1. Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R."

Transcripción

1 Facultad de Ciecias Exactas, Igeiería y Agrimesura Departameto de Matemática - Escuela de Ciecias Exactas y Naturales ÁLGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA I Liceciatura e Física Equipo docete: Viviaa del Barco, Lucía Caraballo y Aa Murigo UNIDAD 5: Números complejos 1. Defiicioes y propiedades básicas - C como extesió de R. Defiició 1. Se llama úmero complejo a todo par ordeado z = (a,b) de úmeros reales. Dado z C, z u úmero complejo, si z = (a,b) los úmeros a y b so respectivamete la parte real y parte impagiaria de z y esto lo otamos: a = Re(z), b = Im(z). Dados dos úmeros complejos z = (a,b) y w = (c,d) defiimos la igualdad de z y w como: a = c z = w b = d Observemos que el par (a,b) es ordeado, e el setido que el complejo (a,b) o es igual al complejo (b,a). Defiimos a cotiuació operacioes etre los úmeros complejos: la suma y el producto de la siguiete maera: Defiició 2. Sea z = (a,b) y w = (c,d) dos úmeros complejos (es decir a,x C). Etoces defiimos Suma: z +w = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) Producto: zw = (a,b)(c,d) = (ac bd,ad+bc). Es importate otar que la suma (producto) que se está defiiedo es la de los pares ordeados (a,b) y (c,d). Cuado decimos que esto equivale al par ordeado (a+c,b+d), la suma aquí es la usual etre los úmeros reales a y c, y b y d. Al cojuto de los úmeros complejos juto co las operacioes defiidas arriba lo idicamos co la letra C: C = (a,b) : a,b R}. Teorema 3. Los úmeros complejos satisface las siguietes propiedades: si z, u, w so úmeros complejos cualesquiera, etoces se verifica: 1. Propiedad comutativa: z +w = w +z, zw = wz. 2. Propiedad asociativa: z +(u+w) = (z +u)+w, z(uw) = (zu)w. 3. Propiedad distributiva: z(u+w) = zu+zw. 4. Existecia de eutro: Existe (0,0) C y (1,0) C tales que (0,0)+z = z y (1,0)z = z. 5. Existecia de opuesto: Si z = (a,b), existe z = ( a, b) ( C tal que z ) +( z) = (0,0). a 6. Exitecia de iverso: Si z = (a,b) 0, existe z 1 b = a 2 +b 2, a 2 +b 2 C tal que zz 1 = (1,0). Demostració. ejercicio El elemeto (0,0) del Teorema 3 se llama eutro de la suma e C y para cada z C, z se llama opuesto de z. El elemeto (1,0) se llama idetidad del producto e C y para cada z C, z (0,0), z 1 se llama iverso de z. A partir del teorema aterior, podemos defiir la resta y el cociete de úmeros complejos. 1

2 2 Defiició 4. Sea z y w dos úmeros complejos. Se defie la resta de w a z y se deota z w al úmero complejo z w = z +( w). Si w (0,0), se defie el cociete de z por w y se deota z w al úmero complejo z w = z w 1. Ejemplo (1,0) (2,1) = (1,0)+[ (2,1)] = (1,0)+[( 2, 1)] = (1+( 2),0+( 1)) = ( 1, 1). 2. (2,1) (1,0) = (2,1)+[ (1,0)] = (2,1)+[( 1,0)] = (2+( 1),1+0) = (1,1). Notar que este ejemplo muestra que la resta de úmeros complejos o es comutativa ya que (1,0) (2,1) (2,1) (1,0). (2,0) 3. (1,1) = (2,0)(1,1) 1 = (2,0)( 1 2, 1 2 ) = ( , (1,1) 2 ) = (1, 1). Notar que (2,0) = (1 2, 1 2 ) (2,0) (1,1), por lo tato el cociete de úmeros complejos o es ua operació comutativa. Ua última operació que será iteresate estudiar es la de poteciació. Defiició 6. Sea z C u úmero complejo. Para cada N, se defie el úmero complejo z de la siguiete maera (recursiva): z 1 = z z = z 1 z, N,, 2 Si z 0, se defie z 0 = 1 y para todo Z, < 0, se defie z = (z 1 ) ( ). El úmero z se llama potecia -ésima de z. La potecia de complejos así defiida tiee las siguietes propiedades (aálogas a las de los úmeros reales) Teorema 7. Sea z,w C,,k Z. Etoces: 1. z k z = z k+ 2. ( z k) = z k 3. (zw) = z w. ( z z 4. = w. Ejemplo 8. (1,1) 2 = ( (1,1) 1) 2 = ( 1 2, 1 2 )2 = ( 1 2, 1 2 )(1 2, 1 2 ) = (0, 1 2 ). Sea C 0 el subcojuto de C costituidos por los complejos de la forma (a,0), esto es, los que tiee parte imagiaria ula.etoceslasoperacioesdesumayproductosocerradas ec 0,esdecir,lasumayelproductodedoselemetos de C 0 es uevamete u elemeto de C 0. E efecto, (a,0)+(c,0) = (a+c,0), (a,0)(c,0) = (ac,0). Además, si z C 0 y z = (a,0), etoces (a,0) = ( a,0), y si a 0 tambié resulta (a,0) 1 = (a 1,0). Esto implica, e particular, que la resta y la divisió tambié so cerradas e C 0 : restar (o dividir) dos úmeros complejos co parte imagiaria ula da como resultado u úmero complejo co parte imagiaria ula (ejercicio: demostrar esta afirmació). De igual maera, si z C 0 y z 0, z = (a,0) para todo Z. Vemos etoces que los úmeros complejos de C 0 se comporta de la misma maera que si fuera úmeros reales. Por este motivo, o haremos diferecia etre u úmero real x y el complejo (x,0). De hecho, a cada úmero complejo (x,0) C 0 lo otaremos directamete como x. Via la idetificació: x R (x,0) C. De esta maera, diremos que C es ua extesió de R, pues C cotiee a R, pesado cada úmero x R como (x,0) C 0. Co esta coveció: 0 = (0,0), 1 = (1,0), 1 = ( 1,0), etc. Observació 9. Decimos que u úmero complejo z es imagiario puro si z = (0,b) co b 0, es decir si z (0,0) y Re(z) = 0. Notar que el cojuto de úmeros complejos imagiarios puros o es u cojuto cerrado por el producto.

