Divisibilidad. Rafael F. Isaacs G. * Fecha: 14 de abril de 2005

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1 Divisibilidad Rafael F. Isaacs G. * Fecha: 14 de abril de 2005 El máximo común divisor La relación n divide a m tiene sentido cuando n y m son enteros o naturales, pero no para fraccionarios o reales (por qué?). En la sección 4 vimos la forma de demostrar las propiedades mas elementales sobre esta relación, propiedades que resumimos a continuación utilizando la notación n m, también introducida en esa sección. Propiedades de la relación n divide a m. Siendo a, b, c enteros no nulos se tiene: 1. a 0 y 1 a 2. a a 3. Si a b y b c entonces a c. 4. Si a b y b a entonces a = b. 5. Si a b y a c entonces para cualesquier enteros x, y se tiene que a (xb + yc) 6. Si a b entonces a b. En base a estas propiedades desarrollaremos el concepto de máximo común divisor de dos enteros a y b (no nulos). En aritmética elemental se conocen algoritmos para encontrar el máximo común divisor de dos enteros y se entiende que por ejemplo el máximo común divisor de 9 y 12 es 3, ya que de los divisores positivos comunes de 9 y 12 el mayor es 3. Nosotros nos basaremos en la siguiente definición: Definición 1. Dados dos enteros a, b ninguno nulo, Máximo Común Divisor de a y b que notaremos (a, b), ser el entero positivo c tal que: i) c a y c b. ii) Si x a y x b entonces x c. La condición i) nos indica que c debe ser un común divisor y la condición ii) no señala que es el máximo. En los ejercicios 4 y 5 se da una necesaria discusión sobre esta definición. La siguiente proposición nos permite hablar del m.c.d. de tres o mas números. * UIS 1

2 Proposición 1. ((a, b), c) = (a, (b, c)) Demostración. Sean d = (a, b), e = (b, c), f = (a, e) y g = (d, c) debemos demostrar que g = f. Por ser g = (d, c) entonces g d y g c. Por ser d = (a, b) y g d tenemos que d a y d b o sea se tiene que g divide a a, b y c. Pero si g divide a b y a c entonces g debe dividir a e = (b, c) y como también divide a a entonces g f. De manera similar se ve que f g lo que implica que g = kf, pero como ambos son positivos concluimos que g = f. Para hallar (n, m) un método muy antiguo, llamado el algoritmo de Euclides, consiste en hacer divisiones sucesivas, como mostraremos en el siguiente ejemplo para enseguida formalizar: Ejemplo 1. Para hallar (32, 18) dividimos 32 entre 18 y obtenemos como residuo 14, luego dividimos 18 entre 14 obteniendo como residuo 4, enseguida dividimos 14 entre 4 y obtenemos residuo 2, y al dividir 4 entre 2 obtenemos residuo 0. Como 2 es el último residuo no nulo, 2 es el máximo común divisor de 32 y 18. Dividendo Divisor Residuo (32,18) Cuadro 1: Divisiones sucesivas para encontrar (32, 18) según el algoritmo euclidiano. Proposición 2. (Algoritmo Euclidiano) Si a y b son enteros positivos por el algoritmo de la división (Propiedad 6-1 Capítulo 1) podemos encontrar r 1,..., r k y q 1,..., q k+1 tales que: a = bq 1 + r 1 0 < r 1 < b = r 0 b = r 1 q 2 + r 2 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 0 < r 3 < r 2. r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1 r k 2 = r k 1 q k + r k r k 1 = r k q k+1. 0 < r k 1 < r k 2 0 < r k < r k 1 (1) de esta forma, el último residuo no nulo r k, es el máximo común divisor de a y b. Demostración. Vamos a proceder por inducción sobre k, que es el número de pasos que hay en el proceso. Notemos que el proceso se detiene cuando r k+1 = 0 pues no se puede hacer la siguiente división. i) Si k = 0 o sea el primer residuo r 1 es 0, entonces a es múltiplo de b y por tanto (ejercicio 2) el máximo común divisor es b. 2

