Tema 1. Números Reales

Transcripción

1 Tem 1. Números Reles 1. El conjunto de los números Nturles (N) 1.1. Introducción históric 1.. Definición, representción y limitciones de los Nturles Distints se numérics Cmio de ses De código distinto de deciml código deciml De código deciml otro distinto.. El conjunto de números Enteros ().1. Introducción históric.. Definición, representción y limitciones de los Enteros. 3. El conjunto de números rcionles () 3.1. Introducción históric. 3.. Definición, representción y limitciones de los rcionles Expresión deciml de los números rcionles. Pso de frcción expresión deciml y de expresión deciml frcción. 4. El conjunto de los números reles () 4.1. Introducción históric 4.. Definición de los número irrcionles () y reles () 4.3. Representción de los números reles Intervlos y semirrects Operciones (unión e intersección) Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 1

2 1. Conjunto de los números Nturles ( Introducción históric Los números nturles son los que se utilizn pr contr 0, 1, l necesidd del homre en estos números surge desde el principio de los tiempos, lo complicdo pr l humnidd fue plsmr l informción del número de form simólic, es decir representrlos (tnto escrit como hld). L necesidd de los nturles es clr, los utilizmos desde que nos levntmos hst que nos costmos, l hor, el número de gllets que tommos, ls mtrículs, el DNI, el número de lumnos que hy en clse Los Nturles tienen un dole plicción, contr y ordenr que están intrínsecmente relcionds entre sí. Vemos un ejemplo de cd uno y como se relcionn: Crdinles: queremos ser cuántos lumnos hy en clse, pr lo cul los colocmos (por ejemplo por orden de pellido) y contmos: 1,, 3,4. Y semos que hy 4 lumnos en nuestr clse. Ordinles: queremos ordenr un grupo de elementos, fin de identificr cd elemento con un número, por ejemplo los lumnos de un clse. Podemos ordenrlos como hicimos en el ejemplo nterior por pellido, sí el que teng el primer pellido por orden lféticos es el primero de l clse, el siguiente el segundo, el tercero sí hst el último el vigésimo curto. En un principio (prehistori) l form de identificr los números nturles se hcí medinte l identificción con el número de piedrs, dedos o muescs en l pred; sí cutro muescs podín representr el número de visones que se hín czdo ese dí. Hoy en dí todví existen trius en Áfric que no tienen plrs pr descriir todos los números, y sólo distinguen entre l unidd y el pr. L dificultd de plsmr los números nturles l lenguje simólico es clr, pues recordemos que hy infinitos números nturles, por lo que no podremos identificr cd uno de ellos medinte un símolo distinto. Surgen sí distints forms de identificr los nturles medinte los el lenguje simólico, es lo que llmmos códigos numéricos, que son esencilmente de de tres tipos: 1. Sumtivo: El número se identific por sucesión símolos que representn un determindo vlor de elementos, siendo el número representdo l sum de todos estos símolos. El ejemplo más representtivo son los códigos egipcios, griegos, ilónicos y chinos en se 10 y el my en se 5.. Posicionles: en donde un mismos símolo tom diferente vlor según l posición en que se encuentre; sí el 5 en últim posición represent 5 elementos, en l penúltim 50, en l nterior 500, etc. Est notción es mucho más revid y cómod que l posicionl y fueron los áres los que l introdujeron y Leonrdo de Pis (Fioncci) quien l trjo occidente en el siglo XI. En l ctulidd es universlmente utilizdo el código deciml de se Mixt: mezcl ls dos nteriores, es sumtiv pero l vez un símolo tom distinto vlor según l posición en l que se encuentre. El ejemplo más crcterístico es l numerción romn. Tem elordo por José Luis Lorente Argón (

