Espacios vectoriales reales.

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1 Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de suma de vectores y otra que recibe el nombre de producto de vectores por números reales o producto por escalares, que verifica las siguientes propiedades: (1). u + v V ; u, v V (2). u + v = v + u; u, v V (3). u + (v + w) = (u + v) + w; u, v, w V (4). Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0, tal que: 0 + u = u + 0 = u; u V (5). Para cada vector u V, existe un vector de V, llamado opuesto de u y denotado por u, tal que u + ( u) = 0 (6). ku V ; k IR y u V (7). k(u + v) = ku + kv ; k IR y u, v V (8). (k + l)u = ku + lu; k, l IR y u V (9). (kl)u = k(lu); k, l IR y u V (10). 1u = u; u V Por ser los escalares de IR, se dice que V es un IR-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre cuerpos de escalares distintos de IR, en particular, suelen ser interesantes los espacios vectoriales complejos, donde los escalares son de C. Proposición 3.2 Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: a) 0u = 0 b) k0 = 0 c) ( 1)u = u d) ku = 0 k = 0 ó u = 0 e) El vector cero de un espacio vectorial es único f) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único 3.2 Subespacios vectoriales. Definición 3.3 Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V si W es por si solo un espacio vectorial con las operaciones definidas en V. Como W V, todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W, es decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W : Preliminares. 35

2 3.3 Base y dimensión. (1 ). u + v W ; u, v W (6 ). ku W ; u W y k IR Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única: ku + lv W ; u, v W y k, l IR. Observación: Es claro, que si W es un subespacio de V, entonces 0 W. Definición 3.4 Se dice que un vector v V es una combinación lineal de los vectores v 1, v 2,..., v n si, y sólo si, c 1, c 2,..., c n IR tales que v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n. Definición 3.5 Dado un conjunto de vectores S = {v 1, v 2,..., v k } de un espacio vectorial V, podemos considerar el subespacio vectorial más pequeño que contiene al conjunto de vectores S (ver ejercicios 3.4 y 3.5). Dicho subespacio, es el conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores del conjunto S, que se denomina subespacio lineal generado por S y se denota por lin S ó lin{v 1, v 2,..., v k }, y se dirá que v 1, v 2,..., v k generan lin S. Definición 3.6 Dado un conjunto S = {v 1, v 2,..., v k } de vectores del espacio vectorial V, la ecuación vectorial c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 tiene al menos una solución, a saber: c 1 = c 2 = = c k = 0. Si esta solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes). Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (los vectores son linealmente dependientes). Se tiene la siguente caracterización para que un conjunto de dos o más vectores sea linealmente dependiente (ver ejercicio 3.9): Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes. 3.3 Base y dimensión. Definición 3.7 Si V es un espacio vectorial y S = {v 1,..., v n } es un conjunto finito de vectores de V, diremos que S es una base de V si: a) S es linealmente independiente, y b) S genera a V. Se podría pensar que dos bases de un mismo espacio vectorial pudieran tener un número distinto de vectores, pero no es así, como nos asegura el teorema siguiente Proposición 3.8 Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto {v 1, v 2,..., v m } de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente. Teorema de la base 3.9 Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Definición 3.10 Un espacio vectorial V se dice de dimensión finita si contiene un conjunto finito de vectores que forman una base. Si no existe un conjunto de este tipo, se dice que V es de dimensión infinita. Preliminares. 36

