Integral de superficie.

Transcripción

1 Tema 4 Integral de superficie. 4.1 uperficies. Definición 4.1 ean IR 2 un conjunto conexo y κ: IR 3 una función continua. La imagen = κ se llama superficie descrita por κ. También se dice que κ es una parametrización de o que es una representación paramétrica de la superficie. Los conjuntos de IR 3 que forman superficies no sólo se obtienen de esta forma sino que el conjunto puede venir definido de otras maneras. unque, para el estudio de la integral de superficie, las superficies van a manejarse siempre mediante su representación paramétrica hay otras formas de representar superficies en el espacio y que es conveniente conocer Expresión analítica de una superficie. Representación impĺıcita. 4.2 Dada una función real F que toma valores en IR 3, el conjunto de puntos { } = x, y, z IR 3 : F x, y, z = constituye una superficie en IR 3, y de la expresión F x, y, z = se dice que es una representación implícita de la superficie. Representación expĺıcita. 4.3 Dada una función real f que toma valores en IR 2, el conjunto de puntos { } = x, y, z IR 3 : z = fx, y conforma una superficie en IR 3 y de la expresión z = fx, y se dice que es una representación explícita de la superficie. nálogamente, para x = fy, z ó y = fx, z. Ejemplo 4.4 El plano x + 2y + 3z = 4 es una superficie en IR 3. i consideramos la función F x, y, z = x + 2y + 3z 4, la expresión x + 2y + 3z 4 = es una representación implícita del plano. Despejando, por ejemplo x en la expresión anterior, x = 4 2y 3z = fy, z es una representación explícita del plano. Haciendo u = y y v = z, la función κ: IR 2 IR 3 con κu, v = 4 2u 3v, u, v es una parametrización del plano. Integrales de Línea y uperficie. 47

2 4.1 uperficies uperficies cuadráticas. Una de las familias más importantes de superficies de IR 3 son las llamadas cuádricas o superficies cuadráticas, que se obtienen de igualar a cero una función polinómica de tres variables y grado 2, es decir, una expresión de la forma a 11 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 12 xy + a 13 xz + a 23 yz + a 1 x + a 2 y + a 3 z + a =. Mediante giros y translaciones se pueden escribir en la forma a + a 1 x c 1 n 1 + a 2 y c 2 n 2 + a 3 z c 3 n 3 = donde los n i son 1 ó 2 y algunos de los a i pueden ser cero en los casos siguientes pueden observarse algunos de estos tipos Elipsoide. El elipsoide de semiejes a, b, c > viene dado por la ecuación b 2 + z2 c 2 1 =. Una representación parámetrica se obtiene con una pequeña modificación de las coordenadas esféricas recordemos que en el caso particular a = b = c el elipsoide es una esfera mediante κ: [, 2π] [, π] IR 3 con κθ, ϕ = a cos θ sen ϕ, b sen θ sen ϕ, c cos ϕ. La superficie completa del elipsoide no puede expresarse explícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z y z se tienen las mitades superior e inferior del elipsoide representadas por z = c 1 x2 b 2 z = c 1 x2 b 2 Fig Elipsoide. Curvas de intersección con los planos coordenados Hiperboloide de una hoja. El hiperboloide elíptico de una hoja viene dado por la ecuación a, b, c > b 2 z2 c 2 1 =. Integrales de Línea y uperficie. 48