3 2. La uidad imagiaria i - Forma biómica de u úmero complejo. 3 Defiició 10. Llamamos uidad imagiaria al úmero complejo (0,1) y lo otamos co la letra i: i = (0,1). Notar que i es u úmero complejo imagiario puro. Además, i es solució de la ecuació cuadrática x 2 +1 = 0, que o tiee solució e el cuerpo de los úmero reales. E efecto: i 2 = i i = (0,1)(0,1) = ( , ) = ( 1,0) = 1 co las idetificacioes ateriores. Las potecias eteras de la uidad imagiaria tiee ua particularidad que es que se repite de 4 e 4: i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = 1, i 6 = 1, i 7 = i, i 8 = 1, etc... Es posible demostrar que esta particularidad se repite co todas las potecias eteras de i. Teorema 11. Para todo Z, i = i r dode r es el resto de dividir a por 4. Demostració. Sea N y sea r el resto de dividir a por 4, es decir = 4p + r. Por las propiedades 1 y 2 del Teorema 7, resulta i = i 4p+r = (i 4 ) p i r = 1 p i r = i r. Ejemplo 12. Para calcular la potecia i 1329, dividimos 1329 por 4: 1329 = Etoces i 1329 = i 1 = i. Por otro lado, i 257 = i 3 = i ya que 257 = ( 65) 4+3. Usado la idetificació x R (x,0) C 0 e i = (0,1), podemos escribir los úmeros complejos de ua maera más práctica que la de par ordeado. Teorema 13. Todo úmero complejo z puede expresarse e la forma z = a+bi coa,b R. Esta forma de escribirlo se llama forma biómica de z. Demostració. Sea z C u úmero complejo. Etoces z es u par ordeado z = (a,b) para ciertos a,b R. Segú la idetificació C 0 R ates hecha: a = (a,0), b = (b,0); y segú la defiició de la uidad imagiaria, i = (0,1). De esta maera a+b i = (a,0)+(b,0)(0,1) = (a,0)+(0,b) = (a,b) = z. Observació 14. Dado z C, su forma biómica es z = a+bi si y sólo si Re(z) = a e Im(z) = b. La vetaja de esta otació es que facilita los cálculos algebraicos. E efecto, aplicado las propiedades distributivas, asociativas y teiedo e cueta que i 2 = 1, podemos resolver de maera secilla u producto, si recurrir a la fórmula dada para el producto de úmeros complejos como pares ordeados: (a,b)(c,d) = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi 2 = (ac bd)+(ad+bc)i = (ac bd,ad+bc), como habíamos defiido iicialmete. Defiició 15. Sea z C u úmero complejo de forma biómica z = a+bi. Se deomia úmero cojugado de z y se ota z al úmero complejo z = a bi. Observemos que z y z tiee igual parte real y parte imagiaria opuestas: Re(z) = Re(z) e Im(z) = Im(z).

4 4 Teorema 16. Sea z,w C, etoces 1. z +w = z +w 2. z w = z w 3. z = z si y sólo si z R 4. z z = Re(z) 2 +Im(z) 2. Demostració. Ejercicio. Lapropiedad4delteoremaaterior esdegraimportaciaalahoradecalcular elrecíprocodeuúmerocomplejo o el cociete de dos úmeros complejos. Ejemplo 17. Sea z = 2+i y w = 1 i, calcular z w. Vamos a utilizar 4 para calcular el iverso de w: w 1 = 1 w = w ww = 1+i Re(w) 2 +Im(w) 2 = 1+i 2. Luego, z w = zw 1 = (2+i)( i 2 ) = i Ejemplo 18. Si z = 1+2i, w = 2 i, etoces w = 2+i y resulta z w = z w w w = (1+2i)( 2+i) ( 2) 2 +( 1) 2 = 4 3i = i. Para calcular el cociete de u úmero complejo z por u úmero complejo w, multiplicamos y dividimos por el cojugado de w. Gracias al teorema aterior obteemos: Corolario 19. Sea z = a+bi y w = c+di co w 0. Etoces Demostració. Ejercicio. w 1 = w Re(w) 2 +Im(w) 2 y z w = zw Re(w) 2 +Im(w) Represetació geométrica de los úmeros complejos - Forma polar y trigoométrica de u úmero complejo. Dado que todo úmero complejo es u par ordeado (a, b) de úmeros reales, existe ua correspodecia biuívoca etre los úmeros complejos y los putos del plao, que recibe etoces el ombre de plao complejo. Dado z = (a,b), a z asociamos el puto P cuyas coordeadas cartesiaas so (a,b) y el vector OP, dode O = (0,0) es el orige de coordeadas. Cuado trabajamos co úmeros complejos e geeral deomiamos como eje real al eje de las abscisas, dado que aquí yace los putos que represeta a úmeros reales, y por eje imagiario al eje de las ordeadas, dado que aquí está los putos que represeta a úmeros imagiarios puros, es decir, úmeros complejos co parte real ula. Ejemplo 20. E la gráfica siguiete se muestra los putos del plao correspodietes a los complejos z 1 = 2+3i, z 2 = z 1, z 3 = 4 i, z 4 = z 3, z 5 = z 1 +z 3.

