EXPONENTES Y POTENCIAS Muchos números se expresan en forma más conveniente como potencias de 10. Por ejemplo: m n n 0,2 3 3

Transcripción

1 Rpaso d Matmáticas E st apédic s hará u brv rpaso d las cuacios y fórmulas básicas d utilidad Química Física gral y Trmodiámica Química particular. EXPONENTES Y POTENCIAS Muchos úmros s xprsa forma más covit como potcias d 10. Por jmplo: ,1 10 0,5 = = 0, = = 10 3,163 = 10 E gral s scrib a, dod a s la bas y l xpot. Las siguits rlacios so d utilidad: Opració: m m m+ m m a m a a = a ( a ) = a = a a 0, 0, 3 3, 0, 3 0,6 10,8 Ejmplo: = 10 ( 10 ) = 10 = Hay qu obsrvar qu a 0 = 1 para todos los valors d a, xcpto para a=0, y qu 0 = 0 y 1 = 1, para todos los valors d. LOGARITMOS El cocpto d logaritmo s ua xtsió atural d los xpots. El logaritmo d bas a d u úmro x s u úmro igual al xpot y al cual db lvars l úmro bas a para qu x = a y. Por tato, si y x = a tocs y= log x 4 Ejmplo, como 3 = 81 s cumpl qu 4 = log381 Aálogamt, para l logaritmo d bas 10: Logaritmo log 1 = 0 log = 0,30103 log 10 = 1 log 100 = log 0,1 = , Expot 10 = 1 10 = 10 = = = 0,1 El logaritmo d bas 10 rcib l ombr d logaritmo comú y por covio s usa la otació log a lugar d log 10 a. Como los logaritmos d los úmros so xpots, ti las mismas propidads qu los xpots: A Logaritmo log AB = log A+ log B log = log A log B log A = log A B A A B A+ B 10 A B Expot = 10 = 10 B 10 Los logaritmos d bas s cooc co l ombr d logaritmos aturals o priaos. El úmro stá dado por: = =, , !! 3! E Química Física s d gra importacia la fució xpocial y = x. Tomado l logaritmo comú ambos mimbros: a

2 log y= x log = l y log = 0,4343 l y o bi log x l y= =,306 log x log ya qu x = ly. Aálogamt, si y = 10 x, tomado l logaritmo priao: l y = xl10 =,303x=,303log y ya qu x = logy. ECUACIONES SIMPLES Ecuació lial. Ua cuació lial s rprsta por y = mx+ b La rprstació d y frt a x da ua lía rcta d pdit m y ordada l orig b. Ejmplo: Ecuació d ua rcta qu pasa por dos putos. La cuació d la rcta qu pasa por los putos (x 1 y 1 ) y (x y ) s: y y1 xy1 x1y y = x+ x x x x 1 1 Ecuació cuadrática. Ua cuació cuadrática toma la forma so costats y a 0. Los valors d x qu hac cro a y so: y = ax + bx+ c dod a, b y c ± x = b b 4ac a La rprstació d y frt a x da lugar a ua parábola como, por jmplo, la qu s mustra la figura adjuta:

3 VALORES MEDIOS Si s rpit la mdida d u xprimto, s sul obtr u valor difrt d la lctura prcdt y rsulta adcuado rprstar l rsultado como la mdia l stos dos úmros. El valor mdio más comú s la mdia aritmética. Para dos lcturas a y b, la mdia aritmética stá dada por (a+b)/. Hay ocasios qu las lcturas o varía forma alatoria. E stos casos, s cosidra la mdia gométrica. La mdia gométrica d dos úmros a y b stá dada por (a b) 1/. SERIES Y DESARROLLOS EN SERIE Sri aritmética 1,, 3, 4,... ó a, a, 3 a, 4 a,... Sri gométrica Dsarrollo sri d u biomio ( ) Dsarrollo sri xpocial Dsarrollo sri trigoométrico Dsarrollo sri logarítmico ÁNGULOS y RADIANES 1,, 4, 8,... ó a, a, 4 a, 8 a,... ( 1) ( 1)( )! 3! 3 1+ x = 1 + x+ x + x +... x x x ax ( ax) ( ax) = 1 ± ± ± ±... = 1 ± ± ± ±... 1!! 3! 1!! 3! 3 3 ± x ± ax x x x x x x s x= x cos x= ! 5! 7!! 4! 6! 3 4 x x x l (1 + x) = x La uidad comú d la mdida agular s l grado, l cual s dfi como 1/360 dl círculo complto. E Química Física s cutra qu co frcucia s más covit utilizar otra uidad, llamada radiá (rad). La rlació tr águlo y radiá pud tdrs d la mara siguit. Cosidérs cirta porció d la circufrcia d u círculo d radio r. La logitud dl arco (s) s proporcioal al águlo θ y l radio r d modo qu: s = rθ Si s cosidra l círculo complto como l arco, tocs: s = π r ó π = θ Esto sigifica qu θ = π radias corrspod a θ = 360º. Por tato:

4 360º 360º 1 rad = 57,3º π 3,1416 = Por otra part, π 3,1416 1º = = 0, 0174 rad 360º 360º Es importat rcordar qu au cuado l radiá s ua uidad d mdida agular, o ti dimsios físicas. Por jmplo, la circufrcia d u círculo d radio d 5 cm ti ua logitud dada por: π (rad) x 5 cm = 31,4 cm ÁREAS y VOLUMENES Triágulo. Cosidérs u triágulo co lados a, b, c y altura h (co l lado a como bas). El ára stá dada por: A= ah / Si a, b y c so los lados d u triágulo rctágulo y c s la hipotusa, tocs: c = a + b Rctágulo. El ára d u rctágulo d lados a y b s ab Parallogramo. El ára d u parallogramo d lados a y b s ah s dod distacia prpdicular tr los dos lados cuyas logituds so a Círculo. La logitud d ua circufrcia s πr y l ára dl círculo s πr, dod r s l radio. Esfra. El ára d la suprfici d ua sfra d radio r s 4πr y l volum 4/3πr 3. Cilidro. El ára d la suprfici curva d u cilidro d radio r y logitud h s πrh y l volum dl cilidro s πr h. Coo. El ára d la suprfici curva d u coo s πrl, dod r s l radio d la bas y l s la altura oblicua. El volum dl coo s 1/3r h dod h s la altura vrtical. OPERADORES U oprador s u símbolo matmático qu dic forma spcífica qué s lo qu hay qu hacr co u úmro o fució. Alguos jmplos d opradors so los siguits: Oprador Fució o úmro Forma fial log 4,1 log 4,1=1,38 974, 974, = 31, 1 s 61,9º s 61,9º=0,88 cos X cos x d /dx d /d x= k

5 CÁLCULO DIFERENCIAL Fucios d Variabls Simpls. Las siguits so drivadas d alguas fucios comus. y = f( x) d x /dy x 1 x x x k s x cos x s ( ax + b) a cos ( ax+ b) cos x s x cos ( ax + b) a s ( ax+ b) l x 1/ x l( ax + b) a/( ax+ b) Drivadas parcials Si ua fució ti más d ua variabl, tocs db utilizars drivadas parcials para vr cómo varía sta fució co ua variabl particular. E gral, si s ti qu: y = f( x, x, ) tocs la drivada parcial d y co rspcto a x 1 db scribirs d la mara siguit: Por jmplo, la cuació d Va dr Waals: s dcir 1 y x 1 x, x3, P RT a = V b V P= f( V, T) para vr cómo varía la prsió co la tmpratura s scrib: P R = T V b V Drivadas totals Cosidérs l caso l qu las variabls idpdits d ua fució db hacrs variar forma simultáa. D uvo s utilizará la cuació d Va dr Waals como jmplo. La difrcial total dp s rlacioa co las difrcials dv y dt la forma: P P R RT a dp= dt + dv = dt + + dv 3 T V V T V b ( V b) V Tato las drivadas parcials como las totals s aplica xtsamt Química Física, spcial Trmodiámica.

6 Difrcials xactas ixactas S dic qu la xprsió: d Fxy (, ) = Mxy (, )d x+ Nxy (, )dy s ua difrcial xacta si s satisfac la siguit codició: M N = y x x y La importacia d las difrcials xactas ixactas s qu si df s ua difrcial xacta, tocs l valor d la itgral siguit sólo dpd d los límits d itgració; sto s: df = f f 1 mitras qu si df s ua difrcial ixacta, tocs: Alguas itgrals útils df f f x dx= x + C 1+ dx l x C x = + dx 1 = l( ax + b ) + C ax + b a s x dx= cos x+ C cos x dx= s x+ C l xdx= xl x x+ C x x dx= + C dx= + C k Como las itgrals so idfiidas, db agrgars u térmio costat C a los rsultados.