3 4.1 uperficies. Una representación paramétrica se obtiene, de manera sencilla, haciendo v = z c a polares en la ecuación x2 + y2 = z Por tanto, κ: [, 2π] IR IR 3 con a 2 b 2 c 2 κθ, v = a v cos θ, b v sen θ, cv. y el cambio Puede evitarse la raiz haciendo uso de las funciones hiperbólicas mediante v = sh t y se obtiene κ: [, 2π] IR IR 3 con κθ, t = a ch t cos θ, b ch t sen θ, c sh t. La superficie completa del hiperboloide no puede expresarse explícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z y z se tienen las partes superior e inferior del hiperboloide representadas por x z = c 2 b 2 1 z = c b 2 1 Fig Hiperboloide de una hoja. Curvas de intersección con los planos coordenados Hiperboloide de dos hojas. El hiperboloide elíptico de dos hojas está formado por la unión de dos superficies conexas. Cada una de las hojas viene dada por la ecuación a, b, c > b 2 z2 c = con z > y con z <. Una representación paramétrica, para cada una de las hojas, se obtiene como en el caso anterior mediante κ: [, 2π] [1, + IR 3 con κθ, v = y κ: [, 2π], 1] IR 3 con κθ, v = a v 2 1 cos θ, b v 2 1 sen θ, cv, a v 2 1 cos θ, b v 2 1 sen θ, cv. La superficie de cada hoja del hiperboloide puede expresarse explícitamente, para z c y z c, por z = c b z = c b Integrales de Línea y uperficie. 49

4 4.1 uperficies. Fig Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico. El cono elíptico viene dado por la ecuación a, b, c > b 2 z2 c 2 =. Una representación paramétrica se obtiene, de manera sencilla, haciendo v = z c a polares en la ecuación x2 + y2 = z2. Por tanto, κ: [, 2π] IR IR 3 con a 2 b 2 c 2 y el cambio κθ, v = a v cos θ, b v sen θ, cv. La superficie completa del cono no puede expresarse explícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z y z se tienen las partes superior e inferior del cono representadas por z = c b 2 z = c b 2 Fig Cono elíptico Paraboloide elíptico. El paraboloide elíptico viene dado por la ecuación a, b, c > b 2 z c =. Integrales de Línea y uperficie. 5

5 4.1 uperficies. La representación explícita se obtiene fácilmente por x 2 z = c b 2. Una representación paramétrica se obtiene de lo anterior por κ: IR 2 IR 3 con κu, v = au, bv, cu 2 + v 2. Fig Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico. El paraboloide hiperbólico viene dado por la ecuación a, b, c > a 2 y2 b 2 z c =. La representación explícita se obtiene fácilmente por x 2 z = c a 2 y2 b 2. Una representación paramétrica se obtiene de lo anterior por κ: IR 2 IR 3 con κu, v = au, bv, cu 2 v 2. Fig Paraboloide hiperbólico. Integrales de Línea y uperficie. 51

6 4.1 uperficies Cilindros. Los cilindros de obtienen cuando en la expresión de F x, y, z = alguna de las variables no aparece, y heredan el apelativo de la curva que en IR 2 representa la expresión. sí, si F x, y, z = fx, y = y la curva fx, y = es una elípse, hipérbola o parábola, el cilindro es elíptico, hiperbólico o parabólico. La representación paramétrica se obtiene a partir de una parametrización de la curva, es decir, si αt = α 1 t, α 2 t es una parametrización de la curva, entonces la aplicación κt, z = α 1 t, α 2 t, z es una parametrización del cilindro. Para el cilindro elíptico x2 + y2 1 =, una parametrización es κ: [, 2π] IR IR 3 a 2 b 2 con κt, z = a cos t, b sen t, z. Para el cilindro parabólico x2 a 2 y b =, una parametrización se tiene de κ: IR2 IR 3 con κt, z = at, bt 2, z. El cilindro hiperbólico x2 y2 1 = tiene dos hojas, una por cada rama de la hipérbola, a 2 b 2 y pueden parametrizarse por κ: IR 2 IR 3 de expresiones κt, z = a ch t, b sh t, z y κt, z = a ch t, b sh t, z, para cada una de las hojas. Fig Cilindro elíptico. Fig Cilindro hiperbólico uperficies de revolución. Las superficies de revolución son superficies que se obtienen girando una curva plana respecto a una recta. sí, una esfera es una superficie de revolución que se obtiene al girar una semicircunferencia alrededor del diámetro que une los extremos, o un cilindro circular se obtiene de girar una recta respecto a otra paralela ver figura 4.9. ea C una curva plana, supongamos que contenida en el plano XZ, y sea la superficie de revolución obtenida al girar esta curva respecto al eje OZ. Entonces, si αt = α 1 t, α 2 t = xt, zt es una parametrización de C, los puntos de son los de las circunferencias que se obtienen al girar cada punto de C alrededor del eje. Es decir, cada punto xt, zt determina, al girar, una circunferencia plana en, que está situada a altura zt y tiene por radio la distancia del punto al eje OZ, que es xt. En consecuencia, κt, θ = xt cos θ, xt sen θ, zt donde κ: [a, b] [, 2π] IR 3 es una parametrización de. = α 1 t cos θ, α 1 t sen θ, α 2 t Integrales de Línea y uperficie. 52

