Computación Científica en Paralelo

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1 Computación Científica en Paralelo Métodos de Descomposición de Dominio Luis Miguel de la Cruz Unidad de Investigación en Cómputo Aplicado DGSCA-UNAM. Posgrado en Ciencia e Ingeniería de la Computación LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 1 / 36

2 Contenido 1 Métodos de Descomposición de Dominio Introducción Substructuring Methods Schwarz Methods LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 2 / 36

3 1 Métodos de Descomposición de Dominio Introducción Substructuring Methods Schwarz Methods LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 3 / 36

4 Los métodos de descomposición de dominio (DDM por sus siglas en inglés) permiten resolver sistemas lineales o no lineales de ecuaciones que provienen de la discretización de EDP y que usan las propiedades de éstas últimas para obtener soluciones rápidas. Problemas lineales. Los DDM pueden ser tratados como precondicionadores para métodos del subespacio de Krylov (CG, GMRES, etc). Problemas no lineales. Se pueden ver como precondicionadores para la solución de sistemas lineales que provienen del uso del método de Newton o precondicionadores para métodos no lineales. Estos métodos combinan ideas de EDPs, álgebra lineal, análisis matemático y teoría de gráficas. Estos métodos son usados mayormente en la solución de EDPs, pero pueden ser aplicados en otros contextos de la ciencia e ingeniería. Los DDM se basan en el principio de divide y vencerás. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 4 / 36

5 El término DDM suele tener diferentes significados: Cómputo Paralelo. Proceso de distribuir datos entre procesadores en una arquitectura de memoria distribuida (Descomposición de Datos). En este contexto, se aplican métodos para descomponer las estructuras de datos, los cuales pueden ser independientes de los métodos numéricos usados en la solución. Análisis asintótico. Es la separación del dominio físico en regiones que pueden ser modeladas con diferentes ecuaciones, donde las interfases entre los dominios pueden ser controladas por varias condiciones. En este contexto, se determinan las EDPs se resolverán en cada subdominio. Métodos de precondicionamiento. Se refiere al proceso de subdividir la solución de un sistema de ecuaciones grande en problemas más pequeños cuyas soluciones pueden producir un precondicionador para el sistema de ecuaciones que resulta de la discretizacion de las EDPs sobre el dominio completo. En este contexto, DDM se refiere solo al método de solución para el sistema algebraico de ecuaciones. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 5 / 36

6 Considérese el siguiente problema: 2 u = f en Ω u = h sobre Ω LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 6 / 36

7 En general, si se tienen s subdominios y se cumple: Ω = entonces el sistema lineal asociado tendrá la siguiente estructura: B 1 E 1 x 1 f 1 B 2 E 2 x 2 f B C B. =. C B. B s E s x s f s A F 1 F 2... F s C y g s[ i=1 Ω i donde cada x i representa el subvector de incógnitas que son interiores en el dominio Ω i y y representa el vector de incógnitas en las interfases entre los subdominios. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 7 / 36

8 Es conveniente escribrir el sistema anterior como: «««x f B E A = con A = y g F C E representa el acoplamiento entre los subdominios y las interfases visto desde los subdominios. F representa el acoplamiento entre las interfases y los subdominios visto desde los nodos en las interfases. Tipos de Partición: (a) Vertex based. (b) Edge based. (c) Element based. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 8 / 36

9 Los subdominios pueden traslaparse, es decir: Ω = s[ Ω i, i=1 Ω i \ Ωj Es común cuantificar la extensión del traslape por el número de líneas de la malla que son comunes a los subdominios. Los DDM pueden ser distinguidos de acuerdo a lo siguiente: 1 Tipo de partición 2 Traslape. 3 Procesamiento de los valores en las interfases. 4 Solución en los subdominios. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 9 / 36

10 1 Métodos de Descomposición de Dominio Introducción Substructuring Methods Schwarz Methods LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 10 / 36

11 Los DDM donde no hay traslape entre los subdominios, se conocen como substructuring methods. Przemieniecki, 1968, Theory of Matrix Structural Analysis: In applying matrix methods of analysis to large structures, the number of structural elements very often exceeds the capacity of available computer programs, and consequently some form of structural partitioning must be employed. Structural partitioning correspond to division of the complete structure into a number of substructures, the boundary of which may be specified arbitrarily; however, for convenience it is preferable to make structural partitioning. If the stiffness or flexibility properties of each substructure are determined, the substructures can be treated as complex structural elements, and the matrix displacements or force methods of structural analysis can be formulated for the partitioned structure. Once the displacements or forces on substructure boundaries have been found, each substructure can then be analyzed separately under known substructure-boundary displacements or forces, depending on whether displacements or force methods of analysis are used. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 11 / 36