5 Defiició 21. Dado u complejo z se deomia módulo de z, y se deota z a la logitud del segmeto OP, dode P es el puto del plao asociado a z. Observar que si z = a+bi, etoces z = OP = a 2 +b 2. Luego z = Re(z) 2 +Im(z) 2 que por la propiedad vista ateriormete resulta z = zz. Defiició 22. Sea z = a+bi u úmero complejo tal que z 0. Se defie el argumeto de z como el águlo que forma el vector OP= (a,b) co el eje positivo de las abscisas. El úmero complejo z = 0 o tiee argumeto. Notar que u úmero complejo tiee ifiitos argumetos, depediedo de cuatas vueltas demos alrededor del orige para medir el águlo. E cualquier caso, si φ y θ so dos argumetos del mismo complejo z debe valer θ = φ+2kπ, para algú k Z. Notar que si θ es u argumeto de z = a+bi, co a 0 etoces tgθ = b a. Si z es imagiario puro (a = 0), etoces su argumeto es π/2 o 3 2π, depediedo si su parte imagiaria es positiva o egativa, respectivamete. Por ejemplo, si z = 1+i, etoces π/4 y 9 4π so dos argumetos para z. Ejercicio 23. Calcular los argumetos de los úmeros complejos graficados arriba. Defiició 24. Para cada z C, z 0, se llama argumeto pricipal de zy lo deotamos por arg(z) al u úico argumeto φ de z que verifica 0 φ < 2π. Tomemos por ejemplo z = 2+2i. Etoces φ = π 4, θ = 9 4 π y γ = 17 4 π so argumetos de z, pero φ es el argumeto pricipal. Observemos la siguiete figura: 5 Para cualquier argumeto θ de z (e particular para φ = arg(z)), etoces por el teorema de pitágoras y las relacioes trigoométricas e u triágulo rectágulo obteemos (1) z 2 = a 2 +b 2 = Re(z) 2 +Im(z) 2 = z z, (2) tg(θ) = b a. (3) y por lo tato a = ρcosθ b = ρseθ, dode ρ = z (4) z = ρ(cosθ +iseθ). Esta última expresió de z se deomia forma trigoométrica de z.

6 6 Observació 25. Dado u úmero complejo z e forma biómica z = a+bi, las ecuacioes 1, 2, 3 y 4 permite hallar la forma trigoométrica de z. Notar que si z = r(u+vi) dode u 2 +v 2 = 1 etoces r(u+vi) es la forma trigoométrica de z y su argumeto es θ tal que cosθ = u y siθ = v. Ejemplo 26. Sea z = i y w = 3+3i. Para calcular la forma trigoométrica de z buscamos su módulo y argumeto (ya que z 0): z = (9 3) 2 = 18 3 y su argumeto θ es tal que tgθ = = 3 3 θ = π/6 o θ = 7π/6. Como z tiee partes real e imagiaria positiva, podemos decir que z está e el primer cuadrate y por lo tato el águlo que forma co el eje x es π/6. Más aú arg(z) = π/6 y todo otro argumeto de z difiere e 2π de π/6. Escribimos la forma trigoométrica de z: z = 18 3(cosπ/6+isiπ/6) = 18 3 ( ) i. Para calcular la forma trigoométrica de w, sólo observaremos que w puede escribirse como w = 3 2( i), y se verifica ( 2 2 )2 +( 2 2 )2 = 1, luego la forma trigoométrica de w es w = ( i), y su argumeto pricipal es φ = 3 4 π. Es claro que si teemos u úmero complejo escrito de forma trigoométrica z = ρ(cosθ+isiθ), etoces su forma biómica se obtiee ta solo distribuyedo la expresió de arriba y resultado: z = a+bi dode a = Re(z) = ρcosθ, b = Im(z) = ρsiθ. Utlizado la forma trigoométrica, es fácil probar el siguiete resultado: Teorema 27. Sea z,w C. Etoces: 1. z w = z w ; 2. Si z y w so o ulos, arg(z)+arg(w) es u argumeto de z w. Demostració. Ejercicio (recordar las fórmulas para el coseo y el seo del águlo suma) Observado (4), vemos que para defiir u úmero complejo z o ulo sólo ecesitamos coocer su módulo ρ y su argumeto θ. Resumimos esa iformació escribiedo (5) z = ρ θ Esta última forma de expresar al úmero complejo z se deomia forma polar de z. Si z = ρ φ y w = δ θ etoces (6) z = w si y sólo si ρ = δ φ = θ +2kπ para algú k Z Ejercicio 28. Probar que si z 0 y θ es u argumeto de z, etoces θ + π es u argumeto de z y θ es u argumeto de z. Escribir las formas trigoométricas de z y z e fució de la de z. Ejemplo 29. Si z y w so los úmeros complejos del Ejemplo 26, sus formas polares so: Notar que tambié z = π/6 y w = π. z = 18 3 π/6, w = π. Como ya remarcamos ates, si z está dado e su forma biómica, obteemos la forma polar calculado su módulo y su argumeto por las fórmulas (1) y (2). Si z está dado e forma polar, podemos obteer la forma biómica a partir de la forma trigoométrica (4). La forma polar os da ua maera muy secilla de realizar productos, cocietes, y calcular potecias -ésimas de úmeros complejos. De hecho a partir del Teorema 27 teemos:

