Sistemas de Segundo Orden

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1 Apute I Departameto de Igeiería Eléctrica Uiversidad de Magallaes Aputes del curso de Cotrol Automático Roberto Cárdeas Dobso Igeiero Electricista Msc. Ph.D. Profesor de la asigatura Este apute se ecuetra e la págia web

2 Apute I I. Eteder el sistema de segudo orde es muy importate para el diseño de cotroladores ya que habitualmete la mayor parte de los sistemas puede ser aproximados a u sistema de orde dos. La fució de trasferecia de u sistema de segudo orde es: y( ω = () r( s + ζω s + ω Dode el térmio ω se deomia frecuecia atural y ζ es el coeficiete de amortiguamieto. Si se cosidera polos complejos cojugados ( < ζ < ), la respuesta e el tiempo para etrada escaló es: [ ω ( ζ ) t + θ ] ζω t y( t) = e si () ζ Dode el térmio ζω es la parte real de los polos complejos y ω ζ es la parte imagiaria. (El térmio ω ζ tambié se deomia frecuecia atural amortiguada o ω d ). Existe dos factores que determia la forma y la velocidad de respuesta del sistema de segudo orde. Estos factores so la frecuecia atural ω y el coeficiete de amortiguamieto ζ. E la Fig. se muestra la represetació e el plao complejo de u sistema de segudo orde. Por simplicidad, solo uo de los polos complejos se muestra e esta figura. La frecuecia atural ω es la distacia que existe etre el orige al polo y el coeficiete de amortiguamieto es el coseo del águlo mostrado e la figura. Cuado el coeficiete de amortiguamieto es cero, los polos complejos o tiee parte real y cuado el coeficiete de amortiguamieto es uo (o mayor que uo) los polos complejos so puramete reales. Figura muestra la respuesta e el tiempo del sistema de segudo orde. Cuado el coeficiete de amortiguamieto es cero o cercao a cero el sistema es altamete oscilatorio co ua respuesta poco adecuada para ser utilizada e u sistema de cotrol. Cuado el coeficiete de

3 Apute I amortiguamieto es cercao a uo la respuesta es sobreamortiguada y leta y tambié se cosidera poco apropiada para ser utilizada e alguos sistemas de cotrol. ζ=cos(θ) x ω θ Figura. Represetació e el plao complejo del sistema de segudo orde. Amplitud ζ=. ζ=.3 ζ=.5 ζ= Time (Seg.) Figura. Respuesta e el tiempo de u sistema de segudo orde. 3

4 Apute I E geeral el coeficiete de amortiguamieto de u sistema debería diseñarse co valores etre.5 a.8, pero existe caso e que se permite coeficiete de amortiguamieto meores y mayores. Por ejemplo si para ua plata dada o es coveiete la existecia de sobrepaso, etoces el coeficiete de amortiguamieto debe ser mayor o igual que uo (los polos o debe teer parte imagiaria). U bue criterio de diseño es utilizar u coeficiete de amortiguamieto de aproximadamete.77, lo que sigifica que el águlo θ de la Fig. es cercao a los 45. E estas codicioes el sistema es mas robusto a las variacioes e los parámetros de la plata o actuador. Recuerde además que para u coeficiete de amortiguamieto de.77 la frecuecia atural es igual al acho de bada del sistema (sistema de segudo orde ideal). De la discusió aterior se puede cocluir que el sistema de segudo orde tiee dos parámetros de diseño, la frecuecia atural que esta relacioada co la velocidad de la respuesta y el coeficiete de amortiguamieto que esta relacioado co la forma de oda de la respuesta. Al igual que el lugar de la raíz, la mayor parte de los métodos utiliza dos parámetros de diseño. Cuado se utiliza los gráficos de Bode los parámetros de diseño so el marge de fase y la frecuecia de cruce (o acho de bada) y cuado se utiliza Nyquist directo o iverso.4. Amplitud Time (Seg.) Figura 3. Respuesta para ω = 4rads - 4

