza Sea X : Ω R ua variable aleatoria y supogamos que X 2 L 1, que escribimos como X L 2. Defiimos la variaza de X como Var(X) = E(X E(X)) 2 y tambié usamos la otació σx 2 para ella. Por la liealidad de la esperaza teemos Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. La raíz cuadrada de la variaza σ X = Var(X) se cooce como la desviació típica de la variable aleatoria. Si X, Y L 2 defiimos y de uevo por liealidad Cov(X, Y ) = E[(X E(X))(Y E(Y ))], Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X) E(Y ). Observamos que si X = Y, etoces Cov(X, Y ) = Var(X). La covariaza es ua medida de la depedecia lieal etre dos variables aleatorias, pero su valor depede de las uidades e las cuales expresemos las variables. Para obteer ua medida ormalizada de la depedecia lieal etre dos variables, dividimos la covariaza etre las desviacioes típicas de las variables. Este parámetro se cooce como la correlació etre X e Y : ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) σ X σ Y Si Cov(X, Y ) = 0 decimos que X e Y o está correlacioadas. Demostraremos más adelate que ρ(x, Y ) 1. La covariaza es ua fució bilieal: Si X 1,..., X k y Y 1,..., Y m so variables aleatorias e L 2, etoces para cualesquiera costates a 1,..., a k y b 1,..., b m ( k m ) Cov a i X i, b j Y j = j=1 k j=1 m a i b j Cov(X i, Y j ). (3.4)

11 3.5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL 41 Para ver esto, podemos supoer, si pérdida de geeralidad, que E(X i ) = E(Y j ) = 0 para i = 1,..., k; j = 1,..., m. Etoces ( k m ) ( k Cov a i X i, b j Y j = E a i X i j=1 = = k j=1 k j=1 m j=1 b j Y j ) m a i b j E(X i Y j ) m a i b j Cov(X i, Y j ) U caso especial de esta fórmula se usa para calcular la variaza de la suma de variables X 1,..., X e L 2. Teemos ( ) ( ) Var X i = Cov X i, X j = Cov(X i, X j ). j=1 j=1 Dividimos el cojuto de ídices e los casos i = j e i j y obteemos ( ) Var X i = = Cov(X i, X i ) + 2 Var(X i ) i<j 1 i<j Cov(X i, X j ) Cov(X i, X j ). E particular si Cov(X i, X j ) = 0 para i j, es decir, si las variables o está correlacioadas, etoces ( ) Var (X i ) = Var(X i ) Itegral sobre u cojuto medible. Si A F defiimos A X dµ = X1 A dµ siempre que esta itegral esté bie defiida. Por lo tato A X dµ está defiida si X1 A es medible y o-egativa o si X1 A es medible e itegrable. Decimos que X es itegrable e A si X1 A es itegrable. Es imediato que X dµ = X dµ. Ω Observamos que si E F co µ(e) = 0, etoces cualquier fució X : Ω R es itegrable sobre E y X dµ = Propiedades de la Itegral E Teorema 3.2 Sea (Ω, F, µ) u espacio de medida, A, B so cojutos e F y X : Ω R, Y : Ω R so dos fucioes itegrables co respecto a µ. Etoces X es itegrable sobre A, X + Y y X so itegrables y 1. Si A B =, A B X dµ = A X dµ + B X dµ.

12 42 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN 2. X es fiita c.s. 3. (X + Y ) dµ = X dµ + Y dµ. 4. X dµ X dµ. 5. Para cualquier c R, cx es itegrable y cx dµ = c X dµ. 6. X 0 X dµ 0; X Y X dµ Y dµ. 7. Si X 0 y A B, A X dµ B X dµ. 8. Si X 0 y X dµ = 0, etoces X = 0 c.s. 9. X = Y c.s. X dµ = Y dµ. 10. Si Z : Ω R es F-medible y Z X, etoces h es itegrable. Demostració. Si X : Ω R + es medible, o-egativa e itegrable y 0 Y X co Y : Ω R + medible, sigue de la defiició de la itegral de fucioes medibles o-egativas que Y es itegrable. Como para cualquier A F, 1 A es medible, 0 X + 1 A X + y 0 X 1 A X y e cosecuecia si X es itegrable sobre Ω tambié lo es sobre cualquier cojuto medible A. (1) Si A, B so disjutos, 1 A B = 1 A + 1 B, y por lo tato X + 1 A B = X + 1 A + X + 1 B, X 1 A B = X 1 A + X 1 B y como sabemos que la propiedad que queremos demostrar es válida para fucioes medibles o-egativas teemos X dµ = X + 1 A B dµ X 1 A B dµ A B = X + 1 A dµ X 1 A dµ + X + 1 B dµ X 1 B dµ = X dµ + X dµ ya que todos los térmios so fiitos. (2) Si X o es fiita c.s., etoces al meos uo de los cojutos A B A 1 = {ω : X(ω) = + }, A 2 = {ω : X(ω) = } tiee medida positiva. Supogamos que µ(a 1 ) > 0 etoces se tiee de la defiició que X + dµ = + lo que implica que X o es itegrable. (3) Ya hemos visto que esta propiedad vale para fucioes o-egativas. Si X 1, X 2 so o-egativas y X = X 1 X 2 etoces X 1 + X = X 2 + X + y usado (3) para fucioes o-egativas obteemos X 1 dµ + X dµ = X 2 dµ + X + dµ de modo que X dµ = X 1 dµ X 2 dµ. El resultado geeral se obtiee observado que para X, Y fiitas, X + Y = (X + + Y + ) (X + Y )