12 Substructuring (subestructuración) es una manera de organizar la factorización directa de sistemas lineales grandes que provienen de la discretización de EDPs. Substructuring facilita el diseño de algoritmos paralelos. Estos métodos están casi siempre relacionados el cálculo y factorización de una secuencia de matrices de complemento de Schur. Estos métodos también se conocen como métodos del complemento de Schur y se han venido desarrollando nuevos y mejores algoritmos en los últimos 25 años. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 12 / 36

13 Considérese el sistema «x A = y f g ««B E con A = F C donde se asume que B es no singular. Esto nos da: Bx + Ey = f Fx + Cy = g De la primera ecuación la incógnita x puede expresarse como x = B 1 (f Ey) (1) Sustituyendo en la segunda ecuación, se obtiene el siguiente sistema reducido: (C FB 1 E)y = g FB 1 f. (2) LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 13 / 36

14 La matriz S = C FB 1 E se conoce como la matriz complemento de Schur con la variable y. Si se puede formar esta matriz, entonces el sistema (1) se puede resolver y por lo tanto todos los valores en las interfases, y, serán conocidos. Después, es posible calcular las variables que quedan usando el sistema (2). Dada la forma de B, se observa que cualquier solución del sistema lineal se desacopla en s sistemas separados. La solución se obtiene en 4 pasos: 1 Obtener el lado derecho del sistema reducido (2): g FB 1 f 2 Formar la matriz complemento de Schur : S = C FB 1 E. 3 Resolver el sistema reducido : Sy = g FB 1 f. 4 Hacer Back-substitution para obtener las incógnitas restantes : x = B 1 (f Ey). LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 14 / 36

15 Definiendo E = B 1 E y f = B 1 f se puede escribir: 1 Resolver BE = E y Bf = f para E y f respectivamente. 2 Calcular g = g Ff. 3 Calcular S = C FE. 4 Solve Sy = g. 5 Calcular x = f E y. En la práctica, todas las matrices B i se factorizan y entonces se resuelven los sistemas B i E i = E i y B i f i = f i. En general muchas columnas de E i serán cero, las cuales corresponden a las interfases que no son adyacentes al subdominio i. Cualquier código basado en el algoritmo anterior debe iniciar identificando las columnas no cero. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 15 / 36

16 Partición tipo: Vertex based La matriz asociada con esta partición tiene una estructura de bloques natural. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 16 / 36

17 La estructura de la matriz es: A 1 A 12 A 33 A = A 21 A 2 A 23 A 31 A 32 A 3 En cada subdominio, la matriz local A i y las variables son de la forma: ( ) ( ) Bi E A i = i xi y z i = F i C i donde x i denota los nodos interiores y y i los nodos en la interfase asociados con el subdominio i. Se observa que hay matrices adicionales A ij, j i, que contienen sub-bloques cero en la parte que actúa sobre la variable x j. Esto es porque x i y x j no están acoplados, por lo tanto: ( ) 0 A ij = E ij y i LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 17 / 36

18 Además, muchas de las E ij son cero debido a que solo aquellos índices j de los subdominios que tienen acoplamiento con el subdominio i produce matrices E ij no cero. La parte del sistema lineal que es local al subdominio i es: B i x i + E i y i = f i F i x i + C i y i + j N i E ij y j = g i E ij y j es la contribución a la ecuación del subdominio vecino con número j, N j es el conjunto de subdominios que son adyancentes al subdominio i. Suponiendo que B i es no singular: = x i = B 1 i (f i E i y i ) = S i y i + j N i E ij y j = g i F i B 1 i f i, i = 1,..., s (3) LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 18 / 36

19 Aquí S i es la matriz de complemento de Schur local: S i = C i F i B 1 i E i Cuando se escribe la ecuación (3) para todos los subdominios i, se obtiene un sistema de ecuaciones que involucra solo los puntos en la interfase y j, j = 1, 2,..., s y tiene una estructura de bloques asociada con estas variables vectoriales: En la partición vertex based, S 1 E 12 E E 1s la matriz de complemento de E 21 S 2 E E 2s S =.... Schur se ensambla de las. matrices de Schur locales (S i ) y..... la información interfase interfase (E E s1 E s2 E s3... S ij ) s Las matrices S i son densas, E ij 0 si y solo si los subdominios i y j tienen al menos una ecuación que los acopla, en otro caso son matrices cero. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 19 / 36

