UNIDAD 1: NÚMEROS RACIONALES E

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1 Colegio Vizcy º Bchiller UNIDAD : NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

2 Colegio Vizcy º Bchiller NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES. INTRODUCCIÓN Los cojutos de úmeros v mpliádose históricmete medid que surge ctividdes que hce ecesrio su uso. Desde l más rudimetri, cotr, que d lugr los úmeros turles N =,,,,..., psdo por reprtir, que hce ecesrio el cimieto de los úmeros rcioles Q = {/, 0}, comercir co sldos egtivos, que origi el cojuto de los úmeros eteros Z =...,-,-,0,,,... y costruir, comprr, edificr, medir que requiere que el cojuto de úmeros se mplíe de uevo. Actividd:. Costruye u triágulo rectágulo de ctetos y, cuáto mide su hipoteus?. Los úmeros o so u iveto de l humidd, siempre h estdo hí, e el etoro y ls ctividdes que os rode, hciédose otr, pesr del rechzo que h geerdo l existeci de lguos de ellos, como el 0 y -. So sus grfís ls que h experimetdo u evolució somros lo lrgo de l histori, pr respoder ls ecesiddes crecietes e su uso hst lczr l form que tiee e l ctulidd.. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS Números NATURALES: N =,,,,... Números ENTEROS: So los úmeros turles, sus opuestos y 0. Z =..., -, -, 0,,,... Números RACIONALES: Se llm úmero rciol l que puede expresrse como frcció de úmeros eteros. Actividd: Q = /, Z; 0 Su expresió deciml es exct o periódic (pur o mixt).. Defie, co los putes de cursos teriores, qué se etiede por deciml excto o periódico, y escrie cómo se reliz el pso de º deciml frcció y vicevers.. Cuál serí el resultdo de ests opercioes?, 0 0 0, 0

3 EJERCICIOS DE REPASO ) Metlmete decide cuáles de ls siguietes frccioes tiee u expresió deciml exct y cuáles l tiee periódic y comprue si tu deducció es correct ) 9 ) 0 c) d) 9 50 e) 8 ) Cuáts cifrs puede teer como máximo el periodo de? 7 ) Escrie e form de frcció ls siguietes expresioes decimles excts y redúcels, después comprue co l clculdor si está ie: ) 8 5 ) c) 0 7 ) Escrie e form de frcció ls siguietes expresioes decimles periódics, redúcels y comprue que está ie: ) 9.. ) c) d) 7.. 5) Puedes demostrr que,99999 es igul 5? Clcul cuáto vle,5999? ) Reliz ls siguietes opercioes: ) : 5 ) c) 5 5 d) 5 5 e) f) g) : ) Expres cd deciml e form de frcció y clcul ), 7, ),7, 8 c),5 :,5

4 Colegio Vizcy º Bchiller Números IRRACIONALES: Los úmeros irrcioles, l cotrrio que los rcioles, o puede expresrse como cociete de úmeros eteros, luego o puede ser i decimles exctos i periódicos. Por tto, los defiimos como: El cojuto de úmeros cuy expresió deciml tiee ifiits cifrs decimles o periódics. Dicho cojuto se desig co l letr I. So ejemplos de úmeros irrcioles:, π, e... Ddo que o se puede coocer su vlor excto (por eso se desig co letrs o símolos), se suele utilizr proximcioes medite úmeros rcioles cercos. Por ejemplo π, e '78. Números REALES: Es el cojuto formdo por todos los úmeros rcioles e irrcioles. Se desig co l letr R. R=Q I Se represet e l rect rel sigdo cd puto u úmero. Etre cd dos úmeros reles hy ifiitos úmeros reles. Actividd:. Cuál es el úmero rel siguiete? y el terior? So cosecutivos los úmeros reles? R Q I Z - N 8 - π e Actividd: 5. Clsific los siguietes úmeros idicdo cuál es el cojuto (N, Z, Q, R) más pequeño l que perteece: 5, - 7, 0, 5/, 8,, 5,. Clsific los siguietes úmeros e rcioles e irrcioles: )... ) 7 c) d) e) f) g) 0... h) π, ' 7,

