ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS)

Transcripción

1 EUAIONES DIFERENIALES ORDINARIAS EDOS.- Introducción onsidrmos los siguints roblmas. Problma uáls srán las curvas qu vrifican qu la ndint n cada uno d sus untos s igual al dobl d la suma d las coordnadas dl unto? Planto: d d P,? drivada d la función variabl indndint función incógnita Una cuación d st tio s llama cuación difrncial ordinaria. Problma uál srá l camino rcorrido or un curo durant l timo t, si su vlocidad s roorcional al tracto, sabindo qu n sgundos l curo rcorr mtros n 5 sgundos mtros? Planto: v t k t t k t k drivada d la función incógnita función incógnita En sta cuación k s la constant d roorcionalidad la variabl indndint s t timo. Admás db vrificars qu, 5 Est roblma también s modliza mdiant una cuación difrncial ordinaria cirtas rstriccions. Para dar rsusta a stos roblmas tndrmos qu arndr a rsolvr st tio d cuacions..- Dfinición conctos gnrals Análisis Matmático II Angélica Arnulfo

2 . Dfinición: una cuación difrncial ordinaria EDO s una cuación qu rlaciona una variabl indndint, una función incógnita sus drivadas, ",..., n, s dcir, una cuación d la forma: n G,,, ",..., forma imlícita n n ó F,,, ",..., forma lícita Ejmlos: 3 3 " 4 cos d d La cuación difrncial s llama ordinaria orqu la función incógnita dnd d una sola variabl indndint. Si la función incógnita dnd d dos o más variabls indndints, la cuación difrncial contndría drivadas arcials or lo qu a stas cuacions s las llama cuacions difrncials n drivadas arcials. El ordn d una cuación difrncial s l d la drivada d maor ordn qu figura n la cuación. Ejmlos: " EDO d sgundo ordn 4 " 3 sn EDO d trcr ordn Una solución d la cuación difrncial n un intrvalo I R s una función ϕ qu admit drivadas sucsivas hasta l ordn n inclusiv n I, tal qu al sustituir or ϕ n la cuación difrncial la convirt n una idntidad, s dcir ϕ s solución d la cuación n G, ϕ, ϕ,..., ϕ I Ejmlo: la función s una solución d la cuación difrncial " En fcto, si drivamos dos vcs la función dada tnmos: " 3 sustitundo, n la cuación difrncial dada rsulta la idntidad Análisis Matmático II Angélica Arnulfo

3 3 3 4 Rsolvr o intgrar una cuación difrncial ordinaria s hallar todas sus solucions. 3.- Ecuacions difrncials ordinarias d rimr ordn Son d la forma: G,, forma imlícita ó F, forma lícita dond s la función incógnita. Un jmlo sncillo d cuación difrncial ordinaria d rimr ordn s f Si la función f s continua n algún intrvalo I R, s tin qu f d : constant ral arbitraria D dond rsulta qu la cuación difrncial dada tin una familia infinita d solucions. La solución contin una constant arbitraria qu ud dtrminars, si s conoc qu. La condición s llama condición inicial. El roblma d rsolvr la cuación difrncial F, sujta a la condición inicial n algún intrvalo I qu contnga a, s llama roblma con valor inicial o roblma d auch. Est tio d roblma ud sr rsado d la siguint manra: PVI F, Las infinitas solucions d la cuación difrncial F, constitun la solución gnral d la cuación, la cual contin una constant arbitraria. S llama solución articular d la cuación difrncial F, a la qu s obtin d la solución gnral ara un valor dtrminado d la constant arbitraria. Entoncs dada la cuación difrncial F,, la solución gnral ud rsars como g,, forma imlícita ó ϕ, forma lícita Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 3