13 3.5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL 43 y e cosecuecia (X + Y ) dµ = = = (X + + Y + ) dµ (X + Y ) dµ X + dµ X dµ + Y + dµ X dµ + Y dµ Y dµ Fialmete usamos (3) co la fució X = X + X para deducir que X es itegrable y X dµ = X + dµ + X dµ. (4) Teemos X dµ = X + dµ X dµ X + dµ + X dµ = X dµ. (5) Si c = 0, cx = 0 y cx dµ = 0 = c X dµ. Si c > 0 etoces (cx) + = cx +, (cx) = cx, y el resultado es válido porque ya lo demostramos para fucioes medibles o-egativas. De maera similar, si c < 0 (cx) + = cx, (cx) = cx +, cx dµ = (cx) + dµ (cx) dµ = ( c) X dµ + c X + dµ = c X dµ. (6) La primera afirmació es cierta por la defiició. Si X Y, etoces X = Y +(X Y ) y (X Y ) 0. Por (3) teemos X dµ = Y dµ + (X Y ) dµ Y dµ. (7) es cosecuecia de (6) ya que X1 A X1 B. (8) Si{ω : X(ω) > 0} tiee medida positiva, por la cotiuidad de la medida µ existe u etero tal que, si A = {ω : X(ω) > 1/}, se tiee que µ(a) > 0. Pero 1 1 A X1 A X, de modo que X dµ 1 1 A dµ = 1 µ(a) > 0. Por lo tato, si X 0 y X dµ = 0, ecesariamete µ{ω : X(ω) > 0} = 0. (9) Si X = Y c.s. etoces X + = Y +, X = Y c.s. E la costrucció de la sucesió aproximate e el teorema 3.1, los cojutos Q p,s para las fucioes X + y Y + tedrá todos la misma medida. Por lo tato hay fucioes simples X X +, Y Y + tales que X dµ = Y dµ, = 1, 2,... y por lo tato se tiee que X + dµ = Y + dµ. De maera similar X dµ = Y dµ. (10) Si Z X etoces 0 Z + X, 0 Z X. Usado (6) teemos que tato Z + dµ como Z dµ so fiitos y por lo tato Z es itegrable.

14 44 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Ejemplo 3.6 Sea Ω = [0, 1] y λ la medida de Lebesgue. Sea X(ω) = 1 Q [0,1]. Sabemos que λ(q) = 0 de modo que λ(x = 0) = 1 = λ([0, 1] Q). Por lo tato X dµ = 0 dµ = 0. Corolario 3.3 Si X : Ω R es acotada, medible y se aula fuera de u cojuto E F co µ(e) <, etoces X es itegrable co respecto a µ. Demostració. Si X K, etoces la fució simple K1 E es itegrable y la itegrabilidad de X sigue ahora de (9). Observació 3.3 Si F es completa respecto a µ, etoces podemos modificar (9) de la siguiete maera: Si X : Ω R es itegrable y Y : Ω R es tal que X = Y c.s., etoces Y es itegrable y X dµ = Y dµ. Hay u recíproco de la afirmació aterior: Si X y Y so itegrables y X dµ = Y dµ para todo E F, E E etoces X = Y c.s. Para ver esto supogamos que es falso, de modo que µ{x : X(ω) Y (ω)} > 0. Etoces al meos uo de los cojutos {x : X(ω) > Y (ω)}, {x : X(ω) < Y (ω)} tiee medida positiva. Supogamos que es el primero, por la cotiuidad de la medida existe u etero tal que E = {ω : X(ω) Y (ω) + 1 }, µ(e ) > 0. Pero etoces X dµ Y dµ > 1 E E µ(e ) > 0 lo que es ua cotradicció y por lo tato demuestra el resultado Desigualdades de Markov y Chebychev Proposició 3.11 (Desigualdad de Markov) Sea X L 1 (Ω, F, P ) ua variable aleatoria. Para cualquier λ > 0, P ( X λ) E( X )/λ. Demostració. Observamos que 1 { X λ Tomado esperaza se obtiee el resultado. X 1} λ 1 X { X λ 1} λ. Corolario 3.4 (Desigualdad de Chebychev) Si X L 2 (Ω) es ua variable aleatoria, P ( X E(X) λ) Var(X)/λ 2. Demostració. Usado la desigualdad de Markov P ( X E(X) λ) = P ( X E(X) 2 λ 2 ) E(X E(X)) 2 /λ 2 = Var(X)/λ 2.