5 5

6 Colegio Vizcy º Bchiller. INTERVALOS Y ENTORNOS Los úmeros reles puede represetrse e l rect rel grupdos e itervlos y etoros: - Itervlo ierto:, = x R / < x < ( ) { } - Itervlo cerrdo:, = x R / x [ ] { } - Itervlo semiierto o semicerrdo: [,) = { x R / x < } (,] = { x R / < x } - Itervlos ifiitos:, = x R / x > ( ) { } [, ) = { x R / x } (, ) = { x R / x < } (, ] = { x R / x } - Etoro simétrico de cetro y rdio r: ( r, r) E (,r) = + r + r - Etoro lterl por l izquierd de cetro y rdio r: E (,r) = ( r, ) r - Etoro lterl por l derech de cetro y rdio r: + (, r) E (,r) = + + r 5

7 Colegio Vizcy º Bchiller - Etoro reducido de cetro y rdio r: E * (,r) = ( r, + r) { } r + r [-,] E(,) = (-,) - E * (-,)= (-,)- {- } - - Uió : Se defie l uió de dos cojutos A y B como el cojuto formdo por todos los elemetos de mos cojutos. Se escrie A B. Itersecció: Se defie l itersecció de dos cojutos A y B como el cojuto formdo por los elemetos comues de mos cojutos. Se escrie A B. Ejemplos: ) A =,, B =,, A B =,,,, A B = ) [-,5) (,9) = [-,9) [-,5] (,9) = (,5],, 8 φ ( ] [ ] = (φ sigific cojuto vcío: que o cotiee igú elemeto) 7

8 8

9 5 Números reles y complejos.7. Aproximcioes y errores Recuerd que: E muchs ocsioes es ecesrio hcer proximcioes por motivos prácticos o trjr co úmeros proximdos por etre otros motivos o coocer los vlores exctos. Así por ejemplo, si os pesmos es u áscul y mrc 5 Kg, cuáto pesmos exctmete? No se puede ser, lo máximo que podemos decir es que uestro peso está etre 5 y 5 5 Kg si el error máximo es de 00 g. Error Asoluto Se defie el Error Asoluto (EA) como EA = vlor rel vlor proximdo. Si proximmos tedremos que el EA = = us 7 milloésims. Oserv que si o se cooce el vlor rel, o podemos clculr exctmete el error soluto, pero si proximrlo clculdo u cot del error. Cot del Error Asoluto: Podemos coocer u cot del error soluto teiedo e cuet el orde de proximció, sí, si hemos redodedo e ls diezmilésims (como e el ejemplo) siempre podemos firmr que el EA , es decir, meor o igul que medi uidd del vlor de l cifr de redodeo o 5 uiddes de l siguiete (5 ciemilésims), que es lo mismo. Actividdes resuelts Clcul l cot del error soluto de N 7 EA Y l cot de error de N 00 es EA 50 si supoemos que hemos redodedo e ls cetes. Error Reltivo. Pr comprr errores de distits mgitudes o úmeros se defie el Error Reltivo (ER) como: ER = EA Vlor rel que suele multiplicrse por 00 pr hlr de % de error reltivo. Si o se cooce el vlor rel se sustituye por el vlor proximdo (l difereci ormlmete es pequeñ). Actividdes resuelts Si proximmos ríz de por 7, el error reltivo cometido es: 7 EA 0 00 ER = 0'00 0'00 = % '7 Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Números reles y complejos LirosMreVerde.tk Autor: Jorge Muñoz y Pco Moy Revisor: Ros Mrí Herrer Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF 9