3 3.4 Intersección y suma de subespacios vectoriales. Al espacio vectorial { 0} le consideramos de dimensión finita, aún cuando no tiene conjuntos linealmente independientes. Si un espacio vectorial V es de dimensión finita, teniendo en cuenta el teorema de la base, diremos que la dimensión de V, dim V, es el número de vectores de cualquier base de V. Proposición 3.11 Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, con dim V = n, entonces: a) un conjunto de n vectores de V es base de V, si el conjunto es linealmente independiente o si genera a V. b) a un conjunto de r vectores de V linealmente independiente, con r < n, se le pueden agregar n r vectores hasta formar una base de V. 3.4 Intersección y suma de subespacios vectoriales. Definición 3.12 Si V es un espacio vectorial y E y F son dos subespacios de V, llamaremos intersección de E y F, y lo denotaremos por E F, al conjunto: E F = {u V : u E, y u F }. Como puede probarse facilmente, la intersección de dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V, también es un subespacio vectorial de V. En cambio la unión de dos subespacios no tiene porque serlo. Definición 3.13 Si V es un espacio vectorial y E y F son dos subespacios de V, llamaremos suma de E y F, y lo denotaremos por E + F, al conjunto: E + F = {u V : u = v + w; v E, w F }. Es fácil ver que E + F es un subespacio de V, y además se verifica que lin(e F ) = E + F, es decir, E + F es el menor subespacio que contiene a E F. Definición 3.14 Un espacio vectorial V se dice suma directa de los subespacios E y F, y se escribe V = E F (también se dice que E y F son subespacios suplementarios de V ) si y sólo si: V = E + F y E F = {0} Si se verifica que V = E + F, la segunda propiedad es equivalente a decir que cualquier vector u V puede escribirse de forma única como suma de un vector de E y otro de F. Teorema de Grassman 3.15 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y E y F subespacios de V, entonces: 3.5 El espacio vectorial IR n dim(e + F ) = dim E + dim F dim(e F ). Es frecuente representar el conjunto de los números reales, IR, mediante el conjunto de puntos de una recta en la que se ha definido un sistema de referencia (un origen, un sentido, y una unidad de medida). Esta representación nos permite identificar gráficamente cada número real con un punto de la recta, y viceversa. También es conocida la representación de IR 2 = IR IR mediante el conjunto de los puntos de un plano en el que se ha definido un sistema de coordenadas cartesianas (dos rectas perpendiculares entre sí en las que se definen dos sistemas de referencia que tienen en común el punto Preliminares. 37

4 3.5 El espacio vectorial IR n origen, y la unidad de medida). En este caso, se identifican pares de números reales, (x, y), con puntos del plano. Análogamente se identifican ternas de números reales (x, y, z) con puntos del espacio en el que se ha definido un sistema de coordenadas cartesianas (tres rectas perpendiculares entre sí... ). De esta forma se establece una biyección entre el conjunto IR 3 = IR IR IR y el conjunto de los puntos del espacio tridimensional. Aunque no sea identificable con una representación gráfica, nada impide considerar n- uplas de números reales (x 1, x 2,..., x n ), con n 4. De este modo, llamaremos espacio n- dimensional, IR n, al conjunto IR n = IR IR IR = {(x 1,..., x n ) : x i IR; i = 1,..., n.}. Utilizaremos la notación x para designar más brevemente al punto (x 1,..., x n ) de IR n. En este caso, al número real x i lo llamaremos coordenada o componente i-ésima del punto o vector x. Está claro que lo más frecuente es trabajar con IR 2 ó IR 3, pero también es cierto que los casos en que n > 3 se presentan con suficiente frecuencia en la práctica como para justificar su estudio. Nos encontramos con un espacio n-dimensional cada vez que consideremos un objeto cuyo estudio requiera contemplar n aspectos distintos susceptibles de variación. Definición 3.16 Diremos que dos puntos x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) de IR n iguales, y escribiremos x = y si y sólo si x i = y i ; i = 1,..., n. son Definición 3.17 Llamaremos suma de dos puntos x, y IR n, y lo representaremos por x+y, al punto: x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) Definición 3.18 Llamaremos producto del punto x IR n por el número real λ IR, y lo denotaremos por λx, al punto: λx = λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ) Estas dos operaciones dotan a IR n de una estructura de espacio vectorial. Por esta razón, llamaremos también vectores a los puntos de IR n. El espacio vectorial IR n tiene dimensión n, y cualquier vector puede escribirse de la forma (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 (1, 0,..., 0) + x 2 (0, 1,..., 0) + + x n (0, 0,..., 1). El conjunto de los vectores B = {e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1)}, se denomina base canónica, y es la base más sencilla y cómoda, en general. Evidentemente, existen otras operaciones que pueden dotar a IR n de estructura de espacio vectorial, pero las aquí definidas son las más usuales ya que supone trabajar con ellas a nivel geométrico en los casos IR 2 y IR 3. Otros ejemplos de espacios vectoriales son: a) El conjunto de todas las matrices de tamaño n m con elementos reales, junto con las operaciones de suma de matrices y producto de números reales por matrices, ya indicadas. b) El conjunto de las funciones f: IR IR con las operaciones (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x); f, g: IR IR (ii) (kf)(x) = kf(x); k IR y f: IR IR Preliminares. 38