4 Torma d Eistncia unicidad local d solución. Torma d Picard. Sa l roblma d valor inicial PVI F, sindo, un unto intrior d la rgión rctangular dl lano, [ a, b] [ c d] R, Si las funcions F F son continuas n l rctángulo R ntoncs ist un intr-, contnido n l intrvalo[ a, b], una única función valo abirto I con cntro n φ: I R qu satisfac l PVI. Obsrvación Es claro qu la función φ s drivabl n l intrvalo I s solución dl PVI. Admás φ s continua n I, a qu ϕ F, ϕ F s continua or hiótsis ntoncs la gráfica d la solución φ dl PVI s una curva suav. omntarios Las condicions dl Torma d Picard son suficints ro no ncsarias. Esto significa qu cuando F F son continuas n una rgión rctangular R, odrmos asgurar qu l PVI tin una única solución, simr qu, sa un unto intrior d R. Sin mbargo si las condicions stablcidas n las hiótsis dl torma no son válidas odría sucdr qu, l PVI tnga única solución o qu tnga varias solucions o qu no tnga solución...- Intrrtación gométrica d las solucions d la cuación difrncial F, Sabmos qu la cuación difrncial F, tin una familia infinita d solucions qu constitu la solución gnral. Esta solución gnral, qu odía sr rsada como: g,, forma imlícita ó ϕ, forma lícita rrsnta gométricamnt a una familia d curvas lanas, llamadas curvas solucions o curvas intgrals una curva ara cada valor d la constant. Una solución articular qu satisfac la condición inicial, gométricamnt srá la curva o las curvas d la familia qu contin al unto,...- Ecuacions difrncials ordinarias a variabls sarabls. Son cuacions difrncials ordinarias d rimr ordn d la forma: Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 4

5 g h s dcir, F, g. h s l roducto d una función qu dnd únicamnt d or otra función qu dnd únicamnt d. Para rsolvrla tnmos n cunta qu d/d ntoncs la cuación ud scribirs d g. h d D dond ara todo tal qu h s tin qu d g d h Si g / h son continuas, intgramos ambos mimbros, ntoncs d g d h Si H s una antidrivada d / h G s una antidrivada d g, rsulta H G, R qu s la solución gnral d la cuación. En gnral, sta última igualdad, dfin imlícitamnt a como función d ; si s osibl, obtndrmos a n términos d, s dcir φ,. Ejmlo : Rsolvr l siguint roblma con valor inicial Solución: d d d d d d ln, R ln, R, d dond ± ln : solución gnral n forma lícita. Alicamos ahora la condición inicial > ln ln ln Lugo la solución articular dl PVI dado s ln Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 5

6 Nota: El PVI dado tin única, obsrvar qu s cumln las hiótsis dl torma d Picard. Ejmlo : l siguint PVI tin solución? 4 PVI Solución: d 4 4 d d dond 4 con. d 4 d d 4 d ln 4ln, R Es fácil vrificar qu también s solución d la cuación difrncial dada, ntoncs la solución gnral srá 4 con R. Alicando la condición inicial tnmos qu., sta igualdad s vrifica indndintmnt dl valor d, s dcir ara todo, or lo qu l PVI dado tin infinitas solucions. Ejmlo 3: D los dos roblmas introductorios, n l roblma la cuación difrncial s a variabls sarabls. Rsolvrmos dicho roblma. Vimos qu la cuación difrncial qu modliza dicho roblma s: k ntoncs d d t d d k k dt k d t ln k t k t, Es fácil vr qu la función también s solución d la cuación difrncial dada, lugo la solución gnral srá k t con R. Aliqumos ahora las condicions qu s dbn satisfacr n st 5 k 5 k Dividindo mimbro a mimbro las igualdads antriors rsulta roblma. 5 k, d dond k ln, rmlazando st valor d k n cualquira d las dos igualdads antriors trabajando algbraicamnt s obtin qu 5. Lugo l camino 5 rcorrido or un curo durant l timo t vin dscrito or ln t 5 t Ecuacions difrncials ordinarias homogénas Una cuación difrncial ordinaria d rimr ordn F, s homogéna si solo si F, g /, s dcir si s d la forma: g Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 6

7 S rsulvn fctuando la sustitución z / notar qu como ntoncs z z, la cuación s rduc a una cuación difrncial a variabls sarabls. En fcto: z ntoncs. z, d dond z z rmlazando n la cuación s tin g z z z z g z z z [ g z z ] qu s una cuación a variabls sarabls, con función incógnita z z. Ejmlo: Rsolvr la cuación difrncial. g lo qu d- mustra qu la cuación difrncial dada s homogéna. Efctuamos la sustitución z ntoncs. z, d dond z z, rmazando obtnmos la cuación difrncial z z z z : cuación a va- z z riabls sarabls. Rsolvmos sta cuación d d z z dz z dz z ln z ± ln, d z dond la solución gnral d la cuación difrncial dada s ± ln..4.- Ecuacions difrncials linals d rimr ordn Son cuacions difrncials ordinarias d rimr ordn qu udn rsars n la forma: q dond q son funcions continuas n un intrvalo I. Si q no s idénticamnt nula n I, la cuación s llama linal no homogéna. Si q n I s dic qu la cuación s linal homogéna rsulta una cuación a variabls sarabls. Una d las formas d rsolvr la cuación s mdiant la sustitución u. v Para llo calculamos u. v u. v, rmlazamos n obtnmos u v u v u v q Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 7

