Universidad Técnica Federico Santamaría

Transcripción

1 Integral de uperficie - Mate 4 UPEFICIE PAAMÉTICA e forma similar a como se describe una curva mediante una función vectorial r(t), en función de un parámetro t,se puede describir una superficie mediante una función vectorial r (u, v), en términos de dos parámetros. ean x, y, z, funciones de u, v, entonces r (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) es una función vectorial definida en un dominio del plano uv. El conjunto de todos los puntos (x, y, z) 3 dado por r (u, v) x(u, v)î + y(u, v)ĵ + z(u, v) k, se le llama superficie paramétrica. Las ecuaciones x x(u, v) ; y y(u, v) ; z z(u, v), son las ecuaciones paramétricas para la superficie Ejemplo 1: Identifique y esboce la gráfica de la superficie paramétrica dada por la ecuación vectorial: r (u, v) 3 cos uî + 3 sen uĵ + v k donde u 2π y v 4 olución. Las ecuaciones paramétricas para esta superficie son: x 3 cos u ; y 3 sen u ; z v, por lo tanto para cualquier punto (x, y, z) de la superficie, se tiene que x e y están relacionados por la ecuación x 2 +y cos 2 u+3 2 sen 2 u 9, esto significa que secciones transversales verticales, paralelas al plano xy, con v constante son circunferencias de radio 3 centradas en el eje z, como z v, con v 4, la superficie es un cilindro circular recto de altura 4 i una superficie paramétrica está dada por una función vectorial r (u, v), entonces hay dos familias de curvas que se encuentran en, una donde u es constante y la otra con v constante, estas familias coresponden a las líneas verticales y horizontales del plano uv. i se mantiene u constante al hacer u u entonces r (u, v) se convierte en una función vectorial del parámetro v y define una curva C 1 que se encuentra en. En forma similar haciendo v v esto es manteniendo v constante se obtiene una curva C 2 sobre, estas curvas se llaman curvas reticulares. Universidad Técnica Federico antamaría

2 Hallar ecuaciones paramétricas para una superficie En el ejemlo anterior se pedía identificar la superficie dada por las ecuaciones paramétricas, ahora el problema consiste en dada la ecuación de una superficie encontrar las ecuaciones paramétricas, un caso sencillo se presenta cuando se tiene una superficie dada en forma explícita : z f(x, y), su representación paramétrica es: r (x, y) xî + yĵ + f(x, y) k Ejemplo 2: Escribir las ecuaciones paramétricas para el cono z x 2 + y 2 olución. Como z f(x, y) x 2 + y 2 entonces x e y son los parámetros por lo tanto el cono tiene una representación dada por la función vectorial: r (x, y) xî + yĵ + x 2 + y 2 k, donde (x, y) varía en todo el plano xy Ejemplo 3: Encuentre la representación paramétrica de la esfera x 2 + y 2 + z 2 2 olución. La esfera tiene una representación sencilla en coordenadas esféricas de modo que escogiendo u, v como los parámetros tenemos: x sen u cos v, y sen u sen v, z cos u, que representan las ecuaciones paramétricas de la esfera y la ecuación vectorial correspondiente es: r (u, v) ( sen u cos v, sen u sen v, cos u) donde u π, v 2π, el dominio del parámetro es el rectángulo [, π] [, 2π]. Ejemplo 4: Encuentre una representación paramétrica para le superficie z 3 x 2 + y 2. olución. z 2 9x 2 + 9y 2, corresponde a la mitad superior del cono, si consideramos x, y como parámetros tenemos: x x ; y y ; z 3 x 2 + y 2, donde la ecuación vectorial viene dada por: r (x, y) (x, y, 3 x 2 + y 2 ). Otra representación la obtenemos considerando como parámetros las coordenadas polares (r, θ).considerando que un punto (x, y, z) del cono satisface : x r cos θ ; y r sen θ ; z 3 x 2 + y 2 3r, la ecuación vectorial del cono sería : r (r, θ) r cos θî + r sen θĵ + 3r k Plano Tangente - Vector Normal Consideremos la superficie paramétrica dada por la función vectorial r (u, v) x(u, v)î + y(u, v)ĵ + z(u, v) k en un punto P o con vector posición r(u o, v o ). i se mantiene constante al parámetro u, haciendo u u o, entonces r(u o, v), se convierte en una función vectorial de parámetro v y que define una curva C 1 sobre, el vector tangente a C 1 en P o se obtiene a partir de : r v x v (u o, v o )î + v (u o, v o )ĵ + v (u o, v o ) k Universidad Técnica Federico antamaría de igual forma si se mantiene v constante, haciendo v v o se obtiene la curva C 2 sobre. El vector tangente a C 2 en P o se obtiene a partir de : r v x u (u o, v o )î + u (u o, v o )ĵ + u (u o, v o ) k

