Expresiones Algebraicas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Expresiones Algebraicas"

Transcripción

1 Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio, porque e matemática o es suficiete estudiar e el setido corriete de la palabra. El álgebra está metida e toda la matemática... Es bie coocida la utilidad del álgebra e la química y e la física... E geeral muchos capítulos del álgebra ha adquirido vigecia y aparece iesperadamete despertado el iterés de ecóomos, biólogos y estadísticos... Ezo Getile Ua expresió algebraica es aquella que vicula úmeros y letras por medio de las operacioes aritméticas: suma, resta, producto, cociete, poteciació y radicació. Por ejemplo, so expresioes algebraicas: x + ; 5 x + ; x + y 5z. y Segú las operacioes que afecte a la o las idetermiadas las podemos clasificar e segú el siguiete cuadro: Racioales Expresioes Algebraicas Irracioales Eteras Fraccioarias Aalicemos este cuadro: Vemos que hay dos tipos pricipales de expresioes algebraicas: las racioales y las irracioales. Las expresioes algebraicas racioales so aquellas e las cuales alguas de sus variables forma parte del deomiador o figura e el umerador co expoete etero. Por ejemplo: ; x + a + 5. y Las expresioes algebraicas irracioales tiee alguas de sus variables bajo u sigo radical o co expoete racioal o etero. 1 Por ejemplo: 5m+ 8 b ; a z. 1 6

2 Módulo : Expresioes Algebraicas Pero tambié se muestra e el cuadro que las expresioes algebraicas racioales se divide e dos grupos: las eteras y las fraccioarias. Las expresioes algebraicas racioales eteras so aquellas e las cuales las variables está sometidas úicamete a las operacioes de suma, resta y producto (icluida la poteciació de expoete atural). Ejemplos: 1 m + z ; + a + am + b Moomios Si e ua expresió algebraica racioal etera o iterviee i la suma i la resta, dicha expresió recibe el ombre de moomio. 1 Ejemplos: 8 a b ; m El úmero que aparece multiplicado a las letras se llama coeficiete. Las letras y sus expoetes costituye la parte literal. El grado de u moomio, es el úmero de factores literales que e él figura, y se calcula sumado los expoetes de la parte literal. Por ejemplo: gr ( x y ) ( b x ) gr z 9 = 5 = 8, ateció!! : gr() = 0 pero gr(0) o existe Dos o más moomios so semejates si tiee la misma parte literal. 1 Así, los moomios aby ab so semejates. 9 Poliomios Se llama así a las expresioes algebraicas eteras e las que iterviee la suma y la resta o ua de ellas. 1 Por ejemplo: ab + ab 8 El grado de u poliomio es el del térmio de más alto grado. 5 1 Por ejemplo, el grado de x x + x y + 9 es 6, pues el tercer térmio es de sexto grado (los demás so de grado 5 y respectivamete). El coeficiete del térmio que determia el grado de u poliomio se deomia coeficiete pricipal. El térmio que o tiee parte literal se deomia térmio idepediete. U poliomio, de más de ua variable, es homogéeo si todos sus térmios tiee el mismo grado. Por ejemplo: a b+ ab 5b es u poliomio homogéeo. U poliomio es heterogéeo si sus térmios o so todos del mismo grado. 6

3 POLINOMIO EN UNA VARIABLE Semiario Uiversitario Matemática Se llama poliomio e la variable x de grado ( 0 ) a la siguiete expresió: ( ) P x = a x + a x + a x + + a x + a x + a o bie k P( x) ak x = k = 0 dode a, a, a,..., a, a, a so los coeficietes, a 0; x es la variable o idetermiada; y los expoetes de la variable x so eteros o egativos. U poliomio está ordeado e forma creciete (decreciete) cuado el grado de cada uo de sus térmios va aumetado (dismiuyedo) cosecutivamete. U poliomio ordeado es completo cuado el grado de sus térmios aumeta o dismiuye de uo e uo, icluyedo al de grado cero. El poliomio cuyos coeficietes so todos ceros recibe el ombre de poliomio ulo. El poliomio ulo carece de grado. Si e u poliomio P (x) se reemplaza la idetermiada por u úmero real, se obtiee otro úmero real deomiado valor umérico del poliomio. Por ejemplo: Si P( x) = x x + P (1) = 1 1+ = 1+ = 6 P ( ) = ( ) ( ) + = + + = = 1 Tambié se dice que se ha especializado el poliomio P (x) para x = 1, y para x =. Dos poliomios so iguales si y sólo si los coeficietes de los térmios de igual grado so respectivamete iguales. E símbolos: Dados 1 P( x) ax a 1x... ax a1x a0 y 1 Q( x) bx b 1x... bx b1x b0 P( x) Q( x) a = b a = b... a = b a = b a = b es Resulta evidete que dos poliomios iguales tiee el mismo grado. Dos poliomios so opuestos si tiee opuestos los coeficietes de los térmios semejates. Al opuesto de u poliomio P (x) lo simbolizaremos P (x). Por ejemplo, dado 7 P( x) = 5x + x +, su opuesto es 7 P( x) = 5x x. ACTIVIDAD 1 Dados los poliomios: 1 ( ) = 5 0 ; ( ) = + 56 ; ( ) = 5 16 Px x Qx x x Rx x x 65

