f (t) dt Veamos primero el caso en que uno de los límites es infinito: si b =, entonces se define f (t) dt = lím

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "f (t) dt Veamos primero el caso en que uno de los límites es infinito: si b =, entonces se define f (t) dt = lím"

Transcripción

1 Cpítulo 2 Trnformd de Lplce 2.. Integrle impropi Vmo repr l co prendid en Análii I obre integrle impropi. Por hor penremo en un función de vrible e imgen rel, e decir, f : [, b] R. Cundo e define f (t dt e ume que f e cotd en el intervlo (, b y que tnto como b on finito. Si lguno de eto requiito (o mbo flln, tenemo que drle un nuev interpretción l ímbolo f (t dt, y en tl co e lo llm integrl impropi. Vemo primero el co en que uno de lo límite e infinito: i b =, entonce e define f (t dt = lím b f (t dt cundo tl límite exite (etmo umiendo que f e integrble en [, b] pr todo b <. En ete co, e uele decir que l integrl impropi f (t dt converge, mientr que i el límite no exite e dice que l integrl diverge. Acá e hce el mimo buo del ctellno que cundo hblmo de convergenci y divergenci de erie, y que en el mejor de lo co f (t dt e un número, y por lo tnto no puede converger o diverger. Lo correcto erí decir l función f en integrble en (,. Ejemplo 2.. L integrl impropi t p dt converge i p > y diverge i p pue { ( t p dt = p b p i p ln (b i p =, 57

2 58 Trnformd de Lplce { b de donde concluimo que lím b t p dt = p i p > no exite i p. 2. L integrl impropi co (t dt diverge pue y lím b in (b no exite. co (t dt = in (b, De mner nálog e define integrle impropi de l form función definid en todo R y l integrle c f (t dt y c c, entonce e define f (t dt = c c f (t dt + f (t dt. f (t dt, y i tenemo un f (t dt convergen mb pr lgún Ejemplo 2.2 L integrl e t dt converge olo i > pue en tl co i b > entonce y i c < entonce de donde concluimo que e t dt = c e t dt = e t dt = c ( e b b, e t dt = ( ec c, e t dt = 2. Ademá, clrmente l integrl e t dt diverge i. Notr demá que l integrl e t dt diverge culquier e el vlor de. Al igul que pr erie, diremo que l integrl f (t dt converge bolutmente i l integrl f (t dt converge (y l mim definición pr f (t dt. Tenemo l iguiente propiedde:. Si c e un número y l integrle (cf (t + g (t dt converge y cf (t + g (t dt = c f (t dt y g (t dt convergen mb, entonce f (t dt + g (t dt. 2. Si f (t pr todo t, entonce l integrl f (t dt converge o el conjunto { f (t dt : b > } no e cotdo, y en tl co e pone f (t dt =. 3. Si g (t f (t pr todo t, entonce i l integrl f (t dt converge podemo decir que l integrl g (t dt converge, y i g (t dt diverge podemo decir f (t dt diverge.

3 Trnformd de Lplce Si l integrl f (t dt. f (t dt converge bolutmente, entonce converge, y f (t dt 5. L integrl f (t dt converge i y olo i r f (t dt converge pr todo r >, y lím r r f (t dt =. Et propiedde e demuetrn má o meno í: l primer e porque el límite de l um e l um de lo límite y l propiedd vle i en lugr de ponemo un número b. L egund e un poco má complicd pero en relidd deberí er intuitivmente comprenible: i un función (rel F (t e creciente en (, entonce i e cotd el lím t F (t exite, y i no e cotd lím t F (t =. Aplicr eo l función (rel creciente F (t = t f (x dx. Pr l tercer, plicr el mimo hecho l funcione creciente G (t = t g (x dx y F (t = t f (x dx y comprrl. Pr, (4 e un plicción de (3 l funcione g (t = f (t + f (t y 2 f (t, y un poco de álgebr. Por último, (5 reult de f (t dt = r f (t dt + r f (t dt tomndo lím b primero, y lím r depué. Notr l bolut nlogí con l propiedde de erie. Vemo hor un poco l integrle impropi con intervlo finito pero función no cotd: i f no e cotd en, e define f (t dt = lím f (t dt ε + +ε cundo tl límite exite (notr que lo que hcemo e integrr f en intervlito má chico que [, b], y por eo neceitmo que ε tiend cero por vlore poitivo. En tl co, diremo que l integrl impropi converge, mientr que i el límite no exite diremo que l integrl impropi diverge. Ejemplo 2.3 l integrl impropi t p dt converge i p < y diverge i p pue { ( t p dt = p b p ε p i p ln (b ln (ε i p =, de donde concluimo que ε lím ε + ε t p dt = { b p p i p < no exite i p. L definición en ete tipo de integrle impropi e extiende todo lo co de mner obvi. Por ejemplo, i f no e cotd en b entonce f (t dt = lím ε + ε f (t dt

4 6 Trnformd de Lplce cundo tl límite exite; i f no e cotd en y en b entonce c f (t dt = lím ε + +ε f (t dt + lím ε + ε c f (t dt cundo mbo límite exiten ( pr lgún c en el intervlo (, b (notr que on do límite c eprdo, no dice lím ε + +ε f (t dt + b ε c f (t dt, y i f no e cotd en lgún punto c de (, b entonce f (t dt = lím ε + c ε f (t dt + lím f (t dt ε + c+ε cundo mbo límite exiten. Tenemo propiedde nálog l nteriore, l enuncimo pr el co en que f no e cotd en :. Diremo que l integrl f (t dt converge bolutmente i l integrl f (t dt converge. 2. Si c e un número y l integrle f (t dt y g (t dt convergen mb, entonce (cf (t + g (t dt converge y (cf (t + g (t dt = c f (t dt + g (t dt. 3. Si g (t f (t pr todo t, entonce i l integrl f (t dt converge podemo decir que l integrl g (t dt converge, y i g (t dt diverge podemo decir f (t dt diverge. 4. Si l integrl f (t dt converge bolutmente, entonce converge. Por último, no quedn l integrle impropi donde tenemo mbo problem junto: ni l función integrr e cotd ni el intervlo e finito. Un ejemplo típico de eto e tomr un función que no e cotd en y plnter f (t dt. Vmo decir que et integrl impropi converge cundo pr lgún c > l integrle c f (t dt y c f (t dt convergen mb, y en tl co f (t dt = c f (t dt+ c f (t dt (e decir, l dividimo en do integrle, y no qued cd un con un problem. De nuevo, tenemo l mim propiedde que y no vmo enuncir.

5 Trnformd de Lplce Funcione definid con integrle impropi Cundo comenzmo con Fourier, vimo l ide de definir funcione undo integrle (funcione de much vrible, integrndo repecto de lgun. Ahor vmo definir funcione undo integrle impropi: por ejemplo i g (x, t e un función definid en [, b] [c, tl que pr cd x fijo l integrl impropi c g (x, t dt converge, entonce eo define en [, b] un nuev función, que le ign cd x el vlor c g (x, t dt. L región de convergenci de l integrl impropi c g (x, t dt e el conjunto { } x R : g (x, t dt converge, e decir, el myor conjunto donde l integrl impropi converge. c Ejemplo 2.4 Si g (x, t = e t co (xt, entonce l función F (x = e t co (xt dt etá definid en todo R, pue pr todo x vle que e t co (xt e t, y l integrl e t dt converge. En ete co e puede clculr F explícitmente: e t co (xt dt = [ + x 2 e t co xt + x ] t=b + x 2 e t in xt t= = + x 2 e b co xb + x + x 2 e b in xb + + x 2 b Ademá e puede clculr explícitmente F (x, y verificr que qued F (x = x [ e t co (xt ] dt = te t in (xt dt. + x 2. Un de l funcione má célebre definid undo integrle impropi e in dud l función Γ. Pr x > e pone Γ (x = t x e t dt. Vemo primero que, efectivmente, e integrl impropi converge pr todo x > : ecribimo Γ (x = t x e t dt = t x e t dt + t x e t dt = I (x + I 2 (x. I (x e integrl impropi olo i < x <, pero tomemo un x í fijo, entonce t x e t t x t >,

6 62 Trnformd de Lplce y como [ t t x x dt = x ] t= t=o = x, concluimo por comprción que I (x converge. Vemo hor I 2 (x: como (pr cd x > fijo lím t 2 t x e t = lím t x+ e t = t t ( por qué? tenemo que exite N > tl que t 2 t x e t t N, y entonce de donde e deduce que l integrl t x e t t 2 t N, N t x e t dt converge (pue ( 2 N t dt converge, y entonce I2 (x converge pue I 2 (x = N tx e t dt + N tx e t dt. E decir, cbmo de probr que Γ (x etá definid pr todo x >. Not 2.5 L integrl que define Γ diverge pr todo x, por lo tnto no e puede ur pr definir Γ en dicho vlore. Seguimo etudindo Γ: integrndo por prte, vemo que e decir Γ (x + = t x e t dt = t x e t t= t= + Γ (x + = xγ (x x >. Ademá Γ ( = e t dt = e t t= =, y entonce En generl, qued t= Γ ( = Γ (2 = Γ ( = Γ (3 = 2Γ (2 = 2 Γ (4 = 3Γ (3 = 6, etc. Γ (n + = n! n N, xt x e t dt = + xγ (x, e decir, l función Γ e un función continu que interpol lo vlore de n! pue cd ve que x N e tiene que Γ (x + = x!. Otr co interente e l iguiente: l relción Γ (x = Γ (x + x vle pr todo x >, pero en el miembro de l derech puedo poner x del intervlo (,, í que defino de e form Γ en tl intervlo. Y hor igo, y puedo definir Γ en R {,, 2, 3,...}.

7 Trnformd de Lplce 63 Por último, clculemo Γ (/2: hciendo el cmbio de vrible t = y /x, dt = x y x dy, qued Γ (x = t x e t dt = y (x /x e (y/x x y x dy = x e (y/x dy, y por lo tnto Γ ( = 2 2 π e y2 dy = 2 2 = π x ( x 2.3. Funcione de orden exponencil Definición 2.6 pr un función f : [, R y pr R, e define l trnformd de Lplce de f como L (f ( = cd vez que l integrl impropi converge. f (t e t dt (2. E difícil explicr l rzón de et definición en ete contexto, pero reult un vrinte de un verión continu de l erie de Fourier (l trnformd de Fourier. L trnformd L (f de un función f e un nuev función (de, cuyo dominio dependerá, en generl, de f. De et mner, e puede penr en L como un operdor que trnform un función f(t en un nuev función L (f (. Si F ( e un función tl que F ( = L (f (, entonce diremo que f e l trnformd de Lplce inver de F, y denotremo ete hecho por f (t = L (F (t.

8 64 Trnformd de Lplce Un condición neceri pr que l integrl (2. exit e que l función f e integrble en todo intervlo de l form [, b] (con b >, y eo lo egurremo tomndo l iguiente condición de continuidd: Definición 2.7 Un funcion f : [, b] R e continu por trmo i exite un prtición = t < t < < t n = b de [, b] tl que f e continu en cd intervlo [t j, t j+ ] (límite lterle en lo borde. Un funcion f : [, R e continu por trmo i e continu por trmo en todo intervlo de l form [, b]. En lo que igue de et ección, trbjremo excluivmente con funcione continu por trmo en [,. Ejemplo 2.8 Si f (t = e t, entonce pr > tenemo L (f ( = e t e t dt = e (+t dt = [ ] t= e (+t = + +. t= Pueto que pr l integrl diverge, tenemo que el dominio de L (f ( e el intervlo (,, y en tl intervlo vle L (f ( = + (ojo, no confundir L (f ( con + : el dominio de l últim función incluye etrictmente l de l primer. Con l notción de rrib, en ete co tendrímo que ( e t = L (t. + e t + Not 2.9 Pueto que pr clculr l trnformd de Lplce olo neceitmo un función definid en [,, pero eto uele er un limitción l hor de relizr otro procedimiento, e uele penr que l funcione involucrd vlen en (,. De quí en má tomremo e convención. Lo iguiente que hremo e fijr condicione pr exitenci de l trnformd de Lplce. En eo, l iguiente definición e centrl Definición 2. Si f : [, R e un función y exiten contnte rele α, M y T tle que f (t Me αt t T, entonce f e dice de orden exponencil con exponente α. Pr ecribir meno, denotremo eto por OE (α.

9 Trnformd de Lplce 65 Et propiedd no dice que f no crece má rápido que un exponencil. Notr que en l definición no e hce hincpié en encontrr l contnte má chic con e propiedd. Por ejemplo, l función f (t = t t e de orden exponencil con exponente, pue como lím t e = t e tiene que T tl que t e i t T, y entonce t e t i t T (un mejor leve de t ete rzonmiento muetr que culquier polinomio e de orden exponencil con exponente α, culquier e α >, ejercicio. Por otro ldo l función f (t = e (t2 no e de orden exponencil ( e (t2 Me αt e equivlente t 2 αt ln (M, l cul no e válid en ningún intervlo del tipo [T,. Si tenemo f (t Me αt t T y demá bemo que f e cotd en [, T ], entonce e puede ver (ejercicio que exite M tl que f (t Me αt t. En prticulr eto e cierto cundo f e continu por trmo en [,. Pueto que nootro vmo trbjr en tod et ección con funcione continu por trmo en [,, tomremo eto como función de orden exponencil (de hecho, l rzón por l cul no e define í directmente e pr evitr diidenci con l myorí de lo texto que trtn el tem. Ejemplo 2.. Lo polinomio p (t = N n= nt n on funcione de OE (α pr culquier α >. 2. L funcione cotd on de OE (α pr culquier α >, en prticulr l funcione periódic cotd en un período lo on. 3. Si f e de OE (α y β > α, entonce f e de OE (β. 4. Si f y g on de OE (α, entonce f + g e de OE (α y fg e de OE (2α. 5. Si f e de OE (α y continu por trmo en [,, y g (t = t f (x dx, entonce g e de { máx (α, i α OE (β, con β = (e decir, i α = entonce g e de culquier > i α = OE (ε ε >. 6. Si f e derivble ( y de OE (α entonce f puede no erlo, por ejemplo coniderr l función f (t = in e t2. 7. Si f (t e derivble y f (t e continu por trmo y de OE (α, entonce f e de OE (β, con β como en el punto (5. Ojo: e fórmul no d el mínimo β, d uno con el cul funcion. L función e 3t e OE ( 3 y u primitiv 3 e 3t tmbién. L definición de función de orden exponencil etá hech medid de l trnformd de Lplce, pr egurr l exitenci de l mim y u buen propiedde, egún el iguiente teorem fundmentl:

10 66 Trnformd de Lplce Teorem 2.2 Si f e continu por trmo en [, y de orden exponencil, con f (t Me αt t, entonce l trnformd de Lplce de f, L (f ( exite pr todo > α, e un función continu en el intervlo (α,, y L (f ( M α. Demotrción. Pueto que f (t Me αt, entonce f (t e t Me αt e t = Me ( αt t. Como l función Me ( αt e integrble en (, i y olo i > α, concluimo que, pr todo > α, l función f (t e t e bolutmente integrble en (,, y L (f ( = f (t e t dt f (t e t dt Me ( αt dt = Me ( αt α t= = M t= α. Vemo que L (f ( e continu: tommo (α,, y (pr tomr lím conideremo lo vlore de > α+ 2. Por el Teorem del Vlor Medio bemo que exite ξ(t en el intervlo de extremo y (que depende de t tl que (e t e t = te ξ(tt ( Entonce L (f ( L (f ( = f (t (e t e t dt = f (t ( te ξ(tt ( dt ( f (t ( te ξ(tt ( dt Me αt te α+ t 2 ( dt = ( α 4 = M( L (t = M( 2 ( α 2, de donde reult que lím L (f ( = L (f (. (el cálculo de L (t ( etá en el próximo ejemplo. E importnte detcr que l hipótei que e piden en el teorem on uficiente pero no neceri, e decir, exiten funcione que no cumplen tle hipótei y in embrgo tienen trnformd de Lplce. De culquier mner, dentro de l hipótei puet entrn l myorí de lo co que e preentn en el uo de l trnformd. Otr co: l deiguldd que incluye el teorem dice que l trnformd de Lplce decrece cundo l meno tn rápido como /. Et últim firmción debe tomre en el mimo entido que cundo hblmo de l velocidd con l que decrecen lo coeficiente de Fourier de un función. Ejemplo 2.3

11 Trnformd de Lplce 67. Si f (t = t, entonce pr > e tiene que L (f ( = y l integrl diverge i. f (t e t dt = [ e e t t dt = ] t= t= =, 2. Si f (t = t t, donde >, entonce hciendo el cmbio de vrible x = t, pr >, qued L (f ( = t e t dt = ( x e x dx = + y l integrl diverge i. En prticulr, e tiene que n N, L (t n ( = n! n+ >. x e x dx = Γ ( + +, Pr < < eto d un ejemplo de función que no e cotd pero tiene trnformd de Lplce. 3. Si f (t = in (ωt t, entonce pr > qued L (f ( = in (ωt e t t (ω co ωt + in ωt t= dt = e 2 + ω 2 = ω t= 2 + ω 2 A continución veremo l propiedde de l trnformd de Lplce Propoición 2.4 (linelidd El operdor L e linel en el iguiente entido: i f, g on funcione tle que L (f ( y L (g ( exiten mb pr, entonce pr todo número rel vle que L (f + g ( = L (f ( + L (g (. Demotrción. L (f + g ( = (f + g (t e t dt = = L (f ( + L (g (, f (t e t dt + donde el egundo igul vle pue mb integrle convergen pr. g (t e t dt Ejemplo 2.5 Combinndo l propiedd nterior con uno de lo ejemplo, concluimo que e p (t = N n= nt n (un polinomio de grdo N, entonce ( N L (p ( = L n t n ( = n= N n L (t n ( = n= N n= n n! n+.

12 68 Trnformd de Lplce 2.4. Trnformd de derivd e integrle Propoición 2.6 (Trnformd de l derivd Si f e continu en [, y de OE (α, y exite f en ci todo punto (ver Notción.28 y e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L ( f ( = L (f ( f ( > α. Demotrción. En et hipótei podemo ur integrción por prte; entonce pr > α e tiene que L ( f ( = f (t e t dt = f (t e t t= t= f (t ( e t dt. Por er f continu en [, reult f (t e t t= = f (, y por er de OE (α y > α tenemo que f (t e t t= =, y entonce qued L ( f ( = f ( + L (f (. Not 2.7 E común encontrr en l propiedd nterior, f ( reemplzdo por f ( +, que e por definición lím t + f (t El ignificdo e el mimo que le dmo nootro, y que l pedir que f e continu en [,, no etmo refiriendo de mner tácit un límite lterl en. Utilizndo tl notción, podemo pedir f continu en (,, y (conervndo l otr hipótei tendrímo como concluión que L (f ( = L (f ( f ( +. Corolrio 2.8 Si f, f, f,, f (n on continu en [, y de OE (α, y exite f (n en ci todo punto y e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce ( L f (n ( = n L (f ( n f ( n 2 f ( f (n 2 ( f (n ( > α. Demotrción. vemo el co n = 2 L ( f ( = L ( (f ( = L ( f ( f ( = (L (f ( f ( f ( = 2 L (f ( f ( f ( ; el co generl e igue por inducción en n. Ejemplo 2.9 Si f (t = in (ωt, entonce f (t = ω co (ωt, y f ( =, y entonce L (co (ωt ( = ω L ( f ( = ω ω 2 + ω 2 = 2 + ω 2.

13 Trnformd de Lplce 69 L propiedd nterior e un de l má importnte pr el uo que nootro le vmo dr l trnformd de Lplce: l reolución y etudio de item modeldo con ecucione diferencile, fundmentlmente por ecucione linele con coeficiente contnte. Vemo el iguiente ejemplo: tenemo el problem de condicione inicile { x + bx + cx = f (t x ( = x, x ( = y. Aumiendo que e dn l condicione neceri, tomndo trnformd de Lplce qued L ( x + bx + cx = L (f, y undo el Corolrio nterior y l condicione inicile, reult 2 L (x ( x y + b (L (x ( x + cl (x ( = L (f ( De e ecución puede depejre L (x (, y qued L (x ( = L (f ( + x + y + bx 2. + b + c Lo notble de eto e que el miembro de l derech e conocido, por lo cul in reolver l ecución, bemo exctmente cunto vle l trnformd de Lplce de l olución (l únic olución que tifce l condicione inicile. De quí iguen do lterntiv poible: encontrr x invirtiendo el operdor L, o in encontrr x, deducir u propiedde prtir de u trnformd de Lplce. Ambo cmino on muy udo, y mbo dependen de un hecho fundmentl: l trnformd de Lplce de un función l determin por completo, egún el iguiente teorem: Teorem 2.2 (Lerch Si f y g on funcione continu por trmo en [, y de OE (α, y L (f ( = L (g (, entonce f (t = g (t t >, lvo poiblemente en lo punto donde f y/o g en dicontinu. Demotrción. Ecp l lcnce de ete curo, e puede ver un en Kreider, Kuller, Otberg, Perkin Introducción l Análii Linel. El teorem nterior no permite hblr del operdor L que mencionmo má rrib. Si φ ( e un función definid en el intervlo (α, y bemo que φ ( = L (f (, entonce, lvo poiblemente por vlore puntule, f e l únic función (continu por trmo en [, y de OE con e propiedd, y e pone f (t = L (φ (t. El único cmino que tenemo (por hor pr invertir l trnformd de Lplce e por verificción direct, tnto en trnformd de funcione epecífic como en l propiedde del operdor L. De quí en delnte enunciremo cd propiedd del operdor L con l correpondiente equivlente pr L. Ejemplo 2.2

14 7 Trnformd de Lplce. L linelidd del operdor L implic l linelidd del operdor L, cundo e retringe el dominio de L de form tl que e invertible. E decir, i φ j ( = L (f j ( > α, entonce L (φ + φ 2 = L (φ + L (φ L ( =. En rigor, deberímo poner i φ e un función cuyo dominio e el intervlo (, y en dicho dominio φ ( =, entonce L (φ (t = t, pero emejnte conidercione no portn demido y complicn enormemente nuetr tre. ( N 3. L n= n = N ( n+ n= n n! L n! (t = N n+ n= n n! tn. 4. L ( ω 2 +ω 2 = in (ωt. 5. Supongmo que f e continu en [,, de OE (α, y que f exite en ci todo punto, e continu por trmo en [, y de OE (α. Entonce i φ ( = L (f (, luego L (φ ( f ( = f. Eto tiene poc utilidd práctic (pr invertir φ ( y que l hipótei en generl on impoible de verificr (ver Propoición 2.47 pr el cálculo de f (. Lo que uele hcere (i e tiene f = L (φ y f ( y e quiere invertir φ ( f ( e clculr f, y luego clculr L (f ( y ver i efectivmente d φ (. Debido que en l myorí de l pliccione l vrible t repreent l tiempo y l vrible l frecuenci, ete ejemplo uele leere como multiplicr en frecuenci por e lo mimo que derivr en t. Propoición 2.22 (Trnformd de l Integrl Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce ( t L f (r dr ( = { L (f ( > β, donde β = máx (α, i α. culquier > α = Et propiedd uele leere como dividir en frecuenci e lo mimo que multiplicr en tiempo Demotrción. Primero, notr que l función g (t = t f (r dr e continu y de OE (β, por lo cul tiene entido clculr u trnformd de Lplce. Ademá g (t = f (t en ci todo punto, y g ( =, por lo cul l Propoición 2.4 no dice que L ( g ( = L (g ( > β, de donde e igue inmeditmente l propiedd. Corolrio 2.23 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce ( L φ ( (t = Demotrción. Aplicr L l Propoición t f (r dr. Ejemplo 2.24 pueto que L (in (ωt ( =, entonce 2 +ω ( 2 L ω t 2 + ω 2 (t = in (ωr dr = ( co (ωt ω ω

15 Trnformd de Lplce Función de Heviide Se llm í l función eclón unitrio { i t < u (t = i t, y e denot u (t = u (t. Si bien no e un limitción, en generl e utiliz >. ut ( u ( t Et función e muy útil cundo e trbj con trformd de Lplce, pue no d un notción encill pr penr que l funcione con l que trbjmo etán definid como cero en el intervlo (, : bt con tomr f (t u (t en lugr de f (t (recordr el comentrio hecho l clculr L (, que egún nuetr convención d u y no. Por ejemplo, cundo clculmo L (t n, lo correcto hubier ido poner L (u (t t n ( = n! >. Pero má llá n+ de l formlidde, tiene much otr virtude porque puede ure como un interruptor que enciende ciert eñl en un intnte : pueto que f (t u (t = { i t < f (t i t, reult que i quiero ecribir que un eñl g (t e le greg otr eñl f (t en el intnte, l eñl reultnte erá g (t + f (t u (t. Eto e prticulrmente útil en el modeldo de item donde diferente fuerz ctún en diferente intnte de tiempo. Otro uo frecuente de l función u e pr deplzr funcione en u vrible: l función f (t u (t tiene l mim gráfic que f (t u (t pero con el cero en ft ( u ( t ft ( Ejemplo 2.25 Cundo uno quiere filtrr un eñl f (t y dejrl olo pr cierto intervlo de tiempo [, b, como i t < u (t u b (t = i t < b, i t b

16 72 Trnformd de Lplce l eñl filtrd qued f (t [u (t u b (t]. ft ( u ( t u b( t ft (( u ( t u b( t b b Propoición 2.26 (Corrimiento en frecuenci Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L ( e t f (t ( = L (f ( > α +. Demotrción. L ( e t f (t ( = f (t e t e t dt = f (t e ( t dt = L (f (. Corolrio 2.27 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L (φ ( (t = e t f (t. Ejemplo Si φ ( = 6, entonce como L ( t 3 ( = 6, reult φ ( = L ( t 3 ( + 4, ( y entonce ( L 6 ( = e 4t t Pueto que L (co (2t ( =, e tiene que 2 +4 ( L 8 ( = e 8t co (2t. Propoición 2.29 (Cmbio de ecl Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, y c >, entonce L (f (ct ( = ( c L (f > cα. c Demotrción. Hciendo el cmbio de vrible x = ct qued L (f (ct ( = f (ct e t dt = f (x e x c dx c = L (f (/c. c

17 Trnformd de Lplce 73 Corolrio 2.3 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L (φ (/c (t = cf (ct. Propoición 2.3 (Corrimiento en tiempo Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, y, entonce L (f (t u (t ( = e L (f ( > α. Demotrción. hciendo el cmbio de vrible x = t qued L (f (t u (t ( = = f (t u (t e t dt = f (x e (x+ dx = e L (f (. f (t e t dt Not importnte 2.32 El reultdo nterior no e válido i <, probr por ejemplo con l función f (t = t + 3 y = 3. El problem en relidd viene de que cundo uno dice f (t = t + 3 tiende olvidr que en relidd queremo decir f (t = (t + 3 u (t. Otro tem delicdo con l propiedd nterior, e que e muy común confundir f (t con f (t, y l propiedd nterior no dice que L (f (t u (t ( = e L (f (, y en generl e iguldd no e ciert. Si tenemo que clculr L (f (t u (t ( pr ciert función f, lo que e uele hcer e llmr g (t = f (t, e decir, contruyo un nuev función que vle g (t = f (t + t ( y cero pr t <!, y entonce L (f (t u (t ( = L (g (t u (t ( = e L (g ( (como clculr L (g e otr cuetión, que e reuelve co por co. Ejemplo 2.33 Pr clculr L ( t 2 u 3 (t (, hcemo g (t 3 = t 2, e decir, g (t = (t + 3 2, y entonce L ( t 2 u 3 (t ( ( = e 3 L (t ( = e 3 L (( t 2 + 6t + 9 ( = = e 3 [ L ( t 2 ( + L (6t ( + L (9 ( ] [ 2 = e ]. Corolrio 2.34 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L ( e φ ( (t = f (t u (t.

18 74 Trnformd de Lplce 2.6. Derivción e integrción de trnformd En et ección vmo plicr lo reultdo que vimo en l ección 2.2, pr obtener reultdo (en principio orprendente obre l uvidd de l trnformd de Lplce. Propoición 2.35 (Derivción de l trnformd Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L (f ( e derivble en (α, y d L (f ( = L (tf (t ( > α. d Demotrción. Queremo ver que ( L (f ( + h L (f ( lím h h + L (tf (t ( =. Tomemo > α (fijo y conideremo lo vlore de h ( α 2, α 2 (pr tomr límh. Utilizndo un Polinomio de Tylor de grdo y l fórmul de Lgrnge del reto vemo que exite ξ(t en el intervlo de extremo y h tl que en prticulr e ht = ht + (ht2 2 e ξ(tt, e ht + ht h Entonce L (f ( + h L (f ( + L (tf (t ( h = Me αt e t h t2 2 h t2 α e( 2 t. 2 e( α 2 t dt = M h 2 ( e (+ht e t + hte t f (t dt h = M h L ( t 2 ( α 2 2 t 2 α e ( 2 t dt = = M h ( α 3 h. Obervción 2.36 E muy importnte notr que lo que etmo probndo e que l Regl de Leibnitz (pr derivr funcione definid medinte un integrl vle en ete co, y d d L (f ( = d d f(te t dt = d d f(te t dt; e decir, podemo derivr dentro de l integrl. Eto demá yud recordr l fórmul. Corolrio 2.37 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L ( φ ( (t = tf (t.

19 Trnformd de Lplce 75 Corolrio 2.38 (otro má Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L (f ( tiene derivd de todo lo órdene en (α, y n N vle que d n d n L (f ( = ( n L (t n f (t ( > α. Demotrción. Por inducción en n, undo l Propoición Lo notble de eto e que vle bjo l mim hipótei pr f, e decir, no import i nuetr función e dicontinu o i tiene infinit derivd, iempre u trnformd de Lplce tiene infinit derivd. Corolrio 2.39 (del Otro Corolrio En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce ( L φ (n ( (t = ( t n f (t. ( Ejemplo 2.4 Supongmo que queremo encontrr f y bemo que L (f ( = ln +. Como d d ln ( + = + ( ( ( + ( 2 = + = L ( e t e t (, y teniendo en cuent que reult e decir, f (t = 2 t inh (t. ( ( d + L d ln (t = tf (t, tf (t = e t e t, Propoición 2.4 (Integrción de l trnformd Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, y lím f(t t + t exite, entonce L (f ( e integrble en (α,, y ( f (t L (f (r dr = L > α. t Demotrción. Primero notr que el enuncido dice que l integrl impropi converge. En nuetr hipótei, l función g (t = f(t t e continu por trmo en [, y de OE (α (ejercicio, y entonce l Propoición 2.35 no dice que L (f ( = L (tg (t = d L (g ( > α. d

20 76 Trnformd de Lplce Integrndo, y teniendo en cuent que L (g ( decrece como / cundo, qued L (f (r dr = d L (g (r dr = [L (g (r]r= r= d = lím r L (g (r + L (g ( = L (g ( = L ( f (t t (, o e lito. Notr que l hipótei obre lím t + f (t /t implic que f ( + =, y entonce dicho límite vle f ( +. Por lo tnto, l hipótei e equivlente pedir que exit f ( + (que e, por hí, má fácil de entender. Corolrio 2.42 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce ( L φ (r dr (t = f (t. t Ejemplo 2.43 Si f (t = in(ωt, entonce L (f ( = L (in (ωt (r dr = t ω [ ( r ] r= r 2 + ω 2 dr = rctn = π ( ω r= 2 rctn. ω 2.7. Funcione periódic En et ección vmo ur funcione periódic (como cundo vimo erie de Fourier, pero teniendo preente que penmo l funcione como cero en el intervlo (,. Con et convención, un función f (t erá periódic de período T i f (t + T = f (t t, y no referiremo ete hecho como f e periódic en [,. En generl reult que f e periódic de período T en [, i y olo i f (t = g (t u (t, con g periódic de período T. Notr que i f e periódic en [, de período T, y e continu por trmo en [, T ], entonce f e continu por trmo en [, y de OE ( (ejercicio. Propoición 2.44 (Trnformd de funcione periódic Si f e periódic en [, de período T, y e continu por trmo en [, T ], entonce L (f ( = e T T Demotrción. Si f tiene período T, entonce f (t e t dt >. f (t = [u (t u T (t] f (t + u T (t f (t = [u (t u T (t] f (t + u T (t f (t T (grficr y verificr!, entonce undo l Propoición 2.3 tenemo L (f ( = T f (t e t dt + L (u T (t f (t T ( = T f (t e t dt + e T L (f (,

21 Trnformd de Lplce 77 e decir, lito. Ejemplo 2.45 Pr clculr l trnformd de Lplce de l función de período 2 tl que f (t = t 2 en el intervlo [, 2, hcemo 2 t 2 e t dt = [ 2 t 2 e t + 2te t + 2e t ] t=2 3 = 2 3 2e , de donde L (f ( = t= ( 2 e 2 3 2e Pr utilizr l propiedd nterior e uele ur l función de Heviide, de l iguiente form: i tenemo f (t definid en [, y queremo l trnformd de Lplce de l función g (t que e periódic de período T y coincide con f en el intervlo [, T, entonce y qued T g (t e t dt = = T f (t e t dt = T [ u T (t] f (t e t dt [ u T (t] f (t e t dt = L (f ( L (u T f (, L (g ( = L (f ( L (u T f ( e T, e decir, en lugr de clculr un integrl neceitmo do trnformd de Lplce. Ejemplo 2.46 Pr clculr l trnformd de Lplce de l función de período 2 tl que f (t = t 2 en el intervlo [, 2 con ete método, primero notr que L ( t 2 u 2 (t ( ( = L (t u 2 (t ( ( = L (t 2 2 u 2 (t ( + L (4 (t 2 u 2 (t ( + L (4u 2 (t ( = 2 3 e e e 2, y entonce L (f ( = [ ( 2 2 e e e ] e Vlor inicil y finl L iguiente do propiedde no permiten conocer, en determind circuntnci, el vlor límite de f en y en, prtir de u trnformd de Lplce. E decir, podemo etudir el comportmiento de f en lo borde del intervlo (, in tener explícitmente l función f. Amb propiedde on conecuenci inmedit de l Propoición 2.4.

22 78 Trnformd de Lplce Propoición 2.47 (Teorem del vlor inicil Si f e continu en [, y de OE (α, y exite f en ci todo punto e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce lím L (f ( = lím f (t. t + Demotrción. Notr que l propiedd dice que, bjo l hipótei pedid, mbo límite exiten y on igule. L hipótei pedid on exctmente l mim que l de l Propoición 2.4, y etán puet pue dich propiedd e lo único que neceitmo: pueto que L ( f ( = L (f ( f ( + > α, y teniendo en cuent, que egún el Teorem 2.2, lím L ( f ( =, tomndo límite qued demotrd l propiedd. Corolrio 2.48 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f ( y c = lím φ (, entonce L (φ ( c (t = f (t. (ver el punto 5 del Ejemplo 2.2. Ejemplo Si entonce L (f ( = f ( + = lím , = Si f (t = co (ωt entonce L (f ( =, entonce 2 +ω 2 ( lím 2 =, y entonce L + ω2 2 + ω 2 (t = f (t = ω in (ωt. Not 2.5 En generl e plic el Teorem 2.47 in poder verificr l hipótei, y que no e dipone de l función y no tenemo ningún reultdo que no de condicione de uvidd pr f prtir de u trnformd de Lplce, L (f. Sin embrgo, utilizndo el método de frccione prcile, e puede ver que i L (f ( = p( q(, con p y q polinomio y el grdo de p menor o que el grdo de q, entonce f etá dentro de l hipótei (ejercicio. Propoición 2.5 (Teorem del vlor finl Si f e continu en [, y de OE, y exite f en ci todo punto e continu por trmo en [, y de OE (α con α <, entonce lím L (f ( = lím f (t. t

23 Trnformd de Lplce 79 Demotrción. Notr que cá neceitmo que f e de OE con exponente negtivo. En et condicione, el primer teorem no egur que L (f ( etá bien definid y e continu en un entorno de =, y entonce (undo l Propoición 2.4 L ( f ( = lím L ( f ( = lím [ L (f ( f ( + ] = lím L (f ( f ( +. Finlmente notr que tmbién L ( f ( = Igulndo l expreione obtenemo el reultdo. f (t dt = lím t f (t f ( Convolución En much pliccione de l trnformd de Lplce prece l neceidd de trbjr con producto del tipo L (f ( L (g ( (por ejemplo cundo e buc l función de trnferenci, ver Sección 2.. Por lo tnto e nturl preguntre qué ocurre cundo intentmo hcer l trnformd inver del producto. E fácil de verificr que, en generl, no e cierto que l inver del producto e el producto de l inver, por ejemplo y entonce no e verific que L repuet etá en l iguiente definición: L ( t 2 ( = 2 3 y L ( t 4 ( = 24 5, L ( t 2 t 2 = L ( t 2 L ( t 2. Definición 2.52 Pr f, g funcione continu por trmo en [, e pone l convolución de f con g. (f g (t = t f (r g (t r dr L integrl que define f g exite pr todo t > por er l función h (r = f (r g (t r continu por trmo en [, t] (ejercicio, por lo tnto f g e un nuev función definid en [,. Et nuev operción puede er pend como un producto definido en el conjunto de l funcione continu por trmo en [,, de l mim form que tenemo el producto uul en R. En generl, no e fácil ver que p cundo uno hce l convolución de do funcione culquier, en el entido de que e difícil predecir como erá (que pecto tendrá l función f g prtir del pecto de f y g. En el contexto en el que etmo (funcione definid en [,, uno de lo co má fácil de entender e cundo uno pien en g como un cmpn imétric hci t = y de áre (ver dibujo: en tl co, fijdo t, el vlor de (f g (t erá un

24 8 Trnformd de Lplce promedio ponderdo de lo vlore de f (x, con < x < t, con myor peo lo vlore cercno t. E por eo que, en generl, (f g erá un función má uve que f, pero precid f (mientr má concentrd hci x = e l cmpn de g, má precid erá (f g f, ht llegr l extremo cundo g e l función impulo o δ de Dirc. re g( x g( tx ( f * g( x x t x f( x El producto de convolución tiene l iguiente propiedde: i f, g, h on funcione continu por trmo en [,, y un número rel, entonce:. f g = g f (conmuttividd 2. (f g h = f (g h (ocitividd 3. f (g + h = (f g + (f h (ditribución repecto l um 4. (f g = (f g = f (g. Et propiedde e demuetrn muy fácilmente, olo l egund requiere un má de trbjo. Por upueto que lo que no intere nootro e l iguiente: Propoición 2.53 (Convolución Si f y g on continu por trmo en [, y de OE (α, entonce (f g e continu en [,, de OE (α + ε ε >, y L (f g ( = L (f ( L (g ( > α. Demotrción. Primero vemo que (f g e de OE (α + ε ε > : por hipótei bemo que exite M > tl que f (t Me αt y g (t Me αt t, y entonce (f g (t = t t f (r g (t r dr f (r g (t r dr pueto que pr todo ε > vle que t ε eεt t (ejercicio, e tiene que (f g (t M 2 e (α+εt. t Me αr Me α(t r dr = M 2 te αt. Eo implic que tenemo definid L (f g ( > α + ε culquier e ε >, y por lo tnto > α. En cunto l continuidd el tem e má complicdo, cá v un ide (que e puede formlizr como ejercicio: tomo t [, y < h < (l rzón de tn extrñ elección e

25 Trnformd de Lplce 8 verá bjo, entonce = = (f g (t + h (f g (t = t t f (r g (t + h r dr + t +h t +h f (r [g (t + h r g (t r] dr + = I (h + I 2 (h. t t f (r g (t + h r dr t f (r g (t + h r dr t +h t f (r g (t + h r dr f (r g (t r dr f (r g (t r dr Como h < y undo que f e cotd en [t, t + h] y que g e cotd en [, ], e ve fácilmente que lím I 2 (h =. h + Pr I (h, hciendo el cmbio de vrible x = t r qued I (h = t f (r [g (x + h g (x] dr. Acá el nálii e complic: pr ver que eo tiende cero neceitmo ur l noción de continuidd bolut (fuer del lcnce de ete curo y que g tiene finit dicontinuidde en el intervlo [, t + ], pero deberí quedr clro que y eo hcer creíble que lím [g (x + h g (x] = h + Argumento imilre muetrn que y por lo tnto (f g e continu en t. Por último, L (f g ( = = t lím I (h =. h + x donde g e continu, lím I (h = lím I 2 (h =, h h (f g (t e t dt = ( t f (r g (t r e t drdt, f (r g (t r dr e t dt invirtiendo el orden en l integrle (lo cul e lícito, por Fubini, en nuetr hipótei qued L (f g ( = r f (r g (t r e t dtdr = f (r r g (t r e t dtdr. Finlmente, hciendo el cmbio de vrible x = t r en l integrl de dentro qued ( L (f g ( = f (r g (x e (x+r dxdr = f (r e r g (x e x dx dr ( = f (r e r (L (g ( dr = L (g ( f (r e r dr = L (g ( L (f (.

26 82 Trnformd de Lplce Corolrio 2.54 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f ( y η ( = L (g (, entonce L (φη (t = (f g (t. 2.. Etbilidd Un de l pliccione má importnte del teorem nterior el l que e d en Teorí de Control pr determinr l etbilidd o no de un item fíico. Un item fíico en generl e crcteriz por ceptr entrd (fuerz, voltje, preión, corriente, etc. y producir un lid en repuet e entrd. En generl crcterizmo l entrd y l lid con funcione rele f (t, t (penndo que l vrible t repreent l tiempo. Definición 2.55 Un item e linel i l repuet e comport de mner linel con repecto l entrd, e decir, i y e l repuet l entrd x y y 2 l entrd x 2, entonce l repuet l entrd x + bx 2 erá y + by 2. Un item e invrinte en el tiempo i el efecto de correr en el tiempo l entrd produce el mimo corrimiento en l lid, e decir, i y (t e l repuet l entrd x (t entonce l repuet l entrd y (t t erá x (t t. L función de trnferenci G ( de un item linel e invrinte en el tiempo e define como l relción entre l trnformd de Lplce de l lid y l entrd, uponiendo que l condicione inicile on tod cero. E decir, G ( = L (x o ( L (x i (. Se puede ver que pr tle item (linele invrinte en el tiempo dich definición e buen, e decir, no depende de l entrd que elijmo pr clculrl. L función de trnferenci crcteriz por completo l item fíico. Pr repreentr un item e utilizn bloque que identificn l entrd y l lid, y l función de trnferenci que lo crcteriz, como el iguiente: Pr fijr ide vemo el iguiente ejemplo: x i G x o Ejemplo 2.56 Si tenemo un item m-reorte forzdo y mortigudo como muetr el dibujo, entonce l ecución que decribe el item e v { mx + vx + kx = f (t x ( = x, y ( = y, k m ft ( x

27 Trnformd de Lplce 83 donde m e l m, v el coeficiente de rozmiento, k l contnte elátic del reorte, f l fuerz plicd l reorte (l entrd l item, y x l poición de l m en cd intnte de tiempo t (l repuet del item l entrd, o e l lid. Aquí x e y on l condicione inicile (poición y velocidd repectivmente. Tomndo trnformd de Lplce qued m 2 L (x ( x y + vl (x ( x + kl (x ( = L (f (. Aumiendo que l condicione inicile on nul (x = y = y depejndo obtenemo e decir, l función L (x ( L (f ( = m 2 + v + k, G ( = m 2 + v + k e l función de trnferenci de tl item. Notr que en l función precen todo lo prámetro del item, y que no depende ni de l entrd ni de l lid. Pr el etudio de item linele invrinte en el tiempo e utiliz lo que e llm álgebr de bloque, que permite obtener l función de trnferenci de un item que conite de vrio ubitem interconectdo de diferente mner, y de lo cule conocemo u función de trnferenci. Vemo lguno ejemplo: Ejemplo:. Si tenemo do item interconectdo como ugiere el dibujo x i G x p H x o (l entrd l egundo item e l lid del primero, con funcione de trnferenci H y G repectivmente, entonce G ( = L (x p ( L (x i ( y H ( = L (x o ( L (x p (, de donde L (x o ( L (x i ( = L (x p ( L (x i ( L (x o ( = G ( H (, L (x p ( e decir, l función de trnferenci e el producto de l funcione de trnferenci de c/u de lo item. 2. Si tenemo do item interconectdo como ugiere el dibujo x i G x g x o H x h

28 84 Trnformd de Lplce (hy un entrd do ubitem y l lid del item e l um de mb lid, con funcione de trnferenci H y G repectivmente, entonce G ( = L (x h ( L (x i ( y H ( = L (x g ( L (x i (, pueto que x o = x h + x g, reult L (x o = L (x h + L (x g, y entonce L (x o ( L (x i ( = L (x h ( + L (x g ( = G ( + H (, L (x i ( e decir, l función de trnferenci e l um de l funcione de trnferenci de c/u de lo item. 3. Si tenemo do item interconectdo como ugiere el dibujo x i x i x f G x o x f H x o (hy un entrd un item, l lid del mimo entr otro, que produce un lid que reliment l primero, entonce G ( = L (x o ( L (x i ( L (x f ( y H ( = L (x f ( L (x o (, entonce, depejndo L (x f en mb ecucione obtenemo L (x i ( G ( L (x o ( = L (x f ( y H ( L (x o ( = L (x f (, igulndo y depejndo llegmo L (x o ( L (x i ( = L (x o ( H ( L (x o ( + G( L (x o ( = que e l función de trnferenci de un item lzo cerrdo. G ( G ( H ( +, Definición: Un item e dice etble i l repuet tod entrd cotd e cotd, y intóticmente etble i l repuet tod entrd cotd tiende cero cundo el tiempo tiene infinito. En el último cpítulo veremo condicione obre l función trnferenci pr que un item e etble.

29 Trnformd de Lplce Tbl de trnformd Potenci f (t F ( = L(f ( t 2 t n n!, n entero poitivo n+ f (t t /2 t /2 F ( = L(f ( π π 2 3/2 t α Γ (α + α+, α > Funcione trigonométric f (t in kt co kt in 2 kt co 2 kt t in kt t co kt 2 ( co kt t in t t F ( = L(f ( k 2 + k k 2 2k 2 ( 2 + 4k k 2 ( 2 + 4k 2 2k ( 2 + k k 2 ( 2 + k 2 2 ln 2 + k 2 2 ( rctn f (t in kt + kt co kt in kt kt co kt co kt kt in kt in bt b in t b ( 2 b 2 co bt co t 2 b 2 in t co bt t F ( = L(f ( 2k 2 ( 2 + k 2 2 2k 3 ( 2 k 2 2 k 2 ( 2 + k 2 k 3 2 ( 2 + k 2 ( ( 2 + b 2 ( ( 2 + b 2 +b 2 rctn + b 2 rctn Funcione Hiperbolic f (t inh kt coh kt inh 2 kt coh 2 kt F ( = L(f ( k 2 k 2 2 k 2 2k 2 ( 2 4k 2 2 2k 2 ( 2 4k 2 f (t t inh kt t coh kt 2 ( coh kt t F ( = L(f ( 2k ( 2 k k 2 ( 2 k 2 2 ln 2 k 2 2 Funcione exponencile

30 86 Trnformd de Lplce f (t F ( = L(f ( e t te t ( 2 t n e t n! n+, n entero poitivo ( e bt e t ln t b f (t πt e 2 /4t F ( = L(f ( e 2 πt 3 e 2 /4t e e t e bt b ( ( b e t be bt b ( ( b Funcione exponencile, hipoerbólic y trigonométric f (t e t in kt e t co kt e t inh kt e t coh kt F ( = L(f ( k ( 2 + k 2 ( 2 + k 2 k ( 2 k 2 ( 2 k 2 f (t in kt inh kt in kt coh kt co kt inh kt co kt coh kt F ( = L {f} ( 2k k 4 k ( 2 + 2k k 4 k ( 2 2k k k 4 Funcione de Beel f (t J (kt F ( = L(f ( 2 + k 2 Delt de Dirc δ (t Función de Heviide u (t f (t δ (t δ (t t e t F ( = L(f ( f (t f (t u (t u (t Propiedde generle F ( = L(f ( e F ( e f (t F ( = L(f ( e t f (t F ( f (t u (t e F ( f (n (t n F ( (n f (... f (n ( t n f (t ( n dn d F ( n f (τ g (t τ dτ F ( G ( t

Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace Semn 7 - Cle 2. Definicione pr Comenzr Trnformd de Lplce En generl vmo definir un trnformción integrl, F (), de un función, f(t) como F () = b K (, t) f(t)dt = T {f(t)} () donde K (, t) e un función conocid

Más detalles

Apuntes Transformada de Laplace (MAT023)

Apuntes Transformada de Laplace (MAT023) Apunte Trnformd de Lplce (MAT3 Segundo emetre de Verónic Gruenberg Stern Vivin Arnd Núñez. Introducción L trnformd de Lplce e un ejemplo de un operdor. Ete oper obre un función, produciendo otr función.

Más detalles

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Cpítulo Trnformd de Lplce L trnformd de Lplce (T.L) e un tipo epecil de trnformción integrl. En generl, un trnformd integrl e un ocición entre l función Y () = y(t)k(, t)dt (.) I con l función y(t) pr

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES SISTEMA. Posee ESTRUCTURA. Figura 1.1: Definición de Sistema

ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES SISTEMA. Posee ESTRUCTURA. Figura 1.1: Definición de Sistema ANÁLISIS DE SISTEAS LINEALES 1. odeldo de item SISTEA Reliz FUNCIÓN Poee ESTRUCTURA Preent COPORTAIENTO Figur 1.1: Definición de Sitem Sitem: Un item reliz un función, poee un etructur y preent un comportmiento.

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática

Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática Moviiento ociltorio Moviiento rónico iple (MAS) Cineátic IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Se dice que un prtícul ocil cundo tiene un oviiento de vivén repecto de u poición de equilibrio, de for tl que el oviiento

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.) Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

= = = 13.7 = 12.8 = = (Regla de la cadena)

= = = 13.7 = 12.8 = = (Regla de la cadena) i f(z), l derivd dey de f(x) con repecto e define como 2. h donde AZ. derivd tmbién e deign por (x). El proceo eguido pr hllr e llm diferencición. AZ En iguiente on funcione de b, c, contnte [con retriccione

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS. Integrles impropis de primer especie. Clculr Pr n, n con >. F (b) = b n n+ = n + Si n >, entonces F (b) =, con lo que Si n

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo

Más detalles

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo 2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Tema 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Tema 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial. Tem 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Amplición de Mtemátic. Ingenierí Técnic Indutril. Epecilidd en Electrónic Indutril. Índice Generl Trnformd de Lplce 2 Trformd de lgun funcione elementle 3 3 Propiedde

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Transformadas integrales

Transformadas integrales Cpítulo 3 Trnformd integrle Objetivo Conocer l propiedde de l trnformd de Lplce y de Fourier. Aplicr l trnformd de Lplce y de Fourier l reolución de ecucione diferencile linele. 3.1. Trnformd integrle

Más detalles

Tema 3 Respuesta en Frecuencia

Tema 3 Respuesta en Frecuencia CIRCUITOS ANALÓGICOS SEGUNDO CURSO Tem 3 Repuet en Frecuenci Sebtián López y Joé Fco. López Intituto Univeritrio de Microelectrónic Aplicd IUMA Univeridd de L Plm de Grn Cnri 357 - L Plm de Grn Cnri Tfno.

Más detalles

Integral impropia Al definir la integral definida b

Integral impropia Al definir la integral definida b Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd,

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Matemática DETERMINANTES. Introducción:

Matemática DETERMINANTES. Introducción: Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.

Más detalles

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x) Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

PROBLEMAS DE GENERADORES SINCRÓNICOS. Asignatura : Conversión Electromecánica de la Energía. Fecha : Agosto Autor : Ricardo Leal Reyes.

PROBLEMAS DE GENERADORES SINCRÓNICOS. Asignatura : Conversión Electromecánica de la Energía. Fecha : Agosto Autor : Ricardo Leal Reyes. ROBLMA D GNRADOR NCRÓNCO. Aigntur : Converión lectromecánic de l nergí. ech : Agoto200. Autor : Ricrdo Lel Reye. 1. Un generdor incrónico de 6 polo conectdo en etrell, de 480 (), 60 (Hz), 1 (Ω/fe), 60

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

CAPÍTULO. La derivada

CAPÍTULO. La derivada CAPÍTULO 5 L derivd 5. L derivd de un función A continución trtremos uno de los concetos fundmentles del cálculo, que es el de l derivd. Este conceto es un ite que está estrecmente ligdo l rect tngente,

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS. 1. Integral de una función acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª especie). Ejemplo: 1 x.

INTEGRALES IMPROPIAS. 1. Integral de una función acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª especie). Ejemplo: 1 x. INTEGRALES IMPROPIAS Hst hor hemos estudido l integrl de Riemnn de un función f cotd y definid en un intervlo cerrdo y cotdo [, ], con., Ahor generlizmos este concepto.. Integrl de un función cotd, definid

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x) rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo

Más detalles

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Titulación de ácido fuerte-base fuerte

Titulación de ácido fuerte-base fuerte Químic Anlític (9123) urv de titulcción y cp. buffer SUBTEMA 3 1 Titulción de ácido fuertebe fuerte En olución cuo, lo ácido y l be fuerte e encuentrn totlmente diocido. Por lo tnto, el ph lo lrgo de l

Más detalles

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A LABORATORIO DE FISICA I/11. PRACTICA Nro. 8 MASA INERCIAL Y GRAVITATORIA.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A LABORATORIO DE FISICA I/11. PRACTICA Nro. 8 MASA INERCIAL Y GRAVITATORIA. Págin 1 de 5 NÚCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A ÁREA DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA LABORATORIO DE FISICA I/11 PRACTICA Nro. 8 MASA INERCIAL

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Integrción por cmbio de vrible.. Integrción por prtes... Producto de un polinomio por un eponencil... Producto de un polinomio por un seno o un coseno... Producto

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

Integración de funciones de una variable

Integración de funciones de una variable Tem 5 Integrción de funciones de un vrible Introducción Este tem está dedicdo l estudio y l relción que existe entre dos problems que, en principio, tienen un nturlez muy distint.. Cálculo de primitivs:

Más detalles

Cálculo de primitivas

Cálculo de primitivas Cálculo de primitivs Cmbio de vrible Cálculo de primitivs Utilizremos l notción f (x) pr denotr un primitiv de l función f. Además, busndo del lenguje, menudo hblremos de integrl de l función cundo deberímos

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto

Más detalles

Teoremas de convergencia

Teoremas de convergencia Cpítulo 3 Teorems de convergenci L necesidd de considerr límites de sucesiones o series de funciones es básic en el estudio del nálisis. Por tnto, es nturl preguntrse bjo qué condiciones se tiene que un

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

Problemas de integrales impropias. Pedro González Ruiz

Problemas de integrales impropias. Pedro González Ruiz Problems de integrles impropis Pedro González Ruiz Sevill, myo de 9 Índice generl. Integrles generlizds 5.. Notciones....................................... 5.. Conceptos previos...................................

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

La integral indefinida

La integral indefinida Tem 8 L integrl indefinid Aclrdo el concepto de integrl y sus principles propieddes, bordmos hor l relción entre derivd e integrl, que se sintetiz en el Teorem Fundmentl del Cálculo, sin dud el resultdo

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas: ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

Series de Taylor. Antes de comenzar con la series de Taylor, repasemos algunas propiedades importantes de las series infinitas.

Series de Taylor. Antes de comenzar con la series de Taylor, repasemos algunas propiedades importantes de las series infinitas. Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Series de Tylor Antes de comenzr con l series de Tylor, repsemos lguns propieddes importntes de ls series infinits. 1. Algebr de series de potencis El álgebr elementl

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles