MATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES ( )

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1 MATEMÁTICAS III (Crrer de Economí) OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES ( ) El propósito centrl de l economí como cienci es el estudio de l signción óptim de los recursos escsos. Est definición de l economí encj mu bien con el tem mtemático de optimizción (mximizción o minimizción) restringid: l búsqued de un óptimo (máximo o mínimo) sujeto un restricción. El consumidor trt de mximizr un función de utilidd condiciond por l restricción presupuestl; el empresrio cpitlist trt de mximizr un función de gnnci con l restricción de l disponibilidd de sus recursos. El método pr resolver este tipo de problems fue desrrolldo por el mtemático Joseph Louis Lgrnge ( ). Est not present l estructur mtemátic más simple de los problems de optimizción con restricciones l solución conocid como método de multiplicdores de Lgrnge. Método de Lgrnge L estructur más simple que podemos plnter consiste en un función objetivo (l función pr l cul se busc un máximo o mínimo) de dos vribles independientes un función de restricción en ess misms vribles l cul formliz ciert condición que deben cumplir. Se trt de un óptimo condiciondo. En generl, l función objetivo puede tener n vribles independientes pueden existir m funciones de restricción (m < n). L función de restricción se plnte en l estructur más simple como un iguldd; en lgunos problems de mor complejidd, l restricción puede ser un desiguldd. Función objetivo con dos vribles independientes un restricción de iguldd. Se tiene un función objetivo z= f ( x, un función de restricción c g( x, =. Supongmos que se quiere mximizr z l tiempo que se cumple l restricción. Esto es: 1

2 mx f x, s. g x, = c (1) El método de Lgrnge consiste en formulr un nuev función, l función Lgrngen: (,, λ) (, ) λ( (, )) L x = f x + c g x (2) Donde λ es un número rel tl que ( x*, *, λ *) es un punto crítico de l función L( x,, λ ). Nótese en (2) que ( c g( x, ) por l definición en (1). Pr encontrr los puntos críticos procedemos obtener ls derivds prciles de L respecto x,, λ e igulr cero. L = Lx = fx λgx x L = L = f λg L = L = c g( x, λ Ahor tenemos un sistem de 3 ecuciones con igul número de incógnits ( x,, λ ) ls cules podrán determinrse si el problem plntedo tiene un solución. En este cso encontrmos los puntos críticos ( x*, *, λ * ). Un vez obtenido los puntos críticos debemos verificr si se trt de un máximo, un mínimo o un punto sill. Pr ello debemos relizr ls derivds segunds, vlurls en el punto crítico con ells construir l mtriz Hessin mplid que llmmos H 2

3 L L x L λλ λ λ = L λ fx f H Lλ x fxx fx Definimos los menores principles de H como: Lλλ Lλ x Lλ L L H = H = L f f ; λλ λx 2 ; 3 Lλ x fxx λx xx x L f f λ x Suponiendo que L λ x 0, tendremos que los puntos críticos representn: i) Un máximo si: H 3 > 0 ii) Un mínimo si: H 3 < 0 Ejemplo: 1. Mximizr z= f ( x, = x con l restricción g x, = x+ 4=16 mx f x, = x s. gx, = x+ 4=16 Plntemos l función Lgrngen: 3

4 (,, λ) = + λ( 16 ( + 4 )) L x x x Resolvemos l condición de primer orden pr un máximo: L = λ x L = x 4λ L = 16 x 4 λ L condición de primer orden en este problem es un sistem linel que se resuelve fácilmente. De l primer ecución tenemos que = λ, insertndo este resultdo en l segund ecución result x = 4. Ahor sustituimos este último resultdo en l tercer ecución de l condición de primer orden de mner que 16 = = 8 se deduce que = 2 = λ. Luego, x = 4 = 4(2) = 8. Por lo tnto, l función Lgrngen tiene un punto crítico en: x* = 8, * = 2. Ls derivds segunds que necesitmos pr construir l mtriz Hessin mplid son: L, L, L, L = 1, L = 1, L = 1, L = 4 λλ xx x x λx λ mner que l mtriz Hessin mplid es:. De H = El determinnte H 3 = 8> 0 Conclusión: El punto crítico (8,2) es un máximo de l función f ( x, con l restricción del problem. = cumple 4

5 2. Minimizr z= f ( x, = ( x con l restricción g x, = x+ 4=16 En este problem l función objetivo es el negtivo de l función objetivo del problem nterior. Por lo tnto l solución es similr. Dejmos l estudinte l resolución del punto crítico demostrr que se trt de un mínimo. 5

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