3 Antes de ver ejemplo de los distintos códigos, expliquemos que signific l plr se que h precido nteriormente en l explicción de los tipos de códigos. L se no tiene el mismo significdo pr los códigos posicionles que pr los sumtivos, unque intuitivmente son lo mismo: Así en los códigos posicionles l se es el número de símolos distintos usdos pr escriir los diferentes números nturles, y que coinciden con los primeros números nturles. Bse 10 tendremos entonces 10 símolos {0,1,,3,4,5,6,7,8,9}, prtir de los cules representmos culquier nturl, por ejemplo cutro mil trescientos veintidós es 43. En los códigos sumtivos l se es el número máximo de veces que se puede sumr un símolo, un vez más y será necesrio cmir de símolo. Por ejemplo l My que es se 5 pr representr los cinco primeros números {0,1,,3,4} se poní un, dos, tres, cutro puntos. Pr el número 5 se pone otro símolo distinto (ry) y el 6 es 5+1 (ry y punto) el 7 es 5+ (ry y dos puntos), etc. Vemos hor como son los distintos códigos que hemos nomrdo nteriormente, dándonos cuent que si son del mismo tipo y l mism se l únic diferenci será el símolo usdo en cd uno. (Figurs otenids de Sumtivos: Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 3

4 (se 10) (se 10) (se 10) Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 4

5 Notción My (código 5) Posicionl: l ctul es de origen ráig: Notción Aráig, ctul (figur 8) Mixt Romn I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX Notción Romn (figur 9) Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 5

6 1.. Definición, representción y limitciones de los Nturles. L definición forml de los nturles tiene dos nomres propios, Peno (definición xiomátic) y Cntor ( prtir de teorí de conjuntos). Los números nturles se identificn con l letr, y son como hemos dicho los que utilizmos pr contr y ordenr, es decir ={0, 1,, }. Algunos utores no incluyen el cero dentro de los nturles. Ddo que los nturles están ordendos podemos representrlos en l rect rel, sin más que fijr l posición del 0 y estlecer el tmño de l unidd: Ls pregunts que plnteo son ls siguientes, por qué necesitmos más tipos de números?, Qué limitciones tienen los nturles?. Por desgrci los nturles tienen muchs limitciones, l más clr y que d origen los números enteros es que no se pueden restr todos los nturles, sólo si en minuendo es myor o igul l sustrendo; es decir 3-7 no se puede representr sólo con los números nturles, necesitmos mplir el conjunto de números Distintos ses numérics Centrándonos hor en los códigos de numerción posicionl, vmos ver como son estos códigos según l se con l que trjemos. Estmos costumrdos usr l se 10, y culquier otr nos prece complicd y poco intuitiv, pero tods ls ses son equivlentes en cunto dificultd y utilidd, si ien como hemos crecido desde pequeños usndo el código deciml todo lo demás sust y prece extrño, l igul que los ingleses les result difícil el idiom espñol y los espñoles nos cuest el idiom inglés. Por qué código 10 si hemos dicho que son todos equivlentes?. L respuest es el origen de l representción de los números, ntes de her el lenguje simólico los números se representn con ls mnos, es decir con 10 dedos (hor tmién sólo hy que ver los niños pequeños cundo empiezn contr). Así que estos 10 dedos se cree, y con lógic, que es l rzón de que nuestro sistem de numerción se deciml. Vmos ver cómo funcion el código deciml con un ejemplo pr poder extrpolrlo l resto de códigos. Número prtir del código: 7.31= Dígitos prtir del número: Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 6

7 Los códigos numéricos más importntes son el código inrio, utilizdo en informátic (un it es un dígito). Los símolos son los que representn los dos primeros nturles {0,1} el código octl, tmién importnte en sistems computcionles (8= 3 ). Los símolos son los ocho primeros nturles {0,1,,3,4,5,6,7} el código hexdeciml, tmién relciondo su uso con l computción (16= 4 ). Los símolos son los 16 primeros nturles, del nturl 10 l 15 se representn por letrs del ecedrio:{0,1,,3,4,5,6,7,8,9,,,c,d,e,f} L notción que utilizremos pr distinguir cundo un número está escrito en uno u otro código es poniendo trs el número en pequeño l se (por comodidd pr l se 10 no se pondrá tl informción). Ejemplos: 16 8, , 91e Cmio de ses De código distinto del deciml código deciml. Es muy sencillo otener l representción de un número en código deciml prtir de otro código, sólo hy que plicr l definición y operr. Vemos lgunos ejemplos: 16 8 = = = = = =174 91e3 16 = = De código deciml otro código. Pr psr un número de código deciml otro código n tendremos que expresr el número como potencis de n, pr esto dividimos el número entre n sucesivs veces hst que el cociente menor que n, tomndo los restos otendremos el número en dicho código. Vemos dos ejemplos: 134 código octl: 134=06 8 = código hexdeciml: 1.3=4d0 16 = Ejercicio 1. Psr código deciml los siguientes números: ) ) 31 4 c) Ejercicio. Psr el número 478 los siguientes códigos: ) Octl ) Hexdeciml Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 7