5 Apute I los parámetros de diseño so el circulo M y la frecuecia de sobrepaso ω m (o cofudir co la frecuecia atural ω ). Figura 3 muestra la respuesta e el tiempo de u sistema de segudo orde co coeficiete de amortiguamieto.5 y frecuecia atural de 4 rads -..Figura. 4 muestra la respuesta e el tiempo de u sistema de segudo orde co el mismo coeficiete de amortiguamieto pero co ua frecuecia atural de 8 rads -. Notese que la forma de la Fig. 3 es exactamete la misma que la forma de la Fig. 4, pero ua de ellas es dos veces mas rápida. La mayor velocidad de respuesta correspode a los polos que se ecuetra mas alejados del orige..4. Amplitud Time (Seg.) Figura 4. Respuesta para ω = 8rads -. Formulas del Sistema de Segudo Orde Existe alguas formulas asociadas co el sistema de segudo orde y que so utilizadas al diseñar sistemas de cotrol. La deducció de estas formulas se ecuetra e alguos libros de los cuales se recomieda los siguietes: Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, Moder Cotrol System, ith editio Joh J. D Azzo ad Costatie H. Houpis, Liear Cotrol System Aalysis ad Desig, Covetioal ad Moder, 3 rd Editio. 5

6 Apute I.4 M p. Amplitud %. % t p t s Time (Seg.) Figura 5. Forma de oda del sistema de segudo orde. Las formulas se explica utilizado la Fig El porcetaje de sobrepaso (overshoot) es ua medida del valor de sobrepaso que tiee la respuesta del sistema por sobre la amplitud de la etrada escaló. E geeral sobrepasos muy altos debe ser evitados ya que produce esfuerzos iadecuados e los compoetes físicos de u sistema (actuador, plata u otro. La fórmula para calcular el sobrepaso es: ζπ ζ M p = + e (Sobrepaso e tato por uo) (4) ζπ ζ P. O = e (Porcetaje de sobrepaso o overshoot) (5) Nótese que (para u sistema de segudo orde ideal) el sobrepaso depede solamete del coeficiete de amortiguamieto y o se ecuetra afectado por la frecuecia atural. La siguiete tabla muestra el porcetaje de sobrepaso como ua fució del coeficiete de amortiguamieto. 6

7 Apute I Tabla I. Porcetaje de sobrepaso vs. coeficiete de amortiguamieto ζ P.O El tiempo de establecimieto (settlig time) es ua medida de la velocidad del sistema. Este parámetro mide el tiempo e que la respuesta queda acotada a ua cierta bada de amplitud (ver Fig. 5). Para ua bada del % el tiempo de establecimieto esta defiido como: t s 4 = (6) ζω El tiempo de establecimieto depede del coeficiete de amortiguamieto y la frecuecia atural. Si embargo, al diseñar sistemas de cotrol, el tiempo de establecimieto se modifica utilizado solo la frecuecia atural ya que cambios e el coeficiete de amortiguamieto puede producir formas de oda o deseada e la respuesta del sistema. - El tiempo de respuesta máxima (time to peak). Este es el tiempo e que se produce la máxima amplitud de salida. π t p = (7) ω ζ - El tiempo de subida (rise time o T r ) es el tiempo que toma la respuesta para subir desde el % al 9% de la amplitud del escaló de etrada. El tiempo de subida para u sistema de segudo orde es aproximado por la siguiete expresió..6ζ +.6 T r =.3 ζ.8 (8) ω Nótese que el tiempo de subida, al igual que el de establecimieto, es afectado por el coeficiete de amortiguamieto y la frecuecia atural.. Sistema de Segudo Orde o Ideal E las págias ateriores se ha aalizados los coceptos relacioados co el sistema de segudo ideal. E esta secció se discutirá dos tipos de sistemas, estos so; el sistema de 7