3 i el vector normal r u r v no es cero para algún (u, v), la superficie es suave y tendrá un plano tangente. ea una superficie paramétrica suave r (u, v) x(u, v)î + y(u, v)ĵ + z(u, v) k definida sobre una región del plano uv, sea (u, v ) un punto en, un vector normal en el punto (x o, y o, z o ) [x(u o, v o ), y(u o, v o ), z(u o, v o )], viene dado por: N r u (u o, v o ) r v (u o, v o ) î ĵ k Ejemplo 5: Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie r (u, v) 2u cos vî + 3u sen vĵ + u 2 k en el punto (, 6, 4) olución. ( El punto del plano uv que se aplica en el punto (x, y, z) (, 6, 4) es (u, v) 2, π ) 2 r u 2 cos vî + 3 sen vĵ + 2u k ( r u 2, π ) (, 3, 4) 2 r v 2u sen vî + 3u cos vĵ + k ( r v 2, π ) ( 4,, ) 2 luego el vector normal es: N r u r v por lo tanto le ecuación del plano tangente es: î ĵ k Universidad Técnica Federico antamaría x u x v P : N (x, y 6, z 4) u v u v 4(, 4, 3) P : (, 4, 3)(x, y 6, z 4) P : 4y 3z 12

4 Área de una uperficie Paramétrica ea una superficie paramétrica suave r (u, v) x(u, v)î + y(u, v)ĵ + z(u, v) k, definida sobre una región abierta del plano uv, si cada punto de corresponde exactamente a un punto del dominio, el área de la superficie se define como: Área de la superficie d r u r v da donde r u x uî + uĵ + u k r v x v î + v ĵ + v k Obs. Para el caso de una superficie dada por la ecuación z f(x, y) cuya parametrización es la función vectorial r (x, y) xî + yĵ + z k, definida sobre la región del plano xy de donde se observa que: r x (x, y) i + f x (x, y) k r y (x, y) ĵ + f y (x, y) k î ĵ k r x r y 1 f x (x, y) ( f x (x, y), f y (x, y), 1) 1 f y (x, y) r x r y 1 + fx(x, 2 y) + fy 2 (x, y) de donde el área de la superficie es: A() r x r y da 1 + (f x (x, y)) 2 + (f y (x, y)) 2 da Ejemplo 6: eterminar el área de la superficie de una esfera de radio a olución. Ecuaciones paramétricas: donde r u r v x a sen u cos v ; y a sen u sen v ; z a cos u {(u, v)/ u π ; v 2π} r u (u, v) a cos u cos vî + a cos u sen vĵ a sen u k r v (u, v) a sen u sen vî + a sen u cos vĵ + k î ĵ k a cos u cos v a cos u sen v a sen u a sen u sen v a sen u cos v a 2 sen 2 u cos vî+a 2 sen 2 u sen vĵ+a 2 sen u cos u k Universidad Técnica Federico antamaría r u r v a 4 sen 4 u cos 2 v + a 4 sen 4 u sen 2 v + a 4 sen 2 u cos 2 v a 2 sen u A da a 2 sen udu dv A 2π π a 2 sen u du dv 4πa 2

