RELACIÓN DE PROBLEMAS. Distribuciones de probabilidad

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1 RELACIÓN DE PROBLEMAS Distribuciones de probabilidad 1. Se lanzan al aire dos monedas tres veces consecutivas. Sea X la v.a. que representa el número de veces que se obtiene cara en ambas monedas en los 3 lanzamientos. Determinar: a) La distribución de probabilidad de X. b) Función masa de probabilidad. c) Media y Desviación Típica. 2. Se tiene un hemocitómetro con 400 compartimentos iguales y se quiere analizar una muestra de sangre que se ha estimado tiene un total de 4000 glóbulos rojos. Se sabe que el número de glóbulos rojos se distribuye según una Poisson. Calcular: a) El número medio de glóbulos rojos por compartimento. b) La probabilidad de que un determinado compartimento tenga menos de 4 glóbulos rojos y la probabilidad de que tenga menos de 10. c) El número esperado de compartimentos con 10 glóbulos rojos. 3. La probabilidad de que cada enfermo de cierto Hospital reaccione favorablemente después de aplicarle un calmante es Se le aplica a 200 enfermos. Determinar: a) La ley de probabilidad del número de enfermos que reaccionan favorablemente de los 200. b) La media y la varianza. c) Probabilidad de que a lo sumo 2 enfermos reaccionen favorablemente. d) Probabilidad de que más de 3 enfermos reaccionen favorablemente. 4. Una máquina automática está dedicada a la fabricación de comprimidos. Cada vez que la máquina produce un comprimido, la probabilidad de que sea defectuoso es a) Si los comprimidos se colocan en tubos de 25, cuál es la probabilidad de que en un tubo todos los comprimidos sean buenos? b) Si los tubos se colocan en cajas de 10, cuál es la probabilidad de que ningún tubo de una caja tenga comprimidos defectuosos? 5. Se capturan 100 peces de un estanque que contiene Se les marca con una anilla y se devuelven al agua. Transcurridos unos días se capturan de nuevo 100 peces y se cuentan los anillados. a) Calcular la probabilidad de que en la segunda captura se encuentre al menos un pez anillado. b) Calcular el número esperado de peces anillados en la segunda captura. 6. Un comerciante de bombillas las recibe en lotes de 20 unidades. Para aceptar cada lote, selecciona aleatoriamente 5 bombillas y lo acepta si no encuentra ninguna defectuosa; en caso contrario, lo rechaza. Si un determinado lote tiene dos bombillas defectuosas, calcular la probabilidad de que el comerciante lo acepte, y el número esperado de bombillas defectuosas entre las seleccionadas, en cada uno de los siguientes casos: 1

2 Las bombillas se seleccionan con reemplazamiento. Las bombillas se seleccionan sin reemplazamiento. 7. Se estudian las plantas de una determinada zona donde se sospecha que ha atacado un cierto virus. La probabilidad de que cada planta esté contaminada es a) Definir la v.a. que modeliza el experimento aleatorio de elegir una planta al azar y comprobar si está contaminada. Dar su ley de probabilidad. b) Cuál es el número medio de plantas contaminadas que se pueden esperar en 5 análisis? c) Calcular la probabilidad de encontrar 8 plantas contaminadas en 10 exámenes. d) Calcular la probabilidad de encontrar entre 2 y 5 plantas contaminadas en 9 exámenes. e) Hallar la probabilidad de que en 6 análisis se encuentren 4 plantas no contaminadas. 8. Una página impresa en un libro contiene 40 líneas y cada línea contiene 75 posiciones de impresión. Se supone que al componer el libro se ha cometido un error cada 6000 posiciones por término medio. a) Cuál es la distribución del número de errores por página? b) Calcular la probabilidad de que una página no contenga errores y de que contenga como mínimo 5 errores. c) Cuál es la probabilidad de que un capítulo de 20 páginas no contenga ningún error? 9. Se lanzan 4 monedas 48 veces. Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 caras cinco veces? 10. Sabiendo que el número de enfermos recibidos en un centro sanitario se distribuye según una ley de Poisson, y que el número medio de enfermos recibidos cada 10 minutos es 1.8, calcular la probabilidad de que entre las 12:40 h. y las 12:50 h. se reciba: a) ningún enfermo, b) 1 enfermo, c) 2 enfermos, d) al menos 2 enfermos, e) más de 2 enfermos. 11. Un pescador desea capturar un ejemplar de sardina que se encuentra siempre en una determinada zona del mar con probabilidad Hallar la probabilidad de que tenga que pescar 10 peces de distintas especies de la deseada antes de: a) pescar la sardina buscada, b) pescar 3 ejemplares de la sardina buscada. 12. Un científico necesita 5 monos afectados con cierta enfermedad para realizar un experimento. La incidencia de la enfermedad en la población de monos es siempre del 30 %. El científico examinará uno a uno los monos de un gran colectivo, hasta encontrar 5 monos afectados por la enfermedad. a) Calcular el número medio de exámenes requeridos. 2

