El orden de los números racionales. Algunas nociones básicas sobre conjuntos linealmente ordenados. Hiliana Angulo Carlos A.

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3 El orden de los números racionales. Algunas nociones básicas sobre conjuntos linealmente ordenados Hiliana Angulo Carlos A. Di Prisco 2 de enero de 2012

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5 i Prefacio. En estas notas presentamos algunos conceptos básicos sobre conjuntos linealmente ordenados poniendo especial énfasis en el conjunto de los números racionales. Siendo estas notas un apoyo para el curso de la Escuela Venezolana para la Enseñanza de las Matemáticas, no pretendemos hacer un estudio completo sobre conjuntos linealmente ordenados, sino apenas hacer una presentación introductoria con la esperanza de que estimule el interés de los lectores y los anime a leer sobre estos temas en otras fuentes bibliográficas. Si bien nuestro propósito principal es mostrar algunas de las propiedades más importantes del orden de los números racionales, comenzamos estudiando el orden de los números naturales y el de los números enteros, lo que nos servirá para iniciar la presentación de las ideas principales en un contexto más sencillo y para luego establecer comparaciones que puedan ayudar a comprender las propiedades más interesantes del orden de los números racionales. Hemos incluido también un corto capítulo sobre el orden de los números reales ya que éstos constitutyen la base del análisis matemático y su orden tiene propiedades íntimamente ligadas a las del orden de los números racionales. Los temas tratados en estas notas están al alcance de estudiantes avanzados de educación media que estén familiarizados con el concepto de función, especialmente con los conceptos de inyectividad y sobreyectividad de funciones. Nos podríamos preguntar si tiene sentido estudiar estos temas, ya que no se incluyen en los programas de matemáticas de la educación media. Sin ninguna duda la respuesta es afirmativa, los sistemas numéricos estudiados aquí son elementos básicos del edificio matemático, y su estudio como sistemas ordenados ayudará a ampliar la perspectiva que tanto el alumno como el docente tiene sobre ellos. Por otra parte, estudiando el orden lo estos sistemas numéricos, incluso en sus aspectos más elementales, se puede llegar a vislumbrar la profundidad de los conceptos involucrados, y cómo los conceptos más básicos presentan inmediatamene interrogantes cuyas repuestas requieren desarrollos que pueden alcanzar altos niveles de complejidad. Esperamos haber logrado plasmar en estas notas algunos de los aspectos estéticos más agradables del tema de los conjuntos linealmente ordenados y que el lector encuentre en su estudio algún pequeño disfrute intelectual. junio de 2009

6 ii Comentario para la segunda edición. Para esta segunda edición del texto, preparada para la XIV Escuela Venezolana para la enseñanza de la Matemática, hemos hecho algunas correcciones al texto y hemos añadido algunos ejercicios. Además hemos agregado algunas secciones que describimos a continuación. En el capítulo sobre los números racionales hay una nueva sección llamada Una representación de los números racionales donde se presenta una manera de ver el orden de los racionales usando sucesiones finitas de ceros y unos ordenadas lexicográficamente. En el capítulo sobre el orden de los números reales hay una nueva sección sobre líneas de Suslin donde nos referimos a un problema sobre la caracterización del orden de los números reales que ha generado interesantes desarrollos en el estudio de los oŕdenes parciales y que está ligado con los profundos avances de la teoría de conjuntos posteriores a la década de los Para esta edición agregamos, además, un nuevo capítulo sobre conjuntos bien ordenados y números ordinales. Sin pretender hacer un estudio exhaustivo de los números ordinales indicamos brevemente algunas de sus propiedades básicas. julio de 2010

7 ÍNDICE GENERAL 1. Conjuntos linealmente ordenados Ordenando ( o desordenando?) los números naturales Conjuntos linealmente ordenados Relaciones entre órdenes Características de conjuntos linealmente ordenados Operaciones con conjuntos linealmente ordenados El orden de los números naturales Caracterización del orden de los números naturales El orden de los números naturales es rígido Particiones del conjunto de los números naturales El orden de los números enteros Caracterización del orden de los números enteros Automorfismos de Z Particiones del conjunto de los números enteros El orden de los números racionales Propiedades del orden de los racionales Conjuntos numerables Automorfismos del orden de los números racionales Particiones de los racionales Una representación de los racionales iii

8 iv ÍNDICE GENERAL 5. El orden de los números reales Puntos en una recta. Números irracionales El Principio del Supremo Qué son los números reales? Propiedades características del orden de R Líneas de Suslin Conjuntos bien ordenados Buenos órdenes Ordinales A. Apéndice. Conjuntos, relaciones y funciones 63 A.1. Operaciones con conjuntos A.2. El producto cartesiano A.3. Funciones A.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas A.4.1. Funciones inyectivas A.4.2. Funciones sobreyectivas A.4.3. Funciones biyectivas A.5. Composición de funciones B. Apéndice. Números irracionales. 75

9 CAPÍTULO 1 Conjuntos linealmente ordenados 1.1. Ordenando ( o desordenando?) los números naturales Comenzaremos examinando algo con lo que todos estamos familiarizados: cómo ordenar en fila a los alumnos de una clase. En algunas escuelas los alumnos se ponen en fila por orden de tamaño: los más chiquitos adelante y los grandes hacia atrás. Pero esa no es la única forma razonable de poner a los alumnos en fila. También se podría ponerlos por orden alfabético según el apellido, o por orden alfabético del primer nombre. Aquí podría presentarse un problema: qué se hace si dos alumnos tienen el mismo apellido? Quizás varios tienen el mismo apellido Pérez. Entonces podríamos decidir que entre los Pérez usamos el orden dado por el tamaño, o por la inicial del segundo apellido. Curiosamente creo que nunca piden a los alumnos ordenarse en formación por orden de tamaño comenzando con el más alto y terminando con el más pequeño, pero esa es, sin duda, otra posibilidad. Ahora vamos a mirar ese mismo tipo de problema pero en un contexto más matemático. Vamos a ordenar en fila a los números naturales. Usualmente ordenamos a los números naturales por su tamaño: de menor a mayor; primero el cero, luego el uno, después el dos, etc. 0, 1, 2, 3, 4,... 1

