Algunas aplicaciones de la transformada de Laplace en Cinética Química, Circuitos Eléctricos y Transferencia de Calor

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1 Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor Eri Albrrán-Zvl, Fculd d Ingnirí, Dircción Acdémic d Ingnirí Químic, Univridd Tcnológic d México, mpu Aizpán,.P. 5999, México, Edo. Mx. Progrm d Mmáic Aplicd y ompución, Dprmno d Mmáic, Fculd d Eudio Suprior Aclán, Univridd Ncionl Auónom d México,.P. 535, México, Edo. Mx. E-mil: ri.lbrrn@gmil.com Rcibido l 9 d Junio d 3, cpdo l 3 d Dicimbr d 3 Rumn En rículo mormo lguno jmplo impl d cucion difrncil rulo uilizndo l Trnformd d Lplc. Eprmo qu informción d uilidd pr l pron qu imprn curo d Ecucion Difrncil. L Trnformd d Lplc d grn uilidd pr rolvr problm obr circuio lécrico, d hcho, xin much rfrnci qu prnn l rnformd d Lplc como un hrrmin imporn n l rolución d problm d circuio lécrico. Pro i pnmo crc d l inéic Químic o l Trnfrnci d lor, difícil nconrr lgún libro qu prn problm rulo uilizndo pondro hrrmin mmáic. Por rzón, proponmo lguno problm ncillo d cucion difrncil corrpondin inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor. Plbr clv: Trnformd d Lplc, inéic Químic, ircuio Elécrico, Trnfrnci d lor. Abrc In hi ppr w how om impl xmpl of diffrnil quion olvd by uing h Lplc Trnform. W hop hi informion will b uful for pron who ch Diffrnil Equion our. Th Lplc Trnform i vry uful for olving problm bou lcricl circui, in fc, hr r mny rfrnc h prn h Lplc Trnform li n imporn ool o olv problm of lcricl circui. Bu, if w hin bou hmicl Kinic or H Trnfr, i i difficul o find ny boo prning problm olvd by uing hi powrful mhmicl ool. By hi ron, w propo om y Diffrnil Equion problm corrponding o hmicl Kinic, Elcricl ircui nd H Trnfr. Kyword: Lplc Trnform, hmicl Kinic, Elcricl ircui, H Trnfr. PAS:.4.-d,.3.Hq, 8..-w, y, ISSN I. INTRODUIÓN Por lo nrior, proponmo lgun pliccion d l Trnformd d Lplc n lo m d inéic En diino pln d udio, lo libro y lo curo d Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor, Ecucion Difrncil án nfocdo l nálii m n lo cul pudn nconrr jmplo cuy órico obr l difrn form d rolvr dich orí fíic rlivmn ncill y pudn xponr cucion. Poc vc pudn vr pliccion con durn lgun ion dnro d un curo d Ecucion jmplo ilurivo y fácil d nndr pr lo Difrncil, gún l guo dl profor. lumno. Por lo gnrl, lo curo d cucion En l m d ircuio Elécrico y xi bn difrncil llvn n lo primro mr, cundo lirur dond rulvn problm uilizndo l l lumno ún no in uficin conocimino y/o Trnformd d Lplc. Sin mbrgo, n lo m d xprinci pr podr concr l orí d l Ecucion inéic Químic y Trnfrnci d lor no fácil Difrncil con l diin rm d l Fíic. Por nconrr libro qu bordn y rulvn problm rzón, lo lumno dbn prr lo curo má uilizndo dicho méodo. Aunqu poibl nconrr vnzdo dond prndn clrmn l orí fíic d lguno jmplo n lo libro onrol Inrumnción, un ciro fnómno juno con l cución difrncil qu dicho jmplo prnn un nfoqu muy vnzdo, l lo dcrib. l co d Ingnirí d onrol Modrn, crio por Kuhio Og, []. E libro, n u cpíulo 3 y 4 no L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

2 Eri Albrrán-Zvl prn divro jmplo obr im mcánico, lécrico, lcrónico, érmico, hidráulico, numáico y d nivl d líquido. Pr podr lr mnucrio, mo uponindo qu l profor h cubiro con nrioridd l m d l Trnformd d Lplc, qu lo lumno dominn l propidd d dich rnformd y qu hn rulo vrio problm l rpco. El lumno mbién db conr con conocimino d álgbr pr rolvr im d cucion linl por liminción, uiución, igulción, drminn, c., dmá d conocr l méodo d prción por frccion prcil. II. LA TRANSFORMADA DE LAPLAE En cción no limirmo dr l dfinición d l rnformd d Lplc y nuvmn rcordmo l lcor qu y db dominr m con nrioridd, pr lo cul pud conulr uor como [,, 3, 4]. L rnformd d Lplc d un función f á dfinid por l iguin xprión: f F d, dond l vribl indpndin qu ci impr corrpond con l impo, l vribl d rnformción qu db r un númro rl poiivo, f l función qu d rnformr y F l rnformd d Lplc. En rículo dnormo por lr minúcul l funcion originl, por jmplo: f,, b, c, q, i, θ, c. Por oro ldo, uilizrmo lr myúcul pr u rpciv rnformd, por jmplo: F, A, B,, Q, I, Θ, c. Uilizrmo l ubíndic pr dnor l condición inicil, dcir, l función vlud n l impo =, por jmplo: f = f, =, b = b, c = c, q = q, i = i, θ = θ, c. Hrmo lo mimo pr l drivd, dcir: f = f, =, b = b, c = c, q = q, i = i, θ = θ, c. Fíicmn, imporn fmilirizrno con l lmno qu compor como inrrupor y qu civ n l impo = c, dond c un conn. Eo pud r prcimn un inrrupor n un circuio lécrico qu ncind un fun d volj y prmi l po d un corrin lécric. Pro n l co d rccion químic, l inrrupor pud rprnr l inn dond grg úbimn un pci químic pr inicir o cmbir l curo d un rcción químic. En rnfrnci d clor, pud r l inn n qu inici l combuión dl g buno n un clndor d gu doméico, o l inn n l cul umrg un objo clin n gu frí. El inrrupor corrpond con l función clón dnod por u c, l cul dfin como cundo l impo mnor qu l vlor con c, y dfin como cundo l impo myor o igul qu c. Dich función xpr mmáicmn gún l cución : i c u c. i c Un form má cómod pr dnor función ponindo como ubíndic l conn c, pr ólo cribir u c. En lo ucivo uilizrmo úlim noción pr rfrirno l función clón. Pr yudr un poco l lcor lo lrgo d mnucrio, l bl I no prn lgun funcion y u rpciv rnformd d Lplc. Si l lcor lo d, pud poyr n l libro d Spigl, l. [5], dond podrá nconrr un grn vridd d rnformd pr difrn funcion. TABLA I. Algun funcion y u rnformd d Lplc. Función f Trnformd F u c n co nh m coh m c m m m u c f c c F f d F f ' F f f '' F f f ' III. QUÉ ES UNA REAIÓN QUÍMIA? Un rcción químic coni n l inrcción nr difrn pci químic lmno y/o compuo qu provocn l dprición d lgun d ll y l prición d or nuv. Un form gnrl d xprr un rcción químic l iguin: L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