15 3.6. LAS INTEGRALES DE LEBESGUE Y DE LEBESGUE-STIELTJES Las Itegrales de Lebesgue y de Lebesgue-Stieltjes Hemos defiido la itegral sobre u espacio de medida abstracto (Ω, F, µ) auque históricamete se cosideró primero el espacio (R, M, λ) dode λ deota la medida de Lebesgue defiida sobre los cojutos Lebesgue-medibles M. Si E M y f es Lebesgue-medible es usual escribir E f(x) dx e lugar de f dλ. E particular si E E es u itervalo co extremos a, b, escribimos b f(x) dx. Observamos que como la medida de Lebesgue a de u puto es cero, o importa si icluimos los extremos e el itervalo o o. E particular, a puede ser y b puede ser + de modo que f(x) dx quiere decir R f dλ = f dλ. Es importate observar que la itegral sobre u itervalo ifiito se defie directamete, ya que u itervalo de este tipo es medible, y o como límite de itegrales sobre itervalo fiitos. Usar la medida de Lebesgue-Stieltjes que se obtiee a partir de ua fució de Stieltjes F e lugar de usar la medida de Lebesgue es equivalete a trabajar e el espacio de medida (R, M(F ), µ F ), dode µ F es la medida de Lebesgue-Stieltjes que defiimos e el capítulo aterior y M(F ) es la σ-álgebra de los cojutos medibles respecto a µ F. Usamos las otacioes f(x) df (x) o f(x) dµ F (x). E E este caso la medida de u puto puede ser distita de cero y por lo tato al itegrar sobre u itervalo es ecesario especificar si se icluye los extremos o o. Por esto o usamos la otació b f(x)df (x) a meos que sepamos que F es cotiua. a Como las σ-álgebras de cojutos medibles so completas co respecto a las medidas de Lebesgue o de Lebesgue-Stieltjes, vemos que si f : R R es itegrable y f = g c.s., etoces g : R R tambié es itegrable. Caso Particular Llamamos δ x a la medida de Dirac e el puto x: { 1 si x A, δ x (A) = 0 si x / A. δ es ua medida de probabilidad defiida e P(R). Si x, 1 es ua sucesió de úmeros reales y p, 1 es ua sucesió de úmeros reales positivos etoces µ(a) = E p δ x (A) =1 defie ua medida de Lebesgue-Stieltjes cocetrada e el cojuto umerable {x, 1}. Si p <, la medida es fiita y si p = 1 es ua medida de probabilidad. Si f : R R es ua fució cualquiera etoces f dµ = p f(x ). =1 E el caso particular p = 1 para todo y f(x) = x, obteemos la serie x, de modo que la teoría de series absolutamete covergetes de úmeros reales es u caso particular de la itegral de Riema- Stieltjes Itegrales y Límites Ahora podemos cosiderar los teoremas sobre la cotiuidad del operador de itegració.

16 46 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Teorema 3.3 (Teorema de Covergecia Moótoa) Sea X : Ω R +, 1 ua sucesió creciete de fucioes medibles o-egativas co X (ω) X(ω) para todo ω Ω, etoces X dµ = X dµ, lím es decir, si X es itegrable, las itegrales X dµ coverge a X dµ, mietras que si X o es itegrable o bie X es itegrable para todo y X dµ + cuado, o existe u etero N tal que X N o es itegrable de modo que X dµ = + para N. Demostració. Para cada = 1, 2,... escogemos ua sucesió creciete X,k, k 1 de fucioes simples o-egativas que coverge a X y defiimos Y k = máx k X,k. Etoces (Y k ) es ua sucesió o-decreciete de fucioes simples o-egativas y Y = lím k Y k es ua fució medible o-egativa. Pero X,k Y k X k X para k (3.5) de modo que X Y X, y si hacemos vemos que X = Y. Usado la propiedad (6) del teorema 3.2 y (3.5) obteemos X,k dµ Y k dµ X k dµ para k. Para fijo, hacemos k. Por la defiició de la itegral X dµ Y dµ lím k X k dµ. Haciedo ahora obteemos lím X dµ Y dµ lím k X k dµ. Como los dos extremos de la desigualdad so iguales, teemos X dµ = Y dµ = lím X dµ. Corolario 3.5 Sea X : Ω R, 1 ua sucesió de fucioes medibles tales que X X y X1 dµ >. Etoces X dµ X dµ. Demostració. Supogamos que X 0. Sea Y = X X = Y. Etoces para todo, 0 Y dµ Y dµ < +. Pero 0 Y 1 Y Y 1 Y, y por el teorema aterior (Y 1 Y ) dµ (Y 1 Y ) dµ < +. Como estas itegrales so fiitas, podemos restarlas de Y 1 dµ y obteemos Y dµ Y dµ X dµ X dµ.

