Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad

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1 Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean A y B dos conjuntos. Una relación binaria de A en B es un subconjunto de A B. R A 1 A 2 A n es una relación n-aria Notación: arb denota que (a,b) R a Rb denota que (a,b) R : Si A = {0,1,2} y B = {a,b}, entonces un ejemplo de una relación de A en B es el conjunto {(0,a),(0,b),(1,a),(2,b)}. En este caso, 0Ra, pero 1 Rb. Ojo: Toda función es una relación, pero no toda relación es función. Relaciones en un Conjunto Propiedades de Relaciones en A Reflexividad Una relación en un conjunto A es una relación de A en A, o sea, un subconjunto de A A : si A = {1,2,3,4}, donde R A A, R = {(a,b) a divide b} entonces, R ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)} A puede ser infinito. : S Z + Z +, donde S = {(a,b) a = b} En este caso, no podemos enumerar los pares ordenados que pertenecen a S, solo podemos indicar si un par ordenado pertenece o no a la relación. Por ejemplo, (10,10) S, mientras que (2,6) S En algunas relaciones, un elemento siempre está relacionado consigo mismo. Se dice que estas relaciones son reflexivas: Definición: reflexividad Una relación R A A es reflexiva si a A,(a,a) R s: sea A = {1,2,3,4}. Cuáles de las siguientes relaciones son reflexivas? R 1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(4,1),(4,4)}... no es reflexiva, porque (2,2) R 1 R 2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}... si es reflexiva

2 Reflexividad s Propiedades de Relaciones en A Simetría y antisimetría Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son reflexivas? 1 R 1 = {(a,b) a b} Sea x Z +. Como x x (prop. básica de los números), tenemos que (x,x) R 1. Generalizando, tenemos que a Z +,(a,a) R, así que R 1 es reflexiva. 2 R 2 = {(a,b) a divide b} Muy similar a la demostración anterior, porque sabemos que dado un x cualquiera Z +, x divide a si mismo... así que R 2 es reflexiva. 3 R 3 = {(a,b) a + b 3} (1,1) R 3? Si. y (2,2)? Es fácil ver que (2,2) R 3, porque = 4, así que (2,2) R 3, por lo que R 3 no es reflexiva. En algunas relaciones, un elemento esta relacionado con un segundo elemento si, y solo si, el segundo elemento esta relacionado con el primero. Se dice que estas relaciones son simétricas: Definición: simetría Una relación R A A es simétrica si a,b A,[(a,b) R (b,a) R] Un concepto relacionado ( pero no opuesto!): Definición: antisimetría Una relación R A A es antisimétrica si a,b A,[(a,b) R (b,a) R a = b]. O de forma equivalente, a,b A,[(a,b) R a b (b,a) R] Simetría a,b A,[(a,b) R (b,a) R] antisimetría a,b A,[(a,b) R (b,a) R a = b] Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son simétricas? R 1 = {(a,b) a b} Es fácil ver que (1,2) R 1, pero que (2,1) R 1, así que claramente esta relación no es simétrica. R 2 = {(a,b) a = b} Sean x,y Z +. Si (x,y) R 2, tenemos que x = y, pero esto es lo mismo que decir y = x (conmut. de =), así que (y,x) R 2. Generalizando, tenemos que a,b Z +,[(a,b) R 2 (b,a) R 2 ], así que R 2 es simétrica. R 3 = {(a,b) a + b 3} Similar a la demo. anterior. Sabemos que x + y = y + x, así que si (x,y) R 3, o sea, x + y 3, también es verdad que y + x 3, o sea, (y,x) R 3. Por lo tanto, R 3 es simétrica. Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son antisimétricas? R 1 = {(a,b) a b} Sean x,y Z +. Si (x,y) R 1 (y,x) R 1, tenemos que x y y x. Esto solo es verdadero si x = y. Generalizando, tenemos que a,b Z +,[(a,b) R 1 (b,a) R 1 a = b], o sea, R 1 es antisimétrica. R 2 = {(a,b) a = b} De forma similar, es fácil demostrar que R 2 es antisimétrica. R 3 = {(a,b) a + b 3} Una relación no es antisimétrica si a,b A,[(a,b) R (b,a) R (a b)] (negación del ). Es fácil ver que (2,1) R 3 (1,2) R 3 1 2, así que esta relación no es antisimétrica.