4 Módulo : Expresioes Algebraicas a) Determiar el grado y el coeficiete pricipal de cada uo de ellos. 1 b) Calcular: P(1); P( ); P(0); P(); Q( ); Q ; Q(); R(); R ( ); P(1) + Q() R(0). 5 SUMA OPERACIONES CON POLINOMIOS DE UNA VARIABLE Para sumar dos poliomios, se suma térmio a térmio los térmios semejates. Ejemplo: Dados P(x) = x + 5 x 7 x + 6 y Q(x) = 6 x + 7, hallar P(x) + Q(x): Es coveiete ordear los poliomios de la siguiete maera: P( x) = x + 5x 7x Qx ( ) = 6x + 7 Px ( ) + Qx ( ) = x + 11x 7 x + 1 El grado del poliomio suma es meor o igual que el grado del poliomio sumado de mayor grado. Para efectuar la resta de dos poliomios, se suma al poliomio miuedo el opuesto del poliomio sustraedo. E símbolos: Px ( ) Qx ( ) = Px ( ) + [ Qx ( )]. Ejemplo: Dados Px ( ) = 5x 8x+ Qx ( ) = x x x+, hallar Px ( ) Qx ( ): La disposició es similar que la usada para la suma, pero e lugar de escribir Q (x), se escribe el opuesto: P( x) = 5x 8x + + Qx ( ) = x + x + x Px ( ) Qx ( ) = x + x 7x + PRODUCTO a) de u poliomio por u úmero real El producto de u poliomio por u úmero real se resuelve aplicado la propiedad distributiva: Ejemplo: 11 Si P( x) = x 5 x + 1, hallar 6 P( x) : P( x) = 6 x 5 x + 1 = 6 x 6 5 x = x 0 x + 6 b) de dos poliomios Para efectuar el producto de dos poliomios, se hace la siguiete disposició práctica: Efectuar Px ( ) Qx ( ),si Px ( ) = x x+ Qx ( ) = x+ : 66

5 x x + x + 16 x 1 x x + 9 x 6 x 1 x + 5 x 18 x + 8 Semiario Uiversitario Matemática E la primer fila debajo de la líea, ecotramos el producto de P (x) por, y e la seguda, el producto de P (x) por x. Notemos que se va ecolumado los térmios semejates. Por último, efectuamos la suma. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los poliomios factores. Productos Especiales Cuadrado de u biomio: ( ) x + a = x + xa+ a Cubo de u biomio: ( ) x + a = x + x a+ xa + a Producto de la suma por la diferecia de dos térmios: ( ) ( ) x + a x a = x a COCIENTE Para resolver el cociete de u poliomio por u úmero real se aplica la propiedad distributiva, La disposició práctica para efectuar el cociete etre dos poliomios es la que se muestra e el siguiete ejemplo, dode se resuelve el cociete: ( 10 x 11x x 5 x ) : ( 5 x 8) + + = 10 x 11x + x 5 x + 5 x 8 10 x + 16 x x + x + 6 x 1 5 x + x 5 x + 8 x 0 x 5 x 0 x + 8 x 5 x + 5 x 8 Resto El procedimieto a seguir es el siguiete: 1. El poliomio dividedo debe escribirse ordeado e forma decreciete y completa.. Se divide el primer térmio del poliomio dividedo por el primer térmio del poliomio divisor. 67

6 Módulo : Expresioes Algebraicas. Se multiplica este resultado por el divisor y se resta del poliomio dividedo.. Se baja los térmios ecesarios y se repite la operació hasta obteer ua expresió de grado meor que el del divisor. Esta última expresió recibe el ombre de resto. El grado del poliomio cociete es igual a la diferecia etre el grado del poliomio dividedo y el del poliomio divisor. ACTIVIDAD Dados los poliomios: Px ( ) = x+ ; Qx ( ) = x 5 ; Rx ( ) = x + 5 ; Sx ( ) = x x 5x 18 Calcular: a) P + Q = b) Q + R = c) P R = 1 1 d) S ( P R) = e) S ( P R) = f ) P + Q S R = g) S : R = h) R S = i) P + Q + R = Divisió de u poliomio de ua variable por otro de la forma x a Para dividir u poliomio P (x) por otro de la forma x a, se hace uso de ua regla práctica coocida como regla de Ruffii. Esta regla permite calcular los coeficietes del cociete ates mecioado, 5 x 6 x + 9 x 10 x + : x = veámosla e u ejemplo: Dividir ( ) ( ) Resto Coeficietes del poliomio cociete Procedimieto: 1. E la primera fila se escribe los coeficietes del poliomio dividedo, ordeados e forma decreciete y completa. (Si falta algú térmio se completa co cero.). E el águlo superior izquierdo se escribe a.. Se baja el primero de los coeficietes y se multiplica por a. Este resultado se escribe debajo del siguiete y se efectúa la suma.. Se cotiúa el procedimieto hasta el último coeficiete. Los úmeros obteidos so los coeficietes del poliomio cociete, y el último es el resto de la divisió. Como ya hemos visto, el grado del poliomio cociete es la diferecia etre el grado del poliomio dividedo y el del poliomio divisor, por lo que, al dividir aplicado la Regla de Ruffii, el grado del cociete es ua uidad meor que el grado del divisor. 68

