NÚMEROS ÍNDICES. Julio César Alonso CUARTA EDICIÓN

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1 NÚMEROS ÍNDCES Julio César Aloso CUARTA EDCÓN Diciembre 24

2 Aues de Ecoomía No. 4 APUNTES DE ECONOMÍA SSN X Cuara edició, diciembre de 24 Edior Julio César Aloso C. jcaloso@icesi.edu.co Asisee de Edició Sehaie Vergara Rojas Gesió Ediorial Dearameo de Ecoomía - Uiversidad CES Tel: ex: 398. Fax: Calle 8 #22-35 Cali, Valle del Cauca Colombia

3 Aues de Ecoomía No. 4 NÚMEROS ÍNDCES Julio César Aloso C. Diciembre de 24 Resume Ese documeo resea ua breve iroducció a los úmeros ídice. Se discue de maera didácica ao ídices simles como comuesos de caidades, recios y valores. Se discue como cambiar de base y emalmar ídices. Ese documeo esá dirigido ricialmee a esudiaes de regrado de ecoomía, ero or la secillez del leguaje, uede ser de uilidad ara cualquier esudiae o rofesioal ieresado e la maiulació de úmeros ídices. Palabras claves: Números Ídices, Ídice de Sauerbeck, Ídice de Paasche, Ídice de Laseyres, Cambio de Base. Aues de Ecoomía es ua ublicació del Dearameo de Ecoomía de la Uiversidad cesi, cuya fialidad es divulgar las oas de clase de los docees y bridar maerial didácico ara la isrucció e el área ecoómica a diferees iveles. El coeido de esa ublicació es resosabilidad absolua del auor. Jefe, Dearameo de Ecoomía de la Uiversidad cesi. 2

4 Aues de Ecoomía No. 4. roducció E el roceso de la oma de decisioes, ao e el secor rivado como e el úblico, se requiere idicadores que ermia cuaificar e forma resumida el desarrollo de los acoecimieos. Los orgaismos esaales o rivados coiuamee ublica cifras que sirve de idicadores del esado de diferees asecos de la realidad ecoómica y emresarial que so emleados e la oma de decisioes. El uso de esos idicadores es variado y deede e cada ooruidad de su coeido esecífico. Para eviar roblemas, el usuario de esos idicadores requiere coocer reviamee lo que exise derás de ellos e el roceso de su cosrucció; co el fi de deermiar si su emleo es o o el adecuado. Es difícil resumir e u solo úmero el comoramieo de ua variable ecoómica, ero recisamee los úmeros ídices iea recoger e ua sola cifra la variació de ua variable o u cojuo de ellas, ideedieemee de las uidades que se emlee e la medició. Co mayor recisió, u úmero ídice se defie como ua cifra relaiva que recoge las variacioes romedio e recios, caidades o valores de ua o más variables durae u eríodo reseco a u eríodo deermiado. E oras alabras, u úmero ídice refleja las variacioes relaivas, y o absoluas, que exerimea ua variable ecoómica, ya sea ésa el recio de u bie, el ivel de recios de la ecoomía, el valor de las exoracioes, o el roduco iero bruo. Al ser ua medida relaiva, los ídices carece de uidades, hecho que ermie su uilizació ara comaracioes e el iemo y e el esacio (ere dos o más ciudades, regioes, y/o aíses). Así, ecoraremos ídices que refleja la evolució e el iemo de:. U úico recio ( ), como or ejemlo el recio del Café e la bolsa de Nueva York, el recio del dólar, el salario romedio, ec. 3

5 Aues de Ecoomía No Ua caidad ( ), como or ejemlo las oeladas exoradas de café, las uidades roducidas or ua fábrica, la caidad de celulares vedidos, las horas romedio rabajadas or los asalariados, ec. 3. El valor de ua rasacció ( P ), como or ejemlo el valor e dólares o esos de las exoracioes de café, el valor e esos o dólares de las veas de carros, los igresos ercibidos or los asalariados, ec. 4. El valor de ua caasa de biees o servicios P i, i,, como or ejemlo la i evolució del valor de la caasa familiar, la evolució del valor de los arículos que se emlea comúmee ara roducir biees e el secor maufacurero, ec. Las rimeras res clases de úmeros ídice so deomiados ídices simles, mieras que la úlima clase se le deomia ídices comuesos o agregaivos. E la seguda secció de ese documeo se discue la cosrucció de los ídices simles, dejado ara la ercera secció los ídices comuesos. E la cuara are se discue alguas oeracioes imoraes e la rácica de los ecoomisas que ivolucra los úmeros ídices como es el cambio de base ere oras. TABLA - Glosario Ídice Ídice comueso Ídice simle Período Base Cifra relaiva (exresada e forma de orceaje), que reresea las variacioes medias e recio, caidad o valor, de uo o más íems e ua eríodo dado, reseco a u eríodo base o de referecia. Reresea la evolució de u cojuo de variables reseco al eríodo base. Reresea la evolució de ua úica variable reseco al eríodo base. Período que sirve como líea de comaració y e el caso de los 4

