f (t) dt Veamos primero el caso en que uno de los límites es infinito: si b =, entonces se define f (t) dt = lím

Transcripción

1 Cpítulo 2 Trnformd de Lplce 2.. Integrle impropi Vmo repr l co prendid en Análii I obre integrle impropi. Por hor penremo en un función de vrible e imgen rel, e decir, f : [, b] R. Cundo e define f (t dt e ume que f e cotd en el intervlo (, b y que tnto como b on finito. Si lguno de eto requiito (o mbo flln, tenemo que drle un nuev interpretción l ímbolo f (t dt, y en tl co e lo llm integrl impropi. Vemo primero el co en que uno de lo límite e infinito: i b =, entonce e define f (t dt = lím b f (t dt cundo tl límite exite (etmo umiendo que f e integrble en [, b] pr todo b <. En ete co, e uele decir que l integrl impropi f (t dt converge, mientr que i el límite no exite e dice que l integrl diverge. Acá e hce el mimo buo del ctellno que cundo hblmo de convergenci y divergenci de erie, y que en el mejor de lo co f (t dt e un número, y por lo tnto no puede converger o diverger. Lo correcto erí decir l función f en integrble en (,. Ejemplo 2.. L integrl impropi t p dt converge i p > y diverge i p pue { ( t p dt = p b p i p ln (b i p =, 57

2 58 Trnformd de Lplce { b de donde concluimo que lím b t p dt = p i p > no exite i p. 2. L integrl impropi co (t dt diverge pue y lím b in (b no exite. co (t dt = in (b, De mner nálog e define integrle impropi de l form función definid en todo R y l integrle c f (t dt y c c, entonce e define f (t dt = c c f (t dt + f (t dt. f (t dt, y i tenemo un f (t dt convergen mb pr lgún Ejemplo 2.2 L integrl e t dt converge olo i > pue en tl co i b > entonce y i c < entonce de donde concluimo que e t dt = c e t dt = e t dt = c ( e b b, e t dt = ( ec c, e t dt = 2. Ademá, clrmente l integrl e t dt diverge i. Notr demá que l integrl e t dt diverge culquier e el vlor de. Al igul que pr erie, diremo que l integrl f (t dt converge bolutmente i l integrl f (t dt converge (y l mim definición pr f (t dt. Tenemo l iguiente propiedde:. Si c e un número y l integrle (cf (t + g (t dt converge y cf (t + g (t dt = c f (t dt y g (t dt convergen mb, entonce f (t dt + g (t dt. 2. Si f (t pr todo t, entonce l integrl f (t dt converge o el conjunto { f (t dt : b > } no e cotdo, y en tl co e pone f (t dt =. 3. Si g (t f (t pr todo t, entonce i l integrl f (t dt converge podemo decir que l integrl g (t dt converge, y i g (t dt diverge podemo decir f (t dt diverge.

3 Trnformd de Lplce Si l integrl f (t dt. f (t dt converge bolutmente, entonce converge, y f (t dt 5. L integrl f (t dt converge i y olo i r f (t dt converge pr todo r >, y lím r r f (t dt =. Et propiedde e demuetrn má o meno í: l primer e porque el límite de l um e l um de lo límite y l propiedd vle i en lugr de ponemo un número b. L egund e un poco má complicd pero en relidd deberí er intuitivmente comprenible: i un función (rel F (t e creciente en (, entonce i e cotd el lím t F (t exite, y i no e cotd lím t F (t =. Aplicr eo l función (rel creciente F (t = t f (x dx. Pr l tercer, plicr el mimo hecho l funcione creciente G (t = t g (x dx y F (t = t f (x dx y comprrl. Pr, (4 e un plicción de (3 l funcione g (t = f (t + f (t y 2 f (t, y un poco de álgebr. Por último, (5 reult de f (t dt = r f (t dt + r f (t dt tomndo lím b primero, y lím r depué. Notr l bolut nlogí con l propiedde de erie. Vemo hor un poco l integrle impropi con intervlo finito pero función no cotd: i f no e cotd en, e define f (t dt = lím f (t dt ε + +ε cundo tl límite exite (notr que lo que hcemo e integrr f en intervlito má chico que [, b], y por eo neceitmo que ε tiend cero por vlore poitivo. En tl co, diremo que l integrl impropi converge, mientr que i el límite no exite diremo que l integrl impropi diverge. Ejemplo 2.3 l integrl impropi t p dt converge i p < y diverge i p pue { ( t p dt = p b p ε p i p ln (b ln (ε i p =, de donde concluimo que ε lím ε + ε t p dt = { b p p i p < no exite i p. L definición en ete tipo de integrle impropi e extiende todo lo co de mner obvi. Por ejemplo, i f no e cotd en b entonce f (t dt = lím ε + ε f (t dt

4 6 Trnformd de Lplce cundo tl límite exite; i f no e cotd en y en b entonce c f (t dt = lím ε + +ε f (t dt + lím ε + ε c f (t dt cundo mbo límite exiten ( pr lgún c en el intervlo (, b (notr que on do límite c eprdo, no dice lím ε + +ε f (t dt + b ε c f (t dt, y i f no e cotd en lgún punto c de (, b entonce f (t dt = lím ε + c ε f (t dt + lím f (t dt ε + c+ε cundo mbo límite exiten. Tenemo propiedde nálog l nteriore, l enuncimo pr el co en que f no e cotd en :. Diremo que l integrl f (t dt converge bolutmente i l integrl f (t dt converge. 2. Si c e un número y l integrle f (t dt y g (t dt convergen mb, entonce (cf (t + g (t dt converge y (cf (t + g (t dt = c f (t dt + g (t dt. 3. Si g (t f (t pr todo t, entonce i l integrl f (t dt converge podemo decir que l integrl g (t dt converge, y i g (t dt diverge podemo decir f (t dt diverge. 4. Si l integrl f (t dt converge bolutmente, entonce converge. Por último, no quedn l integrle impropi donde tenemo mbo problem junto: ni l función integrr e cotd ni el intervlo e finito. Un ejemplo típico de eto e tomr un función que no e cotd en y plnter f (t dt. Vmo decir que et integrl impropi converge cundo pr lgún c > l integrle c f (t dt y c f (t dt convergen mb, y en tl co f (t dt = c f (t dt+ c f (t dt (e decir, l dividimo en do integrle, y no qued cd un con un problem. De nuevo, tenemo l mim propiedde que y no vmo enuncir.