8 u. u v u. v q hallamos una función u tal qu u.u sta s una cuación difrncial a variabls sarabls con función incógnita u u. Lugo calculamos la función v rsolvindo la cuación u. v q, cuación difrncial a variabls sarabls con función incógnita v v. Finalmnt u.v s la solución gnral d la cuación difrncial linal no homogéna. Ejmlo: Rsolvr la siguint cuación difrncial Esta cuación ud scribirs como con > Ralizamos la sustitución u. v d dond u. v u. v rmlazando n la cuación difrncial dada tnmos: u. v u. v u. v u u v u v Hallamos una función u tal qu u u. Esta s una cuación difrncial a variabls sarabls, rsolviéndola obtnmos u, R, como intrsa una función u lgimos, ntoncs v u, con sta función hallamos v d manra qu, s trata también d una cuación difrncial a variabls sarabls, cua solución gnral s difrncial dada s v con R. Lugo la solución gnral d la cuación 3 u. v. con R. Ejrcicio: la cuación difrncial qu modliza l roblma d la introducción s una cuación difrncial linal d rimr ordn, rsolvr dicho roblma Ecuacions difrncials actas Una cuación difrncial ordinaria d rimr ordn d la forma P, Q, ó P, d Q, d dond P, Q, son funcions continuas n una rgión lana D Q, no s idénticamnt nula n D, s una cuación difrncial acta n D, si ist una función f, difrnciabl n D tal qu f, P, f, Q, n D. Vrmos ahora como s ud obtnr la solución gnral d una cuación difrncial acta. Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 8

9 Sa P, Q, una cuación difrncial acta n D ntoncs ist una función f difrnciabl n D tal qu f, P, f, Q, n D. Sa φ una solución d la cuación n un intrvalo I R, ntoncs P, ϕ Q, ϕ ϕ I, or sr acta s vrifica qu d f, ϕ f, ϕ ϕ I, d dond rsulta qu f, ϕ d I, or lo tanto f, ϕ I, lo qu significa qu la cuación f, dfin imlícitamnt a la solución φ n I. Rcírocamnt, suongamos qu la cuación una función φ n un intrvalo I, ntoncs f, dfin imlícitamnt a f, ϕ I, drivando or mdio d la rgla d la cadna tnmos qué f, ϕ f, ϕ ϕ I, ro or sr la cuación acta odmos scribir P, ϕ Q, ϕ ϕ I, lo qu significa qu la función φ s solución d la cuación n I. Lugo quda robado qu toda solución d una cuación difrncial acta stá dfinida imlícitamnt or la cuación f, El siguint torma nos roorciona un método ara dtrminar si una cuación difrncial d la forma s o no acta. Torma: Si P, Q, tinn drivadas arcials continuas n una rgión dl lano D a, b c, d ntoncs la cuación difrncial P, Q, s acta si solo si P, Q, n D. Ejmlo: Rsolvr la siguint cuación difrncial d dond P,, P, Q,, Q, P Q, admás la funcions P Q tinn drivadas arcials continuas n R ntoncs or torma antrior la cuación dada s acta n D R or dfinición ist una función f, difrnciabl tal qu f,, Vamos ahora como hallar la función f, ara llo artimos d f, f, d f, al intgrar con rscto a, la s mantin constant, or lo qu la constant d intgración s ud considrar como una función d. f, d K tomando K us intrsa una función f, obtnmos f f, Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 9

10 Lugo la solución gnral stá dfinida imlícitamnt or la cuación. 3.- Ecuacions difrncials ordinarias d sgundo ordn Son d la forma G,,, " forma imlícita ó " F,, forma lícita Un roblma con valors inicials o roblma d auch s d la forma PVI : F,,, La solución gnral d una cuación difrncial d sgundo ordn s una función qu dnd d dos constants arbitrarias qu satisfac la cuación ara cualquir valor d dichas constants, s dcir, la solución gnral srá g,,, forma imlícita ó ϕ,, forma lícita La solución articular s la qu s obtin d la solución gnral ar valors dtrminados a las constants arbitrarias. Ejrcicio: vrificar qu la función s la solución gnral d la cuación difrncial " hallar la solución articular qu satisfac las condicions inicials,. 3. Ecuacions difrncials linals d sgundo ordn Son cuacions difrncials d la forma a " a a f dond a, a, a f son funcions continuas n un intrvalo I a no s idénticamnt nula n I. Si f n I, la cuación s llama linal homogéna. Si f no s idénticamnt nula n I, s dic qu la cuación s linal no homogéna. Si las funcions a, a, a son constants la cuación difrncial linal s a coficints constants, si son variabls s tin una cuación difrncial a coficints variabls. Suongamos qu a J I R ó I J, ntoncs dividimos la cuación or la función a Análisis Matmático II Angélica Arnulfo