6 Aues de Ecoomía No. 4 Período Referecia Poderacioes ídices comuesos es el eríodo ara el que se esablece la esrucura de oderacioes del ídice Período ara el cual u ídice (simle o comueso) es igual a. E el caso de u ídice simle el eríodo referecia y la base coicide, hecho que o ecesariamee es ciero ara u ídice comueso. La imoracia (eso relaivo) que se le asiga a cada ua de las variables que coforma u ídice comueso. 2. Ídices Simles Aes de erar e maeria, recordemos la defiició de u úmero ídice, u úmero ídice es ua cifra relaiva que recoge las variacioes romedio e recios, caidades o valores de ua variable durae u eríodo reseco a u eríodo deermiado. Como se mecioó aeriormee, el hecho de ser ua medida relaiva evia que los úmeros ídices ega uidades, cualidad imorae al momeo de realizar comaracioes e el iemo o ere regioes. Pero si los úmeros ídices so ua medida relaiva, la regua que surge es relaiva a qué? Como su defiició lo aoa, odas las variacioes se mide reseco a u eríodo deermiado, a ese eríodo se le cooce como eríodo base. La elecció del eríodo base ara la comaració imlícia e odo ídice deede del uso que se le vaya a dar al ídice. E geeral, ara el caso de los ídices simles la escogecia del eríodo base o revise mayor comlicació, y covecioalmee se recomieda escoger como base a u eríodo que o resee muchas aomalías, es decir, u comoramieo aíico. Ahora suogamos que coamos co varias observacioes de ua variable ecoómica 2 X y deseamos calcular u ídice simle ( ) ara el eríodo, 2 Puede ser el recio de u bie o servicio, las caidades de u bie o servicio, o el valor de las rasaccioes efecuadas e oro a u bie o servicio. 5

7 Aues de Ecoomía No. 4 emleado como base el eríodo. E ese caso, el ídice esará defiido de la siguiee forma: X X Noe que () reresea el orceaje de cada cifra de la serie, reseco del valor observado e el eríodo base. Así, los disios ídices simles se obiee dividiedo cada valor aual (o mesual, semaal, ec.) or la cifra del eríodo base y or úlimo mulilicádolo or. () E caso que la variable e cosideració corresoda a u recio, eoces el ídice simle se cooce como u ídice (simle) de recios. Si la variable cosiderada so las caidades, eoces se le deomia u ídice (simle) de caidades (o ambié coocido como u ídice de volume). Si or el corario la variable bajo cosideració es el valor e esos de ua rasacció (recio mulilicado or caidades) eoces el ídice se deomiará u ídice (simle) de valor. EJEMPLO 2-. Cálculo de Ídices (simles) de Precios, Caidades y Valor. A arir de la iformació, reorada e la TABLA 2-, de la roducció, recio y valor de la roducció de mora ara el muiciio de Cali, calcule los ídices de recios, caidades y valor, omado como base el año 998. TABLA 2-. Precio, Caidades Producidas y Valor de la Producció de Mora e el Muiciio de Cali* (996 2) Precio romedio Caidades Valor de la Año roducidas Producció (miles de $/ o) (To.) (Miles de $) , , , , , ,5 *Fuee: URPA Cali 6