20 Elemento Finito En la partición de MEF, el conjunto Ω es subdividido en s subconjuntos Ω i, cada uno con un conjunto distinto de elementos. Dada una discretización de MEF del dominio Ω, se define un espacio V h de funciones sobre Ω. Considerando un problema tipo Dirichlet sobre Ω, la formulación débil del problema (Eq. de Poisson) se escribe: Encontrar u V h a(u, v) = (f, v), v V h, donde la forma bilineal a(.,.) se define como a(u, v) = u vdx = Ω Ω ( u x 1 v x 1 + u x 2 v x 2 ) dx. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 20 / 36

21 Dado que los elementos de los diferentes Ω i s son disjuntos: a(u, v) = s a i (u, v) donde a i (u, v) = u udx. Ω i i=1 Esta es una generalización de la técnica usada para ensamblar la matriz de rigidéces a partir de las matrices de los elementos, el cual corresponde al caso extremo donde cada Ω i consiste de exactamente un elemento. Si las incógnitas se ordenan de tal manera que los nodos en las interfases se numeran al final, entonces: 0 B 1 E 1 B 2 E B s E s F 1 F 2... F s C 1 0 C B x 1 x 2. x s y 1 0 = C B f 1 f 2.. f s g 1 C A LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 21 / 36

22 En este caso cada matriz se ensambla a partir de las matrices de los elementos y por lo tanto se pueden obtener de la contribución de todos los subdominios Ω j. Tomemos Ω i, entonces la matriz ensamblada será «Bi E A i = i donde C i contiene solo las contribuciones de elementos locales de Ω i. Entonces C = s i=1 C i. La matriz del complemento de Schur es tal que: S = C FB 1 E = C sx i=1 F i B 1 i E i = F i i=1 C i sx sx C i i=1 F i B 1 i E i = Por lo tanto: S i = C i F i B 1 i E i, es decir S = s i=1 S i. sx h C i F i B 1 i i=1 i E i. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 22 / 36

23 1 Métodos de Descomposición de Dominio Introducción Substructuring Methods Schwarz Methods LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 23 / 36

24 Método Alternante de Schwarz (1870). LΦ = F en Ω, Φ = G sobre Ω. Por ejemplo: L = 2. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 24 / 36

25 Los dominios Ω, Ω 1 y Ω 2 no incluyen sus fronteras. Ω = Ω Ω es la cerradura del dominio. Γ i es una frontera artificial y es parte de la frontera de Ω i que está en el interior de Ω. Ω i \Γ i es la frontera de Ω i sin la parte de Γ i. Φ n i denota la solución aproximada en Ω i después de n iteraciones. Φ n i Γ j es la restricción de Φ n i en Γ j, donde i j. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 25 / 36

26 Método Alternante de Schwarz: Resolver un problema de EDPs. Particionar el dominio de tal manera que exista un traslape. Alternar el cálculo de la solución en cada subdominio. Obtener las condiciones de frontera (Dirichlet) basadas en la solución más reciente de los subdominios vecinos. Resolver LΦ n 1 = F en Ω 1 y luego Φ n 1 = G sobre Ω 1 \Γ 1 Φ n 1 = Φ n 1 2 Γ1 sobre Γ 1 LΦ n 2 = F en Ω 2 Φ n 2 = G sobre Ω 2 \Γ 2 Φ n 2 = Φ n 1 Γ2 sobre Γ 2 LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 26 / 36

27 El procedimiento anterior es similar a una iteración de Gauss-Seidel por bloques con traslape y es también conocido como Schwarz Multiplicativo. Se puede obtener una versión similar a una iteración de Jacobi por bloques con traslape, en este caso el algoritmo es conocido como Schwarz Aditivo. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 27 / 36

28 Mallas no coincidentes Supongamos que el problema se ha discretizado (FDM, FVM FEM), entonces el vector discreto asociado con Φ i se escribe como: Los coeficientes φ Ωi \Γ i φ i = φ Ωi φ Ωi \Γ i φ Γi son las condiciones de frontera originales. Los vectores discretos correspondientes a F y G son f i y g i respectivamente. La matriz de coeficientes A i es la discretización del operador L en Ω i : A i = (A Ωi, A Ωi \Γ i, A Γi ). LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 28 / 36