17 3.7. INTEGRALES Y LÍMITES 47 E el caso geeral teemos X + X + y X X co X dµ < +, y por lo aterior teemos X + dµ X + dµ, + > X dµ X dµ 0. E cosecuecia X dµ X dµ Corolario 3.6 Si X 0, 1 so fucioes medibles o-egativas, etoces Demostració. Teemos ( ) X dµ = X dµ =1 ( ) ( X dµ = lím =1 k k =1 k =1 =1 X ) dµ = lím k k = lím X dµ = X i dµ =1 ( k ) X dµ =1 Corolario 3.7 Si X es itegrable etoces, para A F, X dµ 0 cuado µ(a) 0. Demostració Defiimos A X = { X si X, si X >. Etoces X es creciete y coverge a X cuado. Por el teorema 3.2 X es itegrable y X dµ X dµ cuado. Dado ε > 0 escogemos N tal que X dµ < X dµ ε para N. Etoces si A F es tal que µ(a) < ε/2n, teemos, por el teorema 3.2, X dµ X dµ = X N dµ + ( X X N ) dµ A A A A < 1 2 ε + ( X X N ) dµ < ε.

18 48 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Teorema 3.4 (Fatou) Si (X ) es ua sucesió de fucioes medibles que está acotada iferiormete por ua fució itegrable, etoces lím if X dµ lím if X dµ. Demostració. Como (X ) está acotada por debajo por ua fució itegrable Y podemos supoer, si pérdida de geeralidad, que X 0 para todo. Para Z = X Y 0 c.s. y Z dµ = X dµ Y dµ, lím if Z = lím if X Y c.s. Poemos Y = íf k X k etoces Y es ua sucesió creciete de fucioes medibles y lím Y = lím if X. Como X Y para todo lím if X dµ lím Y dµ = lím Y dµ = lím if X dµ, por el teorema 3.3. Corolario 3.8 Si (X ) es ua sucesió de fucioes medibles que está acotada superiormete por ua fució itegrable, etoces lím sup X dµ lím sup X dµ. Demostració. Esto se puede demostrar por u método similar al del teorema aterior, o puede deducirse del teorema aterior poiedo Y = X. Como cosecuecia de los dos resultados ateriores, si (X ) es ua sucesió de fucioes medibles acotada superior e iferiormete por fucioes itegrables teemos lím if X dµ lím if X dµ lím sup X dµ lím sup X dµ. Ejemplo 3.7 Cosideremos el espacio de probabilidad ([0, 1], B, λ), dode λ es la medida de Lebesgue y defiimos X = 2 1 (0,1/). Para todo ω [0, 1] se tiee que 1 (0,1/) (ω) 0, de modo que X 0. Si embargo E(X ) = 2 1 =, y por lo tato y E(lím if X ) = 0 < lím if E(X ) = E(lím sup X ) = 0 < lím sup E(X ) =.

19 3.7. INTEGRALES Y LÍMITES 49 Teorema 3.5 (de Covergecia Domiada, Lebesgue) (i) Si Y : Ω R + es itegrable, (X ) es ua sucesió de fucioes medibles de Ω e R tal que X Y para 1, y X X cuado, etoces X es itegrable y X dµ X dµ cuado. (ii) Supogamos que Y : Ω R + es itegrable, a < b +, y para cada t (a, b), X t es medible de Ω e R. Etoces si X t Y para todo t (a, b) y X t X cuado t a + o t b, etoces X es itegrable y X t dµ X dµ. Demostració. (i) Primero probamos u caso especial co X 0 y X 0 cuado. E este caso podemos usar el teorema 3.4 y el corolario para obteer lím sup X dµ lím sup X dµ = 0 dµ = 0 = lím if X dµ lím if X dµ lím sup X dµ. Por lo tato el límite existe y vale 0. E el caso geeral poemos Z = X X, etoces 0 Z 2Y, 2Y es itegrable y Z es medible co Z 0 cuado. Pero etoces X dµ X dµ X X dµ 0 cuado, y X es itegrable por el teorema 3.2. (ii) Supogamos, por ejemplo, que X t X cuado t a +, etoces podemos aplicar la parte aterior del teorema a X = X t, dode (t ) es ua sucesió e (a, b) que coverge a a. Como X = lím X, teemos X dµ X dµ. Pero el lado derecho es idepediete de la sucesió (t ), de modo que X t dµ coverge al límite X dµ cuado t a, t (a, b). Como cosecuecia de los teoremas sobre límites teemos las siguiete propiedades Proposició Si X 0 y {A, 1} es ua sucesió de evetos disjutos X dµ = X dµ. (3.6) A A =1 2. Si X L 1 y {A, 1} es ua sucesió moótoa de evetos co A A etoces X dµ X dµ (3.7) A A Demostració. Para ver (1) teemos X dµ = A X1 A dµ = X1 A dµ = X1 A dµ = X dµ. A (2) es cosecuecia directa del Teorema de Covergecia Moótoa.