3 Propiedades de Relaciones en A Transitividad Transitividad a,b,c A,([(a,b) R (b,c) R] (a,c) R) En algunas relaciones, sabemos como se relacionan dos elementos a través de un tercer elemento. Se dice que estas relaciones son transitivas: Definición: simetría Una relación R A A es transitiva si a,b,c A,([(a,b) R (b,c) R] (a,c) R) Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son transitivas? R 1 = {(a,b) a b} Sean x,y,z Z +. Si (x,y) R 1 (y,z) R 1, tenemos que x y y z. Dado que es transitivo, esto significa que x z, o sea, (x,z) R 1. Generalizando, tenemos entonces que R 1 es transitiva. R 2 = {(a,b) a = b} De forma similar (transitividad de =), es fácil demostrar que R 2 es transitiva. R 3 = {(a,b) a + b 3} Sabemos que (1,2) R 3 y que (2,1) R 3. Se cumple que (1,1) R 3? Si. Ahora, dado que (2,1) R 3 y (1,2) R 3... se cumple que (2,2) R 3? No. Así que R 3 no es transitiva. Combinación de Relaciones Combinación de Relaciones s Como las relaciones de A en B son subconjuntos de A B, dos relaciones se pueden combinar de cualquier forma en que se combinan dos conjuntos: Sean A = {1,2,3} y B = {a,b,c,d}, donde R 1 = {(1,a),(2,b),(3,c)} y R 2 = {(1,a),(1,b),(1,c),(1,d)}: R 1 R 2 =? {(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,b),(3,c)} R 1 R 2 =? {(1,a)} R 1 R 2 =? {(2,b),(3,c)} R 2 R 1 =? {(1,b),(1,c),(1,d)} Sean R 1,R 2 Z + Z +, donde R 1 = {(x,y) x < y} y R 2 = {(x,y) x > y}: R 1 R 2 =? {(x,y) x < y y < x} = {(x,y) x y} R 1 R 2 =? {(x,y) x < y y < x} = {(x,y) F} = Algunas definiciones adicionales Definición: relación inversa Sea R A B, podemos definir la relación inversa R 1 = {(b,a) (a,b) R} Definición: relación complementaria Sea R A B, podemos definir la relación complemento R = {(a,b) (a,b) R}

4 Composición de Relaciones Definición: composición Sean R una relación de A en B y S una relación de B en C. La composición de R y S, denotada S R, es la relación que consiste en los pares ordenados (a,c) (con a A y c C) para los que existe un elemento b B tal que (a,b) R y (b,c) S. : sean R {1,2,3} {1,2,3,4} y S {1,2,3,4} {0,1,2} R = {(1,1),(1,4),(2,3),(3,1),(3,4)} y S = {(1,0),(2,0),(3,1),(3,2),(4,1)} S R =? (1,1) R y (1,0) S, así que (1,0) S R (3,1) R y (1,0) S, así que (3,0) S R (2,3) R y (3,1) S, así que (2,1) S R (2,3) R y (3,2) S, así que (2,2) S R... S R = {(1,0),(1,1),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)} Sea R una relación en el conjunto de las personas, tal que (x,y) R si x es padre o madre de y. Entonces, qué relación representa R R? (a,c) R R si, y solo si existe una persona b tal que (a,b) R y (b,c) R O sea, a es padre/madre de b, y b es padre/madre de c Entonces, si (a,c) R R, significa que a es abuelo/abuela de c Potencias de R Representación de Relaciones Definición: potencias de R Sea R una relación en un conjunto A. Las potencias R n (n = 1,2,3...) se definen recursivamente como R 1 = R y R n+1 = R n R : R 2 = R R, R 3 = (R R) R, etc. Teorema 1 La relación R en un conjunto A es transitiva si, y solo si, R R n, para n = 1,2,3... Podemos dibujar el gráfico de una función en el plano cartesiano, porque para cada a, existe un único valor f (a) = b En cambio, en una relación, puede haber uno o más valores asignados a a, así que no podemos graficar una relación Existen dos métodos para representar relaciones: 1 Grafos dirigidos 2 Matrices booleanas

5 Grafos Dirigidos Grafos Dirigidos Definición: grafo dirigido Un grafo dirigido consiste de un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de pares ordenados de elementos de V, llamados arcos (o aristas). Si (a,b) E, entonces a es el vértice inicial de la arista (a,b), y b es el vértice final de la arista. Sea A = {1,2,3,4}, R A A, donde R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1)} Podemos dibujar el grafo correspondiente a la relación R: 1 2 Una arista de la forma (a,a) se representa usando una arista que conecta al elemento a consigo mismo (se llama un bucle). 3 4 Propiedades de Relaciones Propiedades de Relaciones Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle Simetría: si hay un arco entre vértices a y b, debe haber un arco entre vértices b y a

