SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

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1 CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40

2 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio geeral a, y que represetaremos por a, a la sucesió de sumas parciales {S } defiida por S = a, S 2 = a + a 2,..., S = a + a a,.... Si existe S S, la serie a se dice covergete y tiee suma S y se escribe a = S. Si dicho límite es ifiito o o existe, la serie a es divergete. Euciaremos a cotiuació los criterios geerales para estudiar el carácter (covergete o divergete) de ua serie. Nos limitaremos a las series de térmios o egativos (a 0) auque el primer criterio es válido para series geerales.. Codició del resto. Si ua serie a es covergete, etoces lím a = 0. De aquí se deduce que si el térmio geeral de ua serie o coverge a cero, dicha serie es divergete. 2. Criterio de comparació. Dadas dos series a y b, si a b, y b coverge, etoces a coverge. Recíprocamete, si ua serie es divergete y todos sus térmios so mayores o iguales que los de otra serie, esta última es tambié divergete. 3. Criterio de comparació por paso al límite. a a) Si lím = L (L fiito y L 0), etoces b a b) Si lím = 0, etoces b a coverge b coverge = 402 b coverge. a coverge.

3 a c) Si lím =, etoces b a coverge = b coverge. Para utilizar los criterios de comparació es coveiete coocer la covergecia de las siguietes series: - Serie armóica: La serie / p es covergete cuado p > y divergete cuado p. -Serie geométrica: La serie a r es covergete cuado r < y divergete cuado r. 4. Criterio del cociete (D Alembert). a + Sea L. Etoces, a a) si L <, a coverge; b) si L >, a diverge. 5. Criterio de la raíz (Cauchy). Sea L a. Etoces, a) si L <, a coverge; b) si L >, a diverge. 6. Criterio de Raabe. ( a) Si lím a ) + >, etoces a coverge. a ( b) Si lím a ) + a <, etoces a diverge. Nota: Este criterio puede ser coveiete e los casos e que los criterios del cociete o de la raíz o so cocluyetes. 7. Criterio de la itegral. Sea f : [, ) R ua fució decreciete y f(x) > 0, x. Etoces f() coverge f(x)dx coverge. 403

4 8. Criterio del producto (Prigsheim). a) Si lím p a = L 0, para algú p >, etoces a coverge. b) Si lím p a = L > 0, para algú p, etoces a diverge. 9. Criterio logarítmico. Si lím log /a log = L, etoces a) a coverge cuado L >. b) a diverge cuado L <. PROBLEMA 9.. a = ( + ) Como lím ( + ) = 0, la serie es divergete. PROBLEMA 9.2. Sabiedo que la suma de los primeros térmios de ua serie es S = , hallar el térmio geeral y estudiar su aturaleza. Aplicamos la fórmula a = S S y obteemos: a = ( )2 3( ) + 2 ( ) 2 =

5 Como además lím S = 5, la serie es covergete. Observació: No cofudir co la codició ecesaria de covergecia e la que debe ser cero el límite del térmio geeral de la serie a, o del térmio geeral de la sucesió de sumas parciales S. E este caso, como lím S = 5, quiere decir que la suma de la serie es precisamete 5. PROBLEMA 9.3. Hallar el mayor valor etero que debe tomar k para que la serie k a de térmio geeral a = sea covergete. ( + )( + 2)( + 3) Aplicado el criterio logarítmico, lím log(/a ) log log (+)(+2)(+3) k log log( ) k log log log( + )( + 2)( + 3) log k log log(3 )( + 6/ + / 2 + 6/ 3 ) k log log 3 log + log( + 6/ + /2 + 6/ 3 ) k log log [ 3 k + log( + 6/ + /2 + 6/ 3 ] ) = 3 k. log Para que sea covergete, debe ser 3 k >, y como k debe ser etero, el mayor valor que hace la serie covergete es k =. PROBLEMA 9.4. a =

6 Teemos que + + = = 2 +. Por el criterio de comparació, como lím divergete, la serie dada es divergete. 2/( ) / = 2 y la serie / es PROBLEMA 9.5. a = Aplicamos el criterio de Prisgheim, y teemos: lím α α Para que dicho límite sea real debe ser el grado del umerador igual al grado del deomiador. E este caso α + = 3/2 = α = /2. Como α <, la serie es divergete. PROBLEMA 9.6. a = 4 +. Aplicado el criterio de Prigsheim, teemos: lím α α+/

7 Dicho límite es u úmero real o ulo cuado α = 3/2. Como es mayor que uo, la serie es covergete. PROBLEMA 9.7. a = + p. Segú el criterio de Prigsheim, si α = p, lím α =. De este modo, + p cuado p >, la serie es covergete y cuado p, la serie es divergete. PROBLEMA 9.8. x + a = x Aplicamos uevamete el criterio de Prigsheim y debemos determiar el valor de α para que lím α a sea u úmero real o ulo. Teemos que x + lím α = cuado α = /2. x Como es u valor meor que uo, se deduce que la serie es divergete. PROBLEMA 9.9. a =

8 Aplicamos e este caso el criterio de Prigsheim: lím α ( + ) α + +. Este límite es fiito cuado α = /2 por lo que la serie es divergete. PROBLEMA 9.0. a = +. Como lím a la serie es divergete = 0, PROBLEMA 9.. a = l +. Debido a la equivalecia de los ifiitésimos l + + = y como la serie / es divergete, la serie dada tambié diverge. 408

9 PROBLEMA 9.2. a =! 2. Si calculamos el límite del térmio geeral se obtiee que lím! 2 = por lo que la serie es divergete. PROBLEMA 9.3. a = 5 log a 3 log b. Aplicado la fórmula del cambio de base de logaritmos, podemos escribir 5 (l / l a) a = 3 (l / l b) = 5 3 l b l a. Como el térmio geeral es costate, o tiede a cero, por lo que la serie es divergete. PROBLEMA 9.4. a = l. 409

10 Por el criterio de comparació, como l > y la serie armóica / es divergete, la serie dada tambié es divergete. PROBLEMA 9.5. Demostrar que las series u + u u +... y l( + u ) + l( + u 2 ) + + l( + u ) +... tiee el mismo carácter si u > 0 y lím u = 0. Utilizado el criterio de comparació teemos: lím l( + u ) u l( + u ) /u = l lím( + u ) /u = l e = 0. Esto asegura que ambas series tiee el mismo carácter. PROBLEMA 9.6. a = arc se(/ ). Debido a que lím arc se(/ ) / =, la serie dada es equivalete a la serie armóica /, la cual es divergete. PROBLEMA 9.7. a = + se

11 Como 0 + se2 2 2 y la serie 2/ 2 es covergete, por el criterio 2 de comparació se deduce la covergecia de la serie dada. PROBLEMA 9.8. a =!. Aplicamos el criterio del cociete de D Alembert: lím!/!( ) ( )!/( ) ( )! Como el límite es meor que uo, la serie es covergete. ( ) = e. PROBLEMA 9.9. a = 3!. Aplicado el criterio del cociete: lím a a 3! 3 ( )! = 3 lím ( ( ) 3 ( ) ) = ( 3 lím + 4 ) = e 3 <.

12 Por tato la serie dada es covergete. PROBLEMA a = 2 tg a 2. Aplicado el criterio de D Alembert: lím a + a tg(a/2+ ) 2 + = 2 lím a a = 4 <. Esto prueba que la serie es covergete. 2 tg(a/2 ) = a lím tg cotg a 2 PROBLEMA 9.2. a = 2 x 2 respecto a los diversos valores de x. + x2 E primer lugar, si x 2 = = a = y la serie será divergete. 2 + Si x 2 > = lím a 2 lím x2 = =. La serie es + x2 divergete. Para x 2 < aplicamos el criterio de D Alembert: lím a 2 x 2 + x2( ) a + x2 2 x 2( ) 2x2 ( + x 2 2 ) + x 2 = 2x 2, 42

13 pues x 2 0 y x cuado x 2 <. La serie es covergete cuado 2x 2 <, es decir cuado x < 2/2 y divergete cuado 2x 2 >, es decir cuado x > 2/2. Para el caso e que 2x 2 = teemos x 2 = /2, de dode: a = 2 (/2 ) + (/2 ) = + (/2 ) co lo que la serie es tambié es divergete cuado x = 2/2. PROBLEMA a = l Si aplicamos el criterio de Prigsheim resulta: lím α l α ( ) α Si hacemos α =, el límite da como resultado 4. De aquí se cocluye que la serie es divergete. PROBLEMA a = 2 ( 2). Por el criterio de la raíz: 2 lím ( 2) 2 = lím =. 2 43

14 Como el límite es meor que uo, la serie es covergete. PROBLEMA a = (l ) l. Aplicado el criterio logarítmico teemos: lím l(/a ) l l ( (l ) l ) l l(l ) l(l ) = >. l l Esto idica que la serie es covergete. PROBLEMA ( a = l + ) a. Comparamos esta serie co la de térmio geeral b = que teemos: lím a b [ ( l [ l )] a ( + 2 ) a l + 2 ( 2 ( ( ) 2 a, co lo ) ) ] a 2 = (l e) a = a =. a