8 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 2-. Cálculo de Ídices (simles) de Precios, Caidades y Valor. (Co.) RESPUESTA: Para calcular el ídice simle de recios ara el muiciio de Cali co base 998, se requiere efecuar la siguiee oeració: ara 996,997,..., 2. Los resulados del calculo de ese ídice de recios se reora e la TABLA 2-2. TABLA 2-2. Precio e ídice de recios de la Mora e el Muiciio de Cali (996 2) Precio romedio Ídice de Año recios (miles de $/ o) (998) Fuee: URPA Cali y Cálculos Proios Similarmee, los ídices de volume y valor se calcula de acuerdo a las siguiees fórmulas: y , ara 996,997,..., 2. Los resulados se resea e la TABLA

9 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 2-. Cálculo de Ídices (simles) de Precios, Caidades y Valor. (Co.) TABLA 2-3. Ídice de recios, Caidades y Valor ara la Mora e el Muiciio de Cali (996 2) Precio romedio Ídice de Caidades Ídice de Valor de la Ídice de Año recios roducidas caidades Producció valor (miles de $/ o) (998) (To.) (998) (Miles de $) (998) , , , , , , Fuee: Cálculos Proios 2.. Caracerísicas de los úmeros ídices y su uilidad Regresado a los ídices simles, es imorae mecioar varias caracerísicas de los ídices. Esas caracerísicas so: o Los ídices siemre será igual a ara el año base 3 (esa caracerísica es coocida como la roiedad de ideidad (Lora (987) ). o Los ídices o cambiará si las uidades e que se mide las variables de la serie so cambiadas, es decir, o deede de las uidades 4. o Los ídices carece de uidades 5. X 3 Claramee, edremos que. X 4 Si mulilicamos odos los elemeos de la serie or ua cosae c, eemos que cx X, es decir, el ídice será igual al iicial. cx X 5 Si erder geeralidad, suoga que X es medida e esos or oelada. Eoces X $ To. X edremos que, es decir, el ídice carece de uidades. cx $ To. X 8

10 Aues de Ecoomía No. 4 E la iroducció de ese documeo se mecioó que los úmeros ídices ermie describir la evolució de ua variable. Ya hemos viso como calcular los ídices, ahora veamos cómo os ayuda eso a esudiar la evolució de la variable? Los úmeros ídices ermie coocer ráidamee la variació orceual ocurrida ere cualquier eriodo y el eríodo base. Noe que dicha variació orceual viee dada or: X X X X %(, ) o X X X E dode, >. Es decir, ara coocer el crecimieo orceual de ua variable ere el eríodo base y el eríodo, sólo ecesiamos resarle al ídice simle del eriodo. (2) Es imorae resalar que la exresió (2) fucioará si y solamee si esamos comarado u eriodo más reciee co el eríodo base 6. Siguiedo el EJEMPLO 2-, ara coocer el cambio orceual del recio de la mora ere 998 y el 2, sólo ecesiamos resarle a 9. Es decir, el recio de la mora decreció e %, ara el eríodo E caso que se desee calcular el cambio orceual eríodo a eríodo, es decir, ere el eríodo y, los ídices ambié os ermie realizar esos cálculos. Por ejemlo, el cambio orceual de la variable bajo esudio ere el eríodo y esá dado or: X X X X X %(, ) X X X X E oras alabras, el cambio orceual e la variable X es igual al cambio orceual e su ídice. (3) 6 E caso que se desee comarar el año base co u eríodo aerior a ese, eoces la X X X exresió (2) se coverirá e: % o X X. 9

11 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 2.2. Cálculo del Crecimieo Porceual de ua Variable a arir de u Ídice Coiuado co el EJEMPLO 2-, calcule el cambio orceual aual e el recio de la mora e el muiciio de Cali durae el eríodo. RESPUESTA: Como se discuió, el crecimieo orceual aual del recio será: % ( ) ara 996,997,..., 2. Los resulados del calculo de ese ídice de recios se reora e la TABLA 2-4. TABLA 2-4. Crecimieo Porceual del Precio de la Mora e el Muiciio de Cali (996 2) Ídice de Cambio % Año recios (998) aual Fuee: Cálculos Proios 2.2. Relacioes ere los Ídices de recios, caidades y valor Es imorae aoar la esrecha relació que exise ere los ídices simles de recios, caidades y valor. Es claro que el valor de ua rasacció e el eríodo corresode a: V (4) Ahora dividamos ambos lados de la ecuació or el valor de la rasacció e el eríodo base o, es decir,