7 ( ) ( ) Semiario Uiversitario Matemática 5 x 6 x + 9 x 10 x + : x = 5 x + x + 17 x + ; resto = 51 Teorema del Resto: El resto de la divisió de P (x) por (x a) es igual a P (a) Demostració: Si C(x) es el cociete de P (x):(x a) y el resto es igual a R, etoces se cumple: P( x) = C( x) ( x a) + R ; haciedo x = a : P( a) = C( a) ( a a) + R, pero a a = 0,etoces C( a) 0 = 0 P( a) = R Apliquemos el teorema del resto e el cociete que resolvimos por la regla de Ruffii: R = = = = = = 51 El teorema del resto puede servir como verificació, para saber si hemos resuelto correctamete u cociete mediate la regla de Ruffii, pero su aplicació más importate es para averiguar si u poliomio es divisible o o por otro de la forma (x a), ya que si lo es, el resto de la divisió será cero y la aplicació del teorema, os evita el teer que resolver el cociete. Cosecuecia del teorema del resto: Si P (a) = 0, etoces P (x) es divisible por (x a). ACTIVIDAD Dividir los siguietes poliomios aplicado la regla de Ruffii, verificar el resto aplicado el teorema correspodiete: ( + + ) ( ) = 5 ( ) ( ) 7 ( + ) ( + ) = a)x x x 5: x b)x + x x + x + 5x : x + 1 = c) x 1 : x 1 CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO Diremos que: a es cero o raíz de P (x) P (a) = 0 Ejemplos: a) es raíz de P( x) = 5 x 10 pues P() = 5 10 = 0 ( ) ( ) b) es raíz de Qx ( ) = x + x pues Q( ) = + = 9 6 = 0 El problema de determiar los ceros de u poliomio os lleva a platear ua ecuació poliómica, es decir P (x) = 0. 69

8 Módulo : Expresioes Algebraicas Se demuestra que Todo poliomio de grado admite raíces. Es decir que u poliomio de grado 1 admite ua úica raíz, uo de segudo grado tiee dos raíces, etc. Para hallar la raíz de u poliomio de grado 1, se despeja la icógita realizado operacioes a ambos lados del sigo igual: 5x 10 = 0 5x = 10 restado 10 a ambos miembros 10 x = dividiedo ambos miembros por 5 5 x = operado Las raíces de u poliomio de segudo grado mediate la fórmula resolvete: P( x) = ax + bx + c, se halla b ± b ac x = 1; a Para hallar las raíces de u poliomio de grado mayor que, aplicaremos el teorema de Gauss, que permite resolver ua ecuació de grado superior e el caso de que exista al meos ua raíz racioal. ACTIVIDAD Hallar todos los ceros de los siguietes poliomios: apx ) ( ) = x 7 bqx ) ( ) = 6 x 10 c) Rx ( ) = x + 9x+ 8 dsx ) ( ) = x + 7x+ FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS U poliomio P (x) es primo o irreducible si o se puede descompoer e u producto de poliomios de grado positivo, meor que el grado de P. Por ejemplo, el poliomio 5 x + puede escribirse de muchas maeras diferetes: x + ; x + ; ( 15 x + 1 )... 5 pero todas ellas tiee algo e comú: so el producto de u úmero real por u poliomio de grado 1. Si volvemos a leer la defiició de poliomio primo, vemos que uestro ejemplo la cumple, pues todas las descomposicioes so el producto de u poliomio de grado cero (que o es positivo), por otro de grado 1 (que o es meor que el grado del poliomio dado), por lo tato, el poliomio propuesto e el ejemplo es primo. E geeral: todo poliomio de grado 1 es primo. Si u poliomio o es primo, se deomia compuesto. Estudiaremos ahora alguas formas de trasformar poliomios compuestos e productos de factores primos, a este proceso lo deomiamos factorizació o factoreo. 70