3 ii) Supongamos que se tiene demostrado cuando hay sólo k 1 residuos, entonces empecemos el proceso en la segunda ecuación de (1) o sea en b = r 1 q 1 + r 2. Partiendo de esta ecuación hasta llegar a la última tenemos k 1 residuos no nulos, entonces por hipótesis de inducción podemos decir que r k = (b 1, r 1 ). Tenemos: 1. r k b y r k r 1 2. x b y x r 1 x r k. Como r 0 > r 1 >... > 0 entonces algún r k+1 debe ser cero, esto nos garantiza que el proceso descrito en (1) es finito. Pero a = bq 1 + r 1 entonces r k a y tenemos que i) r k a y r k b. Ahora bien, si x a y x b entonces x a bq 1 o sea x r 1 y por ii) tenemos que x r k, por tanto: ii) Si x a y x b entonces x r k. i) e ii) nos garantizan que (a, b) = r k con lo cual queda demostrada la proposición. Corolario. Si a y b son enteros, un número de la forma αa + βb con α, β Z es una combinación lineal de a y b. La menor combinación lineal positiva de dos enteros no nulos es el máximo común divisor. Ejemplo 2. Para expresar (32, 18) como combinación lineal de 32 y 18 podemos recurrir al algoritmo euclidiano pero en sentido inverso. Según este (tabla 1) tendríamos: 32 = = = = 2 2 (2) Entonces de la penúltima ecuación tenemos: 2 = Pero 4 = entonces 2 = 14 ( ), 3 = y como 14 = entonces 2 = (32 18) = (18) ( 7) y hemos encontrado α = 4 y β = 7 tal que 2 = (32, 18) = 32α + 18α. Este proceso es el que utilizamos para la demostración general. Demostración. Nótese primero que si x es combinación lineal de n y m, y a la vez m es combinación lineal de n y m, entonces x es combinación lineal de n y m (ejercicio 6). Por esta razón y según las ecuaciones de (1) vemos que r k es combinación lineal de r k 1 y r k 2 y a la vez r k 1 es combinación lineal de r k 2 y r k 3 entonces r k es combinación lineal de r k 2 y r k 3. Por este proceso vamos subiendo hasta llegar a que r k es combinación lineal de r 1 y b, pero como r 1 es combinación lineal de a y b; vemos que r k, el máximo común divisor, es combinación lineal de a y b. Por otra parte, el máximo común divisor divide a a y divide a b y por tanto a cualquier combinación lineal de a y b y se deduce que es la menor de todas las combinaciones lineales positivas de a y b. Definición 2. a y b se llaman primos relativos si y sólo si (a, b) = 1. 3

4 Proposición 3. (Lema de Euclides) Supongamos que a y b son primos relativos y que a bc entonces a c. Demostración. Como (a, b) = 1, según el corolario anterior existen α, β Z, tales que 1 = αa + βb multiplicado por c a ambos lados obtenemos que c = αac + βbc, como a bc y a ac entonces a c. El siguiente resultado, cuya demostración se deja como ejercicio al lector, establece un método muy usado para construir el máximo común divisor de dos números: Se descomponen en factores primos y se escogen aquellos factores comunes con su menor exponente. Proposición 4. Si las descomposiciones en factores primos de a y b son: y a = p α 1 1 p α p αn n b = p β 1 1 p β p β n n entonces el máximo común divisor de a y b, (a, b) tiene como descomposición en factores primos p γ 1 1 p γ p γ n n donde γ i es el mínimo entre α i y β i. Ejercicios 1. Encontrar el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros. Expresarlo como combinación lineal de los dos números: a) 52, 38 b) 81, 110 c) 320, 112 d) 7469, Demuestre que (a, ka) = a (con a > 0) y que (1, a) = 1 3. Demuestre que la definición 1 es una buena definición. Es decir, que si dos números c y c cumplen la definición se debe tener c = c. 4. El máximo común divisor de a y b se puede definir como aquel entero c tal que: i) c a y c b. ii) x a y x b implica x < c. Demostrar que esta definición es equivalente a la definición 1 (para esto, suponga que c cumple la definición 1 y que c cumple la anterior definición y deduzca que c = c). 5. Demostrar que (a, b) = (a, b + ka) para todo k. 6. Si x es combinación lineal de n y m, y a la vez m es combinación lineal de n y m entonces x es combinación lineal de n y m. 7. Demostrar que a y b son primos relativos si 1 se puede expresar como combinación lineal de a y b. 4