3 Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor dond l pci químic A un rcivo cuyo coficin quiomérico ν A =. Por oro ldo, l pci químic B cú como produco con coficin quiomérico ν B = +. Enonc, l vlocidd d rcción rpco l rcivo A : A j Aj j Aj N AN, 3 dond A l -éim pci químic y ν l -éimo coficin quiomérico. Por convnción, ignn vlor ngivo lo coficin quiomérico d lo rcivo y ignn vlor poiivo lo coficin quiomérico d lo produco. omo jmplo, bordrmo un rcción n l qu inrvinn l hirro, l oxígno y l óxido d hirro III: 4F 3O. 4 FO3 Obrvmo qu hy r pci químic difrn, l cul podmo numrr ignndo l númro l F, l l O y l 3 l F O 3. omo l hirro y l oxígno on rcivo, u coficin quiomérico dbn nr igno ngivo, dcir, ν = 4 y ν = 3. Por oro ldo, l óxido d hirro III un produco, por lo cul u coficin quiomérico db r poiivo, ν 3 = +. E imporn rcordr qu pr cribir l cución químic dcri por l cución 4, dbn cribir lo vlor boluo d lo coficin quiomérico. IV. LA VELOIDAD DE REAIÓN En l conxo d l inéic Químic, l plbr rpidz y vlocidd inn l mimo ignificdo, por lo cul válido dcir vlocidd d rcción o rpidz d rcción, [6]. E vribl dfin por mdio d l drivd d l concnrción d un pci químic con rpco l impo, dividid nr l coficin quiomérico d l mim, [6]: d r, 5 d d r. 7 d Si por l conrrio, pnmo omr como rfrnci l produco B, l vlocidd d rcción qud como: db r, 8 d dond r l vlocidd d rcción, l concnrción d l pci A y b l concnrción d l pci B. En co, mb concnrcion conidrn funcion dl impo, dcir, = y b = b. L concnrcion y b inn unidd d mol dm 3 y l vlocidd d rcción r in unidd d mol dm 3. E imporn ñlr qu l rccion químic on provocd por l pci químic qu comporn como rcivo, por lo no, l vlocidd d rcción un función qu dpnd d l concnrcion d lo rcivo. En l co d l cución 6 mo conidrndo qu ólo xi un rcivo, qu l pci químic A. Por lo nrior, l vlocidd d rcción ólo función d l concnrción d l pci químic A, lo qu no prmi clificr l rcción d r form difrn: rcción d ordn cro, rcción d primr ordn y rcción d gundo ordn. Rcción d ordn cro: Sgún [6], l vlocidd d rcción proporcionl un conn llmd l conn d rcción o conn d vlocidd, nindo como cución: dond l concnrción d l -éim pci químic, l impo, ν l -éimo coficin quiomérico y r l vlocidd d rcción. En érmino gnrl, l vlocidd d rcción pud clculr omndo como b culquir pci químic qu nooro lijmo y impr obndrá l mim vlocidd. E imporn rcordr qu l pci químic qu cún como rcivo inn coficin quiomérico ngivo dprcn, minr qu l pci qu comporn como produco inn coficin quiomérico poiivo prcn. Por lo nrior, l cución 5 impr rá un función poiiv, in imporr i obin omndo como rfrnci un rcivo o un produco. Por implicidd, conidrrmo rccion químic cuyo coficin quiomérico on unirio, y qu inn l iguin cución químic: A B, 6 d. 9 d L olución muy ncill y pud obnr por ingrción dirc, vlundo l ingrl dd un concnrción inicil = n l impo = h un concnrción n culquir impo : d d,. L cución no indic qu l rlción nr l concnrción d l pci químic A y l impo un lín rc con pndin ngiv. El vlor boluo d l pndin corrpond con l conn d rcción. Rcción d primr ordn: Aquí, l vlocidd d rcción proporcionl l produco d l conn d rcción y L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

4 Eri Albrrán-Zvl l concnrción d l pci químic, por lo qu l cución difrncil qu gobirn l fnómno, [6]: d. d Si dmo ingrr pr obnr l olución nmo: d d, 3. 4 Podmo vr qu l rlción un xponncil dcrcin cuy conn d impo τ l invro d l conn d rcción τ = /, por lo qu un form úil pr l cución 4 : /. 5 Rcción d gundo ordn: Finlmn, l vlocidd d rcción pud r proporcionl l cudrdo d l concnrción, por lo qu nmo, [6]: d d. 6 Análogmn, podmo ingrr l cución 6 pr nconrr un rlción funcionl nr l impo y l concnrción, lo qu no llv l xprion: d d, 7. 8 E imporn hcr nor qu l conn d rcción in difrn unidd qu dpndn dl ordn d l rcción. Por lo nrior, n l bl II prn un rlción nr l ordn d rcción, l conn d rcción y u rpciv unidd. TABLA II. Dpndnci nr l ordn d rcción y l unidd d l conn d vlocidd, [6]. Ordn d rcción Unidd d mol dm 3 dm 3 mol rcción. En co upondrmo qu mb rccion on d primr ordn con con d vlocidd y rpcivmn, y qu n l impo = únicmn xin molécul dl compuo A con un concnrción inicil. El mcnimo d l rcción químic á dcrio por: Primr p A B, 9 Sgund p B. Si nlizmo l compuo A, vmo qu implmn dprc y convir n l compuo B. Dbido qu l compuo A á dprcindo un rcivo, ncimo grgr un igno ngivo pr indicr condición, y qu ν A = : d, d Pnndo n l compuo B, vmo qu compor como produco y como rcivo, por lo no á prcindo dbido l primr p, pro mbién á dprcindo dbido l gund p. Por lo nrior, l cución d vlocidd pr B in do componn, l primr d ll poiiv y proporcionl l concnrción d l pci A, minr qu l gund ngiv y proporcionl l concnrción d l pci B, por lo no nmo: db b. d Finlmn, l compuo ólo compor como produco, por lo qu u cución d vlocidd ólo in un componn poiiv qu proporcionl l concnrción d l pci B: dc b. 3 d Si dmo plicr l rnformd d Lplc l im ingrdo por l cucion, y 3, ncrio conocr l condicion inicil n =. omo mo conidrndo qu l principio dl proco ólo xi un mur dl compuo A puro, nonc l condicion inicil on =, b = y c =, lo qu no llv l iguin im d cucion lgbric: V. REAIONES ONSEUTIVAS, 4 A onidrmo un rcción n l cul l compuo A A B, 5 convir n l compuo B, pro u vz l compuo B convir n un rcr compuo, y dond l B, 6 concnrcion d dicho compuo án dnod por, b y c rpcivmn. El proco complo l cul pud r xprdo n form mricil, gún lo pud vr como do rccion concuiv, pr lo indic l cución 7: cul ncimo plnr do cucion d vlocidd d L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

5 Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp:// B A. 7 Pr rolvr l nrior im d cucion pud uilizr culquir méodo, pro n co uilizrmo l méodo d lo drminn, qu pud r conuldo n l libro Álgbr dl docor Aurlio Bldor, [7]. Si rlizmo lo cálculo corrpondin, poibl obnr xprion pr lo drminn dl im:, 8 A, 9 B, 3. 3 Lo qu no prmi obnr l xprion xplíci pr l rnformd d Lplc d l concnrcion: A, 3 B, Pr podr invrir l rnformd d l cucion 3, 33 y 34, ncrio uilizr l méodo d prción por frccion prcil, qu pud r conuldo n [3] y qu no llv : A, 35 B, Finlmn, podmo invrir l rnformd d Lplc pr obnr l concnrcion como funcion dl impo pr cd un d l pci químic involucrd:, 38 b, 39 c. 4 L olucion nrior on quivln l rpord por Logn, págin 4, [6], ólo qu n co hmo uilizdo un méodo difrn pr obnrl. Un form muy úil pr rbjr l cucion nrior l form normlizd, qu pud r obnid l dividir l xprion pr, b y c nr l vlor con. Lo nrior no rroj lo iguin: *, 4 * b, 4 * c. 43 on l cucion nrior podmo rlizr l gráfic corrpondin pr conocr l compormino dl im rcivo n cuión. Pr llo ignrmo rbirrimn vlor l conn d rcción y. L figur y no murn do compormino difrn dl im udido l fijr difrn vlor pr l conn y. L figur fu obnid uilizndo = y = 5, minr qu l figur fu rlizd inrcmbindo vlor, dcir, = 5 y =. En l figur podmo obrvr qu l concnrción b inignificn rpco y c. D hcho, n odo momno, b mnor qu y ólo durn un pquño lpo l inicio dl proco, b upr l vlor d l concnrción c. En cmbio, l figur no mur un compormino dond l concnrción b crc rápidmn durn l inicio d l rcción químic, minr qu dcrc rápidmn y c compor n form muy prcid como lo hc n l figur. Lo nrior prmi un lpo nobl d impo dond l concnrción b upr l concnrcion y c.

