Rentas Ciertas MATEMÁTICA FINANCIERA. Rentas Ciertas: Ejemplo. Rentas Ciertas. Ejemplo (1) C C C C C

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1 Rentas Ciertas MATEMÁTICA FINANCIERA RENTAS CIERTAS I Luis Alcalá UNSL Segundo Cuatrimeste 06 A partir de ahora, utilizaremos capitalización compuesta como ley financiera por defecto, salvo que expĺıcitamente se diga lo contrario. El siguiente ejemplo muestra la situación típica que deseamos analizar Ejemplo ) Se obtiene de un banco un préstamo por $5.000 a pagar en 0 años, en cuotas mensuales consecutivas e iguales, pagando la primera dentro de un mes. Si el banco nos cobra una TEM del 0,34 %, cuál es el monto de la cuota mensual que debemos pagar? Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera - 06 / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera - 06 / 34 Rentas Ciertas Rentas Ciertas: Ejemplo = 0 k= C + 0, 0034) k En todo préstamo el total a pagar debe ser financieramente equivalente al desembolso del préstamo $5.000 = C + 0, 0034) + C + 0, 0034) + + C + 0, 0034) 0 de donde podemos despejar C Es claro que sería útil disponer de una fórmula para calcular C C C C C Hoy + 0, 0034) + + 0, 0034) , 0034) 0 que no sea realizar los 0 cocientes y luego sumarlos). La situación del ejemplo es bastante frecuente en la actividad económica: sueldos, alquileres, seguros, préstamos, servicios, etc. Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

2 Rentas Ciertas Valor Actual y Valor Final Definición Una renta finita) es una sucesión de n capitales C, C,..., C n, llamados términos, disponibles a los momentos t < t < < t n estamos asumiendo que n es un entero positivo). Capitalización C C C 3 C 4 C n C n VF t f ) De una renta típicamente nos interesa calcular VAt o ), su valor actual a un momento t o dado, y VF t f ), su valor final a un momento t f dado, con t o t t t 3 t 4 t n t n t f t o t < < t n t f VA t o ) Actualización Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Valor Actual Valor Final Definición Dada una tasa de interés p-períodica i p), el valor actual al momento t o ) de una renta de n capitales C, C,..., C n disponibles en los momentos t < t < < t n usando p-períodos para medir el tiempo), es igual a la suma de los valores actuales al momento t o de cada uno de los términos que componen la renta VA t o ) = = k= k= + i p)) t o t k + i p) ) t k t o ) Definición El valor final de una renta compuesta por una sucesión de n capitales C,..., C n al momento t f es igual a la suma de los valores capitalizados al momento t f ) de cada uno de sus términos. VF t f ) = + i p)) t f t k ) k= En este caso todas las diferencias t f t k, con k {,..., n}, son no negativas. ya que todas las diferencias t o t k, con k {,..., n}, son no positivas. Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

3 Valor Actual y Valor Final Valor Actual y Valor Final Al capitalizar el valor actual VA t o ) de una renta durante t f t o ) p-períodos a la tasa p-periódica i p) obtenemos el valor final de la renta VF t f ). VAt o ) + i p)) t f t o ) = + i p)) t o t k + i p)) t f t o k= = = k= k= = VF t f ) + i p)) t o t k + i p)) t f t o + i p)) t f t k Obviamente, si actualizamos VF t f ) por t f t o ) p-períodos obtendremos el valor actual VF t f ) + i p) ) t f t o = VAt o ) Observación Una notación más precisa para el Valor Actual podría ser VA t o, t,..., t n ; C,..., C n ; n, i p)) = k= + i p)) t o t k pero, como los valores de t,..., t n, C,..., C n, n, i p) serán claros del contexto, preferimos usar simplemente VA t o ). Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Rentas Constantes Rentas Constantes Consideremos una renta de n términos a una tasa p-periódica i p). Analizaremos el caso donde todos los términos capitales) de la renta son iguales C = C = = C n = C, que se denominan rentas constantes. En este caso, la fórmula general ) se puede reescribir como VA t o ) = C k= + i p) ) t k t o 3) VA t o ) t o Actualización C C C C C 3 n n Si consideramos que la sucesión temporal de las imposiciones tiene un paso constante unitario de un p-período t k+ t k = p-período, para k n Luego la ecuación 3) toma la forma VA t o ) = C k= + i p) ) t k t o = C k= + i p) ) t +k t o 4) Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera - 06 / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera - 06 / 34

