TEMA 1: NÚMEROS REALES 1.1 Numeros racionales Ejemplo:

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1 TEMA : NÚMEROS REALES. Numeros racionales Ejemplo: 4... Entonces puedo expresar el "" de infinitas formas, siendo su fracción generatriz la que es irreducible. En nuestro caso Otro ejemplo de número racional es Siendo en este caso la fracción generatriz 8 Volvemos al.0 que es un número decimal exacto pues la división es exacta, es decir el resto es cero. Volvemos al 0.85 que es un número decimal exacto pues la división es exacta, es decir el 8 resto es cero. Cojemos. que es un número decimal periodico puro pues la tiene un bloque de cifras que se repite indefinidamente a continucacion de si mismo justo después de la coma. Cojemos que es un número decimal periodico mixto pues hay cifras entre 4 la coma y el bloque de cifras que se repite indefinidamente a continucacion de si mismo. De igual forma hemos de ser capaces de transformar un número decimal en una fracción. Vamos a hacerlo para un número decimal exacto: Vamos a hacerlo para un número decimal periódico puro: Llamamos N Multiplicamos N por 00, pues tiene dos cifras de periodo: 00N Es decir, hemos obtenido otro número decimal periódico puro con el mism periodo que el dado. Esto hace que cuando restemos el mayor del menor, me desaparezcan los periodos: 00N N lo que nos da 99N N Vamos a hacerlo para un número decimal periódico mixto: Tenemos dos cifras de anteperiodo (5) y una cifra de periodo. Llamamos N.5... Multiplicamos N por 00, pues tiene dos cifras de anteperiodo: 00N 5... También multiplicamos N por 000 pues tenemos dos cifras de anteperiodo y una de periodo. 000N 5... Es decir, hemos obtenido dos números decimales periódicos puros con el mismo periodo. Esto hace que cuando restemos el mayor del menor, me desaparezcan los periodos: 000N N N 00N N 84 Asi, al restar en columna nos da 900N 84 N Tareas 0-09-: todos los ejercicios de la página 0. Números irracionales. Números reales. Ejemplos de números irracionales

2 Da ejemplos de números que sean irracionales: a) es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin En general todas las raíces no exactas son números irracionales. b) es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin c) es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin d) es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin e) es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin f) es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin Ejemplo de valores absolutos. Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a) pues o b) pues 0 Comprueba la verdad de las propiedades del valor absoluto: a) Los ejemplos del apartado anterior confirman que el valor absoluto de un número no nulo es mayor que cero. b) Por otro lado tenemos que: Entonces podemos concluir que: c) 8 8 Por otro lado tenemos que: 4 Entonces podemos concluir que: Tareas 0-09-: todos los ejercicios de la página.. Representación de números reales Tareas para casa: -09- todos los ejercicios de la página..4 Aproximaciones de un número real. Errores. Ejemplos de redondeo de números irracionales: Redondea a los siguientes ordenes: a) a las décimas:. b) a las milésimas:.4 c) a las cienmilésimas:. 459 d) a las diezmilésimas:. 46 Ejemplos de errores cometidos al redondear un número irracional: Calcula los errores cometidos en cada uno de los redondeos del apartado anterior: a) a las décimas: E En este caso la aproximación ha sido por defecto pues b) a las milésimas: E En este caso la aproximación ha sido por exceso pues

