Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras

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1 Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

2 Índice 1 Introducción 2 Espacio de probabilidad 3 Variables aleatorias.independencia 4 Parámetros de una variable aleatoria 5 Principales distribuciones de probabilidad 6 Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria 7 Distribuciones muestrales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

3 Distribuciones Discretas: Bernoulli de parámetro p Es el modelo teórico que se asocia a variables que sólo toman dos valores, el 0 y el 1. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p, 0 < p < 1 Intuitivamente, una variable dicotómica ó de Bernoulli aparece asociada a un experimento éxito-fracaso, donde 1 representa el éxito y 0 el fracaso. µ = p, σ 2 = p(1 p) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

4 Distribuciones Discretas: Binomial de parámetros n y p (B(n, p)) Es el modelo teórico que se asocia a variables que toman los valores 0, 1,..., n con probabilidades ( ) n P(X = i) = p i (1 p) n i, i = 0,..., n, 0 < p < 1 i Intuitivamente, una variable binomial modeliza el recuento del número de éxitos al repetir n veces un experimento éxito-fracaso de parámetro p. µ = np, σ 2 = np(1 p) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

5 Ejemplo 2 Con objeto de estudiar el número de salmones de cierto río que llegan vivos al mar se marca el 20% de la camada en el lugar de nacimiento. Posteriormente, en una estación de seguimiento río abajo, se registra el paso de 10 salmones de dicha camada. Cuál es la probabilidad de que se registren 3 de los marcados? Y con qué probabilidad se registrarán 2 ó menos de los marcados? X número de salmones marcados que se registran B(10, 0.2) ( 10 P(X = 3) = 3 ) = 10! 3! 7! = P(X 2) =P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = = Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

6 Distribuciones Discretas: Poisson de parámetro λ Es el modelo teórico que se asocia a variables que toman valores enteros positivos, 0, 1, 2,..., con probabilidades λ λk P(X = k) = e k!, λ > 0, k = 0, 1, 2,... Intuitivamente, la distribución de Poisson es el modelo asociado al recuento del número de eventos en un intervalo de tiempo o una determinada región del espacio cuando estos eventos ocurren al azar de manera independiente. µ = λ, σ 2 = λ Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

7 Ejemplo 3 Tras varios años de observación se ha detectado que el número medio de pequeños escapes en una central nuclear al cabo del mes es de 0.2. Calcula la probabilidad de que en un mes se produzca 1 pequeño escape. Y la de que se produzca más de 1 pequeño escape. X número de pequeños escapes mensuales P(0.2) P(X = 1) = e = ! P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) +... =1 P(X = 0) P(X = 1) = = Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

8 Distribuciones Continuas: Normal de parámetros µ y σ (N(µ, σ)) Es el modelo teórico que viene determinado por la siguiente función de densidad, definida en toda la recta real: f (x) = 1 σ 2 2π e (x µ) /2σ 2, < x < Intuitivamente, es la distribución de probabilidad que se asume para variables consideradas simétricas respecto a su media y cuyos valores se disponen en un histograma que se ajusta a la forma de la llamada campana de Gauss N(0, 1) Los parámetros de esta distribución son la media, µ, que es el eje de simetría de la gráfica, y la desviación típica σ Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

9 Distribuciones Continuas: Normal de parámetros µ y σ (N(µ, σ)) N(0, 1) N(0, 2) La distribución N(µ, σ) se puede relacionar con la distribución N(0, 1), mediante el siguiente proceso al que se denomina tipificación o estandarización: N(2, 1) N(2, 2) X N(µ, σ) Z = X µ σ N(0, 1) A la distribución N(0, 1) se le denomina Normal Estándar Aproximación de la Binomial por la Normal Cuando n > 30 podemos aproximar la distribución binomial de parámetros n, p por la Normal de media np y desviación típica np(1 p). B(n, p) N(np, np(1 p)) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

10 Distribuciones Continuas: Normal de parámetros µ y σ (N(µ, σ)) Como ya dijimos anteriormente, la distribución N(0, 1) es simétrica respecto al 0, es decir, si Z N(0, 1) P(Z x) = P(Z x) Gráficamente, las siguientes áreas son idénticas: x 0 0 x Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

11 Ejemplo 4 La vida de un semiconductor láser a una potencia constante se distribuye normalmente con media 7000 horas y desviación típica 600 horas. Cuál es la probabilidad de que la vida del láser esté entre 6280 y 7120 horas? X vida del semiconductor (en horas) N(7000, 600) Tipificación: Z = X N(0, 1), = 1.2, = 0.2 P(6280 X 7120) = P( 1.2 Z 0.2) =P(Z 0.2) P(Z 1.2) = = Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

12 Ejemplo 4 (continuación) Veamos una interpretación gráfica del cálculo anterior. La probabilidad que tenemos que calcular es igual al siguiente área: P( 1.2 Z 0.2) Dicho recinto está incluido en el del gráfico que aparece a la izquierda. La parte que sobra es precisamente la que está sombreada en el gráfico de la derecha: P(Z 0.2) P(Z 1.2) P( 1.2 Z 0.2) = P(Z 0.2) P(Z 1.2) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

13 Distribución exponencial de parámetro µ Es el modelo teórico que viene determinado por la siguiente función de densidad, definida en los números reales positivos: f (x) = 1 µ e x/µ, µ > 0, 0 < x < su media es el parámetro µ y su varianza es σ 2 = µ 2. Exponenciales con µ = 1 y µ = Intuitivamente, la distribución exponencial es un modelo adecuado para describir el tiempo hasta que cierto evento ocurra. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

14 Ejemplo 5 El tiempo entre llegadas de taxis a un cierto cruce muy concurrido se distribuye exponencialmente con media 10 minutos. Cuál es la probabilidad de esperar un taxi más de una hora? X tiempo entre la llegada de dos taxis (en minutos) exp(10) P(X > 60) = e x/10 dx = e y dy = e y] = e 6 = Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

15 Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 15

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