5 8. Si m es un entero positivo, demostrar que (ma, mb) = m(a, b). 9. Demostrar que si p es un número primo y a es un entero entonces o (a, p) = 1 o (a, p) = p. 10. Si p y q son primos distintos entonces (p, q) = Probar que (a, bc) = 1 si y solo si (a, b) = 1 y (a, c) = Si x = yz + t, probar que (x, z) = (z, t). 13. Si a y b son primos relativos y c pertenece a los enteros positivos entonces: i) existen α y β tales 1 = αa + βb. ii) (a b, a + b) es 1 o 2. iii) Si a bc entonces a c. iv) Si a c y b c entonces ab c. v) (c, ab) = (c, a)(c, b). 14. Cómo es (a 2 + b 2, a + b) sabiendo que (a, b) = 1? 15. Pruebe que si a es par y b es impar entonces (a, b) = ( a 2, b). 16. Probar que si c ab entonces c (a, c)(b, c). 17. a) Supóngase que (a, b) = 1. Pruebe por inducción que (a n, b) = 1 (Utilice el resultado del problema 11). b) Demuestre que si (a, b) = 1 entonces (a n, b n ) = 1. c) Usando b) demostrar que si a y b son enteros tales que a n b n entonces a b. 18. Si d = (a, b), a = a d y b = b d, demostrar que (a, b ) = Demostrar la proposición 4 (utilice los resultados del ejercicio 17 de la sección 6). 20. Demuestre que el corolario de la proposición 2 implica lo siguiente: Si los múltiplos de a se marcan en rojo sobre una recta y los múltiplos de b en verde donde a y b son enteros positivos cuyo máximo común divisor es g, entonces g será la distancia más corta de cualquier punto verde a cualquier otro rojo. 21. Supóngase que a y c son dos fracciones reducidas a su expresión más simple ((a, b) = b d (c, d) = 1). Demostrar que si a + c = ad+bc es un entero entonces b = d o b = d. b d bd 22. En base a la proposición 4 demostrar que si dos números a y b son primos relativos y su producto es un cuadrado, entonces cada uno es un cuadrado perfecto. Deducir esta misma proposición del resultado establecido en el ejercicio Definir formalmente mínimo común múltiplo. Demostrar que éste se puede obtener multiplicando los dos números y dividiendo el producto por el máximo común divisor. Demostrar finalmente que también se puede obtener descomponiendo en factores primos y formando el producto de todos los primos cada uno con su mayor exponente. 5

6 24. Definir recursivamente el máximo común divisor de n números. Definir recursivamente combinación lineal de n números. Demostrar que el máximo común divisor de n números es la menor combinación lineal positiva de estos n números. 25. Formalizar la demostración dada para el colorario de esta sección procediendo por inducción sobre k. 26. a) Demostrar que si b y c son enteros positivos tales que bc es un cuadrado perfecto y (b, c) = 1 entonces ambos b y c son cuadrados perfectos. b) En base a la anterior demuestre que no existen enteros a y b tales que a 2 = 2b 2 (esto demuestra que raíz de dos no es racional!). c) Probar que no existen enteros no nulos a y b tales que a 2 = 3b 2. d) Si n es un entero positivo que no es cuadrado perfecto probar que no existen enteros no nulos a y b tales a 2 = nb 2. ECUACIONES LINEALES DIOFANTINAS Un problema adivinanza típico es el siguiente: María compra pollos a $50 y patos a $70, con un costo total de $530 Cuántos pollos y cuántos patos compró? Haciendo x el número de pollos e y el número de patos tenemos la ecuación que es equivalente a 50x + 70y = 530 5x + 7y = 53 (3) Es claro que la solución x e y deben ser enteras y positivas, pues no se conciben respuestas como 3 de pollos y 85 de patos ni tampoco ( 3) pollos. Ecuaciones como éstas en que las 4 9 soluciones deben ser enteras se denominan Ecuaciones diofantinas en honor a Diofantus (S. III D.C.), matemático de la segunda escuela alejandrina y que es considerado pionero del álgebra y la teoría de números. En su aritmética Diofantus da recetas para resolver éstas y otras ecuaciones. Es claro que la teoría de números es el estudio de ecuaciones diofantinas en gran parte, así pues el Ultimo Teorema de Fermat establece la imposibilidad de resolución de ciertas ecuaciones diofantinas. Por ahora, vamos a trabajar con algunas ecuaciones lineales diofantinas, como la ecuación (3). Con los elementos que tenemos sobre máximo común divisor podemos justificar el procedimiento que se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 3. Sabemos que (5, 7) = 1; existe, según el corolario de la sección anterior, una solución a la ecuación 5α + 7β = 1 Sea esta α = 3 y β = 2. Podemos entonces conocer una solución entera para la ecuación (3) a saber: x 0 = 53α = 159, y 0 = 53β = 106 Hay otras soluciones a la ecuación? Supongamos que x, y es otra solución, cómo es? Tendríamos 5x + 7y = 53, Restando estas dos ecuaciones tenemos: 5x 0 + 7y 0 = 53 5(x x 0 ) = 7(y 0 y) (4) 6