12 Aues de Ecoomía No. 4 V V V o o o o Mulilicado ambos lados de la ecuació or edremos: V V o o o Y, emleado la defiició de los ídices de recios, caidades y de valor, eemos que: V V o o o (5) V Es decir, si coocemos dos de los ídices, odremos ecorar el ercero or medio de la relació exresada e (5). Ese resulado se uede cosaar e el EJEMPLO Ídices Simles co base variable E muchas ooruidades se ecesia o coviee exresar cada cifra de ua serie croológica, e relació a la aerior. Para ello se divide el dao del eríodo or el dao del eríodo. Es decir, se divide el rimer dao or el segudo, oseriormee se divide la ercera cifra or la seguda y así sucesivamee. Esos cociees, mulilicados or, cosiuye los ídices de base variable. Cada uo señala la relació de la cifra del eríodo co la del eríodo imediaamee aerior. Si el ídice co base variable es meor que, imlica ua dismiució orceual y e caso corario u crecimieo. Cada ídice de base variable cosiuye u eslabó de ua cadea que descomoe u ídice de base fija. Por ejemlo, suoga que cuea co dos úmeros ídice BASE ( ) ( ) cosecuivos co base variable( BASE, -2 ), eoces emleado esos ídices

13 Aues de Ecoomía No. 4 de base variable se odrá cosruir u ídice ara el eríodo co base fija e el eríodo 2 de la siguiee forma 7 : BASE ( -2 ) BASE ( ) BASE ( -2) (6) E geeral, si se cuea co ua serie de k ídices co base variable, se odrá ecorar u ídice de base fija ara el eríodo co base fija e el eríodo k de la siguiee maera: BASE ( - k ) BASE ( -k ) BASE ( -2 ) BASE ( ) BASE ( -k ) k k 2... (7) k Es imorae aoar que el ecadeamieo se ha alicado, e ese caso, a u ídice simle. Pero ambié se uede exeder el rocedimieo a ídices oderados o comuesos. EJEMPLO 2.3. Cálculo de u Ídice (simle) de Precios co base variable. A arir de la iformació reorada e la TABLA 2-, calcule u ídice de recios co base variable ara el recio de la mora e el muiciio de Cali. RESPUESTA: Para calcular el ídice co base variable de los recios de la mora ara el muiciio de Cali, se requiere efecuar la siguiee oeració: se resea e la TABLA 2-5. BASE. Los resulados 7 Es muy fácil demosrar que (6) es correco, oe que: X X BASE ( -2 ) BASE ( ) X 2 X X X 2 BASE ( -2) 2

14 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 2.3. Cálculo de u Ídice (simle) de Precios co base variable (Co.) TABLA 2-5. Precio e ídice de Precios co base flexible de la Mora e el Muiciio de Cali (996 2) Precio romedio Ídice de Año recios (miles de $/ o) (Base variable) Fuee: URPA Cali, cálculos roios 3. Ídices Comuesos El mayor uso de los ídices se resea e la cosrucció de ua sola cifra, que recoja el comoramieo de variacioes de más de ua variable de relevacia ecoómica. Así, u úmero ídice comueso se defie como u úmero que combia la variació de u cojuo de variables ( X i ) mediae u cojuo de oderacioes w i, las cuales deermia el eso fial que edrá cada variable e el úmero ídice. Por lo geeral los ídices comuesos más emleados corresode a los ídices de recios y e meor medida a los ídices comuesos de caidades. E la siguiee secció se describirá diferees méodos que se emlea ara cosruir ídices de recios comuesos, dejado la discusió de los ídices de caidades ara la seguda secció. 3

15 Aues de Ecoomía No Tios de oderacioes más comues e la cosrucció de ídices de recios Si se iee los recios de diversos arículos, odría calcularse u úmero ídice que recoja la variació de los diversos recios de los arículos bajo esudio. Ese ídice ermiirá resumir el comoramieo de los recios de esa caasa o cojuo de arículos. Aálogamee a la defiició de u ídice comueso, u ídice de recios comueso será ua cifra que combia la variació de u cojuo de recios e el eríodo co i, 2,... ) mediae u cojuo de oderacioes w i. Fisher (927) ( i, describe 34 fórmulas diferees ara cosruir úmeros ídices y asigar sus oderacioes. Poseriormee umerosos auores ha comlemeado ese rabajo co ovedosas formas de cálculos de ídices. A coiuació se resea las formas más oulares de calcular dichas oderacioes Ídice de Sauerbeck o de iguales oderacioes E la Secció 2 se discuió la cosrucció de ídices de recios simles, e los cuales sólo se ivolucra u recio y defiíamos u ídice de recios simle co año base como: Ahora suogamos que deseamos cosruir el ídice de recios ara u cojuo de recios. E ese caso, se odría combiar los resecivos ídices simles de cada ( ) recio i ( i ), i, simles: wi dádole igual oderació a cada uo de los ídices. Es decir, el ídice de recios de Sauerbeck ara u cojuo de recios, e el eríodo y co año base se defie como: 4