7 7 Teorema 30. Sea z = ρ φ y w = δ θ dos complejos dados e forma polar. Etoces: 1. z w = (ρδ) φ+θ z ( ρ ) 2. w = δ (φ θ) 3. z = ρ φ. Demostració. Ejercicio. Corolario 31. Si z 0 y z = ρ θ e forma polar, etoces z 1 = ρ 1 θ. Ejemplo 32. Nuevamete usamos los úmeros complejos z y w del Ejemplo 29 y calculamos: z w = (18 ) ( 3 π/6 3 ) 23 4 π = ( )π π = π. Ya hemos visto que la uidad imagiaria i es la raiz cuadrada de 1 ya que i 2 = 1 y por lo tato i = 1. E realidad, la uidad imagiaria permite calcular la raiz cuadrada de cualquier úmero real egativo posee raiz cuadrada ya que si x R, etoces ( xi) 2 = ( x)i 2 = ( x)( 1) = x. Veremos a cotiuació que es posible calcular la raíz -ésima de cualquier úmero complejo (e particular de los reales egativos), para cualquier atural. Comezamos co la defiició. Defiició 33. Dado u úmero complejo w y u úmero atural N, decimos que z es ua raíz -ésima de w si z = w. Como es usual, las raíces 2-ésimas de u úmero se llama raíces cuadradas; las raíces 3-ésimas de u úmero se llama raíces cúbicas; las raíces 4-ésimas de u úmero se llama raíces cuartas; las raíces 5-ésimas de u úmero se llama raíces quitas, etc... La fórmula (3) del Teorema 30 os permitirá calcular de maera fácil raíces -ésimas de los úmeros complejos. Comecemos aalizado u ejemplo. Supogamos que teemos w = 16 π/4 y queremos calcular las raíces cuartas de w. Si z = ρ φ es ua de esas raíces, debe ser z 4 = ρ 4 4φ = w. De la igualdad de complejos dados e forma polar (6), obteemos y ρ 4 = 16 ρ = 2 4φ = π π 4 +2kπ φ = 4 +2kπ, k Z 4 Si bie e la última expresió k varía e todo Z, sólo para k = 0,1,2,3 obteemos complejos distitos. De hecho tomado para k = 4, obteemos el argumeto π 6 +2π que es el mismo argumeto que π 6, obteido tomado k = 0. Luego las cuatro raíces cuartas de w so Graficamos las cuatro raices cuartas de w: z 1 = 2 π 16, z 2 = π, z 3 = π, z 4 = π

8 8 Se ve e la figura que las raíces cuartas so los vértices de u cuadrado iscripto e la circuferecia de radio 2. Siguiedo exactamete el mismo razoamieto es posible probar el siguiete teorema, deomiado Fórmula de Moivre: Teorema 34. Sea w = ρ φ u úmero complejo o ulo e forma polar. El úmero complejo z = δ θ es ua raíz -ésima de w si y sólamete si se verifica (7) δ = ρ, θ = φ + 2kπ, para algú k tal que k = 0,1,, 1. Demostració. Supogamos z = δ θ es ua raíz -ésima de w. Por defiició se tiee z = w y por otro lado, el Teorema 30 implica que z = δ θ. Luego z = δ θ = ρ φ = w y esto sucede siempre y cuado ρ = δ y al mismo tiempo los águlos θ y φ difiere e u múltiplo de 2π, es decir, δ z = ρ δ = ρ = w θ φ = 2lπ,para algú l Z θ = φ + 2lπ,para algú l Z. Resta probar que el valor l puede tomarse etre 0 y 1. Primero otemos que si l es mayor o igual que, podemos tomar la divisió l = c+k, siedo k el resto de la divisió y por lo tato k está etre 0 y 1. Además φ + 2lπ = φ + 2( c+k)π = φ + 2kπ +2cπ y por lo tato δ φ es el mismo úmero complejo que δ +2lπ φ, siedo k atural etre 0 y 1. De maera aáloga +2kπ se prueba que si l < 0 etoces δ φ = δ +2lπ φ. Luego, e la ecuació de arriba podemos escribir +2kπ z = w δ = ρ θ = φ + 2kπ,para algú k úmero atural etre 0 y 1. De la ecuació (7) las raíces -ésimas de w so los úmeros complejos que se obtiee de darle diferetes valores al k etre 0 y 1: z 0 = ρ φ, z 1 = ρ φ, z 2 = ρ +2π φ,... z k = ρ +4π φ +2kπ,... z 1 = ρ φ +2( 1)π Es importatísimo otar que estos úmeros complejos z 0,z 1,...,z 1 so todos diferetes. E efecto supogamos que dos de ellos so iguales, pogamos z s = z t co s y t dos úmeros aturales etre 0 y 1. Etoces z s = z t implica que sus argumetos difiere e u múltiplo de 2π, es decir, existe l Z tal que φ + 2sπ = φ + 2tπ +2lπ s = t+l pero como s y t so úmeros aturales meores que, la igualdad s = t+l sólo se da si l = 0 y por lo tato s = t. Hemos probado etoces el siguiete resultado: Corolario 35. Todo úmero complejo w 0 tiee exactamete raíces -ésimas que está dadas por la Fórmula de Moivre (7). Gráficamete, los úmeros complejos z 0,z 1,...,z 1 que so raíz -ésima de w = ρ φ tiee todos igual módulo ρ y dos cosecutivos de ellos difiere e u águlo de 2π/. Por lo tato, z 0,z 1,...,z 1 yace sobre ua circuferecia de radio ρ y forma u polígoo regular de lados (comparar co la figura del ejemplo aterior)..

