LA SOLUCIÓN DE ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

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1 38 UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA LA SOLUCIÓN DE ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Fech de ecepción: 6 de octube de 05 Fech de Evlución: 6 de febeo de 06 Fech de ceptción: 8 de mzo de 06 THE SOLUTION OF SOME SECOND-ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS José Alfedo Jiménez Moscoso, Joge Muicio Ruiz Ve * RESUMEN En este tículo, se pesent un nuevo método ápido, eficiente y peciso p detemin l solución genel de l ecución difeencil linel de segundo oden cundo los coeficientes son vibles que se elcionn ente si medinte ot ecución difeencil odini. Uno de los métodos de solución consiste en que l ecución difeencil de segundo oden se tnsfom de un vez un ecución difeencil odini de Riccti, ést últim EDO se puede esolve sin necesidd de conoce pioi un solución pticul. Estos métodos de solución bindn hemients que pemiten eplic este tipo de EDO de fom simple en ls uls. Plbs clve: Ecución difeencil de segundo oden con coeficientes vibles, Ecución ect, Ecuciones difeenciles odinis lineles. Deptmento de estdísitc. Fcultd de Ciencis, Univesidd Ncionl de Colombi Deptmento de mtemátics, Fcultd de Ciencis, Univesidd Ncionl de Colombi *Auto coesponsl. E-mil: jmuizv@unl.edu.co. ISSN Volumen Númeo Págins DOI:

2 39 ABSTRACT In this ppe we pesent new fst, efficient nd ccute wy to detemine the genel solution of secondode line diffeentil eqution when the coefficients e vible nd e elted to ech othe by nothe odiny diffeentil eqution. One of the solution methods poposed is tht the second-ode diffeentil eqution is tnsfomed in Riccti odiny diffeentil eqution, such ODE ltte cn be solved without knowing pioi pticul solution. These solution methods povide tools tht eplin this kind of ODE in simple wy in the clssoom. keywods: Second-ode line diffeentil eqution with vible coefficients, ect eqution, line odiny diffeentil equtions. INTRODUCCIÓN Un ecución difeencil odini (EDO) linel de segundo oden constituye un clse especil de ecuciones difeenciles, y jueg un ppel impotnte en muchos cmpos de l cienci plicd, este tipo de EDO pece en poblems clásicos de mecánic, electomgnetismo y dinámic de gses (Muphy 960; Boyce y DiPim 997). Po lo genel, un EDO linel de l fom () donde los coeficientes vibles,, 0( ) y f ( ) son funciones bitis de con 0, 0, se denomin EDO linel de segundo oden y p esolvel se necesit que los coeficientes k + + y y 0 y = f, ( ) stisfgn ciets condiciones. L fom más conocid consiste en dividi l EDO () ente ( ) y escibil en su fom cnónic: () + + y P y Q y = g. El pocedimiento p detemin l solución de est EDO linel de segundo oden tiene dos psos: pimeo se esuelve l EDO linel homogéne socid y luego emplendo el método de vición de pámetos se detemin un solución pticul, l solución genel de l EDO no homogéne complet se log sumndo ests dos soluciones (veáse Boyce y DiPim 997; Ngle et l. 0; Simmons 99). L ide pincipl del tículo es ofece un nuevo enfoque p obtene l solución genel de lguns EDO lineles homogénes de segundo oden, demás, most e impuls el uso de este método de solución ente ingenieos en ejecicio y estudintes de Ingenieí. P utiliz el método de solución popuesto se debe stisfce lgun de ls dos condiciones dds en este tbjo, y cundo se veific lgun de ells, l EDO linel de segundo oden puede educise un ecución de pime oden, lo que pemite solucionl fácilmente sin utiliz seies de potencis. El tículo está ognizdo de l siguiente mne: en l sección. se pesentn los métodos de solución eistentes; en l sección.3 se pesentn los métodos de solución popuestos; en l sección.4 se pesentn lguns plicciones de estos métodos, p ello, se seleccionn lguns ecuciones difeenciles cuys soluciones se obtienen usndo seies de ISSN Volumen Númeo Págins