6 oncnrción normlizd d A, B y oncnrción normlizd d A, B y Eri Albrrán-Zvl oncnrción normlizd como función dl impo Timpo [] Epci Químic A Epci Químci B Epci Químic FIGURA. Gráfic d l concnrcion normlizd d l pci químic A, B y como funcion dl impo, conidrndo = y = oncnrción normlizd como función dl impo Timpo [] Epci Químic A Epci Químci B Epci Químic FIGURA. Gráfic d l concnrcion normlizd d l pci químic A, B y como funcion dl impo, conidrndo = 5 y =. VI. REAIONES OPUESTAS Un ipo d rccion químic qu cún n dirccion opu on l rccion d iomrizción, n dond un pci químic A convir n l pci químic B y u vz l pci B convir nuvmn n l pci A, l y como lo indic l cución 44. A B. 44 E proco pud modlr pnndo n do rccion concuiv d primr ordn: A B, 45 B A. 46 L molécul d l pci A dprcn dbido l propi concnrción d l pci A, pro prcn cu d l concnrción d l pci B. En form mjn, l pci B dprc dbido u propi concnrción y prc dbido l concnrción d l pci A. Por lo qu podmo blcr lo iguin: d b, 47 d db b. 48 d Pr rolvr l im dbmo conidrr qu inicilmn ólo hy molécul d l pci A con concnrción inicil. Aplicndo l Trnformd d Lplc, obnmo l cucion 49, 5 y 5:, 49 A B A B, 5 A. 5 B D igul form rolvmo l im uilizndo l méodo d drminn:, 5 A, 53 B. 54 Lo nrior no prmi nconrr xprion xplíci pr l rnformd d Lplc: A, 55 B, 56 Un vz má, ncrio rlizr l prción n frccion prcil pr podr invrir l rnformd: A, 57 L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

7 Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor B, 58 [ ], 59 b, 67 ln[ ] lnb, 68 y mx. 69 y b [ ]. 6 Si dmo implificr l álgbr, podmo inroducir vribl uxilir, como on l concnrcion d lo compuo n l do d quilibrio. undo un rcción químic h llgdo u érmino, l concnrcion d l difrn pci químic y no cmbin dbido qu hn lcnzdo l concnrcion d quilibrio. Eo ocurr cundo h pdo un grn lpo d impo, dcir, i nonc y dmá, b b. Por llo dfinimo lo iguin: b, 6. 6 omo l inicio dl proco in únicmn un cnidd pur dl compuo A y lo coficin quiomérico on unirio, nonc i hcmo un nálii d conrvción d mri podmo vr qu l um d y b db cumplir con: y n priculr: b, 63 b. 64 Por lo no, podmo implificr l xprion 59 y 6 d l iguin form: b, 65 b b [ ]. 66 Si in un ri d do xprimnl d l rcción d iomrizción nr l pci A y B, pud hcr un rnformción pr hcr un ju por mínimo cudrdo o un rgrión linl. onidrndo qu inn prj d do,, dbmo bucr un rnformción d l cución 65 pr podr jurl un rc, pr lo cul dbmo rr l vlor d l función cución 67, poriormn cr logrimo nurl cución 68 y hcr l comprción érmino érmino conr l cución d un rc cución 68 conr l cución 69. D form, podmo vr qu l pndin m corrpond con +, l ordnd l orign y corrpond con ln b, l vribl x corrpond con l vribl y l vribl y corrpond con ln[ ]. Ahor qu conocmo l orí obr l rccion d iomrizción, podmo rolvr un problm i nmo lo do xprimnl dl impo y d l concnrción d l pci A. En co rolvrmo l problm 3.6 qu ncunr n l cpíulo 3, págin 6, dl libro iuldo Fundmno d inéic Químic crio por Logn, [6]. Problm: Lo compuo A y B on iómro qu pudn inrconvrir. omnzndo con un mur d A puro, nconrron lo iguin vlor d u concnrción n función dl impo. Dduzc l conn d vlocidd d mbo proco d iomrizción, uponindo qu mb rccion on d primr ordn o d pudo-primr ordn. Solución: Lo do provio por [6] ncunrn n l primr do column d l bl III. Dbmo idnificr l vlor xprimnl d, qu n co l úlimo vlor d l gund column, dcir, =.8 mol dm 3. A coninución, n l column 3 db cribir l vlor obnido d rr cd vlor d l column. Poriormn, db clculr l logrimo nurl d cd vlor d l column 3 y cribirlo n l column 4. Finlmn hc un rgrión linl o un ju por mínimo cudrdo uilizndo l primr column como l vribl x y l cur column como l vribl y. TABLA III. Do dl problm 3.6, cpíulo 3 d Logn, [6]. Timpo onc. ln[ ] min mol dm 3 mol dm Hcho lo nrior, l cución jud in od l informción ncri dl im rcivo. L cución 7 no indic l vlor d l pndin m y l cución 7 no dic l vlor d l ordnd l orign y. m , 7 y L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

8 Vribl d rnformción y oncnrcion y b n mol dm 3 Eri Albrrán-Zvl Ahor podmo obnr un im d cucion ddo por l cucion 68, 69, 7 y 7, qu no prmi conocr lo prámro d l rcción d iomrizción: , 7 lnb , 73 Rolvindo l cucion 7 y 73 juno con l cucion 6, 6 y 64 podmo obnr lo vlor imdo díicmn pr, b, y : Do xprimnl d A y gráfic d y b Do Exprimnl Epci Químic A Epci Químic B mol dm, 74 3 b.8366 mol dm , 76 min min Un vz conocido lo vlor d lo prámro, y mo n poibilidd d obnr l gráfic corrpondin. En l figur 3, lo rombo rojo no murn lo do xprimnl rnformdo. Y l rc n color vrd corrpond con l cución ruln dl ju por mínimo cudrdo, d dond obinn lo vlor d l pndin m y l ordnd l orign y. El coficin d corrlción no indic un ju muy buno y qu R =.99986, lo qu pud obrvr clrmn n l figur 3 y n l figur 4. Por oro ldo, lo rombo ngro d l figur 4 no murn lo do xprimnl originl, L curv roj y zul on l gráfic d l cucion pr y b rpcivmn, l cul furon obnid l uiuir l cucion 74, 75, 76 y 77 n l cucion 65 y 66. Do rnformdo pr l Rgrión Linl Timpo n minuo FIGURA 4. Lo rombo ngro on lo do xprimnl d l pci químic A. L curv dcrcin n color rojo l función dd por l cución 65 y l curv crcin n color zul l función b dd por l cución 66. Por lo prono, hmo concluido con nuro conco con l cucion difrncil d l inéic Químic. Dnro d diciplin xin mucho problm, pro ólo inrn bordr im rcivo d primr ordn, y qu lo im d ordn cro inn cucion difrncil muy ncill qu rulvn por ingrción ci inmdi y no vl l pn rolvrlo por l écnic d l Trformd d Lplc. Por oro ldo, lo im rcivo d gundo ordn prnn Ecucion Difrncil NO Linl, o db qu l función qu d nconrr ncunr lvd l gund ponci. Por lo nrior, NO podmo obnr l rnformd d Lplc pr l ldo drcho d l cución 6. L Ecucion Difrncil NO Linl no impidn uilizr l rnformd d Lplc como méodo d olución. Por rzón db bucr un form d convrir l im NO Linl n un im Linl, lo cul NO impr poibl y = x R = Do rnformdo Ecución Ajud VII. QUÉ ES UN IRUITO ELÉTRIO? Un circuio lécrico á coniuido por difrn lmno concdo nr í, formndo uno o má lzo crrdo. Su objivo movilizr crg lécric rvé d u lmno pr lmcnr y/o diipr nrgí. Pr nndr mjor m, dbmo rcordr lguno concpo báico obr circuio lécrico. -5 Vribl d rnformción x FIGURA 3. Lo rombo rojo on lo do xprimnl rnformdo y l lín rc n color vrd l gráfic d l cución obnid mdin l rgrión linl. El coficin d corrlción R ruló r muy crcno l unidd lo qu no indic un ju muy buno. rg lécric: No hy un form clr pr dfinir concpo, ólo podmo dcir qu un propidd inrínc d l mri. Sin mbrgo, podmo hblr obr u crcríic. Sbmo qu xin do ipo d crg, l cul llmmo crg poiiv y crg ngiv. Tmbién bmo qu prnn furz d rcción y/o rpulión nr ll, indo furz L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