11 llamando s tin a a a a f a a a,, q a a q J f a dond, q son funcions continuas n l intrvalo J. La cuación s llama cuación linal normalizada al intrvalo J, intrvalo d normalidad. Dada la cuación, s llama cuación linal homogéna asociada a a la cuación J Dfinición: Llamarmos orador difrncial linal a: L ] [ Est orador os las siguints roidads roidads d linalidad i L [ k ] k L [ ] k : constant ii L [ ] L [ ] L [ ],, : funcions omo conscuncia d stas roidads rsulta d L [ k k ] k L [ ] k L [ ],, : funcions d, k, k : constants Utilizando l orador difrncial linal L la cuación difrncial linal no homogéna ud scribirs L [ ] q la cuación difrncial linal homogéna como L [ ]. 3.. Ecuacions difrncials linals homogénas d sgundo ordn Torma I: Si las funcions son solucions d la cuación difrncial linal homogéna L [ ], son constants arbitrarias ntoncs.. también s solución d dicha cuación difrncial. Dmost: jrcicio Torma II: aractrización d la solución gnral d la cuación difrncial L [ ] Si son dos solucions linalmnt indndints d la cuación L [ ] n I ntoncs la solución gnral d dicha cuación difrncial s con, constants arbitrarias. Análisis Matmático II Angélica Arnulfo

12 Rsolución d la cuación difrncial linal homogéna a coficints constants Sa la cuación difrncial L ], : constants [ Para hallar la solución gnral d sta cuación, dbmos ncontrar, sgún l torma antrior, dos solucions linalmnt indndints. Dichas solucions udn sr halladas n la forma En fcto: L r dond r s una constant ral o comlja. r r, r, r r r r r [ ] r r r r r r A la cuación r r s la llama cuación caractrística, s una cuación d sgundo grado qu dtrmina los valors d r ara los cuals la función Análisis Matmático II Angélica Arnulfo r r r s solución d la cuación difrncial L [ ]. Esta cuación tin dos raícs r r. Las raícs r r son rals distintas r Entoncs r son dos solucions d la cuación L [ ], ud robars qu son linalmnt indndints, lugo la solución gnral srá: r r con, constants arbitrarias. Ejmlo: rsolvr la cuación difrncial " 3 La cuación caractrística s r 3 r sus raícs son r, r, ntoncs gnral srá son dos solucions linalmnt indndints, lugo la solución con, Las raícs r r son rals iguals: Entoncs Vrmos qu constants arbitrarias. r r r s solución d la cuación difrncial [ ] r r L L. s otra solución d dicha cuación difrncial r r r r r, r r [ r r r r r ] r r r r [ r r r ] r [ r r us r s raiz r ] us r s raiz dobl S ud robar qu l conjunto { r, r } s linalmnt indndint, lugo la solución gnral s: r

13 , r r con Ejmlo: rsolvr la cuación difrncial " 6 9 constants arbitrarias. La cuación caractrística s r 6 r 9 qu tin dos raícs rals iguals r r 3, ntoncs las funcions 3 indndints, lugo la solución gnral srá constants arbitrarias. 3 son dos solucions linalmnt 3 con, 3 Las raícs r r son comljas Pusto qu los coficints d la cuación caractrística s rsuonn rals, las raícs r r son númros comljos conjugados, s dcir, si ntoncs las funcions a b i [ ] r a bi, r a bi, a b i son dos solucions comljas d la cuación difrncial L. Estas dos solucions comljas udn sr sustituidas or dos solucions rals. Vamos sto: a b i a b i a. cos b i snb Eulr a b i a b i a a. cos b i sn b cos b i snb Eulr omo son solucions, or torma I, ~ a cosb también s solución d la cuación difrncial L [ ]. También ~ a snb i i s solución d la misma cuación difrncial. D sta manra, al ar d raícs comljas conjugadas a± bi l corrsondn dos solucions rals ~ a cosb, ~ a snb. S ud robar qu l conjunto ~, s linalmnt indndint, lugo la solución gnral s: { } ~ a a cosb snb, con, constants arbitrarias. Ejmlo: rsolvr la cuación difrncial " 4 5 La cuación caractrística s r 4 r 5, cuas raícs son r i, r i ntoncs or lo visto antriormnt la solución gnral s: cos sn, con, constants arbitrarias 3...-Ecuacions difrncials linals no homogénas d sgundo ordn, Torma: aractrización d la solución gnral d la cuación difrncial L [ ] q Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 3