16 Aues de Ecoomía No. 4 S w i i i i i i i (8) Pero ese ídice iee varios roblemas, el rimero es que obviamee raa a odos los recios or igual y esecialmee e la rácica, sus variacioes, o iee igual imoracia desde el uo de visa del aalisa, ya sea u gremio de roducores, u cosumidor o el gobiero. Para calcular u ídice de recios más adecuado, debe esablecerse la imoracia o oderació de cada arículo. Esa oderació uede ser fija o cosae. Las oderacioes fijas iee la desveaja de que ellas uede o reflejar el cambio e la imoracia relaiva de los biees de la caasa bajo esudio. Por oro lado, esa dificulad se uede salvar mediae oderacioes variables coforme a los cambios e los hábios y a oras circusacias. Pero e ese úlimo caso, las variacioes del ídice obedece a ua mezcla isearable de aleracioes de recios y de oderacioes Ídice de Laseyres El ídice de Laseyres emlea oderacioes fijas que corresode a la ariciació del gaso e cada uo de los biees e el valor oal de la caasa del eríodo base. Es decir, si defiimos i, como las uidades del arículo i que esá resee e la caasa del eríodo, eoces las oderacioes de ése ídice corresode a: w i j i, i, j, j, (9) Así, el ídice de Laseyres co base e el eríodo corresoderá a u romedio oderado de los ídices simles de recios ara los i arículos que esá resees e la caasa. E oras alabras: 5

17 Aues de Ecoomía No. 4 i i, i, i, i, i i i i i i j, j, j, j, j j () L w ( ) La exresió () uede simlificarse, emleado el hecho que i ( i ), i, de la siguiee forma:, L i j i, i, j, j, () Así, el deomiador de ese ídice de recios corresode al valor de la caasa e el eríodo base, mieras que el umerador corresode al recio de esa misma caasa a recios del eríodo. El ídice de Laseyres uede ierrearse eoces, como la relació ere el valor de ua caasa de biees y servicios del eríodo base a los recios del eriodo, y el valor agado or los mismos arículos e el eríodo base. El ídice de recios de Laseyres se uiliza e los casos dode es difícil obeer eriódicamee las oderacioes. Además, la secillez de la fórmula, facilidad de comresió, requerimieos de meos aecedees, adaació a gra úmero de roblemas y meor coso e su emleo, exlica la referecia ara su alicació e la gra mayoría de los casos Ídice de Paasche El ídice de Paasche emlea oderacioes variables, que corresode a la ariciació del gaso e cada uo de los biees e el valor oal de las caidades que coformaba la caasa del eríodo ero ambos valorados a los recios del eríodo 6

18 Aues de Ecoomía No. 4 base. Así, cada eriodo e que las caidades de los arículos que coforma la caasa varíe, la oderació asigada a cada uo de los arículos cambiará. Formalmee, las oderacioes de ése ídice corresode a: w i j i, i, j, j, (2) Por lo ao, el ídice de Paasche co base e el eríodo corresoderá a u romedio oderado de los ídices simles de recios ara los i arículos que esaba resees e la caasa del eríodo. E oras alabras: i i, i, i, i, i i i i i i j, j, j, j, j j (3) P w ( ) Recordado que i ( i ), i, siguiee forma:, la exresió (3) uede simlificarse de la P i j i, i, j, j, (4) Ahora el umerador reresea el valor de la caasa e el eríodo acual, mieras que el deomiador corresode al valor que hubiera eido la caasa acual e el eríodo base. Es imorae aoar que e u seido esrico, los elemeos de ua serie de ídices de Paasche o so direcamee comarables ere sí, ues sus comoees uede cambiar. Lo aerior o es válido ara ua serie de ídices de Laseyres. Si embargo, cualquiera de los ídices de ambas series ermie ua comaració válida ere cada 7