6 Propiedades de Relaciones Propiedades de Relaciones Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle 1 2 % % 3 4 Simetría: si hay un arco entre vértices a y b, debe haber un arco entre vértices b y a antisimetría: si hay un arco entre vértices a y b, donde a b, no puede haber un arco entre b y a Simetría: si hay un arco entre vértices a y b, debe haber un arco entre vértices b y a antisimetría: si hay un arco entre vértices a y b, donde a b, no puede haber un arco entre b y a Conclusion: esta relacion no es reflexiva, simétrica, antisimétrica ni transitiva Transitividad: si hay un arco entre vértices a y b, y vértices b y c, entonces debe haber un arco entre a y c Matrices Booleanas Matrices Booleanas s Suponiendo una relación R A B, donde A = {a 1,a 2,...,a m } y B = {b 1,b 2,...,b n }, la relación se puede representar por medio de una matriz M R = [m ij ], donde { 1 si (a i,b j ) R m ij = 0 si (a i,b j ) R M R tiene m filas y n columnas Nota: para hacer esto, uno debe escoger un orden para A, B. Si A = B, lo usual es usar el mismo orden para las filas y las columnas. 1 Sean A = {1,2,3} y B = {1,2}, donde R A B, R = {(a,b) a > b}. M R =? M R = Si M R = , donde A = {1,2,3} y B = {a,b,c,d} (con orden obvio), entonces R =? R = {(1,a),(1,c),(2,b),(2,d),(3,a),(3,c)}

7 Propiedades de Relaciones Reflexividad Propiedades de Relaciones Simetría R A A es reflexiva sii a A,(a,a) R Entonces, si A = {a 1,a 2,...a n }, R es reflexiva sii (a i,a i ) R, para i = 1,2,...n En consecuencia, R es reflexiva sii m ii = 1, para i = 1,2,...n En otras palabras, R es reflexiva si todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 1? 1 M R =...? 1 R A A es simétrica sii a,b A,(a,b) R (b,a) R Entonces, si A = {a 1,a 2,...a n }, R es simétrica sii (a j,a i ) R siempre que (a i,a j ) R En consecuencia, R es simétrica sii (m ij = 1 m ji = 1) (m ij = 0 m ji = 0) Entonces, R es simétrica sii m ij = m ji,i j, para i,j = 1,2,...n O sea, R es simétrica sii M R = (M R ) t (traspuesta)? M R = 0? ? ? Propiedades de Relaciones antisimetría Propiedades de Relaciones Transitividad R A A es antisimétrica sii a,b A,[(a,b) R a b] (b,a) R Entonces, si A = {a 1,a 2,...a n }, R es antisimétrica sii (a i,a j ) R i j implica que (a j,a i ) R En consecuencia, R es antisimétrica sii m ij = 1 i j implica que m ji = 0 Entonces, R es antisimétrica sii m ij = 0 m ji = 0 siempre que i j No se puede hacer un análisis visual simple de una matriz booleana para determinar si una relación es transitiva? M R = 1? ? ?