8 . El conjunto de los números enteros (.1. Introducción históric. L necesidd de los enteros quedó de mnifiesto en el prtdo nterior cundo vimos l imposiilidd de con el conjunto de los nturles restr dos nturles cundo el sustrendo er myor que el minuendo. Corresponde los Indios l diferencición entre números positivos y negtivos, que interpretn como créditos y déitos, respectivmente, distinguiéndolos simólicmente (hci los ños 650 d.c.). En l Europ occidentl trdó en llegr los números negtivos, los primeros textos donde prece l notción que identificn los negtivos son de índole finncier, son textos del siglo XV. Surgen dos notciones, l lemn (+ positivo, - negtivo) y l itlin (p positivo, m negtivos). Aunque los negtivos ern y usdos en el siglo XVIII no ern ceptdos universlmente, de hecho se les llmó números surdos o flsos. Fue el mtemático Euler en este siglo el primero en drles esttuto legl y definir sus propieddes... Definición, representción y limitciones de los Enteros. Los enteros se representn por l letr y es el conjunto de los números que incluyen los nturles ({0,1,,..}) y sus opuestos los negtivos ({,-,-1}). Así los enteros son ={,-,-1,0,1,, }. Dentro de los enteros distinguimos los enteros positivos + ={1,,3 }, los enteros negtivos - ={,-3,-,1}. Con l notción nterior los enteros son por tnto l unión de los enteros positivos, los enteros negtivos y el cero: = + 0 Los enteros por tnto mplín el conjunto de los número nturles, y que les contienen (todo número nturl es entero). Est mplición se expres de form simólic como = 0 L representción de los enteros en l rect rel se hce de igul form que los nturles, estndo los enteros negtivos l izquierd del cero en l rect rel pero igulmente espcidos que los nturles. Pero los enteros l igul que los nturles siguen teniendo limitciones. Cundo dividimos un entero entre otro que no se divisor de éste (7:3 por ejemplo) el resultdo no es entero necesitmos seguir mplindo el conjunto de números! Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 8

9 3. El conjunto de los números rcionles () 3.1. Introducción históric Los números rcionles o frccionrios precieron muy pronto en l histori de ls mtemátics. Como l grn myorí de los conceptos mtemáticos, su descurimiento fue deido l necesidd de resolver un prolem. Los ntiguos necesitn medir longitudes, áres, tiempo, pesos y todo otro tipo de medids. Al enfrentrse esto en l vid cotidin, pronto descurieron que no er suficiente poder contr con los números nturles pr hcerlo de mner exct, y que ests medids ern susceptiles de divisiones más pequeñs que l unidd, o divisiones myores que l mism pero que no ern números nturles, por lo que fue necesrio mplir el concepto de número nturl. Así surgieron los números rcionles. Ls frcciones precen y en los primeros textos mtemáticos de los que hy constnci, quizás uno de los más ntiguos y más importntes se el Ppiro Rhind de Egipto, escrito hci el C. y que ps por ser l myor fuente de conocimiento de l mtemátic egipci. En Occidente no fue hst el S. XIII cundo Leonrdo de Pis, más conocido por su podo Fioncci, introdujo el concepto de números querdos o números ruptus, emplendo demás l ry pr seprr el numerdor del denomindor. 3.. Definición, representción y limitciones de los Rcionles. Antes de definir los números rcionles hy que definir frcción: cociente indicdo de dos números enteros en donde el divisor es distinto de cero ( ). Al dividendo,, se le denomin numerdor e indic lo que dividimos y l divisor,, se le llm denomindor e indic ls prtes en ls que se divide en numerdor. El conjunto de los números rcionles o frccionrios es quel que puede expresrse medinte un frcción. Está clro que los números enteros están incluidos en los rcionles, y que este te puede poner en form de frcción sin más que poner en el numerdor el propio número y en el denomindor el 1 (-7=-7/1) Prece, prtir de l definición, que frcción es lo mismo que número rcionl, pero no es sí. L frcción no es más que un form de representr los números rcionles, pero existen un infinidd de frcciones que representn el mismo número rcionl (ls frcciones equivlentes). Además como veremos los números rcionles se pueden poner tmién de form deciml. Representr los números rcionles es más complejo que los enteros. Antes de ver l representción vmos ver cómo poner l frcción como número mixto. Numero mixto está formdo por un numero entero sumdo un frcción en l que el denomindor es myor que el denomindor. Vemos lgunos ejemplos y como psr de número mixto frcción y l revés: Numero mixto frcción: = + = ; 4 = 4+ = Frcción numero mixto = = =+ = Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 9