3 Vamos a calcular a partir de los errores absolutos obtenidos anteriormente los correspondientes errores relativos.. a) a las décimas: E r b) a las milésimas: E r El error relativo es mayor en las décimas. Tareas para casa: -09- todos los ejercicios de la página..5 Suma y producto de números reales Tareas para casa: todos los ejercicios de la página 4..6 Potencias de números reales Ejemplo de las propiedades de las potencias Aplica las propiedades de las potencias en las siguientes expresiones: a) 5 5 b) c) Tareas para casa: todos los ejercicios de la página 5.. Radicales Ejemplo Realiza las siguientes operaciones: a) Tareas para casa: todos los ejercicios de la página..8 Intervalos y entornos Ejemplos de entornos e intervalos, junto con su representación Define y representa los siguientes conjuntos numéricos: a),4 x R/x 4 serían todos los números reales tales que x es menor que 4. Es un semirrecta. b) 0, x R/x 0 serían todos los números reales tales que x es mayor o igual que -0 Es un semirrecta. c) 5, No es nada pues el extremo inferior ha de ser más pequeño que el superior. d), x R/ x serían todos los números reales tales que x es mayor que - pero más pequeño que. Es un intervalo abierto e) 5,6 x R/5 x 6 serían todos los números reales comprendidos entre 5 y 6 incluyendo a estos. Es un intervalo cerrado. f) E,0.5 x R/ 0.5 x 0.5 x R/.5 x.5.5,.5

4 Es el entorno abierto de centro - y radio 0.5 g) E4,0.5 x R/4 0.5 x x R/.5 x 4.5.5,4,5 Es el entorno cerrado de centro 4 y radio 0.5 Tareas todos los ejercicios de la página 8 Tareas todos los ejercicios de la página 9 Ejercicios finales del Tema Di si los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales: a) 8 4 es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real. b) es un número entero, es racional y por último es real. c) es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es decir, es un número racional y por último es real. d) es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es decir, 5 es un número racional y por último es real. e) 9 es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real. f) 4 es un número irracional pues la 4 no es una raiz exacta. Por lo tanto sólo es real Tareas para casa -09:, 4 Halla un número fraccionario comprendido entre y Buscamos fracciones equivalentes a las dadas que no tengan numeradores consecutivos. Elegimos el 4 porque me apetece: Ya tenemos dos fracciones que no tienen numeradores consecutivos. Una solución sería: Tareas para casa -09:5, 6, 8 Calcula de forma exacta el resultado de: Tenemos que encontrar la fracción generatriz de todos los números decimales periódicos que aparecen. a) b) c) d) Por lo tanto: Tareas -09-: 9 NOTA: Fracción generatriz de un decimal exacto: en el numerador se escribe el número decimal sin 4

5 coma y, en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Fracción generatriz de un decimal periódico puro: en el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo. Fracción generatriz de un decimal periódico mixto: en el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. 40 Desarrolla el valor absoluto de las siguientes expresiones omitiendo los valores absolutos. a) x 4 x Sabemos que x x if x 0 x if x 0 x 4 x x 4 x if x 4 0 x 4 x if x 4 0 x 4 if x 4 x 4 x if x 4 x 4 if x 4 x 4 if x 4 x 4 if x x 4 if x Tareas 8-09-: el resto de los ejercicios del 40, 4 4 Representa los siguientes números reales. e) 5 Buscamos cuadrados que al sumarlos me de Entonces 5 Aplicando el Teorema de Pitágoras, 5 será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de cuyos catetos miden y. Tareas 8-09-: el resto de los ejercicios del 4, Escribe aproximaciones por exceso y por defecto con tres cifras decimales de los siguientes números. b) Otra forma de hacerlo sería: 4 Utilizando la calculadora tenemos que: por exceso por defecto Tareas 8-09-: el resto de los ejercicios del 45, 46, 4, 48, Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al tomar.9 como valor de. E E r Tareas 0-0-: 50, 5, 5, 5, Calcula con tres decimales mediante aproximaciones sucesivas. 5

6 Tomo el redondeo de con dos cifras decimales: Tomo el redondeo de con una cifra decimal: aproximaciones de aproximaciones de Halla las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales: d) x x x x x x 4 x x 4 x x x x x 4 x 9 4 x 5 x 5 Tareas 0-0-: todos los ejercicios que faltan del 56 5 Halla las siguientes sumas y restas de radicales: d) Tareas 0-0-: todos los ejercicios que faltan del 5 58 Simplifica el valor de las siguientes expresiones. h) 4 Aplicamos el cuadrado de la diferencia: a b a ab b Tareas 0-0-: todos los ejercicios que faltan del Simplifica las siguientes expresiones: b) Se puede hacer aplicando: el cuadrado de la diferencia suma por diferencia: a ba b a b Vamos a intentarlo de otra manera: Sacaremos factor común,