5 Trnformd de Lplce Funcione definid con integrle impropi Cundo comenzmo con Fourier, vimo l ide de definir funcione undo integrle (funcione de much vrible, integrndo repecto de lgun. Ahor vmo definir funcione undo integrle impropi: por ejemplo i g (x, t e un función definid en [, b] [c, tl que pr cd x fijo l integrl impropi c g (x, t dt converge, entonce eo define en [, b] un nuev función, que le ign cd x el vlor c g (x, t dt. L región de convergenci de l integrl impropi c g (x, t dt e el conjunto { } x R : g (x, t dt converge, e decir, el myor conjunto donde l integrl impropi converge. c Ejemplo 2.4 Si g (x, t = e t co (xt, entonce l función F (x = e t co (xt dt etá definid en todo R, pue pr todo x vle que e t co (xt e t, y l integrl e t dt converge. En ete co e puede clculr F explícitmente: e t co (xt dt = [ + x 2 e t co xt + x ] t=b + x 2 e t in xt t= = + x 2 e b co xb + x + x 2 e b in xb + + x 2 b Ademá e puede clculr explícitmente F (x, y verificr que qued F (x = x [ e t co (xt ] dt = te t in (xt dt. + x 2. Un de l funcione má célebre definid undo integrle impropi e in dud l función Γ. Pr x > e pone Γ (x = t x e t dt. Vemo primero que, efectivmente, e integrl impropi converge pr todo x > : ecribimo Γ (x = t x e t dt = t x e t dt + t x e t dt = I (x + I 2 (x. I (x e integrl impropi olo i < x <, pero tomemo un x í fijo, entonce t x e t t x t >,

6 62 Trnformd de Lplce y como [ t t x x dt = x ] t= t=o = x, concluimo por comprción que I (x converge. Vemo hor I 2 (x: como (pr cd x > fijo lím t 2 t x e t = lím t x+ e t = t t ( por qué? tenemo que exite N > tl que t 2 t x e t t N, y entonce de donde e deduce que l integrl t x e t t 2 t N, N t x e t dt converge (pue ( 2 N t dt converge, y entonce I2 (x converge pue I 2 (x = N tx e t dt + N tx e t dt. E decir, cbmo de probr que Γ (x etá definid pr todo x >. Not 2.5 L integrl que define Γ diverge pr todo x, por lo tnto no e puede ur pr definir Γ en dicho vlore. Seguimo etudindo Γ: integrndo por prte, vemo que e decir Γ (x + = t x e t dt = t x e t t= t= + Γ (x + = xγ (x x >. Ademá Γ ( = e t dt = e t t= =, y entonce En generl, qued t= Γ ( = Γ (2 = Γ ( = Γ (3 = 2Γ (2 = 2 Γ (4 = 3Γ (3 = 6, etc. Γ (n + = n! n N, xt x e t dt = + xγ (x, e decir, l función Γ e un función continu que interpol lo vlore de n! pue cd ve que x N e tiene que Γ (x + = x!. Otr co interente e l iguiente: l relción Γ (x = Γ (x + x vle pr todo x >, pero en el miembro de l derech puedo poner x del intervlo (,, í que defino de e form Γ en tl intervlo. Y hor igo, y puedo definir Γ en R {,, 2, 3,...}.

7 Trnformd de Lplce 63 Por último, clculemo Γ (/2: hciendo el cmbio de vrible t = y /x, dt = x y x dy, qued Γ (x = t x e t dt = y (x /x e (y/x x y x dy = x e (y/x dy, y por lo tnto Γ ( = 2 2 π e y2 dy = 2 2 = π x ( x 2.3. Funcione de orden exponencil Definición 2.6 pr un función f : [, R y pr R, e define l trnformd de Lplce de f como L (f ( = cd vez que l integrl impropi converge. f (t e t dt (2. E difícil explicr l rzón de et definición en ete contexto, pero reult un vrinte de un verión continu de l erie de Fourier (l trnformd de Fourier. L trnformd L (f de un función f e un nuev función (de, cuyo dominio dependerá, en generl, de f. De et mner, e puede penr en L como un operdor que trnform un función f(t en un nuev función L (f (. Si F ( e un función tl que F ( = L (f (, entonce diremo que f e l trnformd de Lplce inver de F, y denotremo ete hecho por f (t = L (F (t.

8 64 Trnformd de Lplce Un condición neceri pr que l integrl (2. exit e que l función f e integrble en todo intervlo de l form [, b] (con b >, y eo lo egurremo tomndo l iguiente condición de continuidd: Definición 2.7 Un funcion f : [, b] R e continu por trmo i exite un prtición = t < t < < t n = b de [, b] tl que f e continu en cd intervlo [t j, t j+ ] (límite lterle en lo borde. Un funcion f : [, R e continu por trmo i e continu por trmo en todo intervlo de l form [, b]. En lo que igue de et ección, trbjremo excluivmente con funcione continu por trmo en [,. Ejemplo 2.8 Si f (t = e t, entonce pr > tenemo L (f ( = e t e t dt = e (+t dt = [ ] t= e (+t = + +. t= Pueto que pr l integrl diverge, tenemo que el dominio de L (f ( e el intervlo (,, y en tl intervlo vle L (f ( = + (ojo, no confundir L (f ( con + : el dominio de l últim función incluye etrictmente l de l primer. Con l notción de rrib, en ete co tendrímo que ( e t = L (t. + e t + Not 2.9 Pueto que pr clculr l trnformd de Lplce olo neceitmo un función definid en [,, pero eto uele er un limitción l hor de relizr otro procedimiento, e uele penr que l funcione involucrd vlen en (,. De quí en má tomremo e convención. Lo iguiente que hremo e fijr condicione pr exitenci de l trnformd de Lplce. En eo, l iguiente definición e centrl Definición 2. Si f : [, R e un función y exiten contnte rele α, M y T tle que f (t Me αt t T, entonce f e dice de orden exponencil con exponente α. Pr ecribir meno, denotremo eto por OE (α.