10 = 3 3 Not: si el número es negtivo se oper como si fuer positivo poniendo luego un signo menos delte del número mixto o l frcción: =-3 (pr otenerlo hcemos como si fuer positivo =3+ y luego cmimos el signo) -5 5 Importnte: ls frcciones, los números mixtos y l expresión deciml que veremos más delnte no son tipos de números sino form de expresr los números rcionles. Psos pr representr un número rcionl (suponemos primero que es positivo): 1. Expresmos el número en form mixt: n. El número está en el segmento comprendido entre l prte enter del numero expresdo en notción mixt (n) y el siguiente nturl (n+1) 3. Dividimos el segmento nterior en tnts veces como el denomindor de l prte frccionri (). Pr hcerlo nos yudmos de un rest uxilir y del teorem de Tles 4. Tommos tnts prtes l derech de n como indique el numerdo () de l notción mixt. Vemos un ejemplo 3/4: 3/4=5 Si el número es negtivo l form de ctur es l mism pero l izquierd del cero, es decir en l prte negtiv de l rect rel. Ejercicio 3. Representr en l rect rel los siguientes números rcionles: ) /3, 9/4, -7/. L limitción de los números rcionles que hce que tengmos que mplir estos los reles es que hy números que no se pueden poner en form de frcción, los csos más importntes son ls ríces no excts (, 3 ) y el número pi (π) 3.3. Expresión deciml de los números rcionles. Pso de frcción expresión deciml y de expresión deciml frcción. Como hemos dicho en l definición de número rcionl este se puede poner en form de frcción, pero no es l únic form de expresr los rcionles, tmién se puede expresr en form deciml. Pr otener est expresión no tenemos más que dividir l frcción, numerdor entre denomindor. Cundo dividimos puede ocurrir dos opciones, que l división termine con resto cero, o que llegue un momento que l expresión deci- Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 10

11 ml se empiece repetir (periodo). Según l expresión deciml los números rcionles pueden ser de tres tipos: Exctos: cundo tienen un número finito de cifrs decimles (el resto d cero en lgún momento). Ejemplos: 4, 0.5, 3,4375 Periódicos puros: el periodo está justo después de l com, el periodo puede tener culquier número de cifrs. Ejemplos: 0. 3, 1. 35,, 564 Periódicos mixtos: el periodo no está después de l com hy l menos un cifr deciml ntes. Ejemplos: 1,53, 0,10185 Se puede ser el tipo de expresión deciml prtir de denomindor de l frcción irreducile: Si el denomindor sólo divisile por dos y por cinco es exct (,, ) Si no es divisile por dos ni cinco es periódic pur (, ) Si es divisile por dos o cinco y l menos lgún número primo más es periódic mixt (, ). Pr psr de frcción expresión deciml no hy más que dividir hst que el resto se cero (exct) o se empiece repetir (periódic pur o mixt) Ejercicio 4. Identific sin dividir si l expresión deciml de los siguientes números rcionles es exct, periódic pur o mixt prtir del denomindor. Clcul l expresión deciml dividiendo. ) Vmos ver hor como psr de expresión deciml frcción, pero ntes recordemos que sólo se pueden poner en form de frcción si l expresión deciml es exct o periódic, por ejemplo el número π que tiene infinits cifrs no periódics no se puede poner como un frcción. Antes de ver como se otiene l frcción usemos l siguiente notción E A pr ls expresiones decimles de los rcionles, donde E es l prte enter, A es el nteperiodo si lo tiene, y P el periodo. Por ejemplo en 1,3456 E=1, A=34, P=56. Pr otener l frcción de l expresión deciml hy que hcerlo de form distint según l expresión deciml. Llmremos x l número que queremos poner en form de frcción: ) Expresión deciml exct: multiplicmos x por 10 si tiene un cifr deciml, 100 si tiene dos, etc. Despejmos x y tendremos l frcción, si est no es irreducile no tenemos más que simplificrl. Ejemplo: x= 0, x=34 x= ) Expresión deciml periódic pur: multiplicmos x por 10 si tiene el periodo un cifr, 100 si tiene dos, etc. Restmos est expresión otenid x, de form que el número que result es entero pues se v el periodo. Despejmos l x y tendremos el número en form de frcción; simplificmos si es menester. Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 11

