Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad"

Transcripción

1 Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean A y B dos conjuntos. Una relación binaria de A en B es un subconjunto de A B. R A 1 A 2 A n es una relación n-aria Notación: arb denota que (a,b) R a Rb denota que (a,b) R : Si A = {0,1,2} y B = {a,b}, entonces un ejemplo de una relación de A en B es el conjunto {(0,a),(0,b),(1,a),(2,b)}. En este caso, 0Ra, pero 1 Rb. Ojo: Toda función es una relación, pero no toda relación es función. Relaciones en un Conjunto Propiedades de Relaciones en A Reflexividad Una relación en un conjunto A es una relación de A en A, o sea, un subconjunto de A A : si A = {1,2,3,4}, donde R A A, R = {(a,b) a divide b} entonces, R ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)} A puede ser infinito. : S Z + Z +, donde S = {(a,b) a = b} En este caso, no podemos enumerar los pares ordenados que pertenecen a S, solo podemos indicar si un par ordenado pertenece o no a la relación. Por ejemplo, (10,10) S, mientras que (2,6) S En algunas relaciones, un elemento siempre está relacionado consigo mismo. Se dice que estas relaciones son reflexivas: Definición: reflexividad Una relación R A A es reflexiva si a A,(a,a) R s: sea A = {1,2,3,4}. Cuáles de las siguientes relaciones son reflexivas? R 1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(4,1),(4,4)}... no es reflexiva, porque (2,2) R 1 R 2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}... si es reflexiva

2 Reflexividad s Propiedades de Relaciones en A Simetría y antisimetría Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son reflexivas? 1 R 1 = {(a,b) a b} Sea x Z +. Como x x (prop. básica de los números), tenemos que (x,x) R 1. Generalizando, tenemos que a Z +,(a,a) R, así que R 1 es reflexiva. 2 R 2 = {(a,b) a divide b} Muy similar a la demostración anterior, porque sabemos que dado un x cualquiera Z +, x divide a si mismo... así que R 2 es reflexiva. 3 R 3 = {(a,b) a + b 3} (1,1) R 3? Si. y (2,2)? Es fácil ver que (2,2) R 3, porque = 4, así que (2,2) R 3, por lo que R 3 no es reflexiva. En algunas relaciones, un elemento esta relacionado con un segundo elemento si, y solo si, el segundo elemento esta relacionado con el primero. Se dice que estas relaciones son simétricas: Definición: simetría Una relación R A A es simétrica si a,b A,[(a,b) R (b,a) R] Un concepto relacionado ( pero no opuesto!): Definición: antisimetría Una relación R A A es antisimétrica si a,b A,[(a,b) R (b,a) R a = b]. O de forma equivalente, a,b A,[(a,b) R a b (b,a) R] Simetría a,b A,[(a,b) R (b,a) R] antisimetría a,b A,[(a,b) R (b,a) R a = b] Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son simétricas? R 1 = {(a,b) a b} Es fácil ver que (1,2) R 1, pero que (2,1) R 1, así que claramente esta relación no es simétrica. R 2 = {(a,b) a = b} Sean x,y Z +. Si (x,y) R 2, tenemos que x = y, pero esto es lo mismo que decir y = x (conmut. de =), así que (y,x) R 2. Generalizando, tenemos que a,b Z +,[(a,b) R 2 (b,a) R 2 ], así que R 2 es simétrica. R 3 = {(a,b) a + b 3} Similar a la demo. anterior. Sabemos que x + y = y + x, así que si (x,y) R 3, o sea, x + y 3, también es verdad que y + x 3, o sea, (y,x) R 3. Por lo tanto, R 3 es simétrica. Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son antisimétricas? R 1 = {(a,b) a b} Sean x,y Z +. Si (x,y) R 1 (y,x) R 1, tenemos que x y y x. Esto solo es verdadero si x = y. Generalizando, tenemos que a,b Z +,[(a,b) R 1 (b,a) R 1 a = b], o sea, R 1 es antisimétrica. R 2 = {(a,b) a = b} De forma similar, es fácil demostrar que R 2 es antisimétrica. R 3 = {(a,b) a + b 3} Una relación no es antisimétrica si a,b A,[(a,b) R (b,a) R (a b)] (negación del ). Es fácil ver que (2,1) R 3 (1,2) R 3 1 2, así que esta relación no es antisimétrica.

3 Propiedades de Relaciones en A Transitividad Transitividad a,b,c A,([(a,b) R (b,c) R] (a,c) R) En algunas relaciones, sabemos como se relacionan dos elementos a través de un tercer elemento. Se dice que estas relaciones son transitivas: Definición: simetría Una relación R A A es transitiva si a,b,c A,([(a,b) R (b,c) R] (a,c) R) Sean R 1,R 2,R 3 Z + Z +. Cuáles de las siguientes relaciones son transitivas? R 1 = {(a,b) a b} Sean x,y,z Z +. Si (x,y) R 1 (y,z) R 1, tenemos que x y y z. Dado que es transitivo, esto significa que x z, o sea, (x,z) R 1. Generalizando, tenemos entonces que R 1 es transitiva. R 2 = {(a,b) a = b} De forma similar (transitividad de =), es fácil demostrar que R 2 es transitiva. R 3 = {(a,b) a + b 3} Sabemos que (1,2) R 3 y que (2,1) R 3. Se cumple que (1,1) R 3? Si. Ahora, dado que (2,1) R 3 y (1,2) R 3... se cumple que (2,2) R 3? No. Así que R 3 no es transitiva. Combinación de Relaciones Combinación de Relaciones s Como las relaciones de A en B son subconjuntos de A B, dos relaciones se pueden combinar de cualquier forma en que se combinan dos conjuntos: Sean A = {1,2,3} y B = {a,b,c,d}, donde R 1 = {(1,a),(2,b),(3,c)} y R 2 = {(1,a),(1,b),(1,c),(1,d)}: R 1 R 2 =? {(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,b),(3,c)} R 1 R 2 =? {(1,a)} R 1 R 2 =? {(2,b),(3,c)} R 2 R 1 =? {(1,b),(1,c),(1,d)} Sean R 1,R 2 Z + Z +, donde R 1 = {(x,y) x < y} y R 2 = {(x,y) x > y}: R 1 R 2 =? {(x,y) x < y y < x} = {(x,y) x y} R 1 R 2 =? {(x,y) x < y y < x} = {(x,y) F} = Algunas definiciones adicionales Definición: relación inversa Sea R A B, podemos definir la relación inversa R 1 = {(b,a) (a,b) R} Definición: relación complementaria Sea R A B, podemos definir la relación complemento R = {(a,b) (a,b) R}