9 Factor comú CASOS DE FACTOREO Semiario Uiversitario Matemática Ua expresió algebraica es factor comú cuado figura e todos los térmios del poliomio, por ejemplo: ( ) 5 x 15 x + 10 x = 5 x 1 x + x Observemos que extraer el factor comú es el proceso iverso a efectuar el producto de u moomio por u poliomio. Factor comú por grupos E este caso o hay ua expresió que sea comú a todos los térmios, pero el poliomio puede separarse e grupos de térmios que tiee u factor comú. (Los grupos formados debe teer igual catidad de térmios.) Ejemplo: x + x factor comú + 6x + factor comú = x = x x x + 1 = Notemos que ha quedado dos térmios dode = ( ) ( ) ( x + ) ( x + ) el coteido del parétesis es factor comú. 1 Se extrajo factor comú el parétesis Triomio Cuadrado Perfecto Vimos que al desarrollar el cuadrado de u biomio se obtiee u triomio, que se deomia triomio cuadrado perfecto. Para factorear u triomio cuadrado perfecto procedemos de la siguiete forma: x + x + x Primero debemos ecotrar dos térmios que sea cuadrados perfectos. E uestro ejemplo: x = ( x) x = ( x ) Luego, debemos verificar que el doble producto de las bases es igual al térmio restate: x x = x De acuerdo al sigo que tega este doble producto, el triomio será el cuadrado de la suma o de la diferecia de las bases, e uestro caso, es: ( ) x + x + x = x + x Cuatriomio cubo perfecto Al desarrollar el cubo de u biomio, se obtiee u cuatriomio cubo perfecto. El método para factorearlo es similar al caso aterior, supogamos que queremos factorear x + 6 x + 1 x + 8 Debemos ecotrar dos térmios cubos perfectos: x = ( x ) 8 = ( ) Después es ecesario hacer dos verificacioes: 71

10 Módulo : Expresioes Algebraicas a) que el triplo del cuadrado de la primera base por la seguda es uo de los térmios restates: ( ) x = 6x ; b) y que el triplo de la primera base por el cuadrado de la seguda es el otro térmio: ( ) x = x = 1 x Por lo tato, el cuatriomio queda factoreado como: x + 6 x + 1 x + 8 = ( x + ) Diferecia de cuadrados Vimos que al multiplicar ua suma por ua diferecia se obtiee la diferecia etre los cuadrados de los térmios, etoces, procediedo e forma iversa, ua diferecia de cuadrados se factorea como el producto de la suma por la diferecia de las bases. 6 Ejemplo: 16 x 5 = ( x ) ( 5 ) = ( x + 5 ) ( x 5 ) Suma o diferecia de potecias de igual grado Previamete, deberemos estudiar cuádo ua suma o diferecia de potecias de igual grado ( ± x ± a. x a ), es divisible por la suma o diferecia de sus bases ( ) x + a a) x + a Si aplicamos el teorema del resto: R = ( a) + a Ahora bie, puede presetarse dos casos: que el expoete sea par o impar: R = a + a = a + a = a 0 a.1) Si es par: ( ) a.) Si es impar: ( ) R = a + a = a + a = 0 Coclusió: La suma de potecias de igual grado es divisible por la suma de las bases si el expoete es impar. x + a b) x a Por el teorema del resto: R = a + a = a 0, sea par o impar Coclusió: La suma de potecias de igual grado uca es divisible por la diferecia de las bases. c) x a x + a Por teorema del resto: ( ) R = a a Aalizamos segú sea par o impar: R = a a = a a = c.1) Si es par: ( ) 0 c.) Si es impar: R = ( a) a = a a = a 0 Coclusió: La diferecia de potecias de igual grado es divisible por la suma de las bases si el expoete es par. 7

11 Semiario Uiversitario Matemática d) x a x a El resto es: R = a a = 0, sea par o impar. Coclusió: La diferecia de potecias de igual grado siempre es divisible por la diferecia de las bases. Esto se puede resumir e el siguiete cuadro: + : + Impar + : N uca : + Par : Siempre Ejemplo 1: Factorear x + 7 = Primero verificamos que es ua suma de potecias de igual grado, x + 7 = x +. Las bases so x y. Vemos que esta suma es divisible por la suma de las bases, ya que su x + 7 expoete es impar, por lo tato: = C( x) x + Determiamos el poliomio cociete aplicado regla de Ruffii y obteemos C( x) = x x + 9, etoces: x + 7 x + ( ) ( ) = x x + 9 x + 7 = x + x x + 9 Ejemplo : Factorear: x + 16 = E este caso, o podemos hacer el cociete por la suma de las bases, ya que el primer regló os idica que esto es posible sólo si el expoete es impar, pero tampoco podemos dividir por la diferecia de las bases, ya que la suma uca es divisible por la diferecia de las bases (segudo regló del cuadro). Por lo tato, esta expresió es irreducible. Ejemplo : Factorear: x 8 = Teemos aquí ua diferecia de potecias de igual grado impar. No podemos dividir por la suma, ya que esto es posible solamete si el expoete es par (tercer regló del cuadro), pero se puede hacer el cociete por la diferecia de las bases, ya que, como lo idica el cuarto regló del cuadro, es siempre posible. x 8 Haciedo el cociete: = x + x + x x 8 = x x + x + y pasado el deomiador al segudo miembro: ( ) ( ) 7