12 Ejemplo: x=3, 1 100x=31, 1 x= 3, 1 99x=318 x= c) Expresión deciml periódic mixt: multiplicmos x por 100 si ls sum de ls cifrs del periodo y nteperiodo son, 100 si son 3, etc. Restmos l cntidd otenid por 10x si el nteperiodo tiene un cifr, 100x si tiene dos etc. El número otenido es entero y que se v el periodo. Despejndo l x tendremos l frcción desed, y sólo nos qued simplificrl si no es irreducile. Ejemplo: 1, x=101, 1 100x= 10, 1 900x=10819 x= Existen tres fórmuls que nos permiten otener de form direct l frcción: ) Expresión deciml exct: ) Expresión deciml periódic pur: c) Expresión deciml periódic mixt Ejemplo: 1,01 = EA x = Ejemplo nterior 0,34= { cifrs A { cifrs P EP E x = Ejemplo: 3, 1 = x = EAP EA {{ cifrs Pcifrs A Ejercicio 5. Psr frcción ls siguientes expresiones decimles (no usr ls fórmuls, solo pr compror). ) 11, 9, ) 3,1, c) 1,391, d) 4,9 e) 1, El conjunto de los números reles () 4.1. Introducción históric Y en l époc de los griegos se cree que sín perfectmente de l imposiilidd de expresr lgún número (l hipotenus de un triángulo rectángulo de ctetos l unidd ) en form de frcción, es decir l necesidd de mplir el conjunto de números. El prolem que surge en est époc que los Pitgóricos tenín como principio mtemático que los números ern todos de tipo rcionl, por lo que mntuvieron el descurimiento en secreto. Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 1

13 4.. Definición de los número irrcionles () y reles () Definición de los números Irrcionles: son quellos que no son rcionles, y por tnto no se pueden poner en form de frcción. Se crcterizn porque tienen infinits cifrs decimles no periódics. Existen infinitos números irrcionles entre dos números culesquier. Los números irrcionles más usdos son ls ríces no excts:, 3, 5, 7 unque existen infinidd de ellos, simplemente con que tengn infinits cifrs no periódics tendrímos uno, como por ejemplo 7,1111 Existen tres números irrcionles con símolo propio por su importnci: El número pi (π): su nomre es en honor Pitágors, y represent el cociente entre l longitud de l circunferenci y su diámetro ( l= π r π=l/(r)). Ls primers cifrs de π son π= El número e, en honor l mtemático del siglo XVII Euler. L definición de este número sdo en el concepto de límites y lo veremos más delnte. Ls primers cifrs del número son e=,7188 El numero fi (φ o Φ) tmién conocido como número de oro o divin proporción. Su origen es geométrico (ver nexo del finl del tem). Su nomre se dee Φ=1, l escultor griego Fidis. Ls primers cifrs del número son El conjunto formdo por l unión de todos los rcionles () y de los Irrcionles () formn el conjunto de los números reles () que son todos los números que veremos este ño (en primero de ciencis se mplín los complejos). = Vmos ver un gráfico donde vemos ls sucesivs mpliciones de números:,,, 1.,-3,-,-1, 3,,, 0,1,,3 Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 13

14 Ejercicio 6: Clsificr los siguientes números indicndo que conjunto,,,,, pertenecen: - 9, -5,,,, 1.34, Ejercicio 7: Demuestr que el número es irrcionl, es decir no se puede poner en form de frcción. Pr ello escriir en el uscdor de Google el texto ríz de dos es irrcionl lee ls we, entiéndelo y expréslo con tus plrs de form correct Representción de los número reles En este prtdo vmos centrrnos en representr los irrcionles, pues los rcionles lo vimos en el prtdo 3. Sólo se pueden representr de form exct los irrcionles en form de ríz, los demás se hcen de form proximd. Pr representr utilizmos el teorem de Pitágors, uscndo dos números que sepmos representr y c tl que = +c, de est form l hipotenus de este triángulo rectángulo es el número irrcionl uscdo. Muchos irrcionles los podemos representr prtir de dos ctetos enteros, pero muchos de ellos se representn prtir de l ríz nterior. Ejemplos de representción de ls ríces que se otienen con dos ctos nturles: = = = = + 1 Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 14