7 Como (5, 7) = 1 y se tiene 5 7(y 0 y). El Lema de Euclides (proposición 3 de la sección anterior) nos permite deducir que es decir que para algún t entero de donde tenemos que 5 (y 0 y) 5t = y 0 y y = y 0 5t = 106 5t Para encontrar los valores de x reemplazamos (y 0 y) en (4) por 5t y obtenemos: de donde o sea que Tenemos entonces que: 5(x x 0 ) = 7 5t x x 0 = 7t x = 7t + x 0 = t. x = t y = ( t) Dando valores a t, obtenemos soluciones para la ecuación 3 así para t = 0, 1, 2, 3... se tiene x = 159, 166, 173, 180y = 106, 111, 116, 121. Ya habíamos dicho que nos interesan sólo las soluciones positivas. Cuáles t hacen a x e y positivos? Según (5) tendríamos: t > 0 y 106 5t > 0 desigualdades que al despejar t nos indican: t > y t < o sea que t debe estar entre 22,7 y 21,2 y el único valor entero posible para t será t = 22 por lo tanto las únicas soluciones positivas son: x = 5, y = 4 Este proceso es general y lo formalizamos en el siguiente resultado. Proposición 5. Sean a, b, c enteros no nulos, la ecuación tiene solución si y solo si (a, b) c (5) ax + by = c (6) Demostración. Esto es una consecuencia del corolario de la sección anterior. En el ejercicio se pide encontrar la forma general de las soluciones a la ecuación (6) cuando estas existen. El método utilizado en el ejemplo 3 se puede expandir a ecuaciones con más de dos variables como veremos enseguida. 7

8 Ejemplo 4. Supongamos que queremos encontrar: como (5, 7) = 1 por la proposición 5 tenemos que la ecuación 5x + 7y 10z = 12 (7) 5x + 7y = u (8) siempre tiene solución para cualquier u entero, debemos resolver entonces, reemplazando u en 7: u 10z = 12 que tiene solución particular u 0 = 22 y z 0 = 1 y por el método del ejemplo anterior vemos que u = s y z = 1 + s entonces la ecuación (8) queda: 5x + 7y = s(7) como para s = 0, tenemos u = 22, z = 1, resolviendo (7) para s = 0 obtenemos que x 0 = 3, y 0 = 1, z 0 = 1 es una solución particular de (5), y de (7) podemos plantear 5(x 2s)+7y = 22 que nos dan las soluciones para (5) que estamos buscando: x 2s = 3+7t o sea x = 3+7t+2s y = 1 5tz = 1 + s al hacer variar t y s obtenemos todas las soluciones posibles enteras. La existencia de soluciones para ecuaciones diofantinas de más de dos variables se establece en el resultado siguiente: Proposición 6. La ecuación diofantina a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a 1, a 2,..., a n divide a c. Demostración. Procedemos por inducción para n. i) Para n = 2 la proposición 1 nos garantiza el resultado. ii) Supongamos que el resultado se tiene para n = k y queremos probarlo para n = k + 1. Si tenemos: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c (9) Sea d el máximo común divisor de a 1, a 2,..., a k ; sabemos por hipótesis de inducción que la ecuación a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c tiene solución única y exclusivamente cuando d c, o sea cuando c = d x. Ahora por la proposición 5 la ecuación a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c tiene solución si y sólo si (d, a k+1 ) c que es lo mismo que exigir que el máximo común divisor de a 1, a 2,..., a k+1 divide a c. PREGUNTAS Y EJERCICIOS 1. Determinar una solución general de las ecuaciones lineales diofantinas: 8