5 Área de la uperficie de la Gráfica de una Función Para el caso especial de una superficie con ecuación z f(x, y), donde (x, y) se encuentra en y f tiene derivadas parciales continuas, considerando x, y como parámetros, las ecuaciones paramétricas son x x ; y y ; z f(x, y), luego se tiene que: ( r x 1,, f ) ( ; r y, 1, f ) x entonces se tiene luego r x r y î ĵ k f 1 x f 1 ( f ) f ĵ, 1 k xî, ( f ) 2 ( ) f 2 ( ) 2 ( r x r y x x ( ) 2 ( A() x Ejemplo 7: Hallar el área del paraboloide z x 2 + y 2, que se ubica bajo el plano z 9 olución. El plano corta al paraboloide en la circunferencia x 2 + y 2 9 ; z 9, por lo que la superficie dada se encuentra sobre el disco con centro en el origen y radio 3. A Usando coordenadas polares se tiene: ( ) 2 ( ) da x A 2π 3 A Universidad Técnica Federico antamaría ) (x 2 + y 2 )da ) (2x) 2 + (2y) 2 da 1 + 4r 2 r dr dθ π 6 ( )

6 Integrales de uperficie de Campos Escalares La relación entre integrales de superficie y áreas de superficie es similar a la relación entre integrales de línea y longitud de arco. e llaman integrales de superficie de Primer Tipo a las integrales de funciones escalares (eales) de variable Vectorial(Varias variables), que se calculan sobre superficies. Para el cálculo de las integrales de superficie pueden usarse: f(x, y, z) d f(x, y, g(x, y)) 1 + [g x (x, y)] 2 + [g y (x, y)] 2 dy dx 1 f(x, y, z) d f(x, z, g(x, z)) 1 + [g x (x, z)] 2 + [g z (x, z)] 2 dz dx 2 f(x, y, z) d f(y, z, g(y, z)) 1 + [g y (y, z)] 2 + [g z (y, z)] 2 dz dy 3 donde 1, 2, 3 son las proyecciones de sobre los planos xy, zx, yz Para el cálculo de las integrales de uperficie de primer Tipo, se verifican las fórmulas siguientes: z f(x, y) F (x, y, z) n F F Ejemplo 8: Calcular la integral de superficie de primer tipo para f(x, y, z) x 2 yz, con : 3x + y + z 6, es un plano en el primer cuadrante. olución. : 3x + y + z 6 z f(x, y) 6 3x y calculando por proyección sobre el plano xy tenemos: f(x, y, z) d (x 2 yz) 1 + zx 2 + zy 2 dy dx x (x 2 yz) 1 + ( 3) 2 + ( 1) 2 dy dx [ x 2 y(6 3x 6y) ] 11 dy dx Universidad Técnica Federico antamaría (x 2 + y 2 + 3xy 6y) dy dx 14 11

7 Otra manera de calcular la integral,(proyectando también sobre el plano xy), es: : 3x + y + z 6 F (x, y, z) n F F 1 (3î + ĵ + k) 11 dy dx f(x, y, z)d f(x, y, z) n k (x 2 dy dx yz) 1/ 11 [ x 2 y(6 3x y) ] i es una superficie suave a trozos, es decir, la unión finita de superficies suaves 1, 2, n que intersectan sólo en sus fronteras, entonces la integral de superficie de f sobre viene dada por: f(x, y, z)d f(x, y, z) d f(x, y, z)d n Ejemplo 9: Evalúe zd donde es la superficie cuyos lados 1 están sobre el cilindro x 2 +y 2 1, la superficie(el fondo) 2 es el disco x 2 + y 2 1 del plano z y la superficie 3 (tapa) es la parte del plano z x + 1 que se encuentra arriba de 2 olución. donde luego: 3 : zd x : x cos θ ; y sen θ ; z z θ 2π ; z 1 + cos θ 2 1+cos θ z d z dz dθ π 2 : z d 2 1 x 2 (1 + x) 2 dy dx 2 2π 1 Centro de Masa y Momento de Inercia Universidad Técnica Federico antamaría (1 + r cos θ)r dr dθ ( ) 2 π Las integrales de superficie tienen aplicaciones en el cálculo de centroides. i una lámina delgada tiene la forma de una superficie y la densidad (masa por área unitaria) en el punto (x, y, z) es ρ(x, y, z), entonces la masa total viene dada por m ρ(x, y, z)d. En centro de masa será: (x, y, z) donde: ; ; x M yz m 1 m y M xz m z M yx m 1 m 1 m xρ(x, y, z)d yρ(x, y, z)d zρ(x, y, z)d

