Microeconomía Avanzada Notas de Clase 1

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1 DOCUMENTO CEDE ISSN SEPTIEMBRE DE 2004 CEDE Microeconomía Avanzada Notas de Clase 1 Rocío Ribero 2 y Ricardo Bernal 3 Resumen El presente documento recoge las notas de clase del curso de Microeconomía Avanzada del Postgrado en Economía de la Universidad de los Andes dictado por Rocío Ribero durante varios semestres. Se basa en las notas de clase del curso de Microeconomía doctoral que dictaba Yaw Nyarko en New York University circa 1993, las cuales se han venido puliendo y reorganizando con el tiempo. Se compone de tres partes: la primera acerca de la teoría clásica del consumidor, la segunda sobre la teoría clásica de la firma y la tecera sobre desarrollos más recientes en los temas de la economía de la información y la incertidumbre. A lo largo del texto se plantean una serie de ejercicios aclaratorios, y al final de cada capítulo se incluyen otros ejercicios adicionales. Este documento no contiene desarrollos originales, que no estén ya planteados o desarrollados en los libros referenciados al final. Solamente pretende ser una ayuda para que el lector pueda enfrentarse a los textos de Microeconomía avanzada con mayor seguridad y una guía para los actuales estudiantes del curso. Esperamos que ellos lo encuentren de utilidad, y comprendan que todos los errores que seguramente seguirán encontrando por ahí, son muy probablemente nuestros, no de Varian ni de Mas Colell. Palabras clave: Consumidor, productor, optimización, incertidumbre Clasificación JEL: A23 1 Deseamos agradecer a todas las personas que de una forma u otra colaboraron con esta publicación, muy especialmente a Norman Offstein. Jorge Alexander Bonilla y Edson Apaza colaboraron en versiones anteriores de estas notas de clase. Adicionalmente, agradecemos a la Facultad de Economía y el Centro de Estudios de Desarrollo Económico CEDE de la Universidad de los Andes por la financiación parcial del tiempo de Ricardo para la edición de estas notas. 2 Profesora Asociada Facultad de Economía Universidad de los Andes 3 Estudiante Postgrado en Economía, Universidad de los Andes

2 ii Abstract This document is a collection of the notes from the Advanced Microeconomics course in the economics master s program at the Universidad de los Andes, taught by Rocío Ribero during various semesters. The notes were originally based on the doctoral microeconomics course at New York University taught by Yaw Nyarko around 1993, which have been modified and reorganized with time. Three areas of microeconomics are presented: first the classic consumer theory, second the classic firm theory, and third more recent developments in economics of information and uncertainty. Throughout the text a series of exercises are included to help clarify examples, and each chapter concludes with additional exercises. This document does not contain material that has not already been included in the referenced texts. It only attempts to serve as a complement for readers working with advanced microeconomics texts and an aid for students in the advanced microeconomics course. We hope that they find the notes useful, and understand that any errors that they find are most likely ours, and not those of Varian or Mas Colell. Key words: Consumer, producer, optimization, uncertainty JEL classification: A23

3 Tabla de Contenido I TEORÍA DEL CONSUMIDOR 1 1 Preferencias 3 2 Los Problemas del Consumidor 15 II TEORÍA DE LA FIRMA 45 3 Tecnología 47 4 Los Problemas de la Firma 57 III TEORÍA DE LA INFORMACIÓN 71 5 Decisiones bajo Incertidumbre 73 6 Información Asimétrica 83 iii

4 iv TABLA DE CONTENIDO

5 Parte I TEORÍA DEL CONSUMIDOR 1

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7 Capítulo 1 Preferencias La teoría del consumidor se sustenta en el concepto de preferencias y en el supuesto de racionalidad de los individuos. Así un consumidor, considerado un agente racional escoge entre varias cestas o canastas de bienes que puede elegir. En esta sección se presentan las propiedades deseables de las relaciones de preferencias, incluyendo la racionalidad. Racionalidad del Individuo Sea X el conjunto de opciones que tiene el individuo. Las preferencias del consumidor se pueden resumir en una relación binaria sobre el conjunto X. Una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano X X ( X X). Por ejemplo sea X = {a, b, c}, luego el producto cartesiano X X es: X X = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}. Una relación puede ser por ejemplo: ( ) = {(a, a), (a, b), (c, c)}, donde es un subconjunto del producto cartesiano X X, y puede interpretarse como a a, a b y c c. Propiedades de las relaciones binarias: 1) Reflexividad Una relación binaria ( ) definida sobre un conjunto X es reflexiva si x X, x x. Ej: Sea X = {a, b, c} y sea ( ) = {(a, a), (b, c)} no es reflexiva porque faltan las parejas (b, b) y (c, c). 2) Completitud Una relación binaria ( ) es completa si x, y X, x y y x. Ej: Sea X = {a, b, c} y sea ( ) = {(a, a), (b, c), (b, b), (a, c), (c, c)}. Esta relación no es completa porque falta la pareja (a, b) ó la pareja (b, a). 3

8 4 CAPÍTULO 1. PREFERENCIAS 3) Transitividad Una relación binaria ( ) es transitiva si x, y, z X, x y y z x z. Ej: Sea X = {a, b, c} y sea = {(a, a), (c, b), (a, b), (c, a)}, esta relación es transitiva porque c a a b c b. Definición 1.1 Una relación binaria sobre X es racional si y solamente si es reflexiva, completa y transitiva. Sea ( ) una relación de preferencias sobre X. Esto significa que si x y x es al menos tan bueno como y ó x es preferido o indiferente a la cesta y. Con base en x y se definen las relaciones de preferencia estricta y la relación de indiferencia como: x y x es mejor que y ó x es estrictamente preferible a la cesta y, es decir x y pero y x; x y x es indiferente a y, es decir x y y x. Definición 1.2 Dada una relación de preferencias, se definen los contornos de la relación de preferencias como: Contorno superior (CS) de una cesta (x) = {y X/y x} Contorno inferior (CInf) de una cesta (z) = {y X/z y} Ej: Sea X = {a, b, c} y sea ( ) = {(a, a), (c, b), (a, b), (c, a)} CS(c) = {}. CInf(c) = {a, b}. Definición 1.3 Una relación de preferencias definida sobre un conjunto X es continua si satisface las siguientes dos condiciones: (1) x X, CS(x) es un conjunto cerrado. (2) x X, CInf(x) es un conjunto cerrado. La relación de preferencias es semicontinua superior cuando se cumple (1) y semicontinua inferior si se cumple (2). Cuando satisface (1) y (2) es continua. Decir que una relación de preferencias es continua es equivalente a decir que: (1) z X, {y X/y x}, y, (2) z X, {y X/z y} son conjuntos abiertos.

9 5 Ejemplo 1.1 Consideremos la siguiente relación binaria definida sobre R 2 +: ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) sii ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ). Verificar las propiedades de las relaciones binarias enunciadas anteriormente y graficar CS(3, 5) y CInf(2, 4). (Se debe recordar que: x, y R n, x y sii x i y i, i x > y sii x i y i, i y j/ x j > y j x >> y si x i > y i, i Por ejemplo: (1, 2, 4, 7) (1, 2, 4, 7) (1, 3, 4, 7) > (1, 2, 4, 7) (1, 2, 4, 7) >> ( 1 2, 1, 3, 6) ) Veamos cuáles de las propiedades de la relación de preferencias se cumplen. 1) Reflexiva? ( ) es reflexiva pues (x 1, x 2 ) R 2 +, (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) porque (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ),ya que x 1 x 1 x 2 x 2. Esto quiere decir que cualquier cesta es mayor o igual que sí misma. 2) Completa? ( ) no es completa. Gráfico 1.1: Cestas que se pueden comparar Contra ejemplo: (2, 4), (4, 2) R 2 + (2, 4) (4, 2) (4, 2) (2, 4) porque: (2, 4) (4, 2) (2, 4) (4, 2).