3 40 UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA potencis y se esuelven emplendo l metodologí popuest. Finlmente, se pesentn ls conclusiones. ANTECEDENTES A continución se desciben los métodos de solución de EDO lineles de segundo oden, que se pesentn en los tetos clásicos de EDO y que emplemos los docentes de mtemátics. Po simplicidd en est sección se considen los métodos de solución de EDO lineles homogénes de segundo oden. Aunque en (Kovcic 986) se pesentn cuto csos p solucion de mne ced ls EDO lineles homogénes de segundo oden, los cules se conocen como el Algoitmo de Kovcic, en est sección no se considen. Ecución de Cuchy-Eule Est EDO linel es en l que el gdo de los coeficientes coincide con el oden k de l difeencición de l EDO (), es deci los coeficientes son de l fom: donde k R. P este tipo de EDO ls soluciones son de l fom y =, y el vlo de se detemin como l solución de l ecución cudátic: Este tipo de EDO tiene un de ls siguientes soluciones: k =, k= 0,,, k k ( ) + + = 0. 0 Ecución ect Es quell en l que los coeficientes de l EDO () stisfcen el siguiente test de ectitud : Este tipo de EDO tiene un solución de l fom y l ot solución se detemin usndo el método de educción de oden. Cmbio de vible El cmbio de función y po u ddo po y = ep u d tnsfom l EDO () en { } (3) = ( ) + =0. 0 y= ep d Est es un ecución de Riccti. En lgunos csos poco se gn medinte est tnsfomción, y que l nuev EDO (3) puede se tn difícil de esolve como l nteio. En (Sugi 96) se pesentn vis tnsfomciones que pemiten lineliz l EDO de Riccti y p lgunos csos detemin l solución genel de dich EDO. En (Jiménez 05) se pesentn lguns soluciones de l EDO de Riccti cundo los coeficientes stisfcen ciets condiciones, lo cul pemite encont l solución genel sin conoce un solución pticul. 0 u u u +. Si y son eles, entonces y= c + c,. Si =, y = c + c ln, 3. Si = + ib, = ib, y = ( c cos( bln ) + c sin( bln ). Solución medinte seies de potencis Ente los tipos de EDOs lineles que se esuelven po este método se encuentn: l ecución de Aiy, ls ecuciones de Bessel, ls ecuciones de Legende y l ecución hipegeométic, ente ots. En (Muphy 960) se pesent l genelizción de este test p EDO lineles de oden supeio. ISSN Volumen Númeo Págins DOI:

4 4 MÉTODOS PROPUESTOS sí se lleg l siguiente solución Los métodos que se poponen p estblece un solución de l EDO linel homogéne socid l EDO dd en () con coeficientes vibles, se esumen en los teoems que se pesentn continución: Teoem. Si los coeficientes de l EDO linel dd en () están elciondos medinte l siguiente condición (4) entonces un solución de l ecución homogéne socid viene dd po y po el método de educción de oden: y= y( u ), donde Pueb. Si los coeficientes stisfcen l epesión (4), entonces l EDO linel homogéne socid l EDO linel de segundo oden () se puede eescibi como est epesión se compot como l deivd de un constnte, luego y con κ R, est EDO es linel de pime oden y usndo el fcto integnte 0 d = d = ep d, u = ep d d. d y + y + y d d y + y = 0, d κ y + y µ =, = ep d, =0 donde E R y se tiene lo que se queí demost. Teoem. Si los coeficientes de l EDO linel dd en () stisfcen l siguiente condición (5) entonces un solución de l ecución homogéne socid es y po el método de educción de oden: y= u, donde 0 d d 0 y =, =, 0 Pueb. Si los coeficientes stisfcen l epesión (5), entonces es sencillo veific que un solución de l EDO linel homogéne socid l EDO linel de segundo oden () viene dd po Emplendo el método de educción de oden se tiene l EDO linel dd en () se conviete en luego, se lleg l siguiente solución sustituyendo (6) se tiene lo que se queí demost. u 0 = ep d d. (6) y =. y y( u ) u y = y u (), y = y u() u (), 0 = (), + [ y u() u ] () y u()=0, ep d u = ep d d = d, y ( y) ISSN Volumen Númeo Págins

