Matemáticas Discretas TC1003

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1 Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 1/23

2 Alternativa para Relaciones Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En este caso diremos que R es una relación sobre A o una relación en A. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 2/23

3 Alternativa para Relaciones Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En este caso diremos que R es una relación sobre A o una relación en A. Alternativamente al diagrama de flechas del conjunto hacia si mismo: a b c a b c a b c Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 2/23

4 Ejemplo Si A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el diagrama de flechas de las relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 3/23

5 Ejemplo Si A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el diagrama de flechas de las relación. Solución Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 3/23

6 Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 4/23

7 Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es reflexiva si : x, (x A (x,x) R). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 4/23

8 Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es reflexiva si : x, (x A (x,x) R). Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 4/23

9 Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es reflexiva si : x, (x A (x,x) R). Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): deben estar todas las parejas (a,a) donde a barre todos los elementos de A. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 4/23

10 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 5/23

11 Ejemplos Relación no Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 5/23

12 Ejemplos Relación no Relación Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 5/23

13 Ejemplos Relación no Relación Cada nodo debe tener un cíclo. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 5/23

14 Ejemplos De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una relación: Relación No reflexiva Relación Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 6/23

15 Ejemplos De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una relación: Relación No reflexiva Relación En la diagonal principal debe haber sólo unos para relaciones reflexivas. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 6/23

16 Ejemplos De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una relación: Relación No reflexiva Relación En la diagonal principal debe haber sólo unos para relaciones reflexivas. En las no reflexivas hay al menos un cero. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 6/23

17 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 7/23

18 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 7/23

19 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si x,y, ((x,y) R (y,x) R). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 7/23

20 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si x,y, ((x,y) R (y,x) R). Que no nos engañe la implicación: no dice que tengamos flechas de x a y para todo x y y: Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 7/23

21 Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si x,y, ((x,y) R (y,x) R). Que no nos engañe la implicación: no dice que tengamos flechas de x a y para todo x y y: Dice que en caso de haber una flecha de x a y debemos de tener una de y a x en las relaciones simétricas. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 7/23

22 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 8/23

23 Ejemplos Relación no simétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 8/23

24 Ejemplos Relación no simétrica Relación Simétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 8/23

25 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 9/23

26 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 9/23

27 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si x,y, ((x,y) R (y,x) R x = y). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 9/23

28 Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si x,y, ((x,y) R (y,x) R x = y). Cuando están las parejas (x,y) y (y,x) en la relación, es porque las parejas son (x, x). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 9/23

29 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 10/23

30 Ejemplos Relación no Antisimétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 10/23

31 Ejemplos Relación no Antisimétrica Relación Antisimétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 10/23

32 Relación Transitiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 11/23

33 Relación Transitiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es transitiva si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 11/23

34 Relación Transitiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es transitiva si x,y,z, ((x,y) R (y,z) R (x,z) R). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 11/23

35 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 12/23

36 Ejemplos Relación no Transitiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 12/23

37 Ejemplos Relación no Transitiva Relación Transitiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 12/23

38 Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 13/23

39 Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de equivalencia si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 13/23

40 Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 13/23

41 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 14/23

42 Ejemplos Relación no de Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 14/23

43 Ejemplos Relación no de Relación de Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 14/23

44 Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 15/23

45 Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de orden parcial si Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 15/23

46 Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 15/23

47 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 16/23

48 Ejemplos Relación que no es Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 16/23

49 Ejemplos Relación que no es Relación de Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 16/23

50 Ejemplo Considere el conjunto y la relación: R = { A = {1, 2, 3} (2, 2), (2, 3), (1, 2), (1, 1), (3, 3) Indique cuáles propiedades tiene la relación. } Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 17/23

51 Ejemplo Indica cuáles de las siguientes son relaciones de equivalencia: 1. mod5 en los enteros 2. La relación vecinos en los paises 3. Primos en una familia 4. en los enteros Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 18/23

52 Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R que cumple: Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 19/23

53 Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R que cumple: R es transitiva, Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 19/23

54 Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R que cumple: R es transitiva, R R (R contiene a R), y Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 19/23

55 Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R que cumple: R es transitiva, R R (R contiene a R), y Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 19/23

56 Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R que cumple: R es transitiva, R R (R contiene a R), y Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R. Es decir, la cerradura transitiva de una relación R es la más pequeña relación transitiva que contiene a R. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 19/23

57 Ejemplos Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 20/23

58 Ejemplos Relación Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 20/23

59 Ejemplos Relación Transitiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 20/23

60 Ejemplos Relación Transitiva Cuidado: A veces hace falta una segunda pasada para revisar si ya es transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 20/23

61 Considere el conjunto A = {1, 2, 3} y la relación sobre A: { (1, 1), (1, 2), (1, 3), R = (2, 1), (2, 2), (3, 3) Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejas deben aãdirse a R en la cerradura transitiva: 1. (2, 3) 2. (3, 1) 3. (3, 2) } Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 21/23

62 de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A 1, A 2,...,A m tal que Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 22/23

63 de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A 1, A 2,...,A m tal que Ningún subconjunto A i es vacío: i,a i Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 22/23

64 de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A 1, A 2,...,A m tal que Ningún subconjunto A i es vacío: i,a i Los conjuntos no tienen elemento en común: i,j, (i j A i A j = ) Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 22/23

65 de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A 1, A 2,...,A m tal que Ningún subconjunto A i es vacío: i,a i Los conjuntos no tienen elemento en común: i,j, (i j A i A j = ) La unión de los conjuntos es igual a A: A 1 A 2 A m = A Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 22/23

66 Ejemplo Indica cuáles de las siguientes son particiones del conjunto: {1, 3, {5, 2}, 4} 1. {, {1, 3, {5, 2}, 4}} 2. {{1}, {3, {5, 2}, 4}} 3. {{{1, 3}}, {5, 2}, {4}} 4. {{1}, {3}, {{5, 2}}, {4}} Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 23/23

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