9 Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor Rinci Elécric: E l opoición qu prnn odo lo mril l po d un corrin lécric. Sgún l mril, l rinci lécric pud r pquñ, modrd o l. Lo lmbr conducor con lo qu fbricn lo circuio lécrico prnn un rinci lécric muy pquñ qu pud conidrr como nul, pro n lguno co ncrio grgr lgún lmno qu ng un rinci lécric mucho má l y qu no pud dprcir. É lmno l lmno riivo y u principl crcríic prcimn l vlor d u rinci lécric, l cul dno por R y pr fco d rículo impr conidrrmo qu in un vlor conn. undo plic un difrnci d poncil lécrico rvé d un rinci lécric R, obrv un corrin lécric i qu p rvé d dich rinci. Dnormo por v R l difrnci d poncil lécrico plicdo n lo xrmo d l dq rinci y qu n gnrl mbién un función dl i. 78 d impo, v R = v R. E difrnci d poncil lécrico obdc l ly d OHM, [8, 9, ]: rciv cundo l crg lécric inn igno difrn y rpuliv cundo inn igno igul. L crg lécric l rponbl d gnrr y producir odo lo fnómno lécrico y mgnéico. S rprn por l lr q minúcul y n gnrl pud r conidrd como un función dl impo, dcir, q = q, [8, 9, ]. orrin Elécric: L finlidd d un circuio lécrico movr crg lécric rvé d lo lmno qu lo componn. L form d mdir movimino pnndo n l cnidd d crg lécric qu h pdo rvé d un lmno n un inrvlo d impo ddo. L corrin lécric rprn por l lr i minúcul y n gnrl un función dl impo por lo qu podmo cribir i = i. L dfinición mmáic á dd por l iguin cución, [8, 9, ]: Un rlción imporn nr l corrin lécric i y l crg lécric q obin l ingrr l cución nrior: q q dq i d, 79 q q i d, 8 q q i d. 8 Difrnci d Poncil Elécrico: undo un crg lécric ncunr n prnci d or crg lécric, prcn furz d inrcción nr ll. Si dmo movr un d dich crg dd un poición inicil h un poición finl, ncrio uminirr y/o xrr nrgí l crg lécric n cuión pr podr rlizr l movimino ddo. Dich nrgí dpnd d l inrccion qu blcn nr l crg lécric qu formn l im y l crg lécric qu d movilizr. En form nurl, l crg poiiv muvn dd un poncil lécrico myor hci uno mnor y l crg ngiv muvn n nido conrrio, dcir, dd un poncil lécrico mnor hci un poncil lécrico myor. Sugrimo l lcor rvir l rículo: El poncil rdox y l ponnidd d l rccion lcroquímic, [], n l cul prn un nlogí muy iluriv nr l movimino d crg lécric producido por un difrnci d poncil lécrico y l movimino d objo con m producido por un difrnci d poncil grvicionl. Fun d Volj: E lmno l rponbl d uminirr nrgí lécric l circuio por mdio d l gnrción d un difrnci d poncil lécrico nr u rminl. Dnormo por v F l vlor d dich difrnci d poncil lécrico, qu n gnrl un función dl impo, v F = v F, [8, 9, ]. Ri. 8 L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp:// v R pcior o ondndor: E un lmno formdo por do plc d mril conducor prd por un mril iln o dilécrico. L pquñ prción nr l plc prmi lmcnr nrgí lcroáic l blcr n l primr d ll un crg +q y n l gund un crg q. E imporn obrvr qu l crg n dnro dl cpcior cro, pro coumbr dcir qu l cpcior lmcn un crg lécric q. E hcho uiliz pr nlizr un circuio lécrico conidrndo l crg lmcnd n un ol d l plc y qu n gnrl un función dl impo, por lo cul q = q. L gomrí y l mño dl cpcior l prmi nr un cir cpcidd pr lmcnr crg d igno opuo n u plc, l cul l llm cpcinci y dno por l lr. Dbido qu l plc lmcnn crg d igul mgniud pro d igno conrrio, blc un difrnci d poncil lécrico nr dich plc, qu dnormo por v y qu mbién un función dl impo, v = v. Si conoc l crg q y l cpcinci pr un drmindo cpcior, nonc l difrnci d poncil lécrico nr u plc clcul como igu, [8, 9, ]: q v. 83 El volj v pud r xprdo d mnr lrniv i uiuimo l cución 8 n l 83: q v i d. 84 Inducor: E un lmno qu in l cpcidd d lmcnr nrgí mgnéic. Eá formdo por un lmbr conducor nrolldo lrddor d un núclo.

10 Eri Albrrán-Zvl Dicho núclo pud r d ir o d hirro. L cpcidd dl inducor pr lmcnr nrgí mgnéic llm inducnci, dno por l lr L y conidr como un conn. undo circul un corrin lécric por un lmbr conducor gnr un cmpo mgnéico, qu por lo gnrl muy débil. Sin mbrgo, i l corrin p por un inducor, l rrglo gomérico d é lmno prmi concnrr l cmpo mgnéico y lmcnr nrgí mgnéic n u núclo. El po d l corrin lécric rvé dl inducor mbién gnr un difrnci d poncil lécrico nr lo xrmo dl mimo, l cul un función dl impo y dno por v L = v L. Dich difrnci d poncil pud clculr uilizndo l iguin xprión, [8, 9, ]: v L di L. 85 d En l iguin ccion nlizrmo y rolvrmo lguno problm d circuio lécrico uilizndo l écnic d l rnformd d Lplc. VIII. IRUITO INDUTIVO-APAITIVO En co nlizrmo l circuio formdo por un cpcior y un inducor. En l impo = l cpcior in un crg q = q, y mbién n =, l corrin rvé dl circuio i = i. E circuio un ocildor muy ncillo, n l cul l nrgí rnfir lrnivmn nr l cpcior y l inducor. L olución d circuio lécrico pud conulr n l libro d Rnic l. [8], págin El circuio lécrico á formdo por un cpcior y un inducor L concdo por u xrmo formndo un circuio crrdo d do lmno. L Ly d Volj d Kirchoff no indic qu l um lgbric d volj lrddor d un lzo crrdo db r cro, por llo l rlción nr v L y v á dd por: vl v. 86 Si uiuimo l cucion 83 y 85 pr l rpciv difrnci d poncil n l cpcior y n l inducor, obnmo un cución difrncil qu in do funcion incógni, qu on q i: di q L. 87 d d q q L. 88 d Obrvmo qu l drivd d l crg dq/d vlud n l impo = corrpond con l corrin i vlud n =, dcir, q = i. Sbindo lo nrior, podmo uilizr l rnformd d Lplc pr rolvr l cución difrncil: Q L [ Q q i]. 89 Hcindo álgbr, podmo obnr un xprión xplíci pr l rnformd d Lplc Q y u rpciv invr q, l cul qudn como: Q q i, 9 L L q q i L co n. 9 L L L cución 9 no rroj l ruldo d l crg lécric n l cpcior como función dl impo. omo podmo obrvr, q un función formd por un no y un cono, y qu dmá dpnd d l crg inicil n l cpcior y d l corrin inicil n l circuio. omo gundo co rolvrmo l cución 87 n érmino d l corrin i, por lo qu ncrio uiuir l cución 8 n l cución 87: di q L i d. 9 d Si plicmo l rnformd d Lplc y rlizmo lguno po lgbrico podmo obnr un xprión pr l rnformd I, l cul mbién fácil y rápidmn invribl: q I L [ I i ], 93 q I i, 94 L L L q i i co n. 95 L L L Pr rolvr l cución nrior dbmo xprrl n érmino d un ol vribl. omo primr co rolvrmo l cución n érmino d l crg q, uiuyndo l cución 78 n l cución 87: Al obnr l cucion nrior, hmo rulo l problm d l mnr má gnrl poibl. Pro i dmo hcr un nálii mjn l d Rnic, l. [8], nonc ncimo conidrr l mim condicion inicil, pr lo cul hy qu uponr un cpcior con crg q = q n l impo =. Admá, L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