8 Combinación de Relaciones Composición de Relaciones Sean R 1,R 2 A, representadas por matrices M R1 y M R2 Cómo calculamos M R1 R 2 y M R1 R 2? Sabemos que (a,b) R 1 R 2 si (a,b) R 1 (a,b) R 2 O sea, m R 1 ij = 1 m R 2 ij = 1 Entonces, M R1 R 2 = [m ij ], donde m ij = m R 1 ij m R 2 ij De la misma forma, M R1 R 2 = [m ij ], donde m ij = m R 1 ij m R 2 ij : si M R1 = y MR2 = 0 1 0, entonces M R1 R 2 = y MR1 R 2 = Sean R A B y S B C: El par (a i,c j ) S R sii b k tal que (a i,b k ) R y (b k,c j ) S Si M S R = [t ij ], M R = [r ij ] y M S = [s ij ], entonces t ij = 1 si, y solo si, r ik = s kj = 1, para algún k O sea, M S R = M R M S, donde es el producto booleano Definición: producto booleano Sean A = [a ij ] y B = [b ij ] matrices booleanas de tamaños m k y k n, respectivamente. El producto booleano de A y B, denotado A B, es la matriz de tamaño m n cuyo elemento (i,j) es c ij, donde c ij = (a i1 b 1j ) (a i2 b 2j ) (a ik b kj ) Relaciones de Equivalencia Definición: relación de equivalencia Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva Se dice que dos elementos relacionados por una relación de equivalencia son equivalentes (con respecto a la relación). Por qué? Reflexividad: cualquier elemento es equivalente a si mismo Simetría: no importa en que orden estén relacionados dos elementos... si están relacionados, son equivalentes para la relación Transitividad: si elementos a y b son equivalentes, y además b y c son equivalentes, entonces a y c son equivalentes para la relación Sea R Z Z, donde R = {(a,b) a y b tienen la misma paridad} (o sea, ambos números son pares, o ambos son impares). La relación de paridad es una relación de equivalencia: Reflexividad: como a tiene la misma paridad que si mismo, para cualquier a en Z, se sigue que R es reflexiva Simetría: si (a,b) R, significa que a y b tienen la misma paridad (ambos pares, o ambos impares). Por lo tanto, (b, a) también pertenece a R, lo que significa que R es simétrica Transitividad: supongamos que (a,b) R y (b,c) R. Como a y c tienen la misma paridad que b, significa que a y c tienen la misma paridad. Por lo tanto, (a,c) R, así que R es transitiva Para esta relación, los números pares son equivalentes entre si, y los números impares son equivalentes entre si. Además, estos dos subconjuntos son disjuntos, y su unión nos da el conjunto inicial.

9 Clases de Equivalencia Algunas Definiciones Definición: clase de equivalencia Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de todos los elementos que están relacionados con un elemento a A se llama la clase de equivalencia de a, y se denota [a] R, donde [a] R = {b A (a,b) R} Si b [a] R, de dice que b es un representante de la clase de equivalencia [a] R. : para la relación de paridad, tenemos las siguientes clases de equivalencia: Lema 1 [0] R = {..., 4, 2,0,2,4,...} = [2] R = [16] R =... [1] R = {..., 3, 1,1,3,...} = [ 3] R = [9] R =... Las clases de equivalencia son siempre no vacías (dado que las relaciones de equivalencia son reflexivas) Antes de seguir con otro ejemplo, necesitamos algunas definiciones: Teorema de la división Sean a Z y d Z +. Existen dos únicos enteros q y r (cociente y resto, respectivamente) tales que a = dq + r, donde 0 r < d q = a div d (parte entera de la división) r = a mod d (resto de la división) Definición: congruencia módulo m Si a,b Z y m Z +, entonces a es congruente con b módulo m si m divide a b, y se denota a b (mod m) (o también a m b) En otras palabras, dos números son congruentes módulo m si tienen el mismo resto con respecto a m. Si a y b no son congruentes módulo m, escribimos a b (mod m) Algunas Definiciones Teorema Sean a,b Z y m Z +. Entonces a b (mod m) si, y solo si, a mod m = b mod m s: (mod 3), dado que 10 mod 3 = 25 mod 3 = (mod 4), dado que 7 mod 4 = 3 y 10 mod 4 = 2 Pregunta: sea R Z Z, donde R = {(a,b) a b (mod m)}. Es R una relación de equivalencia? Sea R Z Z, donde R = {(a,b) a b (mod m)}. Es R una relación de equivalencia? Reflexividad: sea x Z. Como x x = 0, y 0 es divisible por m, se cumple que x x (mod m). Generalizando, tenemos que a Z,a a (mod m), o sea R es reflexiva Simetría: sean x,y Z Si (x,y) R, entonces x y (mod m) Por la def. de congruencia, tenemos que m divide x y, o sea, k Z tal que x y = km Multiplicando ambos lados por -1, obtenemos que y x = ( k)m Como k también es entero, significa que m también divide y x, así que se cumple que y x (mod m), o sea, (y,x) R Generalizando, podemos concluir que R es simétrica