4 Composición de Relaciones Definición: composición Sean R una relación de A en B y S una relación de B en C. La composición de R y S, denotada S R, es la relación que consiste en los pares ordenados (a,c) (con a A y c C) para los que existe un elemento b B tal que (a,b) R y (b,c) S. : sean R {1,2,3} {1,2,3,4} y S {1,2,3,4} {0,1,2} R = {(1,1),(1,4),(2,3),(3,1),(3,4)} y S = {(1,0),(2,0),(3,1),(3,2),(4,1)} S R =? (1,1) R y (1,0) S, así que (1,0) S R (3,1) R y (1,0) S, así que (3,0) S R (2,3) R y (3,1) S, así que (2,1) S R (2,3) R y (3,2) S, así que (2,2) S R... S R = {(1,0),(1,1),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)} Sea R una relación en el conjunto de las personas, tal que (x,y) R si x es padre o madre de y. Entonces, qué relación representa R R? (a,c) R R si, y solo si existe una persona b tal que (a,b) R y (b,c) R O sea, a es padre/madre de b, y b es padre/madre de c Entonces, si (a,c) R R, significa que a es abuelo/abuela de c Potencias de R Representación de Relaciones Definición: potencias de R Sea R una relación en un conjunto A. Las potencias R n (n = 1,2,3...) se definen recursivamente como R 1 = R y R n+1 = R n R : R 2 = R R, R 3 = (R R) R, etc. Teorema 1 La relación R en un conjunto A es transitiva si, y solo si, R R n, para n = 1,2,3... Podemos dibujar el gráfico de una función en el plano cartesiano, porque para cada a, existe un único valor f (a) = b En cambio, en una relación, puede haber uno o más valores asignados a a, así que no podemos graficar una relación Existen dos métodos para representar relaciones: 1 Grafos dirigidos 2 Matrices booleanas

5 Grafos Dirigidos Grafos Dirigidos Definición: grafo dirigido Un grafo dirigido consiste de un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de pares ordenados de elementos de V, llamados arcos (o aristas). Si (a,b) E, entonces a es el vértice inicial de la arista (a,b), y b es el vértice final de la arista. Sea A = {1,2,3,4}, R A A, donde R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1)} Podemos dibujar el grafo correspondiente a la relación R: 1 2 Una arista de la forma (a,a) se representa usando una arista que conecta al elemento a consigo mismo (se llama un bucle). 3 4 Propiedades de Relaciones Propiedades de Relaciones Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle Simetría: si hay un arco entre vértices a y b, debe haber un arco entre vértices b y a

6 Propiedades de Relaciones Propiedades de Relaciones Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle Reflexividad: cada vértice debe tener un bucle 1 2 % % 3 4 Simetría: si hay un arco entre vértices a y b, debe haber un arco entre vértices b y a antisimetría: si hay un arco entre vértices a y b, donde a b, no puede haber un arco entre b y a Simetría: si hay un arco entre vértices a y b, debe haber un arco entre vértices b y a antisimetría: si hay un arco entre vértices a y b, donde a b, no puede haber un arco entre b y a Conclusion: esta relacion no es reflexiva, simétrica, antisimétrica ni transitiva Transitividad: si hay un arco entre vértices a y b, y vértices b y c, entonces debe haber un arco entre a y c Matrices Booleanas Matrices Booleanas s Suponiendo una relación R A B, donde A = {a 1,a 2,...,a m } y B = {b 1,b 2,...,b n }, la relación se puede representar por medio de una matriz M R = [m ij ], donde { 1 si (a i,b j ) R m ij = 0 si (a i,b j ) R M R tiene m filas y n columnas Nota: para hacer esto, uno debe escoger un orden para A, B. Si A = B, lo usual es usar el mismo orden para las filas y las columnas. 1 Sean A = {1,2,3} y B = {1,2}, donde R A B, R = {(a,b) a > b}. M R =? M R = Si M R = , donde A = {1,2,3} y B = {a,b,c,d} (con orden obvio), entonces R =? R = {(1,a),(1,c),(2,b),(2,d),(3,a),(3,c)}

7 Propiedades de Relaciones Reflexividad Propiedades de Relaciones Simetría R A A es reflexiva sii a A,(a,a) R Entonces, si A = {a 1,a 2,...a n }, R es reflexiva sii (a i,a i ) R, para i = 1,2,...n En consecuencia, R es reflexiva sii m ii = 1, para i = 1,2,...n En otras palabras, R es reflexiva si todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 1? 1 M R =...? 1 R A A es simétrica sii a,b A,(a,b) R (b,a) R Entonces, si A = {a 1,a 2,...a n }, R es simétrica sii (a j,a i ) R siempre que (a i,a j ) R En consecuencia, R es simétrica sii (m ij = 1 m ji = 1) (m ij = 0 m ji = 0) Entonces, R es simétrica sii m ij = m ji,i j, para i,j = 1,2,...n O sea, R es simétrica sii M R = (M R ) t (traspuesta)? M R = 0? ? ? Propiedades de Relaciones antisimetría Propiedades de Relaciones Transitividad R A A es antisimétrica sii a,b A,[(a,b) R a b] (b,a) R Entonces, si A = {a 1,a 2,...a n }, R es antisimétrica sii (a i,a j ) R i j implica que (a j,a i ) R En consecuencia, R es antisimétrica sii m ij = 1 i j implica que m ji = 0 Entonces, R es antisimétrica sii m ij = 0 m ji = 0 siempre que i j No se puede hacer un análisis visual simple de una matriz booleana para determinar si una relación es transitiva? M R = 1? ? ?