10 2 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS pero esa no es la única forma de poner esos números en fila. Podríamos invertir el orden, es decir, poner el cero de último, el uno de penúltimo, etc., para obtener...,4, 3, 2, 1, 0. Esta es otra manera de ordenar los números naturales con importantes diferencias respecto a la primera, por ejemplo, el orden creciente tiene un primer elemento, y no tiene último, en cambio, la segunda ordenación no tiene primer elemento pero si tiene último. Para comenzar a obtener una idea sobre lo que se llama en matemáticas conjuntos linealmente ordenados, vamos a examinar toda una variedad de formas de ordenar los números naturales, y posteriormente vamos a dar algunas definiciones formales en un contexto más amplio. De ahora en adelante, cuando digamos que un número es menor que otro, debemos tener cuidado en mencionar a cual orden nos referimos. Por ejemplo, en el orden invertido que presentamos arriba, el 4 es menor que el 3, y este es menor que el 2, etc. Pongamos ahora primero los números pares, con su orden natural de menor a mayor y a continuación los números impares para obtener el siguiente orden: 0, 2, 4, 6, 8,... 1, 3, 5, 7, 9,..., 0, 2, 4, 6, 8,...1, 3, 5, 7, 9,.... Con los números naturales ordenados así, cualquier número par está antes que cualquier número impar, pero los pares quedan en su orden natural, y también los impares quedan en su orden natural. Así, en este orden, el 4 viene antes que el 1, y éste viene antes que el 3. Nótese que aquí el 1 no tiene un predecesor inmediato. Hagamos ahora algo un poco más complicado. Pongamos primero los números divisibles por 3, es decir los n tales que n = 0 (mod 3), 0, 3, 6, 9, 12,...

11 1.1. ORDENANDO ( O DESORDENANDO?) LOS NÚMEROS NATURALES3 a continuación los que dejan resto 1 al ser divididos por 3 (estos son los n tales que n = 1 (mod 3), 1, 4, 7, 10, 13,... y finalmente los que dejan resto 2 al ser divididos por 3 (es decir, los n = 2 (mod 3)), 2, 5, 8, 11, 14,... De este modo obtenemos 0, 3, 6, 9, 12,...1, 4, 7, 10, 13,...2, 5, 8, 11, 14,... Vale la pena aprovechar este momento para hacer algunos comentarios. La fila de los números pares 0, 2, 4, 6, 8,... y la fila de todos los números naturales 0, 1, 2, 3, 4,... tienen la misma forma: hay un primer elemento, luego un sucesor, luego otro, etc. y no hay un último de la fila. Incluso podemos fácilmente definir una biyección entre N y los números pares que preserve el orden, es decir, que si m < n, entonces f(m) < f(n). En efecto, la función definida por f(n) = 2n tiene esas características. En cambio la fila que obtuvimos poniendo primero los pares y luego los impares es diferente, no tiene la misma forma. Una manera de ver que es muy diferente es la siguiente: imaginemos que vamos a pasar la lista de clase y la pasamos en el orden de la fila. Comenzamos nombrando al cero, luego al dos, después el cuatro, etc. Tenemos que nombrar infinitos alumnos (todos los números pares) antes de llegar a nombrar el 1. Es interesante hacer notar que en este caso, aunque podemos definir funciones inyectivas que vayan de N con su orden natural 0, 1, 2, 3, 4,... en N con el orden 0, 2, 4,..., 1, 3, 5,... que preserven el orden, no existe ninguna función biyectiva que preserve el orden. En el ejemplo que dimos usando la división por 3, 0, 3, 6, 9, 12,...1, 4, 7, 10, 13,...2, 5, 8, 11, 14,... tenemos tres listas infinitas, una a continuación de la otra.

12 4 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS Ejercicio Usando la división por 4, obtenga un orden de los números naturales que luzca como cuatro listas infinitas una a continuación de la otra. Ejercicio Se le ocurre al lector una manera de ordenar los números naturales de modo que queden infinitas listas infinitas, una a continuación de la otra? Si ponemos en fila los alumnos de un salón de clase, la fila tiene siempre el mismo largo, no importa como se ordenen los alumnos, si por orden alfabético o por orden de tamaño, con los números naturales la situación es diferente: el largo de la fila puede variar dependiendo de cómo se ordenen los números. En la sección siguiente trataremos de hacer más precisas estas nociones Conjuntos linealmente ordenados Sea A un conjunto, decimos que A está linealmente ordenado, o totalmente ordenado, cuando sus elementos están relacionados de tal manera que para cada par {a, b} de elementos de A (con a b), o bien a está situado antes de b, o b está situado antes de a. En matemáticas resultan interesantes los ejemplos proporcionados por N, los números naturales, Z, los números enteros, Q, los números racionales, y R, los números reales. Estas notas estarán dedicadas a estudiar algunas propiedades de la forma cómo estos conjuntos están naturalmente ordenados y también a explorar de qué otras formas se pueden ordenar para obtener conjunto linealmente ordenados con propiedades interesantes. Definición Un orden parcial en un conjunto A es una relación binaria R en A que satisface 1. Si (x, y) R y (y, z) R, entonces (x, z) R; 2. Para cada x A, (x, x) / R. Si además los elementos de A son comparables dos a dos, decimos que el orden es un orden lineal. La definición formal es la siguiente. Definición Un orden lineal del conjunto A es una relación binaria R en A que satisface 1. Si (x, y) R y (y, z) R, entonces (x, z) R;

13 1.2. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS 5 2. Para cada x A, (x, x) / R; 3. Dados x, y A, x y, o bien (x, y) R o (y, x) R, pero no ambos. Si R es un orden lineal, la expresión (x, y) R quiere decir que en el orden dado por R, x va antes que y. A manera de ejemplo, tenemos que el orden usual de los números naturales es un orden lineal, este orden es el conjunto de los pares (n, m) tales que n < m. La relación de divisibilidad en los números naturales define un orden parcial D: (k, m) D si k divide a m propiamente, es decir, si existe un número natural n > 1 tal que k n = m. Este no es un orden lineal, ya que podemos encontrar dos números tales que ninguno divide al otro. Por ejemplo 5 y 7; ni 5 divide a 7 ni 7 divide a 5. Como hemos visto en la sección anterior, podemos definir otros órdenes en N, por ejemplo podemos invertir el orden natural, o podemos poner el cero de último, o podemos ordenar N poniendo primero los números pares y después los impares. Estos órdenes se definen formalmente de la manera siguiente: El orden natural de N, que llamaremos R N, es el conjunto de pares Consideremos ahora R N = {(m, n) : m, n N y m < n}. R = {(m, n) : m, n N y n < m}. Para R, m va antes que n si m > n, y por lo tanto R es el orden que invierte el orden natural, es decir:...,5, 4, 3, 2, 1, 0 Cómo podemos definir formalmente el orden de los números naturales según el cual los pares (en orden creciente) van antes que los impares (éstos también en su orden creciente)?

