Los números reales: Resumen para Cálculo I 1

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1 Los números reales: Resumen para Cálculo I Profesora Carolina Mejía M. March 30, 20 Basado en las notas de los profesores G. Bobadilla y R. Labarca de la Universidad de Chile

2 Contents Los números reales 2 Los aiomas de cuerpo La relación de igualdad = La suma + y el producto : Los aiomas de orden Aplicación de los aiomas de orden de los reales: Resolución de inecuaciones Una distancia en R: el valor absoluto La continuidad de R: aioma del supremo Aioma del supremo

3 Chapter Los números reales En esta sección se tratarán las propiedades de los números reales de manera muy rápida. Es más un manual de bolsillo que el desarrollo de una teoría ehaustiva. Sin embargo se dejarán algunos ejercicios para que el lector aplique las propiedades más importantes de los números reales sobretodo en la solución de ecuaciones e inecualciones muy sencillas pero útiles. Los números reales constituyen la base sobre la cual se construye el cálculo diferencial y el cálculo integral. Las propiedades aritméticas de estos números se han trabajado a lo largo de la educación básica y media. A lo mejor las propiedades que tienen que ver con el orden y sobretodo con la continuidad de los reales (aioma del supremo), serán un tema nuevo para muchos. Este último aioma se incluye a modo de referencia aunque su comprensión requiere un poco más de madurez matemática. Los aiomas de cuerpo Aceptaremos la eistencia de un conjunto no vacío R, que llamaremos conjunto de los números reales. Sobre él se ha de nido una relación de igualdad = y dos operaciones algebraicas, suma + y multiplicación. La relación de igualdad = Supongamos que a; b; c representan números reales cualesquiera. las propiedades de: Entonces la relación de igualdad satisface I. Re eividad: a = a. I2. Simetría: si a = b, entonces b = a. I3. Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c. La suma + y el producto : Las operaciones binarias de nidas sobre los números reales son funciones que toman dos elementos de R para obtener un nuevo número real, es decir, son operaciones cerradas en el conjunto de los números reales. + : R R! R (a; b) 7! a + b : R R! R (a; b) 7! a b Estas operaciones satisfacen los siguientes aiomas para a; b; c números reales cualesquiera: 2

4 C. Ley asociativa para la suma: a + (b + c) = (a + b) + c. C2. Eistencia de un elemento identidad para la suma: a + 0 = 0 + a = a. C3. Eistencia de inversos para la suma: a + ( a) = ( a) + a = 0. C4. Ley conmutativa para la suma: a + b = b + a. C5. Ley asociativa para la multiplicación: a (b c) = (a b) c. C6. Eistencia de un elemento identidad para la multiplicación: a = a = a; además se tiene que 6= 0. C7. Eistencia de inversos para la multiplicación: a a = a a = ; para a 6= 0. C8. Ley conmutativa para la multiplicación: a b = b a. C9. Ley distributiva: a (b + c) = a b + a c. C0. Estas operaciones son compatibles con la relación de igualdad, es decir, si a = b entonces a + c = b + c y a c = b c para todo c número real. A partir de estos aiomas y las reglas de la lógica formal se pueden obtener todas las otras propiedades de la aritmética usual que se aprenden durante la enseñanza básica y media. Los siguientes enunciados tienen el propósito de recordar las propiedades más importantes que se derivan de los aiomas de cuerpo. Proposición (La multiplicación tiene elemento anulador) Dado a 2 R se cumple 0 a = 0. Notación 2 A partir de este momento por comodidad escribiremos ab para representar a b. Proposición 3 (Los inversos aditivos y la multiplicación) Dados a; b 2 R, se tienen las siguientes propiedades:. ( a) = a. 2. ( a)b = (ab). 3. a( b) = (ab). 4. ( a)( b) = ab. Proposición 4 (Los inversos multiplicativos y la multiplicación) Dados a; b 2 R, a 6= 0, b 6= 0, se tienen las siguientes propiedades:. (a ) = a. 2. a b = (ab ). 3. ab = (a b). 4. a b = (ab). Proposición 5 (Leyes de cancelación) Dados a; b; c 2 R se cumple:. a + c = b + c si y sólo si a = b. 2. ac = bc y c 6= 0 si y sólo si a = b. Proposición 6 Dados a; b 2 R se cumple ab = 0 si y sólo si (a = 0) o (b = 0). De nición 7 (Resta) Por comodidad podemos de nir una nueva operación a partir de la suma de reales. Dados a; b 2 R, escribiremos a b para simbolizar el número a + ( b). A tal número lo llamaremos la diferencia de a y b. 3