9 Ejemplo 36. Vamos a calcular las raíces quitas de w = 243 5π/4. Sabemos que será 5 úmeros complejos diferetes z 0,...,z 4 co módulo = = 3 y águlo dado por (7) para los valores de k = 0,...,4: Graficamos las raíces quitas de w: z 0 = 3 π/4 z 1 = 3 π/4+2π/5 = 3 13π/20 z 2 = 3 π/4+4π/5 = 3 21π/20 z 3 = 3 π/4+6π/5 = 3 29π/20 z 4 = 3 π/4+8π/5 = 3 37π/20 9 Para fializar esta uidad, remarcamos lo siguiete: toda ecuació cuadrática co coeficietes e icógita compleja, tiee solució. E efecto, puede verse (co la misma demostració que para el caso real) que las raíces de la ecuació az z +bz +c = 0, co a,b,c C, so z 1,2 = b+ b 2 4ac 2a, dode ahora la raíz cuadrada siempre tiee dos solucioes, idepedietemete de si el discrimiate es positivo o egativo. Observemos que aquí o poemos el símbolo ± pues todo complejo tiee exactamete dos raíces cuadradas.

Tema 1: Números Complejos

Tema 1: Números Complejos Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS º BCT DPTO DE MATEMÁTICAS T4: NÚMEROS COMPLEJOS - LOS NÚMEROS COMPLEJOS.- INTRODUCCIÓN: LAS ECUACIONES DE º GRADO CON SOLUCIONES IMPOSIBLES Desde el siglo XVI al XVIII llamaro la ateció, por la forma de

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Uiversidad Atoio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 1: Números Complejos Grupo de Matemáticas Especiales Resume Se preseta el cojuto de los úmeros complejos juto co sus operacioes y estructuras relacioadas.

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura - Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo I

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo I - Ferado Sáchez - - Números Cálculo I complejos 09 0 07 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x + = 0 o tiee solució: el poliomio x + o tiee raíces reales. Hace falta exteder el cocepto de úmero

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació

Más detalles

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación. Tema 1: Números complejos

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación. Tema 1: Números complejos Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Coocimietos previos Para poder seguir adecuadamete este tema, se requiere que el alumo repase y poga al día sus coocimietos e los siguietes

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

Tema 3.- Números Complejos.

Tema 3.- Números Complejos. Álgebra. 2004-2005. Igeieros Idustriales. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Tema 3.- Números Complejos. Los úmeros complejos. Operacioes. Las raíces de u poliomio real. Aplicacioes

Más detalles

cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales.

cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales. NUMEROS COMPLEJOS El cojuto de los úmeros complejos fue creado para poder resolver alguos problemas matemáticos que o tiee solució detro del cojuto de los úmeros reales. Por ejemplo x 2 + 1 = 0 o tiee

Más detalles

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile 12.4. Raíces de la uidad Igeiería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Itroducció al Álgebra 08-1 Importate: Visita regularmete http://www.dim.uchile.cl/~algebra.

Más detalles

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares 2 Matemáticas 1 : Prelimiares Capítulo 1 Números Complejos Este tema de úmeros complejos es más iformativo que recordatorio, siedo el uso explícito de los complejos escaso e las asigaturas de Matemáticas

Más detalles

Unidad 1: Números Complejos

Unidad 1: Números Complejos Uidad : Números Complejos. Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

Los números complejos ( )

Los números complejos ( ) Los úmeros complejos (15.06.016) 1. Itroducció Estas otas se propoe u doble objetivo. Co los apartados a 8 se pretede dar uas ocioes básicas sobre los úmeros complejos que ayude a fijar los coceptos expuestos

Más detalles

Números complejos Susana Puddu

Números complejos Susana Puddu Números complejos Susaa Puddu 1. El plao complejo. E el cojuto C = IR IR defiimos la suma y el producto de dos elemetos de C de la siguiete maera a, b + c, d = a + c, b + d a, b.c, d = ac bd, ad + bc Dejamos

Más detalles

Tema 4: Números Complejos

Tema 4: Números Complejos Tema : Números Complejos 1.- Itroducció.- Forma biómica del úmero Complejo.- Operacioes e forma biómica.- Propiedades algebraicas de los úmeros Complejos 5.- Forma Polar y trigoométrica del úmero Complejo

Más detalles

Teoría: Números Complejos. Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales

Teoría: Números Complejos. Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales Necesidad de ampliar el cojuto de los úmeros reales Defiició El cojuto de los úmeros complejos se defie como el cojuto R co la suma y el producto complejo defiido ateriormete. Es decir, = (, +,*) C R.

Más detalles

Tema 4: Números Complejos

Tema 4: Números Complejos Tema : Números Complejos 1.- Itroducció.- Forma biómica del úmero Complejo.- Operacioes e forma biómica.- Forma Polar y trigoométrica del úmero Complejo 5.- Operacioes e forma Polar 6.- Radicació de úmeros

Más detalles

Unidad I: Números Complejos

Unidad I: Números Complejos Uidad I: Números Complejos INTRODUCCIÓN Desde Al'Khwarimi (800 DC), quie fuera precursor del Álgebra, sólo se obteía las solucioes de las raíces cuadradas de úmeros positivos El matemático italiao Girolamo

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Capítulo INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) i + + i, b) + i i + i + i + i, c) d) + i), + ), + i e) f) ) + i 04, i +

Más detalles

Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot Método de Newton

Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot Método de Newton Estalmat Madrid Miguel Reyes Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot Método de Newto Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma a dode a y b so úmeros reales e i es la uidad

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES.