9 Trnformd de Lplce 65 Et propiedd no dice que f no crece má rápido que un exponencil. Notr que en l definición no e hce hincpié en encontrr l contnte má chic con e propiedd. Por ejemplo, l función f (t = t t e de orden exponencil con exponente, pue como lím t e = t e tiene que T tl que t e i t T, y entonce t e t i t T (un mejor leve de t ete rzonmiento muetr que culquier polinomio e de orden exponencil con exponente α, culquier e α >, ejercicio. Por otro ldo l función f (t = e (t2 no e de orden exponencil ( e (t2 Me αt e equivlente t 2 αt ln (M, l cul no e válid en ningún intervlo del tipo [T,. Si tenemo f (t Me αt t T y demá bemo que f e cotd en [, T ], entonce e puede ver (ejercicio que exite M tl que f (t Me αt t. En prticulr eto e cierto cundo f e continu por trmo en [,. Pueto que nootro vmo trbjr en tod et ección con funcione continu por trmo en [,, tomremo eto como función de orden exponencil (de hecho, l rzón por l cul no e define í directmente e pr evitr diidenci con l myorí de lo texto que trtn el tem. Ejemplo 2.. Lo polinomio p (t = N n= nt n on funcione de OE (α pr culquier α >. 2. L funcione cotd on de OE (α pr culquier α >, en prticulr l funcione periódic cotd en un período lo on. 3. Si f e de OE (α y β > α, entonce f e de OE (β. 4. Si f y g on de OE (α, entonce f + g e de OE (α y fg e de OE (2α. 5. Si f e de OE (α y continu por trmo en [,, y g (t = t f (x dx, entonce g e de { máx (α, i α OE (β, con β = (e decir, i α = entonce g e de culquier > i α = OE (ε ε >. 6. Si f e derivble ( y de OE (α entonce f puede no erlo, por ejemplo coniderr l función f (t = in e t2. 7. Si f (t e derivble y f (t e continu por trmo y de OE (α, entonce f e de OE (β, con β como en el punto (5. Ojo: e fórmul no d el mínimo β, d uno con el cul funcion. L función e 3t e OE ( 3 y u primitiv 3 e 3t tmbién. L definición de función de orden exponencil etá hech medid de l trnformd de Lplce, pr egurr l exitenci de l mim y u buen propiedde, egún el iguiente teorem fundmentl:

10 66 Trnformd de Lplce Teorem 2.2 Si f e continu por trmo en [, y de orden exponencil, con f (t Me αt t, entonce l trnformd de Lplce de f, L (f ( exite pr todo > α, e un función continu en el intervlo (α,, y L (f ( M α. Demotrción. Pueto que f (t Me αt, entonce f (t e t Me αt e t = Me ( αt t. Como l función Me ( αt e integrble en (, i y olo i > α, concluimo que, pr todo > α, l función f (t e t e bolutmente integrble en (,, y L (f ( = f (t e t dt f (t e t dt Me ( αt dt = Me ( αt α t= = M t= α. Vemo que L (f ( e continu: tommo (α,, y (pr tomr lím conideremo lo vlore de > α+ 2. Por el Teorem del Vlor Medio bemo que exite ξ(t en el intervlo de extremo y (que depende de t tl que (e t e t = te ξ(tt ( Entonce L (f ( L (f ( = f (t (e t e t dt = f (t ( te ξ(tt ( dt ( f (t ( te ξ(tt ( dt Me αt te α+ t 2 ( dt = ( α 4 = M( L (t = M( 2 ( α 2, de donde reult que lím L (f ( = L (f (. (el cálculo de L (t ( etá en el próximo ejemplo. E importnte detcr que l hipótei que e piden en el teorem on uficiente pero no neceri, e decir, exiten funcione que no cumplen tle hipótei y in embrgo tienen trnformd de Lplce. De culquier mner, dentro de l hipótei puet entrn l myorí de lo co que e preentn en el uo de l trnformd. Otr co: l deiguldd que incluye el teorem dice que l trnformd de Lplce decrece cundo l meno tn rápido como /. Et últim firmción debe tomre en el mimo entido que cundo hblmo de l velocidd con l que decrecen lo coeficiente de Fourier de un función. Ejemplo 2.3

11 Trnformd de Lplce 67. Si f (t = t, entonce pr > e tiene que L (f ( = y l integrl diverge i. f (t e t dt = [ e e t t dt = ] t= t= =, 2. Si f (t = t t, donde >, entonce hciendo el cmbio de vrible x = t, pr >, qued L (f ( = t e t dt = ( x e x dx = + y l integrl diverge i. En prticulr, e tiene que n N, L (t n ( = n! n+ >. x e x dx = Γ ( + +, Pr < < eto d un ejemplo de función que no e cotd pero tiene trnformd de Lplce. 3. Si f (t = in (ωt t, entonce pr > qued L (f ( = in (ωt e t t (ω co ωt + in ωt t= dt = e 2 + ω 2 = ω t= 2 + ω 2 A continución veremo l propiedde de l trnformd de Lplce Propoición 2.4 (linelidd El operdor L e linel en el iguiente entido: i f, g on funcione tle que L (f ( y L (g ( exiten mb pr, entonce pr todo número rel vle que L (f + g ( = L (f ( + L (g (. Demotrción. L (f + g ( = (f + g (t e t dt = = L (f ( + L (g (, f (t e t dt + donde el egundo igul vle pue mb integrle convergen pr. g (t e t dt Ejemplo 2.5 Combinndo l propiedd nterior con uno de lo ejemplo, concluimo que e p (t = N n= nt n (un polinomio de grdo N, entonce ( N L (p ( = L n t n ( = n= N n L (t n ( = n= N n= n n! n+.