15 Esto quiere decir que las dos ( series ) tiee el mismo carácter y como la serie 2 a de térmio geeral b = es ua serie armóica, es covergete cuado a > y divergete cuado a. PROBLEMA a = log a log a. Aplicado la fórmula del cambio de base e los logaritmos podemos escribir ( ) l a/ l l a 2 a = l / l a =. l Aplicado el criterio logarítmico: lím l(/a ) l l ( ) l 2 l a l l(l ) = 2 lím l 2 l(l ) 2 l(l a) l 2 lím l(l a) l. El segudo límite da como resultado cero y para calcular el primero, aplicamos el criterio de Stolz: lím l(l ) l l(l ) l[l( )] l l( ) ( ) l l ( l ( [ ) ) ] l l( ) l l l( ) l ( l l( ) l( ) ( ) l l( ) l( ) = 0. ) 45

16 Como el límite es meor que uo, la serie es divergete. PROBLEMA ( ) 2 a =. 3 Por el criterio de la raíz de Cauchy: ( ) 2 ( ) 2 lím 3 3 Como el límite es meor que uo, la serie es covergete. = (/3) 2 = /9. PROBLEMA ( ) + a =. 2 Aplicamos uevamete el criterio de la raíz: ( ) + lím = 2 <. Se deduce que la serie es covergete. PROBLEMA ( se a ) a = (a fijo). 46

17 Por el criterio de Raabe, lím [ ( se a ) ( ) se a ( ( ( ) ) se a ( ) ) ] se a = =. Como el límite es mayor que uo, la serie es covergete. PROBLEMA ( a = tg a + b ) co 0 < a < π/2. Aplicamos el criterio de la raíz: lím a tg ( a + b ) = tg a. De aquí se deduce que si 0 < a < π/4, la serie es covergete pues el límite aterior es meor que uo. Si π/4 < a < π/2, el citado límite es mayor que uo por lo que la serie es divergete. Para a = π/4 se tiee: ( π lím a tg 4 + b ) ( tg(π/4) + tg(b/) tg(π/4) tg(b/) ( ) + tg(b/) = e L, tg(b/) dode L = ( ) + tg(b/) lím tg(b/) 2 tg(b/) tg(b/) = 2 lím tg(b/) lím tg(b/) = 2b. 47 )

18 Por lo tato, lím a = e 2b 0 y la serie es divergete. PROBLEMA 9.3. a = l (l ). Aplicamos el criterio de Cauchy o de la raíz: Tomado logaritmos resulta: lím a l / l. [ ] [ ] lím l l (l ) 2 a l l(l ) l(l ). Utilizamos el criterio de Stolz para calcular el límite del primer sumado: lím (l )2 (l )2 [l( )] 2 ( ) [l + l( )][l l( )] l ( ) l l( 2 ) ( ) l(2 ) l(2 ) l[( ) 2 ( )] ( ) l 2 2 = l = Como el límite del segudo sumado es lím l(l ) = +, resulta que lím l a = = lím a = 0 <, de modo que la serie es covergete. 48

19 PROBLEMA a = ( + / ). Aplicamos el criterio logarítmico: lím l(/a ) l ( ) l + l ) l ( + l l [ ( + ) ] l ( lím l + ). l Es evidete que el límite del segudo factor es. Utilizaremos el criterio de Stolz para calcular el límite del primer factor: lím l ( ) l l( ) + l E defiitiva, lím l(/a ) l ( + ( ) ) + = +. = + > y la serie es covergete. PROBLEMA [ ( ) ] + + a = +. Por el criterio de la raíz: ( ) ] lím [ ( + ) + + = e <. 49

20 Esto muestra que la serie es covergete. PROBLEMA [( ) + a = ]. Aplicado el criterio de la raíz: lím a ( + La serie es covergete. ) + 2+ ( ) = e + 2 <. PROBLEMA a = (2 3)(2 ). Aplicado el criterio del cociete de D Alembert: lím a (2 3) a (2 3)(2 ) ( ) 2 2 lím Por tato la serie es divergete. ( ) 2 ( ) = 2 e >. 420 ( )

21 PROBLEMA a = l 2 l 3... l.! Aplicado el criterio del cociete de D Alembert: lím a l 2 l 3... l ( )! a! l 2 l 3... l( ) l = 0 <. Etoces se trata de ua serie covergete. PROBLEMA a =! (a + )(a + 2)... (a + ). Aplicamos el criterio del cociete: lím! + )(a + 2)... (a + ) (a + )(a + 2)... (a + ) (a ( )! a + =. El criterio o permite decidir sobre la covergecia de la serie por lo que aplicamos el criterio de Raabe: [ lím ] a a + a + = a. Resulta que si a <, la serie es divergete; si a >, la serie es covergete. 42