12 Ejemplo : Factorear: x 1 = Módulo : Expresioes Algebraicas Esta diferecia de potecias de igual grado puede dividirse tato por la suma como por la resta (ver cuadro), e el primer caso es: x 1 = x x + x 1 x 1 = ( x + 1) ( x x + x 1) x + 1 E el segudo caso: x 1 = x + x + x + 1 x 1 = ( x 1) ( x + x + x + 1) x 1 Regla práctica: Observemos que el factoreo de ua suma o diferecia de potecias de igual grado siempre es igual al producto de la suma o resta de las bases por u poliomio C(x). Daremos alguas reglas que os permitirá formar dicho poliomio si teer que efectuar el cociete: a) Si C(x) multiplica a la suma de las bases, los sigos de sus térmios so alterados, e cambio si multiplica a la diferecia de las bases, sus térmios so todos positivos. b) El grado de C(x) es 1. c) C(x) tiee como primer térmio el producto de la primer base elevada a la 1 por la seguda co expoete cero, el segudo térmio es el producto de la primer base elevada a la por la seguda elevada al expoete 1, y así se forma los demás térmios (los expoetes de la primer base decrece desde 1 hasta 0, y los de la seguda crece desde 0 hasta 1). Ejemplos: ( ) ( ) ( x ) ( x x x 8 x 16) ( ) ( ) = ( x + 10) ( x 10 x + 100) a) x = x x + x + x + x + x = = b) x 1000 = x + 10 x 10 x 10 + x 10 = ACTIVIDAD 5 Factorear las siguietes expresioes, idicado e cada ua de ellas el caso aplicado: 5 a)8x x + 16x + 1 x = b)9 + x + 16x = 5 5 c) x 100 = d) x 15x + 75x 15 = e) x = 6 Factorizació de u poliomio e fució de sus raíces 1 El poliomio P ( x ) = a x + a x a x + a x + a, que tiee por raíces a los úmeros x1, x, x,..., x, puede escribirse como P ( x ) = a x x x x x x... x x. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 7

13 Por ejemplo, el factoreo del poliomio raíces x 1 ; x ; x 5 1 Semiario Uiversitario Matemática P( x) = x + 8 x x + 10, que tiee por 1 = = =, es P( x) = x ( x ) ( x + 5). ACTIVIDAD 6 Factorear los poliomios dados e la actividad e fució de sus raíces. DIVISOR COMÚN DE MAYOR GRADO (d.c.m.gr) Para calcular el divisor comú de mayor grado de dos o más poliomios, se factorea cada uo de ellos y se halla el producto de los factores comues, tomados cada uo co su meor expoete. Ejemplo: Hallar el d.c.m.gr de Px ( ) = x 9 Qx ( ) = x 6 Factoreado cada uo de ellos: P( x) = x 9 = x + x ( ) ( ) ( ) ( P Q) x Qx ( ) = x 6 = x d.c.m.gr, = MÚLTIPLO COMÚN DE MENOR GRADO (m.c.m.gr) Para calcular el múltiplo comú de meor grado de dos o más poliomios, se factorea cada uo de ellos y se halla el producto de los factores primos comues o o comues tomados cada uo de ellos co su mayor expoete. El m.c.m.gr de los poliomios del ejemplo aterior es: m.c.m.gr P, Q = x + x ( ) ( ) ( ) ACTIVIDAD 7 Calcular el d.c.m.gr y el m.c.m.gr de los siguietes poliomios: a)x + 6 x ; x b)9 x + 6 x + 1 ; 1 x + ; 9 x 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Las expresioes algebraicas fraccioarias tiee la forma poliomios. Por ejemplo: x + 5. x x + P( x), dode P y Q so Qx ( ) 75