5 3.6 Espacios de las filas y las columnas de una matriz. Coordenadas. 3.6 Espacios de las filas y las columnas de una matriz. Coordenadas. Definición 3.19 Consideremos la matriz A m n, a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn Los m vectores r 1 = (a 11,..., a 1n ), r 2 = (a 21,..., a 2n ),..., r m = (a m1,..., a mn ) IR n, se denominan vectores fila de A y el subespacio vectorial de IR n generado por ellos, E f (A) = lin{r 1, r 2,..., r m }, espacio de las filas de A. Los n vectores c 1 = (a 11,..., a m1 ), c 2 = (a 12,..., a m2 ),..., c n = (a 1n,..., a mn ) IR m, se denominan vectores columna de A y el subespacio vectorial de IR m generado por ellos, E c (A) = lin{c 1, c 2,..., c n }, espacio de las columnas de A. Proposición 3.20 Si A es una matriz de tamaño m n, entonces las operaciones elementales sobre las filas (resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A. Corolario 3.21 Sea A una matriz, entonces: a) Los vectores no nulos en la forma escalonada de la matriz A, forman una base del espacio de las filas de A. b) Los vectores no nulos en la forma escalonada de la matriz A t, forman una base del espacio de las columnas de A. Teorema 3.22 Sea A una matriz de tamaño m n, entonces: dim(e f (A)) = dim(e c (A)). Demostración: El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(a) = rg(a t ), y que el rango de una matriz coincide con el número de vectores no nulos en la forma escalonada, así como el resultado anterior. Definición 3.23 Dado un espacio vectorial V de dimensión finita y B = {v 1, v 2,..., v n } una base de V, para cada vector v V existen unos únicos números reales c 1, c 2,..., c n tales que v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n. Estos números se denominan coordenadas de v relativas a la base B. El vector de coordenadas de v relativo a la base B se denota mediante (v) B y es el vector de IR n : (v) B = (c 1, c 2,..., c n ). La matriz de coordenadas de v relativas a la base B se denota por [v] B y es la matriz n 1 definida por: [v] B = (v) t B = c Cambios de base. Definición 3.24 Sean B = {u 1, u 2,..., u n } y B = {v 1, v 2,..., v n } son bases de un espacio vectorial V. Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B a la base B, la matriz de dimensiones n n, que por columnas es ( ) P = [u 1 ] B [u 2 ] B [u n ] B, es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas del vector u i en la base B. c 1 c n. Preliminares. 39

6 3.8 Espacios vectoriales con producto interior. Proposición 3.25 Sea P la matriz de paso de una base B en otra base B para un espacio vectorial V. Entonces: a) x V se tiene que [x] B = P [x] B. b) P es inversible y su inversa, P 1, es la matriz de paso de la base B a la base B. 3.8 Espacios vectoriales con producto interior Producto interior. Norma. Distancia Definición 3.26 Un producto interior en un espacio vectorial real V es una función que a cada par de vectores u, v V le asocia un número real, que denotaremos por u, v, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: a) u, v = v, u ; u, v V. b) u + v, w = u, w + v, w ; u, v, w V. c) ku, v = k u, v ; u, v V y k IR. d) u, u 0; u V y u, u = 0 u = 0. Otra propiedades que se deducen de las anteriores son: a) 0, u = 0 b) u, v + w = u, v + u, w c) u, kv = k u, v A partir de un producto interior sobre un espacio vectorial V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo. Definición 3.27 Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la longitud de un vector v V se denota mediante v y se define como v = + v, v. norma o La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v) y se define como d(u, v) = u v = + u v, u v. Desigualdad de Cauchy-Schwarz 3.28 Para todo u, v V, espacio con producto interior, se tiene que u, v 2 u 2 v 2. Definición 3.29 Si u y v son vectores, distintos de cero, de un espacio con producto interior, entonces, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que 1 y por tanto existe un único ángulo, θ, tal que u, v u v 1 cos θ = u, v u v, con 0 θ π Preliminares. 40