14 6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS Para responder la pregunta, definamos el orden lineal R p,i como sigue (usamos el subíndice p, i para recordar que primero van los pares y luego los impares) : R p,i = {(m, n) : m < n y tanto m como n son números pares, o m < n y tanto m como n son impares, o m es par y n es impar} Así obtenemos los números en el siguiente orden: 0, 2, 4, 6,...1, 3, 5, 7,... Miremos ahora el orden en el que el cero pasa a ocupar el lugar de último de la fila. R 0 = {(m, n) : (0 < m < n) o (n = 0 y 0 < m)} El lector debe convencerse de que estas relaciones satisfacen en realidad la descripción con palabras que hemos hecho de ellas. Ejercicio Defina formalmente la relación que ordena los números naturales poniendo primero los impares y luego los pares. Ejercicio Defina formalmente la relación que ordena los números naturales poniendo primero los múltiplos de 3, luego los números que dejan resto 1 al ser divididos por 3, y finalmente los que dejan resto 2 al ser divididos por 3, y cada una de esas clases de números ordenadas en forma creciente. Tal como en la definición formal de conjunto linealmente ordenado, la expresión (N, R N ) denota al conjunto de los números naturales con su orden usual. Es importante distinguir entre el conjunto N y el conjunto linealmente ordenado (N, R N ), ya que, como sabemos, el conjunto N puede ser linealmente ordenado de muchas maneras distintas. Por ejemplo, (N, R p,i ) denota el mismo conjunto N pero ordenado de modo que primero van los números pares y luego los impares. De la misma manera podemos considerar otros conjuntos linealmente ordenados como el de los números enteros Z con su orden habitual que denotaremos por R Z, o los números racionales Q, con su orden usual que denotaremos por R Q. Así obtenemos los conjuntos linealmente ordenados (Z, R Z )

15 1.3. RELACIONES ENTRE ÓRDENES. 7 y (Q, R Q ). Los conjuntos Z y Q también pueden ordenarse linealmente de muchas maneras distintas, pero sus órdenes naturales son suficientemente interesantes para estudiarlos con detalle, cosa que haremos en capítulos posteriores. Observación Es quizás oportuno hacer ahora una observación sobre la notación. Si (A, R A ) es un conjunto linealmente ordenado, y no estamos considerando otra relación de orden en A, en vez de escribir (x, y) R A para expresar que x va antes que y en el orden dado por R A, escribiremos simplemente x < A y. Si R 1 y R 2 son dos órdenes lineales para el mismo conjunto A, y x, y A, escribimos x < 1 y para indicar que (x, y) R 1 y escribimos x < 2 y para indicar que (x, y) R Relaciones entre órdenes. Subórdenes Definición Si (A, < A ) y (B, < B ) son conjuntos linealmente ordenados, decimos que (A, < A ) es un suborden de (B, < B ) si se cumple que A B y para cada par x, y de elementos de A se tiene que x < A y si y solamente si x < B y. En otras palabras, los elementos de A están ordenados según < A de la misma manera que según < B. Ejemplo Un ejemplo lo proporciona el conjunto de los números pares como subconjunto de los números naturales. Sea P = {n N : n es par} y sea < P el orden natural de los números pares, entonces (P, <) es un suborden de (N, < N ). Ejemplo A su vez, (N, < N ) es un suborden de (Z, < Z ). Definición Sean (A, < A ) y (B, < B ) dos conjuntos linealmente ordenados. Decimos que una función f : A B preserva el orden si para cada par de elementos x, y A se tiene x < A y si y sólo si f(x) < B f(y). En este caso se dice que f es una inmersión de (A, < A ) en (B, < B ), o también que (A, < A ) se sumerge en (B, < B )

16 8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS Nótese que una inmersión f de (A, < A ) en (B, < B ) es necesariamente una función inyectiva, ya que si x e y son dos elementos distintos de A, por la definición de orden lineal, se tiene que x < A y o y < A x, y entonces se tiene f(x) < B f(y) o f(y) < B f(x), pero en cualquier caso f(x) f(y). Ejemplo La función identidad Id : N Z es una inmersión de (N, < N ) en (Z, < Z ) Inmersión de N en Z Ejemplo La función N : N Z definida por N(k) = k, es una inmersión de (N, < ) en (Z, < Z ). Recordemos que < es el orden invertido de los números naturales Inmersión de (N, < ) en Z Definición Dados dos conjuntos linealmente ordenados (A, < A ) y (B, < B ), si f : A B es una función biyectiva que preserva el orden se dice que f es un isomorfismo de (A, < A ) sobre (B, < B ). En ese caso se dice que (A, < A ) y (B, < B ) son isomorfos. En el caso A = B se dice que f es un automorfismo.

17 1.3. RELACIONES ENTRE ÓRDENES. 9 Por ejemplo, (P, <) y (N, < N ) son isomorfos. En general, si f es una inmersión de (A, < A ) en (B, < B ), entonces (A, < A ) es isomorfo al suborden de (B, < B ) dado por la imagen de f. Ejercicio Sea f : A B un isomorfismo entre los conjuntos linealmente ordenados (A, < A ) y (B, < B ). Demuestre las siguientes afirmaciones. 1. Si (A, < A ) tiene primer elemento a, entonces (B, < B ) tiene primer elemento y f(a) es el primer elemento. Análogamente, si (A, < A ) tiene último elemento d, entonces (B, < B ) tiene último elemento y ése es f(d). 2. Si un elemento a A tiene sucesor inmediato b, entonces f(a) tiene sucesor inmediato y este es f(b). 3. Sea C es un suborden de (A, < A ). Si C es un intervalo, entonces su imagen f(c) = {f(c) : c C} es también un intervalo. Definición Se dice que dos conjuntos linealmente ordenados tienen el mismo tipo de orden (o que son del mismo tipo) si son isomorfos. Es muy fácil verificar que la relación tener el mismo tipo de orden es una relación de equivalencia. Escogemos un representante de cada clase de equivalencia y lo llamamos el tipo de orden de los órdenes en esa clase. El contenido del lema siguiente es precisamente que la relación tener el mismo tipo de orden, o lo que es lo mismo, ser isomorfos, entre conjuntos linealmente ordenados es una relación de equivalencia. Además, muchas propiedades los los órdenes lineales no dependen del conjunto particular, sino de su tipo de orden. Lema Si f 1 es una inmersión de (A, < A ) en (B, < B ), y f 2 es una inmersión de (B, < B ) en (C, < C ), entonces la composición f 2 f 1 es una inmersión de (A, < A ) en (C, < C ). Además, si f 1 y f 2 son isomorfismos, entonces f 2 f 1 es también un isomorfismo entre (A, < A ) y (C, < C ). 2. Si f es un isomorfismo de (A, < A ) en (B, < B ), entonces f 1 es un isomorfismo de (B, < B ) en (A, < A ). 3. Sea f un isomorfismo entre (A, < A ) y (A, < A ), y sea g un isomorfismo entre (B, < B ) y (B, < B ). Si la función h es una inmersión de (A, < A )