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. Ejemplo 1. La ecuació poliómica x 2 + 2x + 2 = 0, co coeficietes reales, tiee dos solucioes complejas cojugadas: 1 + i y 1 i. Este o es u hecho aislado. Proposició

Más detalles

Los números complejos ( )

Los números complejos ( ) Los úmeros complejos (15.06.016) 1. Itroducció Estas otas se propoe u doble objetivo. Co los apartados a 8 se pretede dar uas ocioes básicas sobre los úmeros complejos que ayude a fijar los coceptos expuestos

Más detalles

La Teoría Introducción:

La Teoría Introducción: La Teoría Itroducció: La ecesidad de dar salida a ecuacioes del tipo x + 1=0, así como el coflicto que geera el hecho de o teer solució e el cuerpo de los úmeros reales el cálculo de radicales de ídice

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2011 Semana 13: Lunes 30 de Mayo Viernes 3 de Junio. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2011 Semana 13: Lunes 30 de Mayo Viernes 3 de Junio. Contenidos Complemeto Coordiació de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 011 Semaa 13: Lues 30 de Mayo Vieres 3 de Juio Coteidos Clase 1: Forma Polar de u Número Complejo. Teorema de Moivre. Clase : Raíces de la

Más detalles

Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 1. Funciones de R en R n (Funciones Vectoriales)

Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 1. Funciones de R en R n (Funciones Vectoriales) Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R 1 Fucioes de R e R (Fucioes Vectoriales Llamaremos fució vectorial de variable real o simplemete fució vectorial, a aquellas co domiio e u subcojuto

Más detalles

NÚMERO COMPLEJO. Nota decimos que a es su parte real (anotamos Re(z) = a ) y b su parte imaginaria (anotamos Im(z) = b )

NÚMERO COMPLEJO. Nota decimos que a es su parte real (anotamos Re(z) = a ) y b su parte imaginaria (anotamos Im(z) = b ) NÚMERO COMPLEJO Fudametos de la Matemática 1 Defiició Si llamamos C = R R y defiimos: : C C C ; ( a, a ') ( b, b ') = ( a b, a ' b ') : C C C ; ( a, b) ( a ', b ') = ( aa ' bb ', ab ' a ' b) A la estructura

Más detalles

Espacio Vectorial Definición: Sea V un conjunto donde hemos definido una ley u operación interna, que

Espacio Vectorial Definición: Sea V un conjunto donde hemos definido una ley u operación interna, que Sea V u cojuto dode hemos defiido ua ley u operació itera, que desigaremos por + V V. Sea K u cuerpo (comutativo) y sea, por último, ua operació extera que desigaremos por K V V. Diremos que (V,+, ) tiee

Más detalles

Coeficientes binomiales

Coeficientes binomiales Coeficietes biomiales (Ejercicios Objetivos Defiir coeficietes biomiales y estudiar sus propiedades pricipales Coocer su aplicació e la fórmula para las potecias del biomio y su setido combiatorio (si

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

Convolución discreta cíclica

Convolución discreta cíclica Covolució discreta cíclica Estos aputes está escritos por Darío Coutiño Aquio y Egor Maximeko. Objetivos. Defiir la covolució discreta cíclica y demostrar el teorema sobre la covolució discreta cíclica

Más detalles

Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Laboratorio Nº 11. Números Complejos

Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Laboratorio Nº 11. Números Complejos Uiversidad Diego Portales Facultad de Igeiería Istituto de Ciecias Básicas Asigatura: Álgebra Laboratorio Nº Números Complejos Coteidos Álgebra de úmeros complejos Resolució de ecuacioes complejas Forma

Más detalles

Desigualdad entre las medias Aritmética y Geométrica

Desigualdad entre las medias Aritmética y Geométrica Desigualdad etre las medias Aritmética y Geométrica Jorge Tipe Villaueva Dados reales positivos a 1, a,..., a, defiimos la media aritmética de a 1, a,..., a como el úmero a 1 + a +... + a y la media geométrica

Más detalles

DESIGUALDADES CLÁSICAS

DESIGUALDADES CLÁSICAS DESIGUALDADES CLÁSICAS PARA EL SEMINARIO DE PROBLEMAS (CURSO 017/018) ALBERTO ARENAS 1 Desigualdades etre medias La estrategia más geeral para probar desigualdades es trasformar la desigualdad a la que

Más detalles

Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 1. Funciones de R en R n (Funciones Vectoriales)

Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 1. Funciones de R en R n (Funciones Vectoriales) Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R 1 Fucioes de R e R (Fucioes Vectoriales Llamaremos fució vectorial de variable real o simplemete fució vectorial, a aquellas co domiio e u subcojuto

Más detalles

1 SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS

1 SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Prof DORIS HINESTROZA SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS Sea C el cojuto de parejas ordeadas (a, b) deúmeros reales, esto es C = {(a, b)

Más detalles

Capítulo III Teoría de grupos

Capítulo III Teoría de grupos Capítulo III Teoría de grupos Tema 1. Leyes de composició iteras. 1.1 Leyes de composició iteras. Dado u cojuto A, se defie como Ley de composició itera defiida e A a toda aplicació, A A A ( x, y) x y

Más detalles

Determinantes. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

Determinantes. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO Determiates Ramó Espioza Armeta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO Sea A M ( K), dode 2. El i-ésimo meor de A es la matriz A i, obteida a partir de A elimiado el regló i y la columa. Eemplo. Sea 3

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

Construcción de los números reales.