7 3.8 Espacios vectoriales con producto interior. Definición 3.30 En un espacio vectorial con producto interior, V, dos vectores u y v se dicen ortogonales si u, v = 0. Además, si u V es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W, se dice que u es ortogonal a W. Propiedades básicas de la norma 3.31 a) u 0; u V b) u = 0 u = 0 c) ku = k u ; u V y k IR d) u + v u + v ; u, v V Propiedades básicas de la distancia 3.32 a) d(u, v) 0; u, v V b) d(u, v) = 0 u = v c) d(u, v) = d(v, u); u, v V d) d(u, v) d(u, w) + d(w, v); u, v, w V El espacio euclídeo n-dimensional IR n Sobre el espacio vectorial IR n definimos la siguiente función IR n IR n IR (x, y) n x y = x 1 y x n y n = x i y i i=1 siendo x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ). Como puede verse fácilmente dicha función es un producto interior, el que se conoce como producto interior euclídeo. Este producto interior da lugar a las conocidas como norma y distancia euclídeas. Se llama espacio euclídeo n-dimensional a IR n con las operaciones de suma, producto por escalares y producto interior definidos. El producto interior euclídeo, aquí definido, constituye una generalización a IR n del producto escalar definido, y bien conocido, en IR 2 y IR 3. Teorema general de Pitágoras 3.33 Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces u + v 2 = u 2 + v 2. Este resultado de fácil demostración, se reduce en IR 2 con el producto interior euclídeo, al conocido teorema de Pitágoras Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt Definición 3.34 Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior y B = {v 1, v 2,..., v n } una base de V. Se dice que B es una base ortonormal de V si v i = 1, i = 1,..., n y v i, v j = 0; i, j = 1,..., n con i j. La ventaja de trabajar con bases ortonormales es muy grande como ya es conocido en IR 2 ó IR 3. Preliminares. 41

8 3.8 Espacios vectoriales con producto interior. Teorema 3.35 Si B = {v 1, v 2,..., v n } es una base ortonormal para un espacio, V, con producto interior, entonces v V se tiene que: es decir, (v) B = ( v, v 1, v, v 2,..., v, v n ). v = v, v 1 v 1 + v, v 2 v v, v n v n, Teorema 3.36 Si S = {v 1, v 2,..., v k } un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos, entonces S es linealmente independiente. Teorema 3.37 Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B a otra base ortonormal B, entonces P es una matriz ortogonal (es decir, P t = P 1 ). Definición 3.38 Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = {v 1, v 2,..., v k } una base ortonormal de W. Para cada v V, llamaremos proyección ortogonal de v sobre W al vector de W Proy W v = w 1 = v, v 1 v 1 + v, v 2 v v, v k v k. Al vector v Proy W v se le llama componente ortogonal de v sobre W. Teorema 3.39 Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = {v 1, v 2,..., v k } una base ortonormal de W, entonces para cada v V, el vector v Proy W v es ortogonal a cada vector de W. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 3.40 Sean V un espacio vectorial con producto interior de dimensión finita y B = {v 1, v 2,..., v n } una base de V. Vamos a describir un proceso para conseguir a partir de la base B una base ortonormal B = {u 1, u 2,..., u n }. Este proceso de ortonormalización es él de Gram-Schmidt y se basa en el teorema anterior. Demostración: 1 a etapa.- Como v 1 0 por ser de la base B, el vector u 1 = v 1 v 1 tiene norma 1. 2 a etapa.- Sea W 1 = lin{u 1 }, por el teorema anterior, el vector v 2 Proy W1 v 2 es ortogonal a W 1, en particular a u 1, y como es distinto del vector 0 se tiene que u 2 = v 2 Proy W1 v 2 v 2 Proy W1 v 2 = v 2 v 2, u 1 u 1 v 2 v 2, u 1 u 1 es ortogonal a u 1 y tiene norma 1. En efecto, si fuera v 2 v 2, u 1 u 1 = 0, entonces 0 = v 2 v 2, u 1 u 1 = v 2 v 2, u 1 v 1 v 1 = λ 1v 1 + λ 2 v 2, para λ 1 = v 2, v 1 y λ 2 = 1 y, en consecuencia, {v 1, v 2 } sería un conjunto linealmente dependiente, lo que es absurdo por ser B = {v 1, v 2,..., v n } una base de V v 1. 3 a etapa.- Sea W 2 = lin{u 1, u 2 }, aplicando el teorema anterior, sabemos que el vector v 3 Proy W2 v 3 es ortogonal a W 2, en particular a u 1 y u 2, y como es distinto del vector 0, se tiene que u 3 = v 3 Proy W2 v 3 v 3 Proy W2 v 3 = v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u 2 u 2 v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u 2 u 2 Preliminares. 42