18 10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS en (B, < B ), entonces la composición g h f 1 es una inmersión de (A, < A ) en (B, < B ). Demostración. Dejamos que el lector demuestre el lema. Indicamos solamente que la parte 3. del lema dice que el que un orden lineal se pueda sumergir en otro depende solamente de su tipo de orden. En otras palabras, si un orden lineal (A, < A ) se puede sumergir en el orden (B, < B ), entonces cualquier orden lineal isomorfo a (A, < A ) se puede sumergir en cualquier orden lineal isomorfo a (B, < B ) El tipo de orden de los conjuntos linealmente ordenados isomorfos a (N, < N ) se denota con la letra griega ω, y se puede identificar con el conjuto de los números naturales dotado de su orden natural. El tipo de (N, < ), los números naturales con el orden invertido, se denota con ω. El tipo de (Q, < Q ) se denota con la letra η. Ejercicio Demuestre que cualquier conjunto infinito de números naturales ordenado en forma creciente tiene tipo de orden ω. Ejercicio Defina explícitamente un isomorfismo entre (N, < N ) y el conjunto de los múltiplos positivos de 3 ordenados en forma creciente Características de conjuntos linealmente ordenados Sea (A, < A ) un conjunto linealmente ordendado. Usaremos la notación x A y para indicar que x < A y o x = y. Decimos que (A, < A ) tiene primer elemento si existe x A tal que x A y para todo y A. En ese caso decimos que x es el primer elemento de (A, < A ). De manera análoga, se dice que (A, < A ) tiene último elemento si existe x A tal que y A x para todo y A; y en ese caso se dice que x es el último elemento de (A, < A ). Ejemplo Consideremos el conjunto de los números naturales. El 0 es el primer elemento de (N, < N ), y es el último elemento de (N, < ). Ejemplo El orden de los números enteros (Z, <) no tiene ni primer ni último elemento.

19 1.4. CARACTERÍSTICAS DE CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS11 Definición Sea A un conjunto linealmente ordenado y B un suborden de A, decimos que B es un intervalo si dados x, y B y z A tal que x < z < y, entonces z B. En palabras, si todo elemento de A que esté entre dos elementos de B también pertenece a B. Decimos que B es un intervalo inicial (o un segmento inicial) de A si y B y x < y implica x B. Decimos que B es un intervalo final (o un segmento final) de A si x < y y x B implica y B. Dados elementos x, y A, el intervalo abierto determinado por x e y en A es el conjunto (x, y) = {z A : x < z < y}. Y el conjunto [x, y] = {z A : x z y} es el intervalo cerrado determinado por x e y en A. Igualmente definimos y (x, y] = {z A : x < z y} [x, y) = {z A : x z < y}. Decimos que B es un intervalo propio de A si B es un intervalo y B A. Si x A, usaremos la notación (, x) y (, x] para los intervalos {y A : y < x} y {y A : y x} respectivamente. Análogamente (x, ) = {y A : x < y}, y [x, ) = {y A : x y} Ejercicio En el orden (Z, <) de los números enteros describa los intervalos siguientes: 1. (3, 8), [3, 8], ( 3, 8) 2. (5, 6), [5, 6], (5, 6]. 3. (, 1), [1, ). 4. Diga cual es el primer elemento y el último elemento del intervalo ( 3, 8). Ejercicio En el orden (Z, <) de los números enteros, diga cuáles de los siguientes conjuntos son intervalos.

20 12 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS 1. { 1, 0, 1, 2, 3, 4},{ 2, 2} 2. ( 2, 3] [5, 7) 3. ( 3, 5] [6, 10) 4. (2, 7) [5, 8) 5. (3, 7) (8, 11) Ejercicio En el conjunto (Q, <) de los números racionales, 1. dé un ejemplo de un intervalo propio que no sea de ninguna de las formas descritas anteriormente. 2. Cuál es el primer elemento del intevalo [3, 8)? Y del intervalo (3, 8)? 1.5. Operaciones con conjuntos linealmente ordenados Hasta ahora hemos considerado como ejemplos fundamentales los conjuntos linealmente ordenados N, Z, Q. También la recta real R es un conjunto linealmente ordenado. El orden de los números reales tiene propiedades más complejas, como veremos más adelante. En esta sección veremos como realizar algunas operaciones que nos permiten construir conjuntos linealmente ordenados a partir de otros. La primera operación que consideramos ya ha sido mencionada arriba. Se trata de la operación invertir el orden. Dado un conjunto linealmente ordenado (A, <), definimos un orden < en A poniendo x < y si y sólo si y < x. El ejemplo que ya hemos visto es (N, < ):... < 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0, y hemos llamado ω a su tipo de orden. Llamemos ζ al tipo de orden de los números enteros (Z, <). Consideremos ahora el mismo conjunto pero con el orden invertido (Z, < ), que luce así:... < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3...

21 1.5. OPERACIONES CON CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS13 Cuál es el tipo de orden de (Z, < )? Es fácil demostrar que (Z, < ) y (Z, <) tienen el mismo tipo de orden. Ahora definiremos otras operaciones entre conjuntos ordenados que llamaremos suma y producto de tipos de orden. Dados dos conjuntos linealmente ordenados (A, < A ) y (B, < B ), definimos (A, < A ) (B, < B ) como el conjunto linealmente ordenado (C, < C ) que se obtiene poniendo una copia de (A, < A ) y a continuación una copia de (B, < B ). A B Tipo de orden de A B Esto lo podemos expresar formalmente diciendo que (A, < A ) (B, < B ) es el conjunto linealmente ordenado (C, < C ) definido como sigue: C es la unión disjunta de A y B, es decir C = (A {0}) (B {1}), y (a, 0) < C (a, 0) si a < A a, (b, 1) < C (b, 1) si b < B b, y (a, 0) < C (b, 1) para todo a A y b B. Ejemplo (N, < N ) (N, < N ) es el orden que se obtiene poniendo una copia de los números naturales a continuación de otra. Su tipo de orden es ω + ω. 2. (N, < N ) ({0}) es el orden que se obtiene poniendo una copia de los números naturales seguida de un elemento adicional. Este orden lineal tiene tipo de orden ω + 1. Ejercicio Reordene el conjunto Z poniendo primero los números enteros no negativos y luego los negativos. Defina formalmente este orden y diga cuál es su tipo de orden. Si (A, < A ) y (B, < B ) son conjuntos linealmente ordenados, definimos el producto (A, < A ) (B, < B )

22 14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS como el conjunto linealmente ordenado que se obtiene poniendo copias de A una a continuación de la otra tantas veces como elementos tiene B. A A A A Tipo de orden de (A, < A ) (B, < B )... (B veces) Formalmente, definimos (A, < A ) (B, < B ) como el conjunto linealmente ordenado (D, < D ) donde D = A B y (a, b) < D (a, b ) si b < B b o b = b y a < A a. Ejemplo Consideremos el orden lineal (N, < N ) ({0, 1}, <). Este orden lineal se puede describir diciendo que resulta de poner una copia de los números naturales a continuación de otra, y tiene tipo de orden ω + ω. 2. (N, < N ) (N, < N ) es el orden lineal que resulta de poner copias de N una tras otra tantas veces como los números naturales. Tiene tipo de orden ω ω. Es común utilizar letras griegas para denotar tipos de orden, así, ω denota el tipo de orden de (N, < N ); ζ denota el tipo de orden de los enteros (Z, < Z ); η se usa para denotar el tipo de orden de los números racionales (Q, < Q ); y γ se usa para denotar el tipo de orden de los números reales (R, < R ). Hay muchos otros tipos de orden interesantes, algunos de ellos se obtienen aplicando suma y producto de órdenes lineales. Así obtenemos, por ejemplo, ω + ω, ω + ζ, ω ω, etc.

23 CAPÍTULO 2 El orden de los números naturales Caracterización del orden de los números naturales. El conjunto de los números naturales (N, <) tiene un primer elemento 0, y no tiene último elemento. Estas propiedades no caracterizan del todo al orden de los números naturales, veremos que otras propiedades adicionales se pueden usar para caracterizarlo. Definición Si (A, <) es un conjunto linealmente ordenado y x A, decimos que x tiene un sucesor inmediato si existe y A tal que x < y y no existe ningún z A tal que x < z < y. En ese caso, decimos que y es el sucesor inmediato de x, ya que tal y es único. Decimos que x tiene un predecesor inmediato si existe y A tal que y < x y no existe ningún z A tal que y < z < x. En ese caso, tal y es único, y se llama el predecesor inmediato de x. Cada n N tiene un sucesor inmediato, n + 1; y si n 0, entonces n tiene también un predecesor inmediato a saber, n 1. Entonces (N, <) es un conjunto linealmente ordenado con un primer elemento, sin último elemento, y tal que cada elemento de N tiene un sucesor inmediato y cada x N diferente de 0 tiene un predecesor inmediato. Es (N, <) el único conjunto linealmente ordenado (salvo isomorfismo) con esas propiedades? 15

24 16 CAPÍTULO 2. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES. Veamos que la respuesta es negativa. Por ejemplo miremos el conjunto linealmente ordenado que se obtiene poniendo una copia de (Z, <) a continuación de una copia de (N, <). Digamos, los números enteros positivos pares con su orden habitual y luego los enteros impares, también con su orden habitual. 0, 2, 4, 6, 5, 3, 1, 1, 3, 5,... Este conjunto linealmente ordenado también tiene un primer elemento, y no tiene último elemento. Todo elemento tiene un sucesor inmediato y todo elemento diferente de 0 tiene un predecesor inmediato. Sin embargo, este conjunto linealmente ordenado no es isomorfo a (N, <). Es interesante notar que en este orden, aunque hay un primer elemento, existen subconjuntos que no tienen primer elemento, como el subconjunto de los enteros negativos. Ejercicio Determine cuál es el tipo de orden del conjunto linealmente ordenado definido en los párrafos anteriores. Verifique que este conjunto posee subórdenes infinitos que no tienen primer elemento. (Sugerencia, considere el conjunto (N, <) (Z, <)). El orden de los números naturales tiene otra propiedad fundamental: todo suborden (no vacío) de (N, <) tiene un primer elemento. Esta propiedad es equivalente a lo que se llama Principio de Inducción Matemática; el lector interesado en el tema puede consultar [4]. Se puede demostrar que esta propiedad junto a las anteriores si caracteriza el tipo de orden de los números naturales. Para ello demostremos la proposición siguiente. Proposición Sea (A, < A ) un conjunto linealmente ordenado tal que (1) Todo suborden no vacío de (A, < A ) tiene primer elemento (en particular, (A, < A ) tiene primer elemento), (2) no tiene último elemento (3) todo elemento diferente del primero tiene un antecesor inmediato Entonces, (A, < A ) es isomorfo a (N, <). Demostración. Nótese que (1) y (2) implican que todo elemento de A tiene un sucesor inmediato, ya que si a A, como a no es el último elemento, existen