10 6 CAPÍTULO 1. PREFERENCIAS Las cestas que pertenecen a las regiones A y B se pueden comparar con (3, 5). Aquellas cestas en las regiones C y D no permiten comparación con (3, 5). 3) Transitiva? Sean x, y, z R 2 +, supóngase que x y y y z luego (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), x 1 y 1, y 1 z 1 x 1 z 1 ; por propiedades de los números reales, y x 2 y 2, y 2 z 2 x 2 z 2 ; por propiedades de los números reales (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) x z, por lo tanto la relación binaria es transitiva. 4) Continua? Se analizan los contornos superiores e inferiores para las cestas dadas en el enunciado. A continuación se grafican CS(3, 5) y CInf(2, 4): Gráfico 1.2: Contorno inferior y superior El CS incluye el borde. Por ejemplo, (5, 5) (3, 5). De esta manera el CS es un conjunto cerrado. Igualmente, (2, 2) (2, 4), por lo tanto el CInf incluye los bordes y también es un conjunto cerrado. Dado que CS y CInf son conjuntos cerrados la relación binaria es continua. Ejemplo 1.2 Considérese la siguiente relación de preferencias ( ) sobre R 2 +: ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) sii x 1 + x 2 y 1 + y 2. Determinar cuáles de las propiedades de ( ) se cumplen y y gráficar CS(3, 1) y CInf(3, 1).

11 7 1) Reflexiva? ( ) es reflexiva pues ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) porque x 1 + x 2 x 1 + x 2, x 1, x 2 R 2. 2) Completa? x 1, x 2 R 2, x 1 + x 2 y 1 + y 2,, y 1 + y 2 x 1 + x 2 ; por propiedades de los números reales (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ),, (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ); por definición de la relación binaria ( ) es completa. 3) Transitiva? Sean x, y, z R 2 +, supóngase que ( x 1, x 2 ) ( y 1, y 2 ) ( y 1, y 2 ) ( z 1, z 2 ), x 1 + x 2 y 1 + y 2 y 1 + y 2 z 1 + z 2 x 1 + x 2 z 1 + z 2 ; por propiedades de los números reales ( x 1, x 2 ) ( z 1, z 2 ) ( ) es transitiva. 4) Continua? CS(3, 1) = {(y 1, y 2 ) /y 1 + y 2 4}, y, CInf(3, 1) = {(y 1, y 2 ) /4 y 1 + y 2 } Como ambos conjuntos son cerrados, la relación de preferencias es continua, ya que sin pérdida de generalidad los contornos van a ser cerrados para toda cesta (x 1, x 2 ). Gráfico 1.3: Contorno inferior y superior de nivel (3,1) Nótese que ambos contornos incluyen la recta y 2 = 4 y 1. Esta recta constituye la curva de indiferencia de nivel 4, CI(z) = {x/x z} que es también la intersección de los conjuntos CS(z) y CInf(z).

12 8 CAPÍTULO 1. PREFERENCIAS Definición 1.4 (Convexidad) Una relación de preferencias ( ), definida sobre un conjunto convexo X, es convexa si: x, y, z X, α [0, 1], si y x z x αy + (1 α)z x. ( ) es estrictamente convexa si: x, y, z X, α (0, 1), y z, si y x z x αy + (1 α)z x. Nota: X es un conjunto convexo si x, y X, α [0, 1], αx + (1 α)y X. Resultado 1.1 Se puede demostrar que ( ) es convexa sii los CS de una cesta z son convexos z X. Demostración. : Se parte de que ( ) es convexa. Sean x e y CS(z); y sea α (0, 1). x z y z ; αx + (1 α)y z; por convexidad de ( ) αx + (1 α)y CS(z); por definición de CS CS(z) es un conjunto convexo. : Se parte de que CS(z) es un conjunto convexo. Sea α (0, 1). Suponga que x z y z x CS(z) y CS(z) αx + (1 α)y CS(z); porque CS(z) es convexo. αx + (1 α)y z; por definición de CS ( ) es una relación de preferencias convexa. Definición 1.5 Una función u : C R, definida sobre un conjunto convexo C, es: (a) (b) (c) Cuasicóncava si x, y C, x y, α [0, 1], u (αx + (1 α) y) min {u(x), u(y)}. Cuasiconvexa si x, y C, x y, α (0, 1), u (αx + (1 α) y) min {u(x), u(y)}. Estrictamente cuasicóncava si x, y C, x y, α (0, 1), u (αx + (1 α) y) > min {u(x), u(y)}. (d) Estrictamente cuasiconvexa si x, y C, x y, α (0, 1), u (αx + (1 α) y) < min {u(x), u(y)}.

13 9 (e) (f) (g) (h) Cóncava si x, y C, x y, α (0, 1), u (αx + (1 α) y) αu(x) + (1 α) u(y). Estrictamente cóncava si x, y C, x y, α (0, 1), u (αx + (1 α) y) > αu(x) + (1 α) u(y). Convexa si ( u) es cóncava, es decir, x, y C, x y, α (0, 1), u (αx + (1 α) y) αu(x) + (1 α) u(y). Estrictamente convexa si ( u) es estrictamente cóncava, es decir, x, y C, x y, α (0, 1), u (αx + (1 α) y) < αu(x) + (1 α) u(y). Resultado 1.2 Toda función cóncava es cuasicóncava. Demostración. Sean x, y C, α (0, 1), x y, y sea m = min {u(x), u(y)}. Como u es cóncava, u (αx + (1 α) y) αu(x) + (1 α) u(y) αm + (1 α) m = m = min {u(x), u(y)} u es cuasicóncava Ejercicio 1.6 Buscar contraejemplos para demostrar que no toda función cuasicóncava es cóncava. Definición 1.6 Consideremos una función f definida sobre un conjunto S y sea a R: El conjunto P a = {x S/f(x) a} es el contorno superior de f, de nivel a. El conjunto P a = {x S/f(x) a} es el contorno inferior de f, de nivel a. Gráfico 1.4: Contorno superior e inferior de nivel a de una función f

14 10 CAPÍTULO 1. PREFERENCIAS Resultado 1.3 Sea f una función definida sobre un conjunto convexo S: f es cuasicóncava si todos sus contornos superiores son conjuntos convexos; es decir a R, P a es un conjunto convexo. Del mismo modo, f es cuasiconvexa si todos sus contornos inferiores son conjuntos convexos. Ejercicio 1.7 Probar que el Resultado 1.3 y la definición de función cuasicóncava de la Definición 1.5 son equivalentes. Resultado 1.4 Sea f una función doblemente diferenciable de r variables con derivadas parciales de primer y segundo orden continuas. Definimos el Hessiano orlado de la siguiente manera: 0 f 1 (x) f 2 (x)... f r (x) f 1 (x) f 11 (x) f 12 (x)... f 1r (x) D r (x) = f 2 (x) f 21 (x) f 22 (x)... f 2r (x).... f r (x) f r1 (x) f r2 (x)... f rr (x) Condiciones necesarias 1) Si f es cuasicóncava: D 1 (x) 0, D 2 (x) 0,..., D r (x) 0 si r es impar ó D r (x) 0 si r es par x. 2) Si f es cuasiconvexa: D k (x) 0, k, x. Condiciones suficientes 3) Si D 1 (x) < 0, D 2 (x) > 0,..., D r (x) < 0 si r es impar ó Dr(x) > 0 si r es par x f es cuasicóncava. 4) Si D k (x) < 0, k, x f es cuasiconvexa. Ejemplo 1.3 f(x) = x 2, definida en x > 0. D 1 (x) = [ 0 2x 2x 2 D 1 (x) = 4x 2 < 0, x > 0, por lo tanto f(x) es cuasiconvexa y también es cuasicóncava. ],