10 Números reles y complejos E ls proximcioes A = 7 co EA 0 05 y B = 970 co EA 5, e cuál estmos cometiedo proporciolmete meor error? Clculmos los errores reltivos: A ER 0' ER 0 8 % 7' 5 B ER ER 0 5 % 970 Es mejor proximció l de B. Cotrol del error cometido Recuerd que: E cd sum o rest el error soluto es l sum de los errores solutos. Por tto puede umetr peligrosmete si hcemos vris sums y rests. Los errores reltivos se sum l multiplicr dos úmeros. Actividdes resuelts Medimos el rdio de u circufereci co u regl milimetrd y mrc 7 0 cm. Queremos clculr el áre del círculo. El error máximo e el rdio es de 0 05 cm luego puede estr etre 95 y Si plicmos l fórmul r pr estos vlores oteemos 5 7 y 5, que so los vlores míimo y máximo. L difereci es y su mitd es que es l cot de error soluto. Decimos que A = 5 9 cm. A ER ' 5'9 0 0 ER % 0'05 r ER ER 0 7 % 7 El rdio teí u cot de 0 7 %, luego hemos perdido precisió. Si opermos co úmeros proximdos, y peor ú, si lo hcemos e repetids ocsioes, los errores se v cumuldo hst el puto de poder hcerse itolerles. Actividdes propuests 8. Redode 5 hst ls décims y hll los errores soluto y reltivo cometidos. 9. Hll u cot del error soluto e ls siguietes proximcioes: ) 5 8 ) 7 c) U lz tiee u error iferior o igul 50 g e sus medids. Usmos es lz pr elorr 5 pquetes de cfé de medio kilogrmo cd uo que so u lote. Determi el peso míimo y máximo del lote. Cuál es l cot del error soluto pr el lote? Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Números reles y complejos LirosMreVerde.tk Autor: Jorge Muñoz y Pco Moy Revisor: Ros Mrí Herrer Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF 0

11 Números reles 5. NOTACION CIENTÍFICA 5.. Defiició L otció cietífic se utiliz pr escriir úmeros muy grdes o muy pequeños. L vetj que tiee sore l otció deciml es que ls cifrs se os d cotds, co lo que el orde de mgitud del úmero es evidete. U úmero puesto e otció cietífic cost de: U prte eter formd por u sol cifr que o es el cero (l de ls uiddes). El resto de ls cifrs sigifictivs puests como prte deciml. U poteci de se 0 que d el orde de mgitud del úmero. N = cd... 0 siedo: su prte eter (solo u cifr) c d su prte deciml 0 L poteci eter de se 0 Si es positivo, el úmero N es grde Y si es egtivo, etoces N es pequeño Ejemplos: 8 0 (= ): Número grde (= 0, ): Número pequeño. 5.. Opercioes co otció cietífic Pr operr co úmeros ddos e otció cietífic se procede de form turl, teiedo e cuet que cd úmero está formdo por dos fctores: l expresió deciml y l poteci de se 0. El producto y el cociete so imeditos, mietrs que l sum y l rest exige preprr los sumdos de modo que teg l mism poteci de se 0 y, sí poder scr fctor comú. Ejemplos: (5 0 ) ( 0 8 ) = (5 ) 0 +8 = 0 0 = ' 0 ( 8) ) (5': ') 0 0'87 0 8'70 8 ' 0 RECUERDA: Pr multiplicr úmeros e otció cietífic, se multiplic ls prtes decimles y se sum los expoetes de l poteci de se 0. Pr dividir úmeros e otció cietífic, se divide ls prtes decimles y se rest los expoetes de l poteci de se 0. Si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr co u sol cifr e l prte eter. Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

12 7 Números reles = = ( ) 0 9 = = = 88 0 RECUERDA: Pr sumr o restr úmeros e otció cietífic, hy que poer los úmeros co l mism poteci de se 0, multiplicdo o dividiedo por potecis de se 0. Se sc fctor comú l poteci de se 0 y después se sum o rest los úmeros decimles queddo u úmero deciml multiplicdo por l poteci de 0. Por último si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr e l prte eter u sol cifr. Actividdes propuests. Clcul: ) ( ) ( 8 0 ) ) (5 0 ) : ( 0 ) 5. Efectú y expres el resultdo e otció cietífic: 5 ) ) 7'5 0 7 ' Reliz ls siguietes opercioes y efectú el resultdo e otció cietífic: ) ( ) ) ( ) Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

13 0 Números reles. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES.. Potecis de expoete rciol Se defie l poteci de expoete frcciorio r/s y se como: Expoetes frcciorios: ( ) / Ls propieddes citds pr ls potecis de expoete etero so válids pr ls potecis de expoetes frcciorios 8 / 8.. Rdicles Se defie ríz sim de u úmero, como el úmero que verific l iguldd =. = Siedo: el ídice, l ctidd surdicl o rdicdo y es l ríz sim de r/s = s r Importte: siempre es positivo. No existe l ríz 5 de u úmero. L rdicció de ídice es l operció ivers de l potecició de expoete. Por l defiició de ríz ésim de u úmero se verific que si es ríz, etoces: = Oserv que se puede defiir: / = y que: ( / ) = (/) = =. Como / stisfce l mism propiedd que dee ser cosiderdos como el mismo úmero. Ejemplos: (8) 5 / 8 5 ( ) () / Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