25 2.1. CARACTERIZACIÓN DEL ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES.17 elementos de A mayores que a según el orden < A. El primero entre estos es el sucesor inmediato de a. Además, por (1), A tiene un primer elemento. Definimos una función f : N A del modo siguiente: f(0) = primer elemento de (A, < A ). Supongamos que f(0), f(1),..., f(n) han sido definidos, entonces ponemos f(n + 1) = primer elemento de A \ {f(0), f(1),..., f(n)}. Nótese que tal primer elemento de A \ {f(0), f(1),..., f(n)} existe, porque de lo contrario f(n) sería el último elemento de A y esto contradice (2). Sigue de la definición de f que f(0) < A f(1) < A...f(n) < A... Claramente esta función es una inyección de N en A, más aún, si n < m entonces f(n) < f(m). Verifiquemos que f es sobreyectiva. Supongamos lo contrario para llegar a una contradicción. Si f no es sobreyectiva, existen elementos de A que no está en la imagen de f. Por (1), el conjunto de los elementos de A que no están en la imagen de f tiene un primer elemento; sea a A ese primer elemento. Es claro que a no es el primer elemento de A, ya que f(0) es el primer elemento de A. Entonces, por (3), a tiene un predecesor inmediato. Llamémoslo b. Como b < A a y a es el primer elemento de A que no está en la imagen de f, existe un número n tal que f(n) = b. Pero entonces f(n + 1) = a, ya que a es el menor elemento de A fuera de {f(0), f(1),..., f(n)}. Nótese que la función f de la demostración se ha definido por inducción matemática. Aquellos lectores familiarizados con este principio se darán cuenta de que un conjunto linealmente ordenado con las propiedades del enunciado de la proposición satisface el principio de inducción en el sentido del ejercicio siguiente. Ejercicio Sea (A, <) un conjunto linealmente ordenado que satisface las hipótesis de la proposición Demuestre que todo elemento de A tiene un sucesor inmediato. Luego, demuestre directamente que si el primer elemento de A tiene la propiedad P, y además si un elemento a de A tiene la propiedad P, entonces su sucesor inmediato tiene también la propiedad P, entonces podemos concluir que todos los elementos de A tienen la propiedad P.

26 18 CAPÍTULO 2. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES El orden de los números naturales es rígido. Recordemos la definición siguiente Definición Dado un conjunto linealmente ordenado (A, < A ) una función f : A A es un automorfismo de (A < A ) si es una biyección que preserva el orden, es decir, a < A b f(a) < A f(b). Proposición Existe un sólo automorfismo de (N, <): la identidad. Demostración. Supongamos que f : N N es un automorfismo de (N, <). Entonces f(0) = 0 ya que por preservar el orden, la imagen por f del primer elemento debe ser el primer elemento. Si f no es la identidad, debe existir un k tal que f(k) k. Sea entonces n el primer número con esa propiedad, es decir, f(n) n y para todo i < n, f(i) = i. Como f es inyectiva, f(n) no puede ser menor que n ya que en ese caso tendríamos un i < n tal que f(i) = i = f(n). Entonces f(n) > n, y como f preserva el orden para todo m > n se tiene f(m) > f(n) > n. Pero entonces n no puede estar en la imagen de f, contradiciendo que f es sobreyectiva. Ejercicio Demuestre que si A N es un conjunto infinito de números naturales entonces (A, <) es isomorfo a (N, <). (Véase el ejercicio ) 2.3. Particiones del conjunto de los números naturales Hay un hecho muy elemental, llamado Principio del Casillero, que juega un papel importante en la teoría combinatoria. Se puede enunciar así: supongamos que tenemos un casillero con un número dado de casillas, digamos 14 casillas, y tenemos que distruibuir 15 cartas en esos casilleros, obviamente al final en alguna de las casillas habrá más de una carta. Más generalmente, si hay que distribuir k objetos en n casillas, y n < k, necesariamente tendrá que haber una casilla con varios objetos. En el ámbito de lo infinito, este principio toma la forma siguiente: si tenemos que poner infinitos objetos en un número finito de casillas, necesariamente alguna de las casillas tendrá infinitos objetos.

27 2.3. PARTICIONES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES19 Poner los números naturales en una cantidad finita k de casillas equivale a partir el conjunto de los números naturales en k partes (cada parte es lo que va en una casilla determinada). El ejercicio nos indica que si partimos el conjunto de los números naturales en una cantidad finita de partes, una de las partes contendrá un conjunto isomorfo a (N, <). Esta es una propiedad del orden de los números naturales que no es verdad para el orden de los números enteros, como veremos en el próximo capítulo. Ejercicio Diga cual el el menor número de elementos que puede tener un conjunto A para garantizar que para cualquier partición de A en tres partes una de estas partes tiene al menos 5 elementos.

28 20 CAPÍTULO 2. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES.

29 CAPÍTULO 3 El orden de los números enteros Caracterización del orden de los números enteros. En este capítulo estudiaremos los números enteros y su orden. Veremos algunas similitudes y algunas diferencias entre el orden de los números naturales y el del conjunto de los números enteros. Los números enteros son aquellos de la forma n m donde n y m son números naturales. Obviamente, si m N n, entonces n m es un número natural, pero si n < N m, entonces el entero n m es negativo. Cada número entero se puede representar de muchas maneras como diferencia de números naturales. Por ejemplo el 3 es 5 8 y también 4 7 y 0 3. Todo número natural n es un número entero porque se puede escribir como n 0. Por ejemplo el 5 es 5 0 y también 9 4 y El conjunto de los números enteros..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... se denota con la letra Z, y está formado por los números naturales y sus opuestos, los números enteros negativos. Recordemos que los números enteros están naturalmente ordenados de la forma siguiente, n m < Z k l si y solamente si n + l < N k + m. 21

30 22 CAPÍTULO 3. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Decimos que un número entero p = n m es un entero positivo si m < N n, es decir, si n m es un número natural mayor que 0. Tenemos entonces que todo entero negativo es menor que el cero, y menor que cualquier número entero positivo. Si p y q son enteros positivos y p < N q, entonces p < Z q y q < Z p. Cómo podemos describir el orden de los números enteros? Observemos primero que el tipo de orden de los números enteros (Z, < Z ) es ω + ω. En otras palabras, los números enteros están ordenados de la misma forma que el orden lineal obtenido poniendo primero una copia de los números naturales con el orden invertido, y a continuación un copia de los números naturales con el orden natural. El orden (Z, < Z ) no tiene primer elemento, ni tiene último elemento. Si p es un número entero, entonces p < p+1, por lo que p no es el último elemento. Por otra parte, p 1 < p, de modo que p tampoco es el primer elemento de (Z, < Z ). Además, cada número entero tiene un sucesor inmediato y también un predecesor inmediato. En efecto, si p es un número entero, entonces como ya observamos p + 1 > p, y no hay ningún número entero entre p y p + 1. Análogamente vemos que p 1 es el predecesor inmediato de p. Estas propiedades no bastan para caracterizar el orden (Z, < Z ) de los número enteros, ya que existen otros conjuntos linealmente ordenados con esas mismas propiedades que no son isomorfos a (Z, < Z ). A continuación daremos un ejemplo. Consideremos dos copias de (Z, < Z ) puestas una a continuación de la otra. Usando nuestra definición de suma de conjuntos linealmente ordenados, ponemos (Z, < Z ) (Z, < Z ). Z Z Tipo de orden de Z Z Este conjunto linealmente ordenado no tiene ni primer ni último elemento, y cada elemento tiene predecesor inmediato y sucesor inmediato. Sin embargo, no es isomorfo a (Z, < Z ). Aunque hay inyecciones de (Z, < Z ) en (Z, < Z ) (Z, < Z ) que preservan el orden, no hay ninguna que sea sobreyectiva. Esto lo podemos constatar mediante el argumento siguiente. Sea f una función inyectiva de (Z, < Z ) en (Z, < Z ) (Z, < Z ). Tomemos un elemento n