15 11 Ejemplo 1.4 f(x) = x 2, definida en x 0. D 1 (x) = 4x 2 0, x 0, dado que D 1 (0) = 0. Aunque gráficamente sabemos que f(x) es cuasicóncava y cuasiconvexa, el criterio de condiciones suficientes no define. Definición 1.7 (Monotonicidad) Una relación de preferencias ( ) definida sobre un conjunto X ordenado es: (a) (b) Monótona si Monótona estricta si x, y X, x y x y. x, y X, x y x y x y. La propiedad de monotonicidad de las preferencias significa que para el consumidor más es mejor. Definición 1.8 (Insaciabilidad Local) ( ) satisface la no saciabilidad local si x X, ɛ > 0, y X/ x y < ɛ,, y x. Esto significa que toda cesta tiene una cesta cercana que es preferida a ella. La no saciabilidad local es una propiedad para garantizar que las curvas de indiferencia no sean gruesas. Resultado 1.5 Si ( ) es monótona estricta entonces satisface la propiedad de no saciabilidad local. Ejercicio 1.8 Probar el Resultado anterior. Función de Utilidad Sea ( ) una relación de preferencias definida sobre un conjunto X. Una función u : X R, tal que x y si y solo si u(x) u(y) es una función de utilidad que representa ( ). Ahora, x y u(x) u(y) h(u(x)) h(u(y)); donde h es una transformación monótona creciente. De esta manera, la función de utilidad no es única dado que es posible efectuar transformaciones monótonas crecientes de ella. Ejs: u 3, u 5, u 7, e u, Ln u, a + bu, b > 0, (esta clase de transformación es llamada afín). Teorema 1.1 Toda relación de preferencias racional (reflexiva, completa y transitiva) continua y estrictamente monótona se puede representar a través de una función de utilidad. La demostración de este Teorema puede consultarse en los capítulos correspondientes en el libro de Varian, Mas-Collel, ó en Introduction to Equilibrium Análisis, Advanced Textbooks in Economics, Hildenbrand and Kirman (1988).

16 12 CAPÍTULO 1. PREFERENCIAS Ejemplo 1.5 Supóngase una relación binaria que no es transitiva. Por qué en este caso no existe una función de utilidad? De acuerdo con la propiedad de transitividad: x, y, z X, x y y z x z, ahora supóngase que no se cumple esta propiedad, entonces: x, y, z X/x y y z, pero x z y además supóngase que existe: u : X R/a b, u(a) u(b). Por lo tanto, u(x) u(y) u(y) u(z). Entonces u(x) u(z) por la transitividad de los números reales, pero u(x) u(z) por el supuesto planteado. Se llega a una contradicción. Ejercicio 1.9 Supóngase una relación binaria que no es completa. Por qué en este caso no existe una función de utilidad? Ejercicio 1.10 Supóngase una relación binaria que no es reflexiva. Por qué en este caso no existe una función de utilidad? Teorema 1.2 Sea C un conjunto convexo y sea u : C R una función de utilidad que representa una relación de preferencias, ( ): (a) La función u es cuasicóncava sii ( ) es convexa. (b) La función u es estrictamente cuasicóncava sii ( ) es estrictamente convexa. Demostración. (a) : Sea u una función cuasicóncava, sea α [0, 1] y sean x, y, z C tales que x y z y. Como x y u(x) u(y), y como z y u(z) u(y), además dado que u es cuasicóncava: : u (αx + (1 α) z) min {u(x), u(z)} u(y) αx + (1 α) z y, porque u es la función de utilidad que representa ( ). Sea ( ) una relación de preferencias convexa y sean x, y, z C, x y, sea α [0, 1]. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que u(x) u(y) x y. Ahora, y y por que ( ) es reflexiva, αx + (1 α) y y dado que ( ) es convexa u (αx + (1 α) y) u(y) = min {u(x), u(y)} u es cuasicóncava. Ejercicio 1.11 Probar la parte (b) del Teorema anterior.

17 13 Ejercicios Adicionales 1. Encontrar el máximo (o los máximos) y el mínimo (o los mínimos) de la función f(x) sobre el conjunto X correspondiente. a) f(x) = x 3 + x 2 + x + 1 donde x R b) f(x) = x + (1 x) 1 2 definida en sobre el conjunto { 1, 0.5} {0, 1} c) g(x, y) = x 2 4xy + 2y 2 con x 0, y 0 2. Encontrar los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones: a) f(x) = x 4 4x 3 b) h(x, y) = (x + y) 2 3. a) Dar un ejemplo de una relación que no sea completa. b) Dar un ejemplo de una relación que no sea reflexiva. c) Dar un ejemplo de una relación que no sea transitiva. 4. Considere las preferencias definidas sobre R 2 por las funciones de utilidad. a) U 1 (x, y) = x b) U 2 (x, y) = x + y c) U 3 (x, y) = (x + 2)(y + 1) Describa las propiedades de estas preferencias y haga un bosquejo de las curvas de indiferencia correspondientes.

18 14 CAPÍTULO 1. PREFERENCIAS

19 Capítulo 2 Los Problemas del Consumidor Problema de Maximización de la Utilidad (PMU) Sea m el ingreso del consumidor y p el vector de precios de los bienes, p = (p 1, p 2,..., p n ), p >> 0, se define el conjunto de presupuesto: B(p, m) = {x R n /p.x m } donde p.x = p 1 x 1 + p 2 x p n x n. El problema del consumidor consiste en elegir una cesta que maximice su utilidad sujeta al conjunto de presupuesto. En otras palabras es elegir una cesta (x 1, x 2,..., x n )/Max u(x 1, x 2,..., x n ) s.a. x B(p, m). La solución del problema de maximización de la utilidad del consumidor (PMU) es la cesta x (p, m) llamada demanda Marshalliana. Gráfico 2.1: Curvas de indiferencia Al evaluar la función de utilidad u(x 1, x 2,..., x n ) en la solución x (p, m) se obtiene la denominada función de utilidad indirecta v(p, m) = u(x (p, m)). 15

20 16 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Para solucionar el PMU se pueden utilizar técnicas de optimización restringida (Multiplicadores de Lagrange). La solución del problema puede encontrarse de la siguiente manera: L = u(x 1, x 2,..., x n ) + λ(m p 1 x 1 + p 2 x p n x n ). C.P.O [x i ] : L = u λp i = 0, i = 1, 2,..., n x i x i U x i U x j L λ = 0 = T MS i,j = p i p j = T ES i,j. Donde T MS i,j es la Tasa Marginal de Sustitución entre los bienes i y j; y T ES i,j es la tasa económica de sustitución entre estos mismos bienes. Esta relación obtenida manifiesta igualdad entre la pendiente de la curva de indiferencia y la pendiente del conjunto de presupuesto, situación que es siempre posible mientras el problema pueda derivarse. Las CSO del problema garantizan que la solución sea un máximo siempre y cuando la función u se cuasicóncava (ver desarrollo en Varian (1992)). Ejemplo 2.1 Sea u(x 1, x 2 ) = x a 1 x1 a 2 ; a (0, 1). Hallar v(p, m). El problema del consumidor es elegir (x 1, x 2 )/Max x a 1 x1 a 2 s.a. p 1 x 1 +p 2 x 2 = m. Nótese que la restricción presupuestal se ha mostrado ahora con igualdad, esto puede efectuarse dado que las preferencias cumplen la no saciabilidad local. De esta manera el consumidor gasta todo su ingreso en el consumo de los bienes y la restricción puede presentarse como una igualdad. También se puede verificar que u es cuasicóncava. Para facilitar la solución se efectúa una transformación monótona de la función de utilidad. El PMU se convierte en: Max a ln(x 1 ) + (1 a) ln(x 2 ) s.a. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m L = a ln(x 1 ) + (1 a) ln(x 2 ) + λ(m p 1 x 1 p 2 x 2 ) C.P.O. L [x 1 ] : x 1 = 0 L [x 2 ] : x 2 = 0 L [λ] : λ = 0 x 1(p, m) = am, x (1 a)m p 2(p, m) = 1 p 2 ( ) ( ) am (1 a)m v(p, m) = a ln + (1 a) ln p 1 v(p, m) = ln(m) a ln(p 1 ) + (1 a) ln(p 2 ) + k(a). Donde k(a) es una constante que depende del parámetro a. p 2

