6 La transformada de Laplace

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1 CAPÍTULO 6 La tranformada de Laplace 6. efinición de la tranformada de Laplace 6.. efinición y primera obervacione En la gran mayoría de lo itema de interé para la fíica y la ingeniería e poible (al meno en principio) predecir u comportamiento futuro partiendo de condicione dada en un determinado tiempo, el cual podemo dede luego uponer que e t. Sólo en muy contado ejemplo e factible predecir el comportamiento paado del itema. En lo que igue no ocuparemo olamente de la parte de la funcione f.t/ definida para valore t, in darle importancia a lo que ucede para t <. Con eta aclaración podemo enunciar la iguiente definición de la tranformada de Laplace, en ocaione denominada unilateral: La tranformada de Laplace (TL) de una función f.t/ e define mediante: Lf f.t/g F./ e t f.t/ dt; para todo lo valore R para lo cuale la integral impropia anterior ea convergente. Si Lf f.t/g F./, diremo también que f.t/ e la tranformada invera de Laplace de F./, lo que denotaremo como: f.t/ L ff./g: A eta conexión entre f.t/ y F./ e le uele repreentar mediante el equema: f.t/! F./:. canek.azc.uam.mx: 4/ 9/

2 Ecuacione diferenciale ordinaria Obervacione:. Recordemo que una integral impropia como la anterior e define como un límite de integrale obre intervalo finito, e decir, e t f.t/ dt lím R! R e t f.t/ dt; i el límite exite. El reultado de la integral erá en general una función que depende de. Al calcular una TL no iempre e epecifica el rango de valore para lo cuale la integral exite; no obtante en alguno cao e recomendable determinarlo.. En ocaione a eta tranformada e le llama unilateral. Podemo ampliar la definición dada la TL bilateral. Éta e Lf f.t/g F./ e t f.t/ dt: No obtante, el manejo y aplicación de éta tiene otra complicacione debida en parte a problema de convergencia que caen fuera del alcance e interé de ete libro. 6.. Cálculo de la TL Uaremo la definición para calcular la TL de alguna funcione. Ejemplo 6.. Calcular la TL de la función ecalón unitario { ; i t < I u.t/ ; i t : Uando la definición de la TL: U./ ( e t u.t/dt lím R! ) lím.e R / R! R e t dt lím R! ) ( lím R! [ ( e R e t ) : Obervamo ahora que el límite anterior exite, ólo i >. En ete cao, lím e R lím R! conecuencia, ( ) U./. / : e eta manera, hemo hallado nuetra primera fórmula de TL: Ejemplo 6.. Calcular la TL de la función f.t/ e at, para t & a R. R R!, en er u.t/! ; con > : (6.) Aquí F./ [ a e t e at dt lím R! lím R! [ e.a /R [ e.a /t R /t dt lím e.a R! a : (6.) R

3 6. efinición de la tranformada de Laplace 3 Al etudiar el límite anterior, concluimo u exitencia iempre y cuando a que lím R! e.a /R, por lo que: También podemo ecribir: F./ a. / ; con > a: a <. En ete cao, tenemo e at! ; con > a: (6.3) a Ejemplo 6..3 Calcular la TL de la función f.t/ { e t ; i t < I 4; i t: Partiendo de la definición de la TL: Lf f.t/g e. /t e t f.t/ dt e Para, e reduce la integral: F./ C 4 lím R! e R e t e t dt C e C 4e, para > y : e e t 4 dt C 4e e. /t dt C 4 e t f.t/ dt e t e t dt C e t 4 dt ( ) R dt C 4 e t dt e t C e : lím R! e t dt Entonce: e C 4e ; i > y I Lf f.t/g F./ C e ; i : Propiedad de linealidad de la TL Una propiedad importante de la TL e la iguiente: E decir: Lf af.t/ bg.t/g Una fórmula recuriva para la TL Œaf.t/ bg.t/ e t dt a alf f.t/g blf g.t/g af./ bg./: f.t/e t dt b g.t/e t dt Lf af.t/ bg.t/g alf f.t/g Lf g.t/g: (6.4) ay fórmula de integración que reducen el reultado de una integral a una integral má encilla, por lo común mediante una integración por parte. Vamo a calcular Lf t n g (para ello uaremo en el dearrollo):

4 4 Ecuacione diferenciale ordinaria Lf t n g u t n ) du nt n dti dv e t dt ) v e t : [ e t t n dt t n e t t n e t dt lím R! [ R n lím C n e t t n dt: R! e R Si aplicamo n-vece la regla de L ôpital, entonce, lím Lf t n g n Regitramo lo anterior como una fórmula recuriva: R! R e t R n. Por lo tanto: er e t t n dt; i > : Aplicando eta fórmula podemo obtener lo iguiente reultado: nt n dt Lf t n g n L t n ; para n ; ; 3; (6.5) L t L t Lf g : L t L t 3 : L t 3 3 L t : L t 4 4 L t : Generalizando, vemo lo iguiente: Lf t n g nš ; para n ; ; 3; (6.6) nc Ejemplo 6..4 Calcular la TL de la funcione f.t/ t 3 C 3t, f.t/ t 5 & f 3.t/ e t C 3e t e 3t. Uando la propiedade anteriore: L t 3 C 3t L t 3 C 3Lf tg 3Š 4 C 3 Š 6 4 C 3 6 C 3 4 : Lf t 5g Lf tg 5Lf u.t/g 5 5 : L e t C 3e t e 3t L e t C 3L e t L e 3t C 3. /. C 3/ C 3. /. C 3/. /. / C 3. /. /. C 3/. C 6/ C 3. C 3/. 3 C /. /. /. C 3/ 4 C 3. /. /. C 3/ : e manera imilar e poible calcular la TL de cualquier función que ea combinación lineal de potencia entera de t y exponenciale e at, para a R. ata el momento, a partir de la definición y primera propiedade de la TL tenemo una cantidad limitada de funcione cuya TL podemo calcular. Conforme avancemo en la iguiente eccione e ampliará coniderablemente la clae de funcione para la cuale podemo calcular u TL.