9 3.9 Ejercicios. es ortogonal a u 1 y u 2, y tiene norma 1. En efecto, si fuera v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u 2 u 2 = 0, entonces 0 = v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u 2 u 2 = = v 3 v 3, u 1 v 1 v 1 v 3, u 2 v 2 v 2, u 1 u 1 v 2 v 2, u 1 u 1 = λ 1v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 ; y como λ 3 = 1, {v 1, v 2, v 3 } sería un conjunto linealmente dependiente, lo que es absurdo por ser B = {v 1, v 2,..., v n } una base de V. Continuando con el proceso se va construyendo un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B = {u 1, u 2,..., u n }. Dado que dim V = n y que todo conjunto ortonormal es linealmente independiente, se concluye que B es una base ortonormal de V. 3.9 Ejercicios. 3.1 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a) IR 2 con las operaciones: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) y k(x, y) = (2kx, 2ky). b) A = {(x, 0) : x IR} con las operaciones usuales de IR 2. c) IR 2 con las operaciones: (x, y) + (x, y ) = (x + x + 1, y + y + 1) y k(x, y) = (kx, ky). d) El conjunto de los números reales estríctamente positivos, IR + {0}, con las operaciones: x + x = xx y kx = x k. 3.2 Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de IR 3 ó IR 4? a) Todos los vectores de la forma (a, 1, 1). b) Todos los vectores de la forma (a, b, c) con b = a + c. c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a + 2d = 7. d) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con ba = Sean v 1 = (2, 1, 0, 3), v 2 = (3, 1, 5, 2) y v 3 = ( 1, 0, 2, 1). Cuáles de los vectores (2, 3, 7, 3), (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1) y ( 4, 6, 13, 4), están en lin{v 1, v 2, v 3 }? 3.4 Sea V un espacio vectorial y S = {v 1,..., v k }. Probar que lin S es un subespacio vectorial de V. 3.5 Sea V un espacio vectorial y S = {v 1,..., v k }. Probar que si W es un subespacio vectorial de V que contiene a los vectores de S, entonces lin S W. 3.6 Sean V un espacio vectorial y E y F dos subespacios de V. Probar que E F y E + F son subespacios de V. 3.7 Para qué valores reales de λ los vectores v 1 = (λ, 1 2, 1 2 ) v 2 = ( 1 1 2, λ, 2 ) y v 3 = ( 1 2, 1 2, λ) forman un conjunto linealmente dependiente en IR3? 3.8 Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w, demostrar que u + v, v + w y w + u son también linealmente independientes. 3.9 Probar que si los vectores v 1,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de IR 4 : a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0). b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a b. c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d. Preliminares. 43

10 3.9 Ejercicios Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B, de m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de IR n. Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si B = 0? 3.12 Considerar en IR 4 los siguientes conjuntos de vectores: A = {(1, 2, 1, 3), (0, 1, 0, 3)} B = {(1, 1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)} a) Hallar las dimensiones de lin(a) y de lin(b). b) Hallar las ecuaciones paramétricas de lin(a) y de lin(b). c) Hallar una base de lin(a) + lin(b). d) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(a) y de lin(b). e) Hallar la dimensión de lin(a) lin(b) Consideremos en el espacio vectorial IR 3 la base B = {u 1, u 2, u 3 }. Sea E el subespacio engendrado por los vectores v 1 = u 1 + 3u 3, v 2 = 2u 1 3u 2 + u 3, v 3 = 4u 1 3u 2 + 7u 3. Sea F el subespacio engendrado por los vectores w 1 = u 1 + u 2 + u 3, w 2 = 2u 1 + 3u 2 + 4u 3, w 3 = 3u 1 + 4u 2 + 5u 3. Hallar una base de E, una base de F, el subespacio E F y una base de E F Sea M 2 2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden ( 2 sobre IR y ) sea E a b + c el subconjunto de M 2 2 formado por las matrices de la forma con b + c a a, b, c IR. a) Demostrar que E es un subespacio vectorial. ( ) 1 0 b) Probar que las matrices A 1 =, A = una base de E. ( ), A 3 = ( ), forman 3.15 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que el conjunto {v 1, v 2,..., v n } es una base de V si, y sólo si el conjunto {[v 1 ] B, [v 2 ] B,..., [v n ] B } es una base de IR n Sean u = (u 1, u 2, u 3 ) y v = (v 1, v 2, v 3 ). Determinar si u, v = u 1 v 1 u 2 v 2 + u 3 v 3 define un producto interior en IR Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los vectores v 1, v 2,..., v k entonces es ortogonal a lin{v 1, v 2,..., v k } a) Encontrar dos vectores de IR 2 con norma euclídea uno y cuyo producto interior euclídeo con ( 2, 4) sea cero. b) Demostrar que hay un número infinito de vectores en IR 3 con norma euclídea uno y cuyo producto interior euclídeo con ( 1, 7, 2) es cero Demostrar que si V es un espacio con producto interior, entonces u, v V, u, v = 1 4 ( u + v 2 u v 2) 3.20 Sea {v 1, v 2,..., v k } una base del espacio vectorial V con producto interior. Demostrar que 0 es el único vector en V que es ortogonal a todos los vectores de la base Sean a = ( 1 5, 1 5 ) y b = ( 2 30, 3 30 ). Demostrar que {a, b} es ortonormal si IR 2 tiene el producto interior u, v = 3u 1 v 1 + 2u 2 v 2 donde u = (u 1, u 2 ) y v = (v 1, v 2 ), y que no lo es si IR 2 tiene el producto interior euclídeo. Preliminares. 44