8 Combinación de Relaciones Composición de Relaciones Sean R 1,R 2 A, representadas por matrices M R1 y M R2 Cómo calculamos M R1 R 2 y M R1 R 2? Sabemos que (a,b) R 1 R 2 si (a,b) R 1 (a,b) R 2 O sea, m R 1 ij = 1 m R 2 ij = 1 Entonces, M R1 R 2 = [m ij ], donde m ij = m R 1 ij m R 2 ij De la misma forma, M R1 R 2 = [m ij ], donde m ij = m R 1 ij m R 2 ij : si M R1 = y MR2 = 0 1 0, entonces M R1 R 2 = y MR1 R 2 = Sean R A B y S B C: El par (a i,c j ) S R sii b k tal que (a i,b k ) R y (b k,c j ) S Si M S R = [t ij ], M R = [r ij ] y M S = [s ij ], entonces t ij = 1 si, y solo si, r ik = s kj = 1, para algún k O sea, M S R = M R M S, donde es el producto booleano Definición: producto booleano Sean A = [a ij ] y B = [b ij ] matrices booleanas de tamaños m k y k n, respectivamente. El producto booleano de A y B, denotado A B, es la matriz de tamaño m n cuyo elemento (i,j) es c ij, donde c ij = (a i1 b 1j ) (a i2 b 2j ) (a ik b kj ) Relaciones de Equivalencia Definición: relación de equivalencia Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva Se dice que dos elementos relacionados por una relación de equivalencia son equivalentes (con respecto a la relación). Por qué? Reflexividad: cualquier elemento es equivalente a si mismo Simetría: no importa en que orden estén relacionados dos elementos... si están relacionados, son equivalentes para la relación Transitividad: si elementos a y b son equivalentes, y además b y c son equivalentes, entonces a y c son equivalentes para la relación Sea R Z Z, donde R = {(a,b) a y b tienen la misma paridad} (o sea, ambos números son pares, o ambos son impares). La relación de paridad es una relación de equivalencia: Reflexividad: como a tiene la misma paridad que si mismo, para cualquier a en Z, se sigue que R es reflexiva Simetría: si (a,b) R, significa que a y b tienen la misma paridad (ambos pares, o ambos impares). Por lo tanto, (b, a) también pertenece a R, lo que significa que R es simétrica Transitividad: supongamos que (a,b) R y (b,c) R. Como a y c tienen la misma paridad que b, significa que a y c tienen la misma paridad. Por lo tanto, (a,c) R, así que R es transitiva Para esta relación, los números pares son equivalentes entre si, y los números impares son equivalentes entre si. Además, estos dos subconjuntos son disjuntos, y su unión nos da el conjunto inicial.

9 Clases de Equivalencia Algunas Definiciones Definición: clase de equivalencia Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de todos los elementos que están relacionados con un elemento a A se llama la clase de equivalencia de a, y se denota [a] R, donde [a] R = {b A (a,b) R} Si b [a] R, de dice que b es un representante de la clase de equivalencia [a] R. : para la relación de paridad, tenemos las siguientes clases de equivalencia: Lema 1 [0] R = {..., 4, 2,0,2,4,...} = [2] R = [16] R =... [1] R = {..., 3, 1,1,3,...} = [ 3] R = [9] R =... Las clases de equivalencia son siempre no vacías (dado que las relaciones de equivalencia son reflexivas) Antes de seguir con otro ejemplo, necesitamos algunas definiciones: Teorema de la división Sean a Z y d Z +. Existen dos únicos enteros q y r (cociente y resto, respectivamente) tales que a = dq + r, donde 0 r < d q = a div d (parte entera de la división) r = a mod d (resto de la división) Definición: congruencia módulo m Si a,b Z y m Z +, entonces a es congruente con b módulo m si m divide a b, y se denota a b (mod m) (o también a m b) En otras palabras, dos números son congruentes módulo m si tienen el mismo resto con respecto a m. Si a y b no son congruentes módulo m, escribimos a b (mod m) Algunas Definiciones Teorema Sean a,b Z y m Z +. Entonces a b (mod m) si, y solo si, a mod m = b mod m s: (mod 3), dado que 10 mod 3 = 25 mod 3 = (mod 4), dado que 7 mod 4 = 3 y 10 mod 4 = 2 Pregunta: sea R Z Z, donde R = {(a,b) a b (mod m)}. Es R una relación de equivalencia? Sea R Z Z, donde R = {(a,b) a b (mod m)}. Es R una relación de equivalencia? Reflexividad: sea x Z. Como x x = 0, y 0 es divisible por m, se cumple que x x (mod m). Generalizando, tenemos que a Z,a a (mod m), o sea R es reflexiva Simetría: sean x,y Z Si (x,y) R, entonces x y (mod m) Por la def. de congruencia, tenemos que m divide x y, o sea, k Z tal que x y = km Multiplicando ambos lados por -1, obtenemos que y x = ( k)m Como k también es entero, significa que m también divide y x, así que se cumple que y x (mod m), o sea, (y,x) R Generalizando, podemos concluir que R es simétrica

10 Sea R Z Z, donde R = {(a,b) a b (mod m)}. Es R una relación de equivalencia? Transitividad: sean x,y,z Z Si (x,y) R y (y,z) R, tenemos que x y (mod m) y y z (mod m) O sea, x y y y z son divisibles por m: k Z tal que x y = km l Z tal que y z = lm Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos que x z = (k + l)m, donde (k + l) es claramente un entero, por lo que x z es divisible por m Entonces, x z (mod m), por lo que (x,z) R Generalizando, podemos concluir que R es transitiva Como R es reflexiva, simétrica y transitiva, es relación de equivalencia Cuáles son las clases de equivalencia de congruencia módulo 4? [0] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 0} = { 8, 4,0,4,8,...} [1] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 1} = { 7, 3,1,5,9,...} Como quedan elementos de Z sin clase de equivalencia, nos quedan algunas clases de equivalencia por descubrir [2] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 2} = { 6, 2,2,6,10,...}... y por ultimo... [3] 4 = {x Z tales que el resto de la división por 4 es 3} = { 5, 1,3,7,11,...} Es fácil ver que Z = [0] 4 [1] 4 [2] 4 [3] 4, y que [0] 4 [1] 4 =, [0] 4 [2] 4 =... Particiones Particiones Teorema Sea R unas relación de equivalencia en A. Entonces, para cualquier dos clases de equivalencia [a] R y [b] R se cumple que: 1 [a] R = [b] R si (a,b) R 2 [a] R [b] R = si (a,b) R Demo. (propuesto): 1 [a] R = [b] R si (a,b) R: deben demostrar que [a] R [b] R y que [b] R [a] R. Recordar que A B si x A x B 2 [a] R [b] R = si (a,b) R: demostrar por reducción al absurdo, asumir que (a,b) R y [a] R [b] R y derivar una contradicción Definición: partición La colección se subconjuntos {A i }, donde i I (un conjunto de índices) forma una partición de A sii 1) A i para todo i I 3) A i = A 2) A i A j = si i j i I Teorema Sea R una relación de equivalencia en A. Entonces, las clases de equivalencia de R forman una partición de A. Recíprocamente, dada una partición {A i i I} del conjunto A, hay una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los conjuntos A i, i I Demo. (propuesto): se puede demostrar en forma directa usando las propiedades de clases de equivalencia