10 Sea R Z Z, donde R = {(a,b) a b (mod m)}. Es R una relación de equivalencia? Transitividad: sean x,y,z Z Si (x,y) R y (y,z) R, tenemos que x y (mod m) y y z (mod m) O sea, x y y y z son divisibles por m: k Z tal que x y = km l Z tal que y z = lm Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos que x z = (k + l)m, donde (k + l) es claramente un entero, por lo que x z es divisible por m Entonces, x z (mod m), por lo que (x,z) R Generalizando, podemos concluir que R es transitiva Como R es reflexiva, simétrica y transitiva, es relación de equivalencia Cuáles son las clases de equivalencia de congruencia módulo 4? [0] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 0} = { 8, 4,0,4,8,...} [1] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 1} = { 7, 3,1,5,9,...} Como quedan elementos de Z sin clase de equivalencia, nos quedan algunas clases de equivalencia por descubrir [2] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 2} = { 6, 2,2,6,10,...}... y por ultimo... [3] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 3} = { 5, 1,3,7,11,...} Es fácil ver que Z = [0] 4 [1] 4 [2] 4 [3] 4, y que [0] 4 [1] 4 =, [0] 4 [2] 4 =... Particiones Particiones Teorema Sea R unas relación de equivalencia en A. Entonces, para cualquier dos clases de equivalencia [a] R y [b] R se cumple que: 1 [a] R = [b] R si (a,b) R 2 [a] R [b] R = si (a,b) R Demo. (propuesto): 1 [a] R = [b] R si (a,b) R: deben demostrar que [a] R [b] R y que [b] R [a] R. Recordar que A B si x A x B 2 [a] R [b] R = si (a,b) R: demostrar por reducción al absurdo, asumir que (a,b) R y [a] R [b] R y derivar una contradicción Definición: partición La colección se subconjuntos {A i }, donde i I (un conjunto de índices) forma una partición de A sii 1) A i para todo i I 3) A i = A 2) A i A j = si i j i I Teorema Sea R una relación de equivalencia en A. Entonces, las clases de equivalencia de R forman una partición de A. Recíprocamente, dada una partición {A i i I} del conjunto A, hay una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los conjuntos A i, i I Demo. (propuesto): se puede demostrar en forma directa usando las propiedades de clases de equivalencia

11 Ejercicios Propuestos Cierre de Relaciones 1 Demostrar que si R, S son relaciones transitivas en A, entonces R S es relación transitiva 2 Demostrar que las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia: 1 R en Z, donde R = {(a,b) a + 2b es divisible por 3} 2 R en Q, donde R = {(p,q) p = a b,q = d c,(p,q) R sii ad = bc} 3 R en R, donde R = {(x,y) x + y = x + y } 3 Sea f : A A una función, y R = {(a,b) f (a) = f (b)}. Es R una relación de equivalencia? Si lo es, cómo particiona el conjunto A? Sea R una relación en A: R puede o no cumplir una cierta propiedad, como por ejemplo, reflexividad Si R no cumple una propiedad, entonces la pregunta es: qué elementos de A A hay que agregar a R para que R cumpla la propiedad? Obviamente queremos agregar lo justo y necesario para que la propiedad se cumpla queremos la extensión mínima de la relación R Esta nueva relación es el cierre de R con respecto a la propiedad dada Cierre de Relaciones Reflexividad Formalmente: Definición: cierre de R con respecto a P Sea R una relación en A que no cumple una propiedad P. Sea S una relación tal que: 1 R S, 2 S cumple la propiedad P, y 3 si T es otra relación que cumple la propiedad P y R T, entonces S T S es el cierre de R con respecto a P A nosotros nos interesa el cierre con respecto a la reflexividad, simetría y transitividad : sea A = {1,2,3} y R = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,2)} Claramente, esta relación no es reflexiva Para cerrarla con respecto a reflexividad, debemos agregar al menos dos pares ordenados: (2,2) y (3,3) Podemos agregar mas pares ordenados a R, pero basta con estos dos para que la relación sea reflexiva Entonces, si S es el cierre reflexivo de R, S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3)} Entonces, dada R en A, el cierre reflexivo de R se forma añadiendo todos los pares de la forma (a,a), con a A, que no pertenezcan a R Definición: cierre reflexivo Sea R una relación en A, y S su cierre reflexivo. Entonces, S = R, donde = {(a,a) a A}