9 a) 23x + 37y = 17 b) 2072x+1813y= En el plano señalar los puntos enteros de las rectas 3x 2y = 2 y 3x 2y = Determinar todas las soluciones de 19x + 20y = 1909 con x > 0 y y > Sean m y n enteros diferentes. Cuántos fraccionarios con denominador n o m hay entre 1 y 0? Cuál es la menor distancia entre dos fracciones de éstas? 5. Encontrar una solución general para la ecuación 1321x y z = Cuando el Señor González en 1911 cambió su cheque por x pesos con y centavos, el cajero se equivocó y pagó y pesos con x centavos. El Señor González recibió el doble de la cantidad mas dos centavos. De cuánto era el cheque? 7. Encontrar la forma general de las soluciones a la ecuación (6) cuando éstas existen. 8. Qué tan separados están los puntos enteros de la recta 7x + 5y = Demostrar que cuando (a, b) = 1 entonces ab < 0 si y sólo si existe un número infinito de soluciones positivas (x > 0, y > 0) para la ecuación ax + by = c. 10. Resolver en forma general los siguientes sistemas de ecuaciones para x, y, z enteros. a) 2x + 3y + z = 25 b) 12x + 16y 4z = 4 c) 4x + 6y 2z = 12 d) 7x + y + z = Determinar las condiciones necesarias y suficientes para que las ecuaciones ax+by+cz = d y a x + b y + c z = d tengan soluciones en enteros. Exhibir un método general para encontrar la forma general de las soluciones. La Relación de Congruencia entre enteros. Con base en los resultados obtenidos en la sección 8 desarrollaremos una notación muy útil dentro de la teoría de números, notación introducida por Gauss. Definición 3. Siempre que m (a b) diremos que a es congruente con b módulo m y se notar a b (mód m)) (sólo se exige que m sea diferente de 0). Esta notación puede interpretarse como que a y b al dividirse por m tienen el mismo residuo. En efecto, si a y b tiene el mismo residuo al dividirse por m se tiene: y a = k 1 m + r b = k 2 m + r que implica (a b) = (k 1 k 1 )m, o sea que, m (a b). 9

10 Por otra parte, como 0 es el único múltiplo de m que está entre m y m si a b aplicando algoritmo de la división tendremos (mód m), a = q 1 + r 1 ; b = q 2 + r 2 con 0 < r 1 < m y 0 < r 2 < m; por tanto m (a b) y (a b) = (q 1 q 2 )m + (r 1 r 2 ) se sigue que m (r 1 r 2 ) pero r 1 r 2 debe estar entre m y m por tanto, r 1 r 2 = 0 o sea los residuos r 1 y r 2 deben ser iguales. Hemos demostrado la siguientes caracterización. Proposición 7. a b m. (mód m) si y sólo si a y b tienen el mismo residuo al dividirlos por Ejemplo 5. Según el algoritmo de la división al dividir por 4 se puede obtener un único residuo entre 0 y 3 y por lo tanto un número debe ser de una única forma: 4n, 4n+1, kn+2 o 4n + 3. Esto nos ayuda a demostrar, por ejemplo, que todo número cuadrado es un múltiplo de 4 o es de la forma 4n + 1 (Proposición 2 sección 6). Los números de la forma 4n, los múltiplos de 4, son congruentes entre sí, módulo 4. Los de la forma 4n + 1, por ejemplo 41 y l009, son congruentes entre sí todos. Lo mismo sucede con los de la forma 4n + 2 y por su lado con los de la forma 4n + 3. Hacer congruencias módulo 4 es pues, formar los números enteros en grupos como se ve en la tabla Cuadro 2: Los números de cada fila son congruentes entre si módulo 4. En estos grupos que se forman, la relación de congruencia módulo 4 hace el papel de igualdad. Esto nos garantiza en forma general el siguiente resultado. Proposición 8. La relación ser congruente pmodm es una relación de equivalencia en los enteros, es decir, se cumplen las siguientes leyes: Reflexiva : Siempre a a (mód m). Simétrica : Si a b (mód m) b a (mód m). Transitiva : Si a b (mód m) y b c (mód m) ac (mód m). Demostración. A manera de ilustración hacemos la demostración de la simetría. La reflexiva y transitiva quedan a cargo del lector. Simetría: Si a b (mód m) según la definición 3, m b a lo que implica que m (b a) o sea m a b que significa que b a (mód m). Además de ser la relación de congruencia una relación de equivalencia, tiene otra característica que la hace supremamente útil: es compatible con la suma y la multiplicación de enteros. Esto es lo que indica el siguiente resultado. 10