21 17 Ejemplo 2.2 Sea u(x 1, x 2 ) = min {x 1, x 2 }. Hallar v(p, m). Max min {x 1, x 2 } s.a. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Debe tenerse en cuenta que este problema no puede derivarse ya que la función objetivo no es derivable en x 1 = x 2. Por esta razón su solución es generalmente obtenida graficando las curvas de indiferencia y la restricción presupuestal. Para graficar las curvas de indiferencia: { x1 si x min{x 1, x 2 } = 1 x 2 x 2 si x 2 x 1 Gráfico 2.2: Demandas Marshalianas para el caso Leontief Gráficamente se observa que la solución se encuentra donde x 1 = x 2 en el punto A del gráfico. Así podemos reemplazar este resultado en la restricción presupuestal de la siguiente forma: p 1 x 1 + p 2 x 1 = m Las demandas Marshalianas son: x 1 = x 2 = m p 1 +p 2. La función de utilidad indirecta: v(p, m) = m p 1 +p 2. Ejercicio 2.1 Sea u(x 1 x 2 ) = min{ax 1, bx 2 }, a > 0, b > 0. Hallar x(p, m) y v(p, m). Ejercicio 2.2 Hallar x(p, m) y v(p, m) para las siguientes funciones de utilidad: u(x 1, x 2 ) = min { x 2 1, x 2} ; u(x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2 ; u(x 1, x 2 ) = min {x 1 + 2x 2, x 2 + 2x 1 }.

22 18 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Proposición 2.1 El máximo (mínimo) de una función f definida sobre un conjunto B es mayor o igual (menor o igual) al máximo (mínimo) de f sobre cualquier A subconjunto de B. Gráfico 2.3: Optimización cuando se aumenta el intervalo Demostración. Sea m 1 = max f(x) x A. De esta manera, c A, tal que f(c) = m 1. Como c A y A B c B. Ahora, si m 2 = max f(x) x B f(x) m 2, x B. En particular, f(c) m 2 m 1 m 2. Propiedades de la Función de Utilidad Indirecta 1) v(p, m) es no creciente en p y no decreciente en m. Es decir que: Si p p, v(p, m) v(p, m), y, si m m, v(p, m) v(p, m ). Demostración. a) v(p, m) es no creciente en p Sean B = {x X/p.x m} y B = {x X/p.x m} y suponga p p. Sea x B(p, m) p.x m. Como p p p.x p.x m p.x m por lo que x también pertenece a B(p, m). De esta forma queda demostrado que B B. Así, Max u(x) s.a. p.x m = v(p, m) Max u(x) s.a. p.x m = v(p, m);

23 19 v(p, m) v(p, m), debido a la Proposición 2.1. b) v(p, m) es no decreciente en m. Sean B = {x X/p.x m} y B = {x X/p.x m }, y suponga m m. Sea x B(p, m ) p.x m m Como p.x m x también pertenece a B(p, m); luego B B se tiene que: Max u(x) s.a. x B Max u(x) s.a. x B v(p, m ) v(p, m). 2) v(p, m) es homogénea de grado cero en (p, m). Es decir que: v(λp, λm) = v(p, m), λ > 0. Demostración. Sea B = {x X/p.x m} = {x X/λp.x λm}, λ > 0 : v(λp, λm) = λ 0 v(p, m) = v(p, m) 3) v(p, m) es cuasiconvexa en p, es decir que los contornos inferiores de v(p, m), {p/v(p, m) k}, son convexos. Demostración. Sea CInf(k) = {p/v(p, m) k}; sean p y p CInf(k), y sea α (0, 1). Se debe probar que αp + (1 α)p CInf(k). Sea B = B(p, m) = {x/p.x m} y sea B = B(p, m) = {x/p.x m} Sea p = αp + (1 α)p B = B(p, m) = {x/p.x m} Primero se debe demostrar que B B B. Por contradicción: Sea x B. Supongamos que x / B B Como x B p.x m (αp + (1 α)p ).x m; (1) Ahora, como x / B B x / B x / B p.x > m p.x > m

24 20 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR αp.x > αm (1 α)p.x > (1 α)m αp.x + (1 α)p.x > αm + (1 α)m = m (αp + (1 α)p ).x > m; lo que se contradice con (1). Si x B x también pertenece a B B B B B Tenemos que: v(p, m) = Max u(x) s.a. x B k, v(p, m) = Max u(x) s.a. x B k y v(p, m) = Max u(x) s.a. x B Max u(x) s.a. x B B k; dado que B B B p CInf(k). 4) v(p, m)es continua p >> 0, m > 0. Esta demostración se encuentra en el Apéndice matemático de Varian (1992). Ejemplo 2.3 Verificar las propiedades de v(p, m) para el caso Cobb-Douglas (C-D) v(p, m) = ln(m) a ln(p 1 ) (1 a) ln(p 2 ) + k(a) (Mirar ejemplo 2.1 para ver donde se obtiene la anterior expresión) 1) v(p, m) es no creciente en p y no decreciente en m a) v(p,m) p 1 = a p 1 < 0 v(p,m) p 2 = 1 a p 2 ; como α (0, 1) b) v(p,m) p 2 < 0 v(p,m) m = 1 m > 0 2) v(p, m) es homogénea de grado 0 en (p, m) v(λp, λm) v(p, m) = ln(m) a ln(p 1 ) (1 a) ln(p 2 ) + k(a) = ln(λm) a ln(λp 1 ) (1 a) ln(λp 2 ) + k(a) = ln(λm) a ln(λp 1 ) ln(λp 2 ) + a ln(λp 2 ) + k(a) = ln(λ) + ln(m) a ln(λ) a ln(p 1 ) ln(λ) ln(p 2 ) + a ln(λ) + a ln(p 2 ) + k(a) = ln(m) a ln(p 1 ) ln(p 2 ) + a ln(p 2 ) + k(a) = ln(m) a ln(p 1 ) (1 a) ln(p 2 ) + k(a) = v(p, m)