14 Módulo : Expresioes Algebraicas Simplificació de expresioes algebraicas racioales Si se divide umerador y deomiador de ua expresió algebraica racioal fraccioaria por u mismo poliomio, se obtiee ua expresió racioal equivalete (o igual) a la dada. Para ello, se factorea ambos y se elimia los factores comues: ( x + x + ) ( x ) ( ) ( ) ( ) x + 16x + 16 x + = = x 8 x x + ( x + ) = x ACTIVIDAD 8 Simplificar: x x 5x 5x + 5 a) = b) x x x + 1 Operacioes co expresioes algebraicas racioales Ahora veremos las operacioes que se puede realizar co las expresioes algebraicas fraccioarias, comezado por la suma algebraica. Al igual que lo que sucede co las fraccioes, las expresioes algebraicas fraccioarias puede ser de igual o distito deomiador. E el primero de los casos, se obtiee otra expresió fraccioaria de igual deomiador, cuyo umerador es la suma algebraica de los umeradores de las expresioes sumados, y e el segudo es ecesario calcular el comú deomiador, que es el múltiplo comú de meor grado de los deomiadores de las expresioes dadas. Ejemplos: x + 1 5x + x 5 x x + ( x 5) x x + x + 5 8x + 9 a) + = = = x x x x x x b) x x ( x + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x = = = = x 9 x ( x + ) ( x ) x x + x x + x x + x m.c.m.gr de los deomiadores Para multiplicar expresioes algebraicas racioales, se multiplica los umeradores y deomiadores etre sí, previa simplificació. ( x + 1) x + 1+ x x 1 = x + x + 1 x 1 x + x + 1 ( 1) ( x 1) x + x + ( x + 1) ( x 1) = x + 1 El cociete se resuelve de igual forma que e las fraccioes uméricas: se multiplica el dividedo por el recíproco del divisor: 76

15 x 1 x + 1 x 1 x + x 1 : = = x x x Semiario Uiversitario Matemática x + = x 1 9 x + 9 x + 1 ( + ) ( x ) x + 1 ( x ) ( x + 1) ACTIVIDAD 9 Resolver: 1 1 x 9x + 1x + x a) + 1 = b) = x 1 x + x + 1 x + 9x 6x + 9x 6 ( x + 1) 1 x + x + 1 x + x 16 c) : = d) x 1 x = x + 6 x 6 x 77

16 Módulo : Expresioes Algebraicas SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Actividad 1: a) gr P = 1 1 a1 = 5; gr Q = a = ; gr R = a =. b) 15; 5; 0; 0; 8; 187 ; 0; ; 5 16 ; 9. Actividad : a) x + x b)x 15 c) x x + 5 x d) x 10 x 8 e) x 6 x 0 x 9 x x f ) x x 17x x + x + 8 g) x + Resto: 8 97 h) x x 16 x + 5 x + i) x + 6 x + 1 x + 9 Actividad : a) C( x) = x + x + 1 R = b) C( x) = x x x + 7x R = c) C( x) = x x + x x + x x + 1 R = 0 Actividad : 7 1 a) b) 0 c) 1; 8 d ) ; Actividad 5: ( + + ) ( + ) a)x x x x b) x 5 5 c) x + 10 x 10 d) x 5 e) x x + x + x + 8 x Actividad 6: A cargo del alumo. ( ) ( ) ( ) Actividad 7: a) d.. c m. gr = x + m.. c m. gr = x ( x + ) ( x ) b) d.. c m. gr = x + 1 m.. c m. gr = ( x + 1) ( x 1) Actividad 8: 5 a) b) x x + 1 ) x + 1 ) x + ) ) 1 1 Actividad 9: ( ) a b c x d x 1 x + ( x ) 78

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Semiario Uiversitario Matemática Módulo Epresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,

Más detalles

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,

Más detalles

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos

Más detalles

GUIA DE ESTUDIO Nro 1

GUIA DE ESTUDIO Nro 1 MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro

Más detalles

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de

Más detalles

TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1

TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1 1º Bachillerato - Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/2012 TEMS 1 y 3.- NÚMEROS RELES Y ÁLGEBR- 1 1.- TIOS DE NÚMEROS. ROXIMCIONES DECIMLES 1.1.- Tipos de úmeros

Más detalles

Fracciones. Prof. Maria Peiró

Fracciones. Prof. Maria Peiró Fraccioes Prof. Maria Peiró Recordemos Las partes de ua divisió so Dividedo Residuo divisor Cociete Defiició Ua fracció o querado, es ua divisió de la uidad e u determiado úmero de partes, de las cuales

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

Respuesta: como cociente para multiplicarlo por el primer numerador que.el mismo proceso hacemos para la segunda fracción:

Respuesta: como cociente para multiplicarlo por el primer numerador que.el mismo proceso hacemos para la segunda fracción: PRE EVALUACION: Resuelve la diferecia El m.c.m. de los deomiadores es el producto de ambos. tiees que dividir por cada deomiador y el factor que te queda como cociete, multiplicar por su umerador: E el

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I TEMA.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Más detalles

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO Y RAÍCES DE UN OLINOMIO Sea u poliomio y a u úmero real cualquiera. Se llama valor umérico de e = a y se deota por a, al úmero que resulta al sustituir e la variable

Más detalles

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:

Más detalles

Exponentes y Radicales

Exponentes y Radicales Álgebra Elemetal 201 Expoetes y Radicales Itroducció El Álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relacioes y catidades. Juto a la Geometría, el Aálisis Matemático, la Combiatoria

Más detalles

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:...... 1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros

Más detalles

TEMA 1 NÚMEROS REALES

TEMA 1 NÚMEROS REALES . Objetivos / Criterios de evaluació TEMA 1 NÚMEROS REALES O.1.1 Coocer e idetificar los cojutos uméricos N, Z, Q, I,R, Im O.1.2 Saber covertir úmeros racioales e fraccioes. O.1.3 Redodeo y aproximació

Más detalles

Guía: Propiedades de las potencias SGUIC3M020MT311-A17V1

Guía: Propiedades de las potencias SGUIC3M020MT311-A17V1 Guía: Propiedades de las potecias SGUICM00MT11-A17V1 TABLA DE CORRECCIÓN PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Ítem Alterativa Dificultad Estimada 1 C Media D Media D Media 4 B Media 5 D Compresió Media 6 E Compresió

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995,

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma

Más detalles

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora):

1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora): EJERCICIOS de RADICALES º ESO FICHA : Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añadir estas fórmulas al formulario, juto co la lista de los

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. Qué número entero cumple con esta condición?

Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. Qué número entero cumple con esta condición? LOS NÚMEROS REALES La oció de úmero es muy atigua, los pueblos primitivos usaba piedras para cotar sus rebaños... E la actualidad de qué os valemos para cotar?... Los úmeros que usamos para cotar so los

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E

Más detalles

Números reales. Operaciones

Números reales. Operaciones Números reales. Operacioes Matemáticas I 1 Números reales. Operacioes Números racioales. Caracterizació. Recuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

ALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:

ALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/

Más detalles

EJERCICIOS DE RECURRENCIA

EJERCICIOS DE RECURRENCIA EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios

Más detalles

1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora):

1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora): EJERCICIOS de RADICALES º ESO académicas FICHA : Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añadir estas fórmulas al formulario, juto co la

Más detalles

Fracciones parciales

Fracciones parciales Fraccioes parciales Ua fució racioal puede ser llevada a otra equivalete depediedo del divisor 0de la misma, de tal modo que el divisor puede presetar térmios que permita factorizarlo atediedo a : a) Factores

Más detalles

Guía de estudio Fracciones parciales Unidad A: Clase 19 y 20

Guía de estudio Fracciones parciales Unidad A: Clase 19 y 20 Guía de estudio Fraccioes parciales Uidad A: Clase 19 y 0 Camilo Eresto Restrepo Estrada, Lia María Grajales Vaegas y Sergio Ivá Restrepo Ochoa 1. 9. Fraccioes parciales Ua fracció racioal es ua expresió

Más detalles

RADICALES. Una raíz de índice n es una operación matemática que se define de la siguiente forma:

RADICALES. Una raíz de índice n es una operación matemática que se define de la siguiente forma: Aputes de Matemáticas para º de E.S.O. RADICALES Qué es ua raíz de ídice? Ua raíz de ídice es ua operació matemática que se defie de la siguiete forma: a = b a= b Esto se lee como: la raíz eésima de u

Más detalles

9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.

9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Hoja de Problemas º Algebra II 9. Hallar u úmero de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solució: Sea el úmero buscado co a que si o, o seria de cuatro cifras. Teemos que ( ) como

Más detalles

MATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero

MATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los

Más detalles

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas).

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas). ÁLGEBRA ELEMENTAL 1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (GENERALIDADES) 1.1.- Alguas defiicioes Ua epresió algebraica es ua epresió matemática que cotiee úmeros, letras que represeta úmeros cualesquiera sigos matemáticos

Más detalles

Números racionales. Caracterización.

Números racionales. Caracterización. Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 1 Números racioales. Caracterizació. ecuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma a b

Más detalles

Preguntas más Frecuentes: Tema 2

Preguntas más Frecuentes: Tema 2 Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,

Más detalles

Práctica 3 Sucesiones y series

Práctica 3 Sucesiones y series Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1) FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c

Más detalles

M arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para

M arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 4 Series uméricas M arcelo, de vez e vez, usa ua reata de 10 m de largo y cm de grueso para medir el cotoro de los terreos que fumiga. Para que la reata que usa o

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2 Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los

Más detalles

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11) Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA

Más detalles

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

R. Urbán Ruiz (notas de clase)

R. Urbán Ruiz (notas de clase) R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,

Más detalles

Introducción básica a series

Introducción básica a series Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

La sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:

La sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos: SUCESIONES Págia 50 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja,

Más detalles

MATEMÁTICA LICENCIATURA EN RECURSOS HUMANOS PROFESORA CELIA SÁNCHEZ

MATEMÁTICA LICENCIATURA EN RECURSOS HUMANOS PROFESORA CELIA SÁNCHEZ MATEMÁTICA LICENCIATURA EN RECURSOS HUMANOS PROFESORA CELIA SÁNCHEZ UNIDAD NÚMEROS REALES INTERVALOS ENTORNOS VALOR ABSOLUTO - INECUACIONES MATEMÁTICA PROF. CELIA SÁNCHEZ INTRODUCCIÓN E esta uidad, osotros