11 Proposición 9. Si a b (mód m) para cualquier c entero se tiene ac bc (mód m) y a + c b + c (mód m). Demostración. Si a b (mód m) por definición m b a entonces m c(b a) y por lo tanto m cb ca lo que indica que ca cb (mód m). Así mismo, si m b a entonces m (b + c) (a + c) por tanto a + c b + c (mód m). Ejemplo 6. Sabemos que 10 1 (mód 9) por la proposición anterior vemos que (mód 9) y aplicando que la relación de congruencia es simétrica y transitiva vemos que: (mód 9) y 10 1 (mód 9) (mód 9) multiplicando por el mismo número 3 vemos que (mód 9) entonces (mód 9) o sea que (mód 9). Resumidamente se ha visto que como 10 1 (mód 9) entonces (3(10) 2 + 1) (3(1) 2 + 1) (mód 9). En el ejercicio 10 se pide demostrar que si a+c b+c (mód m) entonces a b (mód m). Esta es una justificación para la ley cancelativa de la suma en congruencia. Se podría esperar tener una ley parecida para el producto pero se puede buscar un contraejemplo rápidamente, así cuando m = 24 se tiene y sin embargo no es cierto que 1 5 (mód 24). La siguiente proposición nos indica cuándo es posible cancelar factores comunes en una congruencia. Proposición 10. Si (m, c) = 1 y ac bc (mód m) entonces a b (mód m). Demostración. Si ac bc (mód m) entonces m (b a)c, como (m, c) = 1 según la última proposición de la sección 8 concluimos que m b a y por lo tanto a b (mód m). Una generalización de este resultado se encuentra en el ejercicio 12. Definición 4. Un conjunto de números {a 0, a 1,..., a m 1 } es un sistema completo de residuos módulo m si en él hay uno y sólo un representante de cada residuo al dividir por m. En otras palabras se deben cumplir dos condiciones: i) i j a i no es congruente con a j (mód m). ii) Para cualquier entero a existe un 0 i < m tal que:a i a (mód m). La primera condición indica que no hay en {a 0, a 1,..., a m 1 } dos números con el mismo residuo, la segunda condición asegura que ahí están todos los residuos posibles. Ejemplo 7. Para buscar un sistema completo de residuos módulo 4, según la figura 1, basta tomar 4 enteros, cada uno de una fila diferente. Así el conjunto {0, 3, 6, 11} es un sistema completo de residuos módulo 4, mientras si tomamos {6, 10, 5, 8} no es un sistema completo de residuos pues 6 10 (mód 4) y además no hay ninguno que tenga residuo 3. Fijemos nuestra atención en el s.c.r. {8, 3, 6, 11} teniendo en cuenta las proposiciones 2 y 3 vemos que: 8+( 3) ( 3) y 6+11 ( 3) y 6+( 3) 11, etc. y así con el producto y ( 3) y , etc. Podemos resumir esto haciendo tablas de multiplicar y sumar tendremos:

12 En este sistema completo de residuos el 8, por ejemplo, representa todos los números que tienen el mismo residuo que él al ser dividido por 4: todos los múltiplos de 4; 3 representa los números de la forma 4n + 1; el 6 los de la forma 4n + 2 y 11 a los de la forma 4n + 3. Un sistema canónico de residuos equivalente al anterior sería {0, 1, 2, 3} en donde las tablas nos quedan: Tablas Nótese que aquí indica que dos números de la forma 4n + 3 multiplicados nos da uno de la forma 4n + 1. Definición 5. Cuando hablemos de la aritmética módulo m nos referiremos a las operaciones entre los números 0, 1, 2,.., (m 1) según la relación de congruencia (mód m). Los cálculos en la aritmética módulo m se hacen como en los números en cuanto se cumplen propiedades como la distributiva, las dos operaciones sin conmutativa y modulativa etc. Sin embargo hay una diferencia importante: la ley cancelativa para el producto es más restringida en la aritmética módulo m según la proposición 10. Por otra parte cuando el módulo es primo podemos hablar de inversos multiplicativos lo cual no sucede en los enteros, donde los únicos que tienen inversos multiplicativos son... Estas propiedades básicas son formalizadas en la siguiente afirmación. Proposición 11. (Propiedad de la aritmética mod. m). i) Ley cancelativa para la suma: a + x a + y x y. ii) Para todo a y b existe un único x tal que: a + x b. iii) Si m es primo para todo a no congruente con 0 y todo b, existe un único x tal que: ax b. iv) Si m es primo para todo a no congruente con 0, todo b y c existe un único 1 x tal que: ax + b c. Demostración. i) Si a + x a + y que m x y o sea que x y (mód m) entonces m (a + x) (a + y) lo que implica (mód m). ii) Vemos primero que para todo a existe ( a) tal que a + ( a) 0. Hágase simplemente ( a) = m a cuando a > 0 y ( 0) = 0. Para resolver la ecuación a + xb (mód m) tómese x b + ( a) (mód m) y se tendrá: a + x a + (b + ( a)) b mod m. 1 Único como residuo, es decir, don soluciones son congruentes módulo m 12

13 iii) Consideremos los residuos 0, a, 2a,..., (m 1)a. Entre estos residuos no pueden existir dos repetidos pues si ia ja como m es primo, (m, a) = 1 y podemos aplicar la proposición 10 obteniendo i j o sea i = j. Esta consideración nos garantiza que entre 0, a, 2a,..., (m 1)a no hay dos residuos iguales y por lo tanto {0, a, 2a,..., (m 1)a} es un sistema completo de residuos módulo m entre los cuales debe estar la clase residual de b, por tanto existe un x tal que ax b (mód m). Tal x es único como residuo,en virtud de la proposición 10. La parte cuatro de la demostración se deja como ejercicio al lector. La demostración de la parte 3, como ya se indicó, es básica y sutil. Su argumento lo resaltamos en la siguiente proposición que ser utilizada mas adelante. Proposición 12. Si a no es congruente con 0 módulo m cuando m es primo, entonces el conjunto {0, a, 2a,..., (m 1)a} es un sistema completo de residuos. Como consecuencias de la proposición 12 encontramos la parte iii) de la proposición 11, así como el Teorema débil de Fermat y el Teorema de Wilson, con los cuales cerramos esta sección. Proposición 13. (Teorema débil de Fermat) Si p es primo y a no es múltiplo de p, entonces: a p 1 1 (mód p) Demostración. Según la proposición 12 los residuos 0, 1, 2, 3,..., (m 1) son exactamente los residuos de a, 2a, 3a,..., (m 1)a; salvo el orden. Por esta razón tenemos: lo cual indica que: (p 1) a 2a... (p 1)a (mód p) (p 1)! (p 1)!a p 1 y como (p 1)! no es múltiplo de p existe según la proposición 11 iii) existe un único x tal que: (p 1)!x (p 1)! (mód p). Por tanto, a p 1 1 (mód p). Proposición 14. (Teorema de Wilson) Si p es primo entonces: (p 1)! 1 (mód p) Demostración. Sabemos que en 0, 1, 2,..., (p 1) están todos los residuos módulo p y además que todo residuo no nulo a tiene su inverso multiplicativo a 1 (ejercicio 23). Cuáles residuos entre 1 y p 1 tienen inverso igual a si mismo, es decir, para qué x se cumple xx 1 (mód p)? Claramente para x 1 y x 1 se tiene. Hay otros? Si p divide a x 2 1, p debe dividir a (x 1)(x + 1) o sea: (x 1)(x + 1) 0 (mód p) pero esto sólo es posible cuando o bien x 1 0 (mód p) o bien x (mód p) (véase ejercicio 15). Esto nos asegura que los únicos residuos que elevados al cuadrado son congruentes con 1 son 1 y 1. O sea que cada uno tiene su inverso multiplicativo diferente salvo el 1 y 1 (o sea m 1). Ahora bien, como p es impar hay p 1 residuos no nulos de los cuales p 3 (salvo el 1 y 1) tienen su inverso diferente, por tanto al multiplicar 2, 3,..., (p 2) tenemos un número par de residuos que se agrupan 2 a dos anulándose todos, por lo tanto (p 2) 1 (mód p) 13