11 Ejercicios Propuestos Cierre de Relaciones 1 Demostrar que si R, S son relaciones transitivas en A, entonces R S es relación transitiva 2 Demostrar que las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia: 1 R en Z, donde R = {(a,b) a + 2b es divisible por 3} 2 R en Q, donde R = {(p,q) p = a b,q = d c,(p,q) R sii ad = bc} 3 R en R, donde R = {(x,y) x + y = x + y } 3 Sea f : A A una función, y R = {(a,b) f (a) = f (b)}. Es R una relación de equivalencia? Si lo es, cómo particiona el conjunto A? Sea R una relación en A: R puede o no cumplir una cierta propiedad, como por ejemplo, reflexividad Si R no cumple una propiedad, entonces la pregunta es: qué elementos de A A hay que agregar a R para que R cumpla la propiedad? Obviamente queremos agregar lo justo y necesario para que la propiedad se cumpla queremos la extensión mínima de la relación R Esta nueva relación es el cierre de R con respecto a la propiedad dada Cierre de Relaciones Reflexividad Formalmente: Definición: cierre de R con respecto a P Sea R una relación en A que no cumple una propiedad P. Sea S una relación tal que: 1 R S, 2 S cumple la propiedad P, y 3 si T es otra relación que cumple la propiedad P y R T, entonces S T S es el cierre de R con respecto a P A nosotros nos interesa el cierre con respecto a la reflexividad, simetría y transitividad : sea A = {1,2,3} y R = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,2)} Claramente, esta relación no es reflexiva Para cerrarla con respecto a reflexividad, debemos agregar al menos dos pares ordenados: (2,2) y (3,3) Podemos agregar mas pares ordenados a R, pero basta con estos dos para que la relación sea reflexiva Entonces, si S es el cierre reflexivo de R, S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3)} Entonces, dada R en A, el cierre reflexivo de R se forma añadiendo todos los pares de la forma (a,a), con a A, que no pertenezcan a R Definición: cierre reflexivo Sea R una relación en A, y S su cierre reflexivo. Entonces, S = R, donde = {(a,a) a A}

12 Reflexividad Simetría Cuál es el cierre reflexivo de las siguientes relaciones? 1 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a > b} = {(a,a) a Z} = {(a,b) a = b} Entonces, S = R = {(a,b) a > b} {(a,b) a = b} Por def. de unión, S = {(a,b) a > b a = b} = {(a,b) a b} 2 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a = b a = b} Lema Como a = a a = a es siempre verdadero, esta relación ya es reflexiva Así que el cierre reflexivo de R es R Si R es una relación reflexiva, entonces el cierre reflexivo de R es R : sea A = {1,2,3} y R = {(1,2),(1,3),(2,3),(3,2)} Claramente, esta relación no es simétrica Para cerrarla con respecto a simetría, debemos agregar al menos dos pares ordenados: (2,1) y (3,1) Ambos pares ordenados pertenecen a R 1, donde R 1 es la relación inversa de R (R 1 = {(b,a) (a,b) R}) Entonces, si S es el cierre simétrico de R, S = {(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} Definición: cierre simétrico Sea R una relación en A, y S su cierre simétrico. Entonces, S = R R 1, donde R 1 es la relación inversa de R Simetría Transitividad Cuál es el cierre simétrico de las siguientes relaciones? 1 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a > b} R 1 = {(b,a) (a,b) R} = {(b,a) a > b} Haciendo un cambio de variables, tenemos que R 1 = {(b,a) a > b} = {(c,a) a > c} = {(c,b) b > c} = {(a,b) b > a} Así que S = R R 1 = {(a,b) a > b} {(a,b) b > a} = {(a,b) a > b b > a} = {(a,b) a b} 2 Sea R en Z, donde R = {(a,b) a + b 3} Lema Como a + b = b + a, tenemos entonces que si a + b 3 es V, entonces b + a 3 también lo es, por lo que esta relación es simétrica Así que el cierre simetrico de R es R Si R es una relación simétrica, entonces el cierre simétrico de R es R 1 2 : sea A = {1,2,3,4} y R = {(1,3),(1,4),(2,1),(3,2)} 4 3 Esta relación no es transitiva: (1,3),(3,2) R, pero (1,2) R Por la definición de transitividad, habría que agregar al menos los siguientes pares a R: T = {(1,2),(2,3),(2,4),(3,1)} Definamos R = R T... es R transitiva? No, porque (1,2),(2,1) R, pero (1,1) R Construir el cierre transitivo de R no es tan fácil como construir el cierre reflexivo o simétrico Analicemos un ejemplo mas simple