12 68 Trnformd de Lplce 2.4. Trnformd de derivd e integrle Propoición 2.6 (Trnformd de l derivd Si f e continu en [, y de OE (α, y exite f en ci todo punto (ver Notción.28 y e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L ( f ( = L (f ( f ( > α. Demotrción. En et hipótei podemo ur integrción por prte; entonce pr > α e tiene que L ( f ( = f (t e t dt = f (t e t t= t= f (t ( e t dt. Por er f continu en [, reult f (t e t t= = f (, y por er de OE (α y > α tenemo que f (t e t t= =, y entonce qued L ( f ( = f ( + L (f (. Not 2.7 E común encontrr en l propiedd nterior, f ( reemplzdo por f ( +, que e por definición lím t + f (t El ignificdo e el mimo que le dmo nootro, y que l pedir que f e continu en [,, no etmo refiriendo de mner tácit un límite lterl en. Utilizndo tl notción, podemo pedir f continu en (,, y (conervndo l otr hipótei tendrímo como concluión que L (f ( = L (f ( f ( +. Corolrio 2.8 Si f, f, f,, f (n on continu en [, y de OE (α, y exite f (n en ci todo punto y e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce ( L f (n ( = n L (f ( n f ( n 2 f ( f (n 2 ( f (n ( > α. Demotrción. vemo el co n = 2 L ( f ( = L ( (f ( = L ( f ( f ( = (L (f ( f ( f ( = 2 L (f ( f ( f ( ; el co generl e igue por inducción en n. Ejemplo 2.9 Si f (t = in (ωt, entonce f (t = ω co (ωt, y f ( =, y entonce L (co (ωt ( = ω L ( f ( = ω ω 2 + ω 2 = 2 + ω 2.

13 Trnformd de Lplce 69 L propiedd nterior e un de l má importnte pr el uo que nootro le vmo dr l trnformd de Lplce: l reolución y etudio de item modeldo con ecucione diferencile, fundmentlmente por ecucione linele con coeficiente contnte. Vemo el iguiente ejemplo: tenemo el problem de condicione inicile { x + bx + cx = f (t x ( = x, x ( = y. Aumiendo que e dn l condicione neceri, tomndo trnformd de Lplce qued L ( x + bx + cx = L (f, y undo el Corolrio nterior y l condicione inicile, reult 2 L (x ( x y + b (L (x ( x + cl (x ( = L (f ( De e ecución puede depejre L (x (, y qued L (x ( = L (f ( + x + y + bx 2. + b + c Lo notble de eto e que el miembro de l derech e conocido, por lo cul in reolver l ecución, bemo exctmente cunto vle l trnformd de Lplce de l olución (l únic olución que tifce l condicione inicile. De quí iguen do lterntiv poible: encontrr x invirtiendo el operdor L, o in encontrr x, deducir u propiedde prtir de u trnformd de Lplce. Ambo cmino on muy udo, y mbo dependen de un hecho fundmentl: l trnformd de Lplce de un función l determin por completo, egún el iguiente teorem: Teorem 2.2 (Lerch Si f y g on funcione continu por trmo en [, y de OE (α, y L (f ( = L (g (, entonce f (t = g (t t >, lvo poiblemente en lo punto donde f y/o g en dicontinu. Demotrción. Ecp l lcnce de ete curo, e puede ver un en Kreider, Kuller, Otberg, Perkin Introducción l Análii Linel. El teorem nterior no permite hblr del operdor L que mencionmo má rrib. Si φ ( e un función definid en el intervlo (α, y bemo que φ ( = L (f (, entonce, lvo poiblemente por vlore puntule, f e l únic función (continu por trmo en [, y de OE con e propiedd, y e pone f (t = L (φ (t. El único cmino que tenemo (por hor pr invertir l trnformd de Lplce e por verificción direct, tnto en trnformd de funcione epecífic como en l propiedde del operdor L. De quí en delnte enunciremo cd propiedd del operdor L con l correpondiente equivlente pr L. Ejemplo 2.2

14 7 Trnformd de Lplce. L linelidd del operdor L implic l linelidd del operdor L, cundo e retringe el dominio de L de form tl que e invertible. E decir, i φ j ( = L (f j ( > α, entonce L (φ + φ 2 = L (φ + L (φ L ( =. En rigor, deberímo poner i φ e un función cuyo dominio e el intervlo (, y en dicho dominio φ ( =, entonce L (φ (t = t, pero emejnte conidercione no portn demido y complicn enormemente nuetr tre. ( N 3. L n= n = N ( n+ n= n n! L n! (t = N n+ n= n n! tn. 4. L ( ω 2 +ω 2 = in (ωt. 5. Supongmo que f e continu en [,, de OE (α, y que f exite en ci todo punto, e continu por trmo en [, y de OE (α. Entonce i φ ( = L (f (, luego L (φ ( f ( = f. Eto tiene poc utilidd práctic (pr invertir φ ( y que l hipótei en generl on impoible de verificr (ver Propoición 2.47 pr el cálculo de f (. Lo que uele hcere (i e tiene f = L (φ y f ( y e quiere invertir φ ( f ( e clculr f, y luego clculr L (f ( y ver i efectivmente d φ (. Debido que en l myorí de l pliccione l vrible t repreent l tiempo y l vrible l frecuenci, ete ejemplo uele leere como multiplicr en frecuenci por e lo mimo que derivr en t. Propoición 2.22 (Trnformd de l Integrl Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce ( t L f (r dr ( = { L (f ( > β, donde β = máx (α, i α. culquier > α = Et propiedd uele leere como dividir en frecuenci e lo mimo que multiplicr en tiempo Demotrción. Primero, notr que l función g (t = t f (r dr e continu y de OE (β, por lo cul tiene entido clculr u trnformd de Lplce. Ademá g (t = f (t en ci todo punto, y g ( =, por lo cul l Propoición 2.4 no dice que L ( g ( = L (g ( > β, de donde e igue inmeditmente l propiedd. Corolrio 2.23 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce ( L φ ( (t = Demotrción. Aplicr L l Propoición t f (r dr. Ejemplo 2.24 pueto que L (in (ωt ( =, entonce 2 +ω ( 2 L ω t 2 + ω 2 (t = in (ωr dr = ( co (ωt ω ω

15 Trnformd de Lplce Función de Heviide Se llm í l función eclón unitrio { i t < u (t = i t, y e denot u (t = u (t. Si bien no e un limitción, en generl e utiliz >. ut ( u ( t Et función e muy útil cundo e trbj con trformd de Lplce, pue no d un notción encill pr penr que l funcione con l que trbjmo etán definid como cero en el intervlo (, : bt con tomr f (t u (t en lugr de f (t (recordr el comentrio hecho l clculr L (, que egún nuetr convención d u y no. Por ejemplo, cundo clculmo L (t n, lo correcto hubier ido poner L (u (t t n ( = n! >. Pero má llá n+ de l formlidde, tiene much otr virtude porque puede ure como un interruptor que enciende ciert eñl en un intnte : pueto que f (t u (t = { i t < f (t i t, reult que i quiero ecribir que un eñl g (t e le greg otr eñl f (t en el intnte, l eñl reultnte erá g (t + f (t u (t. Eto e prticulrmente útil en el modeldo de item donde diferente fuerz ctún en diferente intnte de tiempo. Otro uo frecuente de l función u e pr deplzr funcione en u vrible: l función f (t u (t tiene l mim gráfic que f (t u (t pero con el cero en ft ( u ( t ft ( Ejemplo 2.25 Cundo uno quiere filtrr un eñl f (t y dejrl olo pr cierto intervlo de tiempo [, b, como i t < u (t u b (t = i t < b, i t b

16 72 Trnformd de Lplce l eñl filtrd qued f (t [u (t u b (t]. ft ( u ( t u b( t ft (( u ( t u b( t b b Propoición 2.26 (Corrimiento en frecuenci Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L ( e t f (t ( = L (f ( > α +. Demotrción. L ( e t f (t ( = f (t e t e t dt = f (t e ( t dt = L (f (. Corolrio 2.27 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L (φ ( (t = e t f (t. Ejemplo Si φ ( = 6, entonce como L ( t 3 ( = 6, reult φ ( = L ( t 3 ( + 4, ( y entonce ( L 6 ( = e 4t t Pueto que L (co (2t ( =, e tiene que 2 +4 ( L 8 ( = e 8t co (2t. Propoición 2.29 (Cmbio de ecl Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, y c >, entonce L (f (ct ( = ( c L (f > cα. c Demotrción. Hciendo el cmbio de vrible x = ct qued L (f (ct ( = f (ct e t dt = f (x e x c dx c = L (f (/c. c

17 Trnformd de Lplce 73 Corolrio 2.3 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L (φ (/c (t = cf (ct. Propoición 2.3 (Corrimiento en tiempo Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, y, entonce L (f (t u (t ( = e L (f ( > α. Demotrción. hciendo el cmbio de vrible x = t qued L (f (t u (t ( = = f (t u (t e t dt = f (x e (x+ dx = e L (f (. f (t e t dt Not importnte 2.32 El reultdo nterior no e válido i <, probr por ejemplo con l función f (t = t + 3 y = 3. El problem en relidd viene de que cundo uno dice f (t = t + 3 tiende olvidr que en relidd queremo decir f (t = (t + 3 u (t. Otro tem delicdo con l propiedd nterior, e que e muy común confundir f (t con f (t, y l propiedd nterior no dice que L (f (t u (t ( = e L (f (, y en generl e iguldd no e ciert. Si tenemo que clculr L (f (t u (t ( pr ciert función f, lo que e uele hcer e llmr g (t = f (t, e decir, contruyo un nuev función que vle g (t = f (t + t ( y cero pr t <!, y entonce L (f (t u (t ( = L (g (t u (t ( = e L (g ( (como clculr L (g e otr cuetión, que e reuelve co por co. Ejemplo 2.33 Pr clculr L ( t 2 u 3 (t (, hcemo g (t 3 = t 2, e decir, g (t = (t + 3 2, y entonce L ( t 2 u 3 (t ( ( = e 3 L (t ( = e 3 L (( t 2 + 6t + 9 ( = = e 3 [ L ( t 2 ( + L (6t ( + L (9 ( ] [ 2 = e ]. Corolrio 2.34 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L ( e φ ( (t = f (t u (t.

18 74 Trnformd de Lplce 2.6. Derivción e integrción de trnformd En et ección vmo plicr lo reultdo que vimo en l ección 2.2, pr obtener reultdo (en principio orprendente obre l uvidd de l trnformd de Lplce. Propoición 2.35 (Derivción de l trnformd Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L (f ( e derivble en (α, y d L (f ( = L (tf (t ( > α. d Demotrción. Queremo ver que ( L (f ( + h L (f ( lím h h + L (tf (t ( =. Tomemo > α (fijo y conideremo lo vlore de h ( α 2, α 2 (pr tomr límh. Utilizndo un Polinomio de Tylor de grdo y l fórmul de Lgrnge del reto vemo que exite ξ(t en el intervlo de extremo y h tl que en prticulr e ht = ht + (ht2 2 e ξ(tt, e ht + ht h Entonce L (f ( + h L (f ( + L (tf (t ( h = Me αt e t h t2 2 h t2 α e( 2 t. 2 e( α 2 t dt = M h 2 ( e (+ht e t + hte t f (t dt h = M h L ( t 2 ( α 2 2 t 2 α e ( 2 t dt = = M h ( α 3 h. Obervción 2.36 E muy importnte notr que lo que etmo probndo e que l Regl de Leibnitz (pr derivr funcione definid medinte un integrl vle en ete co, y d d L (f ( = d d f(te t dt = d d f(te t dt; e decir, podemo derivr dentro de l integrl. Eto demá yud recordr l fórmul. Corolrio 2.37 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce L ( φ ( (t = tf (t.

19 Trnformd de Lplce 75 Corolrio 2.38 (otro má Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce L (f ( tiene derivd de todo lo órdene en (α, y n N vle que d n d n L (f ( = ( n L (t n f (t ( > α. Demotrción. Por inducción en n, undo l Propoición Lo notble de eto e que vle bjo l mim hipótei pr f, e decir, no import i nuetr función e dicontinu o i tiene infinit derivd, iempre u trnformd de Lplce tiene infinit derivd. Corolrio 2.39 (del Otro Corolrio En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce ( L φ (n ( (t = ( t n f (t. ( Ejemplo 2.4 Supongmo que queremo encontrr f y bemo que L (f ( = ln +. Como d d ln ( + = + ( ( ( + ( 2 = + = L ( e t e t (, y teniendo en cuent que reult e decir, f (t = 2 t inh (t. ( ( d + L d ln (t = tf (t, tf (t = e t e t, Propoición 2.4 (Integrción de l trnformd Si f e continu por trmo en [, y de OE (α, y lím f(t t + t exite, entonce L (f ( e integrble en (α,, y ( f (t L (f (r dr = L > α. t Demotrción. Primero notr que el enuncido dice que l integrl impropi converge. En nuetr hipótei, l función g (t = f(t t e continu por trmo en [, y de OE (α (ejercicio, y entonce l Propoición 2.35 no dice que L (f ( = L (tg (t = d L (g ( > α. d

20 76 Trnformd de Lplce Integrndo, y teniendo en cuent que L (g ( decrece como / cundo, qued L (f (r dr = d L (g (r dr = [L (g (r]r= r= d = lím r L (g (r + L (g ( = L (g ( = L ( f (t t (, o e lito. Notr que l hipótei obre lím t + f (t /t implic que f ( + =, y entonce dicho límite vle f ( +. Por lo tnto, l hipótei e equivlente pedir que exit f ( + (que e, por hí, má fácil de entender. Corolrio 2.42 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f (, entonce ( L φ (r dr (t = f (t. t Ejemplo 2.43 Si f (t = in(ωt, entonce L (f ( = L (in (ωt (r dr = t ω [ ( r ] r= r 2 + ω 2 dr = rctn = π ( ω r= 2 rctn. ω 2.7. Funcione periódic En et ección vmo ur funcione periódic (como cundo vimo erie de Fourier, pero teniendo preente que penmo l funcione como cero en el intervlo (,. Con et convención, un función f (t erá periódic de período T i f (t + T = f (t t, y no referiremo ete hecho como f e periódic en [,. En generl reult que f e periódic de período T en [, i y olo i f (t = g (t u (t, con g periódic de período T. Notr que i f e periódic en [, de período T, y e continu por trmo en [, T ], entonce f e continu por trmo en [, y de OE ( (ejercicio. Propoición 2.44 (Trnformd de funcione periódic Si f e periódic en [, de período T, y e continu por trmo en [, T ], entonce L (f ( = e T T Demotrción. Si f tiene período T, entonce f (t e t dt >. f (t = [u (t u T (t] f (t + u T (t f (t = [u (t u T (t] f (t + u T (t f (t T (grficr y verificr!, entonce undo l Propoición 2.3 tenemo L (f ( = T f (t e t dt + L (u T (t f (t T ( = T f (t e t dt + e T L (f (,

21 Trnformd de Lplce 77 e decir, lito. Ejemplo 2.45 Pr clculr l trnformd de Lplce de l función de período 2 tl que f (t = t 2 en el intervlo [, 2, hcemo 2 t 2 e t dt = [ 2 t 2 e t + 2te t + 2e t ] t=2 3 = 2 3 2e , de donde L (f ( = t= ( 2 e 2 3 2e Pr utilizr l propiedd nterior e uele ur l función de Heviide, de l iguiente form: i tenemo f (t definid en [, y queremo l trnformd de Lplce de l función g (t que e periódic de período T y coincide con f en el intervlo [, T, entonce y qued T g (t e t dt = = T f (t e t dt = T [ u T (t] f (t e t dt [ u T (t] f (t e t dt = L (f ( L (u T f (, L (g ( = L (f ( L (u T f ( e T, e decir, en lugr de clculr un integrl neceitmo do trnformd de Lplce. Ejemplo 2.46 Pr clculr l trnformd de Lplce de l función de período 2 tl que f (t = t 2 en el intervlo [, 2 con ete método, primero notr que L ( t 2 u 2 (t ( ( = L (t u 2 (t ( ( = L (t 2 2 u 2 (t ( + L (4 (t 2 u 2 (t ( + L (4u 2 (t ( = 2 3 e e e 2, y entonce L (f ( = [ ( 2 2 e e e ] e Vlor inicil y finl L iguiente do propiedde no permiten conocer, en determind circuntnci, el vlor límite de f en y en, prtir de u trnformd de Lplce. E decir, podemo etudir el comportmiento de f en lo borde del intervlo (, in tener explícitmente l función f. Amb propiedde on conecuenci inmedit de l Propoición 2.4.

22 78 Trnformd de Lplce Propoición 2.47 (Teorem del vlor inicil Si f e continu en [, y de OE (α, y exite f en ci todo punto e continu por trmo en [, y de OE (α, entonce lím L (f ( = lím f (t. t + Demotrción. Notr que l propiedd dice que, bjo l hipótei pedid, mbo límite exiten y on igule. L hipótei pedid on exctmente l mim que l de l Propoición 2.4, y etán puet pue dich propiedd e lo único que neceitmo: pueto que L ( f ( = L (f ( f ( + > α, y teniendo en cuent, que egún el Teorem 2.2, lím L ( f ( =, tomndo límite qued demotrd l propiedd. Corolrio 2.48 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f ( y c = lím φ (, entonce L (φ ( c (t = f (t. (ver el punto 5 del Ejemplo 2.2. Ejemplo Si entonce L (f ( = f ( + = lím , = Si f (t = co (ωt entonce L (f ( =, entonce 2 +ω 2 ( lím 2 =, y entonce L + ω2 2 + ω 2 (t = f (t = ω in (ωt. Not 2.5 En generl e plic el Teorem 2.47 in poder verificr l hipótei, y que no e dipone de l función y no tenemo ningún reultdo que no de condicione de uvidd pr f prtir de u trnformd de Lplce, L (f. Sin embrgo, utilizndo el método de frccione prcile, e puede ver que i L (f ( = p( q(, con p y q polinomio y el grdo de p menor o que el grdo de q, entonce f etá dentro de l hipótei (ejercicio. Propoición 2.5 (Teorem del vlor finl Si f e continu en [, y de OE, y exite f en ci todo punto e continu por trmo en [, y de OE (α con α <, entonce lím L (f ( = lím f (t. t

23 Trnformd de Lplce 79 Demotrción. Notr que cá neceitmo que f e de OE con exponente negtivo. En et condicione, el primer teorem no egur que L (f ( etá bien definid y e continu en un entorno de =, y entonce (undo l Propoición 2.4 L ( f ( = lím L ( f ( = lím [ L (f ( f ( + ] = lím L (f ( f ( +. Finlmente notr que tmbién L ( f ( = Igulndo l expreione obtenemo el reultdo. f (t dt = lím t f (t f ( Convolución En much pliccione de l trnformd de Lplce prece l neceidd de trbjr con producto del tipo L (f ( L (g ( (por ejemplo cundo e buc l función de trnferenci, ver Sección 2.. Por lo tnto e nturl preguntre qué ocurre cundo intentmo hcer l trnformd inver del producto. E fácil de verificr que, en generl, no e cierto que l inver del producto e el producto de l inver, por ejemplo y entonce no e verific que L repuet etá en l iguiente definición: L ( t 2 ( = 2 3 y L ( t 4 ( = 24 5, L ( t 2 t 2 = L ( t 2 L ( t 2. Definición 2.52 Pr f, g funcione continu por trmo en [, e pone l convolución de f con g. (f g (t = t f (r g (t r dr L integrl que define f g exite pr todo t > por er l función h (r = f (r g (t r continu por trmo en [, t] (ejercicio, por lo tnto f g e un nuev función definid en [,. Et nuev operción puede er pend como un producto definido en el conjunto de l funcione continu por trmo en [,, de l mim form que tenemo el producto uul en R. En generl, no e fácil ver que p cundo uno hce l convolución de do funcione culquier, en el entido de que e difícil predecir como erá (que pecto tendrá l función f g prtir del pecto de f y g. En el contexto en el que etmo (funcione definid en [,, uno de lo co má fácil de entender e cundo uno pien en g como un cmpn imétric hci t = y de áre (ver dibujo: en tl co, fijdo t, el vlor de (f g (t erá un

24 8 Trnformd de Lplce promedio ponderdo de lo vlore de f (x, con < x < t, con myor peo lo vlore cercno t. E por eo que, en generl, (f g erá un función má uve que f, pero precid f (mientr má concentrd hci x = e l cmpn de g, má precid erá (f g f, ht llegr l extremo cundo g e l función impulo o δ de Dirc. re g( x g( tx ( f * g( x x t x f( x El producto de convolución tiene l iguiente propiedde: i f, g, h on funcione continu por trmo en [,, y un número rel, entonce:. f g = g f (conmuttividd 2. (f g h = f (g h (ocitividd 3. f (g + h = (f g + (f h (ditribución repecto l um 4. (f g = (f g = f (g. Et propiedde e demuetrn muy fácilmente, olo l egund requiere un má de trbjo. Por upueto que lo que no intere nootro e l iguiente: Propoición 2.53 (Convolución Si f y g on continu por trmo en [, y de OE (α, entonce (f g e continu en [,, de OE (α + ε ε >, y L (f g ( = L (f ( L (g ( > α. Demotrción. Primero vemo que (f g e de OE (α + ε ε > : por hipótei bemo que exite M > tl que f (t Me αt y g (t Me αt t, y entonce (f g (t = t t f (r g (t r dr f (r g (t r dr pueto que pr todo ε > vle que t ε eεt t (ejercicio, e tiene que (f g (t M 2 e (α+εt. t Me αr Me α(t r dr = M 2 te αt. Eo implic que tenemo definid L (f g ( > α + ε culquier e ε >, y por lo tnto > α. En cunto l continuidd el tem e má complicdo, cá v un ide (que e puede formlizr como ejercicio: tomo t [, y < h < (l rzón de tn extrñ elección e

25 Trnformd de Lplce 8 verá bjo, entonce = = (f g (t + h (f g (t = t t f (r g (t + h r dr + t +h t +h f (r [g (t + h r g (t r] dr + = I (h + I 2 (h. t t f (r g (t + h r dr t f (r g (t + h r dr t +h t f (r g (t + h r dr f (r g (t r dr f (r g (t r dr Como h < y undo que f e cotd en [t, t + h] y que g e cotd en [, ], e ve fácilmente que lím I 2 (h =. h + Pr I (h, hciendo el cmbio de vrible x = t r qued I (h = t f (r [g (x + h g (x] dr. Acá el nálii e complic: pr ver que eo tiende cero neceitmo ur l noción de continuidd bolut (fuer del lcnce de ete curo y que g tiene finit dicontinuidde en el intervlo [, t + ], pero deberí quedr clro que y eo hcer creíble que lím [g (x + h g (x] = h + Argumento imilre muetrn que y por lo tnto (f g e continu en t. Por último, L (f g ( = = t lím I (h =. h + x donde g e continu, lím I (h = lím I 2 (h =, h h (f g (t e t dt = ( t f (r g (t r e t drdt, f (r g (t r dr e t dt invirtiendo el orden en l integrle (lo cul e lícito, por Fubini, en nuetr hipótei qued L (f g ( = r f (r g (t r e t dtdr = f (r r g (t r e t dtdr. Finlmente, hciendo el cmbio de vrible x = t r en l integrl de dentro qued ( L (f g ( = f (r g (x e (x+r dxdr = f (r e r g (x e x dx dr ( = f (r e r (L (g ( dr = L (g ( f (r e r dr = L (g ( L (f (.

26 82 Trnformd de Lplce Corolrio 2.54 En l hipótei de l propiedd nterior, i φ ( = L (f ( y η ( = L (g (, entonce L (φη (t = (f g (t. 2.. Etbilidd Un de l pliccione má importnte del teorem nterior el l que e d en Teorí de Control pr determinr l etbilidd o no de un item fíico. Un item fíico en generl e crcteriz por ceptr entrd (fuerz, voltje, preión, corriente, etc. y producir un lid en repuet e entrd. En generl crcterizmo l entrd y l lid con funcione rele f (t, t (penndo que l vrible t repreent l tiempo. Definición 2.55 Un item e linel i l repuet e comport de mner linel con repecto l entrd, e decir, i y e l repuet l entrd x y y 2 l entrd x 2, entonce l repuet l entrd x + bx 2 erá y + by 2. Un item e invrinte en el tiempo i el efecto de correr en el tiempo l entrd produce el mimo corrimiento en l lid, e decir, i y (t e l repuet l entrd x (t entonce l repuet l entrd y (t t erá x (t t. L función de trnferenci G ( de un item linel e invrinte en el tiempo e define como l relción entre l trnformd de Lplce de l lid y l entrd, uponiendo que l condicione inicile on tod cero. E decir, G ( = L (x o ( L (x i (. Se puede ver que pr tle item (linele invrinte en el tiempo dich definición e buen, e decir, no depende de l entrd que elijmo pr clculrl. L función de trnferenci crcteriz por completo l item fíico. Pr repreentr un item e utilizn bloque que identificn l entrd y l lid, y l función de trnferenci que lo crcteriz, como el iguiente: Pr fijr ide vemo el iguiente ejemplo: x i G x o Ejemplo 2.56 Si tenemo un item m-reorte forzdo y mortigudo como muetr el dibujo, entonce l ecución que decribe el item e v { mx + vx + kx = f (t x ( = x, y ( = y, k m ft ( x

27 Trnformd de Lplce 83 donde m e l m, v el coeficiente de rozmiento, k l contnte elátic del reorte, f l fuerz plicd l reorte (l entrd l item, y x l poición de l m en cd intnte de tiempo t (l repuet del item l entrd, o e l lid. Aquí x e y on l condicione inicile (poición y velocidd repectivmente. Tomndo trnformd de Lplce qued m 2 L (x ( x y + vl (x ( x + kl (x ( = L (f (. Aumiendo que l condicione inicile on nul (x = y = y depejndo obtenemo e decir, l función L (x ( L (f ( = m 2 + v + k, G ( = m 2 + v + k e l función de trnferenci de tl item. Notr que en l función precen todo lo prámetro del item, y que no depende ni de l entrd ni de l lid. Pr el etudio de item linele invrinte en el tiempo e utiliz lo que e llm álgebr de bloque, que permite obtener l función de trnferenci de un item que conite de vrio ubitem interconectdo de diferente mner, y de lo cule conocemo u función de trnferenci. Vemo lguno ejemplo: Ejemplo:. Si tenemo do item interconectdo como ugiere el dibujo x i G x p H x o (l entrd l egundo item e l lid del primero, con funcione de trnferenci H y G repectivmente, entonce G ( = L (x p ( L (x i ( y H ( = L (x o ( L (x p (, de donde L (x o ( L (x i ( = L (x p ( L (x i ( L (x o ( = G ( H (, L (x p ( e decir, l función de trnferenci e el producto de l funcione de trnferenci de c/u de lo item. 2. Si tenemo do item interconectdo como ugiere el dibujo x i G x g x o H x h

28 84 Trnformd de Lplce (hy un entrd do ubitem y l lid del item e l um de mb lid, con funcione de trnferenci H y G repectivmente, entonce G ( = L (x h ( L (x i ( y H ( = L (x g ( L (x i (, pueto que x o = x h + x g, reult L (x o = L (x h + L (x g, y entonce L (x o ( L (x i ( = L (x h ( + L (x g ( = G ( + H (, L (x i ( e decir, l función de trnferenci e l um de l funcione de trnferenci de c/u de lo item. 3. Si tenemo do item interconectdo como ugiere el dibujo x i x i x f G x o x f H x o (hy un entrd un item, l lid del mimo entr otro, que produce un lid que reliment l primero, entonce G ( = L (x o ( L (x i ( L (x f ( y H ( = L (x f ( L (x o (, entonce, depejndo L (x f en mb ecucione obtenemo L (x i ( G ( L (x o ( = L (x f ( y H ( L (x o ( = L (x f (, igulndo y depejndo llegmo L (x o ( L (x i ( = L (x o ( H ( L (x o ( + G( L (x o ( = que e l función de trnferenci de un item lzo cerrdo. G ( G ( H ( +, Definición: Un item e dice etble i l repuet tod entrd cotd e cotd, y intóticmente etble i l repuet tod entrd cotd tiende cero cundo el tiempo tiene infinito. En el último cpítulo veremo condicione obre l función trnferenci pr que un item e etble.

29 Trnformd de Lplce Tbl de trnformd Potenci f (t F ( = L(f ( t 2 t n n!, n entero poitivo n+ f (t t /2 t /2 F ( = L(f ( π π 2 3/2 t α Γ (α + α+, α > Funcione trigonométric f (t in kt co kt in 2 kt co 2 kt t in kt t co kt 2 ( co kt t in t t F ( = L(f ( k 2 + k k 2 2k 2 ( 2 + 4k k 2 ( 2 + 4k 2 2k ( 2 + k k 2 ( 2 + k 2 2 ln 2 + k 2 2 ( rctn f (t in kt + kt co kt in kt kt co kt co kt kt in kt in bt b in t b ( 2 b 2 co bt co t 2 b 2 in t co bt t F ( = L(f ( 2k 2 ( 2 + k 2 2 2k 3 ( 2 k 2 2 k 2 ( 2 + k 2 k 3 2 ( 2 + k 2 ( ( 2 + b 2 ( ( 2 + b 2 +b 2 rctn + b 2 rctn Funcione Hiperbolic f (t inh kt coh kt inh 2 kt coh 2 kt F ( = L(f ( k 2 k 2 2 k 2 2k 2 ( 2 4k 2 2 2k 2 ( 2 4k 2 f (t t inh kt t coh kt 2 ( coh kt t F ( = L(f ( 2k ( 2 k k 2 ( 2 k 2 2 ln 2 k 2 2 Funcione exponencile

30 86 Trnformd de Lplce f (t F ( = L(f ( e t te t ( 2 t n e t n! n+, n entero poitivo ( e bt e t ln t b f (t πt e 2 /4t F ( = L(f ( e 2 πt 3 e 2 /4t e e t e bt b ( ( b e t be bt b ( ( b Funcione exponencile, hipoerbólic y trigonométric f (t e t in kt e t co kt e t inh kt e t coh kt F ( = L(f ( k ( 2 + k 2 ( 2 + k 2 k ( 2 k 2 ( 2 k 2 f (t in kt inh kt in kt coh kt co kt inh kt co kt coh kt F ( = L {f} ( 2k k 4 k ( 2 + 2k k 4 k ( 2 2k k k 4 Funcione de Beel f (t J (kt F ( = L(f ( 2 + k 2 Delt de Dirc δ (t Función de Heviide u (t f (t δ (t δ (t t e t F ( = L(f ( f (t f (t u (t u (t Propiedde generle F ( = L(f ( e F ( e f (t F ( = L(f ( e t f (t F ( f (t u (t e F ( f (n (t n F ( (n f (... f (n ( t n f (t ( n dn d F ( n f (τ g (t τ dτ F ( G ( t