25 21 3) v(p, m) es cuasiconvexa en p Hessiano orlado de v(p, m) B = 0 a p 1 1 a p 2 a p 1 ap a p 2 0 (1 a)p 2 2 ( ) 2 B 2 = a p1 < 0 ( B 3 = a p 1 (1 a)p 2 2 ( a p 1 )) (1 a) p 2 ( ) (1 a) p 2 ap 2 1 (+) (+) ( ) (+) (+) } {{ } } {{ } ( ) (+) B 3 < 0 v(p, m) es cuasiconvexa en p. 4) v(p, m) es continua p >> 0, m > 0 Las funciones logaritmo son continuas y la constante es continua; la suma de dos funciones continuas es continua. v(p, m) es continua. Nota: El numeral 3) se hubiera podido realizar con un Hessiano normal. Se demuestra que v(p, m) es convexa en p y dado que toda función convexa es cuasiconvexa entonces v(p, m) es cuasiconvexa en p. Resultado 2.1 Si una relación de preferencias ( ) completa, reflexiva y transitiva satisface el supuesto de insaciabilidad local v(p, m) será estrictamente creciente en m. Ejercicio 2.3 Probar el Resultado 2.1. Función de gasto Dado el Resultado 2.1, se puede invertir la función indirecta de utilidad y despejar m en función del nivel de utilidad. En el gráfico 2.4, se observa que dado un nivel u de utilidad podemos encontrar el ingreso mínimo para lograr ese nivel de utilidad a los precios p; esta relación se denomina e(p, u). De manera análoga al anterior P MU se presenta la función de gasto como solución al problema de minimización del gasto (PMG): e(p, u) = Min p x s.a. u(x) u

26 22 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Gráfico 2.4: Función de gasto y de utilidad indirecta El anterior problema se puede leer de la siguiente forma: para alcanzar un nivel de utilidad dado, Cual es el presupuesto mínimo que se necesita? Ahora, la cesta minimizadora del gasto, que se necesita para alcanzar el nivel de utilidad u a los precios p, será denominada h(p, u) (función de demanda Hicksiana). De esta manera, e(p, u) = p 1 h 1 (p, u) + p 2 h 2 (p, u) + + p n h n (p, u). Problema de minimización del gasto (PMG) C.P.O. Min p x s.a. u(x) u L = p x + λ(u u(x)) L x i = p i λ u x i = 0 i = 1,..., n T ES i,j = p i p j = u/ x i u/ x j = T MS i,j. Ejercicio 2.4 Hallar la función de gasto e(p, u) para u(x 1, x 2 ) = x a 1 x1 a 2. Ejemplo 2.4 Calcular la función de gasto e(p, u) para la siguiente función de utilidad: u(x 1, x 2 ) = min{x 1, x 2 } x 1 si x 1 < x 2 min{x 1, x 2 } = u = x 2 si x 2 < x 1 x 1 o x 2 si x 1 = x 2

27 23 Gráficamente: Gráfico 2.5: Demandas Hicksianas para el caso Leontief Se observa en el gráfico 2.5 que el lugar donde se alcanza el mínimo gasto dado el nivel de utilidad u es el punto A, donde x 1 = x 2 = u es decir h 1(p, u) = u = h 2 (p, u). De esta manera la función de gasto es la siguiente: e(p, u) = p 1 u + p 2 u = (p 1 + p 2 )u. Ejemplo 2.5 Calcular la función de gasto e(p, u) para la siguiente función de utilidad: u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2. De nuevo se recurre al método gráfico para encontrar la solución, pues el cálculo no lleva a una solución coherente. En primera instancia, sujetamos la función de utilidad a un nivel dado, u. u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 = u Ahora, despejamos x 1 o x 2 x 2 = u x 1 y graficamos los tres casos posibles: Caso 1 p 1 > p 2 p 1 p 2 > 1 { h 1 = 0 h 2 = u e(p, u) = up 2.

28 24 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Gráfico 2.6: Caso 1 Observar en este caso que el bien 1 es más costoso que el bien 2. Dado que el individuo pondera, en su función de utilidad, los dos bienes de la misma forma, es decir los bienes son sustitutos perfectos, se consume todo del bien 2 y nada del bien 1. Caso 2 p 1 = p 2 Gráfico 2.7: Caso 2 x 1 + x 2 = u e(p, u) = o En este caso la pendiente de las rectas de iso-gasto y la pendiente de la curva de indiferencia son iguales, es decir en el mercado los bienes también se ponderan de forma igual. En este caso, cualquier punto sobre la recta de presupuesto superpuesta a la curva de indiferencia será óptimo. up 2 up 1

29 25 Caso 3 p 1 < p 2 Gráfico 2.8: Caso 3 p 1 p 2 < 1 { h 1 = u h 2 = 0 e(p, u) = up 1 El razonamiento es similar al del caso 1 pero con el precio del bien 1 menor al del bien 2. Solución general para el P MG en el caso de una función de utilidad lineal de la forma: u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 e(p, u) = min{p 1, p 2 } u Ejercicio 2.5 Hallar e(p, u) para u(x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2, a > 0, b > 0. Propiedades de la función de gasto 1) e(p, u) es no decreciente en p y estrictamente creciente en u: Si p p e(p, u) e(p, u), y si u < u e(p, u) < e(p, u ). Demostración. a) Sea x 0 la solución del P MG Min p x s.a. u(x) u Sea x 1 la solución del P MG Min p x s.a. u(x) u

30 26 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR y sea p p. Por definición e(p, u) = p x 0 p x 1 (1) p x 1 (2) = e(p, u) e(p, u) e(p, u). Explicación: (1) p x 0 p x 1, dado que x 0 es la solución del P MG a los precios p y los dos problemas tienen las misma restricción. (2) p x 1 p x 1, dado que p p. b) Para probar que e(p, u) es estrictamente creciente en u, supongamos que no. Sean u y u tales que u > u pero e(p, u ) e(p, u ). Sea x la solución del P MG con u y x la solución de P MG con u. Ahora, si e(p, u ) e(p, u ) p x p x Sea x = αx para algún α (0, 1). Como u es continua, α se puede elegir de tal modo que u( x) > u(x ) p x = αp x < p x p x p x p x Así, x no puede ser la solución del P MG con u, lo que se contradice con el supuesto inicial. 2) e(p, u) es homogénea de grado 1 en p. λ > 0, e(λp, u) = λe(p, u) Demostración. Sea λ > 0, e(λp, u) = Min λp x s.a u(x) u = λ Min p x s.a u(x) u = λ e(p, u) 3) e(p, u) es cóncava en p, es decir que α (0, 1), p, p, e(αp + (1 α)p, u) αe(p, u) + (1 α)e(p, u). Demostración. Sean p, p y sea α (0, 1). Se define p = αp + (1 α)p.

31 27 Sea x 0 la solución al P MG: Min p x s.a u(x) u e(p, u) = p x 0. Sea x 1 la solución al P MG: Min p x s.a u(x) u e(p, u) = p x 1. Sea x 2 la solución al P MG: Min p x s.a u(x) u e(p, u) = p x 2 = [αp + (1 α)p ] x 2 = αp x 2 + (1 α)p x 2. Ahora, p x 2 p x 0, dado que x 0 es la solución al P MG dados los precios p y dado que ambos problemas tienen la misma restricción. También, p x 2 p x 1, dado que x 1 es la solución al P MG dados los precios p y dado que ambos problemas tienen la misma restricción. Multiplicando por α y (1 α) a ambos lados respectivamente, se tiene: αp x 2 αp x 0 y sumando verticalmente, (1 α)p x 2 (1 α)p x 1 ; αp x 2 + (1 α)p x 2 αp x 0 + (1 α)p x 1 = αe(p, u) + (1 α)e(p, u). Como e(p, u) = αp x 2 + (1 α)p x 2, e(p, u) αe(p, u) + (1 α)e(p, u). 4) e(p, u) es continua, p >> 0, u > 0. Esta demostración se encuentra en el Apéndice matemático de Varian (1992). Ejercicio 2.6 Verificar que las propiedades de e(p, u) se cumplen para el caso Cobb-Douglas. Teorema 2.1 (Teorema de la envolvente) Considere un problema de maximización en el que la función objetivo depende de un parámetro a: M(a) = max x 1,x 2 g(x 1, x 2, a) s.a h(x 1, x 2, a) = 0 Sea L el Lagrangeano de este problema y sea x la solución de este problema. M(a) a = L(x, a) a x