13 Transitividad Transitividad Sea A = {1,2,3,4} y R = {(1,2),(2,3),(3,4)}. R no es transitiva En este ejemplo, el camino mas largo sin ciclos entre nodos es de largo 3, dado que A = 4. Entonces, no hace falta considerar R 4, R 5... para construir el cierre transitivo de R. Faltan los arcos (1, 3) y (2, 4) (def. de transitividad) Estos son los arcos entre los nodos alcanzables en dos pasos, o sea, son elementos de R 2. Faltan mas arcos? Si: como ahora (1,2),(2,4) R, falta agregar (1,4) (1,4) R 3, o sea, agregamos arcos entre los nodos alcanzables en tres pasos Ahora R es transitiva Regla para generar el cierre transitivo de una relación: Si existe algún camino entre nodos a y b en R, entonces debemos agregar el arco (a, b) al cierre transitivo de R Caminos Cierre Transitivo Definición: camino Un camino de nodo a a b en un grafo dirigido G es una sucesión de aristas (x 0,x 1 ),(x 1,x 2 ),...(x n 1,x n ) donde n 1, x 0 = a y x n = b. Este camino se denota como x 0,x 1,...x n 1,x n, y es de largo n (numero de arcos incluidos en el camino) Hay una clara relación entre la existencia de un camino y la composición de relaciones: Teorema Sea R una relación en un conjunto A. Hay un camino de largo n, donde n 1 de a a b si, y solo si (a,b) R n. Ahora podemos definir el cierre transitivo de una relación: necesitamos agregar un arco entre cada par de nodos conectados por algún camino. Definición: relación de conexión Sea R una relación en un conjunto A. La relación de conexión R consta de los pares (a,b) tales que hay un camino en R de largo al menos 1 de a a b. Como R n esta formado por los pares (a,b) tales que hay un camino de largo n de a a b se sigue que R = Teorema R n n=1 El cierre transitivo de una relación R es la relación de conexión R Lema Si A = n y R es una relación en A, entonces el cierre transitivo de R en A es R = R R 2 R n

14 Cierre Transitivo Sea R en el conjunto de personas tal que R = {(a,b) a conoce a b} Cuál es la relación R n, para n > 1? R n consta de los pares (a,b) tales que hay personas x 1,x 2...x n 1 tal que a conoce a x 1, x 1 conoce a x 2,... y x n 1 conoce a b Cuál es la relación R? R consta de los pares (a,b) tales que existe alguna sucesión de personas tal que: 1 a conoce a la primera persona de la sucesión 2 cada persona de la sucesión conoce a la siguiente de la sucesión, 3 y la ultima persona de la sucesión conoce a b

PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS

PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un

Más detalles

Matemáticas Discretas TC1003

Matemáticas Discretas TC1003 Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p.

Más detalles

Conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por. a R. se entiende que a pertenece a R.

Conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por. a R. se entiende que a pertenece a R. Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por se entiende que a pertenece a R. a R Normalmente, podremos definir a un conjunto de dos maneras: Por

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 8 Relaciones de Equivalencia

Más detalles

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también

Más detalles

Una manera de describir un conjunto es por extensión y consiste en enumerar sus elementos entre llaves

Una manera de describir un conjunto es por extensión y consiste en enumerar sus elementos entre llaves CONJUNTOS: DEFINICIÓN Y CARDINAL DE UN CONJUNTO : Un conjunto es una colección bien definida de objetos en la que el orden es irrelevante. Dichos objetos pueden ser reales o conceptuales y se llaman elementos

Más detalles

Capítulo 6. Relaciones. Continuar

Capítulo 6. Relaciones. Continuar Capítulo 6. Relaciones Continuar Introducción Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en base de datos,

Más detalles

Matemáticas Discretas

Matemáticas Discretas Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas Cursos Propedéuticos 2011 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Enrique Muñoz de Cote jemc@inaoep.mx http://ccc.inaoep.mx/~jemc Oficina

Más detalles

Conjuntos y relaciones

Conjuntos y relaciones Conjuntos y relaciones Introducción Propiedades de las relaciones Sobre un conjunto Reflexivas Simétricas y transitivas Cerradura Relaciones de equivalencia Órdenes parciales Diagramas de Hasse Introducción

Más detalles

ÁLGEBRA I. Curso Grado en Matemáticas

ÁLGEBRA I. Curso Grado en Matemáticas ÁLGEBRA I. Curso 2012-13 Grado en Matemáticas Relación 1: Lógica Proposicional y Teoría de Conjuntos 1. Establecer las siguientes tautologías: (a) A A A (b) A A A (c) A B B A (d) A B B A (e) (A B) C A

Más detalles

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1 Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que

Más detalles

1. Conjuntos y funciones

1. Conjuntos y funciones Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Introducción a la Topología Curso 2016 PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1 1. Conjuntos y funciones Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es

Más detalles

Resumen de las clases teóricas del turno tarde a cargo de la Prof. Alcón.

Resumen de las clases teóricas del turno tarde a cargo de la Prof. Alcón. Resumen de las clases teóricas del turno tarde a cargo de la Prof. Alcón. 0.1. Definiciones básicas: subconjunto, conjunto vacío, complemento, conjunto de partes A lo largo de esta sección consideraremos

Más detalles

Inducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones

Inducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones UNSL Repaso de Inducción, y Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1)

Más detalles

Capítulo 4: Conjuntos

Capítulo 4: Conjuntos Capítulo 4: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de

Más detalles

CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS

CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS INTRODUCCIÓN Intuitivamente, un conjunto es una

Más detalles

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la

Más detalles

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas

Más detalles

MATEMATICAS DISCRETAS

MATEMATICAS DISCRETAS MTEMTICS DISCRETS Propiedad reflexiva Sea R una relación binaria R en, ( ). Definición: Diremos que R es reflexiva si a, a R a Ejemplo: 1) En N la relación R definida por: x R y x divide a y es reflexiva

Más detalles

Semana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones

Semana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones Semana05[1/14] 28 de marzo de 2007 Introducción Semana05[2/14] Ya en los capítulos anteriores nos acercamos al concepto de relación. Relación Dados un par de conjuntos no vacíos A y B, llamaremos relación

Más detalles

Conjuntos. Relaciones. Aplicaciones

Conjuntos. Relaciones. Aplicaciones Conjuntos. Relaciones. Aplicaciones Conjuntos 1. Considera el subconjunto A de números naturales formado por los múltiplos de 4 y el conjunto B N de los números que terminan en 4. Comprueba que A B y B

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Matemáticas Discretas TC1003

Matemáticas Discretas TC1003 Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p.

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS.