5 4 UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA En ots plbs, el Teoem nos dice que en cso que el cociente ente ( ) y se un función linel con pendiente de vlo - un solución de l EDO linel homogéne (), es dich función linel. ILUSTRACIÓN En est sección, se plicn los métodos pesentdos p encont l solución genel de lguns EDO lineles de segundo oden dds en (Boyce y DiPim 997; Spiegel 983; Simmons 99). Ejemplo. Encuente l solución genel de l EDO linel homogéne Solución. Este ejecicio es uno de los ejemplos que pece en (Simmons 99, págin 95) p ilust el método de Fobenius. Nótese que los coeficientes de est EDO stisfcen l condición dd en (4), luego, l EDO linel se puede eescibi como (7) luego medinte el uso del fcto integnte, l solución genel es: y + (+ ) y y= 0, > 0. donde y coesponde l solución de l EDO linel de pime oden que pece en l epesión (7). Nótese que est EDO linel no es ect. Además, el pocedimiento popuesto involuc pocos psos difeenci del método de solución en seies. Ejemplo. Encuente l solución genel de l EDO linel homogéne d + y + y = 0, d + y + y = k, y= e [ c+ k e d ] = cy + cy. Solución. Este ejecicio pece popuesto en (Boyce y DiPim 997, págin 39) p plic el método de ects. Nótese que los coeficientes de est EDO stisfcen l condición dd en (4), luego, l EDO linel se puede eescibi como est nuev EDO se puede eescibi como l cul coesponde un EDO linel de pime oden y su solución viene dd po Po lo tnto, l solución genel es: nótese que est EDO linel es ect. Se puede peci que el pocedimiento es mucho más diecto y sencillo que el método de solución de EDO ects. Ejemplo 3. Encuente l solución de l EDO linel de Legende y + y + y =0 d d ( y + y) = 0, dy = d + y k y = e ke d + C. y= ce + ce e d. ( ) y y + y = 0. Solución. Este ejecicio pece popuesto en (Spiegel 983, págin 35) p solucionlo usndo polinomios de Legende. Nótese que los coeficientes de est EDO stisfcen l condición dd en (5), luego, un solución de est EDO de segundo oden es y =, y l ot solución viene dd po ISSN Volumen Númeo Págins DOI:

6 43 y = ep + d d = ep + d d + d =, ( ) nuevmente usndo fcciones pciles, después de lguns opeciones y simplificndo se lleg y = tnh, Figu : Cicuito RLC con esistenci vible. Solución. L cg qt () del condensdo es l solución de l ecución de segundo oden donde genel es: tnh = ctnh. Po lo tnto, l solución (8) d d L qt () + R 0 + t qt () + qt ()=0. C C Nótese que est EDO linel no es ect. Además, el pocedimiento popuesto involuc pocos psos difeenci del método de solución en seies. y c c A continución se pesentn dos ejemplos pácticos, donde los métodos popuestos en este tículo pueden plicse. Ejemplo 4. Resistenci eléctic vible Considee un cicuito esisto-inducto-condensdo RLC mostdo en l figu. Supong que el voltje en l fuente es Et ()=0 voltios, l inductnci es L henios, l cpcitnci es C fdios. Además, se supone que el esisto se client, tl que l esistenci eléctic ument de l fom Rt ()= R0 + tohmios, donde R 0 es un constnte C que denot l esistenci de efeenci del esisto (Hllidy et l. 999). Detemine l cg del condensdo en el cicuito. = + ( tnh ). Obsévese que l condición (4) l stisfce l ecución, po lo cul l EDO linel de segundo oden puede escibise como d d L qt () + R0 + t qt () =0. L C P encont un solución l poblem homogéneo (8) se esuelve l ecución linel ect d qt + R 0 + t qt = k, (k constnte) L C cuy solución genel es R0 R0 q( t) = ep t t k k ep t t, L LC + + L LC donde k es constnte. Ejemplo 4. Dinámic en un ecosistem mino Denotndo po y y ls cntiddes de bioms de zooplncton y fitoplncton en cieto ecosistem ISSN Volumen Númeo Págins

7 44 UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA mino espectivmente. Suponiendo l gn bundnci de fitoplncton en el ecosistem y ddo que éste constituye el limento del zooplncton (Psto 008), entonces se conside que l zón de cmbio de bioms de zooplncton es popocionl l cntidd de bioms de fitoplncton. Además se supone que el fitoplncton cece con un ts intinsec vible en el tiempo de l fom + e y l bioms de fitoplncton decece debido los ognismos consumidoes (zooplncton) con un zón vible en el tiempo de l fom t e. Entonces l intección ente ls dos poblciones de ognismos, se model po el siguiente sistem de ecuciones difeenciles (9) Detemine l cntidd de bioms de mbs poblciones. d = y dy = ( + e ) y e Solución. Pimeo se tnsfom el sistem de ecuciones difeenciles de pime oden (9) en un ecución difeencil de segundo oden. Deivndo un vez l pime ecución de (9) y sustituyendo dy, se obtiene. d () ( + e ) = k, ( k constnte) L solución genel es entonces donde k es constnte. Finlmente de l ecución () se obtiene que l bioms del fitoplncton es CONCLUSIONES En este tículo se pesent un nuevo método de solución de lguns EDO lineles de segundo oden con coeficientes vibles. Cundo los coeficientes de l EDO stisfcen lgun de ls condiciones estblecids, el método pemite detemin de mne ect y muy sencill l solución genel de l EDO sin necesidd de emple seies de potencis. Ls condiciones popuests sobe los coeficientes de l EDO, se pueden ve como un citeio p educi l ecución pime oden. En tbjos futuos se dese identific citeios de este estilo p EDO de oden supeio. { } + { } ( t) = ep t e k k ep e t, yt () = ( + e ) t () + k (0) d d ( + e ) + e = 0 Obsévese que l condición (4) l stisfce l ecución (0), po lo cul se puede escibi como d d ( + e ) = 0 Aho se detemin un solución l poblem homogéneo (0) esolviendo l ecución linel ect ISSN Volumen Númeo Págins DOI:

8 45 REFERENCIAS. Boyce W y R DiPim 997. Elementy Diffeentil Equtions nd Boundy Vlue Poblems. Set edición, John Wiley & Sons, New Yok, 749p.. Hllidy D, R Resnick y K Kne Físic. Volumen, Cut edición. Compñí Editoil Continentl, S.A. De C.V, Méico, 758p. 3. Jiménez J. A. 05. L solución de lguns EDO de Riccti. Revist digitl, Mtemátic, Educción e Intenet. 5(): Kovcic J. J An Algoithm fo Solving Second Ode Line Homogeneous Diffeentil Equtions. Jounl of Symbolic Computtion. : Muphy G 960. Odiny diffeentil equtions nd thei solutions. Vn Nostnd Reinhold Compny, New Yok, 46p. 6. Ngle R, E Sff y A Snide 0. Fundmentls of Diffeentil Equtions nd Boundy Vlue Poblems. Set edición, Addison-Wesley, New Yok, 86p. 7. Psto J 008. Mthemticl Ecology of Popultions nd Ecosystems. Wiley-Blckwell, Ofod, 344p. 8. Simmons G 99. Diffeentil Equtions with Applictions nd Histoicl Notes. Segund edición, McGw-Hill, New Yok, 69p. 9. Spiegel M 983. Ecuciones difeenciles plicds. Tece edición, Pentice-Hll Hispnomeicn, S.A. Méico, 66p. 0. Sugi I. 96. A clss of solved Ricctis equtions. Electicl Communiction, 37(): Zwillinge D 997. Hndbook of Diffeentil Equtions. Tece edición, Acdemic Pess, Boston, 787p. ISSN Volumen Númeo Págins