3 b) Calcular la probabilidad de que tenga que examinar por lo menos 20 monos. c) Calcular la probabilidad de que encuentre 10 monos sanos antes de encontrar los 5 afectados. 13. Para controlar la calidad de fabricación de un determinado artículo que se fabrica en serie, se inspecciona diariamente el 5 % de la producción. Un día la máquina sufre una avería y, de los 1000 artículos fabricados ese día, produce k defectuosos. a) Dar una expresión de la probabilidad de no obtener más de un artículo defectuoso en la inspección de ese día. b) Si k = 90, calcular la probabilidad de obtener menos de 6 artículos defectuosos en la inspección. c) Dar la expresión que tendría que verificar el número de artículos que se deberían inspeccionar de una producción de 1000 con 90 defectuosos, para obtener por lo menos 5 defectuosos con probabilidad al menos En una nave industrial hay 6 máquinas que trabajan independientemente con un porcentaje de paro del 10 % de tiempo. Calcular: a) La probabilidad de que en un momento dado estén paradas la tercera parte de las máquinas. b) La probabilidad de que estén paradas al menos la tercera parte de ellas. 15. En una central telefónica de una ciudad se recibe un promedio de 480 llamadas por hora. Se sabe que el número de llamadas se distribuye según una ley de Poisson. Si la central sólo tiene capacidad para atender a lo sumo 12 llamadas por minuto, cuál es la probabilidad de que en un minuto determinado no sea posible dar línea a todos los clientes? 16. Cierta compañía de seguros ha determinado que 1 de cada 5000 personas fallecen al año por accidente laboral. La compañía tiene hechos seguros de vida en toda la nación y, en caso de accidente, debe abonar 3000 euros por póliza. Cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que pagar en un año por lo menos euros en concepto de primas? 17. La probabilidad de que nazca una niña es Prescindiendo de nacimientos múltiples, calcular: a) Probabilidad de que un matrimonio tenga 3 hijos varones antes de tener una niña. b) Probabilidad de que tenga 3 hijos varones antes de tener la segunda niña. c) Cuál es el número medio de hijos que debe tener un matrimonio para conseguir dos niñas? 18. El 60 % de los clientes de un almacén paga con dinero, el 30 % con tarjeta y el 10 % con cheque. Calcular la probabilidad de que: a) de 10 clientes, 4 paguen con dinero, b) el décimo cliente sea el cuarto en pagar con dinero. 19. En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. La probabilidad de que cada unidad sea defectuosa es a) Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentra defectuosa? b) Cuántas unidades se tienen que inspeccionar por término medio hasta encontrar 4 defectuosas? 3

4 c) Calcular la desviación típica del número de unidades que se deben inspeccionar hasta encontrar 4 defectuosas. 20. Si se lanzan dos dados 10 veces, cuál es la probabilidad de que en más de la mitad de las ocasiones se obtenga una suma par de puntos? 21. Se supone que la demanda de un cierto fármaco en una farmacia sigue una ley de Poisson con una demanda diaria media de 8 unidades. Qué stock debe tener el farmacéutico al comienzo del día para tener como mínimo una probabilidad 0.99 de satisfacer la demanda durante el día? 22. Los números 1,2,3,...,10 se escriben en 10 tarjetas y se colocan en una urna. Las tarjetas se extraen una a una y sin devolución. Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Hay exactamente tres números pares en 5 extracciones. b) Se necesitan 5 extracciones para obtener tres números pares. c) Obtener el número 7 en la cuarta extracción. 23. Una máquina automática fabrica tornillos de uno en uno. Cada tornillo fabricado tiene probabilidad 0.01 de ser defectuoso. Calcular: a) La probabilidad de que el primer tornillo defectuoso fabricado en una jornada sea el que hace 50. b) Si en la fabricación de cada tornillo se tarda 2 segundos, cuanto tiempo se debe esperar, por término medio, hasta que sea fabricado el primer tornillo defectuoso? c) Probabilidad de que por lo menos los 10 primeros tornillos fabricados sean todos correctos. d) Desviación típica del número de tornillos correctos fabricados antes del primer tornillo defectuoso. 24. Supongamos que el número de televisores de una cierta marca vendidos en un mes sigue una Poisson de parámetro 10 y que el beneficio neto por unidad es 30 euros. a) Cuál es la probabilidad de que el beneficio neto obtenido por un comerciante durante un mes sea al menos de 360 euros? b) Cuántos televisores debe tener el comerciante a principio de mes para tener al menos una probabilidad de 0.95 de satisfacer toda la demanda? 25. En una distribución binomial de parámetros n = 4 y p desconocido, encontrar el valor de p que hace que P {X 3} = 0, El número de accidentes que se producen semanalmente en una fábrica sigue una ley de Poisson tal que, en una semana, la probabilidad de que ocurran 5 accidentes es 16/15 de la que ocurran 2. Calcular: a) Media del número de accidentes por semana. b) Número máximo de accidentes semanales que pueden ocurrir con probabilidad no menor que 0.9. c) Probabilidad de que no haya ningún accidente en 4 semanas. 27. De una estación parte un tren cada 20 minutos. Un viajero llega de imprevisto. Hallar: a) La función de distribución de la variable aleatoria tiempo de espera. 4

5 b) Probabilidad de que espere al tren menos de 7 minutos. c) Esperanza y varianza de la variable aleatoria tiempo de espera. d) Probabilidad de que espere exactamente 12 minutos. 28. La media de las temperaturas medias diarias en una región durante un año es de 25 o C. y la desviación típica de 10 o C. Si las temperaturas medias obedecen a una ley Normal: a) Calcular la probabilidad de que en un día elegido al azar la temperatura media esté comprendida entre 20 y 32 o C. b) Calcular la probabilidad de que en un día elegido al azar su temperatura media difiera de la media por lo menos en 5 o C. 29. Sabiendo que en cierto establecimiento la demanda semanal de gasolina sigue una ley Normal de media litros y desviación típica litros, determinar la cantidad mínima que hay que tener dispuesta a la venta para satisfacer la demanda durante una semana con probabilidad De una variable aleatoria uniformemente distribuida se conoce su esperanza m y su desviación típica σ. Hallar el rango de valores de la variable, en función de m y σ. 31. El peso de cierto artículo se distribuye según una ley Normal. El 20 % pesan menos de 1 kg. y el 25 % pesan más de 2 kg. Determinar la media y la desviación típica de la distribución. 32. Los precios de venta de un artículo se distribuyen según una ley Normal. Se sabe que el 20 % de ellas son superiores a 1000 euros y que el 30 % no superan los 800 euros. a) Calcular la media y la varianza de la distribución. b) Si los costes (Y ) están relacionados con las ventas (X) según la expresión hallar el coste medio. Y = X 0,00015X, 33. Si se clasifican los cráneos en dodicacéfalos cuando el índice longitud-anchura es menor que 75, mesocéfalos si está entre 75 y 80, y branquicéfalos si es superior a 80, hallar la media y la desviación típica de una población en la que el 65 % son dodicacéfalos, el 30 % mesocéfalos y el 5 % branquicéfalos, suponiendo que la distribución de los índices es Normal. 34. Se sabe que la concentración de NH 3 en sangre venosa de individuos sanos sigue una distribución Normal de media 110 mgr./mm. y que la concentración de NH 3 del 99 % de los individuos se encuentra entre 85 y 135 mgr./mm. a) Calcular la desviación típica de la distribución. b) Calcular los límites del intervalo que contiene el 70 % central de los valores de dicha población. 35. Se selecciona aleatoriamente un número real y se redondea al entero más cercano y al entero inferior más cercano. Calcular la media y desviación típica de las variables: X: número seleccionado - entero más próximo. Y : número seleccionado - entero inferior más cercano. 5