14 Números reles.. Propieddes de los rdicles Ls propieddes de ls potecis eucids teriormete pr el cso de expoetes frcciorios, tmié se puede plicr ls ríces: ) Si multiplicmos el ídice de u ríz por u úmero p, y l vez elevmos el rdicdo ese úmero p el vlor de l ríz o vrí. Se verific p 0 que:. p p. Demostrció:. p p p p. 5. Se verific puesto que segú cmos de ver: ) Pr multiplicr ríces del mismo ídice, se multiplic los rdicdos y se hll l ríz de ídice comú: Demostrció:... Segú ls propieddes de ls potecis de expoetes eteros se verific que: ( ) c) Pr dividir ríces del mismo ídice se divide los rdicdos y se hll l ríz del ídice comú. Supoemos que 0 pr que teg setido el cociete. 5. Demostrció: Si escriimos: ) (. 7 7 d) Pr elevr u rdicl u poteci st co elevr el rdicdo dich poteci: 7 ( ) m m Demostrció: Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

15 Números reles Est propiedd l podemos demostrr como sigue: m m m m m e) L ríz de u ríz es igul l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices: Demostrció: Se verific que: m m. m m m m x y x y Actividdes resuelts: ( x y ) ( x ) ( y ) x y Reduce ídice comú () los siguietes rdicles: 5 ; 70 Sc fctores fuer de l ríz: 5 7 ( 7 ) ; Escrie los siguietes rdicles como u sol ríz:..... Actividdes propuests. Clcul: 9 ) (. ) ). 5. Hll: x x 5 ) : ) : 5y y. Reliz ls siguietes opercioes co rdicles: x x ) : ) ( 5 ( x ) 5y y ). 8 c) ( ( x ) ) Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF 5

16 Números reles. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION.. Opercioes Sum y rest de rdicles: RECUERDA: Pr sumr y restr rdicles estos dee de ser idéticos: 9 5 Pr sumr estos rdicles hy que sumr sus expresioes proximds. Si emrgo l expresió: sí se puede sumr y restr puesto que sus rdicles so idéticos Pr poder sumr o restr rdicles es ecesrio que teg el mismo ídice y el mismo rdicdo. Solo cudo esto sucede podemos sumr o restr los coeficietes o prte uméric dejdo el mismo rdicl Por ls propieddes de los rdicles podemos scr fctores del rdicl dejdo que todos los rdicles se idéticos: 5 5 Producto de rdicles ( 5) 0 Pr multiplicr rdicles deemos covertirlos e rdicles de igul ídice y multiplicr los rdicdos:. Clculmos el m.c.m.de los ídices. Dividimos el m.c.m etre cd ídice y lo multiplicmos por el expoete del rdicdo y simplificmos ( ) 7 7 Divisió de rdicles Pr dividir rdicles deemos coseguir que teg igul ídice, como e el cso terior y después dividir los rdicles. Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

17 Números reles.. Ríz de u ríz.( ).... Es l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices (segú se demostró e l propiedd e), y después simplificmos extryedo fctores fuer el rdicl si se puede. x y = 7 5 x y = 5 5 x x y x x y 7 5 RECUERDA: Pr extrer fctores del rdicl se dee cumplir que el expoete del rdicdo se myor que el ídice de l ríz. opcioes: Se divide el expoete del rdicdo etre el ídice de l ríz, el cociete idic el úmero de fctores que extrigo y el resto los que se qued detro. Se descompoe los fctores del rdicdo elevádolos l mismo ídice de l ríz, cd expoete que coicid co el ídice, sldrá el fctor y los que sore se qued detro Extre fctores del rdicl: 8 8 x 75 y x 7 x x x 5 y 5 y y = Los fctores que podrímos extrer serí el, x, y y el 5, de l siguiete mer: Dividimos el expoete de l x, 5, etre, y que el ídice de l ríz es, y teemos de cociete y de resto, por lo que sldrá dos x y qued detro. De igul form pr l y, dividimos etre y oteemos de cociete y uo de resto, por lo que sle y y se qued otr detro. Vemos:. 7 x x x 5 y y x 5 y 7 x y Actividdes propuests 7. Escrie jo u solo rdicl y simplific: Clcul y simplific: 5 x. y. 5 x. y x. y Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF 7