11 3.9 Ejercicios Considera IR 3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en cada caso, la base {u 1, u 2, u 3 } en una base ortonormal. a) u 1 = (1, 1, 1), u 2 = ( 1, 1, 0), u 3 = (1, 2, 1). b) u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (3, 7, 2), u 3 = (0, 4, 1) Considera IR 3 con el producto interior u, v = u 1 v 1 + 2u 2 v 2 + 3u 3 v 3. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base formada por los vectores u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 1, 0) y u 3 = (1, 0, 0) en una base ortonormal Sea {v 1, v 2, v 3 } una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Demostrar que si w es un vector de V, entonces: w 2 = w, v w, v w, v Tomemos en IR 4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = ( 1, 2, 6, 0) en la forma w = w 1 + w 2 donde, w 1 está en el subespacio W generado por los vectores u 1 = ( 1, 0, 1, 2) y u 2 = (0, 1, 0, 1), y w 2 es ortogonal a W Suponer que IR 4 tiene el producto interior euclideo. a) Hallar un vector ortogonal a u 1 = (1, 0, 0, 0) y u 4 = (0, 0, 0, 1), y que forme ángulos iguales con los vectores u 2 = (0, 1, 0, 0) y u 3 = (0, 0, 1, 0). b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u 1 y a u 2, tal que el coseno del ángulo entre x y u 3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que si a 1, a 2,..., a n son números reales positivos, entonces ( 1 (a 1 + a a n ) ) n 2 a2 a 2 a n 3.28 Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) al subespacio generado por los vectores v 1 = (1, 1, 1, 0) y v 2 = (1, 1, 0, 0) Dados los vectores x = (x 1, x 2, x 3 ) e y = (y 1, y 2, y 3 ) de IR 3, demostrar que la expresión x, y = 2x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 1 y 2 + x 2 y 1 define un producto interior. Encontrar una base {u 1, u 2, u 3 } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u 2 y u 3 tengan igual dirección y sentido que los vectores (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente En una cierta base {u 1, u 2, u 3, u 4 } de un espacio vectorial V, un vector w tiene por coordenadas (3, 1, 2, 6). Hallar las coordenadas de W en otra base {v 1, v 2, v 3, v 4 } cuyos vectores verifican que v 1 = u 1 + u 2, v 2 = 2u 4 u 1, v 3 = u 2 u 3, v 4 = 2u 1 u En IR 3 se consideran las bases B = {e 1, e 2, e 3 } (la base canónica) y B = {v 1, v 2, v 3 } donde v 1 = (2, 0, 0), v 2 = (0, 1, 2) y v 3 = (0, 0, 3). Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4e 1 + e 2 5e Se consideran en IR 3 las bases B = {u 1, u 2, u 3 } y B = {v 1, v 2, v 3 }, siendo u 1 = ( 3, 0, 3), u 2 = ( 3, 2, 1), u 3 = (1, 6, 1) y v 1 = ( 6, 6, 0), v 2 = ( 2, 6, 4), v 3 = ( 2, 3, 7). a) Hallar la matriz de paso de B a B. b) Calcular la matriz de coordenadas, [w] B, siendo w = ( 5, 8, 5). c) Calcular [w] B de dos formas diferentes 3.33 Sea V el espacio generado por f 1 (x) = sen(x) y f 2 (x) = cos(x). Preliminares. 45

12 3.9 Ejercicios. a) Demostrar que g 1 (x) = 2 sen x + cos x y g 2 = 3 cos x forman una base para V. b) Hallar la matriz de transición de B = {f 1, f 2 } a B = {g 1, g 2 }. c) Calcular la matriz de coordenadas, [h] B, donde h(x) = 2 sen x 5 cos x. d) Calcular la matriz de transición de B a B Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto ortonormal en IR n. Preliminares. 46

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