8 Apute I segudo orde co u polo extra y el sistema de segudo orde co u cero extra. Se aalizará la ifluecia que tiee la posició del polo o cero extra e la velocidad y forma de oda de la respuesta. A. Sistema de Segudo Orde co u Polo Extra. La fució de trasferecia cosiderado u polo extra es la siguiete: y( r( ω a = ( s + ζω + ω )( s + a) Nótese que al igual que (), cuado se cosidera etrada escaló uitario e (9) la salida e estado permaete alcaza el valor de uo ( para ζ>). (9) La siguiete tabla muestra la respuesta del sistema e térmios de sobrepaso y tiempo de establecimieto para u sistema co u extra polo, ω =, ζ=.45. Tabla. Ifluecia de u polo extra e la respuesta del sistema Posició a del polo extra Porcetaje de sobrepaso Tiempo de establecimieto (*) (*) Estos valores correspode al sistema de segudo orde ideal. E geeral u polo real extra produce ua respuesta mas leta y co meor sobrepaso. El efecto del polo extra es despreciable cuado se cumple la siguiete codició: a ζω () 8

9 Apute I Lo que sigifica que el polo extra se ecuetra a diez veces de la parte real de los polos complejos cojugados. B. Sistema de Segudo Orde co u Cero Extra. La fució de trasferecia, cosiderado u cero extra, es la siguiete: ( s + a) y( ω / a = () r( ( s + ζω + ω ) La siguiete tabla muestra la respuesta del sistema e térmios de sobrepaso y tiempo de establecimieto para u sistema co u cero extra, ω =, ζ=.45. Tabla 3. Ifluecia de u cero e la respuesta del sistema a/(ζω ) Porcetaje de Tiempo de Tiempo de peak sobrepaso establecimieto Debe teerse e cueta que los valores mostrados e las tablas y ha sido obteidos utilizado MATLAB y SIMULINK y por lo tato o so exactos sio que so depedietes de valores como por ejemplo míimo y máximo paso de itegració, resolució utilizada, método de itegració empleado, etc. Si embargo, auque o exactos, los resultados mostrados permite aalizar tedecias y obteer coclusioes acerca de la ifluecia de los ceros y polos e la respuesta del sistema. La ifluecia de los ceros es a veces igorada o o completamete etedida. Los ceros e ua fució de lazo cerrado o afecta la estabilidad de ésta, pero tiee ua ifluecia sigificativa especialmete e el sobrepaso (tambié e el tiempo de establecimieto). Cuado el cero de () 9

10 Apute I se ecuetra suficietemete alejado de la parte real de los polos complejos cojugados, la respuesta es casi idética a la obteida co u sistema de segudo orde ideal. Si embargo, cuado el cero se acerca a los polos complejos, el sobrepaso de la respuesta aumeta sigificativamete y éste puede ser varias veces superior a la respuesta de u sistema de segudo orde ideal. Figura 6 muestra la respuesta e el tiempo de u sistema de segudo orde mas u cero, cosiderado dos posicioes para el cero. Amplitud a/ζω = a/ζω = Time (Seg.) Figura 6. Ifluecia de la posició del cero e la respuesta del sistema. La ifluecia de los ceros es mejor etedida si cosideramos la siguiete fució e el domio de Laplace (fució de trasferecia si cero: k A A y( = = + N s + p s + p Π ( s + pi ) i= A +... N () s + pn La respuesta e el tiempo se ecuetra aplicado la trasformada iversa de Laplace a () obteiédose: p t p t p t N y( t) = A e + Ae +... AN e (3)