11 rg y corrin normlizd Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor dbmo uponr qu no xi corrin lécric n l d ocilción, l olidd d l nrgí rgr l cpcior inicio dl proco, dcir, i =. Por oro ldo, mbién con l mim polrizción qu n l do inicil. ncrio dfinir l frcunci ngulr crcríic d nuro fnómno como ω L ½, lo qu rnform rg y corrin como funcion dl impo l cucion 9 y 95 n l cucion 96 y 97:.5 q q co, 96 i qn. 97 L cucion nrior, juno con l cucion 83 y 85 no prmin clculr lo volj n l cpcior y n l inducor como funcion dl impo. v L v q co, 98 q Lco. 99 Finlmn, i dmo prnr l cucion d l crg y l corrin n un ol gráfic ncrio xprrl como vribl normlizd. Si dividimo l cución 96 nr q y l cución 97 nr q ω nmo: rg n l cpcior orrin n l circuio Timpo n múliplo dl priodo = p L / FIGURA 5. En color rojo prn l gráfic d l crg normlizd cución, minr qu n color zul prn l gráfic d l corrin normlizd cución. IX. IRUITO RESISTIVO-APAITIVO * q co, * i n. En l figur 5 prnn l gráfic d l cucion y. Por oro ldo, l figur 6 no mur fíicmn l compormino d un circuio inducivocpciivo in rinci, mjor conocido como circuio L. E ncrio mncionr qu l priodo d ocilción d im τ = πl ½. Anlizndo l figur 5, podmo vr qu l curv d l crg lécric n l cpcior á rd rpco l curv d l corrin lécric n l inducor. S obrv qu l impo d ro corrpond con l cur pr dl priodo d ocilción. Prcimn, hy curo inn durn l ciclo d ocilción n lo cul l ol d l nrgí ncunr lmcnd y n l cpcior o n l inducor. Si prmo nción l figur 6, podmo obrvr qu inicilmn l olidd d l nrgí ncunr n l cpcior, vr incio. Poriormn, cundo h rncurrido un cur pr dl priodo d ocilción, od l nrgí dl im h lmcndo n l inducor, vr incio c. undo lcnz xcmn l mid dl priodo, l olidd d l nrgí h rgrdo l cpcior, unqu hor l polrizción d l plc conrri rpco l inicio dl proco, vr incio y. En l inn corrpondin l r cur pr dl ciclo d ocilción, nuvmn od l nrgí ncunr lmcnd n l inducor, unqu l corrin y l cmpo inn polrizción conrri l qu obrv n l primr curo dl ciclo, vr incio c y g. Finlmn, l complr l priodo E jmplo d grn impornci dnro d l orí d circuio lécrico, y qu no prmi diñr un xprimno d lbororio propido pr mdir l conn d impo d un circuio R uilizndo un fun d volj qu uminir un función cudrd. En co, l volj d l fun in un mpliud v /, un priodo τ y á rprndo por un ri d funcion clón como pud obrvr n l iguin cución: v v u. L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp:// F Siguindo l Ly d Volj d Kirchoff podmo conruir o plnr l cución difrncil qu gobirn l circuio R concdo n ri, bindo qu l um dl volj n l rinci con l volj n l cpcior db r igul l volj d l fun: v v v. 3 R Suiuyndo l cucion 78, 8, 83 y n l cución 3 obnmo: F dq q R v u d, 4 dond q l crg lécric n l cpcior, R l rinci, l cpcinci, τ l mipriodo d l función cudrd n l volj d limnción y v l dobl d l mpliud dl volj d limnción. Al igul qu n, cución difrncil pud rolvr n érmino d l vribl q o d l vribl i.

12 Eri Albrrán-Zvl FIGURA 6. Aquí mur l proco qu ocurr n un circuio L in rinci. S prnn ocho p n l cul obrv l vrición d nrgí lécric y mgnéic nr lo lmno dl circuio. L gráfic d brr rprnn l nrgí lmcnd, dond l nrgí lécric dl cpcior rprn por U E y l nrgí mgnéic dl inducor rprn por U B. E imgn h ido xríd d Rnic, l. [8], págin 83. omo primr co, rolvrmo l cución n érmino d l función q, por lo cul plicrmo l rnformd d Lplc l cución 4 y dpjrmo l función Q: R[ Q q R Q ] v Q q v R, 5, 6 q q / R v [ / R ] u. 9 omo gundo co, rolvrmo l cución 4 n érmino d l corrin lécric i, pr lo cul ncrio uiuir l cucion 78 y 8 n l cución 4: q Ri id v u. q Q R v R R. 7 Si plicmo l rnformd d Lplc y drrollmo lguno po lgbrico nmo: Pr podr rolvr l cución nrior ncrio I q v I, R R R prr n frccion prcil l érmino qu ncunr dnro d l umori, obniéndo: q v q I, R R R Q v. 8 R R q v Ahor podmo invrir l cución 8 pr obnr l I. 3 R R R R crg lécric q como función dl impo: Finlmn, invirindo l cución 3 nmo un xprión pr l corrin i: L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

