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Transcripción

1 1. Razón. Proporción numérica La razón de los números a y b es la fracción b a Una proporción numérica es una igualdad entre dos razones numéricas. En cualquier proporción el producto de los etremos es igual al producto de los medios. a y d se llaman etremos, b y c medios. 2. Proporcionalidad directa. Magnitudes directamente proporcionales. Si se multiplica (o divide) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número. Ejemplo 1. Si 1 kilogramo de manzanas vale 1,80 euros, cuál será el precio de la compra según el peso? Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por el valor de la primera magnitud se obtiene el mismo cociente. Si a un valor m 1 de la primera magnitud le corresponde un valor m 2 de la segunda magnitud, se puede comprobar que el cociente o razón entre estos dos valores es siempre constante. A esta cantidad se le llama constante o razón de proporcionalidad directa. Comprueba que en el ejemplo 1 se cumple también: 1 2 1,80,,60 1 1,80, 5,40 2,60 7,20 Es decir que si comparamos dos valores de la misma magnitud con los dos que le corresponden de la segunda magnitud, los cocientes valen lo mismo Regla de tres directa Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad directa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la razón o constante de proporcionalidad directa para calcular el cuarto término. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

2 Ejemplo 2. Si 8 kilos de manzanas valen 10,40 euros, cuánto costarán 1 kilos? Observa que la proporción anterior también se puede escribir 8 10,40 10, , , Obteniéndose el mismo resultado. Esta última forma es la que más se suele utilizar. m2 10,40 Si nos pidiesen la razón de proporcionalidad sería r 1, m Repartos directamente proporcionales. Se va a repartir una cantidad determinada en varias partes con unas condiciones determinadas. Cada una de las partes debe recibir una cantidad directamente proporcional a unos valores iniciales. A mayor valor inicial de una parte le corresponderá mayor cantidad en el reparto. 1. En primer lugar hay que sumar los valores iniciales de cada una de las partes. 2. A dicha suma le corresponde la cantidad a repartir, y mediante una regla de tres directa se va calculando lo que corresponde a cada una de las partes. Ejemplo. Dos amigos juntan 1,20 y 1,80 que tenían para comprar un paquete de pegatinas de una serie de dibujos animados. El paquete contiene 120 pegatinas. Cómo deben repartirse de forma justa?. Con 1,20 + 1,80 se han comprado las 120 pegatinas. Esta claro que el que más ha pagado más pegatinas debe llevarse. DINERO PEGATINAS 120 1,20 Escribimos la proporción: , pegatinas se lleva el que 1,20 puso 1,20. Calculamos los que lleva el que invirtió 1,80 Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.2 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

3 DINERO PEGATINAS 120 1,80 Escribimos la proporción: , pegatinas se lleva el que 1,80 puso 1,80. Comprobamos además que En lugar de hacer esta segunda regla de tres, podríamos haber hecho la resta , para calcular el segundo dato.. Proporcionalidad inversa.1. Constante de proporcionalidad Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. Si a un valor m1 de la primera magnitud le corresponde un valor m2 de la segunda magnitud, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre constante. A este producto se le llama constante de proporcionalidad inversa. Ejemplo 4. Una alumna compra un regalo de 72 euros para una compañera de la clase. Cuánto tendrán que pagar según el número de compañeros que participen? Al multiplicar los valores correspondientes a las dos magnitudes se obtiene se obtiene el mismo producto. Comprueba que también que en el ejemplo 4 se cumple: 1 2 6, , Es decir, que si comparamos dos valores de misma magnitud con los dos que le corresponden de la segunda magnitud invirtiendo el orden, los cocientes valen lo mismo..2. Regla de tres inversa Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad inversa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aprovechar la constante de proporcionalidad inversa para calcular el cuarto término. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