8 Los momentos de inercia vienen dados por las expresiones: I x (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)d I y (x 2 + z 2 )ρ(x, y, z)d I z (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z)d Ejemplo 1: Calcular la masa de una lámina delgada que esta formada por la porción de la superficie z 2 x 2 y 2 ; z, sabiendo que la densidad superficial en cada punto de la misma es proporcional al cuadrado de su distancia al eje z olución. ; m ρ(x, y, z)d K (x 2 + y 2 ) N da m K (x 2 + y 2 ) 4x 2 + 4y da m K 2π 2 r 3 4r dr dθ u 2 4r r 2 u2 1 2udu 8rdr 4 r 3 (u 2 4r 2 1)u dr du 1 ( ) ( ) u u3 1 (4r 2 + 1) 5 2 (4r2 + 1) ( ) 2π 1 (4r 2 + 1) 5 2 m K (4r2 + 1) dθ πk Ejemplo 11: Una lámina delgada, homogénea tiene la forma de la superficie dada por x 2 + y 2 + z 2 2 ; z a) eterminar las coordenadas de su centro de masa olución. luego M xy K r(φ, θ) ( sen φ cos θ, sen φ sen θ, cos φ) ; φ π 2 ; θ 2π m K zd K 2π π/2 2π π/2 N 2 sen φ ( (x, y, z),, M ) xy m 2π ( sen cos φ 2 sen φ dφ dθ K 3 2 φ 2 Universidad Técnica Federico antamaría d K 2π 2 sen φ dφ dθ K 2 cos φ (x, y, z) (,, ) 2 π/2 ) π/2 dθ 2πK 2 dθ Kπ 3

9 b) emostrar que su momento de inercia respecto al eje z es I z 2 3 m2, donde m es la masa de la superficie olución. I z K (x 2 + y 2 )d K K 4 2π π/2 2π π/2 2 sen 2 φ 2 sen φdφ dθ sen 3 φ dφ dθ 2 3 (2πK2 ) }{{} 2 UPEFICIE OIENTAA Una superficie es orientable si se puede definir en todo punto de que no se encuentre en la frontera un vector normal unitario N de modo tal que los vectores varíen de forma continua sobre la superficie. Una superficie orientable tiene dos caras distintas y orientar una superficie consiste en escoger uno de los dos posibles vectores normales unitarios. i es una superficie cerrada, tal como una esfera, se considera como vector normal unitario N al que apunta hacia afuera En una superficie orientable el vector gradiente proporciona un método conveniente para hallar un vector unitario para una superficie orientable dada por z f(x, y), sea F (x, y, z) z f(x, y), entonces admite las dos orientaciones asoiadas a los dos vectores normales unitarios. F (x, y, z) N F (x, y, z) f x(x, y)î f y (x, y)ĵ + k normal hacia arriba 1 + fx(x, 2 y) + fy 2 (x, y) F (x, y, z) N F (x, y, z) f x(x, y)î + f y (x, y)ĵ k normal hacia abajo 1 + fx(x, 2 y) + fy 2 (x, y) Universidad Técnica Federico antamaría