7 4.1 uperficies. Fig Nota: Las parametrizaciones de la esfera y el cilindro y por tanto, los cambios a coordenadas esféricas y cilíndricas se obtienen de esta forma. Hágase como ejercicio. Ejemplo 4.5 Hallar una parametrización del toro obtenido al girar la circunferencia y b 2 + z 2 = a 2 con b > a, contenida en el plano Y Z, alrededor del eje OZ. olución: Una parametrización de la circunferencia es αϕ = b + a cos ϕ, a sen ϕ con ϕ [, 2π], luego κ: [, 2π] [, 2π] IR 3 donde κϕ, θ = b + a cos ϕ cos θ, b + a cos ϕ sen θ, a sen ϕ, es la parametrización buscada. Fig Parametrización del toro uperficies regulares. Definición 4.6 ean IR 3 un conjunto conexo y κ: IR 3 una función de clase 1. La imagen = κ se llama superficie descrita por κ. También se dice que κ es una parametrización de. El punto κu, v de se dice regular si el rango de la matriz κ u, v es 2. En caso contrario se dice que es singular. Una superficie se dice regular si todos sus puntos lo son. Integrales de Línea y uperficie. 53

8 4.1 uperficies. Definición 4.7 ean IR 2 conexo y κ: IR 3 de clase 1. Para cada u, v, consideremos los vectores D 1 κu, v = D 1 κ 1 u, v, D 1 κ 2 u, v, D 1 κ 3 u, v D 2 κu, v = D 2 κ 1 u, v, D 2 κ 2 u, v, D 2 κ 3 u, v. l vector pvfu, v = D 1 κu, v D 2 κu, v, se le llama vector producto vectorial fundamental de la superficie descrita por κ, y tiene por componentes i j k D D 1 κ D 2 κ = D 1 κ 1 D 1 κ 2 D 1 κ 3 = 1 κ 2 D 1 κ 3 D D 2 κ 1 D 2 κ 2 D 2 κ 3 2 κ 2 D 2 κ 3, D 1 κ 1 D 1 κ 3 D 2 κ 1 D 2 κ 3, D 1 κ 1 D 1 κ 2. D 2 κ 1 D 2 κ 2 i pvfu, v, al vector nu, v = pvfu, v pvfu, v = D 1 κu, v D 2 κu, v D 1 κu, v D 2 κu, v se le denomina vector normal a la superficie en el punto κu, v. Proposición 4.8 ean IR 2 conexo, κ: IR 3 de clase 1 y = κ. El punto κu, v es regular si, y sólo si, pvfu, v. Demostración: Como entonces D pvf = 1 κ 2 D 1 κ 3 D 2 κ 2 D 2 κ 3, pvfu, v rg D 1 κ 3 D 1 κ 1 D 2 κ 3 D 2 κ 1, D 1 κ 1 D 1 κ 2, D 2 κ 1 D 2 κ 2 D1 κ 1 u, v D 1 κ 2 u, v D 1 κ 3 u, v D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v D 2 κ 3 u, v Representación paramétrica obtenida de una explícita. ean f: IR 2 IR y la superficie representada por z = fx, y, entonces la función κ: IR 3 dada por κu, v = u, v, fu, v es una representación paramétrica de. i f es de clase 1, κ es de clase 1 y como pvfu, v = D 1 κu, v D 2 κu, v = 1,, D 1 fu, v = D 1 fu, v, D 2 fu, v, 1,, es una superficie regular. = 2., 1, D 2 fu, v Representación explícita local obtenida de una paramétrica. ea IR 2 conexo y κ: IR 3 de clase 1. Entonces, se puede construir una representación explícita de la superficie dada por κ en un entorno de cada punto regular. En efecto. ea x = κu, v un punto regular, entonces alguna de las coordenadas del vector pvfu, v es distinta de cero. upongamos que es la tercera componente, es decir, que D 1 κ 1 u, v D 1 κ 2 u, v D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v Integrales de Línea y uperficie. 54