14 y tenemos que (p 1)! 1 (mód p) Para aclarar un poco el proceso seguido en estas últimas demostraciones analicemos un caso concreto. Ejemplo 8. Sea p = 7 y a = 4, según la aritmética módulo p (tabla 3) los elementos 0, 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4 y 6 4 (la fila 5 de la tabla del producto) es un sistema completo de residuos (proposición 10) y por tanto y se tiene lo que implica que (4 1) (4 2) (4 3)... (4 6) (mód 7) como lo asegura el Teorema débil de Fermat ! 6! (mód 7) (mód 7) Tabla para la suma y el producto modulo 7 Por otro lado, según la tabla y 3 5 1, por tanto: que es el teorema de Wilson. Preguntas y Ejercicios 6! = (mód 7) 1. Demostrar que la relación de congruencia es reflexiva y transitiva. 2. Demostrar que si a b (mód m) y c d (mód m) entonces, a+c b+d (mód m). 3. Hacer las tablas de adición y multiplicación módulo 11 y 12 y encontrar todos los residuos x que en cada caso cumplan la ecuación dada: a) 3x 6 (mód 11) b) 3x 6 (mód 12) c) 3x 7 (mód 11) d) 3x 7 (mód 12) e) x 2 1 (mód 11) f ) x 2 8 (mód 12) g) x 2 3 (mód 11) 14

15 4. Qué horas indica el reloj si: a) 29 horas antes indicaba las 11. b) 100 horas antes eran las 2. c) 50 horas después serán las Determine la forma de todos los enteros que cumplen a la vez cada par de congruencias: a) x 3 (mód 7) y x 4 (mód 9) b) x 5 (mód 6) y x 8 (mód 1)2 6. Explicar en términos de congruencias (módulo 4): a) El doble de un impar sumado con un múltiplo de 4 es un número de la forma 4n + 2. b) Un número no primo de la forma 4n+3 tiene al menos un divisor diferente de él, de la forma 4n+3. c) Lo anterior no es cierto si cambio 4n + 3 por 4n Qué se puede concluir de que a 2 b 2 (mód p) cuando p es primo? 8. En la aritmética módulo m se puede hablar de algoritmo de la división? 9. Encontrar todas las triplas (x, y, z) módulo 5, tales que x 2 + y 2 = z Demostrar que si a + b c + b (mód m) entonces a c (mód m). 11. Demostrar que si n es entero positivo impar entonces (n 1) 0 (mód n) 12. Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que x y (mód m) implica que f(x) f(y) (mód m). 13. Sea (m, c) = d y m = dn; si ac bc (mód m) entonces a b(modn). 14. Demostrar que si p es primo x p + y p (x + y) p (mód p). 15. Demostrar que si p es primo ab 0 (mód p) implica a 0 (mód p) o b 0 (mód p). Qué se puede decir si p no es primo? 16. Probar que cuando p es primo impar x p +y p 0 (mód p) implica x p +y p 0(modp 2 ). 17. Siendo p primo a p a (mód p). 18. Encuentre el residuo al dividir por 7: 15

16 a) b) c) d) A qué congruencia de grado inferior a 7 es equivalente la congruencia: 2x x 16 + x x x x 10 + x 9 + 5x 8 + 2x 7 + 3x 5 + 4x 4 + 6x 3 + 4x 2 + x (mód 7)? 20. Probar el teorema débil de Fermat demostrando que ( ) p = ( ) siempre que el número de 1 s sea menor que p. 21. Si a 0, a 1,..., a m 1 es un sistema residual completo módulo m, entonces ka 0, ka 1,..., ka m 1 también lo es. Demostrar que esto se tiene si k es primo relativo con m. 22. Deducir un resultado similar al anterior para los enteros ka 0 + 1, ka 1 + 1,..., ka m Demostrar que si (a, m) = 1 entonces: a) Existe a 1 tal que aa 1 1 (mód m). b) Si ax 0 (mód m) entonces x 0 (mód m). 24. Demostrar que cuando p es primo, si a 0, a 1,..., a n no son múltiplos de p entonces a 0 a 1...a n no es múltiplo de p. 16