5 6. efinición de la tranformada de Laplace Má ejemplo de cálculo de la TL Al etudiar E lineale homogénea con coeficiente contante, conideramo conveniente introducir lo número complejo de la forma z C iˇ y la correpondiente fórmula de Euler como igue: e i co C i en & e i co i en : La propiedade de la integral on válida para contante compleja, e decir, que i z C iˇ, entonce: Por otro lado, la fórmula zf.t/ dt. C iˇ/f.t/ dt f.t/ dt z. C iˇ/ L e zt z f.t/ dt C iˇ a f.t/ dt: f.t/ dt e válida con z complejo. Ya que, i z C iˇ, en la deducción de la fórmula (véae ejemplo 6..), requeriríamo coniderar: lím R! e.z /R lím eiˇr e. /R cuando < : R! Aí, para que la fórmula anterior ea válida e precio que u parte real cumpla Re.z/ <. Utilicemo ahora la conideracione previa para reolver lo ejemplo iguiente: Ejemplo 6..5 Calcular la TL de la funcione f.t/ co kt & f.t/ en kt para k R: Si uamo la obervación previa obre linealidad de la integral con número complejo y la fórmula de Euler: L e ikt e t e ikt dt e t co kt dt C i e t.co kt C i en kt/ dt e t en kt dt Lf co ktg C ilf en ktg: También, de acuerdo a lo dicho ante, obre la tranformada de una función con exponente complejo, Por lo tanto: L e ikt ik ik ( ) C ik C ik C ik C k Lf co ktg C ilf en ktg C k C i k C k : C k C i k C k : e aquí, al igualar la parte reale e imaginaria repectivamente, determinamo que co kt! ; C k con > ; en kt! k ; C k con > : La validez de eta fórmula e logra pueto que Re.ik/ <.

6 6 Ecuacione diferenciale ordinaria Se puede generalizar la fórmula (6.5) para Lf t n g al cao de exponente no entero, introduciendo la función Gamma.z/, etudiada por Euler en el iglo XVIII:.z/ e x x z dx; que e puede definir para número complejo z, con Re.z/ >, aunque aquí retringimo nuetra atención a.r/, con r >. La propiedad que caracteriza a.r/ e la de generalizar el factorial de entero poitivo, ya que integrando por parte:.r C / e x x r dx lím R! ( ) R e x x r e x rx r emo uado para reolver por parte la primera integral: u x r ) du rx r dxi e ete modo, la fórmula recuriva obtenida dv e x dx ) v e x : junto con la obervación de que./ no permiten concluir que y en general dx r e x x r dx r.r/:.r C / r.r/ (6.7)./. C /./ I.3/./ ŠI.4/ 3.3/ 3 3ŠI.n C / nš n ; ; 3; (6.8) Ejemplo 6..6 Calcular Lf t r g, con r >. Aplicando la definición de TL: Lf t r g e t t r dt e x x r dx rc e x x r dx.r C / rc : onde hemo uado para reolver la primera integral el cambio de variable x t. e aquí que para la función f.t/ t r, con r > : Pueto que, uando (6.8) Lf t r g Lf t n g Vemo que la fórmula (6.9) generaliza la anterior (6.6)..r C / rc : (6.9).n C / nc nš nc :

7 6. efinición de la tranformada de Laplace 7 Vamo a demotrar p. Uando la definición de : aciendo e x x dx e x x u p x ) x u ) dx u du; e tiene e u u du u Ahora e u du e v dv 4 Uando coordenada polare (u r co I v r en ): de donde 4 e r r drd 4 e r p : dx: e u du: e.u Cv / dudv: d 4 C d ; A partir del reultado anterior, uando (6.7): 3 C : p 5 3 C : 4p Ejemplo 6..7 Calcular L n t 3 Uamo (6.9): o. p Ejemplo 6..8 Calcular L. t p L L n t t : 5 L n o t 3 5 3p 4p : 5 o C C p p : Podemo aplicar, entonce, la fórmula para lo exponente r negativo que cumplan < r <. Por upueto, para exponente r que no ean entero o múltiplo impare de, el cálculo de.r C/ puede er muy complicado y requerir de alguna aproximación numérica.

8 8 Ecuacione diferenciale ordinaria Ejercicio 6.. efinición. Solucione en la página 9 Utilizar la definición para hallar la tranformada de Laplace de cada una de la iguiente funcione:. f.t/ e 5 t.. f.t/ e t. 3. f.t/ 6 t. 4. f.t/ t 8 C e t. { 3t; i t < I 5. f.t/ ; i t : { t C 3t ; i t I 6. f.t/ ; i t Œ; : 7. f.t/ t co at; a contante. 8. coh kt ekt C e kt & enh kt ekt e kt.

9 6. efinición de la tranformada de Laplace 9 Ejercicio 6.. efinición. Página ; para > 5. e ; para >. 6 ; para >. 3 7 C 9.. / 5. 3 e e C « e 3. a. C a /. 8. Lf coh.kt/g e / C. C /. 3 k ; Lf enh.kt/g k k :