9 4.1 uperficies. y, consideremos los valores de x, y, z IR tales que x κ 1 u, v = ; y κ 2 u, v = ; z κ 3 u, v =. ea U IR 4 un abierto tal que x, y, u, v U y construyamos h: U IR 2 dada por hx, y, u, v = x κ 1 u, v, y κ 2 u, v = x x, y y. hx, y, u, v = x x, y y =,. Como x = κ 1 u, v e y = κ 2 u, v, h x, y, u, v = D y 1 κ 1 u, v D 1 κ 2 u, v D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v. 1 D1 κ 1 u, v D 1 κ 2 u, v 1 D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v Entonces, por el teorema de la función implícita, existen un abierto W IR 2 que contiene a x, y, un abierto V IR 2 que contiene a u, v y una función g: W V tal que gx, y = u, v, para todo x, y W. Entonces, la función f: W IR definida por fx, y = κ 3 g 1 x, y, g 2 x, y nos da la representación pedida, pues de z κ 3 u, v = se tiene que Plano tangente y recta normal. fx, y = κ 3 g 1 x, y, g 2 x, y = κ 3 u, v = z. Proposición 4.9 ean IR 2 conexo, C una curva regular contenida en y = κ una superficie regular. Entonces C = κc es una curva regular contenida en y, en cada punto de C, el vector producto vectorial fundamental a la superficie es perpendicular al vector tangente a la curva. Demostración: ea α: [a, b] una parametrización regular de C. Entonces, β: [a, b] definida por βt = καt es una parametrización de C de clase 1 y, para cada t a, b, β t = κ αtα t = D 1 κ 1 αt D 2 κ 1 αt D 1 κ 2 αt D 2 κ 2 αt D 1 κ 3 αt D 2 κ 3 αt = α 1tD 1 καt + α 2tD 2 καt α 1 t α 2 t pues, como κ es regular los vectores D 1 καt y D 2 καt son linealmente independientes rg κ αt = 2 y, como α es regular α t = α 1 t, α 2 t,. En consecuencia, β es una parametrización regular de C. demás, como el vector D 1 καt D 2 καt es ortogonal a D 1 καt y a D 2 καt, es también ortogonal a β t, que es el vector tangente a la curva C en el punto. Definición 4.1 ea IR 2 conexo y = κ una superficie regular. El plano que pasa por el punto κu, v y es paralelo a los vectores D 1 κu, v y D 2 κu, v, se llama plano tangente a la superficie en dicho punto y tiene por ecuación vectorial y = κu, v + λd 1 κu, v + µd 2 κu, v. La recta que pasa por el punto κu, v y es paralela al vector pvfu, v, se llama recta normal a la superficie en dicho punto y tiene por ecuación vectorial y = κu, v + λ D 1 κu, v D 2 κu, v. Integrales de Línea y uperficie. 55