14 Sa la cuación difrncial L [ ] q con q función continua n un intrvalo I, si s una solución articular d sta cuación n I, ntoncs s solución gnral d la cuación n I si solo si h dond h cuación difrncial homogéna asociada L [ ]. s la solución gnral d la Ecuacions difrncials linals no homogénas a coficints constants Sa la cuación difrncial L [ ] q con constants q una función continua n un intrvalo I. Por torma antrior ara hallar la solución gnral d sta cuación difrncial dbmos ncontrar h, solución gnral d la cuación homogéna asociada, solución articular d la cuación difrncial no homogéna. Ya vimos como hallar h. Para hallar la solución articular odmos utilizar dos métodos: l método d variación d los arámtros d Lagrang o l método d los coficints indtrminados. I Método d variación d los arámtros o método d Lagrang Sa la cuación difrncial linal no homogéna a coficints constants L [ ] q La cuación difrncial homogéna asociada s L ] su solución gnral s h. [ El método consist n rmlazar las constants or funcions buscar una solución articular d la cuación difrncial no homogéna d la forma.. Para llo calculamos Imonmos la condición d qu alculamos tnindo n cunta la condición imusta Rmlazando, " n la cuación difrncial no homogéna, rsulta q Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 4

15 Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 5 o sa ] [ ] [ q d dond q onsidramos l siguint sistma: q Rsolviéndolo obtnmos,, lugo d d,, con llas odmos scribir la solución articular. Ejmlo: Rsolvr la cuación difrncial La cuación linal homogéna asociada a la no homogéna dada s Ecuación caractrística: r r r r h Proonmos Plantamos l sistma Rsolviéndolo obtnmos, D dond d K ln ln d K Las constants K K s considran nulas orqu buscamos una solución articular. Lugo una solución articular d la cuación linal no homogéna s: ln la solución gnral d la cuación dada s: h ln II Método d los coficints indtrminados

16 S roon una osibl solución articular con coficints a dtrminar. El tio d solución qu roonmos dnd d la rsión d q. Para odr alicar st método q db sr d la forma: k un olinomio sn k ó cos k suma o roducto d las funcions antriors En la siguint tabla s mustra la solución articular rsión d q q k qu s roon, sgún la A k P n olinomio d gr n Q n olinomio d gr n comlto snk ó cosk Lo antrior s válido si la solución articular A snk B cosk rousta no s solución d la cuación difrncial homogéna asociada. aso contrario, s db multilicar la solución rousta or t dond t s l mnor ntro ositivo tal qu t no sa solución d la cuación homogéna asociada n nustro caso tndrmos qu multilicar or ó or. Ejrcicios: Rsolvr las siguints cuacions difrncials sn Ecuación difrncial d una familia d curvas Nos lantamos l roblma rcíroco al hasta ahora studiado, s dcir, dada la cuación d una familia d curvas buscar una cuación difrncial qu la admita como solución gnral. Si la familia d curvas contin una constant arbitraria, odmos ncontrar una cuación difrncial d rimr ordn qu la tnga como solución gnral. Si la familia d curvas contin dos constants arbitrarias, la cuación difrncial d la cual s solución gnral srá d sgundo ordn. Ejmlos: Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 6

17 Sa la familia d curvas, : constant arbitraria. Para hallar la cuación difrncial qu la admit como solución gnral, drivamos con rscto a ntoncs, liminando la constant ntr ambas igualdads obtnmos:, sta s una cuación difrncial d rimr ordn cua solución gnral s la familia d curvas dada. Sa la familia d curvas,, : constants arbitrarias. omo sta familia contin dos constants arbitrarias srá solución d una cuación difrncial d sgundo ordn, ntoncs drivamos dos vcs con rscto a considramos l siguint sistma liminando las constants, ntr stas trs igualdads obtnmos: qu s la cuación difrncial qu admit como solución gnral s la familia d curvas dada. Análisis Matmático II Angélica Arnulfo 7