20 50 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Teorema 3.6 a) Si X, Y L 2 (Ω, F, P ) etoces X Y L 1 (Ω, F, P ) y E(XY ) ( E(X 2 ) E(Y 2 ) ) 1/2 (3.8) (b) L 2 L 1 y si X L 2 etoces (E(X)) 2 E(X 2 ). (c) L 2 es u espacio lieal: X, Y L 2, α, β R etoces αx + βy L 2. La desigualdad (3.8) se cooce como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Demostració. (a) Teemos XY X 2 + Y 2 de modo que X, Y L 2 X Y L 1. Para x R teemos 0 E[(αX + Y ) 2 ] = α 2 E[X 2 ] + 2α E[XY ] + E[Y 2 ] (3.9) el discrimiate de la ecuació cuadrática e α es ( 4[(E(XY )) 2 E(X 2 ) E(Y 2 )] ) 1/2 y como la ecuació siempre es o-egativa, (E(XY )) 2 E(X 2 ) E(Y 2 ) 0 (b) Sea X L 2, como X = X 1 y 1 L 2 co E(1 2 ) = 1 se obtiee el resultado por (a). (c) Sea X, Y L 2. Para α, β costates (αx + βy ) 2 2α 2 X 2 + 2β 2 Y 2 L 1 y por lo tato αx + βy L 2 y L 2 es u espacio vectorial Cambio de Variables Teorema 3.7 (Cambio de Variable) Sea X : (Ω, F) (Ω, F ) ua fució medible y sea µ ua medida e F. Sea µ X = µ X 1 la medida iducida por X e (Ω, F ), f : (Ω, F ) (R, B ) y A F. Etoces f(x(ω)) dµ(ω) = f(ω ) dµ X (ω ). (3.10) X 1 (A) Esto quiere decir que si algua de las itegrales existe, tambié existe la otra y ambas so iguales. Demostració. Si f es la fució idicadora de u cojuto B, la ecuació (3.10) dice que µ(x 1 (A) X 1 (B)) = µ X (A B) que es cierta por la defiició de µ X. Si f es ua fució simple o-egativa: f = 1 c i1 Bi, etoces f(x(ω)) dµ(ω) = c i 1 Bi (X(ω)) dµ(ω) X 1 (A) = c i = A A X 1 (A) A 1 Bi (ω ) dµ X (ω ) f(ω ) dµ X (ω ) Si f es ua fució medible o-egativa, sea f 1, f 2,... ua sucesió creciete de fucioes simples oegativas que coverge a f. Etoces, por lo que hemos probado, f (X(ω)) dµ(ω) = f (ω ) dµ X (ω ) X 1 (A) A

21 3.8. CAMBIO DE VARIABLES 51 y usado el Teorema de Covergecia Moótoa obteemos el resultado. Fialmete, si f = f + f es cualquier fució medible, hemos probado que el resultado es válido para f + y f. Si, por ejemplo, X 1 (A) f + (X(ω)) dµ(ω) < etoces A f(ω ) dµ X (ω ) <, y e cosecuecia si ua de las itegrales existe, tambié existe la otra y ambas vale lo mismo. Sea X ua v.a. sobre el espacio de probabilidad (Ω, F, P ). Recordemos que la distribució de X es la medida P X = P X 1 e (R, B) defiida por P X (A) = P X 1 (A) = P (X A), para A B. La fució de distribució de X es F X (x) = P X ((, x]) = P (X x). El teorema de cambio de variables os permite calcular la itegral abstracta E(X) = X dp como que es ua itegral e R. E(X) = R Ω x dp X (x). Corolario 3.9 (i) Si X es ua v.a. itegrable etoces E(X) = R x dp X (x) (ii) Sea X : (Ω, F) (Ω, F ) ua variable aleatoria co distribució P X y sea g : (Ω, F ) (R +, (R + )) ua fució medible o-egativa. La esperaza de g(x) es E(g(X)) = Ω g(x(ω)) dp (ω) = g(ω ) dp X (ω ). Ω Demostració. Para ver (i) basta observar que (Ω, F ) = (R, B), f(x) = x, y A = Ω. (ii) es imediato a partir del teorema de cambio de variable Desidades Sea X : (Ω, F) (R k, B k ) u vector aleatorio co distribució P X. Decimos que X, P X o F X es absolutamete cotiua si existe ua fució f : (R k, B k ) (R +, B(R + )) tal que dode dx es la medida de Lebesgue. P X (A) = A f(x) dx Proposició 3.13 Sea g : (R k, B k ) (R +, B(R + )) ua fució medible o-egativa. Sea X u vector aleatorio co f.d. F. Si F es absolutamete cotiua co desidad f, la esperaza de g(x) es Demostració. Ejercicio. E(g(X)) = g(x)f(x) dx. R k