7 Tareas 0-0-: todos los ejercicios que faltan del Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones f) Tareas 0-0-: todos los ejercicios que faltan del Dados los intervalos A,4 y B,6, calcula: a) A B,6 La unión se define como los elementos que pertenecen a A o a B. Es decir, los que están en A o en B. b) A B,4 La intersección se define como los elementos que pertenecen a A y a B. Es decir, los elementos que están a la vez en A y en B. Tareas 0-0-: 6,6 64 Expresa en forma de intervalo y de entorno los siguientes conjuntos de números reales: d) x x Aqui tenemos el conjunto x R/ x x R/ x x R/ x E,, Tareas 04-0-: todos los ejercicios que faltan del Escribe en notación científica los siguientes números: f) Tareas 04-0-: todos los ejercicios que faltan del Halla los siguientes productos y cocientes dando el resultado en notación científica. d) Tareas 04-0-: todos los ejercicios que faltan del 66, 6, 69, 0 68 Una habitación con forma de ortoedro de base cuadrada y altura la mitad del lado de la base se pinto en tres días. Se pintaron las cuatro paredes y el techo. En el primer día se pintó la tercera parte de la superficie; en el segundo, la mitad de lo que quedada, y en el tercero los 5 m que faltaban para acabar el trabajo. a) Calcula la superficie total de la habitación y la superficie que se hizo cada día. Llamamos x al lado de la base cuadrada. Por lo tanto, la altura del ortoedro será x. En total pintamos cuatro paredes iguales y el techo (que coincide con la base). La superficie de una de las paredes es: x x x La superficie del techo es: x x x La superficie total será: 4 x x 4 x x x x x el primer día se pintó la tercera parte de la superficie: x x

8 el segundo, la mitad de lo que quedada: x x el tercero los 5 m que faltaban para acabar el trabajo (x x x x : 5 x x 5 La solución es que la base vale 5 Entonces la superficie total será: x 5 45 m Cada día se pintaron: 5 m pues todos los días se pintó la misma superficie. b) Calcula las medidas de cada una de las paredes y el volumen con la precisión adecuada. Las paredes tienen de longitudes 5 m y 5 m por lo que la superficie es: 5m Elvolumenesáreadelabaseporlaaltura: m Como trabajamos en el mundo real vamos a tomar m medida de la base. Por lo tanto el volumen será: m Tareas 05-0-:,, 6,, 8, 80, 8, 8, Una empresa elabora latas de conserva con forma cilíndrica de dimensiones 5 cm de radi de la base y 0 cm de altura. Tras un estudio de mercado, decide cambiar la forma de las latas: serán ortoedros de base cuadrada y de altura el doble del lado de la base. Cuáles serán las dimensiones de la nueva forma si la capacidad debe de ser la misma? Establece la solución con la aproximación que consideres oportuna. Volumen de la lata: área de la basealtura cm Volumen del tetrabrik: área de la basealtura x x x (ortoedro) Como los volúmenes han de ser iguales: 50 x x cm Asi trabajaremos en mm. Las dimensiones serán 9.cm para el lado de la base y 8.4 paralaalturadelalata. 4 Una empresa A cobra por el alquiler de una furgoneta 80 euros diarios. Otra empresa B cobra por el mismo alquiler 60 euros al día. Pero a esta cantidad se le deben añadir 00 euros independientemente del tiempo que se contrate. A partir de cuántos días es más económica la segunda empresa? Escribe la solución en forma de desigualdad y de intervalo. fijo diario total x días empresa A x empresa B x Igualamos: 80x 00 60x, Solution is: 0 80x if 0 x 0 Alquiler de la furgoneta 00 60x if 0 x 80x if x 0, x if x 0, 8