32 28 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Nota: Ver una demostración de este teorema en Varian (1992). Lema 2.1 (Lema de Roy) Sea x(p, m) la función de demanda Marshalliana y sea v(p, m) la función de utilidad indirecta. Demostración. v(p,m) p x i (p, m) = i v(p,m) m i = 1,..., n siempre que v(p, m) m 0 y p i > 0 i, y m > 0. v(p, m) = max u(x) s.a p x m L = u(x) + λ(m p x) C.P.O.: Teniendo en cuenta el teorema de la envolvente, v = L = λx p i p i x i ; (1) Igualando. λ en (1) y (2) v m = L m x ( ) v v = p i m = λ. (2) x i x i = v p i v m Lema 2.2 (Lema de Shephard) Si la función de gasto es diferenciable en p y p > 0, Demostración. h i (p, u) = e(p, u) p i ; i = 1,..., n. e(p, u) = min p x s.a u(x) u L = p x + λ(u u(x)) e(p, u) p i = L p i h = x i h = h i ; teniendo en cuenta el teorema de la envolvente h i (p, u) = e(p, u) p i.

33 29 Teorema 2.2 Identidades de la dualidad Supongamos que: - u(x) es continua; - ( ) satisface las N.S.L. (evitar curvas de inferencia gruesas), y, - el P MU (max u(x) s.a p x m) y el P MG (min p x s.a u(x) u) tienen solución. Entonces se cumplen las siguientes identidades: e(p, v(p, m)) m; v(p, e(p, u)) u; x i (p, e(p, u)) h i (p, u); h i (p, v(p, m)) x i (p, m). Teorema 2.3 Ecuación de Slutsky x j = h j(p, u) x j p i p i m x i(p, e(p, u)) i, j = 1,..., n. Utilizando las anteriores identidades de la dualidad se puede llegar a descomponer en una ecuación la variación de la demanda provocada en un cambio en el precio de algún bien en dos efectos: el efecto sustitución y el efecto ingreso. Otra importante consecuencia de la ecuación de Slutsky es poder calcular la derivada de la función de demanda compensada (la cual no es directamente observable) a partir de elementos observables. Demostración. Por las identidades de la dualidad se tiene: x j (p, e(p, u)) h j (p, u); derivando respecto a p i x j p i x j p i + x j + x j m e(p,u) p i = h j(p,u) p i m h i(p, u) = h j(p,u) x j p i }{{} Efecto Total = h j(p, u) p i }{{} Efecto Sustitución p i ; por Lema de Shephard x j m x i(p, e(p, u)); }{{} Efecto Ingreso i, j = 1,..., n por identidad de dualidad

34 30 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Gráfico 2.9: Ecuación de Slutsky Proposición 2.2 La matriz de sustitución [ xj + x ] j p i m x i(p, e(p, u)) = ij [ ] hj es una matriz semidefinida negativa y simétrica. Esta matriz es el Hessiano de la función de gasto. Demostración. Por lema de Shephard p i e(p, u) = h i (p, u) p i ( ) ( hj 2 ) e(p, u) = p i p i p j que es semidefinida negativa ya que la función de gasto es cóncava. Debido a esto también se tiene que: h j = 2 e(p, u) = 2 e(p, u) = h i ; p i p i p j p j p i p j entonces la matriz de sustitución es simétrica. Corolario 2.1 h i p i 0; (Los efectos sustitución propios son negativos). Definiciones: Sea x j un bien, se dice que: i = 1,..., n ij

35 31 x j es un bien normal si x j es un bien inferior si x j es un bien ordinario si x j es un bien Giffen si x j m > 0; x j m < 0; x j p j < 0; x j p j > 0. Resultado 2.2 Todo bien Giffen es un bien inferior. Demostración. x j = h i(p, u) x j p j p j m x j(p, e(p, u)) de la ecuación de Slutsky. Ahora, x j p j > 0, por ser un bien Giffen, y, x j m h j (p, u) p j 0, por el corolario anterior. Si x j (p, e(p, u)) 0, tiene que ser negativo, es decir el bien j es un bien inferior. Ejemplo 2.6 Verificar la ecuación de Slutsky en el caso Cobb-Douglas para x 1 p 1. Sabemos que v(p 1, p 2, m) = x 1 = am p 1, x 2 = Ahora, por identidades de la dualidad sabemos que: m k p a 1 p1 a 2 v(p, e(p, u)) u (1 a)m p 2. ahora, h 1 (p, u) = Por lo tanto tenemos que: e(p, u) p 1 u = e(p, u) k p a 1 p1 a 2 e(p, u) = u(k p a 1 p 1 a 2 ) = uak p a 1 1 p 1 a 2 = uak ( p1 p 2 ) a 1. x 1 = am p 1 p 2 1 y sabemos que

36 32 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR h 1 = uak(a 1)p a 2 1 p 1 a 2 p 1 x 1 m = a p 1 y x 1 (p, e(p, u)) = a p 1 uk p a 1 p 1 a 2. Tomando el lado derecho de la ecuación de Slutsky: h 1 (p, u) x 1 p 1 m x 1(p, e(p, u)) = uak(a 1) p a 2 1 p 1 a 2 a ( ) a uk p a 1 p 1 a 2 p 1 p 1 = uak(a 1) p a 2 1 p 1 a 2 a 2 uk p a 2 1 p 1 a 2 = uak p1 a 2 p 1 a 2 ((a 1) a), reemplazando u = p 2 1 ma = x 1 p 1. Ejercicio 2.7 Probar la ecuación de Slutsky en el caso Cobb-Douglas para x 2 p 1. Función de utilidad de métrica monetaria directa Esta función relaciona la utilidad de una cesta x con el gasto mínimo que se debe realizar para alcanza esa utilidad. Se refiere entonces, a la cantidad de dinero que se necesita para alcanzar la utilidad que representa la cesta x cuando los precios son p. Formalmente la definición es la siguiente: M(p, x) = e(p, u(x)). Función de utilidad de métrica monetaria indirecta Se refiere a la mínima cantidad de dinero que necesita el consumidor para alcanzar a los precios q, la máxima utilidad que tenía cuando los precios eran p y su ingreso era m. Formalmente la definición es la siguiente: µ(q; p, m) = e(q; v(p, m)). Nótese que si x es fijo, u(x) también lo será y la función de utilidad métrica monetaria directa se comporta como una función de gasto. Lo mismo sucede con la función de métrica monetaria indirecta. Nótese que estas funciones, por ser funciones de gasto, son estrictamente crecientes en u(x) y en v(p, m), respectivamente. Por lo tanto, las funciones de métrica monetaria son también funciones de utilidad, ya que son transformaciones monótonas de u(x) y v(p, m), que son funciones de utilidad.