5 Proposición 8 (Propiedades de la resta) Dados a; b; c 2 R se tienen las siguientes propiedades:. a ( b) = a + b. 2. a b = 0 si y sólo si a = b. 3. a (b + c) = a b c. De nición 9 (División) De nuevo por comodidad podemos de nir una nueva operación pero a partir de la multiplicación de reales. Dados a; b 2 R, b 6= 0, escribiremos a b o a : b para simbolizar el número a b. A tal número lo llamaremos el cociente entre a y b. Proposición 0 (Propiedades de la división) Dados a; a ; a 2 ; b ; b 2 2 R, se tienen las siguientes propiedades:. a = a. 2. Si a 6= 0, entonces a = a. 3. Si a 6= 0, entonces a a =. 4. Si a 2 6= 0, b 2 6= 0, entonces a a 2 = b b 2 si y sólo si a b 2 = a 2 b. 5. Si a 2 6= 0, b 6= 0, entonces a a 2 = ab a. 2b 6. Si a 2 6= 0, b 2 6= 0, entonces a a 2 b b 2 = ab a 2b Si a 2 6= 0, b 2 6= 0, entonces a a 2 + b b 2 = ab2+a2b a 2b 2 8. Si a 2 6= 0, b 2 6= 0, b 6= 0, entonces a a 2 : b b 2 = a a 2 b b 2 y a b ab2 a2b a 2 b 2 = a 2b 2. = ab2 a 2b. La mayor aplicación de los aiomas de cuerpo en la matemática radica en la posibilidad de resolver ecuaciones algebraicas cuando los coe cientes son números reales. Dentro del mundo de las ecuaciones vale la pena recordar las ecuaciones de segundo grado con una variable, para las cuales siempre eiste solución en el conjunto de los números complejos. Proposición (Ecuación cuadrática) Para a; b; c 2 R, a 6= 0, la ecuación a 2 + b + c = 0 siempre tiene solución en los complejos y está dada por = b p b 2 4ac 2a Para el caso en el que b 2 4ac es positivo tenemos dos soluciones reales. Si b 2 4ac es negativo tenemos dos soluciones complejas conjugadas. Y para el caso en el que b 2 4ac es igual a 0 tenemos una única solución real dada por = b 2a. Para el caso de ecuaciones más generales de una sola variable, la idea es igualar a 0 la ecuación y luego intentar factorizar para poder encontrar las raíces que serán las soluciones buscadas. Ejercicio 2 Encontrar todas las soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones (recuerde primero igualar a 0). 2 + = = = = 0 Proposición 3 (Leyes de factorización) Las siguientes igualdades son válidas siempre que las variables ; y; z tomen un valor real. 4

6 . ( + y)( y) = 2 y 2 2. ( y)( 2 + y + y 2 ) = 3 y 3 3. ( + y)( 2 y + y 2 ) = 3 + y 3 4. ( n y n ) = ( y)( n + n 2 y + n 3 y 2 + n 4 y 3 + ::: + y n ) para cualquier n natural, n 2 5. Si n es un natural par: ( n y n ) = ( + y)( n n 2 y + n 3 y 2 n 4 y 3 + ::: y n ) 6. Si n es un natural impar: ( n + y n ) = ( + y)( n n 2 y + n 3 y 2 n 4 y 3 + ::: + y n ) 7. ( y) 2 = 2 2y + y 2 8. ( y) 3 = y + 3y 2 y 3 9. ( + y + z + :::) 2 = 2 + y 2 + z 2 + ::: + 2(y + z + yz + :::) 0. Fórmula del binomio: si y y son números reales y n es un natural mayor o igual a, se tiene que donde n k ( + y) n = n! = k!(n k)! para todo k = 0; ; :::; n nx n n k Ejercicio 4 A continuación unos ejercicios para repasar estas propiedades de los números reales. k=0. Usando las propiedades vistas, demuestre que para todos a; b; ; y 2 R con b 6= y se tiene la igualdad a b y = a y b. bc 2. Demuestre que (a+b)(a+c) + ac racionales anteriores eistan. 3. Demuestre y +y + +y 2 +y 2 y 2y + (b+c)(b+a) + ab (c+a)(c+b) + y 2 +y 2 = +y y 4. Demuestre que la siguiente epresión se anula cuando = a+b 2 k y k 2abc (a+b)(a+c)(b+c) = para a; b; c 2 R, tales que los 3 a 2a + b b + a 2b 5. Simpli que la epresión *Encuentre a; b dos constantes tales que para todo 2 R, 6= 4, 6= 3: Los aiomas de orden = a b 3 Además de las propiedades algebraicas de los números reales, estos elementos tienen la gran virtud de poderse comparar unos a otros y una vez hecho esto se pueden ubicar uno detrás de otro en la india. Para entender estas propiedades tan importantes de los números relaes seguiremos con la presentación aiomática. Empezaremos por aceptar la eistencia de un subconjunto de R, llamado conjunto de los números reales positivos, denotado por R +, que satisface las propiedades siguientes: O. R + es cerrado para la suma, es decir, si a; b pertenecen a R +, entonces el real a + b pertenece a R +. 5