22 52 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN 3.9. Comparació co la Itegral de Riema Vimos e el ejemplo 3.6 que si f es el idicador del cojuto de racioales e [0, 1] etoces f o es itegrable segú Riema pero si lo es segú Lebesgue y su itegral vale 0. E este caso existe otra fució g que satisface f = g c.s., que es itegrable segú Riema y cuya itegral vale lo mismo que la de f. Esta fució es g(x) = 0 para todo x [0, 1]. Veremos a cotiuació u ejemplo de ua fució que es itegrable segú Lebesgue pero o segú Riema, a pesar de ser acotada y estar defiida e u itervalo acotado, y para la cual o existe igua fució Riema itegrable g co f = g c.s. Ejemplo 3.8 Comezamos por costruir u cojuto boreliao A (0, 1] tal que 0 < λ(a) < 1 y tal que para cualquier subitervalo J de (0, 1] se tiee que λ(a J) > 0. Para ello sea {r 1, r 2,... } ua eumeració de los racioales e (0, 1). Sea ε > 0 dado y para cada escogemos u itervalo I = (a, b ) tal que r I (0, 1) y λ(i ) = b a < ε2. Poemos A = 1 I, etoces 0 < λ(a) < ε. Como A cotiee a los racioales de (0, 1), es deso e este cojuto. Por lo tato A es u cojuto abierto y deso co medida meor que ε. Si J es u subitervalo abierto de (0, 1) etoces J itersecta a alguo de los I y e cosecuecia λ(a I) > 0. Si B = (0, 1) A etoces 1 ε < λ(b) < 1. El cojuto B o cotiee igú itervalo, de hecho es u cojuto uca deso (Todo itervalo cotiee u subitervalo que o cotiee putos de B). Si embargo, su medida es casi 1. Tomamos ahora f = 1 A y supogamos que g = f c.s. y que J es ua descomposició de (0, 1] e subitervalos. Para ver que g o es itegrable segú Riema basta demostrar que J cotiee putos x, y tales que g(x )λ(j ) λ(a) < 1 = g(y )λ(j ). (3.11) Si λ(j A) = 0 escogemos x e el cojuto J {f = g}, que es u cojuto de medida λ(j ) > 0. Etoces g(x ) = f(x ) 1. E el caso cotrario, escogemos x e el cojuto (J A) {f = g}, u cojuto de medida λ(j A) > 0. Etoces g(x ) = f(x ) = 0. Si deota la suma sobre los ídices para los cuales λ(j A) = 0 etoces la suma de la izquierda e (3.11) es g(x )λ(j ) λ(j ) = λ(j A) λ(a). Para hallar los y observamos que por la costrucció de A, λ(j A {f = g}) = λ(j A) > 0. Por lo tato para algú y J A se tiee g(y ) = f(y ) = 1 y de aqui se obtiee la seguda desigualdad de (3.11). Usaremos la otació b a f(x) dx para la itegral de Riema de f e [a, b] y f(x) dλ(x) para la [a,b] itegral de Lebesgue. Para la demostració del próximo teorema vamos a usar la siguiete defiició para la itegral de Riema, que o es la usual, pero es secillo demostrar que ambas so equivaletes. Para cualquier etero dividimos I 0 = (a, b] e 2 itervalos semiabiertos I,i = (a,i 1, a,i ], i = 1, 2,..., 2. Defiimos m,i = íf{f(x) : x I,i }; M,i = sup{f(x) : x I,i } { { g (x) = m,i si x I,i, M,i si x I,i, h (x) = 0 si x / I 0 ; 0 si x / I 0.

23 3.9. COMPARACIÓN CON LA INTEGRAL DE RIEMANN 53 Etoces para todo etero y x I 0, g (x) f(x) h (x). (g ) es ua sucesió creciete de fucioes simples mietras que (h ) es decreciete. Si defiimos etoces g f h. Además teemos (a,b] (a,b] g(x) dλ(x) = lím h(x) dλ(x) = lím g = lím g, h = lím h, (a,b] (a,b] g (x) dλ(x) = lím h (x) dλ(x) = lím Decimos que f es itegrable segú Riema e [a, b] si y sólo si y e este caso el límite comú es b f(x) dx. a lím s = lím S b a 2 b a m,i := lím s, M,i := lím S. Teorema 3.8 Ua fució acotada f : [a, b] R es itegrable segú Riema si y sólo si el cojuto de putos E [a, b] e los cuales X es discotiua tiee medida 0: λ(e) = 0. Cualquier fució f : [a, b] R que sea itegrable segú Riema, es itegrable segú Lebesgue y su itegral tiee el mismo valor. Demostració. Si f es cotiua e x (a, b) etoces g(x) = h(x). Recíprocamete si g(x) = h(x) y x o está e D, dode D es el cojuto umerable de extremos de los itervalos I,i, etoces f es cotiua e x. Si b f(x) dx existe, a b g(x) dλ(x) = f(x) dx = h(x) dλ(x). [a,b] a Por el teorema 3.2 (8) y teiedo e cueta que g f h, teemos que g = h c.s. Como el cojuto E de putos dode f es discotiua está coteido e D {x : g(x) h(x)}, teemos que λ(e) = 0. Además, como la medida de Lebesgue es completa, f es M-medible y por las propiedades de la itegral de Lebesgue, b f(x) dλ(x) = g(x) dλ(x) = f(x) dx. [a,b] [a,b] Recíprocamete si el cojuto E satisface λ(e) = 0, esto implica que g(x) = h(x) c.s., y por las propiedades de la itegral obteemos g(x) dλ(x) = h(x) dλ(x) [a,b] [a,b] [a,b] a de modo que f es itegrable. El teorema aterior os muestra que ua fució itegrable segú Riema tiee que ser cotiua c.s., e cambio teemos ejemplos de fucioes que so discotiuas e todo puto y si embargo so itegrables segú Lebesgue. Si embargo, e cierto setido estas últimas puede ser aproximadas por fucioes muy regulares, es decir por fucioes que puede ser difereciadas ifiitas veces.