29 Para determinar los valores en las fronteras internas Γ i, se requiere una interpolación: Definimos IΩj Γ i como el interpolante discreto de valores en Ω j a los nodos en Γ i. A 1 φ n Ω 1 = f 1 en Ω 1 φ n Ω 1 \Γ 1 = g 1 sobre Ω 1 \Γ 1 φ n Γ 1 = W n 1 1 sobre Γ 1 A 2 φ n Ω 2 = f 2 en Ω 2 φ n Ω 2 \Γ 2 = g 2 sobre Ω 2 \Γ 2 φ n Γ 2 = W n 2 sobre Γ 2 Donde W n i I Ωj Γ i φ n Ω j, i j. LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 29 / 36

30 Algoritmo alternante de Schwarz W1 0 0 For n = 1,... Resolver para φ n 1 : A 1 φ n Ω 1 = f 1 en Ω 1 φ n Ω 1 \Γ 1 = g 1 sobre Ω 1 \Γ 1 φ n Γ 1 = W n 1 1 sobre Γ 1 W2 n Φ n 1 Γ2 Resolver para φ n 2 : A 2 φ n Ω 2 = f 2 en Ω 2 φ n Ω 2 \Γ 2 = g 2 sobre Ω 2 \Γ 2 φ n Γ 2 = W2 n sobre Γ 2 W1 n Φ n 2 Γ1 Checar l a convergencia : Si W1 n W n 1 1 tol Γ1 y W2 n W n 1 2 tol Γ2 Fin. Si φ n 1 φ n 1 1 tol Ω1 y φ n 2 φ n 1 2 tol Ω2 Fin. End For LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 30 / 36

31 El algoritmo anterior es un aplicación de del método de Gauss-Seidel por bloques, para un sistema lineal que contiene la discretización de ambos subdominios y que se acoplan en las fronteras artificiales. Usando A i = (A Ωi, A Ωi \Γ i, A Γi ), se puede escribir: 0 ` AΩ1 A Ω1 \Γ 1 A 0 ` AΩ2 A Ωi \Γ 2 A φ n Ω 1 1 φ n Ω 1 \Γ 1 φ n Γ 1 A = f 1 en Ω 1 φ n Ω 1 \Γ 1 = g 1 sobre Ω 1 \Γ 1 φ n Ω 2 φ n Γ 1 = I Ω2 Γ 1 φ n 1 Ω 2 sobre Γ 1 1 φ n Ω 1 \Γ 2 φ n Γ 2 A = f 2 en Ω 2 φ n Ω 2 \Γ 2 = g 2 sobre Ω 2 \Γ 2 φ n Γ 2 = I Ω1 Γ 2 φ n Ω 1 W n 2 sobre Γ 2 LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 31 / 36

32 Ahora se mueven las cantidades conocidas al lado derecho: A Ω1 φ n Ω 1 = f 1 A Γ1 I Ω2 Γ 1 φ n 1 Ω 2 A Ω2 φ n Ω 2 = f 2 A Γ2 I Ω1 Γ 2 φ n Ω 1 donde f i = f i A Ωi \Γ i g i Este es Gauss-Seidel por bloques para: ( A Ω1 A Γ1 I Ω2 Γ 1 A Γ2 I Ω1 Γ 2 A Ω2 ) ( φω1 φ Ω2 ) ( f1 = f2 ) LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 32 / 36

33 LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 33 / 36

34 LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 34 / 36

35 Algoritmo paralelo alternante de Schwarz P a r t i c i o n a r e l dominio D e f i n i r e l problema en cada subdominio W1 0 0,..., WK 0 0 For k = 1,..., K ( en p a r a l e l o ) For n = 1,... Resolver para φ n k : A k φ n k = f k en Ω k φ n Ω k \Γ k = g k sobre Ω k \Γ k φ n Γ k = W n 1 k sobre Γ k Checar l a convergencia : Si Wk n W n 1 k tol Γk break For Si φ n k φ n 1 k tol Ωk break For End For Wait Enviar φ n k Γj, j k a l o s subdominios vecinos Wk 0 φ n nb Γk End For LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 35 / 36

36 Apéndice Bibliografía I Y. Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS/ITP Online: B.F. Smith and P. E. Bjorstad and W. D. Gropp. Domain Decomposition: Parallel Multilevel Methods for Elliptic Partial Differential Equations Cambridge Univ. Press, LMCS (UNAM) Comp. Científica en Paralelo IIMAS Semestre 2009 II 36 / 36

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