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1 La lógica es

Más detalles

Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009

Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009 Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 009 Comisión Académica 1 Nivel Menor Problema 1. Considere un triángulo cuyos lados miden 1, r y r. Determine

Más detalles

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS A. 1 Conjuntos. A. TEORÍA DE CONJUNTOS. Un conjunto

Más detalles

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:

Más detalles

TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN

TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN 1 TEMA 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN 1. INTRODUCCIÓN Los números naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre para contar. Para poder construir este conjunto N, podemos seguir

Más detalles

Menor, cofactor y comatriz

Menor, cofactor y comatriz Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,

Más detalles

Seminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja 6

Seminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja 6 Seminario de problemas-bachillerato. Curso 2012-13. Hoja 6 37. Dada una cuerda AB de una circunferencia de radio 1 y centro O, se considera la circunferencia γ de diámetro AB. Sea P es el punto de γ más

Más detalles

1. Conjuntos y funciones

1. Conjuntos y funciones PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1. Conjuntos y funciones Es útil saber de memoria las siguientes propiedades de conjuntos y funciones. Tanto como saber las tablas. Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es un conjunto

Más detalles

Indice. 1. Tipos de grafos. 2. Conceptos Básicos 3. Representación de grafos 4. Subgrafos. Grafos complementarios

Indice. 1. Tipos de grafos. 2. Conceptos Básicos 3. Representación de grafos 4. Subgrafos. Grafos complementarios Teoría de Grafos 1 1. Tipos de grafos Indice 2. Conceptos Básicos 3. Representación de grafos 4. Subgrafos. Grafos complementarios 5. Caminos y conectividad 6. Grafos Bipartitos 2 Tipos de Grafos Un grafo

Más detalles

Contenido. BLOQUE I: PRELIMINARES Tema 2 ALGUNAS NOCIONES DE TEORÍA DE CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES Lógica Grado en Ingeniería Informática

Contenido. BLOQUE I: PRELIMINARES Tema 2 ALGUNAS NOCIONES DE TEORÍA DE CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES Lógica Grado en Ingeniería Informática Contenido BLOQUE I: PRELIMINARES Tema 2 ALGUNAS NOCIONES DE TEORÍA DE CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES Lógica Grado en Ingeniería Informática Alessandra Gallinari URJC Nociones de teoría de conjuntos

Más detalles

Semana 4: Relaciones de equivalencia

Semana 4: Relaciones de equivalencia Semana 4: Relaciones de equivalencia 1. Una clasificación primaria Comenzaremos con una lista de propiedades que una relación sobre un conjunto puede satisfacer y que son relevantes en muchas aplicaciones

Más detalles

Relaciones binarias. Matemática discreta. Matemática discreta. Relaciones binarias

Relaciones binarias. Matemática discreta. Matemática discreta. Relaciones binarias Relaciones binarias Matemática discreta 1 Relación binaria en A Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB Dados a A y b B, a está relacionado con b por R si (a,b)

Más detalles

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas

Más detalles

Centro Asociado Palma de Mallorca. Tutor: Antonio Rivero Cuesta

Centro Asociado Palma de Mallorca. Tutor: Antonio Rivero Cuesta Centro Asociado Palma de Mallorca Lógica y Estructuras Discretas Tutor: Antonio Rivero Cuesta Tema 5 Teoría de Grafos Conceptos Básicos Un grafo consta de: Grafo Un conjunto de nodos, Un conjunto de aristas

Más detalles

1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS.

1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. UNIDAD 1.- CONCEPTOS REQUERIDOS CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN. 1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. 1.1 Determinaciones de un conjunto. Un conjunto queda determinado

Más detalles

Teoría elemental de números

Teoría elemental de números Teoría elemental de números Matemática discreta 1 Resultados previos Axioma: todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo, con el orden usual en N. Toda sucesión decreciente en N converge. 2 Divisibilidad

Más detalles

Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica

Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 1: Fundamentos:

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar

Más detalles

RESUMEN DE GEOMETRIA EUCLIDIANA. Profesor: Manuel J. Salazar Jiménez. Relaciones no definidas: pertenecer a, estar entre, congruente a, equidistar

RESUMEN DE GEOMETRIA EUCLIDIANA. Profesor: Manuel J. Salazar Jiménez. Relaciones no definidas: pertenecer a, estar entre, congruente a, equidistar RESUMEN DE GEOMETRIA EUCLIDIANA Profesor: Manuel J. Salazar Jiménez Nociones no definidas o nociones primitivas: Punto, recta, plano, espacio, distancia. Relaciones no definidas: pertenecer a, estar entre,

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.

Más detalles

Relaciones de orden. Definición 1. Llamamos conjunto ordenado a un par (E, ) donde E es un conjunto y es un orden definido en E

Relaciones de orden. Definición 1. Llamamos conjunto ordenado a un par (E, ) donde E es un conjunto y es un orden definido en E Relaciones de orden Diremos que una relación R es de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Generalmente usaremos la notación en lugar de R para expresar relaciones de

Más detalles

PRELIMINARES. En este capítulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones necesarias para la compresión de la asignatura.

PRELIMINARES. En este capítulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones necesarias para la compresión de la asignatura. 1 PRELIMINARES 1. CONJUNTOS En este capítulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones necesarias para la compresión de la asignatura. 1.1 Def:. Se define un conjunto como una colección de objetos.

Más detalles

Lección No.4: Relación de equivalencia

Lección No.4: Relación de equivalencia Sol: B-A1, c, (A B) c 3, e y (A B) c 1, c, 3, d, 4, e,5 Ejercicio 2: Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A 3,7,9, B 1,3,4,5 y C 1, 5,8 encontrar (A B) (BC) -A y C c Sol: A B BC -A1,5} y C c = {2,3,4,6,7,9}. Lección

Más detalles

Grafos. Suponiendo que e = [u, v]. Entonces los nodos u y v se llaman extremos de e y u y v se dice que son nodos adyacentes o vecinos.

Grafos. Suponiendo que e = [u, v]. Entonces los nodos u y v se llaman extremos de e y u y v se dice que son nodos adyacentes o vecinos. Grafos Los grafos son estructuras que constan de vértices o nodos y de aristas o arcos que conectan los vértices entre sí. Un grafo G consiste en dos cosas: 1. Un conjunto V de elementos llamados nodos

Más detalles

5 RELACIONES DEFINICION

5 RELACIONES DEFINICION 5 RELACIONES 5.. Conjuntos parcialmente ordenados Las relaciones transitivas antisimétricas conducen a los órdenes parciales. De hecho, existen dos tipos de órdenes parciales, según indicamos mediante

Más detalles

TEMA 5 El tipo grafo. Tipo grafo

TEMA 5 El tipo grafo. Tipo grafo TEMA 5 El tipo grafo PROGRAMACIÓN Y ESTRUCTURAS DE DATOS Tipo grafo 1. Concepto de grafo y terminología 2. Especificación algebraica. Representación de grafos.1. Recorrido en profundidad o DFS.2. Recorrido

Más detalles

Introducción a la Matemática Discreta

Introducción a la Matemática Discreta Introducción a la Matemática Discreta Aritmética Entera Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 36 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema

Más detalles

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ... TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos

Más detalles

Matrices y Determinantes.