15 8 = = Vemos hor como representr ríces que son imposiles de otener prtir de triángulos rectángulos con ctetos nturles, y por tnto necesitmos representr ntes l ríz nterior. ( ) = ( ) 1 3 = + De est form podemos representr culquier ríz, muchs veces tenemos que repre- sentr 1, o vrios ríces ntes. Por ejemplo 6 = + ( ), 7 = + ( 3) Ejercicio 8: Representr ls siguientes ríces 10, 18 Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 15

16 4.4. Intervlos y semirrects Los intervlos son los conjuntos de los números reles comprendidos entre dos puntos (extremos), dependiendo si los extremos están comprendidos o no en el intervlo se distinguen tres tipos de intervlos: Cerrdos: los extremos pertenecen l intervlo, l notción es con corchete [,]={x } Ejemplo: [-,3]={x 3} - 3 Aiertos: los extremos pertenecen l intervlo, l notción es con préntesis (,)={x } Ejemplo: (-1,)={x 1 } -1 Semiiertos o semicerrdos: un extremo pertenece l intervlo y el otro no [,)={x }, (,]={x } Ejemplo: [0,4)={x 0 4} 0 4 Ls semirrects son los conjuntos de los números reles myores o menores que un punto (extremo), dependiendo si el extremo está comprendidos o no en el intervlo se distinguen dos tipos de intervlos; l notción con infinito es siempre préntesis: Cerrdos: el extremo pertenecen l intervlo, l notción es con corchete [, )={x } (-,]={x } Ejemplo: [-, )={x } - Aiertos: el extremo no pertenecen l intervlo, l notción es con préntesis (, )={x } (-,)={x } Ejemplo: (-,)={x } - Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 16

17 CONJUNTOS MÁS IMPORTANTES DE LA RECTA REAL SUBCONJUNTO SIMBOLO DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN (,)={x R:<x<} Intervlo (,) Números entre y (no incluidos) Aierto Intervlo Cerrdo [,] [,]={ x R: x } Números entre y (incluidos) Intervlos Semiierto (,] [,) (,]= {x R:<x } [,)= {x R: x<} Números entre y (uno incluido) Semirrects ierts (, ) (-,) (, )={x R: x>} (-,)={x R:x<} Semirrects cerrds [, ) (-,] [, )={x R : x } (-,]={x R : x } Ejercicio 9: Representr los siguientes intervlos y semirrects y expresr en form simólic: ) (-,4] ) (3,10) c) [1,4] d) (-,] e) (1, ) f) [3, ) 4.5. Operciones con conjuntos, unión e intersección. Ls operciones más importntes con intervlos y semirrects son l unión y l intersección: Unión de dos conjuntos: es el conjunto formdo por los números que están en uno o en el otro conjunto. A B={x A ó x B} Intersección de dos conjuntos: es el conjunto formdo por los números que están en uno y en el otro conjunto. A B={x A y x B} Ejemplos: (-,5] (-4,0)=(-4,5] Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 17

18 (-,-1) (-4,0)=(-4,-1) Ejercicio 10: Representr y clculr los siguientes intervlos: ) (-1,] (0,4) ) (-,1] (0,3] c) (-,0) (-1, ) d) (-,0] [1,3) Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 18

19 Soluciones los ejercicios: 1) ) , ) 57, c) 87 ) ) 736 8, 1de 16 3) -7/ /3 9/ ) ) Periódico mixto 6= 3 4,16 ) Excto 0= 5 0,65 c) Ojo l frcción no irreducile. Excto 10= 5 0,3 d) Periódico puro 1=3 7 0, ) ) 1, ), c), d), e) 6) - 9=-3,,, -5,,,,, 1.34, 7) Ver l we 8) 1.111, =1,,, Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 19

20 9) Sólo hy que cmir ls y de l teorí por los números de los intervlos. 10) ) (-1,] (0,4)=(-1,4) ) (-,1] (0,3]=[1,3] c) (-,0) (-1, )= d) (-,0] [1,3)= Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 0

21 Anexo (numero Φ): ver el siguiente enlce: Tem elordo por José Luis Lorente Argón ( 1