Construcción de los números reales. B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x

Más detalles

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática Solució del Exame Extraordiario de Algebra y Matemática Discreta, 0-09-2008. Primer Curso, Facultad de Iformática Putuació Máxima Posible: 20 putos Ejercicio Primero (Grafos, etc). a) ( puto) Defia Grafo

Más detalles

CAPÍTULO 7 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS

CAPÍTULO 7 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS 9 CAPÍTULO 7 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS 7 INTRODUCCIÓN E el capítulo 3 calculamos el águlo etre dos vectores del espacio y obtuvimos que si ad be cf u a, b, c, v d, e, f y es el águlo etre u y v,

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1) FCEyN - UBA - Curso de Verao 016 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c y

Más detalles

Apéndice Números Complejos

Apéndice Números Complejos Aédice Números Comlejos 1 Números comlejos. Geeralidades. Oeracioes co úmeros comlejos Potecia y raíz de úmeros comlejos. 4 Fució exoecial y forma exoecial. E.U.Politécica de Sevilla. Fudametos Matemáticos

Más detalles

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos. Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es

Más detalles

Tarea 1 y 2. Problema 1. Calcula el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos.

Tarea 1 y 2. Problema 1. Calcula el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos. Cálculo Tarea y Problema. Calcula el supremo y el ífimo de los siguietes cojutos. a) A = {x : 0 x }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. b) A = {x : 0 < x < }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. c) A

Más detalles

Números reales. Operaciones

Números reales. Operaciones Números reales. Operacioes Matemáticas I 1 Números reales. Operacioes Números racioales. Caracterizació. Recuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma

Más detalles

Introducción a los métodos lineales en dominio de la frecuencia.

Introducción a los métodos lineales en dominio de la frecuencia. Dr. Mario Estévez Báez Capítulo 5 Itroducció a los métodos lieales e domiio de la frecuecia. 1.1 Aálisis armóico. El aálisis armóico surgió y se desarrolló iicialmete como ua útil herramieta para la Física

Más detalles

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1) FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c

Más detalles

GUIA DE ESTUDIO Nro 1

GUIA DE ESTUDIO Nro 1 MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro

Más detalles

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto

Más detalles

ARITMÉTICA MODULAR. CONGRUENCIAS ENTERAS Carl Friedrich Gauss ( )

ARITMÉTICA MODULAR. CONGRUENCIAS ENTERAS Carl Friedrich Gauss ( ) CONGRUENCIAS ENTERAS Carl Friedrich Gauss (1777 1855) ARITMÉTICA MODULAR Defiició Sea m, a, b. a es cogruete co b módulo m si y sólo si ma b. a b (mód m) La relació de cogruecia es ua relació de equivalecia:

Más detalles

Laboratorio N 10, Series de Fourier. Introducción. Para funciones ( ) cos. f x está definida en la mitad del intervalo

Laboratorio N 10, Series de Fourier. Introducción. Para funciones ( ) cos. f x está definida en la mitad del intervalo Uiversidad Diego Portales Facultad de Igeiería Istituto de Ciecias Básicas Asigatura: Ecuacioes Difereciales aboratorio N 1, Series de Fourier Itroducció Para fucioes x,, la serie de Fourier f x cotiuas

Más detalles

EJERCICIOS DE RECURRENCIA

EJERCICIOS DE RECURRENCIA EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios

Más detalles

ALGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Capítulo 3

ALGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Capítulo 3 Números Complejos Itroducció E este capítulo itroducimos uo de los coceptos más importates de la Matemática. E el Reacimieto los matemáticos pesaba que ya se había descubierto todos los úmeros. Todos los

Más detalles

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

162 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN. (i) Efectuando el producto, tenemos. (ii) De forma semejente, si z 2 6= 0, tenemos

162 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN. (i) Efectuando el producto, tenemos. (ii) De forma semejente, si z 2 6= 0, tenemos 162 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN (i) Efectuado el roducto, teemos z 1 z 2 = jz 1 jjz 2 j (cos ' 1 + i se ' 1 )(cos ' 2 + i se ' 2 ) = jz 1 jjz 2 j [(cos ' 1 cos ' 2 se ' 1 se ' 2 )+(se ' 1 cos

Más detalles

Series de potencias Introducción. Temas Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencias.

Series de potencias Introducción. Temas Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencias. Sesió 27 Series de potecias Temas Series de potecias. Itervalo y radio de covergecia de ua serie de potecias. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de serie de potecias. Determiar el itervalo y el

Más detalles

Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc.

Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc. Sucesioes Sucesi o. Ua sucesió es u cojuto ifiito de úmeros ordeados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segudo, el tercero, etc. Los térmios de ua sucesió se desiga mediate a 1,

Más detalles

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega

Más detalles

Semana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II)

Semana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II) Semaa 0 [/24] 2 de mayo de 2007 Sadwich de sucesioes Semaa 0 [2/24] Límites y Orde. Teorema Sea u ) y w ) sucesioes covergetes a u y w, respectivamete. Si 0 tal que para 0 se cumple que etoces u w. u w

Más detalles

UNITAT 2. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

UNITAT 2. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS UNITAT. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI U poliomio co idetermiada x es ua expresió de la forma: Los úmeros que acompaña a la icógita se

Más detalles

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a.

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a. Arquitectura del Computador 4 ALGEBRA DE BOOLE 4. Itroducció. El álgebra de Boole es ua herramieta de fudametal importacia e el mudo de la computació. Las propiedades que se verifica e ella sirve de base

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos

Más detalles

DEFINICIÓN DE PRODUCTO CARTESIANO:

DEFINICIÓN DE PRODUCTO CARTESIANO: Fucioes DEFINICIÓN DE PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos cojutos A y B, llamaremos producto cartesiao de A por B (lo aotaremos A B) al cojuto formado por todos los pares ordeados que tiee como primera compoete

Más detalles

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203 Álgebra I Práctica 2 - Números aturales e iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) + 2 + 3 + 4 + + 00, (b) + 2 + 4 + 8

Más detalles

Sucesiones I Introducción

Sucesiones I Introducción Temas Qué es ua sucesió? Notacioes y coceptos relacioados. Maeras de presetar ua sucesió. Gráfico de sucesioes. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de sucesió. Coocer y maejar las diferetes maeras

Más detalles

2 Conceptos básicos y planteamiento

2 Conceptos básicos y planteamiento ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: DOS VARIABLES Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció E muchos casos estaremos iteresados e hacer u estudio cojuto de varias características de ua població.