10 INTEGALE E UPEFICIE E CAMPO VECTOIALE Muchas aplicaciones de las integrales de superficie necesitan de la integral de la componente normal de un campo vectorial F dado, es decir, de una integral de la forma F N d, donde N es un vector normal unitario exterior de la superficie Considerando el área de un trozo pequeño de la superficie, sobre la cual F es aproximadamente constante, entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo viene aproximada por el volumen de la columna de altura F N, área de la base, esto es V (F N), por lo tanto el volumen del fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo, conocido como flujo de F a través de, viene dado por la integral de superficie F N d. Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre de la componente normal de F. i la densidad del fluido en (x, y, z) es ρ(x, y, z) entonces la integral de flujo ρf N d, representa la masa del fluido a través de en la unidad de tiempo. Ejemplo 12: ea la parte del parabolide z 4 x 2 y 2 situado sobre el plano xy orientado por un vector normal unitario hacia arriba, un fluido de densidad ρ fluye a través de la superficie de acuerdo al campo de velocidades F (x, y, z) xî + yĵ + z k. Hallar la razón de flujo de masa a través de olución. Proyectando sobre el plano xy se tiene : z 4 x 2 y 2, luego: F (x, y, z) z 4 + x 2 + y 2 donde : x 2 + y 2 4 Universidad Técnica Federico antamaría N F (x, y, z) F (x, y, z) 2xî + 2yĵ + k 1 + 4x 2 + 4y 2 como : z 4 x 2 y 2 g(x, y) 4 x 2 y 2, donde d g x (x, y) 2x g y (x, y) 2y 1 + g 2 x(x, y) + g 2 y(x, y)da 1 + 4x 2 + 4y 2 da

11 usando coordenadas polares tenemos: 2x 2 + 2y 2 + z ρf N d ρ 1 + 4x 2 + 4y da 2 (2x 2 + 2y x 2 + y 2 ) dx dy ρ (4 + x 2 + y 2 ) da ρ 2π 2 Universidad Técnica Federico antamaría (4 + r 2 )r dr dθ 24πρ Observación:Las integrales de flujo se pueden escribir en forma simplificada. ea una superficie orientada dada por z g(x, y) y sea su proyección sobre el plano xy i) ρf N d F ( g x (x, y)î g y (x, y)ĵ + k) da (orientada hacia arriba) ii) ρf N d F (g x (x, y)î + g y (x, y)ĵ k) da (orientada hacia abajo) Teorema de Gauss o de la ivergencia ea una región sólida limitada por una superficie cerrada orientada por un vector normal unitario dirigido al exterior de. i F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en, entonces: d divf dv emostración Consideremos F (x, y, z) P (x, y, z)î + Q(x, y, z)ĵ + (x, y, z) k, el teorema de la divergencia adquiere la forma ( P (P î N + Qĵ N + k N)d x + Q + ) dv e demuestra que P î N d Qĵ N d k N d P x dv Q dv dv La demostración de estasc tres ecuaciones es similar, luego se examinará una de ellas.

12 Las proyecciones de 1 y 2 en el plano xy coinciden y forman la región. i tiene una superficie lateral 3, entonces un vector normal es horizontal, lo cual implica que k N, luego : k N d k N d + k N d en la parte superior 2 la normal apunta hacia arriba mientras que en 1 la normal apunta hacia abajo, luego: [ g1 (x, y) k N d (x, y, z) k î + g ] 1(x, y) ĵ 1 x k da (x, y, z) da k N d 2 umando estos resultados se tiene: r k N d (x, y, g 1 (x, y)) da [ g2 (x, y) (x, y, z) k î + g ] 2(x, y) ĵ + x k da (x, y, z) da (x, y, g 2 (x, y)) da (x, y, g 2 (x, y)) da (x, y, g 2 (x, y)) (x, y, g 1 (x, y)) da [ ] g2 (x,y) g 1 (x,y) dz da dv Universidad Técnica Federico antamaría (x, y, g 1 (x, y)) da Ejemplo 13: Verificar el teorema de la divergencia para la esfera x 2 + y 2 + z 2 a 2 F (x, y, z) xî + yĵ + z k olución. divf P x î + Q ĵ + k divf [ ] 4 divf dv 3 dv 3 3 πa3 4πa 3 La normal hacia el exterior es : f(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 a 2 N F (x, y, z) F (x, y, z) g x(x, y)î g y (x, y)ĵ + k 1 + [g x (x, y)] 2 + [g y (x, y)] 2 y N 2xî + 2yĵ + 2z k xî + yĵ + z k 4(x 2 + y 2 + z 2 ) a