4 El valor actual corresponde calcularlo un período de tiempo antes de la imposición del primer capital: t o = t El compromiso asumido en la operación financiera comienza en t o. El valor final, por otro lado, corresponde calcularlo al mismo momento de la imposición del último capital, ya que en ese momento términa el compromiso asumido: t f = t n Comenzaremos analizando la situación t o = 0, por lo tanto t =, t =,..., t n = n En este caso la ecuación 4) toma la forma VA 0) = C k= + i p) ) k. El problema se reduce a encontrar un fórmula cerrada para la expresión ) + i p) k. 5) k= Dado que 5) es una serie geométrica, k= ) + i p) k = n + i p) ) k=0 + i p) k = + i p)) n i p) Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Ahora podemos dar la fórmula para calcular el valor actual de una renta constante vencida o pospagable) de n términos, de monto C, a una tasa i p), que comienza en el momento 0 y termina en el momento n: + i p) ) n VA 0) = C 6) A partir de 6) podemos obtener una expresión para el valor final de una renta vencida al momento t f = t n = n VF n) = VA 0) + i p)) n + i p) ) n = C 7) i p) i p) Terminemos de resolver el Ejemplo ) Todos los meses, por los próximos 0 años, debemos pagar $.70,3 pues C = + 0, 0034) + + 0, 0034) , 0034) 0 = , 0034) 0 =.70, 3 0, 0034 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

5 Ejemplo ) Un programa de televisión anuncia un premio de $ , consistente un sueldo fijo a mes vencido de $.500 mensuales durante 0 años. El premio es realmente de $ ? Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85 % mensual, qué preferiría, el esquema de sueldos o $ en efectivo? El valor actual de este esquema es: + 0, 0085) 0 VAhoy) =.500 = 87.60, 6 0, 0085 Esto nos dice que el premio hoy vale $87.60,6, y por lo tanto si hoy nos ofrecen $ en efectivo, deberíamos aceptarlos Ejemplo, cont.) Si ud toma los $ del premio y los deposita al 0,85 % mensual, Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $.500? En este caso, conocidos VA0), C, i p), en la expresión C = VA 0) i p) + i p)) n deseamos hallar n. Por lo tanto, C VA 0) i p) = C + i p)) n log C VA0)i p)) = log C n log + i p)) Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Entonces, se obtiene En particular n = n = log C log C VA 0) i p)) log + i p)) 8) log.500 log , 0085) log + 0, 0085) = 34, 6 Por lo que podriamos retirar $.500 por 34 meses años y dos meses), y al finalizar aún nos sobraría un poco de dinero en la cuenta Cuánto?). Ejemplo 3) Don Máximo puede ahorrar al final de cada mes $700. La tasa que puede conseguir es del 0,75 % mensual. Cuál es el monto acumulado del que dispondrá Don Máximo al cabo de 3 años? En este caso debemos hallar el valor final de una renta constante de $700 por un período de 36 meses: + 0, 0075) 36 VF 36) = 700 = 700 4, 576 = 8.806, Nótese que por cada peso ahorrado Don Máximo obtiene, en promedio, $4,57 al final de los 3 años. Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

6 Los ejemplos anteriores muestran por qué los factores de actualización y de capitalización + i p)) n i p) suelen ser llamados multiplicadores. y + i p) ) n Estos multiplicadores representan el valor actual VA0) y el valor final VF n), respectivamente, de una renta unitaria C = ), de n términos consecutivos con paso unitario p-periódico iniciada al momento y finalizada al momento n) a una tasa p-periódica i p). i p) De esta manera, el valor actual y el valor final de cualquier renta constante de término C se calcula mutiplicando C por el multiplicador correspondiente. Ejemplo 4) Ud desea comprarse un Smart TV de 64. Cuánto debe ahorrar como mínimo cada mes, durante los próximos 3 años, si el Smart TV cuesta $6.000 y la tasa que ud puede conseguir es del 0,4 % mensual? En este caso, tenemos una renta de la que conocemos una cota inferior para el valor final y queremos determinar el valor de los términos C + i p) ) n VF n) = C de donde debemos despejar C i p) C = VF n) ) i p) + i p) n ) + i p) n i p) 9) Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera - 06 / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera - 06 / 34 Por lo tanto, en nuestro caso 0, 004 C , 004) 36 = 67, 9079 Por lo que debemos ahorrar cada mes al menos $67,9. Ejemplo 5) Suponga que ud. puede ahorrar $550 cada mes, y los puede depositar a un 0,37 % mensual. Cuánto tiempo deberá ahorrar para poder comprarse un auto que cuesta $3.000? En este caso, conocemos una cota inferior para el valor final de la renta y queremos un n tal que + i p) ) n VF n) = C. i p) Despejemos n de la igualdad VF n) = C + i p)) n /i p) de donde obtenemos logvf n) i p) + C) = log C + n log + i p) ) n = log VF n) i p) + C ) log C log + i p)) 0) En particular, si realizamos el despeje de n partiendo de la desigualdad n log ) log550) log ) Es decir, necesitamos ahorrar al menos 53 meses. = 5, 796 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