24 54 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Teorema 3.9 Dada cualquier fució f : R R itegrable y cualquier ε > 0, existe u itervalo fiito (a, b) y ua fució acotada g : R R tal que g(x) se aula fuera de (a, b), es ifiitamete difereciable para todo real x y f(x) g(x) dλ(x) < ε. Demostració. Hacemos la demostració e cuatro etapas. (i) Primero hallamos u itervalo fiito [a, b] y ua fució medible y acotada f 1 que se aule fuera de [a, b] tal que f(x) f 1 (x) dλ(x) < 1 4 ε. Para hacer esto cosideramos la sucesió de fucioes f(x) si x y f(x), si x y f(x) >, g (x) = si x y f(x) <, 0 si x >. Etoces g (x) f(x) para todo x y g f. Por el Teorema de Covergecia Domiada teemos que f(x) g (x) dλ(x) 0 cuado de modo que podemos fijar N suficietemete grade y poer f 1 (x) = g N (x). (ii) El siguiete paso es aproximar f 1 por ua fució simple f 2 que se aule fuera de [a, b] y satisfaga f 2 (x) f 1 (x) dλ(x) < 1 4 ε. Esto es posible porque hemos defiido la itegral como límite de fucioes simples. (iii) Ua fució simple es la suma fiita de multiplos de fucioes idicadoras. Si cada fució idicadora puede aproximarse por la fució idicadora de u úmero fiito de itervalos disjutos, teemos que f 2 puede aproximarse por f 3, ua fució escalera de la forma f 3 (x) = c i 1 Ji (x), dode cada J i es u itervalo fiito y f 2 (x) f 3 (x) dλ(x) < 1 4 ε. Para ver que esto es posible comezamos co u cojuto acotado Lebesgue-medible E y η > 0. Hallamos u cojuto abierto G co E G y tal que λ(g E) < η/2. A partir de la uió umerable de itervalos abiertos disjutos que forma a G escogemos ua catidad fiita que forma el cojuto G 0 tal que λ(g G 0 ) < η/2. Etoces teemos que λ(e G 0 ) < η de modo que 1 E (x) 1 G0 (x) dλ(x) < η. R (iv) Fialmete para obteer la fució ifiitamete difereciable g tal que g(x) f 3 (x) dλ(x) < 1 4 ε.

25 3.10. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN 55 es suficiete ecotrar ua fució de este tipo para ua de las compoetes 1 Ji (x) de f 3. Supogamos que J = (a, b) y 0 < 2η < b a. Poemos { exp{ 1/[(x a) 2 η 2 ]} para x a < η, φ a,η (x) = 0 para x a η. Si c 1 η = φ x a,η(x) dx, sea h(x) = c η [φ a,η(t) φ b,η (t)] dt. Es fácil verificar que h es ifiitamete difereciable y 1 J (x) h(x) dλ(x) < 4η, ya que 0 h(x) 1 para todo x y {x : 1 J (x) h(x)} está coteido e los dos itervalos (a η, a + η) y (b η, b + η). Hemos euciado el resultado de aproximació para fucioes reales, pero u teorema similar es cierto para fucioes e R k, e cuyo caso la fució aproximate tiee derivadas parciales de todos los órdees Fucioes de Distribució Sea F ua fució de distribució. Como F es moótoa sabemos que tiee a lo sumo ua catidad umerable de discotiuidades. Sea {a j } la colecció de los putos dode ocurre los saltos de la fució F y sea {b j } el tamaño de los saltos respectivos, es decir F (a j ) F (a j ) = b j. Cosideremos la fució F d (x) = j b j δ aj (x) que represeta la suma de todos los saltos de F e la semirecta (, x]. Esta fució es creciete, cotiua por la derecha co F d ( ) = 0, F d (+ ) 1. Por lo tato F d es ua fució creciete y acotada. Teorema 3.10 Sea F c (x) = F (x) F d (x). Etoces F c es positiva, creciete y cotiua. Demostració. Sea x < x, etoces F d (x ) F d (x) = x<a j x b j = F (x ) F (x) x<a j x [F (a j ) F (a j )] Por lo tato F d y F c so ambas crecietes, y si poemos x = vemos que F d F, de modo que F c es positiva. Por otro lado F d es cotiua por la derecha porque cada fució δ aj lo es y la serie que defie F d coverge uiformemete e x. Por la misma razó { F d (x) F d (x b j si x = a j, ) = 0 e otro caso. Pero esta relació tambié es cierta si reemplazamos F d por F, por la defiició de a j y b j, de modo que para todo x: F c (x) F c (x ) = F (x) F (x ) F d (x) F d (x ) = 0. Como ya sabemos que F c es cotiua por la derecha, esto demuestra que es cotiua.