12 Reflexividad Simetría Cuál es el cierre reflexivo de las siguientes relaciones? 1 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a > b} = {(a,a) a Z} = {(a,b) a = b} Entonces, S = R = {(a,b) a > b} {(a,b) a = b} Por def. de unión, S = {(a,b) a > b a = b} = {(a,b) a b} 2 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a = b a = b} Lema Como a = a a = a es siempre verdadero, esta relación ya es reflexiva Así que el cierre reflexivo de R es R Si R es una relación reflexiva, entonces el cierre reflexivo de R es R : sea A = {1,2,3} y R = {(1,2),(1,3),(2,3),(3,2)} Claramente, esta relación no es simétrica Para cerrarla con respecto a simetría, debemos agregar al menos dos pares ordenados: (2,1) y (3,1) Ambos pares ordenados pertenecen a R 1, donde R 1 es la relación inversa de R (R 1 = {(b,a) (a,b) R}) Entonces, si S es el cierre simétrico de R, S = {(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} Definición: cierre simétrico Sea R una relación en A, y S su cierre simétrico. Entonces, S = R R 1, donde R 1 es la relación inversa de R Simetría Transitividad Cuál es el cierre simétrico de las siguientes relaciones? 1 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a > b} R 1 = {(b,a) (a,b) R} = {(b,a) a > b} Haciendo un cambio de variables, tenemos que R 1 = {(b,a) a > b} = {(c,a) a > c} = {(c,b) b > c} = {(a,b) b > a} Así que S = R R 1 = {(a,b) a > b} {(a,b) b > a} = {(a,b) a > b b > a} = {(a,b) a b} 2 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a + b 3} Lema Como a + b = b + a, tenemos entonces que si a + b 3 es V, entonces b + a 3 también lo es, por lo que esta relación es simétrica Así que el cierre simetrico de R es R Si R es una relación simétrica, entonces el cierre simétrico de R es R 1 2 : sea A = {1,2,3,4} y R = {(1,3),(1,4),(2,1),(3,2)} 4 3 Esta relación no es transitiva: (1,3),(3,2) R, pero (1,2) R Por la definición de transitividad, habría que agregar al menos los siguientes pares a R: T = {(1,2),(2,3),(2,4),(3,1)} Definamos R = R T... es R transitiva? No, porque (1,2),(2,1) R, pero (1,1) R Construir el cierre transitivo de R no es tan fácil como construir el cierre reflexivo o simétrico Analicemos un ejemplo mas simple

13 Transitividad Transitividad Sea A = {1,2,3,4} y R = {(1,2),(2,3),(3,4)}. R no es transitiva En este ejemplo, el camino mas largo sin ciclos entre nodos es de largo 3, dado que A = 4. Entonces, no hace falta considerar R 4, R 5... para construir el cierre transitivo de R. Faltan los arcos (1, 3) y (2, 4) (def. de transitividad) Estos son los arcos entre los nodos alcanzables en dos pasos, o sea, son elementos de R 2. Faltan mas arcos? Si: como ahora (1,2),(2,4) R, falta agregar (1,4) (1,4) R 3, o sea, agregamos arcos entre los nodos alcanzables en tres pasos Ahora R es transitiva Regla para generar el cierre transitivo de una relación: Si existe algún camino entre nodos a y b en R, entonces debemos agregar el arco (a, b) al cierre transitivo de R Caminos Cierre Transitivo Definición: camino Un camino de nodo a a b en un grafo dirigido G es una sucesión de aristas (x 0,x 1 ),(x 1,x 2 ),...(x n 1,x n ) donde n 1, x 0 = a y x n = b. Este camino se denota como x 0,x 1,...x n 1,x n, y es de largo n (numero de arcos incluidos en el camino) Hay una clara relación entre la existencia de un camino y la composición de relaciones: Teorema Sea R una relación en un conjunto A. Hay un camino de largo n, donde n 1 de a a b si, y solo si (a,b) R n. Ahora podemos definir el cierre transitivo de una relación: necesitamos agregar un arco entre cada par de nodos conectados por algún camino. Definición: relación de conexión Sea R una relación en un conjunto A. La relación de conexión R consta de los pares (a,b) tales que hay un camino en R de largo al menos 1 de a a b. Como R n esta formado por los pares (a,b) tales que hay un camino de largo n de a a b se sigue que R = Teorema R n n=1 El cierre transitivo de una relación R es la relación de conexión R Lema Si A = n y R es una relación en A, entonces el cierre transitivo de R en A es R = R R 2 R n

14 Cierre Transitivo Sea R en el conjunto de personas tal que R = {(a,b) a conoce a b} Cuál es la relación R n, para n > 1? R n consta de los pares (a,b) tales que hay personas x 1,x 2...x n 1 tal que a conoce a x 1, x 1 conoce a x 2,... y x n 1 conoce a b Cuál es la relación R? R consta de los pares (a,b) tales que existe alguna sucesión de personas tal que: 1 a conoce a la primera persona de la sucesión 2 cada persona de la sucesión conoce a la siguiente de la sucesión, 3 y la ultima persona de la sucesión conoce a b

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