19 Aues de Ecoomía No. 4 eríodo acual y la base. El ídice de recios de Paasche uede ierrearse como: la relació exisee ere el valor e el eriodo de u gruo de biees y servicios y el que resula de valorar a los recios del eríodo base la misma caasa corresodiee al eríodo acual. Aes de coiuar, es imorae resalar que ara el cálculo de u ídice de recios de io Paasche, es ecesario coar co las caidades que coforma la caasa de cada eriodo, así como co los recios de cada eríodo. Tambié es imorae mecioar que la fórmula de Paasche se ve afecada or las variacioes e las caidades que se uiliza como oderació. De al forma que o es osible searar la ifluecia de las variacioes e las caidades, de las variacioes e los recios. E la rácica, emlear u ídice de ese io ara calcular el ídice de recios al cosumidor, or ejemlo, edría u coso rohibiivo; ues sería reciso efecuar cada mes ua ecuesa de cosumos, lo que es rácicamee imosible desde el uo de visa de cosos, iemo, ersoal, ec Ídice de Fisher Fisher rouso u ídice de recios que recogía ao al ídice de Lasayres como el de Paasche, que corresode a u romedio geomérico de esos dos úlimos. Ese ídice, co base e el eríodo se defie de la siguiee forma: F j, j, j, j, j j i, i, i, i, i i P L Ese ídice es oco emleado e la rácica, ues los requerimieos de iformació de ese ídice so los mismos que los del ídice de Lasayres o Paasche. La veaja de ese ídice es meramee eórica 8. (5) 8 Para ver ua rueba de la veajas eóricas del ídice de Fisher free a los de Laseyre y Paasche refiérase a D'Ooe (99) ágia 76. 8

20 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 3- Cálculo de los Ídices comuesos de recios de Sauerbeck, Laseyres, Paasche y Físher. A arir de la siguiee iformació (ficicia) calcule los ídices de recios de Sauerbeck, Laseyres, Paasche y Fisher. TABLA 3-. Precios y Caidades de ua Caasa ficicia ara 4 eríodos. Arículo Periodo Periodo Periodo 2 Periodo RESPUESTA: Como se discuió el ídice de Sauerbeck, viee dado or la siguiee fórmula: S w i i i i i i i Dode el año base es el eríodo y,,2,3 Los resulados se muesra e la siguiee abla. Tabla 3-2 Cálculo del Ídice de Sauerback. (Periodo ) Arículo dice de recios simle Periodo Periodo Periodo 2 Periodo S De acuerdo a la siguiee fórmula L i j i, i, j, j,, dode,,2,3 y año base eriodo, el ídice de Laseyres se calcula como se muesra a coiuació: 9

21 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 3- Cálculo de los Ídices comuesos de recios de Sauerbeck, Laseyres, Paasche y Físher. (Co.) Tabla 3-3 Cálculo del ídice de Laseyres (Periodo ) Arículo Valor de la caasa Periodo L i, i, i El ídice de Paasche se halla uilizado la siguiee exresió P j, j, j dode,,2,3 y año base eriodo. Los resulados se reora e la TABLA 3-4. Tabla 3-4 Cálculo del ídice de Paasche (Periodo ) Arículo Valor de la caasa Periodo P Por úlimo, ara ecorar el F se uiliza la fórmula que se muesra a coiuació: F j, j, j, j, j j i, i, i, i, i i P L 2

22 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 3- Cálculo de los Ídices comuesos de recios de Sauerbeck, Laseyres, Paasche y Físher. (Co.) Por úlimo, ara ecorar el F se uiliza la fórmula que se muesra a coiuació: F j, j, j, j, j j i, i, i, i, i i P L Tabla 3-5 Cálculo del ídice de Fisher (Periodo ) Periodo F Ídices de Caidades Los ídices comuesos de caidades se uede calcular siguiedo la misma lógica que los ídices de recios comuesos esudiados e la secció aerior. Por ejemlo el ídice de caidades de Sauerback corresoderá a: S Por oro lado, los ídices comuesos de caidades de Laseyres, Paasche y Fisher corresode resecivamee a: L P i i j i j i i, i, j, j, i, i, j, j, (6) (7) (8) 2

