1. Introducción. Fundación Uno. Ejercicio Reto. ENCUENTRO # 36 TEMA: Logaritmos. Propiedades CONTENIDOS: 1. Propiedades de los logaritmos

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1 ENCUENTRO # 36 TEMA: Logaritmos. Propiedades CONTENIDOS:. Propiedades de los logaritmos Ejercicio Reto + x x. El dominio de f(x) = es: x A)[, ] {0} B)(, ) {0} C)(, ) D)[, ] E)R {0}. Examen UNI 05 Si x x = 3, entonces el valor de x xx+ x x es de: A) 3 B) 3 C)3 D) E)6. Introducción El término logaritmo lo acuñó el matemático escocés John Napier, a partir de los términos griegos lógos (razón) y arithmós (número) para designar a la correspondencia, que había descubierto, entre los términos de una progresión aritmética y otra geométrica. Al principio los llamó "números artificiales", pero luego cambió de opinión. Al logaritmo que tiene por base el número e se le llama, en su honor, neperiano. Pero fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a usar los logaritmos con base 0. Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento: "Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, con su empleo se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones, y se transforman en algo completamente simple, a través de la sustitución de la multiplicación por la adición y la división por la substracción. Además, el cálculo de las raíces también se realiza con gran facilidad". Definición (Logaritmo). El logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. log b N = a a b = N con N y b números reales positivos y b diferente de. Portal sv.portaldematematica.com

2 Nota: El logarimo de base 0 se puede omitir la escritura de la base Ejemplo log 0 a = log a Nota: El logarimo de base e se escribe como ln y se nombra logaritmo natural Ejemplo log e a = ln a Ejemplo # Calcula. log 3 9. log 8 3. log 4. log log 6. ln e 7. ln 8. log log log log 3 9 = 3 = 9 log 8 = 3 3 = 8 log = = 5 = ( log 5 5 ) = 5 ln e = e = e Identidad logarítmica Ejemplos: a log a b = b ln = 0 e 0 = log 9 3 = 9 = 3 log 0. 0 = (0.) = ( 0 ) = 0 log = (0.5) = ( 4 ) = 6 4 log 4 x = x e ln(a+b) = a + b Propiedades de los logaritmos Si a > 0; a ; b > 0; c > 0 ( 4 )log 0.5 x = x 9 log 9( x 4 3x x 5 ) = x 4 3x x 5. log a b = x si y solo si a x = b (Definición). log a = 0 3. log a a = Portal sv.portaldematematica.com

3 4. a log ab = b 5. log a b + log a c = log a (a b) 6. log a b log a c = log a (a b) (c 0) 7. x log a b = log a b x 8. log a c log c b = log a b, (c ) 9. log a b log a c = log c b, (c ) 0. x log a b = log a x b. log a b = log a c b = c Ejemplo.. Desarrolla la expresión log 3 x aplicando propiedades de los logaritmos solución log 3 x = log 3 x Ejemplo.. Desarrolla la expresión log 3x 4 y aplicando propiedades. log 3x 4 y = log 3 + log x 4 + log y = log log x + log y 4 Ejemplo.3. Desarrolla la expresión log y (x 5) 3 aplicando propiedades. log y ((x 5) 3 ) 4 = log y (x 5) 3 4 = 3 4 log y(x 5) (x+y) Ejemplo.4. Desarrolla la expresión log 3 a (x y) aplicando propiedades. log a (x+y) 3 (x y) = log a (x + y) 3 log a (x y) = 3 log a (x + y) log a (x y) Ejemplo.5. Desarrolla la expresión ln [ ] e 3x (x+) 3 x aplicando propiedades. ln [ e 3x (x+) x ] 3 [ = 3 ln (e x ) 3 ] (x+) x = 3[ln(e x ) 3 (x + ) ln x ] = 3[3 ln e x + ln(x + ) (ln + ln x)] Ejercicios de las propiedades de los logaritmos I-Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar las siguientes: Portal 3 sv.portaldematematica.com

4 . log 3 x 3 y z. ln(3e 4 x ) 3. ln xy e 3 z 4 4. log 5 3x ( x) 6 x y (x y ) 5. log 4 3x y 4 6. log 3 x y 7. log a 3 b 3 c d 8. log x 3 x 3(x+z) (x+3)(y 5) 9. log (x+6) 4 y 0. ln 3 e (x+) 4 (x ) 3 e x 5 (x ) 4 II-Aplica las propiedades de los logaritmos para expresar los siguientes logaritmos como el logaritmo de un solo argumento:. ln 5 + ln x. 3 log m log n 3. log m + 4 log n log b(x + ) 4 log b(x + ) 5. log 3 + log y log x 6. log x log y log z 7. log 4 (m ) log 4 (m + ) 8. 8 log x + 3 log y 4 log z 9. ln ln y 7 ln x 0. x + 3 ln(x + y) 3 ln(x y). log(x ) 4 log(x+)+ log(x+) 3 5. x + x + log x + 3 log(x + ) 3. ln ln m + ln p ln 7 ln x 6 ln y Ejercicios de entrenamiento. Reducir: 36 log 6 + e ln( ) A)9 B)8 C)6 D)e D) log 4 + log Reducir W = log + log 5 + A) B) C) D) D) ln 3. Reducir E = ln 7 ln 3 ln 3 A) B) C)3 D)7 D) 4. El valor de Q = log 3 4 log 3 4 A)4 B) C) 3 4 D)6 D)8 Portal 4 sv.portaldematematica.com

5 5. Si A = 36 log 5 log 5 6, calcular: log A 6 A) B) C)3 D)4 D)5 6. Hallar x en la ecuación: e 3 ln 4 log x = 0 A)8 B)9 C)0 D) D) 7. La solución de ln[ln(ln x)] = es: A)e B)e C)e e D)e ee D)e eee 8. la solución de log log x (4) = 3 es: A)000 B)00 C)0 D)0 3 D)0 3 4 Portal 5 sv.portaldematematica.com