37 33 Ejemplo 2.7 Hallar M(p, x) y µ(q; p, m) para la función de utilidad Cobb-Douglas. v(p 1, p 2, m) = m k p a 1 p1 a 2. Por identidades de dualidad: v(p, e(p, u)) u Ahora, Por otro lado, u = e(p, u) k p a 1 p1 a 2 M(p, x) = u(x)(k p a 1 p 1 a 2 ) = x a 1x 1 a 2 k p a 1 p 1 a 2 = k(x 1 p 1 ) a (x 2 p 2 ) 1 a e(p, u) = uk p a 1 p 1 a 2. µ(q; p, m) = e(q, v(p, m)) = v(p, m)(k q a 1 q 1 a 2 ) = m k p a 1 p1 a 2 (k q a 1 q 1 a 2 ) = m ( q1 p 1 ) a ( q2 p 2 ) 1 a Ejercicio 2.8 Obtener las funciones de utilidad de métrica monetaria directa e indirecta para la función de utilidad CES. La variación equivalente y la variación compensada La variación equivalente y la variación compensada son herramientas para medir los cambios en el bienestar del individuo frente a cambios en los precios y en el ingreso del mismo. Suponga que desea comparar dos situaciones con precios diferentes en términos de bienestar para un individuo. La forma evidente de realizar esta comparación sería con las utilidades indirectas, es decir, analizando el signo de la expresión: [v(p, m) v(p 0, m)]. Este método genera información ordinal para saber si el individuo mejoró o empeoró en términos de bienestar, pero no cuantifica la variación en la utilidad. Para resolver este problema se utiliza la función de utilidad de métrica monetaria indirecta, la cual tiene la ventaja de que se mide en unidades monetarias. Suponga un cambio en precios de la forma: p 0 p. Analizando el signo y la magnitud de: µ(q; p, m) µ(q; p 0, m), podemos expresar esta variación en la función de utilidad de métrica monteria indirecta suponiendo como precios base a p 0 o a p 1.

38 34 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Precios base, q = p 0 Variación Equivalente (VE) = µ(p 0, p 1, m) µ(p 0, p 0, m). Precios base, q = p 1 Variación Compensada (VC) = µ(p 1, p 1, m) µ(p 1, p 0, m). Nótese que por definición µ(q; q, m) = m (Asegurarse de entender esto con los ejercicios de utilidad indirecta presentados anteriormente). Así, V E = µ(p 0 ; p 1, m) m, V C = m µ(p 1 ; p 0, m). En palabras, la variación equivalente es el aumento (disminución) del ingreso que sería equivalente a lo que fue el cambio de precios en términos de utilidad. En forma implícita se puede definir como: v(p 0, m + V E) = u 1 = v(p 1, m). Gráfico 2.10: La variación equivalente En palabras, la variación compensada es el aumento (disminución) en el ingreso de un individuo que compense el cambio de precios en términos de utilidad. Aquí, se debe compensar al individuo después de hecho el cambio para dejarlo con la misma utilidad anterior. En forma implícita se puede definir como: v(p 1, m + V C) = u 0 = v(p 0, m).

39 35 Gráfico 2.11: La variación compensada Ejemplo 2.8 Un individuo tiene la siguiente función de utilidad: u(x, y) = min{x, y}. En la ciudad 1 su ingreso es de 150 y los precios son : P x = P y = 1. En la ciudad 2 el ingreso es el mismo pero los precios son P x = 1 y P y = 2. Calcular la variación equivalente y la variación compensada. V E = µ(p 0 ; p, m) m = µ(p 0 ; p, m) 150 Ahora, µ(p 0 ; p, m) = e(p 0, v(p, m)) (1) v(p, m) = Max min{x, y} s.a x + 2y = 150 Volviendo a (1) x = y = 50 v(p, m) = 50. e(p 0, 50) = Min p 1 x 1 + p 2 x 2 s.a min(x, y) = 50 h 1 = h 2 = u = 50 e(p 0, 50) = = 100 V E = = 50. V C = m µ(p ; p 0, m) = 150 µ(p ; p 0, m) Ahora, µ(p ; p 0, m) = e(p, v(p 0, m)) v(p 0, m) = 75 (Mismo procedimiento anterior)

40 36 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR De la misma forma e(p, 75) = 225 V C = = 75 Relaciones entre VE, VC y el cambio en el excedente del consumidor Para estudiar las relaciones entre la VE, la VC y el cambio en el excedente del consumidor ( EC), veamos primero como son las pendientes de las demandas Marshalliana y Hicksiana dependiendo de como se comporta el bien frente a cambios en el ingreso. Caso 1. Bien normal Supongamos que p > p 0 y grafiquemos las curvas x(p, m) y h(p, u). Dado que el bien x 1 es normal, se tiene que x 1 m > 0. Gráfico 2.12: Demandas Marshalliana y Hicksiana - bien normal En este caso el efecto ingreso y el efecto sustitución se mueven en la misma dirección. Así h(p, u) es más inclinada que x(p, m).

41 37 Caso 2. Bien inferior Supongamos que p > p 0 y grafiquemos las curvas x(p, m) y h(p, u). Gráfico 2.13: Demandas Marshalliana y Hicksiana - bien inferior En el gráfico 2.13 se observa que si el bien es inferior x 1 (p, m) es más inclinada que h 1 (p, u). Dado que el bien x 1 es inferior, se tiene que x 1 m < 0. Nótese que la relación entre las pendientes de x(p, m) y h(p, u) depende del sentido del efecto ingreso. Teniendo en cuenta lo anterior, analicemos ahora la relación entre VE y VC y EC, para el caso del bien normal. Recordemos que: u 0 = v(p 0, m); u = v(p, m) v(p 0, m + V E) = u ; v(p, m V C) = u 0.

42 38 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR V E = µ(p 0 ; p, m) µ(p 0 ; p 0, m) = µ(p 0 ; p, m) µ(p ; p, m) = e(p 0, u ) e(p, u ) = p 0 p h(p, u )dp V C = µ(p ; p, m) µ(p ; p 0, m) = µ(p 0 ; p 0, m) µ(p ; p 0, m) = e(p 0, u 0 ) e(p, u 0 ) = p 0 p h(p, u 0 )dp EC = p 0 p x(p, m)dp. Gráfico 2.14: VE, VC y EC - bien normal En este caso, dado que el bien es normal: V C < EC < V E. Ejercicio 2.9 Encontrar la relación entre VC, VE y EC para un bien inferior. Ejercicio 2.10 Encontrar la relación entre VC, VE y EC si la función de utilidad es la siguiente: u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, y en general para cualquier función de utilidad cuasilineal de la forma: donde la función g es cóncava. u(x 1, x 2 ) = x 1 + g(x 2 ),

43 39 Problema de la Integrabilidad Dadas unas funciones de demanda con matriz de sustitución semidefinida negativa y simétrica se plantea el problema de si existe una función de utilidad de la cual puedan obtenerse esas funciones de demanda. En primer instancia se debe verificar si las demandas observadas satisfacen: [ ] hi (p, u) negativa semidefinida y simétrica. p j ij Las condiciones de integrabilidad se derivan del lema de Shephard (ver Varian (1992)) y son: µ(p;q,m) p i = x i (p, µ(p; q, m)) i = 1,..., k; µ(q; q, m) = m. Ejemplo 2.9 Demostrar que existe una función de utilidad que represente las siguientes funciones de demanda: x 1 = a 1m x 2 = a 2m. p 1 p 2 Verificar si las funciones de demanda tienen una matriz de sustitución semidefinida negativa y simétrica: h 1 = x 1 + x 1 p 2 p 2 m x 2, ecuación de Slutsky = 0 + a 1 p 1 a1m p 2 h 2 p 1 = x 2 p 1 + x 2 m x 1 = 0 + a 2 p 2 a1m p 1 Como h 2 p 1 = h 1 p 2, la matriz de sustitución es simétrica. Se deja como ejercicio la verificación de que la matriz de sustitución es semidefinida negativa. Planteando el sistema de ecuaciones de integrabilidad, se tiene: a) b) µ = a 1µ p 1 p 1 µ = a 2µ p 2 p 2 c) µ(q 1, q 2 ; q 1, q 2, m) m a) µ µ = a 1 p 1 p 1 ln µ = a 1 ln p 1 + c 1