31 3.1. CARACTERIZACIÓN DEL ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS.23 cualquiera de Z; como f(n) (Z, < Z ) (Z, < Z ), f(n) debe pertenecer a la primera copia de Z en (Z, < Z ) (Z, < Z ) o a la segunda copia de Z. En el primer caso, como f preserva el orden, f(n + 1) es el sucesor de f(n), y está también en la primera copia de Z, lo mismo para f(n + 2),f(n + 3), etc. También es claro que f(n 1) es el predecesor de f(n), y por lo tanto está también en la primera copia de Z que f(n); y lo mismo para f(n 2), f(n 3), etc. Concluimos que toda la imagen de la función f es la primera copia de Z en (Z, < Z ) (Z, < Z ). Y por lo tanto la función no es sobreyectiva. Un razonamiento análogo nos dice que si f(n) pertenece a la segunda copia de Z, la función f no puede ser sobreyectiva, ya que ningún elemento de la primera copia estará en la imagen de la función. En el orden de Z, cada intervalo final propio tiene tiene primer elemento y cada intervalo inicial propio tiene último elemento. Veamos que estas propiedades, junto con las anteriores que hemos descrito para el orden de Z, caracterizan el orden de los números enteros. Teorema Sea (A, < A ) un conjunto linealmente ordenado tal que 1. no tiene primer ni último elemento, 2. cada elemento tiene un sucesor inmediato y un predecesor inmediato, 3. cada intervalo final propio tiene tiene primer elemento y cada intervalo inicial propio tiene último elemento. Entonces (A, < A ) es isomorfo a (Z, < Z ). Demostración. Definamos un isomorfismo f : Z A del modo siguiente. Sea f(0) un elemento cualquiera de A. Supongamos inductivamente que para n > 0, hemos definido f(n) y f( n). Ponemos f(n + 1) igual al sucesor inmediato de f(n) y f( (n + 1)) igual al predecesor inmediato de f( n). Así, definimos f en todo Z. Por construcción esta función f preserva el orden, y por lo tanto es inyectiva. Veamos ahora que es sobreyectiva. La imagen de Z por f es un intervalo en (A, < A ), demostraremos que es todo A. Sea B = Im(f) {b A : para todo n Z, b < f(n)}, es decir, B es la imagen de Z por f y todo lo que la antecede. Claramente B es un intervalo inicial de A, < A ) sin último elemento, por lo tanto no puede ser propio. Entonces para todo a A existe un entero n tal que f(n) > a.

32 24 CAPÍTULO 3. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Análogamente, Sea C = Im(f) {c A : para todo n Z, f(n) < c}. Es claro que C es un intervalo final de (A, < A ) sin primer elemento, y por lo tanto no es propio. De esto sigue que no hay elementos de A que precedan la imagen de f, ni elementos de A que estén por encima de la imagen de f. Es decir, la imagen de f es todo A Automorfismos de Z. Recordemos que si (A, < A ) y (B, < B ) son conjuntos linealmente ordenados, una función biyectiva f : A B que preserva el orden se llama un isomorfismo. En el caso (A, < A ) = (B, < B ) se dice que f es un automorfismo. En esta sección analizaremos como son los automorfismos de Z. Sea f : Z Z una función biyectiva que preserva el orden. Es decir, se tiene que p < q si y solamente si f(p) < f(q). Consideremos el entero f(0). Como 0 < 1, f(0) < f(1), y además f(1) tiene que ser el sucesor de f(0), porque si hubiese algún entero q entre f(0) y f(1), entonces f(0) < q < f(1) y por lo tanto q no sería f(p) para ningún entero p, ya que ese p tendría que estar entre 0 y 1, y no existe nigún entero entre 0 y 1. Del mismo modo vemos que f(2) tiene que ser el sucesor de f(1), y así sucesivamente. También resulta que f( 1) tiene que ser el predecesor de f(0), f( 2) el predecesor de f( 1), etc. En conclusión, si f(0) = p, entonces para cada q Z, se tiene f(q) = q + p. Entonces todos los automorfismos de Z son traslaciones, es decir, para cada automorfismo f de Z, existe un entero p tal que f es la función definida por la ecuación f(q) = q + p.

33 3.2. AUTOMORFISMOS DE Z. 25 Si p es cero, entonces el automorfismo es la identidad, si p es positivo, el automorfismo es una traslación hacia la derecha, y si p es negativo, el automorfismo es una traslación hacia la izquierda. La colección de automorfismos de Z está de ese modo en correspondencia biunívoca con Z. Cada entero determina un automorfismo de Z, y cada automorfismo de Z determina un entero. En los textos más avanzados esto se expresa diciendo que el grupo de automorfismos de Z es isomorfo al grupo de los enteros Z. El conjunto de los números enteros, como conjunto ordenado, es homogéneo. Esto quiere decir que todos los enteros juegan el mismo papel dentro del conjunto, en otras palabras, son indistinguibles uno del otro. Hay que tener mucho cuidado al interpretar esta afirmación, y tener presente que estamos hablando de los enteros solamente en relación a su orden, sin tomar en cuenta ningún aspecto algebraico ni de otra índole. Este es el contenido de la siguiente proposición, que expresa que dados dos enteros hay un automorfismo que manda uno de ellos en el otro. Proposición Dados enteros p y q, existe un automorfismo f de Z tal que f(p) = q. Demostración. Dados p y q, definimos la función f del modo siguiente: Para un entero r, f(r) = r +q p. Obviamente f(p) = p+q p = q. Para ver que f es un automorfismo hay que probar que f es biyectiva y preseva el orden. Tenemos que s < r si, y solamente si, f(s) = s + q p < r + q p = f(r). por lo tanto f preserva el orden y consecuentemente f es inyectiva. Dado un entero r cualquiera, consideremos el entero r + p q, se tiene que f(r + p q) = (r + p q) + (q p) = r, lo que muestra que f es sobreyectiva. p q