4 Ejemplo alumnos han pagado 6 euros cada uno para comprar un regalo a una compañera, cuánto tendrá que pagar cada uno si al final participan 24 alumnos? Observa que también podríamos calcular, con la siguiente proporción ,50 24 Se invierte el orden en los elementos de una de las magnitudes 4,50 4. Proporcionalidad compuesta Llamamos de proporcionalidad compuesta a aquellas situaciones en las que intervienen más de dos magnitudes ligadas por la relación de proporcionalidad. Pasos a seguir para la resolución: 1. Iniciamos el planteamiento del problema colocando las magnitudes con sus unidades, de igual manera que en la regla de tres simple. Las cantidades que pertenecen a la misma magnitud hay que ponerlas con las mismas unidades. 2. Colocar los datos y la incógnita. Para facilitar el proceso conviene colocar en último lugar la magnitud que lleva la incógnita. Determinar la relación de proporcionalidad entre cada una de las magnitudes, dos a dos. 4. Formar la proporción, teniendo en cuenta la razón inversa o directa. La razón que contiene la incógnita se deja aislada a un lado de la igualdad. Al otro lado del igual se coloca el resto de las razones multiplicadas entre sí. 5. Se opera el producto de las fracciones hasta reducirla a una sola. 6. Se despeja la incógnita. Ejemplo 6. Un granjero ha necesitado 294 kilos de pienso para alimentar a 15 vacas durante una semana. Cuántos kilos de pienso se necesitarán para alimentar a 10 vacas durante 0 días? PROPORCIONALIDAD DIRECTA PROP. DIRECTA VACAS DÍAS KILOS Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.4 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

5 PROPORCIÓN Para alimentar a 10 vacas durante 0 días, el granjero necesita 840 kilos de pienso. Ejemplo 7. Una cuadrilla de albañiles, trabajando 8 horas diarias, construye 400 metros cuadrados de pared en 15 días. Cuánto tardaría la misma cuadrilla en construir 600 metros cuadrados de pared, si deciden trabajar 10 horas al día? PROPORCIONALIDAD DIRECTA PROP. INVERSA METROS CUADRADOS HORAS/DÍA DÍAS Observa que la magnitud HORAS/DÍA es inversamente proporcional a la magnitud DÍAS Por eso, al formar la proporción, en lugar de la razón tomamos su inversa, días Para construir 600 m 2 de pared, trabajando 10 horas diarias, necesitan 18 días 10 vacas durante0 días, el granjero necesita 840 kilos de pienso. Ejemplo 8. El transporte de 150 toneladas de mineral de hierro a la distancia de 650 km, ha costado Cuánto costará el transporte de 225 toneladas de la misma mercancía a la distancia de 200 km? Se necesitarán 1200 para transportar l225 toneladas a una distancia de 200 km. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.5 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

6 Ejemplo 9. Cuánto tiempo empleará una persona en recorrer 750 km andando 8 horas diarias, sabiendo que en 15 días ha recorrido 400 km, andando 9 horas diarias? días Epresamos días en días, horas, minutos y segundos días 1 días horas 15 horas minutos 22minutos segundos Se estima que dicha persona empleará 1 días, 15 horas, 22 minutos y 0 segundos. Ejemplo 10. Ocho albañiles, en 6 días, trabajando 9 horas cada día, han levantado una pared. Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 5 albañiles, para hacer lo mismo en 10 días? horas / día 21 6 horas 21 horas min utos Deberían haber trabajado 21 horas y 6 minutos al día. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.6 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

7 5. Porcentajes Un porcentaje se puede contemplar como una proporción, como una fracción o como un número decimal. 5.1 Proporpoción Para calcular el a% de una cantidad C, podemos utilizar una regla de tres simple, a C a C a C a C Ejemplo 11. El 0% de los jóvenes chatea a través de Internet Cuántos chatearán en un grupo de 250 jóvenes? Se trata de una proporción directa, si hubiera el doble número de jóvenes se duplicaría el número de los que chatean En un grupo de 250 jóvenes, hay 75 que chatean en internet 5.1 Fracción Un porcentaje se puede calcular como la fracción de una cantidad. El a%, quiere decir que de cada tomamos a partes. a% de C a a C de C Ejemplo 12. El 0% de los jóvenes chatea a través de Internet Cuántos chatearán en un grupo de 250 jóvenes? Utilizamos el porcentaje como fracción % de Obteniéndose el mismo resultado que antes. 5.2 Decimal Para calcular un porcentaje, se multiplica por el tanto por ciento epresado en forma decimal. Ejemplo 1. El 0% de los jóvenes chatea a través de Internet Cuántos chatearán en un grupo de 250 jóvenes? 0 0 % 0,0 0, jóvenes chatean por Internet. El resultado es el mismo. Cuando resuelvas un problema de porcentajes recuerda: Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.7 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