26 56 CAPÍTULO 3. FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRACIÓN Teorema 3.11 Sea F ua f.d. Supogamos que existe ua fució cotiua G c y otra fució G d de la forma G d (x) = j b jδ a j (x) dode {a j } es ua sucesió de úmeros reales y j b j <, tal que F = G c + G d, etoces G c = F c, G d = F d, dode F c y F d se defie como ates. Demostració. Si F d G d etoces o bie los cojutos {a j } y {a j } o so idéticas o podemos cambiar las etiquetas e las sucesioes de modo que a j = a j para todo j pero b j b j para algú j. E cualquier caso teemos que al meos para u j y ã = a j o a j, Como F c G c = G d F d, esto implica que [F d (ã) F d (ã )] [G d (ã) G d (ã )] 0. [F c (ã) G c (ã)] [F c (ã ) G c (ã )] 0, lo cual cotradice el hecho de que F c G c es ua fució cotiua. E cosecuecia F d = G d y F c = G c. Defiició 3.5 Ua f.d. F que se puede represetar como F = j b j δ aj se llama ua f.d. discreta. Ua f.d. que es cotiua e todo puto se dice cotiua. Supogamos que F c 0, F d 0 e la descomposició de la f.d. F, etoces podemos poer α = F d ( ) de modo que 0 < α < 1, F 1 = 1 α F d, F 2 = 1 1 α F c, y escribimos F = αf 1 + (1 α)f 2. (3.12) Vemos que podemos descompoer a F como ua combiació covexa de ua f.d. discreta y ua f.d. cotiua. Si F c 0, etoces F es discreta y poemos α = 1, F 1 F, F 2 0. Si F d 0, etoces F es cotiua y poemos α = 0, F 1 0, F 2 F, y e cualquier caso la ecuació 3.12 vale. Resumimos estos resultados e el siguiete teorema. Teorema 3.12 Toda f.d. puede escribirse como la combiació covexa de ua f.d. cotiua y ua f.d. discreta. Esta descomposició es úica.

27 3.10. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN Fucioes Absolutamete Cotiuas y Sigulares Defiició 3.6 Ua fució F es absolutamete cotiua si existe ua fució itegrable f tal que para todo a < b F (b) F (a) = b a f(t) dt. Es posible demostrar que e este caso F tiee derivada que es igual a f c.s. E particular, si F es ua f.d., etoces f 0 c.s. y f(t) dt = 1. Recíprocamete, si f satisface las codicioes ateriores, la fució F defiida por es ua f.d. que es absolutamete cotiua. F (x) = x f(t) dt Defiició 3.7 Ua fució F es sigular si o es idéticamete cero y F existe y es igual a cero c.s. E el siguiete teorema presetamos alguos resultados sobre fucioes reales que o demostraremos. Las demostracioes se puede hallar e el libro de Billigsley. Teorema 3.13 Sea F ua fució creciete y acotada co F ( ) = 0 y sea F su derivada (cuado exista). Las siguietes proposicioes so válidas. a) Si S deota el cojuto de x R para los cuales F (x) existe y 0 F (x) <, etoces λ(s c ) = 0. b) F es itegrable y para todo a < b c) Si defiimos F ac (x) = x b a F (t) dt F (b) F (a). F (t) dt, F s (x) = F (x) F ac (x), etoces F ac = F c.s., de modo que F s = F F ac = 0 c.s. y e cosecuecia F s es sigular si o es idéticamete cero. Defiició 3.8 Cualquier fució positiva f que sea igual a F c.s. es ua desidad. F ac es la parte absolutamete cotiua y F s la parte sigular de F. Es claro que F ac es creciete y F ac F. Por el teorema aterior teemos que si a < b, F s (b) F s (a) = F (b) F (a) b a f(t) dt 0. E cosecuecia F s tambié es creciete y F s F. Por lo tato teemos el siguiete teorema. Teorema 3.14 Toda f.d. F se puede escribir como combiació covexa de tres f.d., ua discreta, otra cotiua sigular y la tercera absolutamete cotiua. Esta descomposició es úica