Más detalles

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series. R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de

Más detalles

CLAUSURA ALGEBRAICA Y NÚMEROS COMPLEJOS

CLAUSURA ALGEBRAICA Y NÚMEROS COMPLEJOS Clausura algebraica y úmeros complejos CLAUSURA ALGEBRAICA Y NÚEROS COPLEJOS. Itroducció Nos pregutamos Porqué o podemos resolver ciertas ecuacioes poliómicas e u determiado campo de úmeros?. Geeralmete,

Más detalles

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de

Más detalles

MATEMÁTICAS 2. GIE. El cuerpo de los números complejos.

MATEMÁTICAS 2. GIE. El cuerpo de los números complejos. MATEMÁTICAS. GIE. El cuerpo de los úmeros complejos.. Expresar los siguietes úmeros complejos e forma biómica: (a) ( + i) 3 (c) +3i 3 4i (e) i 5 + i 6 (g) + i + i + i 3 (b) i (d) (+i 3) 3 (f) π/ (h) π/4.

Más detalles

Tema 2: Diagonalización de matrices cuadradas

Tema 2: Diagonalización de matrices cuadradas Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Tema : Diagoalizació de matrices cuadradas.1. El cojuto R Defiició: Dados úmeros reales x 1, x,..., x R, se llama -tupla ordeada a x = ( x 1,, x,...,

Más detalles

Polinomio de una sola variable. , llamaremos polinomio de la variable x a toda expresión algebraica entera de la forma:

Polinomio de una sola variable. , llamaremos polinomio de la variable x a toda expresión algebraica entera de la forma: Semiario Uiversitario de Igreso 07 oliomio de ua sola variable a0; a; a;...; a úmeros reales y N 0, llamaremos poliomio de la variable a toda epresió algebraica etera de la forma: a0 a a... a Los poliomios

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales. Series convergentes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas

Más detalles

Números racionales. Caracterización.

Números racionales. Caracterización. Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 1 Números racioales. Caracterizació. ecuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma a b

Más detalles

No obstante, cuando intentamos hacer lo mismo con los números racionales y reales vemos que. con como lo hicimos con. es diferente de los conjuntos

No obstante, cuando intentamos hacer lo mismo con los números racionales y reales vemos que. con como lo hicimos con. es diferente de los conjuntos Departameto de Matemáticas Guía Iducció Matemática Objetivos: Eteder el pricipio del bue orde Realizar demostracioes matemáticas por medio del pricipio de iducció matemática El pricipio del bue orde: iducció

Más detalles

DESIGUALDADES. 1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para todo a 1,a 2,...,a n,b 1,b 2,...,b n números reales se cumple que:

DESIGUALDADES. 1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para todo a 1,a 2,...,a n,b 1,b 2,...,b n números reales se cumple que: DESIGUALDADES E las olimpiadas de matemáticas es frecuete la aparició de problemas cosistetes e la demostració de determiadas desigualdades. Auque o existe ua estrategia geeral para resolver los problemas

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

Eje I: Números y Operaciones

Eje I: Números y Operaciones Colegio Provicial de Educació Secudaria Nº Gregorio Álvarez Maestro Patagóico C I C L O Eje I: Números y Operacioes L E C T I V O 0 1 8 ALUMNO: PROFESORA: MARÍA ELISA PALMAS Eje I: Números y Operacioes

Más detalles

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales ) LOS NÚMEROS El sistema de úmeros reales cosiste e u cojuto R de elemetos llamados úmeros reales y dos operacioes deomiadas: adició y multiplicació,

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =

Más detalles

Seminario de problemas Curso Hoja 12

Seminario de problemas Curso Hoja 12 Semiario de problemas Curso 014-15 Hoja 1 78. Resolver el siguiete sistema de ecuacioes dode x, y, z so reales positivos: x y z 8 x 1 y 4 z 9 10 Solució: E la figura CDE, EFG, GHA y ABC so triágulos rectágulos

Más detalles

Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas

Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas Ecuacioes e Diferecias Recíprocas y Gustavo Adolfo Juárez; Silvia Iés Navarro Facultad de Ciecias Exactas y Naturales, Uiversidad Nacioal de Catamarca. E-mail: juarez.catamarca@gmail.com Recepció: 20/05/2014

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. el conjunto de todos los pares ordenados

NÚMEROS COMPLEJOS. el conjunto de todos los pares ordenados NÚMEROS COMPLEJOS 0.- INTRODUCCIÓN Represetareos por reales: el cojuto de todos los pares ordeados Dicho cojuto se deoia plao cartesiao. xy, : xy, x, y de úeros Recuerda que sabeos suar pares ordeados

Más detalles

No negatividad. Definición positiva. Propiedad multiplicativa. Desigualdad triangular. Identidad de indiscernibles. Desigualdad triangular

No negatividad. Definición positiva. Propiedad multiplicativa. Desigualdad triangular. Identidad de indiscernibles. Desigualdad triangular Repaso: Propiedades fudametales del Valor absoluto: x 0 x = 0 x = 0 xy = x y x + y x + y x = x x y = 0 x = y x y x z + z y x y x y No egatividad Defiició positiva Propiedad multiplicativa Desigualdad triagular

Más detalles

Números naturales, enteros y racionales

Números naturales, enteros y racionales Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de

Más detalles

Unidad 1: Números Complejos

Unidad 1: Números Complejos Uidad 1: Números Complejos 11 Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las

Más detalles