23 Aues de Ecoomía No. 4 F j, j, j, j, j j i, i, i, i, i i P L (9) 4. Ídices Comuesos or Varios Gruos Numerosos ídices, como el de recios al cosumidor o el de recios al roducor, se comoe de varios gruos, los que a su vez, se subdivide ua o más veces e subgruos. De al forma que ara cada ua de esas subdivisioes se calcula ídices searados. El rocedimieo seguido ara obeer ídices geerales a arir de los arciales es simle. icialmee se calcula los ídices de las divisioes meores. E seguida, se cosidera los diversos ídices que ereece al mismo gruo y se odera ara obeer el ídice geeral. Las oderacioes se realiza or medio de coeficiees reviamee esablecidos que ermaecerá cosaes hasa que se realice ua revisió de la base. 5. Oeracioes ara Maiular series de Ídices A coiuació se discue dos oeracioes muy emleadas e la rácica cuado se rabaja co ídices: el cambio de base y el emalme de ídices. 5.. Cambio de base de u ídice E alguas ocasioes será ecesario cambiar de base los esimadores. Cuado se raa de ídices simles, esa oeració es muy secilla ues simlemee corresode a ua regla de res. E oras alabras, la oeració de cambiar de base es equivalee a cambiar la base de uesro ídice. Suogamos que se cuea co u ídice cuya base es el eríodo y se desea coar co u ídice ara la misma variable co base A. E ese caso edremos que: 22

24 Aues de Ecoomía No. 4 X X X BASE BASE A BASE X A X A X A Para eeder la iuició derás de la fórmula (2), se uede visualizar ésa como ua regla de res. Es decir, si e la escala iicial (cuado se emlea como base) el ídice BASE ara el año A corresodía a A, ahora co la ueva base ese ídice se rasformará e. Por oro lado, eemos que e la escala iicial (cuado se emlea BASE como base) el ídice ara el año corresodía a, la regua será: a qué BASE BASE corresode ese valor e la ueva escala? Es decir, es a como es a uesro uevo ídice co base A. E oras alabras: BASE? BASE A BASE BASE A? BASE A Regresado a la exresió (2), ésa se uede reescribir de la siguiee forma: Dode ( A, ) ( BASE ) A κ A A (, ) BASE A BASE BASE BASE A κ y se deomia facor de escala. Así, basa co mulilicar cualquier elemeo de la series de ídices co base or el facor de escala ara obeer el ídice exresado e la ueva base. (2) (2) EJEMPLO 5- Cambio de Base de u Ídice Coiuado co el EJEMPLO 2-2, cambie la base del ídice de recios de la mora e el muiciio de Cali de al forma que la ueva base sea el 2. RESPUESTA: Como se discuió, el crecimieo orceual aual del recio será:. Es decir, el facor de 9 9 BASE 998 BASE 998 BASE 2 BASE 998 BASE

25 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 5- Cambio e Base de u Ìdice (Co.) escala corresode a.. Los resulados del calculo de ese ídice de recios se reora e la Error! No se ecuera el orige de la referecia.. Tabla 5-. Ídice de Precios de la Mora e el Muiciio de Cali (996 2) Año Ídice de recios Ídice de recios (998) (2) Fuee: Cálculos Proios E relació co los ídices comuesos, es imorae resalar que si bie el rocedimieo aeriormee descrio cambia la escala del ídice, emleado u uevo año como referecia 9, las oderacioes emleadas e el cálculo del ídice se maiee iacas. Por ejemlo, suogamos u ídice de recios io Laseyres co base e el eríodo ara dos eriodos: A y B. Suoga que queremos coverir el ídice del eriodo B a la base A. Emleado la exresió (2), obeemos: i, ib, i j, j, i, ia, i j, j, j BASE BASE A B j B BASE A 9 Es imorae difereciar el eriodo base del eriodo referecia cuado hablamos de ídices comuesos io Laseyres. E ese caso, el eriodo base corresode a aquel ara el cual se esablece las oderacioes. Por oro lado, el eriodo referecia corresode al eriodo e el que el ídice es igual a. Es decir, el eríodo que sirve de referecia ara comarar los oros. 24