10 4.1 uperficies. Ejemplo 4.11 Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie del hiperboloide parabólico κu, v = u, v, u 2 v 2 en el punto κ1, 1. olución: Como D 1 κu, v = 1,, 2u y D 2 κu, v =, 1, 2v, se tiene que pvf1, 1 = D 1 κ1, 1 D 2 κ1, 1 = 1,, 2, 1, 2 = 2, 2, 1 luego el plano tangente en κ1, 1 = 1, 1, es y la recta normal y = 1, 1, + λ1,, 2 + µ, 1, 2 = 1 + λ, 1 + µ, 2λ 2µ y = 1, 1, + λ 2, 2, 1 = 1 2λ, 1 + 2λ, λ Área de una superficie. Definición 4.12 ean IR 2 un conjunto conexo y acotado y κ: IR 3 de clase 1, inyectiva en int. El área de la superficie = κ se define como el valor = pvfu, v du dv. Observación 4.13 i una superficie viene dada en explícitas, z = fx, y, con f: IR, tomando κx, y = x, y, fx, y en, = pvfx, y dx dy = 1,, D 1 fx, y, 1, D 2 fx, y dx dy = D 1 fx, y, D 2 fx, y, 1 dx dy = 1 + D 1 fx, y 2 + D 2 fx, y 2 dx dy Usando la notación clásica D 1 fx, y = f x x, y y D 2fx, y = f y x, y, tenemos que = 1 + D 1 f 2 + D 2 f 2 dx dy = 1 + f 2 x + f 2 y dx dy. Ejemplo 4.14 ea = [, 2π] [, π]. Calcular el área de la esfera descrita por la función κ: IR 3 con κθ, ϕ = a cos θ sen ϕ, a sen θ sen ϕ, a cos ϕ. olución: κ es de clase 1 y luego D 1 κθ, ϕ = a sen θ sen ϕ, a cos θ sen ϕ, D 2 κθ, ϕ = a cos θ cos ϕ, a sen θ cos ϕ, a sen ϕ pvfθ, ϕ = a sen θ sen ϕ, a cos θ sen ϕ, a cos θ cos ϕ, a sen θ cos ϕ, a sen ϕ = a 2 cos θ sen 2 ϕ, a 2 sen θ sen 2 ϕ, a 2 sen ϕ cos ϕ = a 4 cos 2 θ sen 4 ϕ + a 4 sen 2 θ sen 4 ϕ + a 4 sen 2 ϕ cos 2 ϕ = a 4 sen 2 ϕ[cos 2 θ + sen 2 θ] sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = a 2 sen ϕ sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = a 2 sen ϕ = a 2 sen ϕ. Integrales de Línea y uperficie. 56

11 4.2 Integral de superficie de funciones reales. Entonces = = π pvfθ, ϕ dθ dϕ = a 2 sen ϕ dθ dϕ = 2π a 2 sen ϕ dϕ dθ = a 2 cos ϕ ] π 2π π 2π = 4πa 2. a 2 sen ϕ dϕ dθ 4.2 Integral de superficie de funciones reales. Definición 4.15 ea IR 2 un conjunto conexo y acotado, κ: IR 3 una función de clase 1, = κ y f: IR acotada tal que la función compuesta f κ es integrable en. La integral de superficie de f sobre se define por f = f dκ = fκu, v pvfu, v du dv. Ejemplo 4.16 Calcular la integral de superficie z 2, siendo la superficie de la esfera unidad en el primer octante. olución: El conjunto, puede parametrizarse por κθ, ϕ = cos θ sen ϕ, sen θ sen ϕ, cos ϕ, donde κ: [, π 2 ] [, π 2 ] IR3. Entonces, como pvfθ, ϕ = sen ϕ ver ejemplo 4.14, se tiene π 2 f = fκθ, ϕ pvfθ, ϕ dθ dϕ = π 2 cos 2 ϕ sen ϕ dθ dϕ = π plicaciones a la mecánica. ean IR 2 un conjunto conexo y acotado y κ: IR 3 una función de clase 1. Consideremos una lámina delgada que tenga la forma de la superficie = κ y que su densidad en cada punto viene dada por una función acotada f: IR tal que la función compuesta f κ es integrable en. Entonces, la masa M de la lámina viene dada por M = f El centro de masas de la lámina, de coordenadas ξ, η, γ se obtiene de ξ = 1 M xf η = 1 M yf γ = 1 M y, el momento de inercia I L de la lámina respecto de la recta L es I L = δ 2 f donde, para cada x, y, z, δx, y, z representa la distancia del punto x, y, z a la recta L. Ejemplo 4.17 Una hoja de papel homogénea rectangular de base 2πa y altura h se enrolla formando una superficie cilíndrica de radio a. Calcular el momento de inercia de respecto de la recta que contenga un diámetro de la base circular. zf Integrales de Línea y uperficie. 57