13 pero donde luego : F N d 1 a 1 a xî + yĵ + z k (xî + yĵ + z k) d s (x 2 + y 2 + z 2 ) d a 2 d d 1 + g x (x, y) 2 + g y (x, y) 2 da x g x (x, y) a 2 x 2 y ; g y y(x, y) 2 a 2 x 2 y 2 x 2 d 1 + a 2 x 2 y 2 + y 2 a 2 x 2 y 2 d a a 2 x 2 y 2 usando coordenadas polares se tiene: luego se verifica que: [ F N d a 2 2a 2 2π a ] a a 2 x 2 y dy dx 2 ( ) rdr dθ 4πa 3 a 2 r 2 F N d divf dv e observa que el cálculo del flujo es analíticamente más manejable a través de la divergencia sobre el volumen. Ejemplo 14: Evaluar la integral F N d, dondes es la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 a 2 y F x 3 î + y 3 ĵ + z 3 k olución. La esfera se divide en dos superficies abiertas 1 que corresponde al hemisferio norte, esto es: Universidad Técnica Federico antamaría 1 : x 2 + y 2 + z 2 a 2 ; z > y la superficie 2 que corresponde al hemisferio sur, esto es 2 : x 2 + y 2 + z 2 a 2 ; z <

14 e manera que las superficies estan caracterizadas por : 1 : z x 2 y 2 + a 2 y 2 : z x 2 y 2 + a 2 donde (x, y) pertenecen al interior del círculo en el plano xy de radio a, en ambos casos los vectores normales son iguales y vienen dados por: N g x(x, y)î g y (x, y)ĵ + k [ ] x 1 + gx(x, 2 y) + gy(x, 2 y) x 2 y 2 + a, y 2 x 2 y 2 + a, 1 2 ( ) efectuando el producto F N (x 3 î + y 3 ĵ + z 3 x ĵ) x 2 y 2 + a, y 2 x 2 y 2 + a, 1 se obtiene: 2 reemplazando el valor de z tenemos: z3 x 2 y 2 + a 2 + x 4 + y 4 x 2 y 2 + a 2 2x4 + x 2 ( 2y 2 2a 2) + 2y 4 2a 2 y 2 + a 4 x 2 y 2 + a 2 por lo que debemos integrar esta expresión en la región interior del círculo x 2 + y 2 a 2, utilizando coordenadas polares x r cos θ ; y r sen θ, recordando que dx dy r drdθ se obtiene la integral: 2π a 2r 4 sen 2 θ cos 2 θ a 4 + 2r 2 (a 2 r 2 ) r dr dθ 6πa5 a 2 r 2 5 Como el cálculo para la integral en 2 es el mismo, tenemos que multiplicar el resultado obtenido por 2 lo que nos lleva al resultado : F Nd 12πa5 5 e puede observar que se requiere de bastante trabajo calcular la integral en forma directa, si aplicamos el teorema de la divergencia tenemos: por lo que debemos calcular la integral divf 3x 2 + 3y 2 + 3x 2 V 3(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz y como el volumen corresponde al interior de una esfera, centrada en el origen, de radio a, conviene utilizar coordenadas esféricas, esto es: donde el dominio es : x ρ sen φ sen θ ; y ρ sen φ cos θ ; z ρ cos φ ρ a ; φ π ; θ 2π Universidad Técnica Federico antamaría además recordemos que dx dy dz ρ 2 sen φ dρ dφ dθ por lo que obtenemos la integral: V 3(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz 3 a π 2π ρ 4 sen φ dρ dφ dθ como x 2 + y 2 + z 2 ρ 2, tenemos:

15 a π 2π 3(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz 3 ρ 4 dρ sen φ dφ dθ 12 V 5 πa5 nuevamente se observa que el cálculo del flujo es analíticamente más manejable a través de la divergencia sobre el volumen. Observación: i F (x, y, z) P (x, y, z)î + Q(x, y, z)ĵ + (x, y, z) k y es la región limitada por una superficie cerrada, se verifica que el teorema de la divergencia expresado en coordenadas cartesianas es: ( P x + Q + ) dx dy dz P dy dz + Q dz dx + dx dy Ejemplo 15: Usando el teorema de la divergencia calcular x dy dz + y dz dx + 2z dx dy, donde es una superficie que consiste de la superficie del paraboloide x 2 + y 2 1 z ; z 1 y el disco x 2 + y 2 1, z olución. ( x dy dz + y dz dx + 2z dx dy x x + y + ) z dx dy dz ( )dx dy dz 4 dx dy dz 4 2π 1 1 r 2 r dz dr dθ 4 2π 1 Universidad Técnica Federico antamaría (r r 3 )dr dθ 2π

16 Teorema de tokes o del otor ea una superficie orientada con vector unitario N y cuyo contorno es una curva cerrada simple C, suave a trozos. i F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a y C entonces: F dr (rotf ) N d C icho de otra forma más simple teorema de tokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial de una curva cerrada simple C 3, con la integral sobre una superficie de la cual C es la frontera. Es decir si se tiene una superficie orientada con vector unitario N y frontera en una curva C y un campo vectorial F de clase C se cumple que F dr (rotf ) N d C i la superficie es la gráfica de una función y la curva C es la fronteraa de y sea z z(x, y) con (x, y) variando en una región del plano xy que tiene segundas derivadas parciales continuas.ea C 1 la proyección de C en el plano xy y sea F (x, y, z) f(x, y, z)î + g(x, y, z)ĵ + h(x, y, z) k donde f, g, h tienen primeras derivadas parciales continuas, calculando por separado las integrales de la fórmula de tokes tenemos: ea (t) x(t)î + y(t)ĵ + z(t) k, con a t b, entonces: b ( F d f dx C a dt + g dy ) dt + hdz dt dt b [ f dx a dt + g dy ( dt + h dx x dt + )] dy dt (regla de la cadena) dt b [( f + h ) ( dx a x dt + g + h ) ] dy dt dt ( f + h ) ( dx + g + h ) dy C 1 x [ ( g + h ) ( f + h )] da teorema de Green x x [( g x + g x + h x + h ) ( x + h 2 z f x + f + h x + h )] x + h 2 z da x ( g x + g x + h x f f h ) da (1) x Universidad Técnica Federico antamaría ahora se calcula la otra integral de la fórmula de tokes

17 rot F î ĵ k x f g h N î ĵ k 1 1 ( h g, h x f, g x g ) x ( x, ), 1 ahora se resuelve calcula: [ ( h (rotf N) g ) ( f x h ) ( g x + x f )] da ( h x + g x f + h x + g x f ) da (2) e observa que los resultados (1) y (2) son iguales, es decir se verifica que F dr (rotf ) N d C Ejemplo 16 : Comprobar el teorema de tokes para F (x, y, z) 2zî+xĵ+y 2 k, donde es la superficie del paraboloide z 4 x 2 y 2 y C es la traza de en el plano xy olución. z g(x, y) 4 x 2 y 2 con el vector normal N orientado hacia arriba, tenemos: ( N xî ) ĵ + k N 2xî + 2yĵ + k rot F î ĵ k x 2yî + 2ĵ + k 2x 2y 1 rot F N d (2yî + 2ĵ + k)(2xî + 2yĵ + k) da (4xy + 4y + 1) dx dy 2 Universidad Técnica Federico antamaría 2 4 y 2 2 (4xy + 4y + 1) dx dy (8y 4 y y 2 ) 4 y 2 2 [ 8 ( 4 y 2 ) 3/2 + y 4 y arctan y 2 4π 2] 2

18 para la integral de línea, parametrizando la línea: F dr C C C : α(t) 2 cos tî + 2 sen tĵ + k t 2π F (α(t))α (t)dt 2 2π 2π (, 2 cos t, 4 sen 2 t) ( 2 sen t, 2 cos t, ) dt (1 + cos 2t) dt 4π Universidad Técnica Federico antamaría