6 36. Un niño llora al azar, a razón media de 4 veces por hora, de modo que el número de llantos en un intervalo de tiempo dado sigue una ley de Poisson. La madre sólo lo atiende la segunda vez que llora. a) Calcular la función de densidad del tiempo transcurrido entre dos atenciones consecutivas de la madre. b) Calcular la probabilidad de que pasen menos de 15 minutos entre dos atenciones consecutivas y de que pase una hora o más. 37. El tiempo de duración de una pieza de un cierto equipo, medido en horas, se distribuye según una ley Gamma, de parámetros 3 y 0.2. Determinar: a) Probabilidad de que el equipo funcione más de 10 horas. b) Probabilidad de que el equipo funcione entre 10 y 15 horas. 38. En un párking público se ha observado que los coches llegan, aleatoria e independientemente, a razón de 360 coches por hora. a) Utilizando la distribución exponencial, encontrar la probabilidad de que una vez que llega un coche, el próximo no llegue antes de medio minuto. b) Utilizando la distribución de Poisson, obtener la misma probabilidad anterior. 39. La experiencia ha demostrado que las calificaciones obtenidas en un test de aptitud por los alumnos de un determinado centro siguen una distribución Normal de media 400 y desviación típica 100. Si se realiza el test a un determinado grupo de alumnos, calcular: a) El % de alumnos que obtendrán calificaciones comprendidas entre 300 y 500. b) La probabilidad de que, elegido un alumno al azar, su calificación difiera de la media en 150 puntos como máximo. c) Los límites del intervalo que contiene al 70 % de los alumnos con calificación más cercana a la media. d) El porcentaje de alumnos que obtendrán menos de 350 puntos. e) La puntuación máxima del 15 % con menos puntuación. 40. Una máquina fabrica tornillos cuyas longitudes se distribuyen según una ley Normal con media 20 mm y desviación típica 0.25 mm. Un tornillo se considera defectuoso si su longitud no está comprendida entre 19.5 y 20.5 mm. Los tornillos se fabrican de forma independiente. a) Determinar la cantidad máxima que, con probabilidad 0.95, puede diferir la longitud de un tornillo fabricado por la máquina de la media. b) Cuál es la probabilidad de fabricar un tornillo defectuoso? c) Calcular la probabilidad de que en 10 tornillos fabricados no haya más de dos defectuosos. d) Cuantos tornillos se fabricarán por término medio hasta obtener el primer tornillo defectuoso? e) Los tornillos se empaquetan en cajas de 50 unidades. Si el número de tornillos defectuosos en una caja es superior a 20, la máquina es revisada. Determinar la probabilidad de producir una caja que no haga revisar la máquina. 6

7 41. Si consideramos una variable aleatoria X que representa la proporción de personas que consumen una determinada marca de aceite de oliva y que sigue una distribución beta de parámetros 1 y 1, determinar la probabilidad de que dicha proporción esté comprendida entre el 10 % y el 50 %. 42. Demostrar que la variable aleatoria que denota el tiempo de espera hasta que se produce el n-ésimo suceso de Poisson de parámetro λ, sigue una distribución Gamma de parámetros n y λ. 43. Se sabe que el número de llamadas que recibe un departamento de reparaciones sigue una ley de Poisson, de promedio cinco llamadas por hora. Comenzando en un momento aleatoriamente seleccionado, calcular la probabilidad de que la primera llamada no se reciba antes de media hora. 7