12 4.3 Flujo de un campo vectorial. olución: ituamos el cilindro formado por la lámina sobre el plano XY siendo eje OZ su eje longitudinal, es decir, formando la superficie = {x, y, z : + y 2 = a 2 ; z h}. Por ser homogénea, la función densidad f: IR viene dada por fx, y, z = k, para algún valor constante k; y si tomamos como recta L uno de los otros ejes, por ejemplo, el eje OX, se tiene que δx, y, z = y 2 + z 2. Una parametrización para viene dada por κ: = [, 2π] [, h] IR 3, de expresión κθ, z = a cos θ, a sen θ, z y con pvfθ, z = a cos θ, a sen θ, = a. Luego I L = δ 2 x, y, zk = ky 2 + z 2 = ka 2 sen 2 θ + z 2 a dθ dz = ka2π ha2 2 + h Flujo de un campo vectorial. Definición 4.18 ea IR 2 un conjunto conexo y acotado, κ: IR 3 una función de clase 1 y = κ. ea f: IR 3 la función que representa el vector densidad de flujo de la corriente de un fluido, entonces la masa de fluido que atraviesa la superficie en la unidad de tiempo el flujo a través de la superficie, en la dirección del vector normal, viene dado por f n = f n dκ. Observación 4.19 Usando la definición de integral de superficie y que n = f n dκ = fκu, v pvf pvf, se tiene que pvfu, v pvfu, v du dv = fκu, v pvfu, v du dv. pvfu, v Ejemplo 4.2 La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto a la función fx, y, z = yz, xz, xy. ea la superficie del plano x + y + z = 1 situada en el primer octante y n el vector normal a. Calcular la masa de fluido que atraviesa la superficie en la unidad de tiempo en la dirección de n. olución: La superficie es un trozo del plano z = 1 x y, luego puede parametrizarse con κ: IR 3, donde κx, y = x, y, 1 x y y = {x, y : x 1, y 1 x}. Como pvfx, y = 1,, 1, 1, 1 = 1, 1, 1 y fκx, y = y1 x y, x1 x y, xy, el flujo a través de la superficie en la dirección del vector normal es n Fig f n = 1 1 x y1 x y + x1 x y + xy dy dx = 1 8. Integrales de Línea y uperficie. 58

13 4.3 Flujo de un campo vectorial Teorema de tokes. Definición 4.21 ean IR 3 un conjunto abierto y f: IR 3 una función con derivadas parciales en. e llama rotacional de f a la función rot f: IR 3 definida como rot f = D 2 f 3 D 3 f 2, D 3 f 1 D 1 f 3, D 1 f 2 D 2 f 1. Proposición 4.22 ean IR 3 un conjunto abierto y convexo y f: IR 3 una función de clase 1 en. Entonces f es un gradiente en si, y sólo si, rot f = en. Demostración: Como el conjunto es convexo, f es un gradiente en i, j, D i f j = D j f i en rot f = en. Teorema de tokes o del rotacional 4.23 ea C una curva simple cerrada y regular a trozos de IR 2 parametrizada por α: [a, b] IR 2, que la recorre en sentido positivo. ean el conjunto encerrado por C y = κ una superficie regular descrita por κ, función de clase 2. i f: IR 3 es de clase 1, entonces f = rot f n, κc donde la curva κc está recorrida en el sentido inducido por α. Ejemplo 4.24 Calcular la integral de línea de fx, y, z = xz, y, y a lo largo de la frontera del triángulo de vértices a = 2,,, b =, 6, y c =,, 2 recorrida en este sentido. olución: El triángulo T es el trozo del plano 3x + y + 3z = 6 en el primer octante, que se parametriza por κ: IR 3, donde κx, y = x, y, 2 x y 3 y = {x, y : x [, 2], y 6 3x}. demás, si recorremos en sentido positivo, vamos de, a 2, y, en T = κ z y T T y x x Fig vamos de κ, =,, 2 a κ2, = 2,,, luego el sentido del recorrido inducido en T es el buscado. En consecuencia, por el teorema de tokes, 2 6 3x f = rot f n =, x 2xy, 1, 1 3, 1 dx dy = + x 2xy 3 dy dx = 4 T T 3. Integrales de Línea y uperficie. 59