Matrices y Determinantes. Tema II Capítulo 1 Matrices Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC Tema II Matrices y Determinantes 1 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de

Más detalles

Grafos. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Grafos 1 / 30

Grafos. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Grafos 1 / 30 Grafos AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Grafos / 0 Objetivos Al finalizar este tema tendréis que: Conocer la terminología básica de la teoría de grafos. Pasar

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

Definición de la matriz inversa

Definición de la matriz inversa Definición de la matriz inversa Objetivos Aprender la definición de la matriz inversa Requisitos Multiplicación de matrices, habilidades básicas de resolver sistemas de ecuaciones Ejemplo El número real

Más detalles

. 1 TEORIA DE NUMEROS. Tema: ARITMETICA MODULAR. (Apuntes de apoyo a clases teóricas) Tiempo de exposición: 2hs

. 1 TEORIA DE NUMEROS. Tema: ARITMETICA MODULAR. (Apuntes de apoyo a clases teóricas) Tiempo de exposición: 2hs . 1 TEORIA DE NUMEROS Tema: ARITMETICA MODULAR (Apuntes de apoyo a clases teóricas) Tiempo de exposición: 2hs Bibliografía: 2 1. T. Hibbard. Apuntes de Cátedra. Año 2000. 2. J. Yazlle. Apuntes de Cátedra:

Más detalles

Análisis Matemático I: Numeros Reales y Complejos

Análisis Matemático I: Numeros Reales y Complejos Contents : Numeros Reales y Complejos Universidad de Murcia Curso 2008-2009 Contents 1 Definición axiomática de R Objetivos Definición axiomática de R Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente.

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

Estructuras Discretas. Teoremas. Técnicas de demostración. Reglas de Inferencia. Reglas de Inferencia Ley de Combinación.

Estructuras Discretas. Teoremas. Técnicas de demostración. Reglas de Inferencia. Reglas de Inferencia Ley de Combinación. Estructuras Discretas Teoremas Técnicas de demostración Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 15 Definición: teorema

Más detalles

Teoría de grafos y optimización en redes

Teoría de grafos y optimización en redes Teoría de grafos y optimización en redes José María Ferrer Caja Universidad Pontificia Comillas Definiciones básicas Grafo: Conjunto de nodos (o vértices) unidos por aristas G = (V,E) Ejemplo V = {,,,,

Más detalles

Este material es de uso exclusivo para clase de algoritmos y estructura de datos, la información de este documento fue tomada textualmente de varios

Este material es de uso exclusivo para clase de algoritmos y estructura de datos, la información de este documento fue tomada textualmente de varios CLASE GRAFOS Este material es de uso exclusivo para clase de algoritmos y estructura de datos, la información de este documento fue tomada textualmente de varios libros por lo que está prohibida su impresión

Más detalles

Un grafo G = (V, E) se dice finito si V es un conjunto finito.

Un grafo G = (V, E) se dice finito si V es un conjunto finito. 1 Grafos: Primeras definiciones Definición 1.1 Un grafo G se define como un par (V, E), donde V es un conjunto cuyos elementos son denominados vértices o nodos y E es un subconjunto de pares no ordenados

Más detalles

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago Guía de vectores. Vectores En matemática, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo

Más detalles

Semana02[1/23] Conjuntos. 9 de marzo de Conjuntos

Semana02[1/23] Conjuntos. 9 de marzo de Conjuntos Semana02[1/23] 9 de marzo de 2007 Introducción Semana02[2/23] La teoría de conjuntos gira en torno a la función proposicional x A. Los valores que hacen verdadera la función proposicional x A son aquellos

Más detalles

AB CD. (Ver Figura 30). Figura 30

AB CD. (Ver Figura 30). Figura 30 3.2 GRUPO III. AXIOMAS DE CONGRUENCIA. III.1 Axioma de la construcción del segmento. Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen C. Entonces existe en CE un único punto D tal que Figura

Más detalles

TEMA IV TEORÍA DE GRAFOS

TEMA IV TEORÍA DE GRAFOS TEMA IV TEORÍA DE GRAFOS Poli Abascal Fuentes TEMA IV Teoría de grafos p. 1/? TEMA IV 4. TEORÍA DE GRAFOS 4.1 GRAFOS 4.1.1 Introducción 4.1.2 Definiciones básicas 4.1.3 Caminos y recorridos 4.1.4 Subgrafos,

Más detalles

Grafos. Algoritmos y Estructuras de Datos III

Grafos. Algoritmos y Estructuras de Datos III Grafos Algoritmos y Estructuras de Datos III Grafos Un grafo G = (V, X ) es un par de conjuntos, donde V es un conjunto de puntos o nodos o vértices y X es un subconjunto del conjunto de pares no ordenados

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1

ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1 ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1 Correspondencias y aplicaciones (Curso 2007 2008) 1. Dadas las siguientes correspondencias, determinar sus conjuntos origen, imagen, decidir si no son aplicaciones

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones

Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 6 Relaciones Contenido 6.1 Generalidades.....................................