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

Walter Orlado Gozales Caicedo Secuecias Lógicas OBJETIVO: Lograr habilidad y destreza e el alumo practicado u razoamieto abstracto PROCEDIMIENTOS: INICIAL: Halla el valor del térmio que cotiúa e:,,,, 0,

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

Aritmética. Introducción. De la definición anterior se pueden deducir las siguientes propiedades:

Aritmética. Introducción. De la definición anterior se pueden deducir las siguientes propiedades: Aritmética Itroducció Bautizo: Decimos a divide a b (a factor de b, a es divisor de b, b es múltiplo de a, b es divisible por a) si existe u etero c tal que b=ac Lo aterior se simboliza como a b, e caso

Más detalles

Tema 1: Números Complejos

Tema 1: Números Complejos Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

Funciones Exponencial y Logaritmo

Funciones Exponencial y Logaritmo . 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h

Más detalles

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N.

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N. Iducció matemática A meudo deseamos probar proposicioes de la forma N, p. Por ejemplo: 1 N, 1 + + 3 + + 1 + 1. N, + 4. 3 N, par implica par. Proposicioes y 3 se puede probar usado la técica de variable

Más detalles

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203 Álgebra I Práctica 2 - Números aturales e iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) + 2 + 3 + 4 + + 00, (b) + 2 + 4 + 8

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura - Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales ) LOS NÚMEROS El sistema de úmeros reales cosiste e u cojuto R de elemetos llamados úmeros reales y dos operacioes deomiadas: adició y multiplicació,

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

1. Calcula, aplicando mentalmente la definición de raíz (no uses calculadora):

1. Calcula, aplicando mentalmente la definición de raíz (no uses calculadora): EJERCICIOS de RADICALES º ESO HOJA 1: Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añade estas fórmulas al formulario, juto co la lista de los

Más detalles

SUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:

SUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos: SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce

Más detalles

Unidad 10: LÍMITES DE FUNCIONES

Unidad 10: LÍMITES DE FUNCIONES Uidad 1: LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Ua sucesió de úmeros reales es u cojuto ordeado de iiitos úmeros reales. Los úmeros reales a1, a,..., a,... se llama térmios,

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos

Más detalles

Olimpiada Costarricense de Matemáticas. Material para capacitación para Olimpiadas Costarricenses de Matemática

Olimpiada Costarricense de Matemáticas. Material para capacitación para Olimpiadas Costarricenses de Matemática Olimpiada Costarricese de Matemáticas Material para capacitació para Olimpiadas Costarriceses de Matemática 0 ÁLGEBRA Elaborado por: Christopher Trejos Castillo Co la colaboració de: Radall Blaco B. Alla

Más detalles

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

4. Sucesiones de números reales

4. Sucesiones de números reales 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA I: POLINOMIOS

UNIDAD DIDÁCTICA I: POLINOMIOS UNIDAD DIDÁCTICA I: POLINOMIOS. ÍNDICE. Itroducció: Cojutos uméricos y expresioes algebraicas 2. Cocepto de poliomio 3. Operacioes co poliomios a. Suma y diferecia de poliomios b. Producto de poliomios

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El

Más detalles

Mó duló 21: Sumatória

Mó duló 21: Sumatória INTERNADO MATEMÁTICA 16 Guía del estudiate Mó duló 1: Sumatória Objetivo: Coocer y aplicar propiedades para el cálculo de sumatorias. Para calcular alguas sumatorias es ecesario coocer sus propiedades

Más detalles

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos. Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es

Más detalles

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes

Más detalles

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales.

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales.

cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales. NUMEROS COMPLEJOS El cojuto de los úmeros complejos fue creado para poder resolver alguos problemas matemáticos que o tiee solució detro del cojuto de los úmeros reales. Por ejemplo x 2 + 1 = 0 o tiee

Más detalles

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) Algebra uiversitaria UNIDAD III. POLINOMIOS 3.. Técicas elemetales para buscar raíces Recordado la defiició de raíz U poliomio P(x) tiee ua raíz r si y solo si P(r) = 0. Recordar el teorema de factorizació

Más detalles

Introducción a las medidas de dispersión.

Introducción a las medidas de dispersión. UNIDAD 8: INTERPRETEMOS LA VARIABILIDAD DE LA INFORMACION. Itroducció a las medidas de dispersió. Como su ombre lo idica, las medidas de dispersió so parámetros que os idica qué ta dispersos está los datos.

Más detalles

21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2)

21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2) EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO opc. B RECORDAR a m a a m m ( a ) a b a a (a b) a m a a b m a m+ b a a - a b a - b a Tambié es importate saber que algo ( base egativa) par (- ) ( base egativa) impar (- )

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.

Más detalles

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones* CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,

Más detalles