14 4.3 Flujo de un campo vectorial Rotacional y divergencia de un campo vectorial. Definición 4.25 ean IR n abierto y f: IR n una función cuyas componentes tienen derivadas parciales en. e llama divergencia de f a la función div f: IR definida por div f = D 1 f 1 + D 2 f D n f n. Proposición 4.26 ean IR 3 abierto y g: IR 3 una función de clase 2. Entonces divrot g = en. Demostración: Como en el abierto la función g es de clase 2, se tiene que D ij g k = D ji g k, i, j, k. Luego divrot g = div D 2 g 3 D 3 g 2, D 3 g 1 D 1 g 3, D 1 g 2 D 2 g 1 = D 1 D 2 g 3 D 3 g 2 + D 2 D 3 g 1 D 1 g 3 + D 3 D 1 g 2 D 2 g 1 = D 21 g 3 D 31 g 2 + D 32 g 1 D 12 g 3 + D 13 g 2 D 23 g 1 = D 21 g 3 D 12 g 3 + D 13 g 2 D 31 g 2 + D 32 g 1 D 23 g 1 = Corolario 4.27 Con las hipótesis del teorema anterior, una condición necesaria para que una función f sea el rotacional de otra función g en un abierto es que div f = en. Proposición 4.28 ean IR 3 un rectángulo abierto y f: IR 3 de clase 1 tal que div f = en. Entonces, existe una función g: IR 3 tal que rot g = f en. Demostración: ea x, y, z un punto fijo. La función g: IR 3 de componentes g 1 = ; g 2 = x z f 3 t, y, z dt f 1 x, y, t dt; x z x g 3 = f 2 t, y, z dt; x verifica que rot g = f en. En efecto, x x z D 2 g 3 D 3 g 2 = D 2 f 2 t, y, z dt D 3 f 3 t, y, z dt f 1 x, y, t dt x x z x x z = D 2 f 2 t, y, z dt D 3 f 3 t, y, z dt + D 3 f 1 x, y, t dt x x z Por las integrales dependientes de un parámetro las dos primeras y, por ser una función integral la tercera, se tiene que = = x x x x D 2 f 2 t, y, z dt D 3 f 3 t, y, z dt + f 1 x, y, z x x D 2 f 2 t, y, z D 3 f 3 t, y, z dt + f 1 x, y, z Como = div f = D 1 f 1 + D 2 f 2 + D 3 f 3, se tiene que D 1 f 1 = D 2 f 2 D 3 f 3. Luego x = D 1 f 1 t, y, z dt + f 1 x, y, z x = f 1 x, y, z f 1 x, y, z + f 1 x, y, z = f 1 x, y, z. Integrales de Línea y uperficie. 6