22 Cuado a =, sustituimos este valor e la serie y obteemos la cual es evidetemete divergete.! 2 3 ( + ) = + PROBLEMA a = 3 5 (2 ) (2 + 2). Aplicaremos el criterio de D Alembert: lím a a 3 5 (2 ) (2+2) 3 5 (2 3) (2) =. Como este criterio o decide el carácter de la serie, aplicamos el criterio de Raabe: ( lím a ) ( 2 ) 3 a = 3 2. Como el límite es mayor que uo, la serie es covergete. PROBLEMA a = e 2x segú los valores de x. Por el criterio de Raabe, teemos: ( ) lím e 2 x ( ) ( e 2 x+ 2 x+x 2x e x( 2)). e ( )2 x 422

23 Cuado x = 0, la serie dada es que es evidetemete divergete. Cuado x < 0, lím ( e x( 2)) = < por lo que la serie es divergete. Cuado x > 0, lím ( e x( 2)) = + > por lo que la serie es covergete. PROBLEMA α(α + )... (α + ) a = segú los valores de α y β. β(β + )... (β + ) Por el criterio de Raabe: [ lím a ] a α(α+)...(α+ ) β(β+)...(β+ ) α(α+)...(α+ 2) β(β+)...(β+ 2) ( ) β + α + β + ( β + α + β + ( β + + α + ) (β α) β = β α. 2 De aquí se deduce que si β α > 2, la serie es covergete. Si β α < 2, la serie es divergete. E el caso e que β α = 2, es decir β = α+2, al sustituir e la serie origial ) α + β + resulta α(α + ). Aplicado ahora el criterio de Prigsheim, (α + )(α + + ) resulta que lím p α(α + ) es fiito y o ulo cuado p = lo (α + )(α + + ) que hace que la serie sea divergete. E defiitiva, la serie es covergete si y sólo si β α >

24 PROBLEMA 9.4. Calcular la suma de la serie = Si descompoemos el térmio geeral e fraccioes simples, obteemos: = A 2 + B 2 +. Esto implica que = A( 2 + ) + B( 2 ) por lo que A = /2 y B = /2. Sumado ahora los primeros térmios de la sucesió teemos: a = a = a 2 = /2 2 /2 2 + /2 2 2 /2 2 /2 2 3 / a 2 = /2 2 /2 3 2 a = /2 2 /2 2 2 S = [ E defiitiva, S = a S = [ ]. 2 ]. PROBLEMA Dada la serie de térmio geeral a = que es covergete y sumarla , demostrar 424

25 Por el criterio de Prigsheim, lím p a p ( + 2) = cuado p = 2 >, por lo que la serie es covergete. Para sumar la serie descompoemos el térmio geeral e fraccioes simples: a = = = A + B C + 3 A( + 2)( + 3) + B( + 3) + C( + 2) ( + 2)( + 3) = + 2 = A( + 2)( + 3) + B( + 3) + C( + 2). Para = 0, 2 = 6A = A = 2. Para = 2, 0 = 2B = B = 5. Para = 3, 9 = 3C = C = 3. De aquí obteemos: a = a = a 2 = a 3 = a 4 = a 3 = a 2 = a = S = = S S = = 2. PROBLEMA Sumar la serie

26 El térmio geeral de la serie es a =. Al descom- (2 )(2 + )(2 + 3) poerlo e fraccioes simples resulta: a = = A 2 + B C A(2 + )(2 + 3) + B(2 )(2 + 3) + C(2 )(2 + ) (2 )(2 + )(2 + 3) = A(2 + )(2 + 3) + B(2 )(2 + 3) + C(2 )(2 + ) = = A = /8, B = /4, C = /8. Por tato, a = ( ) a = ( ) 2 + a 2 = ( ) 2... ( ) a 2 = a = ( ) 5 S = 8 Teemos etoces que S S = 8 ( ( ) = 3 2. ). PROBLEMA Sumar la serie = ( +3 3 ). 426

27 Escribimos el térmio geeral e la forma a = descompoemos e fraccioes simples: 6 ( + 3)( + 2)( + ) = A ! ( + 3)( + 2)( + ) y lo B C +. Esto implica que 6 = A( + 2)( + ) + B( + 3)( + ) + C( + 3)( + 2) lo que al resolver produce los valores A = 3, B = 6, C = 3. Sumado ahora los primeros térmios de la sucesió: a = a = a 2 = a 2 = Etoces S S = /2. a = S = PROBLEMA Sumar la serie =2 l + l l( + ). Escribimos el térmio geeral como a = l( + ) l l l( + ) = l l( + ). 427