7 O2. R + es cerrado para la multiplicación, es decir, si a; b pertenecen a R +, entonces ab pertenece a R +. O3. Para todo número real a se cumple una y sólo una de las siguientes a rmaciones: (i) a = 0 (ii) a pertenece al conjunto R + (iii) a pertenece al conjunto R +. Observación 5 El aioma O3 se llama propiedad de tricotomía de los números reales. De nición 6 De namos ahora el símbolo <,. a < b si y sólo si b a 2 R a > b si y sólo si a b 2 R +. Vamos a recordar las propiedades más importantes que cumplen los números reales y que están relacionadas con la relación <. Proposición 7 Dados los números reales a; b (ya no estamos hablando solamente de los reales positivos) se cumple una y sólo una de las siguientes a rmaciones:. a = b 2. a < b 3. a > b Al igual que eiste el conjunto de los reales positivos podemos de nir el conjunto de los reales negativos así: De nición 8 Llamaremos conjunto de los números reales negativos al conjunto R = 2 R : 2 R + Observemos que 0 =2 R pero también se tiene que 0 =2 R + lo que pone de mani esto que el cero no es ni positivo ni negativo. Además no eisten elementos que están a la vez en R + y en R, es decir que R + \ R = ; pero por el aioma O3 todo número real pertenece a uno y sólo a uno de los conjuntos R +, R, f0g. Así los números reales quedan partidos como R = R + [R [f0g. Por otro lado, como consecuencia de las proposiciones y los aiomas se tiene que todo número negativo es menor que cualquier número positivo y el cero es la frontera entre los dos tipos de números. R 0 R + Aun no sabemos si la recta real tiene huecos. Además de la relación < entre reales, normalmente trabajamos con un símbolo un poco diferente,. De namos esta nueva relación. De nición 9 Si a; b son números reales, a b si y sólo si a = b o a < b. sólo si a = b o a > b. De manera análoga, a b si y Proposición 20 La relación es:. Re eiva: a a para todo a 2 R. 6

8 2. Antisimétrica: si a b y b a entonces a = b. 3. Transitiva: si a b y b c entonces a c. Ahora veamos como interactúan las operaciones + y con la relación. Proposición 2 (Compatibilidad de con la suma) La relación es compatible con la suma de reales. Es decir, si a b y c 2 R entonces a + c b + c. La multiplicación tiene un comportamiento un poco diferente con la relación. Proposición 22 Si a b y c 2 R + entonces a c b c. Pero si a b y c 2 R entonces a c b c (se invierte la desigualdad). Proposición 23 Veamos el comportamiento de los inversos aditivos y multiplicativos con la relación <:. Si a > 0 entonces a < 0 (se invierte la desigualdad con inversos aditivos) 2. Si a < 0 entonces a > 0 3. Si a > 0 entonces a > 0 (se mantiene la desigualdad con inversos multiplicativos) 4. Si a < 0 entonces a < 0 Una propiedad que se deriva de los aiomas de orden de los números reales y que es muy útil en la resolución de inecuaciones es la siguiente. Proposición 24 Sean a; b 2 R, si a b > 0 entonces o (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0). Además si tenemos que a b < 0 entonces o (a < 0 y b > 0) o (a > 0 y b < 0). Proposición 25 (Densidad de los números reales) Si a; b 2 R, con a < b entonces se puede probar que a < a+b 2 < b. Este resultado se puede leer diciendo que entre dos números reales a; b distintos siempre eiste un tercer número real c. Como a; c son distintos, puede aplicarse la conclusión a ellos y obtener un cuarto número real d, y así sucesivamente. Como este proceso puede etenderse inde nidamente, lo que obtenemos es que entre dos números reales distintos eisten in nitos números reales. Esta importante propiedad se llama densidad de los números reales. Aplicación de los aiomas de orden de los reales: Resolución de inecuaciones En principio para resolver desigualdades de grado igual o superior a dos se deben aplicar los aiomas de orden y sus consecuencias, en particular la proposición 24, pues esta permite analizar las distintas posibilidades de signo de los factores. Este método para resolver inecuaciones es llamado método aiomático. Pero, en general este método se enseña en la escuela de un modo diferente aunque el soporte formal sea eactamente el mismo. En la escuela se conoce como método reducido o método del cementerio. A continuación se mostrarán algunos ejemplos de inecuaciones y su solución por el método aiomático o el método del cementerio. Para resolver cualquier desigualdad los pasos previos obligatorios son:. Reescribir la desigualdad de manera que uno de los lados de esta sea Reducir términos semejantes. 3. Factorizar el respectivo polinomio cuando el grado es mayor o igual a dos. 7