18 5 Números reles 7 9. Reliz l siguiete operció: x x x 0. Clcul y simplific: x 9 x Rciolizció Rciolizr u frcció lgeric cosiste e ecotrr otr equivlete que o teg rdicles e el deomidor. Pr ello, hy que multiplicr umerdor y deomidor por l expresió decud. Cudo e l frcció solo hy moomios, se multiplic y divide l frcció por u mismo úmero pr coseguir completr e el deomidor u poteci del mismo expoete que el ídice de l ríz. x. Multiplicmos y dividimos por x pr oteer e el deomidor u curt poteci y quitr el rdicl. x x x x x x x x x Cudo e l frcció prece e el deomidor iomios co ríces cudrds, se multiplic y se divide por u fctor que proporcioe u difereci de cudrdos, este fctor es el fctor cojugdo del deomidor., su cojugdo es:. Otro ejemplo: ( ) su cojugdo es: ( ) 5 Multiplicmos por el cojugdo del deomidor que e este cso es: 5 Actividdes propuests x y. Rcioliz l expresió: x y. Rcioliz: ( 5) ( 5) ( 5 ( 5)( 5) Rcioliz: 5 5) Mt. Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF 8

19 Colegio Vizcy º Bchiller.- LOGARITMO DE UN NÚMERO. PROPIEDADES Segurmete, serís cpz de resolver l ecució: x =, uque l icógit (x) esté e el expoete. Pr ello, strí co expresr tod l iguldd e se : x + = x+ = x=5. Si emrgo, resultrí más difícil despejr co precisió l icógit e est ecució: x = 0 y que, siguiedo l estrtegi terior: = 0, sólo podrímos dr u vlor proximdo x, pues 0 o es poteci de. Deducimos que x+ dee ser 5??.. pues 5 = y =. Por tto, x=???. Podrímos uscr co l clculdor u ue proximció, prodo co distitos vlores. No ostte, prece coveiete defiir lgu herrmiet mtemátic útil cudo se trt de mejr expoetes. Semos que e tod poteci prece tres elemetos: se, expoete y poteci o resultdo. = 8 Necesitmos coocer dos de los tres elemetos pr clculr el tercero: ) Si coocemos l se y el expoete: = y deemos clculr el resultdo, l operció se llm POTENCIA y te result coocid. ) Si dispoemos del expoete y l poteci: = 8 y teemos que clculr l se, l operció se llm RADICACIÓN y, uque l hs estudido teriormete, se escrie co otro formto: 8 = c) L tercer posiilidd es que coozcmos l se y el resultdo de l poteci: = 8 Es etoces cudo deemos clculr el expoete. Esto es lo que coocemos co el omre de LOGARITMO. Logritmo es u sióimo de expoete LOGARITMO EXPONENTE Ejemplos: Tmié se escrie co otro formto: log 8 = Se lee logritmo e se de 8 ) log = porque = ) log = - porque c) log 5 = 0 porque 5 0 = = 9

20 Colegio Vizcy º Bchiller Actividd: 5. Complet los siguietes logritmos: log 9 = log = log = log log = log = log = log 7 = = Si o cosigues hcerlo co cálculo metl, puedes llmrle x formto poteci, es decir: =x x = 7 x = ( ) log 7 luego log 7 = x = x = y psr l Ahor que compredes el cocepto, vmos escriir u defiició precis del cocepto de logritmo: Defiició: Se defie el logritmo e se de, como el expoete x l que hy que elevr pr oteer, es decir x log = x = Cudo se mej úmeros muy grdes o muy pequeños, es más cómodo utilizr sólo los expoetes. Sís que los úmeros de l escl de Richter que mide l fuerz de los terremotos, so logritmos? Actividd:. Clcul hor los siguietes logritmos: log = log = log 0 = log = Si hs ecotrdo dificultdes pr resolverlos, igul hs llegdo lgu de ls siguietes coclusioes: Crcterístics: ) L se tiee que ser u º positivo y distito de 0 y, y que u se egtiv puede dr lugr potecis o reles: (-) = ( ) =????? (e l uidd 5 veremos los úmeros complejos, que surge de ls ríces de úmeros egtivos). 0

