NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007

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1 NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso Intervlos Ddos dos números reles y, <, llmremos intervlos los conjuntos definidos de lgun de ls cutro forms siguientes: [ ] {, = x R / x } que llmremos intervlo cerrdo. Se representn gráficmente o ien (, ) = { x R / < x < } (, ] = { x R / < x } que llmremos intervlo ierto. Se representn gráficmente o ien [ ) { }, = x R / x < que llmremos intervlo semicerrdo o semiierto. Se representn gráficmente o ien que llmremos intervlo semicerrdo o semiierto. Se representn gráficmente o ien Llmremos distnci entre dos puntos o números reles, l número. En el cso de los intervlos, est definición tiene un significdo geométrico evidente: es l longitud del intervlo. Es fácil deducir en dichos csos que : =. L definición de intervlo cerrdo corresponde l de segmento en l geometrí euclíde. Ls definiciones nteriores se pueden extender, considerndo l semirrect y l rect como intervlos no cotdos. [ + ) = { x R / x },, se representn o ien ( + ) = { x R / x > },, se representn o ien ( ] = { x R / x },, se representn o ien ( ) = { x R / x < },, se representn o ien, + =. Pr el cso de tod l rect, se suele expresr ( ) R 2. Cots En ls siguientes definiciones, hremos mención del cuerpo ordendo K pr referirnos indistintmente l de los rcionles ( Q, +,, ) o el de los reles ( R, +,, ), especificndo uno de ellos en cso necesrio. Definición 1 Se C un suconjunto de un cuerpo ordendo K. Se dice que: ) h K es cot inferior de C, si y solo si pr todo ) k K es cot superior de C, si y solo si pr todo x C se cumple h x. x C se cumple x k. c) C es cotdo inferiormente, si y solo si existe h cot inferior de C. d) C es cotdo superiormente, si y solo si existe k cot superior de C. e) C es cotdo, si y solo si es cotdo superiormente e inferiormente. L últim prte de l definición, se puede expresr firmndo que si un conjunto C es cotdo si y solo si existen h, y k tles que h x k pr todo x C.

2 Definición 2 Se C un suconjunto de un cuerpo ordendo K. ) M es máximo del conjunto C, si y solo si M C y M es cot superior de C. ) m es mínimo del conjunto C, si y solo si m C y m es cot inferior de C. Si un conjunto tiene máximo o mínimo éste es único. Si tuvier mos, éstos tmién son únicos. Demostrdo en clse Extremos Un conjunto cotdo superiormente (inferiormente) tiene infinits cots superiores(inferiores); podemos entonces considerr el conjunto de ls cots superiores (inferiores). Por ejemplo el conjunto de ls cots superiores no tiene máximo pero si tiene mínimo. Esto d lugr l siguiente definición. Definición 3 Se C un suconjunto, no vcío, de un cuerpo ordendo K. ) Llmremos extremo superior o supremo de C, l mínim cot superior de dicho conjunto. ) Llmremos extremo inferior o ínfimo de C, l máxim cot inferior de dicho conjunto. Es decir, que el extremo superior o supremo( extremo inferior o ínfimo) de un conjunto no vcío, de un cuerpo ordendo, es el mínimo (máximo) del conjunto de ls cots superiores(cots inferiores). Es posile definir extremo superior e inferior del siguiente modos Definición 3 Un k K, se llm extremo superior o supremo de un conjunto no vcío C K, si y solo si cumple: i) k es cot superior de C. ii) Si k es cot superior de C, entonces Definición 3 k k. Un h K, se llm extremo inferior o ínfimo de un conjunto no vcío C K, si y solo si cumple: i) h es cot superior de C. ii) Si h es cot superior de C, entonces h h. Ésts definiciones son equivlen l prte () y () respectivmente de l definición nterior de extremos. Demostrrlo como ejercicio. 4. Axiom del Extremo Superior o Supremo. En el cuerpo de los números rcionles, existen suconjuntos no vcíos, cotdos superiormente que no tiene extremo superior. Por ejemplo, el conjunto = { x Q / x 0, y x 2 < 2 } A está cotdo superiormente-prorlo- no ostnte no dmite extremo superior. El ext A = L / L 2 = 2 que como semos no es rcionl. Ese número es el irrcionl, 2. Si el conjunto A, estuvier definido en un cuerpo más mplio que el de los rcionles; un cuerpo que dmitier los irrcionles como números, entonces A tendrí extremo superior. Esto d lugr l ide de completr los números rcionles con los irrcionles otenido un nuevo cuerpo ordendo y completo. Pr otener un cuerpo ordendo completo deemos gregr un nuevo xiom, llmdo xiom del extremo superior o del supremo. Este xiom permite segurr l existenci de números no rcionles - los irrcionles - completndo trvés de él, l cuerpo de los rcionles, lo que motiv que dicho xiom se le llme tmién xiom de completitud. A este nuevo cuerpo lo llmremos cuerpo ordendo de los números reles, o simplemente números reles, R.

