2. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS.

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Juan Luis Gómez Quintero
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1 . MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. E un étodo r hllr un olución rticulr d l cución linl colt [], u conit fundntlnt n intuir l for d un olución rticulr. No udn dr rgl n l co d cucion linl con coficint vribl, ro í n l co d coficint contnt l º ibro h() d l cución d lguno tio cil. Ant d dr un rgl, conidrn lguno jlo. Ejlo : Hllr un olución rticulr d " + ' + 3 = 6 +. d d Obérv u l licr L = culuir olinoio d rir grdo, d d obtin otro olinoio d r grdo. Por tnto lógico conidrr un olución d l for = A+B. Sutitundo n l cución difrncil: L[ ] = 0 + A + 3(A + B) = 3A + (A + 3B) rá olución i: 3A + (A + 3B) = 6 + R 3A = 6 A Por tnto: = Lugo: A+ 3B= B = = Ejlo : Hllr un olución rticulr d " + ' = Si ctú coo n l co ntrior, robrí un olución rticulr, d l for = A+B. Rult: L[ ] = 0 + A u no ud idntificr con 4+8. Eto dbido u, l no itir térino n n l rir ibro d l cución, cundo lic l ordor L un olinoio P () d grdo obtin otro olinoio d grdo -. Por tnto r obtnr un olinoio d r grdo, hbrá d robr un olinoio d º grdo, con culuir térino indndint (.j.: 0). Por llo robrá un d l for: = A +B = (A+B) Sutitundo n l cución difrncil: L[ ] = A + (A + B) = R 4A = 4 A Por tnto: = Lugo: = A+ B= 8 B = 3 Ejlo 3: Hllr l olución gnrl d: " 3 ' 4 = + 6 Ecución crctrític d l corrondint hoogén: r -3r -4 = 0 : Ríc: r = 4 r = - Solución gnrl d l hoogén: H = c 4 + c - 3

2 Puto u l drivd d on últilo d, rc lógico robr coo olución rticulr = A. Sutitundo n l cución difrncil: L[ ] = 6 (4A 6A -4A) = 6 R Por tnto: A = - = Lugo l olución gnrl : = c Ejlo 4: Hllr un olución rticulr d 4 + c " 3 ' 4 = 5 Actundo coo n l co ntrior robndo = A -, l utituir n l cución difrncil, rult: L[ ] = A - + 3A - 4A - = 0, lo u utr u A - olución d l corrondint hoogén. Lugo no ud rlo d l colt. Si rub = A - ' ", rult: = A ( ), = A ( ) Lugo: L[ ] = A - [( - ) 3( ) 4] = -5A - Por tnto rá olución i A = -. E dcir: = - Not: En gnrl: S un cución difrncil d coficint contnt L[] = con olinoio crctrítico P(r). - Si α no ríz d P( r ) = 0 robrí un olución rticulr d l for: = A. Entonc L[A ] = A P(α) = A A = Lugo P( α) - Si α ríz il d P(r) = 0, rub = A, u: = P( α) [ ] A d L[ ] A d = P( α) A [ P( α) P'( )] LA A L d d α = d α d α = + = AP'( α) A = P'( α) Pro or r α ríz il d P(r) = 0, rult: P(r) = (r - α) P (r) con P (α) 0. Coo: P (r) = P (r) + (r - α) P (r), dduc u P (α) = P (α). α = Por tnto, n t co: A = P ( α D dond: ) = P ( α)

3 Pudn dr un rgl r cogr l odlo d olución rticulr robr, n l co d cucion linl con coficint contnt con º ibro h() d for olinóic, onncil, no, cono o roducto d to do tio. TABLA. For d un olución rticulr () d L[] = h(), cundo l cución tin coficint contnt; indo u olinoio crctrítico P(r),, P, Q, olinoio d grdo.. o + ) h( ) = ( ) = ( ) = P ( ) = [ A +... A ]. indo l ultilicidd d r = 0 coo ríz d P(r) = 0 b) h( ) = ( ) = A indo l ultilicidd d r = α coo ríz d P(r) = 0 c) h( ) = co β + b n β ( ) = [ Aco β + Bn β ] indo l ultilicidd d r = βi coo ríz d P(r) = 0 (Inclu co =0 ó b=0). d) h( ) = ( ) ( ) = P ( ) indo l ultilicidd d r = α coo ríz d P(r) = 0 ) h( ) = ( )co β + ( )nβ ( ) = [ P ( )co β + Q ( )nβ] indo l ultilicidd d r = βi coo ríz d P(r) = 0 = {,} f) h( ) = co β + b nβ ( ) = [ Aco β + Bnβ] indo l ultilicidd d r =α + βi coo ríz d P(r) = 0 (Inclu co =0 ó b=0). g) h( ) = ( ) ( ) = co β + ( ) α nβ [ P ( )coβ + Q ( )nβ] indo l ultilicidd d r =α + βi coo ríz d P(r) = 0 = {,} o Adá ud conidrr tbién l co n u h() u d lo odlo nt citdo. Bt ur l rinciio d uroición. 3

4 Lo ditinto tio d funcion h() u intrvinn n l tbl, on co rticulr dl últio á gnrl: ( ) co β + ( ) nβ dond () () on olinoio d grdo, rctivnt. L vlidz dl étodo o n u lo h() conidrdo on tl u l licrl L obtin un función dl io tio. Ejlo 5: Hllr l olución gnrl d: Ecución crctrític d l hoogén: r Solución gnrl d l hoogén: H = C + C - " + ' = ( 6 + ) + 0 co + r = 0 Ríc: r =, r = -. Sgún l nor d l tbl l rinciio d uroición rub: Entonc: = (A + B) + C co + D n = [A + (B + A) + B] + D co C n = [A + (B + 4A) + (B + A)] 4C co 4D n Sutitundo n l cución difrncil: 6A + ( 3B+ A) + ( D 6C)co ( 6D+ C) n = ( 6+ ) + 0co [ ] 6A = 6 3B+ A = Lugo: D 6C = 0 6D+ C = 0 A = B = 0 C = 3 D = = - 3co+ n Solución gnrl: - = c + c + - 3co + n Otr for: Por l rinciio d uroición, rí olución rticulr d l cución dd, l u d olucion rticulr corrondint l cucion: L[] = (6 + ) L[] = 0 co - Pr obtnr, rocdrí coo nt, robndo un olución dl tio: = (A + B), obtniéndo =. - Pr obtnr, tnindo n cunt u co l rt rl d i, bucrí un olución rticulr d L[] = 0 i torí l rt rl d l i. Aí u, r t últi cución rub : * = C i. Sutitundo n l cución difrncil + = 0 i, obtin: L[ * ] = C i [-4 + i ] = 0 i. 4

5 Lugo: C(i 6) = 0 0 i + 3 C = = 0 = 3 i.rult: * =-(3+i) i. i 3 0 Por tnto: = R * = R : -(3+i) i = R [-(3+i) (co + i n ], dcir: = -3 co + n L olución rticulr d l cución dd rí: = -3 co + n Ejlo 6: Qué for robrí coo olución rticulr d l cución 3 difrncil: " 3 ' + = co + n? Ecución crctrític d l hoogén: r 3r + = 0. Ríc: r = r =. Lugo H = c + c Coo olución rticulr gún l rgl dd robrí: 3 = A + (B + C) + D + E + Lco + Mn + F + G+ (H + I)co + (J + K)n + 5

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