15 4.3 Flujo de un campo vectorial. x D 3 g 1 D 1 g 3 = + D 1 f 2 t, y, z dt = f 2 x, y, z. x x z D 1 g 2 D 2 g 1 = D 1 f 3 t, y, z dt f 1 x, y, t dt x z x z = D 1 f 3 t, y, z dt D 1 f 1 x, y, t dt = f 3 x, y, z = f 3 x, y, z. x z Ejemplo 4.29 Demostrar que el campo fx, y, z = y z, z x, x y es un rotacional en IR 3 y determinar g tal que rot g = f. olución: En IR 3, div f = D 1 f 1 + D 2 f 2 + D 3 f 3 = + + =, luego existe g: IR 3 IR 3 tal que rot g = f. ea el punto fijo de IR 3, por la proposición anterior, g 1 x, y, z = ; g 2 x, y, z = x g 3 x, y, z = x z f 3 t, y, z dt f 2 t, y, z dt = f 1, y, t dt = x x z t dt = zx + x2 2. z t y dt y t dt = x2 z2 yx yz ; luego gx, y, z =, x2 +z 2 2 yx + z, x2 2 xz Teorema de la divergencia. Teorema de la divergencia o de Gauss 4.3 ean una superficie que encierra un volumen V, = κ donde κ es de clase 1 e inyectiva salvo quizá en un conjunto de medida nula, f: V IR 3 de clase 1 y n el vector normal unitario exterior a la superficie. Entonces, f n = V div f. Ejemplo 4.31 La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto fx, y, z = x, y 2, 2yz. Calcular la masa de fluido que atraviesa la superficie exterior del hemisferio = {x, y, z : + y 2 + z 2 1, z } en la unidad de tiempo y en la dirección del vector normal exterior. olución: Por el teorema de la divergencia, si denotamos por = V la superficie exterior del sólido, se tiene que f n = div f. Como div fx, y, z = 1 + 2y 2y = 1, entonces f n = V V div f = V 1 = VV = π 2. Integrales de Línea y uperficie. 61

16 4.4 Ejercicios. 4.4 Ejercicios. 4.1 Para cada una de las cuádricas de la subseccion 4.1.2, encontrar el vector producto vectorial fundamental asociado a las parametrizaciones allí construidas, indicando la dirección de dicho vector. 4.2 Hallar el vector unitario normal a la superficie de revolución dada por la función κu, v = fu cos v, fu sen v, gu, donde f y g son funciones reales de clase Calcular el área del toro engendrado al girar entorno al eje OZ la circunferencia de radio a situada en el plano XZ con centro en el eje OX a una distancia b b > a del origen 4.4 Calcular el área de la porción de la semiesfera + y 2 + z 2 = a 2, z, interior al cilindro + y 2 = ax. 4.5 Calcular el área de la porción del plano x + y + z = a, interior al cilindro + y 2 = a El plano y + z = a divide a la superficie esférica + y 2 + = a 2 en dos partes. Designando por el casquete de menor área, calcular la integral de superficie de la función fx, y, z = yz sobre. 4.7 Calcular la integral de línea de fx, y, z = xz, y, y a lo largo de la curva intersección del cilindro + y 2 = a 2 y el plano x a + z b = 1, con a, b >. Indíquese el sentido del recorrido. 4.8 Consideremos el cubo de lado 2 situado en el primer octante y con un vértice en el origen. Cortando dicho cubo con un plano que pasa por el centro del cubo y es perpendicular a la diagonal del cubo con extremo en el origen, queda definido un exagono regular H. Calcular el valor de la integral de línea de fx, y, z = y 2 z 2, z 2, y 2 a lo largo de H, indicando el sentido del recorrido. Hacerlo de dos formas distintas. 4.9 ean un rectángulo abierto de IR 3 y f y g dos gradientes de clase 1 en. Probar que f g es un rotacional en. 4.1 Calcular la integral de superficie f n siendo fx, y, z =, y 2, z 2, la superficie exterior total del cono sólido C = {x, y, z : x2 a 2 normal exterior. + y2 a 2 z2 b 2, z b} y n el vector 4.11 ea V el conjunto V = {x, y, z : z y 2 ; +y 2 2y; z } y sea f: V IR 3 definida por fx, y, z = 6y, 6x, 2x. Hallar integrando en la superficie frontera de V el flujo saliente y comprobarlo mediante el teorema de la divergencia Demostrar el principio de rquímedes: el empuje de un fluido sobre un sólido V es igual al peso del fluido desalojado por V. Integrales de Línea y uperficie. 62