Más detalles

x-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por

x-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y

Más detalles

RELACIONES Y FUNCIONES. M.C. Mireya Tovar Vidal

RELACIONES Y FUNCIONES. M.C. Mireya Tovar Vidal RELACIONES Y FUNCIONES M.C. Mireya Tovar Vidal IDEA INTUITIVA DE RELACIÓN Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones

Más detalles

Una curva del plano correspondiente a la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical intercepta a la curva más de una vez

Una curva del plano correspondiente a la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical intercepta a la curva más de una vez Función Una función f de un conjunto D a un conjunto E, es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de D un elemento único y de E. Características de las funciones Dominio de una función:

Más detalles

1. Números reales. Análisis de Variable Real

1. Números reales. Análisis de Variable Real 1. Números reales Análisis de Variable Real 2014 2015 Índice 1. Sistemas numéricos 2 1.1. Números naturales. Principio de Inducción... 2 1.2. Números enteros... 4 1.3. Números racionales... 6 2. Los números

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. Parte 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. Parte 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Parte 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Una estructura algebraica es una n-tupla (a 1,a 2,...,a n ), donde a 1 es un conjunto dado no vacío, y {a 2,...,a n } un conjunto de operaciones

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- V V V V F F F V F F F V

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- V V V V F F F V F F F V Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Tablas de Verdad: p q p q p p V V V V F V F F F V F V F F F F p q p q V V V V F V F V V F F F p q p q V V V V F F F V V F F V p q p q

Más detalles

Álgebra y Matemática Discreta

Álgebra y Matemática Discreta Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teoría 5 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 30 Sep 2013-6 Oct 2013 Primeras Definiciones Grafo Un grafo está definido por dos conjuntos, un

Más detalles

Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2015/16

Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2015/16 Ejercicios de Álgebra Básica Curso 2015/16 Tema 2: Introducción a la teoría de grupos Propiedades El grupo de las permutaciones Ejercicio 1 Probar que Z con la operación a b = a+b+1 es un grupo Ejercicio

Más detalles

Cuerpo de Fracciones de un Anillo Íntegro

Cuerpo de Fracciones de un Anillo Íntegro Cuerpo de Fracciones de un Anillo Íntegro René A Hernández Toledo 1997 * Cuando se desarrollan los sistemas numéricos a partir los conjuntos, primeramente se construyen los números naturales. A partir

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2

Más detalles

TEORÍA DE CONJUNTOS GUIDO URDANETA, SALVADOR PINTOS Y DANIEL FINOL

TEORÍA DE CONJUNTOS GUIDO URDANETA, SALVADOR PINTOS Y DANIEL FINOL TEORÍA DE CONJUNTOS GUIDO URDANETA, SALVADOR PINTOS Y DANIEL FINOL Revisado por: Suheiry Luzardo, Gustavo Meza, Luis Montiel, Adin Rangel, Jaime Soto y Claudia Vielma ÍNDICE 1. Introducción a la Lógica

Más detalles

Matemática I C.F.E. I.N.E.T. Profesorado de Informática Conjuntos

Matemática I C.F.E. I.N.E.T. Profesorado de Informática Conjuntos Conjuntos Conceptos primitivos: CONJUNTO, ELEMENTO, PERTENECE. Pertenecer- Elemento Sea el conjunto de los ríos del Uruguay. El Río Negro es un río del Uruguay. Entonces, este río es un elemento del conjunto

Más detalles

Estructuras algebraicas. Departamento de Álgebra. Apuntes de teoría

Estructuras algebraicas. Departamento de Álgebra.  Apuntes de teoría ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 2015/2016 Apuntes de teoría Tema 1: Grupos y subgrupos. 1.1. Introducción Definición 1.1. Un grupo es un par (G, ), donde G es un conjunto no vacío,

Más detalles

INDICE INTRODUCCION1 DESARROLLO2 GRAFOS (CONCEPTO).2 ARISTAS...2 VERTICES2 CAMINOS.3 CLASIFICACION DE GRAFOS...3 GRAFOS EULERIANOS.

INDICE INTRODUCCION1 DESARROLLO2 GRAFOS (CONCEPTO).2 ARISTAS...2 VERTICES2 CAMINOS.3 CLASIFICACION DE GRAFOS...3 GRAFOS EULERIANOS. INDICE INTRODUCCION1 DESARROLLO2 GRAFOS (CONCEPTO).2 ARISTAS...2 VERTICES2 CAMINOS.3 CLASIFICACION DE GRAFOS...3 GRAFOS EULERIANOS.7 GRAFOS CONEXOS7 ÁRBOLES..7 BOSQUES DE ÁRBOLES...8 RECORRIDO DE UN GRAFO..8

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

Anillos. a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que. a + 0 = 0 + a = a para todo a en R.

Anillos. a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que. a + 0 = 0 + a = a para todo a en R. Capítulo 7 Anillos 7.1 Definiciones Básicas El concepto de Anillo se obtiene como una generalización de los números enteros, en donde están definidas un par de operaciones, la suma y el producto, relacionadas

Más detalles

Teoría de la Computación Lenguajes Regulares (LR) - Propiedades

Teoría de la Computación Lenguajes Regulares (LR) - Propiedades Teoría de la Computación Lenguajes Regulares (LR) - Propiedades Prof. Hilda Y. Contreras Departamento de Computación hyelitza@ula.ve http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/hyelitza Objetivo Lenguajes

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

A = , B = 2 2. a 11 a 1n a 21 a 2n A = a m1 a mn

A = , B = 2 2. a 11 a 1n a 21 a 2n A = a m1 a mn Máster en Materiales y Sistemas Sensores para Tecnologías Medioambientales Erasmus Mundus NOTAS DE CÁLCULO NUMÉRICO Damián Ginestar Peiró ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEL DISEÑO UNIVERSIDAD POLITÉCNICA

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones

Más detalles

SEGMENTO Y PUNTO MEDIO.

SEGMENTO Y PUNTO MEDIO. SEGMENTO Y PUNTO MEDIO. Generalmente necesitas encontrar la mitad de una hoja, la mitad de una línea recta, la mitad de una figura, por lo que necesitas de algunos métodos que te faciliten determinar el

Más detalles

Vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. TEMA 9: GEOMETRIA ANALÍTICA VECTORES EN EL PLANO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B, (X, y), las

Más detalles

Matrices y sistemas lineales

Matrices y sistemas lineales 15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. a = qm + r

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. a = qm + r AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS CONGRUENCIAS DE ENTEROS. Dado un número natural m N\{0} sabemos (por el Teorema del Resto) que para cualquier entero a Z existe un único resto r de modo que con a = qm + r r {0,

Más detalles

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para : UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA6 abril-julio de 29 I / Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 2 y 23 de abril de 29. Tema : Matrices. Operaciones con matrices. Ejemplos. Operaciones elementales

Más detalles

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos: TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,

Más detalles

1. Matrices. Operaciones con matrices

1. Matrices. Operaciones con matrices REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se

Más detalles

Matrices. Álgebra de matrices.

Matrices. Álgebra de matrices. Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,

Más detalles