26 Aues de Ecoomía No. 4 Maiulado algebraicamee la aerior exresió, obeemos: BASE A B i i i, ib, i, ia, Es decir, se obedrá u ídice que esricamee o ha cambiado de base, ues las oderacioes de la base origial se maiee, ero el eríodo de referecia a cambiado al eríodo A, de al forma que el uevo ídice será igual a ara el eríodo de referecia Emalme de dos series de ídices E umerosas ocasioes es reciso calcular u uevo ídice co el objeo de reemlazar a uo que se ecuera obsoleo. Nauralmee, el aiguo ídice se abadoa y sólo se coiúa la ublicació del uevo. Se resea eoces u roblema cuado se desea esudiar la variació de algú feómeo, ere fechas cubieras or uo u oro ídice searadamee. Si eso sucede, es ecesario efecuar u emalme de ambas series, ara lo cual se recisa calcular ídices co la ueva y aigua base que cubra u mismo laso (años o meses) y esablecer así u eríodo comú de elace. Para ello, es ecesario coar or lo meos co u eríodo comú ara las dos series de ídices. Si esa codició se cumle, se uede emlear u facor de escala que ermia el emalme de las dos series. El facor de escala, ara emalmar la serie y maeer el eríodo base (o eríodo referecia e el caso de u ídice comueso) corresoderá a: κ Nuevo eriodo comu & Aiguo eriodo comu & Así, ara obeer la serie emalmada que coserve la base del uevo ídice simlemee se ecesia mulilicar la serie de ídices aigua or el facor de (22) 25

27 Aues de Ecoomía No. 4 coversió. Noe que ese rocedimieo imlica, al igual que el cambio de base, ua regla de res. E caso que se desee que la serie emalmada coiué co la base de la ueva serie, el facor de escala eriee será el iverso al reseado e (22). Es decir, el facor de escala será Aiguo Nuevo eriodo comu & eriodo comu &. Es imorae desacar que al efecuar u emalme se suoe que ambos ídices so comarables. E la rácica o ocurre eso, ya que al momeo de calcular u uevo ídice se esera que se emlee uevas fuees de iformació o méodos ara calcular el ídice. EJEMPLO 5-2. Emalme de u Ídice A arir de la iformació reseada e la Error! No se ecuera el orige de la referecia.2, emalme las dos series, rimero creado ua serie co base igual a la serie ueva y oseriormee coservado la base de la serie aigua. TABLA 5-2. Ídice de Precios (daos ficicios) (Ee-3 Mar-4) Período Ídice Aiguo Ídice Nuevo Feb.99 Aug.3 Ja-3 2. Feb-3 2. Mar Ar-3 3. May Ju Jul Aug Se-3 5. Oc-3 2. Nov-3 5. Dec-3 3. Ja Feb Mar

28 Aues de Ecoomía No. 4 EJEMPLO 5-2. Emalme de u Ídice (Co.) RESPUESTA: Como se discuió, ara emalmar la serie maeiedo la base de la ueva serie corresode a: κ.25. Eoces, ara emalmar la serie basa 4 4 Nuevo Ago 3 Aiguo Ago 3 mulilicar los elemeos de la serie aigua or.25. Los resulados se reora e la columa 4 de la TABLA 5-2. Por oro lado, ara emalmar la serie coservado la base de la serie aigua, se emlea el siguiee facor de coversió: 4 κ 4. Eoces, ara Nuevo Ago 3 Aiguo Ago 3 emalmar la serie basa mulilicar los elemeos de la ueva serie or 4. Los resulados se reora e la columa 5 de la TABLA 5-3. TABLA 5-3. Ídice de Precios Emalmados (daos ficicios) (Ee-3 Mar-4) Ídice Ídice Ídice Aiguo Ídice Nuevo Período Emalmado Emalmado Feb.99 Aug.3 Aug.3 Feb.99 Ja Feb Mar Ar May Ju Jul Aug Se Oc Nov Dec Ja Feb Mar Fuee: Cálculos Proios 27

29 Aues de Ecoomía No Referecias D'Ooe, Horacio. 99. Esadísica. Teoría y Problemas Resuelos. Saiago - Chile: Cooeculura. Fisher, rvig The Makig of dex Numbers. Boso: Hougho Miffli Co. Lora, Eduardo Técicas de Medició Ecoómica. Meodología y alicacioes e Colombia. Bogoa: Siglo veiiuo ediores lda., Fedesarrollo. 28