7 Ejemplo 6) Ud. esta ahorrando $50 al final de cada mes para su jubilación. En este momento tiene 30 años y espera jubilarse a los 65 años. Después de retirarse, espera vivir hasta los 85 años. Cuánto podrá retirar cada mes del banco una vez que se jubile, si este le paga una TNA del 6, % mensual)? En este problema tenemos dos rentas relacionadas: el valor final de la primera es el valor actual de la segunda. Comenzaremos calculando el valor final de la primera renta o renta de ahorro VF ahorro = ,06 ) 35 0,06 = , 9 Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación VF ahorro = VA jubilación. Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Esta igualdad se da a los 40 meses dentro de 35 años, es decir cuando tenga 65 años). La segunda renta comienza en el período 4 y termina en el período 660, por lo que el número de términos es Ahora de donde = 40 = , 9 = VA jubilación = C jubilación C jubilación = $.75, ,06 0,06 ) 0 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Ahora vamos a estudiar el comportamiento de los multiplicadores de valor actual y valor final + i p)) n i p) y + i p) ) n En particular, vamos a demostrar que ambos son crecientes en n y monótonos en i p) el primero es decreciente y el segundo creciente) Estas fórmulas son válidas para i p) 0, pero aplicando la regla de L Hospital, tenemos que + i p)) n ĺım i p) 0 i p) = ĺım i p) 0 i p) n + i p)) n = n Entonces, una definición más precisa del multiplicador del valor actual sería + i p)) n ) i= + i p) k = i p) si i p) 0 n si i p) = 0 Una observación similar vale para el multiplicador del valor final + i p)) k + i p) ) n = i i= p) si i p) 0 n si i p) = 0 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

8 De aquí en más consideraremos tasas positivas i p) > 0. Bajo este supuesto, es evidente que para n + i p)) n i p) < n < + i p) ) n Cada término del factor de actualización es menor que uno, por lo tanto + i p)) n i p) = ) + i p) k < n Por otro lado, cada término del factor de capitalización es mayor que uno, entonces la suma + i p) ) n i p) = i= k= i p) + i p)) k > n Para un n fijo también es evidente, desde un punto de vista financiero, que el factor de actualización es estrictamente decreciente en i p) Si tomamos i p) < i p), entonces + i p) i p) ) n > + i p) ya que para cada k n, se cumple que + i p) ) k > + i p) i p) ) k, ) n entonces la suma de todos los términos también cumple la desigualdad, Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Rentas Adelantadas o Prepagables Por otro lado, fijando n, el factor de capitalización es estrictamente creciente en i p) Si i p) < i p), entonces ) + i p) n < i p) + i p) i p) ) n. La demostración de esta propiedad queda como ejercicio. Por último, para un valor de i p) dado, ambos multiplicadores son funciones estrictamente crecientes de n, simplemente porque sumamos más términos Las rentas vencidas o pospagables no describen de manera satisfactoria el flujo de fondos que se origina en operaciones financieras como los alquileres o seguros se paga el alquiler y luego se ocupa el inmueble; con los seguros ocurre lo mismo: el compromiso comienza al momento de realizarse el primer pago y se extiende un período más allá del último pago El valor actual de la renta resulta natural calcularlo al momento que se impone el primer capital, que es el momento en el cual se inicia la operación. El valor final de la renta debe ser calculado un período después del pago del último término. Se denominan rentas adelantadas o prepagables a aquellas rentas cuyas imposiciones se realizan al principio de cada período Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

9 Rentas Adelantadas o Prepagables Dada una renta prepagable constante de n términos iguales a C disponibles en los momentos 0,,,..., n p-períodos) y una tasa p-periódica i p) es claro que Por lo tanto, VA prepagable 0) = VA pospagable 0) + i p) ) VA prepagable 0) = C Para el valor final tenemos que + i p) ) n + i p) ) ) i p) VF prepagable n) = VF postpagable n) + i p) ) + i p) ) n = C + i p) ) ) i p) Rentas Adelantadas o Prepagables Ejemplo 6) Una empresa de seguros nos cobra una prima de $85 por mes por un seguro contra todo riesgo para automotores. Sabiendo que el valor actual de un año de seguro se corresponde con el 5 % del valor del vehículo, calcular el precio del vehículo. Suponer una TNA del 8,3 % mensual). Para hallar el valor del vehículo, calculamos el valor actual de la renta prepagable ) + 0,083 ) VA prepagable 0) = ,083 =.08, 75 0,083 Por lo tanto, el automóvil vale: $.08, = $4.74, 95 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34 Luis Alcalá UNSL) RENTAS CIERTAS I Mat. Financiera / 34

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