3 3 Axiom del Extremo Superior o Supremo Todo conjunto no vcío de números reles, cotdo superiormente tiene extremo superior o supremo. Ejemplo 1) El intervlo (,5), es un conjunto no vcío, cotdo superiormente, por lo tnto tiene extremo superior, de cuerdo l xiom. El extremo superior o supremo es 5. En este cso 5 (,5) por lo que este conjunto no tiene máximo. ( ] 2) El intervlo,5, es un conjunto no vcío, cotdo superiormente, por lo tnto tiene extremo superior, de cuerdo l xiom. El extremo superior o supremo es 5. En este cso - 5 (,5] por lo que este conjunto demás tiene máximo. Si un conjunto no vcío es cotdo inferiormente dmitirá extremo inferior? [ ) Por ejemplo 5,+ dmitirá extremo inferior? Si, es 5, pero deemos prorlo; pr ello proremos un teorem cuy { } demostrción utiliz un conjunto llmdo conjunto simétrico de A y que se define como A = y R / y = x, x A. A ( ] [ ) Por ejemplo si = 3, 5 entonces A = 5, 3. Ejercicio: Represent gráficmente mos conjuntos. Teorem 1 Todo conjunto no vcío de números reles, cotdo inferiormente tiene extremo extremo inferior o ínfimo. Demostrción Llmremos A l conjunto que cumpl ls hipótesis del teorem, es decir conjunto no vcío y cotdo inferiormente. Gráficmente h Definmos el conjunto A = { y R / y = x, x A}, llmdo conjunto simétrico de A. Gráficmente A A -h 1) A φ, efectivmente A φ x A por lo tnto x A. 2) A es cotdo superiormente Efectivmente, si h es un cot inferior culquier A, entonces h x. Entonces h x pr todo De 1) y 2) se deduce que el conjunto dmite extremo superior. Llmemos L = exta. Entonces, pr tod cot superior de x A, por lo tnto h es cot superior de x A se cumple por definición de cot inferior que A. A está en ls condiciones de Axiom del extremo superior, entonces el conjunto A, - h se cumple que Por lo tnto L es l myor de tods ls cots inferiores de A. L h L h siendo h un cot inferior culquier de A. A Entonces, el intervlo mínimo del conjunto. [,+ ) 5, visto nteriormente tiene extremo inferior o ínfimo, es 5, y como 5 [,+ ) 5, -5 el

4 4 Definición del número e Consideremos el conjunto E n 1 x R / x = 1 +, n N n = * pr n = 1, 2, y 3 los números 2, 9, y 64 pertenecen l 4 27 conjunto E. Todo número del conjunto es myor que 1, por lo tnto el conjunto está cotdo inferiormente. Podemos pror que ext E = míne = 2. Además, este conjunto está cotdo superiormente, unque no es sencillo hcerlo. Por lo tnto, E tiene extremo superior. Definimos exte = e llmd constnte de Euler o número e. Es un número irrcionl proximdmente igul 2, Profesor Dniel Olmos

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