11 Apute I Dode los polos p i puede ser reales o complejos cojugados. Supoiedo ahora que la fució de trasferecia e () icluye ceros, se tiee: M k Π ( s + zi ) j = A A y( = = + N s + p s + p Π ( s + pi ) i= AN +... (4) s + pn Dode N M. La expasió e fraccioes parciales utiliza los polos y o los ceros por lo tato (4) tiee la misma forma que (). La respuesta e el tiempo se ecuetra aplicado la trasformada iversa de Laplace a (4) obteiédose: p t p t p N t y( t) = A e + Ae +... AN e (5) Cual es la diferecia etre (5) y (3)?. La diferecia está e los coeficietes A, A...A N los cuales o so iguales e las dos ecuacioes. Los coeficietes A i que resulta de la expasió e fraccioes parciales so fució de la posició de los ceros. Si embargo, los térmios que participa e fucioes del tiempo so los mismos (e -pt ). Por ese motivo la estabilidad del sistema o es comprometida por los ceros ( pero los sobrepasos puede ser iaceptable..3 Polos Domiates E muchas aplicacioes es posible ecotrar sistemas que tiee alto orde y que o puede represetarse fácilmete como u sistema de segudo orde o u sistema de segudo orde co u polo o cero extra. E este caso el diseñador debe idetificar aquellos polos que so domiates e la respuesta y cocetrarse (pero o exclusivamete) e ellos. Por ejemplo e ua fució de trasferecia como la siguiete: 5t 5t y( t) = 3e 3e (6) la respuesta e el tiempo que depede del polo ubicado e 5 es la domiate. Asumiedo que el valor de la expoecial es despreciable después de 3 veces la costate de tiempo, etoces la respuesta del polo ubicado e 5 desaparece después de solo 6 milisegudos mietras la respuesta e el tiempo del polo ubicado e 5 afecta al sistema por 6 milisegudos. Es decir el polo cercao al orige tiee ifluecia durate u tiempo cosiderablemete mayor.

12 Apute I E el diagrama de polos y ceros (a lazo cerrado), los polos que se ecuetra mas cerca del orige so cosiderados domiates. Si los polos que está cercaos al orige tiee u bajo coeficiete de amortiguamieto el sistema tedrá ua respuesta oscilatoria e iapropiada auque los polos o domiates tega u valor de ζ adecuado. Desafortuadamete el que los polos domiates esté bie ubicados o sigifica ecesariamete que la respuesta sea la adecuada, ya que los demás polos auque o domiates tambié tiee cierto grado de ifluecia e el comportamieto del sistema. Por lo tato e térmios matemáticos se podría decir que polos domiates bie ubicados es ua codició ecesaria pero posiblemete isuficiete para teer ua respuesta adecuada e u sistema. Figura 7 muestra la respuesta de cada polo de acuerdo a su ubicació. El polo mas cercao al x Polos Domiates Polos Iestables x x x Figura 7. Ifluecia de la posició de los polos e la respuesta del sistema. orige es el domiate si es que o existe polos iestables. Si es que existe polos iestables (a lazo cerrado) o tiee mayor setido discutir cual es el domiate porque la respuesta será completamete iapropiada idepediete de la posició e que se ecuetre los polos del semiplao izquierdo (auque parezca trivial debe teer claro que para u sistema co N polos, solo uo de estos debe estar e el semiplao derecho para que el sistema sea iestable).

13 Apute I Existe alguos sistemas e que es difícil distiguir cual polo( real o complejo es domiate. Este es el caso de polos que está ubicados muy cerca uo de otros, o polos que está muy ubicados cerca de ceros. E este último caso el polo es casi cacelado por el cero y auque el polo se ecuetre muy cerca del orige puede que su respuesta e el tiempo o tega mayor ifluecia e la salida total del sistema. Si u sistema es muy complejo y o puede idetificar fácilmete cuales so los polos domiates esto o es preocupate. Posicioe los polos mas cercaos al orige co u coeficiete de amortiguamieto y frecuecia atural adecuada y utilice prueba y error ayudádose co simulació. El sistema de segudo orde es solo ua guía de diseño y lo mas importate e cotrol automático so las solucioes simples y que su sistema de cotrol fucioe. 3

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