9 Ejemplo 26 Resolución de una desigualdad general de primer orden Sean a; b números reales constantes, a 6= 0. Después de realizar los pasos previos, una desigualdad de primer orden tiene, por ejemplo, la forma a + b 0 Usando la proposición 2 se tiene que a Pero si queremos despejar completamente la variable debemos multiplicar a ambos lados de la desigualdad por el inverso multiplicativo de a. Pero recordemos que la multiplicación no es del todo compatible con, depende del signo del número que vayamos a multiplicar a ambos lados de la desigualdad. Entonces por la proposición 23 se tiene Si a < 0 entonces a + b 0 si y sólo si b a Si a > 0 entonces a + b 0 si y sólo si b a b Entonces el signo del polinomio a + b cambia en el punto. Si a < 0 _ + b/a R b a, así: 2. a > 0 _ b/a _+ R Ejemplo 27 Resolución de una desigualdad de segundo grado. El caso general que intentamos estudiar es el siguiente. Dados a; b; c números reales con a 6= 0, encontrar los valores de tales que a 2 + b + c 0 El desarrollo de este método se puede adaptar fácilmente si cambiamos el símbolo por, o por <, o por >. Veamos primero una caso de una desigualdad de segundo orden en la cual el polinomio correspondiente se puede factorizar completamente. Resolver 2 + > 6. Esta desigualdad es equivalente a la desigualdad > 0. Factorizando el polinomio tenemos ( + 3) ( 2) > 0 Así por la proposición 24 tenemos dos factores que al multiplicarlos obtenemos un número positivo, entonces o los dos factores son positivos o los dos factores son negativos. Para analizar los dos casos simultáneamente podemos hacer una tabla en la cual se registre en qué intervalos el primer factor es positivo, en qué intervalos el primer factor es negativo, y así para cada factor involucrado en la desigualdad. Note que para poder hacer esto es necesario saber en qué puntos de la recta real el factor cambia de positivo a negativo. Para el factor ( + 3) tenemos que si < 3 el factor es negativo mientras que si > 3 el factor es positivo. Para el caso de ( 2) tenemos que si < 2 el factor es negativo mientras que si > 2 el factor es positivo. Resumiendo Intervalo/Factor ( ; 3) ( 3; 2) (2; ) ( + 3) + + ( 2) + ( + 3) ( 2) + + Así que si lo que queríamos saber es para qué números reales es cierta la desigualdad ( + 3) ( 2) > 0, observando la tabla debemos decir que el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo ( ; 3) unido con el intervalo (2; ). 8

10 Ejemplo 28 Resolver la desigualdad < 0. Siguiendo el método anterior, lo primero que debemos hacer es factorizar el polinomio p() = y como es un polinomio cuadrático, podemos usar la fórmula de la proposición. Entonces p() = 0 si y sólo si = 2p 4 8 2, pero en este caso no eisten soluciones reales para la ecuación, y si además observamos que el coe ciente de 2 es positivo lo que tenemos es que el polinomio p() = siempre es positivo. No eisten valores reales tales que al reemplazarlos por en la desigualdad < 0, esta sea verdadera. Ejemplo 29 Este método funciona cuando hay dos, tres, cuatro o más factores, en estos casos la diferencia radica únicamente en el tamaño de la tabla resumen. Veamos ahora que el método también funciona cuando la variable aparece en el denominador. 7 4 Resolver 2 0. En este caso debemos escribir una sola fracción con numerador y denominador factorizados. Analizando cada uno de los tres factores tenemos ( ) 4 ( 2) ( 2) ( ) ( 2) ( ) 3 + ( 2) ( ) ( ; =3) ( =3; ) (; 2) (2; ) (3 + ) ( 2) + ( ) ( 2)( ) En conclusión el conjunto solución de la desigualdad 2 0 es el intervalo ( ; =3] unido con el intervalo (; 2). Note que aunque la desigualdad utiliza el símbolo menor o igual, el intervalo (; 2) no puede contener los etremos pues estaríamos dividiendo por 0. Ejercicio 30 Determine los siguientes conjuntos. A = 2 R : 2 + > 2 2. B = f 2 R : (2 + ) = ( + 2) < g Ejercicio 3 Resolver las siguientes desigualdades. ( ) > 0 2. ( 2)( )( 2 4 5) > > Una distancia en R: el valor absoluto Los aiomas de orden nos permiten comparar números reales y gracias a la densidad de R, proposición 25 sabemos que si a < b, entre ellos podemos insertar una in nidad de números reales distintos. Esto puede hacer perder la perspectiva de cuán lejos o cerca están estos números. Aun cuando el estar cerca o lejos es una cuestión relativa al problema concreto en que estamos involucrados, es útil tener un método para poder discernir en cada caso. Para ello se de ne una distancia en R eligiendo como punto de referencia, en principio, el cero. Esta idea la realiza el llamado valor absoluto de un número real. 9

11 De nición 32 Llamaremos valor absoluto del número a 2 R, denotado por jaj al número: a si a 0 jaj = a si a < 0 En general, podemos apreciar que el número a y su inverso aditivo a están a igual distancia del cero. Usando algunas consecuencias del orden de R, sabemos que todo número negativo es menor que uno positivo. Así tenemos los siguientes grá cos. Cuando a es positivo Cuando a es negativo tenemos que a es positivo. A modo de resumen se incluye la siguiente proposición que indica las propiedades más importantes que tiene el valor absoluto de los números reales. Proposición 33 Para a; b 2 R:. jaj jaj = j aj. 3. jaj a jaj. 4. jaj = 0 si y sólo si a = ja bj = jaj jbj. 6. Si b 0 tenemos que jaj b si y sólo si b a b. 7. Si b 0 tenemos que jaj b si y sólo si o a b o a b. 8. ja + bj jaj + jbj (desigualdad triangular). Si revisan con atención los items 6 y 7 de la proposición anterior, notarán que permiten "desaparecer" el valor absoluto en una desigualdad. Esto es especialmente útil si se pretende encontrar el conjunto solución de una inecuación en la eisten valores absolutos dentro de la epresión que se quiere despejar. Ejemplo 34 Resuelva la ecuación j j = 3 Por de nición de valor absoluto tenemos que j j = siempre que 0, es decir cuando. Entonces si suponemos que 2 [; ) la ecuación quedaría = 3, entonces = 4. Ahora cuando < 0, es decir, cuando suponemos que < 0 la ecuación sería j j = ( ) = 3 entonces = 2. Eisten dos valores de para los cuales se satisface la ecuación, = 4 y = 2. Ejemplo 35 Resuelva la ecuación j3 5j + 3 = 0. Como el valor absoluto no toma valores negativos, la ecuación propuesta no tiene solución. 0