21 Colegio Vizcy º Bchiller Además, o tiee setido hlr de log ó log 0 5, pues culquier poteci de es igul (uc podrí ser ), y culquier poteci de 0 serí 0, es decir, sólo existirí log y log 0 0 y serí igul todos los úmeros reles. ) Por otr prte, l poteci o puede ser egtiv i 0, Poteci >0 log = c Expoete c culquier º rel Bse >0 ) Los logritmos más utilizdos so los de se 0, llmdos logritmos decimles, e los que o es ecesrio precisr l se, ( log 0 = log ) y los logritmos eperios, de se el º e 78 cuy otció es L= log e. Ejemplos: log00=, log0 = - Le= Actividd: 7. Clcul los siguietes logritmos: log = log = log Le x = = Propieddes de los logritmos: Recuerd siempre que u logritmo es u expoete y, por tto, dee cumplir ls misms propieddes. Semos que l multiplicr dos potecis de l mism se, se sum los expoetes y que: = = 5 m = m+ Si el expoete del producto es l sum de los expoetes, el logritmo del producto, dee ser l sum de los logritmos, es decir: ) log c) = log log c ( +

22 Colegio Vizcy º Bchiller Por l mism rzó, y ddo que el expoete del cociete de dos potecis, m m es l rest de los expoetes: =, se cumplirá que el logritmo del cociete es l rest de los logritmos: ) log = log log c c Por último, l elevr u poteci otr poteci, se multiplic los expoetes: ( m ) = m y que ( ) = = =, Luego dee cumplirse que: ) log = log (recuerd que tto como el log so los expoetes) Est últim propiedd puede rzorse de otr mer, utilizdo l propiedd : log = log (... ) veces = log + log + + log = log veces Ejemplos: ) Coocido el log =0 0, clcul log0 y log0 08 log0 = log( 0) = log+log0 = 0 0+ = 0 8 log0 08=log = log8 - log00 = log - log00 = log = ) Siedo que logx+log = log, hll x log(x ) = log x = x= Como hs podido oservr, ests propieddes os permitirá oteer otros logritmos prtir de uo o vrios coocidos, o despejr icógits fectds por logritmos. Tmié es cierto que l myorí de los logritmos so úmeros irrcioles difíciles de precisr. Además, l ifiidd de ses posiles hce más difícil l tre. Por eso, t sólo se mej co siduidd ls ses 0 y e, que so ls que puedes ecotrr e culquier clculdor. Pero etoces, cómo clculr log 5? Muy secillo, se h ecotrdo u fórmul que permite el pso de u se otr. 5

23 Colegio Vizcy º Bchiller Fórmul del cmio de se Pr psr de se se log x = log x log Serí etoces cierto que psdo se 0 y utilizdo l clculdor: log 5 = log 5 0'98 = = ' 5 log 0'77 Vmos demostrr est fórmul utilizdo el formto de poteci que result más fmilir. Demostrció Pr ello, omrmos co u letr cd logritmo: log x = p, log x = q y log = s. Queremos demostrr que Se cumple que: si si si log x = p log = s p log x = q q s = x = x = p = q ( s ) p = q Sustituyedo por s q p = s s Luego, ( ) p q sp q q = = sp = q p = como querímos demostrr s c.q.d. Por último, vmos hor resolver l ecució que hímos pltedo l pricipio de este puto: ' 0 x+= 0' 0 x = 0 x+ =0 log 0 = x+ x+ = 5 x= log 0 = x+ log Actividd: 8. Clcul, utilizdo l defiició de logritmo: ) log + log log 9 log = ) log + log log = 7

24 Colegio Vizcy º Bchiller 9. Clcul l se de estos logritmos: ) log x 5 = ) log x = c) log x 0'0 = d) log x = e) 9 log x = 0.Siedo que log = 0 77, clcul el logritmo deciml de 0, 00, 000, 0, 0 0, Siedo que log k = clcul: ) k 00 log ) ( 0' k ) log c) log d) ( log k) k. Si log k = x, escrie e fució de x: ) log k ) k log c) log 0k 00. Comprue que log + log log =. Siedo log = 0 0 y log = 0 77 clcul: ) log 5 ) log c) log 8 d) log 8 7