44 40 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR b) µ µ = a 2 p 2 p 2 ln µ = a 2 ln p 2 + c 2 Solucionando las dos ecuaciones diferenciales se encuentra: d) ln µ = a 1 ln p 1 + a 2 ln p 2 + c 3 ; reemplazando en c) ln µ = a 1 ln q 1 + a 2 ln q 2 + c 3 c 3 = ln m a 1 ln q 1 a 2 ln q 2 ; reemplazando en d) ln µ = a 1 ln p 1 + a 2 ln p 2 + ln m a 1 ln q 1 a 2 ln q 2 µ(p 1, p 2 ; q 1, q 2, m) = mp a 1 1 pa 2 2 q a 1 1 q a 2 2. Esta es una función de utilidad que representa las preferencias de un individuo con las demandas iniciales. Preferencia Revelada Gráfico 2.15: Preferencia revelada Considere las cestas del gráfico Suponga que este consumidor tiene la restricción presupuestal graficada y demanda la cesta x cuando también z, y, y w eran comprables. Entonces se dice que: x R z; x R y; x R w, donde R significa preferencia revelada. El individuo cuyas preferencias representa el gráfico 2.15 revela que prefiere la cesta x a las cestas y, w y z. La preferencia revelada de x sobre z es débil porque x y z cuestan lo mismo. La preferencia revelada de x sobre y y w es estricta porque y y w cuestan menos que x.

45 41 Ahora, supongamos que se observa una serie de datos de demanda x i cuando los precios y el ingreso son (p i, m i ): x 1 (p 1, m 1 ) x 2 (p 2, m 2 )... x n (p n, m n ) La pregunta que surge tras observar estas demandas es: Estas demandas observadas son consistentes con el modelo de maximización de utilidad del consumidor? Definición 2.1 Si x j es la demanda observada a los precios e ingresos (p j, m j ) j; 1) Si p j x i m j x j R x i, los datos revelan que x j es preferida a x i, pues x i también se podía comprar con los precios e ingreso (p j, m j ). 2) Si p j x i < m j x j R x i, los datos revelan que x j es estrictamente preferida a x i, pues x i era estrictamente más barata a los precios e ingreso (p j, m j ). En palabras, una cesta se revela preferida sobre otra cesta cuando la otra también es comprable y sin embargo se escogió la primera. Axioma general de preferencia revelada (A.G.P.R.) Un conjunto de datos de demanda x 1, x 2,..., x n satisface el A.G.P.R. si con las preferencias que revelan los datos no es posible construir un ciclo intransitivo de la forma: x i R x j R R x i ; donde alguna de las relaciones R sea estricta, para algunos i y j en {1, 2,..., n}. Ejemplo 2.10 Determinar si el conjunto de datos de demanda observados en el cuadro siguiente satisface el A.G.P.R. Precios Ingreso Demandas (10, 10, 10) 300 (10,10,10) (10, 1, 2) 130 (9, 25, 7.5) (1, 1, 10) 110 (15, 5, 9) Primero se plantea la siguiente tabla: donde las posiciones en negrilla representan las demandas observadas a los precios correspondientes. Note que (10, 10, 10) R (15, 5, 9), porque se elegió (10,10,10) cuando (15,5,9) costaba menos. También se observa que (9, 25, 7.5) R (10, 10, 10), y, (15, 5, 9) R (9, 25, 7.5). Por lo

46 42 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR Demandas Precios (10,10,10) (9,25,7.5) (15,5,9) (10,10,10) (10,1,2) (1,1,10) tanto es posible construir el ciclo siguiente (9, 25, 7.5) R (10, 10, 10) R (15, 5, 9) R (9, 25, 7.5), el cual es intransitivo. Así, estos datos de demanda violan el A.G.P.R. Nota: Es importante tener en cuenta que cuando las cestas no se pueden comparar no necesariamente se viola el A.G.P.R. Proposición 2.3 Un conjunto finito de datos de demanda satisface A.G.P.R. sii los datos son consistentes con la maximización de utilidad de un individuo con preferencias que cumplan la no saciabilidad local. (Ver demostración en Mas Colell et al. (1995))

47 43 Ejercicios Adicionales 1. Considere la siguiente función de utilidad indirecta: ( 1 V (p 1, p 2, m) = m + 1 ) p 1 p 2 Demostrar que V satisface las propiedades de la función de utilidad indirecta (continua para todo p >> 0, m > 0; no creciente en p; cuasiconvexa en p; homogénea de grado cero en (p, m)). 2. Suponga que un consumidor tiene la función de gasto: e(p 1, p 2, u) = ( p1 ) 3 + 2p (p 1p 2 ) 1 2 u Encuentre las funciones de demanda compensadas (o Hicksianas) y Marshallianas y la función de utilidad indirecta. 3. Considere la siguiente función de utilidad definida en R 2 +. x 1 x 2 si x 1 x 2 < 4 U(x 1, x 2 ) = 4 si 4 x 1 x 2 8 x 1 x 2 si 8 < x 1 x 2 Cuál es la solución del problema de maximización de utilidad si (a) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 8? (b) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 16? (c) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 4? (d) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 8? Cuál es el planteamiento y la solución del problema de minimización del gasto, para obtener un nivel de utilidad igual a: (e) 4 si los precios de los bienes son 2 y 1 respectivamente? (f) 8 si los precios de los bienes son 2 y 1 respectivamente? (g) 4 si los precios de los bienes son 1 y 2 respectivamente? Porqué las soluciones de maximización de utilidad punto (3a) y minimización el gasto punto (3e) no coinciden?

48 44 CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR 4. Dada la siguiente función de utilidad: U(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 b 1 ) α (x 2 b 2 ) β (x 3 b 3 ) γ (Sistema lineal de gasto de Stone). Porqué se puede asumir sin pérdida de generalidad que los exponentes suman uno? Plantee el problema de maximización de utilidad. Obtenga las demandas Marshallianas x(p, m) y la función de utilidad indirecta V (p, m). Plantee el problema de minimización de costos. Obtenga las demandas Hicksianas h(p, u) y la función de gasto e(p, u). Verifique las identidades de la dualidad. 5. Suponga que un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: U(x, y) = min{x, y}. Cuánto dinero necesita esta persona a los precios (q 1, q 2 ) para alcanzar la misma utilidad que tenía cuando los precios e ingreso eran (p 1, p 2, y), es decir, cuál es su función de compensación indirecta µ(q 1, q 2 ; (p 1, p 2, y))? 6. Suponga que un la función de utilidad de Pérez es U(x, y) = x + y. Pérez tiene $50,000 y el precio de x es 1 y el de y es 2 en donde vive. Su jefe está considerando la posibilidad de trasladarlo a otra ciudad donde el precio de x es 3 y el de y es 2. No le ofrece ninguna subida salarial. Pérez, que comprende perfectamente la variación compensatoria y la equivalente, se queja amargamente. Dice que aunque no le importa trasladarse y la nueva ciudad es tan agradable como la otra, tener que trasladarse es tan malo como una reducción del salario de A dólares. También dice que no le importaría trasladarse si le ofrecieran una subida de B dólares. Cuáles son los valores de A y de B? Cuánto dinero necesita esta persona a los precios e ingreso (q 1, q 2, m) para alcanzar la misma utilidad que tenía cuando los precios e ingreso eran (p 1, p 2, m), es decir, cuál es su función de compensación indirecta µ(q 1, q 2 ; (p 1, p 2, m))? 7. Construya un ejemplo con tres datos de demandas observadas que cumpla el A.G.P.R. 8. Construya un ejemplo con tres datos de demandas observadas que viole el A.G.P.R.

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