34 26 CAPÍTULO 3. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Automorfismo de Z que manda p en q La proposición anterior nos dice entonces que siempre es posible mandar un entero dado a otro entero mediante un automorfismo. Podemos preguntarnos si es posible mejorar este resultado probando que siempre es posible mandar un par de enteros en otro par dado mediante un automorfismo de Z. Precisemos el significado de la pregunta. Dado un par de enteros p, q, y dado otro par p, q, existe un automorfismo que manda p en p y q en q? Inmediatamente vemos que la respuesta, en general, es negativa. Por ejemplo, si p < q y q < p, como los automorfismos preservan el orden, si un automorfismo f es tal que f(p) = p, entonces f(q) debe ser un entero mayor que p, y por lo tanto no puede ser q. Hagamos entonces la pregunta en forma más cuidadosa. Tomemos dos pares de enteros, p, q y p, q tales que p < q y p < q, existe un automorfismo que manda p en p y q en q? Todavía en estas condiciones la respuesta, en general, es negativa. Por ejemplo si la distancia entre p y q es grande, y la distancia entre p y q es pequeña, entonces no hay espacio entre p y q para las imágenes de todos los elementos entre p y q. Expliquemos esto mejor mediante un ejemplo. Tomemos p = 3 y q = 10, y sean p y q los enteros 5 y 9 respectivamente. Queremos saber si existe un automorfismo f de Z tal que f(3) = 5 y f(10) = 9. La respuesta es negativa, porque para un tal automorfismo todos los números enteros entre 3 y 10 deben tener sus imágenes entre 5 y 9. Ahora, entre 3 y 10 están los enteros 4, 5, 6, 7, 8 y 9, pero entre 5 y 9 solamente hay tres números enteros, a saber, 6, 7 y 8, y un automorfismo, que por definición es una función inyectiva no puede mandar los números 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los números 6, 7, 8. En conclusión un tal automorfismo existe si y solamente si p q = p q. Esto lo podemos expresar también de la manera siguiente. Proposición Sean a, b, c, d números enteros tales que a < b y c < d. Los intervalos (a, b) y (c, d) (en Z) son isomorfos si y sólo si b a = d c. Para cerrar esta sección haremos algunos comentarios, para aquellos lectores familiarizados con la teoría de grupos, que relacionan lo presentado aquí con conceptos más avanzados de álgebra. El conjunto de los automorfismos de Z con la operación dada por la composición de funciones es un grupo. En efecto, la composición de automorfismos de Z es asociativa, es

35 3.3. PARTICIONES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.27 decir, si f, g y h son automorfismos de Z, entonces se tiene (f g) h = f (g h). La función identidad Id de Z en Z es un elemento neutro respecto a la composición, ya que para todo automorfismo f de Z, se tiene f Id = Id f = f. Finalmente, cada automorfismo f de Z tiene un inverso f 1, tal que f f 1 = f 1 f = Id. Los párrafos anteriores de esta sección permiten demostrar que el grupo de isomorfismos de Z es isomorfo al mismo Z como grupo con la operación +. Por lo tanto podemos decir que el grupo de automorfismos de Z es el grupo aditivo Z. Ejercicio Demuestre que el grupo de automorfismos de Z es conmutativo Particiones del conjunto de los números enteros. En el capítulo anterior vimos que para toda partición del conjunto N de los números naturales en una cantidad finita de partes, una de esas partes contiene un conjunto isomorfo a N. Para los números enteros eso no ocurre: no es verdad que para cada partición finita de Z, una de las partes contiene una copia de Z. Veamos un ejemplo muy sencillo. Consideremos la partición Z = (, 2] [3, ). Esta es una partición de Z en dos pedazos, el primero es el conjunto de enteros menores o iguales a 2, y el segundo es el conjunto de enteros mayores o iguales a 3. El primero de esos conjuntos tiene tipo de orden ω, y el segundo tiene tipo de orden ω; pero ninguno de los dos contiene un subconjunto con el mismo tipo de orden que Z. Sin embargo hay otras particiones donde las cosas son distintas. Por ejemplo, consideremos ahora la partición Z = {p Z : p es divisible por 2} {p Z : p no es divisible por 2}.

36 28 CAPÍTULO 3. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Ahora estamos partiendo Z en dos pedazos, los enteros pares por un lado, y los enteros impares por el otro. Cada uno de esos pedazos es isomorfo a Z:..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,......, 5, 3, 1, 1, 3, 5,.... Se puede partir el conjunto Z en 5 partes de modo que cada una de las partes sea isomorfa a Z? Ejercicio Dé ejemplo de una partición de Z en tres partes cada una de las cuales sea isomorfa a Z. Ejercicio Existe una partición de Z en una cantidad finita de partes tal que ninguna de las partes contiene una copia de (N, <)? Ejercicio Demuestre que para toda partición de Z en una cantidad finita de partes, una de las partes contiene un conjunto de tipo de orden ω y una de las partes contiene un conjunto de tipo de orden ω.

37 CAPÍTULO 4 El orden de los números racionales 4.1. Propiedades del orden de los racionales. Recordemos que los números racionales son aquellos de la forma p donde q p y q son enteros y q 0. Cada número natural es también racional, ya que si n N, entonces n = n Q. También todo entero p es un número racional, 1 ya que p = p. 1 El orden en los racionales se define así: si p, q, r, s son enteros y q y s son mayores que 0, entonces p q < Q r s si y sólo si p s < Z q r. El orden de los racionales tiene características muy interesantes. Primero, tal como el de los enteros, no tiene ni primer ni último elemento. Pero además, ningún número racional tiene un sucesor inmediato ni un predecesor inmediato. Más aún, el orden es denso. Eso quiere decir que dados dos números racionales r y s, existe otro que está entre los dos. Dicho de otra manera, si r < s, entonces existe t Q tal que r < t < s. Por ejemplo, dados números racionales r < s, el número t = (r + s)/2 es un racional que está entre r y s. 29