28 Sumado los primeros térmios de la sucesió resulta: a = a = Etoces S S = / l 2. l l( + ) l( ) l... a 3 = l 3 l 4 a 2 = l 2 l 3 S = l 2 l( + ). PROBLEMA Sumar la serie 2 l ( ) 2. Escribimos el térmio geeral de la forma: a = l 2 ( + )( ) 2 = l 2 = l( + ) 2 l + l( ). Dado valores decrecietes a teemos: a = l( + ) 2 l + l( ) a = l 2 l( ) + l( 2) a 2 = l( ) 2 l( 2) + l( 3)... a 4 = l 5 2 l 4 + l 3 a 3 = l 4 2 l 3 + l 2 a 2 = l 3 2 l 2 + l. S = l( + ) l l 2 = l + l 2. La suma de la serie es S S = l l 2 = l

29 PROBLEMA Estudiar el carácter y hallar la suma de la serie Aplicado el criterio de D Alembert, lím a a 7 2( ) = 7 <. La serie es covergete. Para hallar su suma escribimos S = Los térmios de la serie resulta de multiplicar los térmios de la progresió aritmética 3, 5, por los correspodietes de la progresió geométrica /7, /7 2,... /7. Estas series, llamadas aritmético-geométricas, se suma de la siguiete forma: S = S = Restado: 6 7 S = = Como lím = 0, resulta que la suma de la serie es: 6 7 S = /49 6/7 = 0 2 = S = 5 9. PROBLEMA Sumar la serie 2 x, 0 < x <. 429

30 El proceso que seguiremos es el siguiete: S = x + 4x 2 + 9x ( ) 2 x + 2 x xs = x 2 + 4x ( 2) 2 x + ( ) 2 x + 2 x +. Restado miembro a miembro: ( x)s = x + 3x 2 + 5x (2 )x 2 x + x( x)s = x 2 + 3x (2 3)x + (2 )x + 2 x +2. Restado uevamete las dos últimas igualdades: ( x) 2 S = x + 2x 2 + 2x x ( )x x +2 = x + 2 x+ x 2 x ( )x x +2. Como 0 < x <, ( )x + 0 y 2 x +2 0 cuado. Resulta etoces que si llamamos S S a la suma de la serie, teemos: ( x) 2 S = x 2x2 x = S = x2 + x ( x)

31 B. EJERCICIOS PROPUESTOS..- Estudiar la covergecia de las siguietes series: a) (2 + ). Resp.: Covergete (raíz). b) (4 3)!. Resp.: Covergete (cociete). c) e. Resp.: Covergete (cociete). d) (2 + ). Resp.: Covergete (cociete). e) cos 2 2. Resp.: Covergete (comparació co / 2 ). f) Resp.: Covergete (comparació co / 8/3 ). g) 2!. Resp.: Covergete (cociete). h)! (3)!. Resp.: Covergete (cociete). i) (2)! (!) 2. 43

32 Resp.: Divergete (cociete). j) (l!) + 2. Resp.: Covergete (comparació co / 2 ). k) Resp.: Covergete (cociete). l) 3... (2 ) Resp.: Divergete (Raabe). m) ( + ). Resp.: Divergete (comparació co /). ) 2. Resp.: Divergete (cociete). o) (3 ) (4 3). Resp.: Covergete (cociete). p) /2 5.! Resp.: Covergete (raíz). q) (3 2)(3 + ). Resp.: Covergete (comparació co / 2 ). r) l ( + ). Resp.: Divergete (lím a 0). 432

33 s) 2... (0 9). (2 )! Resp.: Divergete (cociete). t)!. Resp.: Covergete (raíz). u) 2 se 3 e 2. Resp.: Covergete (raíz). v) l. Resp.: Divergete (itegral). 2.- Calcular la suma de las siguietes series: a) Resp.: S =. b) ( )x para x <. Resp.: S = 2x2 ( x) 3. c) Resp.: S =. d) (3 + 2)(3 + 8). Resp.: S = 3/240. ( ) 2. e) 2 e 433

34 Resp.: S = e2 + (e 2 ) 3. f) ( )( + 2). Resp.: S = 65/36. g) (4 2 ) 2. Resp.: S = /8. h) e. Resp.: S =. i) e. Resp.: S = 2e2 2e + 9 (e )

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