13 Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor complo durn un mipriodo d l función cudrd n q / R v R i / u R R l volj d limnción.. 4 onidrndo qu l cpcior á complmn dcrgdo n =, nonc q i qudn como:.5. v F y v R como funcion dl impo q v v R [ / R ] u, 5 R / u. 6 i No inr l volj n l cpcior y l volj n l rinci, por lo cul podmo uiuir l cucion 5 y 6 n l cucion 8 y 83, obniéndo: v v v [ / R ] u, 7 R R v / u. 8 Volj n múliplo d v Volj n l Fun Volj n l Rinci Timpo n múliplo dl mipriodo, l rlción / R = 5 FIGURA 8. L función cudrd n color rojo rprn l volj n l fun v F, minr qu l curv zul corrpond con l volj n l rinci v R. Podmo vr rápidmn qu i ummo l olución pr l volj n l cpcior con l olución pr l volj n l rinci obnmo l volj n l fun, lo qu conin con l ly d Volj d Kirchoff. Volj n múliplo d v v v v v u. 9 R F v F y v como funcion dl impo Volj n l Fun Volj n l pcior Timpo n múliplo dl mipriodo, l rlción / R = 5 FIGURA 7. L función cudrd n color rojo rprn l volj n l fun v F, minr qu l curv zul corrpond con l volj n l cpcior v. L figur 7 prn l volj d limnción d l fun ddo por l cución juno con l volj n l cpcior ddo por l cución 7, minr qu l figur 8 no mur nuvmn l volj d l fun d limnción ddo por l cución juno con l volj n l rinci ddo por l cución 8. Pr rlizr mb gráfic uilizó un rlción τ / R = 5, lo qu prmi l cpcior crgr y dcrg ci por X. TRANSFERENIA DE ALOR Or plicción d l Trnformd d l Lplc, l olución d lguno problm d Trnfrnci d lor n do rniorio y n do cionrio. Dicho problm rulvn gnrlmn n lo libro d Trnfrnci d lor uilizndo méodo diino l Trnformd d Lplc. Pr podr bordr m, imporn rcordr lo concpo báico y l ly qu gobirnn l fnómno d l Trnfrnci d lor. Tmprur: E un mdid indirc d l nrgí cinéic promdio d l molécul d un unci. S dno por T y gnrlmn un función d l poición x, y, z y dl impo, por lo cul T = Tx, y, z,. pcidd clorífic: E un propidd d l mri, qu no indic l cnidd d nrgí n form d clor qu db uminirr un ilogrmo d lgún mril pr lvr u mprur n un grdo liu. S dno por l lr c minúcul y conidr como un vlor conn. lor: E l nrgí n ránio dbido un difrnci d mprur, []. El clor rnmi dd un zon d l mprur hci un zon d bj mprur. S dno por l lr Q myúcul y n gnrl un función dl impo, por lo qu pud cribir Q = Q. Si conidrmo un unci con m m, cpcidd clorífic c y qu h cmbido u mprur dd un vlor inicil T h un vlor finl T, nonc l clor qu h borbido Q poiivo o prdido Q ngivo á ddo por: Q mc T T. L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

14 Eri Albrrán-Zvl Ponci rnfrid n form d clor: En l conxo d l Trnfrnci d lor, l cnidd d clor rnfrido n l unidd d impo hci l xrior d un objo. S clcul como l ngivo d l drivd d Q. Si l ponci rnfrid á lindo dl objo conidr poiiv, n co conrrio conidr ngiv. S dno por l lr q minúcul y conidr como un función dl impo q = q. dq q. d onducción: E l mcnimo d rnfrnci d clor dbido l inrcción dirc nr molécul. E fnómno má noorio n lo ólido, unqu mbién ocurr n lo fluido. L molécul d un ólido pon nrgí cinéic d vibrción, l cul umn l umnr l mprur. L molécul con myor mprur myor nrgí rnfirn u nrgí l molécul d mnor mprur mnor nrgí mdin l conco dirco nr ll. L ly fíic qu gobirn fnómno l Ly d onducción d Fourir, l cul prnmo n form unidimnionl n l cución, dond l conducividd érmic dl mril ólido, x l poición, A l ár d cción rnvrl qu prpndiculr l flujo d clor, y q l ponci rnfrid por conducción n l dircción x, [, 3]: q T A. x En co, l ponci rnfrid n form d clor conidr poiiv i l clor muv n l nido poiivo d l coordnd x y conidr ngiv i muv n l nido opuo. onvcción: E l mcnimo d rnfrnci d clor n lo fluido, qu ocurr como concunci dl movimino d lo mimo, y por difuión d molécul individul o por l rnpor d grnd grupo d molécul. L molécul d un fluido on libr d movr n od dirccion. undo dich molécul ponn n conco con un ólido l mprur rcibn clor por conducción y dquirn un grn nrgí cinéic, lo qu l hc movr ljándo d l fun d clor. En concunci, l molécul frí muvn pr ocupr l lugr qu hn djdo l molécul clin. El ruldo no qu l molécul clin ljn d l fun d clor y l frí muvn hci dich fun, formándo un corrin d convcción. L Ly d Enfrimino d Nwon dcrib l rnfrnci d clor nr un ólido y un fluido, y á dd por l cución 3, dond h l coficin promdio d rnfrnci d clor por convcción, T l mprur dl ólido, T l mprur dl fluido y A h l ár d conco o d rnfrnci nr l ólido y l fluido, [, 3]: q ha T T h h. 3 onidrmo qu l ponci rnfrid por convcción q h poiiv cundo l clor muv dl ólido hci l fluido y ngiv cundo v dd l fluido hci l ólido. Rdición: E l mcnimo d rnfrnci d clor rvé dl vcío, por mdio d ond lcromgnéic. El clor provnin dl Sol llg l Tirr n form d rdición lcromgnéic rvndo millon d ilómro d pcio vcío. Lo objo min nrgí por l impl hcho d nr un mprur difrn dl cro boluo. Minr má clin á un objo, mi má clor n form d rdición lcromgnéic. L Ly d Rdición d Sfn-Bolzmnn l rponbl d dcribir fnómno y á dd por l cución 4, dond q σ l ponci rnfrid por rdición, T l mprur bolu dl objo, A σ l uprfici d rdición dl objo, ε l coficin d miividd dl objo y σ l conn d Sfn-Bolzmnn, [, 3]: XI. ENFRIAMIENTO SÚBITO q 4 A T. 4 En cción nlizrmo l vrición d mprur como función dl impo pr un objo ólido qu úbimn umrgido n un fluido cuy mprur mnor l mprur inicil d dicho objo. Pr llo, dbmo hcr lgun upoicion prinn, l como pnr qu l vlocidd d rnfrnci d clor n l inrior dl objo muy l comprd con l vlocidd d rnfrnci d clor nr l objo y l fluido. Por lo nrior, pud conidrr qu l mprur dl objo uniform dnro dl mimo, dcir, n un inn ddo l objo ólido in l mim mprur n odo u inrior. Pr br i l problm cumpl con condición, ncrio hcr l cálculo dl númro d Bio, y i obin un vlor mnor., nonc mo n un problm n l cul l mprur dl ólido pud conidrr uniform durn l proco d nfrimino, [3]. L cución difrncil qu rig fnómno obin l uiuir l cucion, y 3: dt ha h T T mc. 5 d Si dfinimo θ T T y α ha h /mc nonc podmo convrir l cución 5 n l cución 8: dt hah T T, 6 d mc dt T T, 7 d d. 8 d L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

15 Tmprur n Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor Aplicndo l rnformd d Lplc l cución Finlmn, ólo ncrio dpjr d l cución nrior y drrollndo lgbricmn nmo: 33 y hcr l cálculo numérico pr obnr l impo qu rncurr dd qu l fr umrgid nindo, 9 un mprur inicil T =, h qu lcnz l mprur T = 5 :, 3. 3 D l dfinición d θ concluimo qu θ = T T. Admá, i invrimo l cución 3 podmo obnr un olución pr l mprur dl objo ólido como función dl impo:, 3 T T T T. 33 T T ln T T, min. 4 L figur 9 prn l gráfic d l olución nur cución difrncil omndo n cun l condicion dl problm qu cbmo d rolvr. L mprur d l fr d luminio á dcri por un función xponncil qu inici n T = y qu v dcndindo inóicmn hci l vlor d l mprur dl fluido qu rod l fr, T =. Ahor rolvrmo l problm prndo por [3], págin, qu dic lo iguin: Problm: Un fr d luminio d 3 cm d diámro ncunr inicilmn un mprur d y d rpn xpon l ir un mprur d. Si l coficin promdio d rnfrnci d clor d W/m, clcul l impo ncrio pr qu l inrior d l fr lcnc un mprur d 5. Supóng l propidd dl luminio iguin: = W/m, c =.895 J/g y ρ = 7 g/m 3. Primro db clculr l númro d Bio y vr i l im pud r dcrio por l cución 6. Pr un fr d rdio R, conducividd y coficin promdio d rnfrnci d clor h, l númro d Bio Bi á ddo por, [3]: hr Bi. 34 Si uiuimo do y rlizmo l cálculo corrpondin nmo: 3 Bi El númro d Bio mucho mnor qu., por lo no, l im pud r dcrio bn bin por l cución 6. Ahor clculrmo α gún u dfinición: hah hah h4pr 3h, mc cv c pr cr 3 W 3 m, 37 g J m m g Tmprur como función dl impo Timpo n gundo FIGURA 9. Aquí mur l mprur d l fr d luminio como función dl impo. L curv roj corrpond con l cución 33, conidrndo T =, T = y α = XII. ALETAS undo d umnr l cnidd d clor diipdo por unidd d impo, pud ñdir un l l objo qu d nfrir, lo qu provocrá un umno d l uprfici fciv d rnfrnci d clor. En gnrl, un l un brr o plc d ml qu ñd o conc por uno d u xrmo l uprfici qu d nfrir. El clor rnmi por conducción n l inrior d l l n l dircción longiudinl, pro n form rnvrl, l clor diip por convcción hci l fluido qu rod l l. L figur no mur l digrm má gnrl pr un l ípic. L propidd fíic y goméric qu dbmo conidrr n un l on l longiud L, l ár d cción rnvrl A, l prímro P qu ncirr dich ár rnvrl, l coficin promdio d rnfrnci d L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

16 Eri Albrrán-Zvl clor por convcción h, l conducividd érmic, l cpcidd clorífic c y l dnidd ρ. En l co má gnrl, A pud r vribl lo lrgo d l l vr figur, pro n rículo conidrrmo l co pcil cundo A conn, vr figur. cucion y 4 y ommo l lími cundo l dplzmino Δx ind. Lo po nrior no rrojn l cución difrncil bucd, [, 3]: qh [ q ] xx [ q ] x Lim x, 43 x x d T dx hp A T T. 44 Al dfinir θ T T y m hp/a, pud convrir l cución 44 n l cución 46: d T dx m T T, 45 FIGURA. S mur l imgn d un l con ár d cción rnvrl vribl. E figur fu xríd y modificd d Mriqu Vldéz, [3], pgin 56. A coninución prnrmo un drrollo mjn lo rlizdo por [, 3]. Pr lo cul ncrio conidrr qu l rnfrnci d clor n l inrior d l l málic gobrnd por l conducción, minr qu l rnfrnci d clor dd l uprfici d l l hci l fluido rig por l convcción. Anlizndo l conducción, i conidrmo un poición x dd y un pquño dplzmino h lcnzr l vlor x + Δx, podmo obrvr qu gnr un cin d por Δx qu rod l l, cuy uprfici prmi l rnfrnci d clor por convcción, vr figur. L pquñ uprfici d l cin pud clculr como l produco dl dplzmino Δx por l prímro P. on lo nrior podmo uilizr l cución 3, pr clculr l clor diipdo por convcción: q h h T T Px. 4 Si dmo hcr un blnc d nrgí n do cionrio pr un cción d volumn d l l limid por l coordnd x y x + Δx, nonc dbmo pnr qu clor qu nr n l cción d volumn igul l clor qu l d l mim. Lo nrior quivl dcir qu l clor nr por conducción n l coordnd x, l por convcción rvé d l cin con uprfici PΔx y mbién l por conducción n l coordnd x + Δx: d m. 46 dx Si plicmo l rnformd d Lplc y i rlizmo lguno po lgbrico pud nconrr un xprión xplíci pr Θ: ' m, 47 m ', 48 ' m. 49 L cución nrior pud invrir d do form diin, l primr d ll conidrndo funcion hiprbólic, y l gund prndo n frccion prcil pr obnr funcion xponncil. Si conidrmo l primr co nmo: ' m, 5 m ' x coh mx nh mx. 5 m Si dmo conidrr l gund opción hcindo l prción n frccion prcil nmo: ', 5 m m [ q ] q [ q ]. 4 x h xx Pr nconrr l cución difrncil qu dcrib fnómno, dbmo rlizr vrio po. Primro dbmo conidrr qu l mprur d l l ólo función d l poición, por lo cul T = Tx. Lugo, pmo odo lo érmino d l cución 4 un olo ldo igulmo cro. Poriormn dividimo nr Δx, uiuimo l, 53 m m mx mx x. 54 Dond l conn y án dd por: L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

17 Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor ', 55 m L úlim xprión pud modificr pr llgr : '. 56 coh ml mx m x. 66 coh ml Por lo nrior, l cución 54 rnform n: Si d lcnzr un xprión pr Tx, nonc db uiuir l dfinicion θ T T y θ T T n l cución 66: ' mx ' mx x. 57 m m T T coh ml mx T x T. 67 coh ml En l cucion 5 y 57, θ y θ on conn qu dpndn d l condicion d fronr o d l Ahor rolvrmo un problm conidrndo l condicion fíic dl im udido. Sgún [], olucion dd por l cucion 6 y 67. xin curo poibl cnrio pr l condicion d Problm: onidr un l d luminio n form d fronr, lo qu no conduc curo difrn xprion brr cilíndric con diámro D = 5 cm. L brr conc pr l mprur como función d l poición. En un fun d clor T rículo ólo rolvrmo do d lo curo co poibl. = 5, con l objivo d diipr l clor provnin d dich fun, vr figur. El primr co y l má ncillo coni n conidrr El ir mbinl ncunr T qu l l in un longiud infini. Minr mo = 5 y prn un coficin promdio d rnfrnci d clor por má ljo d l fun d clor, l mprur d l l convcción h = W/m. L conducividd dl proximrá inóicmn l mprur dl fluido. Por luminio = W/m. Encunr l prámro m y rzón, l drivd d l mprur rpco l conruy l gráfic d l mprur d l brr como poición nul cundo x, lo cul mbién ciro función d l coordnd x. pr θ x, dcir, θ x = cundo x. Si clculmo Primro rulv l problm conidrndo qu l brr l drivd d θx prir d l cución 57 in un longiud infini, L =. Poriormn, imponmo condición d fronr, nmo: conidr qu l brr in un longiud L = 5 cm y qu no pud rnfrir clor n u xrmo finl dbido qu ' mx ' mx ' x m m, 58 á ild n puno. m m ' m, 59 ' m. 6 Por lo no, l olución n l form θx y Tx á dd por l cucion 6 y 6 rpcivmn, []: m x x, 6 T x m x T T T. 6 El gundo co implic conidrr qu l l in longiud fini L, pro l xrmo finl d l mim ncunr ildo. Por lo no, no xi rnfrnci d clor por conducción ni por convcción n x = L, lo qu implic qu [q ] x=l =. Enonc, T x y θ x dbn nulr n x = L. Si clculmo θ x prir d l cución 5 imponmo dich condicion d fronr obnmo, [, 3]: ' x m nh mx ' coh mx, 63 ' m nh ml, 64 FIGURA. S mur l imgn d un l n form d brr cilíndric con ár d cción rnvrl conn. E figur fu modificd d Icropr y DWi, [], págin 5. El prámro m in l mimo vlor n mbo co y pud clculr prir d l dfinición d m : hp 4h m, 68 A D m m. 69 x [coh mx nh ml nh mx]. 65 Un vz qu in l vlor d m, nonc pudn rlizr l gráfic corrpondin. L figur no L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

18 Tmprur n Eri Albrrán-Zvl mur n color rojo l gráfic d l cución 6 y n color zul l gráfic d l cución 67. Dbmo hcr nor qu l dominio d cd cución difrn. En l co d l cución 6 lo vlor d x corrn dd m h m, minr qu pr l cución 67, lo vlor d x ólo inn nido nr m y.5 m. Vmo qu l l infini prácicmn lcnz l mprur dl ir mbin l llgr l poición x =.5 m. En cmbio, dbido u mño finio, l l d.5 m in un mprur proximd d 75 n u xrmo Tmprur como función d l poición Poición n mro Al L =.5 m Al L = infini FIGURA. L curv roj infrior rprn l mprur d un l d longiud infini, l cul á dd por l cución 6. L curv zul uprior rprn l mprur d un l d longiud fini L =.5 m, l cul á dd por l cución 67. Lo prámro uilizdo pr hcr l gráfic furon: T = 5, T = 5 y m = m. XIII. ONLUSIONES xplicr lo problm y l gráfic dnro d un conxo fíico n l cul dquirn vlor y nido pr nuro lumno. undo rolvmo un problm d ingnirí, l olución d un EDO in un ignificdo fíico, y l rlizr l gráfic corrpondin, l lumno pud nndr imginr l compormino dl fnómno. Hmo rlizdo rículo dndo qu l informción connid n l mimo d uilidd pr l profor l prprr lgun cl qu incluyn pliccion dnro d un curo d EDO. Sin mbrgo, mbién pud uilizr pr lgun cl dnro d curo d inéic Químic, Trnfrnci d lor, y por upuo ircuio Elécrico. L mri d inéic Químic y Trnfrnci d clor, por lo gnrl on curd por lo lumno lgún impo dpué d hbr crdido l mri d EDO, y n mucho co, lo lumno y no rcurdn como drivr, como ingrr y como rolvr EDO. Por rzón, l écnic d l Trnformd d Lplc prmi l lumno rolvr EDO in l ncidd d rcurrir complicd écnic d ingrción, ólo ncrio rcordr lo procdimino lgbrico y nr l lcnc l bl d rnformción. Si l profor d bucr problm obr l m d inéic Químic rcomndmo rvir con myor profundidd l libro d Logn [6], y i d problm con un myor grdo d dificuld, podmo rcomndr libro obr ingnirí d l rccion químic d uor l como Lvnpil [4] y/o Smih [5]. Pr l co d Trnfrnci d lor, rcomndmo rvir l libro d Bird, l. [6], libro qu dmá prn lo m d rnfrnci d momno y rnfrnci d mri. E úlimo libro d un grdo d dificuld muy lvdo, por lo cul ugir lr con dnimino. Admá como y dijo n, o libro [6, 4, 5, 6] prnn EDO rul mdin écnic difrn l rnformd d Lplc. Por llo, nci qu l profor ddiqu lgún impo pr nlizr lo problm, rolvrlo mdin dich écnic y poriormn prnrlo lo lumno. Pr finlizr crio, ugrimo l profor vigilr lo iguin puno durn l xpoición d lo problm: Aquí hmo prndo lguno problm d impornci n diin rm d l ingnirí. Eo problm pudn yudr l lumno nndr l uilidd d l cucion difrncil n problm concro. Dforundmn, lo curo d Ecucion Difrncil Ordinri EDO inn como objivo conocr l orí mmáic, y n l myorí d l vc lo progrm on muy xno, por Sólid B d Álgbr: L myorí d lo problm lo qu no hy impo uficin pr prnr y qu inn lo lumno n culquir mri dl ár d profundizr n lo problm d plicción l ingnirí. ingnirí por dficinci n Álgbr. Sin mbrgo, ugrimo l profor ddicr d do curo ion pcíficmn nfocd n l rolución d b onocimino d l Trnformd d Lplc: El problm d plicción l ingnirí. profor d EDO db gurr qu lo lumno ngn undo prnn cl d problm influy l mjor conocimino poibl obr l rnformd d poiivmn n l formción dl lumno y pud Lplc y u propidd n d prnr o rompr con l ruin. En much ocion lo profor problm d plicción. En l co d lo profor d nfocn má n l rolución d múlipl jrcicio d or mri, ncrio qu ddiqun un o do EDO, pro dbido l fl d impo, poc vc ion l inicio dl curo pr rcordr l méodo d hc énfi n l rlizción d l gráfic Trnformd d Lplc y poriormn prnr y corrpondin l olucion obnid. En or rolvr lo problm. ocion, lo profor hcn lgun gráfic n l pizrrón o olicin l lumno hcrl como jrcicio d c Fíic drá dl problm: E ncrio qu l profor r, in mbrgo, l gráfic por í ol no inn inroduzc y/o rcurd lo lumno lo principl ignificdo pr l lumno. Por lo no, ncrio concpo fíico obr l m d plicción n d prnr l problm. L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://

19 d Vribl involucrd: Tmbién muy imporn xplicr clrmn no l ignificdo fíico, como l ignificdo mmáico d cd vribl. undo hcmo nálii purmn mmáico l vribl involucrd no inn ignificdo fíico y por llo mpoco inn unidd. Por rzón hy qu cuidr l nálii d dimnion y l ignificdo d cd pr d l cución difrncil. Gráfic d l olución: Rcordmo qu un imgn vl má qu mil plbr, por llo dbmo dr pcil impornci l conrucción y l nálii d l gráfic corrpondin l olucion d l EDO. XIV. REFERENIAS Algun pliccion d l rnformd d Lplc n inéic Químic, ircuio Elécrico y Trnfrnci d lor [6] Logn, S. R., Fundmno d inéic Químic Addion Wly, Mdrid,, pp. 3-9, 4-43, [7] Bldor, A., Álgbr, ª d. Grupo Edioril Pri, México, 7, pp [8] Rnic, R., Hllidy, D., Krn, K. S., Fíic, Vol., 5ª d. ESA, México, 4, pp , , 66-67, , 7-76, [9] Boyld, R. L, Inroducción l Análii d ircuio Elécrico, ª d., Pron Educción - Prnic Hll, México, 4, pp. 3-46, 97-, 9-35, 375-4, [] ogdll, J. R., Fundmno d ircuio Elécrico, Pron-Prnic Hll, México,, pp. 4-4, 6-5. [] Albrrán-Zvl, E., El poncil rdox y l ponnidd d l rccion lcroquímic, L. Am. J. Phy. Educ.,, , diponibl n l dircción wb: <hp:// lpn.org.mx>, úlim conul n Mrzo, 3. [] Incropr, F. P., D Wi, D. P., Fundmno d Trnfrnci d lor, 4ª d. Prnic Hll, México, 999, pp. -, -, -8. [3] Mnriqu Vldéz, J. A., Trnfrnci d lor, ª d. Alfomg - Oxford Univriy Pr, México,, pp. -5, 54-6, 5-. [4] Lvnpil. O., Ingnirí d l Rccion Químic, Rvré, México, 997. [5] Smih, J. M., Ingnirí d l inéic Químic, ESA, México, 993. [6] Bird, R. B., Swr, W. E., Lighfoo, E. N., Fnómno d Trnpor, Rvré, México, 997. [] Kuhio O., Ingnirí d onrol Modrn, 4ª d. Pron Educción - Prnic Hll, Mdrid, 3, pp. 9-5, 85-3, 5-9. [] Boyc, W. E., DiPrim, R.., Ecucion difrncil y problm con vlor n l fronr, 5ª d. Limu - Wily, México,, pp [3] Edwrd,. H., Pnny, D. E., Ecucion Difrncil, 4ª d. Pron Educción - Prnic Hll, México,, pp [4] Zill, D. G., ulln, M. R., Mmáic Avnzd pr Ingnirí, Vol. : Ecucion Difrncil, 3ª d. McGrw Hill, México, 8, pp [5] Spigl, M. R., Liu, J., Ablln Rpún, L., Fórmul y Tbl d Mmáic Aplicd, ª d. McGrw-Hill, Mdrid, 5, pp L. Am. J. Phy. Educ. Vol. 7, No. 4, Dc hp://