12 Ejemplo 36 Resuelva la ecuación j + 2j = j 4j. Debemos analizar dos casos: Primer caso: Las cantidades entre barras tienen el mismo signo, entonces + 2 = 4, por tanto, 2 = 4. Como esto es imposible, en este caso no hay solución. Segundo caso: Las cantidades entre barras tienen distinto signo, entonces + 2 = ( 4) = + 4, por tanto, =. Ejemplo 37 Determine el conjunto A = f 2 R : j2 + 3j 6g. Si j2 + 3j 6 por la proposición 33 parte 6, tenemos que =2 9=2 Por lo tanto A = f 2 R : 3=2 9=2g = [ 3=2; 9=2]. Ejemplo 38 Resuelva la inecuación j5 8j > 4. Por proposición 33 item 7, tenemos que: Entonces 2 ( ; 4=5) o 2 (2=5; ). Ejercicio 39 Resuelva:. j 4j j2 j. 5 8 > 4 o 5 8 < 4 5 > 2 o 5 < 4 > 2=5 o < 4=5 2. Determine el conjunto B = f 2 R : j j jjg Escriba, ayudándose de la de nición de valor absoluto, f() = j + j+j j 2 jj sin que aparezcan los signos del valor absoluto > La continuidad de R: aioma del supremo Con el Aioma del Supremo se completa el conjunto de aiomas que caracterizan totalmente a R, es decir, R es el único conjunto que veri ca los aiomas de Cuerpo, de Orden y el Aioma del supremo. Las consecuencias de mayor trascendencia del Aioma del Supremo son la eistencia de números irracionales y la propiedad arquimediana de los números reales. De los aiomas de cuerpo solamente puede deducirse, en primera instancia, la eistencia de al menos dos números distintos el 0 y el. La suma de unos da origen a los números naturales. La resta de números naturales da origen a los números enteros y nalmente la división de enteros genera la aparición de los números racionales. En síntesis, para tener el conjunto de los números racionales bastan los aiomas de cuerpo y orden. Pero estos números no son su cientes para la construcción del cálculo diferencial e integral cuyos conceptos básicos necesitan la continuidad de los números reales. Esta propiedad de R la proporciona el Aioma del supremo. En particular, para tener una idea intuitiva de esto, solamente podemos pensar R como un continuo geométrico: la recta númerica, lo que se obtiene una vez que al conjunto de los números racionales se le agregan los números irracionales que pueden ser concebidos como supremos de ciertos conjuntos de números racionales. Aunque la idea no es entender a fondo el aioma del supremo, se incluirán las de niciones necesarias para que un lector interesado pueda saber a grandes rasgos de qué trata este aioma.

13 De nición 40 Si A es un conjunto de números reales, entonces y es una cota superior de A si y sólo si y es un número real y para cada 2 R, y. Ejemplo 4 El conjunto f2; 4; 6; 8; 0g tiene cotas superiores ya que para cualquier número real c mayor o igual a 0 se tiene que c es mayor o igual que cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo 42 El conjunto f 2 R : < 3g es acotado superiormente por cualquier número mayor o igual a 3. Una observación importante es que si un conjunto tiene una cota superior entonces eisten in nitas cotas superiores del conjunto. Por lo tanto, tiene sentido la siguiente de nición. De nición 43 Si A es un conjunto de números reales, el número y es el supremo de A (sup A), si y sólo si y es una cota superior de A y para cada z que es cota superior de A se tiene y z. Es decir el supremo es la menor de las cotas superiores. La de nición de supremo, salvo en casos elementales, no es fácil de usar, para nes más prácticos suele usarse la siguiente caracterización del supremo. Teorema 44 Si A es un conjunto de números reales entonces y es el supremo de A si y sólo si y es una cota superior de A y para cada número real positivo eiste un en A tal que y <. Tenemos entonces que en el conjunto de los números reales es cierto el siguiente teorema. Teorema 45 Un conjunto de números reales puede tener a lo más un supremo. Es interesante observar que el conjunto vacío es acotado superiormente por cualquier número real. Esto se obtiene usando reducción al absurdo. Luego, no eiste un número real que sea el supremo del vacío. Estamos listos para enunciar el último aioma que caracteriza el conjunto de los números reales. Aioma del supremo S. Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces tiene supremo en R. Como consecuencia de este aioma tenemos el siguiente teorema, llamado Principio de Arquímedes. Este principio es de gran importancia en el estudio del cálculo y de los números reales. Teorema 46 (Principio de Arquímedes) N no es acotado superiormente. Una forma equivalente de enunciar el Principio de Arquímedes es: Dado un número real a, eiste n 2 N tal que a < n. Puesto que si no eistiera tal n, tendríamos que para todo n 2 N, n a, y a sería una cota superior de N. Además del Principio de Arquímedes, el aioma del supremo permite por ejemplo, de nir r para todo r 2 R. Además permite de nir entre otras cosas, límites de sucesiones, de funciones, derivadas, integrales, en n, permite el cálculo y el análisis tal como lo conocemos. 2