8 Al calcular a% de una cantidad C se obtiene otra cantidad P a% de C P a C P a P C a C P Cuando en la última fórmula desconocemos algún dato, a, C ó P, basta con pasar dividiendo dicha letra al otro lado de la igualdad. C a P P P C a a C Aumentar una cantidad en un a% equivale a calcular el ( + a)% de dicha cantidad. Se obtiene la cantidad con el aumento, no el aumento. Disminuir una cantidad en un a% equivale a calcular el ( - a)% de dicha cantidad. Se obtiene la cantidad con el descuento hecho, no el descuento. Cuando a una cantidad C se le aplica un porcentaje, b%; a la cantidad resultante se aplica un nuevo porcentaje, d%; a la cantidad resultante se aplica un nuevo porcentaje e%, basta con multiplicar todos porcentajes que se aplican para calcular la cantidad final b d e C Ejemplo 14. Una máquina fabrica al día 450 piezas de las que 18 presentan algún defecto y se desechan. Qué porcentaje de piezas defectuosas fabrica la máquina? a a 4 El 4% de las piezas fabricadas son defectuosas. 450 Ejemplo 15. El 4% de las personas asistentes a un congreso son españoles. Sabiendo que hay 85 españoles, cuántas personas asisten al congreso? 4 C C 250 Al congreso asistieron 250 personas. 4 Ejemplo 16. Al subir el precio de una bicicleta un 20%, el precio final es ahora de 60 euros. Cuál era el precio inicial? Los 60 es lo que pagamos con el aumento ya incluido, es decir, corresponde al %+20%120% 120 C 60 Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.8 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

9 60 C 00 El precio inicial de la bicicleta era de Ejemplo 17. Después de rebajar el precio de un ordenador un 8%, me ha costado 1196 euros. Cuál era su precio inicial? Los 1196 es lo que pagamos por el ordenador con el descuento ya hecho, el porcentaje que realmente pagamos es %-8%92% 98 C C 100 El precio inicial del ordenador era de Ejemplo 18. Un juguete vale en una juguetería 40 euros. Durante las fiestas navideñas sube un 22% y una vez que éstas han pasado, baja un 9%. Calcular su precio final. Al subir el 22% yo pago el 122%. Si luego nos descuentan el 9% pagamos el 91%. El primer aumento se aplica al precio inicial del juguete, el segundo a la cantidad resultante después de la primera variación ,41 será el precio final del juguete. 6. Interés simple. Conceptos básicos. Hablamos de interés simple cuando los beneficios producidos durante el tiempo que dura una inversión de dinero se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los intereses son función únicamente del capital principal, el tipo de interés y el tiempo que dura la inversión. Ejemplo. Un plazo fijo a un año. Si al final de cada periodo de tiempo el interés se suma con el capital entonces estaríamos hablando de interés compuesto. Ejemplo. Préstamo hipotecario a 0 años. Los problemas de interés simple son un caso particular de regla de tres compuesta en la que intervienen tres magnitudes: Capital, interés y tiempo. Capital (C).- Es la cantidad de dinero que se deposita o se presta. Tiempo (t).- Es el número de años, meses o días que permanece el capital invertido. Interés (i).- Es el beneficio producido por el capital. Este beneficio es directamente proporcional al capital y al tiempo que dura la inversión. Rédito (r), tipo de interés o tasa de interés.- Es el interés que producen en un año. Se puede dar en % o en tanto por uno. En definitiva es el precio al que se presta el dinero Ejemplo 19. Un banco ofrece un beneficio anual del 4%. Qué beneficio obtendremos si depositamos 750 durante años? Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.9 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

10 i i 1 i colocados al 4% anual durante años producen 90. Un capital, C, colocado al r% durante t años produce un beneficio i. 1 r r C r t i C t r i C t i C t i De la epresión i C t r podemos despejar también el C, r o t, obteniéndose las siguientes fórmulas: i i i C r t r t C t C r Si en lugar de en años el tiempo se mide en meses las fórmulas serían: C r t i i C r t 12 i r C t 12 i t C r En el caso de que el tiempo se mida en días las fórmulas serían: C r t i i C r t 65 i r C t 65 i t C r Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.10 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño