LA TRANSFORMACION DE LAPLACE

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1 LA TRANSFORMACION DE LAPLACE. INTRODUCCION En ta publicación prnta la tranformación d Laplac y alguna d u aplicacion, principalmnt n la rolución d problma d valor inicial qu incluyn cuacion o itma d cuacion difrncial o intgrodifrncial linal. Como podrá aprciar, la tranformación d Laplac proporciona un método ficaz n l trataminto d o problma, y por u vntaja obr lo método convncional d uo habitual n análii y ínti d circuito, aí como n l tudio d itma linal y d itma d control y rvomcanimo. La forma d prntación utilizará alguno concpto impl dl análii linal, conidrándo a la tranformación d Laplac y a u invra como oprador linal. El tudio d u propidad opracional, qu rá fctuado con cirto dtall, abr l camino para introducir otra tranformacion linal intgral, tal como la tranformación d Fourir y alguna d u gnralizacion. Dbido a qu la tranformacion linal intgral d funcion f ( t ) dfinida n un intrvalo ( a, b ) (no ncariamnt acotado), on d gran utilidad n la rolución d problma cuyo modlo matmático utilicn cuacion difrncial o intgrodifrncial linal, convnint fctuar una prntación gnral d la mima. Si K ( t, ) una función pcificada d la variabl t y d un parámtro, una tranformación linal intgral d funcion f ( t ), rpcto dl núclo K ( t, ), dfinida mdiant la cuación

2 La Tranformación d Laplac H. V. Maía (.) T [ f ( t )] K( t, ) f ( t ) dt. b a En ta igualdad T [ f ( t )] rprnta una función F ( ) llamada imagn o tranformada d la función f ( t ). En cada cao dbrá pcificar l pacio d funcion n l cual tá dfinida la tranformación, y admá l rango d valor dl parámtro, lo qu dbrán r tal qu xita la intgral dl gundo mimbro d (.). S motrará qu cuando la tranformación (.) obtnida con dtrminado núclo K ( t, ) aplicada a forma difrncial o intgro-difrncial n f ( t ), cambia tal forma n xprion algbraica n la tranformada F ( ) qu involucran admá valor inicial d la función f ( t ). Por ta razón, cirto problma con cuacion difrncial o intgro-difrncial tranforman n problma algbraico n la imagn d la función incógnita. Si xit una tranformación invra, la olución dl problma original pud hallar por t camino impl. Alguno problma d contorno con cuacion n drivada parcial también pudn implificar d modo análogo. Cuando a, b, y K ( t, ) t, la tranformación dfinida por mdio d la fórmula (.) llamada tranformación d Laplac. Su aplicación ha rmplazado con vntaja al método cláico y también al procdiminto imbólico introducido por l ingniro lctricita inglé Olivr Haviid (85-95). El darrollo d la tranformación fu comnzado por Pirr Simon Laplac (749-87), y continuado por Augutin Loui Cauchy ( ), quin hizo important aport obr l tma.

3 H. V. Maía La tranformación d Laplac 3. DEFINICION DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE DEFINICION: Sa f una función dfinida n [, ), xcpto a lo umo n un conjunto dicrto. Conidér la intgral impropia t f ( t) dt, dond una variabl complja. Si xit un conjunto (no vacío) d valor d la variabl para lo cual la intgral convrgnt, dfinirá n conjunto una función F d la variabl complja. En tal cao dic qu f tranformabl Laplac, y la función F aí dfinida llamada tranformada d Laplac d f, imbolizándola inditintamnt por L [ f ], L [ f ] ( ), o L [ f ( t )]. Aí, por dfinición, (.) L [ f ( t )] t f ( t) dt, para cada valor tal qu la intgral dl gundo mimbro convrg. S xaminan a continuación alguno cao impl, para lugo tudiar condicion qu agurn la xitncia d tranformada para cirta cla d funcion. EJEMPLO. Sa f ( t ) para todo t. Entonc b t dt b, i ( b ), i,. S dduc d to qu i R ( ), la intgral carc d límit para b, mintra qu i R ( ) >, la intgral convrg, y rulta

4 4 La Tranformación d Laplac H. V. Maía L [ ], R ( ) >. EJEMPLO. Sa f ( t ) a t. Entonc b t at dt b, ( a) ( i a, ( a) b ), i a. Análogamnt al cao antrior, i R ( ) a, la intgral divrg, mintra qu i R ( ) > a, la intgral convrg, y rulta L [ a t ] a, R ( ) > a. EJEMPLO 3. Sa f ( t ) co w t. Entonc b t co wt dt b ( w n wb co wb ) w w. Obviamnt, i R ( ), la intgral divrg, mintra qu i R ( ) >, xit límit dl gundo mimbro para b, rultando L [ co w t ] w, R ( ) >.

5 H. V. Maía La tranformación d Laplac 5 3. CONDICIONES DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En mucho cao poibl calcular la tranformada d Laplac d una función por mdio d la dfinición, como hizo n lo jmplo antrior. Sin mbargo, ncario tudiar condicion qu agurn la xitncia d la tranformada d una función f dada, pu rultará útil conidrar a L como un oprador linal d un pacio vctorial n otro. Un análii inicial d (.) indica qu una condición qu dbrá r cumplida por la función f qu la intgral (3.) b t f ( t) dt xita para todo valor d b >. Eta xigncia vrificada cuando f ccionalmnt continua n [, ), ya qu n t cao l intgrando d (3.) también lo, y n concuncia la intgral xit. Obérv qu ta condición uficint para la xitncia d la intgral (3.), aunqu no ncaria, dado qu xitn funcion intgrabl qu no on ccionalmnt continua. No obtant llo, trabajará habitualmnt con l conjunto d la funcion ccionalmnt continua pu con o cubr la mayoría d lo cao qu habrán d conidrar. En lo ucivo, cada vz qu haga rfrncia a una propidad válida para todo t a, dbrá ntndr como válida para todo lo valor dl intrvalo [ a, ), n lo qu la función té dfinida. Convin rcordar qu l conjunto d valor dl intrvalo [, ) n lo cual la función puda no tar dfinida rá, a lo umo, un conjunto dicrto.

6 6 La Tranformación d Laplac H. V. Maía Proiguindo con l análii, nót qu la ccional continuidad d f no alcanza para garantizar la xitncia d L [ f ], ya qu admá la intgral impropia dbrá r convrgnt al mno para un conjunto (no vacío) d valor d la variabl. Una forma d agurar to xigir qu l valor aboluto dl intgrando té "mayorado" por alguna función intgrabl y poitiva cuya intgral impropia a convrgnt. Eta ida tablc con prciión n la dfinición iguint. DEFINICION: S dic qu una función f d ordn xponncial n [, ), i xitn contant ral C, a, con C >, tal qu (3.) f ( t ) C a t, para todo valor d t n qu la función té dfinida. Por jmplo, la función contant f ( t ) k d ordn xponncial n [, ), pu cumpl la condición (3.) con C k y a. También lo f ( t ) t, ya qu atifac (3.) con C y a. E vidnt qu una función xponncial d ordn xponncial, aí como toda función acotada n l intrvalo [, ). E fácil probar qu la uma, combinación linal, y producto d funcion d ordn xponncial, on también funcion d ordn xponncial, y la dmotración d ta propidad propon como un jrcicio. En ba a ta conidracion, dduc fácilmnt qu funcion como t n, a t, co w t, n w t, t n a t co w t, t n a t n w t, qu aparcn habitualmnt al tratar con cuacion difrncial linal con coficint contant, on d ordn xponncial.

7 H. V. Maía La tranformación d Laplac 7 En cambio, la función f ( t ) t, no d ordn xponncial n [, ), porqu lim t t at lim t t( t a), cualquira a l valor a, lo qu mutra qu no xitn contant C, a, qu hagan vrificar la digualdad (3.) para tal función. El torma qu igu agura la xitncia d tranformada d una cla d funcion uficintmnt amplia para lo uo corrint d la tranformación d Laplac. TEOREMA 3. Si f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), xit un númro ral a tal qu u intgral d Laplac t f ( t) dt convrg para todo valor tal qu R ( ) > a. Dmotración: Por hipóti, f d ordn xponncial n [, ), por lo qu xitn contant ral C, a, tal qu Entonc f ( t ) C a t, para todo valor d t. t f ( t ) R ( ) t f ( t ) C R ( ) t a t C ( R ( ) a ) t, para todo t. Admá C ( R( ) a) t dt lim b b C ( R( ) a) t dt lim C ( ( R( ) a) b ), b R( ) a

8 8 La Tranformación d Laplac H. V. Maía o a C ( R( ) a) t dt C R ( ) a, i R ( ) > a. Uando ahora l torma d comparación para intgral impropia, dduc qu t f ( t) dt convrg para todo valor tal qu R ( ) > a. OBSERVACIONES:. El Torma 3. no ólo pruba qu toda función ccionalmnt continua y d ordn xponncial tranformabl Laplac, ino admá qu l dominio d u función tranformada contin un miplano d la forma { : R ( ) > a }.. Nót qu, por uo dl torma d comparación para intgral impropia, rulta no ólo la convrgncia d la intgral d Laplac, ino también u convrgncia aboluta cuando R ( ) > a, vrificándo admá qu (3.3) L [ f ]( ) t f ( t ) dt C, R( ) a para cada tal qu R ( ) > a. D la obrvacion antrior dduc qu i f ccionalmnt continua y d ordn xponncial, l conjunto d A d númro ral a tal qu la intgral d Laplac d f convrg para todo valor tal qu R ( ) > a, no vacío. Exitn do cao poibl: ( i ) Qu la intgral a convrgnt para todo valor d ; o ( ii ) Qu xitan valor d para lo cual la intgral divrg. En t cao, indicando con α al ínfimo

9 H. V. Maía La tranformación d Laplac 9 dl conjunto A, no difícil probar qu la intgral d Laplac d la función f divrg para todo valor tal qu R ( ) < α. El torma qu igu rum ta conidracion, y u dmotración proputa como un jrcicio. TEOREMA 3. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ). Si la intgral d Laplac d f divrg para algún valor d, xit un único númro ral α con la propidad d qu la intgral d Laplac d f abolutamnt convrgnt para todo valor tal qu R ( ) > α, y divrgnt para todo valor tal qu R ( ) < α. OBSERVACIONES:. Nót qu, con la poibl xcpción d la rcta d cuación R ( ) α, l dominio d L [ f ] l miplano { : R ( ) > a }. Por t motivo l númro ral α llamado abcia d convrgncia d L [ f ]. Para cirta funcion, como por jmplo, f ( t ), o f ( t ) t, la rgión d convrgncia rulta r todo l plano compljo. En tal cao, dirá qu la abcia d convrgncia d f.. La concluion antrior garantizan la xitncia d tranformada d toda función ccionalmnt continua y d ordn xponncial. Db tnr n cunta qu ta condicion on uficint, aunqu no ncaria para la xitncia d tranformada, ya qu hay funcion tranformabl qu no on continua y/o no on d ordn xponncial. Por jmplo, la función f ( t ) t / tranformabl aún cuando no ccionalmnt continua. En fcto, mdiant l uo dl torma d comparación no hay dificultad para probar la convrgncia d u intgral d Laplac para todo valor d tal qu R ( ) >. Má aún, mdiant l cambio d variabl t x /, rulta

10 La Tranformación d Laplac H. V. Maía L [t / ] t dt t ² d x x π, para cada tal qu R ( ) >. La función f ( t ) t / dl jmplo no ccionalmnt continua. S propon como jrcicio ncontrar un jmplo d una función tranformabl Laplac qu a ccionalmnt continua y no a d ordn xponncial n [, ). Como concuncia d todo lo xputo, rulta qu l conjunto E d toda la funcion ccionalmnt continua y d ordn xponncial, un ubconjunto propio dl conjunto d toda la funcion tranformabl Laplac. No ncillo dtrminar con xactitud t conjunto, y no abordará t problma, trabajándo habitualmnt con l conjunto E por r lo uficintmnt amplio para lo uo corrint.

11 H. V. Maía La tranformación d Laplac 4. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL El conjunto E d toda la funcion ral ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), con la uma y l producto por calar dfinido d la manra uual, un pacio vctorial ral. Llám con S al conjunto d toda la funcion complja cuyo dominio un miplano d la forma { : R ( ) > a }, indo a un númro ral cualquira, o bin todo l plano compljo. El conjunto S también pud r conidrado como un pacio vctorial ral, pro para llo db modificar la dfinición habitual d igualdad con l objto d poibilitar la uma ntr u lmnto, ya qu no toda la funcion d S tinn l mimo dominio. Aí, dirá qu do funcion F, G, prtncint al conjunto S on igual i xit un númro ral a tal qu F ( ) G ( ) para todo valor tal qu R ( ) > a. (Obérv qu ta dfinición d igualdad difir d la habitual, qu xig qu amba funcion tngan l mimo dominio, y admá qu la igualdad vrifiqu n todo punto dl dominio común a amba). D t modo, i F y G prtncn a S, u función uma F G rá la función cuyo dominio la intrcción d lo dominio d F y d G, y admá ( F G )( ) para cada d a intrcción. E muy fácil vrificar qu con ta dfinicion, y l producto por calar dfinido n la forma uual, S un pacio vctorial. En ba a la concuncia dl Torma 3., pud afirmar qu L dfin una tranformación d E n S. E inmdiato vrificar qu la tranformación L linal, dcir qu (4.) L [ a f b g ] a L [ f ] b L [ g ], cualquira an lo númro ral a, b, y la funcion f, g, n E.

12 La Tranformación d Laplac H. V. Maía NOTA: Si no modificara la noción d igualdad n S dl modo indicado, urgirían alguna dificultad. En fcto, con la dfinición d igualdad uual, no impr L [ f g ] la mima función qu L [ f ] L [ g ]. Ea difrncia pud aprciar conidrando, por jmplo, l cao n qu g ( t ) f ( t ), y indo la abcia d convrgncia d la función f un númro ral a. En tal cao L [ f ( f )] L [ ] para todo, mintra qu L [ f ] L [ f ] para todo valor d tal qu R ( ) > a, pro no tá dfinida i R ( ) a. E dcir qu lo dominio d L [ f ( f )] y d L [ f ] L [ f ] on ditinto, y n concuncia, con la dfinición uual d igualdad, tal funcion on difrnt. Similar difrncia rulta n l cao d multiplicar una función f por l númro. Ea dificultad on obviada con la dfinición d igualdad adoptada n S, y d la linalidad d la intgral impropia concluy la validz d la igualdad (4.) n todo lo cao. Una vz probada la linalidad d la tranformación L : E S, d umo intré dtrminar i L biyctiva, con l objto d intntar dfinir una tranformación invra. Un planto quivalnt a ét tudiar la xitncia y la unicidad d olucion d la cuación funcional (4.) L [ y ] F ( ), dond F una función dada d S, y ( t ) la función incógnita. Primramnt cab obrvar qu n cao d xitir olución para la cuación (4.), éta tndrá infinidad d olucion, ya qu i f y g on funcion d E qu difirn n u valor n un conjunto dicrto, ntonc L [ f ] L [ g ]. Sin mbargo, aunqu tal funcion on ditinta, n ralidad on "muy parcida", ya qu únicamnt difirn n punto ailado. Si éta rultara r la mayor difrncia qu pudira xitir ntr la

13 H. V. Maía La tranformación d Laplac 3 olucion d la cuación (4.), podría conidrar qu, para lo fin práctico, la tranformación L inyctiva. El torma iguint, conocido como torma d Lrch, y qu no rá dmotrado, agura qu llo aí, tablcindo una d la propidad má important d la tranformación d Laplac. Una pruba d t torma pud ncontrar n CARSLAW, H.S. y JAEGGER, J.C. []; PARODI, M. []; o REY PASTOR, J., PI CALLE- JA, P. y TREJO, C.A. []. TEOREMA 4. San f, g, funcion ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), tal qu L [ f ] ( ) L [ g ] ( ) para todo qu vrifica R ( ) > a. Entonc f ( t ) g ( t ) para todo t, xcpto a lo umo n lo punto d dicontinuidad d amba funcion. Como concuncia dl torma d Lrch, pud dcir qu n l cao n qu la cuación (4.) admita olución para y, tal olución habrá d r "ncialmnt" única. Dando má prciión a to, i modifica la dfinición d igualdad n E tablcindo qu do funcion f, g, d E on igual i coincidn para todo t, xcpto a lo umo n u punto d dicontinuidad, podrá dcir qu tal olución d (4.) única (Quin qu poa conociminto d tructura algbraica rconocrá qu ta prntación rpond a dfinir n E una rlación d quivalncia, como ant hizo d modo análogo n S.). Ea olución d la cuación (4.) llamada antitranformada d Laplac o tranformada invra d Laplac d F, imboliza con L [ F ], y caractriza por (4.3) L [ F ] y L [ y ] F.

14 4 La Tranformación d Laplac H. V. Maía Otra concuncia important dl torma d Lrch qu i la cuación (4.) admit una olución continua n [, ), ntonc cualquir otra olución d la mima rá dicontinua; má prciamnt, tndrá únicamnt dicontinuidad vitabl n l intrvalo [, ). Eto quival a afirmar qu i f y g on funcion continua y d ordn xponncial, ntonc L [ f ] L [ g ] f ( t ) g ( t ) para todo t. Rta ahora tudiar i la tranformación L obryctiva. Eto quivalnt a dtrminar i toda función d S tranformada d alguna función d E, dcir i la cuación funcional (4.) tin olución n E para cada F dada d S. La rputa ngativa, como concuncia dl torma qu igu. TEOREMA 4. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a F ( ) L [ f ] ( ). Entonc (4.4) lim F( ). R( ) Dmotración: Lo proputo dduc inmdiatamnt d la digualdad (3.3), qu obtuvo como concuncia dl Torma 3.. La propidad tablcida n t torma prmit agurar qu l oprador L no obryctivo dado qu xitn funcion d S, como,, co, / ( ), tc., qu no vrifican la condición (4.4), y por lo tanto no pudn r imágn d ninguna función d E.

15 H. V. Maía La tranformación d Laplac 5 No no proponmo idntificar xactamnt l ubconjunto d funcion d S qu admitn antitranformada, y no poibl dcribirlo d un modo ncillo. No obtant, fácil vrificar qu l oprador antitranformada linal, dcir qu i F y G on do funcion tal qu xitn L [ F ] y L [ G ], ntonc L [ a F b G ] al [ F ] bl [ G ], cualquira an lo númro ral a, b. Finalmnt, cab dtacar qu l cumpliminto d (4.4) una condición ncaria, pro no uficint para qu una función d S a tranformada d alguna función d E. Eto rulta d obrvar qu xitn funcion d S qu aunqu vrifican la condición (4.4), no atifacn (3.), como por jmplo F ( ). En concuncia, una función d ta cla no pud r imagn d ninguna función d E, o quivalntmnt, n cao d admitir antitranformada, éta no rá una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ).

16 6 La Tranformación d Laplac H. V. Maía 5. TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES En l párrafo, lugo d dfinir la tranformación d Laplac, furon calculada la tranformada d alguna funcion hacindo uo d la dfinición. En forma imilar dducn la fórmula lmntal qu igun, cuya dmotracion proponn como jrcicio. (5.) L [ t ], R ( ) >. (5.) L [ n w t ] w w, R ( ) >. (5.3) L [ t n ] n! n, R ( ) >, ( n N ). Hacindo uo d la linalidad dl oprador L, obtnmo (5.4) L [ coh a t ] L [ ( a t a t ) / ] ( L [ a t ] L [ a t ] ) ( ) a a a, R ( ) > a. Trabajando d modo análogo, rulta (5.5) L [ nh a t ] a a, R ( ) > a. Pud formar aí una primra tabla d tranformada d Laplac d funcion lmntal, qu naturalmnt pud uar también d modo invro, como una tabla lmntal d antitranformada. En lla notamo con F ( ) L [ f ( t )], y rcíprocamnt rá f ( t ) L [ F ( )].

17 H. V. Maía La tranformación d Laplac 7 T A B L A f ( t ) F ( ) f ( t ) F ( ) a t a t co w t w t 3 w n w t w t n a t n! n a coh a t a nh a t a a La propidad d linalidad d la tranformación d Laplac prmit xtndr l uo d lo rultado d la Tabla para calcular la tranformada d cualquir combinación linal d funcion qu ncuntrn n la mima. También pudn calcular por t mdio, antitranformada d funcion n alguno cao impl. EJEMPLO. Calcular la tranformada d Laplac d f ( t ) 5 t 4 n 3 t. L [ 5 t 4 n 3 t ] 5 L [ t ] 4 L [ n 3 t ] ( 9) 45.

18 8 La Tranformación d Laplac H. V. Maía EJEMPLO. Calcular la tranformada invra d F ( ) 5 / 4. L [ 5 / 4 ] 5 L [ 3!/ 4 ] 5 t 3. 3! 6 EJEMPLO 3. Calcular la tranformada invra d F ( ) 8 3. Dcomponindo la xprión d F ( ) n fraccion impl, L [ 8 ] ] 3 L [ t 5 t. EJERCICIOS. Dmotrar la validz d la fórmula (5.), (5.) y (5.3).. Utilizando la fórmula d la Tabla, calcular la tranformada d Laplac d cada una d la funcion iguint, y dtrminar n cada cao la abcia d convrgncia. a. f ( t ) a b t c t d t 3 b. f ( t ) a t c. f ( t ) a t d. f ( t ) a t a t. f ( t ) f. f ( t ) g. f ( t ) at bt, a b a b a at bt b, a b a b co wt w

19 H. V. Maía La tranformación d Laplac 9 h. f ( t ) co wt co at a w, a w i. f ( t ) a n wt w n at a w( a w ), a w j. f ( t ) wt n wt 3 w 3. Calcular L [ F ( ) ] n cada uno d lo iguint cao. a. F ( ) b. F ( ) 7 c. F ( ) d. F ( ) 9 5. F ( ) 7 3 f. F ( ) 5 3 g. F ( ) 6 6 h. F ( ) 3 6

20 La Tranformación d Laplac H. V. Maía 6. CALCULO DE TRANSFORMADAS POR DERIVACION La propidad qu tablc l torma iguint prmitirá calcular la tranformada d t n f ( t ) cuando conocida L [ f ( t )]. TEOREMA 6. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a F ( ) L [ f ( t )]. Entonc (6.) L [ t f ( t )] F '( ). Má gnralmnt (6.) L [ t n f ( t )] ( ) n F ( n ) ( ). Dmotración: Nót qu por r f ( t ) una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial, también lo t n f ( t ). El rultado rá obtnido drivando ambo mimbro d F ( ) t f ( t) dt. Pud probar qu la función t f ( t ) y u drivada parcial rpcto d, atifacn condicion uficint para podr agurar qu F ( ) analítica n l miplano { : R ( ) > a }, indo α la abcia d convrgncia d L [ f ], y también qu u drivada uciva pudn obtnr drivando bajo l igno intgral n l gundo mimbro d la igualdad antrior (S omit la dmotración d lo afirmado). Entonc F '( ) d d t f ( t ) dt ( t f ( t )) dt t ( t) f ( t) dt L [ t f ( t )],

21 H. V. Maía La tranformación d Laplac lo qu pruba la validz d (6.). La fórmula (6.) obtin fácilmnt por aplicación dl principio d inducción matmática. En término d antitranformada, la fórmula (6.) y (6.) on quivalnt rpctivamnt a (6.3) L [ F '( )] t L [ F ( )], (6.4) L [ F ( n ) ( )] ( ) n t n L [ F ( )]. EJEMPLO. Calcular la tranformada d Laplac d f ( t ) t n w t. L [ t n w t ] d L [ n wt ] d w d d w S obtin, como concuncia d to qu L [ ] t wt ( w ) w n. w ( w ). EJERCICIOS. Calcular por drivación d alguna función tranformada conocida, la tranformada d Laplac d cada una d la funcion iguint. a. f ( t ) t co w t b. f ( t ) t coh a t c. f ( t ) t nh a t d. f ( t ) t a t. Utilizando rultado obtnido antriormnt, calcular la tranformada d f ( t ) n cada uno d lo cao iguint.

22 La Tranformación d Laplac H. V. Maía a. f ( t ) n w t w t co w t b. f ( t ) nh a t a t coh a t c. f ( t ) 4 a t a t d. f ( t ) w n w t a t n w t. f ( t ) at ( ( a b ) t ) ( a b ) bt

23 H. V. Maía La tranformación d Laplac 3 7. TRANSFORMADAS DE DERIVADAS E INTEGRALES Hata aquí ha tratado cai xcluivamnt l problma d ncontrar tranformada d alguna funcion lmntal. Sin mbargo, para cualquira d u aplicacion, imprcindibl tudiar propidad d la tranformada d Laplac. En t párrafo rán dducida do d lla, d fundamntal importancia para la aplicacion, qu prmitn xprar la tranformada d la drivada y d la intgral d una función f ccionalmnt continua y d ordn xponncial, n término d L [ f ]. TEOREMA 7. Sa f una función continua n (, ), cuya función drivada f ' ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ). Entonc f d ordn xponncial. Dmotración: Sindo f ' d ordn xponncial n [, ), xitn númro ral poitivo C, a, tal qu C a x f '( x ) C a x, para todo x >. Como concuncia d la hipóti, f rá continua por drcha n, o dbrá xitir u límit latral por drcha. Por lo tanto, intgrabl y pud utilizar l torma d Barrow, rultando t C a x d x t f ' ( x) d x t C a x d x, y llamando con K C / a, E dcir qu K ( a t ) f ( t ) f ( ) K ( a t ) f ( t ) f ( ) K ( a t ) K a t,

24 4 La Tranformación d Laplac H. V. Maía para todo t. Eto dmutra qu f ( t ) f ( ) d ordn xponncial, por lo cual también lo f ( t ). COROLARIO. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a g la función dfinida por g ( t ) t a f ( x) d x, para cada t, indo a. Entonc la función g continua y d ordn xponncial n [, ). Dmotración: Por r f ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), g continua, y u drivada g ' f, por lo qu g ' ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ). Aí ntonc, g vrifica la hipóti dl Torma 7., y por lo tanto d ordn xponncial. Etablcido to rultado, tá n condicion d dmotrar la important propidad qu igun. TEOREMA 7. Sa f una función continua n (, ), cuya función drivada f ' ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a F ( ) L [ f ] ( ). Entonc (7.) L [ f ' ] ( ) F ( ) f ( ).

25 H. V. Maía La tranformación d Laplac 5 Dmotración: Como f atifac la hipóti dl Torma 7., pud agurar qu d ordn xponncial, y n concuncia xit u tranformada. Intgrando por part, rulta L [ f '] ( ) t f '( t) dt t d f ( t) ( t f ( t)) ( t f ( t)) F ( ). t f ( t) dt Sindo f d ordn xponncial, tndrá qu i R ( ) uficintmnt grand, t f ( t ) cuando t. Aí, para tal valor d, ( t f ( t)) lim ( t f ( t )) t lim ( f ( t)) t t f ( ), Y utituyndo to n l último mimbro d la digualdad antrior, obtin lo proputo. El rultado probado xtind fácilmnt a tranformada d drivada d ordn uprior, n l corolario qu igu. COROLARIO. Si f, f ',..., f ( n ) on continua n (, ), y f ( n ) ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), ntonc (7.) L [ f ''] ( ) F ( ) f ( ) f '( ).... (7.3) L [ f ( n ) ] ( ) n F ( ) n f ( ) n f '( )... f ( n ) ( ).

26 6 La Tranformación d Laplac H. V. Maía Dmotración: Uando la fórmula (7.) n forma ritrada, obtin L [ f '' ] ( ) L [ ( f ' ) ' ] ( ) L [ f ' ] ( ) f '( ). ( F ( ) f ( ) ) f '( ). F ( ) f ( ) f '( ). Finalmnt, la fórmula (7.3) pruba fácilmnt por aplicación dl principio d inducción matmática. EJEMPLO. Calcular la tranformada d Laplac d f ( t ) n w t, a partir d la tranformada d co w t. Uando la fórmula (7.), tin qu L [ n w t ] L [ D ( co w t )] ( L [ co w t ] co ) w w ( ) w w w w, R ( ) >. EJEMPLO. Calcular la tranformada d f ( t ) t n, ( n N). Como D n t n n!, tin qu L [ D n t n ] L [ n!] n! L [ ] n!. Admá, d la fórmula (7.3) rulta L [ D n t n ] n L [ t n ] n... n L [ t n ]. En concuncia n L [ t n ] y por lo tanto n! para cada n N,

27 H. V. Maía La tranformación d Laplac 7 L [ t n ] n! n, R ( ) >. NOTA: La fórmula (7.) no válida n l cao n qu la función f tin dicontinuidad n [, ), y ufr modificacion qu l agrgan término por cada alto finito qu tnga la función f (Vr Ejrcicio 4 d t párrafo). A continuación rán dducida para tranformada d intgral, fórmula análoga a la vita para tranformada d drivada. TEOREMA 7.3 Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), a, y a F ( ) L [ f ] ( ). Entonc t a (7.3) L [ f ( x) d x] ( F ( ) a f ( x) d x ). Dmotración: Por l corolario dl Torma 6, g ( t ) d ordn xponncial. Intgrando por part, tin t a f ( x) dx continua y t a L [ f ( x) d x] t t ( f ( x) d x ) dt a ( t t a f ( x) d x ) t f ( t) d t. Como t t f ( x) d x d ordn xponncial, t f ( x) d x cuando t, i a R ( ) uficintmnt grand. En concuncia, a

28 8 La Tranformación d Laplac H. V. Maía t a L [ f ( x) d x] F ( ) a f ( x) d x ( F ( ) a f ( x) d x ). En la mayor part d la vc n qu aparcn intgracion, l valor d a, n cuyo cao la fórmula (7.4) toma la forma particular má impl t (7.5) L [ f ( x) d x] F ( ). Aunqu n l uo d tranformada d Laplac, n caa oportunidad urg la ncidad d uar intgral itrada, la fórmula (7.4) y (7.5) admitn quivalnt para tal cao. En l corolario qu igu formulan la mima, y u dmotración propon como un jrcicio. COROLARIO. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a F ( ) L [ f ] ( ). Entonc t (7.6) L [ dt dt... f ( t) dt ] F ( ) f ( t) dt n n a t a n vc t a a a dt t f ( t) dt n a... a dt t a dt... t a f ( t) dt. (n ) vc t t (7.7) L [ dt dt... f ( t) dt ] F ( ) n vc t n

29 H. V. Maía La tranformación d Laplac 9 EJEMPLO 3. d intgración. Calcular la tranformada d Laplac d f ( t ) t a t, uando la fórmula Sindo t x ax d x a t at, a a a t por aplicación d (7.5), rulta [ t at ] L L [ t a t at a ] [ t t ] a a a a L a a a. Y xplicitando L [ t a t ], obtin finalmnt L [ t a t ] ( a ). La fórmula dducida hata ahora prmitirían prntar alguno uo d la tranformación d Laplac. Sin mbargo, lo conociminto on aún algo limitado como para rolvr problma con cirto grado d agilidad. Por ta razón, n lo do párrafo iguint tudiarán otra propidad ant d motrar alguna aplicacion. EJERCICIOS. Hallar la tranformada d Laplac d f ( t ) n cada uno d lo iguint cao. a. f ( t ) n ( t a ) b. f ( t ) ( t a ) n c. f ( t ) t n w t d. f ( t ) t a t. f ( t ) t co w t f. f ( t ) n w t. Utilizar la fórmula d tranformada d drivada para hallar la tranformada d Laplac d f ( t ) a t n w t.

30 3 La Tranformación d Laplac H. V. Maía 3. Calcular la tranformada d f ( t ) co w t. 4. Supónga qu la función f n l Torma 7 tin una dicontinuidad d tipo alto finito n a ( a > ). Dmotrar qu L [ f '] ( ) F ( ) f ( ) a ( f ( a ) f ( a ) ). 5. Dmotrar la fórmula (7.6) para l cao n.

31 H. V. Maía La tranformación d Laplac 3 8. EL PRIMER TEOREMA DE TRASLACION El uo d la tranformación d Laplac para la rolución d problma d valor inicial, rquir abr ncontrar la tranformada invra d una función F ( ), qu frcuntmnt una función racional. En tal cao, un método práctico conit n dcomponr la xprión d F ( ) n fraccion impl, rprntándola como una uma n la qu puda rconocr la antitranformada d cada umando mdiant l uo d cirta fórmula. Una d tal fórmula proporcionada por l llamado primr torma d tralación, qu rfir al fcto d una tralación d coordnada n la función imagn. El corolario d t torma d gran utilidad para l cálculo d antitranformada. TEOREMA 8. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a F ( ) L [ f ] ( ). Entonc (8.) L [ a t f ( t )] F ( a ). Dmotración: Si f ( t ) ccionalmnt continua y d ordn xponncial, pud agurar qu a t f ( t ) también lo. Entonc L [ a t f ( t )] t at f ( t) dt F ( a ). ( a ) t f t ) ( dt Una concuncia important dl primr torma d tralación la fórmula qu obtin dl mimo al plantarla n término d antitranformada, y qu nuncia como corolario.

32 3 La Tranformación d Laplac H. V. Maía COROLARIO. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a f ( t ) L [ F ( ) ]. Entonc (8.) L [ F ( a ) ] a t f ( t ). EJEMPLO. Hallar la tranformada d f ( t ) a t co w t. Como L [ co w t ] w, uando la fórmula (8.), rulta L [ a t co w t ] a. ( a) w EJEMPLO. Hallar la antitranformada d F ( ) Nót qu l dnominador tin do raíc complja, por lo qu no factibl dcomponr a F ( ) como uma d fraccion impl cuyo dnominador an ral y linal. En to cao, con l objto d utilizar la fórmula (8.), convin xprar la fracción n término d ( a ), ligindo un valor adcuado d a. Eto conigu compltando un cuadrado n l dnominador y modificando l numrador, como igu ( ) 5 ( ) 9 ( ) ( ) 3 Obrvmo qu L [ ] t L [ ( ) 3 3 ] t co 3 t, y L [ 3 ] t L [ 3 ( ) 3 3 ] t n 3 t.

33 H. V. Maía La tranformación d Laplac 33 En concuncia L [ 9 ] t 5 co 3 t t n 3 t EJERCICIOS. Uando la fórmula dl primr torma d tralación hallar la tranformada d Laplac d f ( t ) n cada uno d lo iguint cao y vrificar l rultado obtnido mdiant otro procdiminto. a. f ( t ) t a t b. f ( t ) t a t c. f ( t ) a t n w t d. f ( t ) a t co w t. f ( t ) a t nh b t f. f ( t ) a t coh b t g. f ( t ) t a t n w t h. f ( t ) t a t co w t i. f ( t ) t a t nh b t j. f ( t ) t a t coh b t. Motrar qu i L [ f ( t )] F ( ), ntonc: a. L [ f ( t ) coh a t ] ( F ( a ) F ( a ) ) b. L [ f ( t ) nh a t ] ( F ( a ) F ( a ) ) c. L [ f ( t ) co w t ] ( F ( i w ) F ( i w ) ) d. L [ f ( t ) n w t ] ( F ( i w ) F ( i w ) )

34 34 La Tranformación d Laplac H. V. Maía 9. EL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION El primr torma d tralación tablc qu a una multiplicación d la función objto por una función xponncial, l corrpond una tralación n l dominio d u tranformada. A continuación rá fctuada dducción análoga para la multiplicación d la tranformada por una función xponncial, qu gún vrá, corrpond a una tralación n l dominio d la función objto. En lo qu igu llamará función calón unitario a la función H dfinida por (9.) H ( t ), i t <,, i t. Si a númro no ngativo, indicará con H a ( t ) a la función calón unitario dplazada n a unidad hacia la drcha. Má prciamnt, (9.) H a ( t ), i t < a,, i t a. Obérv qu H a ( t ) H ( t a ), y qu H ( t ) H ( t ). y H ( t ) y H a ( t ) t a t FIGURA 9- Convin dtacar qu para cai todo lo fin práctico, carcn d importancia lo valor aumido por una función n u punto d dicontinuidad, y particularmnt para una función calón, irrlvant u valor n u único punto d dicontinuidad.

35 H. V. Maía La tranformación d Laplac 35 Eto db a qu n la aplicacion, l fcto producido por una xcitación n un itma fíico no dpnd d un valor puntual. (Rcuérd qu i do funcion ccionalmnt continua difirn únicamnt n un conjunto dicrto d punto, u intgral n cualquir intrvalo on igual). La función calón pcialmnt útil para dar xprion compacta d cirta funcion qu tinn una ly "ncilla" por tramo. Por jmplo, a f ( t ), i t < a, ( t a ), i t a. a t FIGURA 9- Entonc Obérv qu i f ( t ) H a ( t ) ( t a ) H ( t a ) ( t a ) < a < b, rulta H ( t a ) H ( t b ), i t < a o t b,, i a t < b. a b t FIGURA 9-3

36 36 La Tranformación d Laplac H. V. Maía Et pulo rctangular d amplitud unitaria, qu xpra como la difrncia d do calon dplazado, y cuya gráfica indica n la Figura 9-3, pud uar para dar una ly ncilla d cirta funcion qu "cambian" u xprión impl por tramo. Por jmplo, a f la función cuya gráfica la qu ilutra n la Figura 9-4. t FIGURA 9-4 La función f xprada analíticamnt por (9.3) f ( t ), i t <, t, i t <, t, i t <, t, i t. Entonc pud cribir (9.4) f ( t ) t (H ( t ) H ( t )) ( t ) (H ( t )) H ( t )) ( t ) H ( t ) t H ( t ) ( t ) H ( t ) ( t ) H ( t ) Para cirto cálculo, ta forma d xprión compacta d f ( t ) má útil qu la xprión por tramo dada por (9.3). Como obrvación gnral, la xprión g ( t ), i t < a, f ( t a ), i t a,

37 H. V. Maía La tranformación d Laplac 37 dfin una función g cuya gráfica obtnida mdiant una tralación d la gráfica d f n a unidad hacia la drcha, y a la cual l aigna l valor para todo valor d t mnor o igual qu a. (Figura 9-5). y f ( t ) y g ( t ) t a t FIGURA 9-5 E convnint rmarcar qu funcion dfinida d t modo on d particular importancia n la aplicacion, ya qu u uo imprcindibl cada vz qu conidran itma fíico (léctrico, mcánico, tc.) n lo cual cirta xcitacion, como tnion, corrint, furza, tc., aplican o quitan abruptamnt a partir d cirto intant a >. En tal cao, la intrprtación qu corrpond al valor a rá la d un rtardo o rtrao n l timpo. El torma qu motrará a continuación, llamado gundo torma d tralación, proporciona una fórmula para la tranformada d funcion d ta cla. TEOREMA 9. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), y a a >. Entonc (9.5) L [ H ( t a ) f ( t a ) ] a L [ f ( t )].

38 38 La Tranformación d Laplac H. V. Maía Dmotración: L [ H ( t a ) f ( t a )] t H ( t a) f ( t a) dt t f ( t a) dt Efctuando n ta última intgral la utitución x t a, obtin L [ H ( t a ) f ( t a )] x ( a) f x ) ( d x a x f ( x) d x a L [ f ( t )]. a Una concuncia important dl gundo torma d tralación la fórmula qu obtin dl mimo al plantarla n término d antitranformada, y qu nuncia como corolario. COROLARIO. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ), a >, y a f ( t ) L [ F ( ) ]. Entonc (9.6) L [ a F ( ) ] H ( t a ) f ( t a ). EJEMPLO. Hallar la tranformada d g ( t ) H ( t a ) co w t. L [ H ( t a ) co w t ] L [ H ( t a ) co w ( t a a ) ] a L [ H ( t a ) co w ( t a ) ] L [ H ( t a ) ( co w a co w ( t a ) n w a n w ( t a ) ) ] a L [ co w a co w t n w a n w t ] a ( co w a L [ co w t ] n w a L [ n w t ] ) a co wa w n wa w

39 H. V. Maía La tranformación d Laplac 39 EJEMPLO. Sa f la función dfinida por la fórmula (9.3). Calcular L [ f ( t )]. Sgún ha vito oportunamnt, f ( t ) pud r xprada hacindo uo d la función calón como n la fórmula (9.4), por lo qu L [ f ( t )] L [ t H ( t ) ( t ) H ( t ) ( t ) H ( t )] L [ t ] L [ t ] L [ t ] ( ). 4 EJEMPLO 3. Calcular L [ ]. 4 5 Llamando con f ( t ) L [ ], y uando (9.6), tin L [ ] H ( t 4 ) f ( t 4 ). 4 5 Utilizando l primr torma d tralación, rulta L [ ] 4 5 L [ ( ) ] En concuncia t L [ ] t n t. 4 L [ ] H ( t 4 ) ( t 4 ) n ( t 4 ). 4 5 EJEMPLO 4. Hallar la tranformada dl pulo d forma parabólica dfinido por f ( t ) t 6 t 8, i t < 4,, i t < ó t 4.

40 4 La Tranformación d Laplac H. V. Maía Siguindo l procdiminto dcrito antriormnt, pud xprar a f ( t ) n la forma f ( t ) ( t 6 t 8 ) ( H ( t ) H ( t 4 ) ) ( t 6 t 8 ) H ( t ) ( t 6 t 8 ) H ( t 4 ) ). Con l objto d utilizar l gundo torma d tralación, l primr umando dl gundo mimbro dbrá r xprado n potncia d ( t ), mintra qu l gundo umando dbrá xprar n potncia d ( t 4 ), para tnr d modo xprion d funcion cuya tranformada on conocida, pro dplazada n l mimo valor qu l valor n l cual tá dplazado l calón. Aí f ( t ) ( ( t ) ( t ) ) H ( t ) ( ( t 4 ) ( t 4 ) ) H ( t 4 ). Ahora la fórmula (9.5) aplicabl a cada umando, rultando L [ f ( t )] L [( ( t ) ( t ) ) H ( t ) ( ( t 4 ) ( t 4 ) ) H ( t 4 )] L [ t t ] 4 L [ t t ] ( ) 4 ( ). 3 3 A continuación, y por aplicación dl gundo torma d tralación, rá dducida una fórmula qu prmit calcular tranformada d funcion priódica mdiant una impl intgral dfinida. TEOREMA 9. Sa f una función ccionalmnt continua y d ordn xponncial n [, ). Si f priódica, d príodo fundamntal T ( T > ), ntonc (9.7) L [ f ( t )] t f ( t) dt. T T

41 H. V. Maía La tranformación d Laplac 4 Dmotración: Por dfinición, L [ f ( t )] t f ( t) dt T t f ( t) dt T t T ( n ) T f ( t) dt... nt t f ( t) dt... Efctuando la utitución t x n T n la n-éima intgral, para cada n N, y dbido a la priodicidad d la función f, obtin ( n ) T nt t T f ( t) dt ( x nt ) f ( x nt ) d x nt T x f ( x) d x. Por lo tanto, L [ f ( t )] T x T f ( x) d x T x f ( x) d x... nt T x f ( x) d x... ( T T... n T T... ) x f ( x) d x Si R ( ) >, la ri gométrica T T... n T... d razón T, rulta r convrgnt y u uma T la igualdad antrior, obtin finalmnt la fórmula (9.7).. Rmplazando to n EJEMPLO 5. Sa f la función cuya gráfica la onda rctangular d la Figura 9-6. Hallar u tranformada d Laplac.

42 4 La Tranformación d Laplac H. V. Maía A 3 4 t FIGURA 9-6 La función f priódica d príodo, por lo qu L [ f ( t )] t f ( t) dt A t dt A ( ) A ( ). EJERCICIOS. Dibujar la gráfica d f y hallar u tranformada n cada uno d lo cao iguint. a., i t <, b. t 6, i 3 t < 6, f ( t ) t, i t < 5, f ( t ) 8 t, i 6 t < 9, 3, i t 5., i t < 3 ó t 9. c. f ( t ) [ t ], indo [ t ] la part ntra d t. ( Sugrncia: Exprar [ t ] mdiant una ri d funcion calon ). d. f ( t ) n t.. Encontrar la xprión analítica d una onda dint d irra d valor máximo A, valor mínimo, y príodo T, uando para llo una ri d calon unitario. Hallar la xprión d u tranformada d Laplac.

43 H. V. Maía La tranformación d Laplac Encontrar la xprión analítica d una onda triangular d valor máximo A, valor mínimo, y príodo fundamntal T, uando para llo una ri d calon unitario. Hallar la xprión d u tranformada d Laplac. 4. Calcular L [ F ( ) ] n cada uno d lo iguint cao. a. F ( ). b. F ( ) ( ). 5 4 c. F ( ) a w.

44 44 La Tranformación d Laplac H. V. Maía. APLICACION A LA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LI- NEALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Mucho problma n Ingniría y n Fíica on rprntado mdiant modlo matmático qu involucran cuacion difrncial o íntgrodifrncial linal, o itma d cuacion d tal cla. Dpué d habr dfinido y tudiado propidad d la tranformación d Laplac y conocr método para calcular tranformada y tranformada invra d un conjunto d funcion rlativamnt amplio, no intramo n motrar aplicacion d u uo para dtrminar la rputa d itma linal omtido a la influncia d difrnt tipo d xcitación. El análii d itma linal uando l método d la tranformación d Laplac conit báicamnt d cuatro pao. Primro db ncontrar la cuación o cuacion difrncial o íntgro-difrncial qu dcribn l itma bajo conidración, mdiant l uo d la ly fíica a la cual rpond. Sgundo, aplicada la tranformación d Laplac a cada uno d lo término, incluyndo la funcion xcitacion, n la cuación o cuacion obtnida. Trcro, xplicita la tranformada d la función rputa n la cuación o itma d cuacion. Finalmnt, la función o funcion r-puta dbn r obtnida mdiant uo d la tranformación invra. La técnica para to tr último pao tán baada ncialmnt n lo rultado rfrnt a tranformada d drivada intgral, y d lo torma d dplazaminto, y u rpctivo corolario. A continuación paa a dcribir l uo d la propidad y técnica ant darrollada para rolvr alguno problma qu involucran cuacion difrncial o íntgro-difrncial con coficint contant. Como un primr jmplo fíico impl, conidér un curpo d maa m qu pud movr dlizándo horizontalmnt, vinculado a un rort y a un mcanimo amor-

45 H. V. Maía La tranformación d Laplac 45 tiguador. Por tratar d un moviminto puramnt tralatorio, la poición n cada intant dl curpo quda dtrminada por la d uno cualquira d u punto, como pud r u cntro d maa. k m c F ( t ) x ( t ) t FIGURA - La gunda ly d Nwton tablc qu n cada intant dbrá vrificar qu (.) m a Σ F. Supongamo qu l rort rpond con una furza d acurdo con la ly d Hook, o a proporcional a u longación, ya a tiraminto o comprión, qu l amortiguador rpond con una furza proporcional a la vlocidad, qu tanto l rozaminto como la ritncia dl mdio vicoo pudn dprciar, aí como otro rozaminto n l rort, amortiguador, tc., uponindo admá qu la maa d lo vínculo dprciabl. Sindo l moviminto rctilíno, la igualdad vctorial (.) quda rducida, n término d componnt, a una igualdad calar. Con rfrncia a la Fig. -, tin: m x '' F ( t ) k x c x ', o bin (.) m x '' c x ' k x F ( t ). Otro jmplo conit n tudiar l comportaminto d un circuito léctrico ncillo, computo por una funt d voltaj, y lmnto impl (ritor, inductor y ca-

46 46 La Tranformación d Laplac H. V. Maía pacitor). La rlacion voltaj-corrint para cada uno d o lmnto tán dada n la Tabla.. Conidrmo l circuito impl R-L-C ri d la Figura -. S i ( t ) L R C ( t ) FIGURA - S prtnd tudiar l comportaminto dl circuito, dcir ncontrar la xprión d i ( t ) lugo d crrar l intrruptor S n l intant t, uponindo qu l circuito tá inicialmnt rlajado, dcir qu no hay nrgía almacnada n u lmnto ractivo. La gunda ly d Kirchhoff tablc qu uma d la caída d tnión igual a la tnión aplicada, o a: u L ( t ) u R ( t ) u C ( t ) ( t ). Tnindo n cunta la xprion d cada una d la caída d tnión, y l hcho d qu la condicion inicial dada traducn n qu i ( ), q ( ), obtin la cuación íntgro-difrncial: (.3) L i ' R i C t i( τ ) dτ ( t ). E dcir qu l comportaminto dl circuito, o a la rlación qu vincula la tnión qu lo xcita con la rputa i ( t ) tá rprntado por una cuación íntgro-difrncial linal con coficint contant. En l cao n qu la tnión aplicada, xprada como

47 H. V. Maía La tranformación d Laplac 47 ( t ) a una función drivabl, drivando ambo mimbro d la cuación (.3) obtndría la cuación difrncial linal (.4) L i '' R i ' C i ' ( t ), qu al igual qu n l cao dl itma mcánico maa-rort-amortiguador una cuación difrncial linal con coficint contant qu on lo parámtro propio dl itma, y dond la función dl gundo mimbro rprnta la función xcitación dl itma, o u drivada. La mayor part d la vc, la tnión xcitación ( t ) una función no drivabl, má aún, frcuntmnt dicontinua, y n concuncia no poibl fctuar a última tranformación, por lo cual n la toría d circuito habitualmnt trabaja con cuacion íntgro-difrncial. Por ta razón, hará rfrncia principalmnt a la cuacion íntgro-difrncial, aunqu l trataminto para cuacion difrncial compltamnt análogo. El pao iguint conit n aplicar la tranformada d Laplac n ambo mimbro d la cuación (.3). Tnindo n cunta la linalidad dl oprador L y u propidad, tranformando ambo mimbro d (.3), tin: L L [ i '( t )] R L [ i ( t )] L [ C t i ) d ( τ τ ( t )] L [ ( t )] Llamando con: I ( ) L [ i ( t )] y E ( ) L [ ( t )], rulta: y xplicitando I ( ) obtin: L I ( ) R I ( ) C I ( ) E ( ), (.5) I ( ) L R C E ( ) o bin:

48 48 La Tranformación d Laplac H. V. Maía I ( ) L R L LC E ( ) Finalmnt, la rputa i ( t ) obtndrá antitranformando la xprión rultant n l gundo mimbro d (.6). Por jmplo, i R kω, L, H, C, µf, y ( t ) V (contant), o a la funt d voltaj una batría, tndrá: I ( ) Finalmnt, antitranformando rulta: i ( t ),47 ( 9798t t ). E convnint fctuar varia obrvacion important con rpcto al uo dl método d la tranformación d Laplac. OBSERVACIONES. Nót qu cuando tinn condicion inicial nula, la tranformada I ( ) d la rputa obtin implmnt multiplicando la tranformada E ( ) d la xcitación por la función Z ( ) L R. C Eta función Z ( ), cocint ntr la corrint (opracional) y la tnión (opracional) aplicada, llamada impdancia dl circuito.. En gnral, cuando n un itma fíico la rputa (opracional) y la xcitación (opracional) tán vinculada mdiant una multiplicación, la función H ( ), cocint ntr la rputa y la xcitación, llamada función tranfrncia. D llo inmdiato

49 H. V. Maía La tranformación d Laplac 49 qu la rputa dl itma obtin implmnt multiplicando la xcitación por la función tranfrncia (Simpr n término d funcion opracional). 3. La rputa ral, n término d la funcion objto, obtin antitranformando la rputa opracional. Obviamnt, imprcindibl n todo t proco tnr un hábil manjo d la propidad qu mncionaron al cominzo (torma d tranformación d drivada intgral, torma d dplazaminto, tc.), admá d una adcuada dtrza n la dcompoición d funcion racional n fraccion impl para podr antitranformar con agilidad. En rlación con la aplicación dl método para rolvr una cuación difrncial linal con coficint contant, convnint fctuar alguna comparacion con l método cláico. Aunqu la mima conidracion on válida para cuacion d ordn cualquira, por razon d implicidad no rfrirmo a una cuación d gundo ordn. Sa ntonc la cuación x '' a x ' b x f ( t ). Como abido, la olución gnral d ta cuación difrncial linal no homogéna, computa por toda u olucion particular, conit d una familia d funcion qu contin do contant arbitraria. En la aplicacion, frcunt conocr condicion inicial qu db cumplir la olución d un problma, to, valor qu db alcanzar la olución y u drivada para un mimo valor d la variabl indpndint. En tal cao, no cualquira d la funcion d la familia olución d la cuación olución dl problma. Por jmplo, n l cao dl itma maa-rort-amortiguador, la función qu da la poición n cada intant dpndrá d la poición ocupada por l curpo n l momnto n qu comnzó l contado d timpo (qu pud conidrar t o intant inicial), y también d u vlocidad n dicho intant. Eta do condicion, qu por tal ra-

50 5 La Tranformación d Laplac H. V. Maía zón on llamada matmáticamnt condicion inicial, dtrminarán cuál d la olucion particular d la cuación la olución dl problma. Para l modlo matmático d un itma mcánico conitnt d un péndulo, o d un péndulo d torión, o l d un circuito léctrico R-L-C ri o parallo, o para itma má complicado qu dan lugar a itma d cuacion difrncial o íntgro-difrncial, on válida imilar conidracion. Como abido, para rolvr una cuación difrncial linal no homogéna por l método cláico, db hallar primramnt la olución gnral d la cuación homogéna aociada, y lugo ncontrar una olución particular d la cuación no homogéna, qu dbrá r umada a la olución gnral d la cuación homogéna aociada. La olución dl problma obtndrá finalmnt dtrminando la olución particular tnindo n cunta la condicion inicial. El uo dl método cláico prnta n la aplicacion cirta dificultad d ordn práctico. En fcto, i la función f ( t ) no continua, o bin continua pro no d tipo polinómica, xponncial, o inuoidal, o uma d producto d funcion d a cla, rulta ncario fctuar cálculo batant ngorroo. A to agrga qu n mucho cao l modlo matmático d un itma fíico incluy cuacion o itma d cuacion íntgro-difrncial linal, plantándo l problma d dimnionar lmnto dl itma para optimizar u comportaminto. Ea ituacion xign ncontrar rputa dl itma para difrnt xcitacion, o para una mima xcitación pro con ditinta condicion inicial, n cuyo cao l método cláico rulta muy poco ágil. En la última década dl iglo XIX, l ingniro lctricita inglé Olivr Haviid [H], n tudio obr fnómno tranitorio n circuito léctrico, introdujo cirto método y mcanimo opratorio qu aunqu carcían d jutificación matmática, gnralmnt llvan a olucion corrcta. Et método, qu tranforma la rolución d problma qu involucran cuacion y itma d cuacion difrncial o íntgro-

51 H. V. Maía La tranformación d Laplac 5 difrncial n problma algbraico, fu conidrado n principio implmnt como un mdio práctico qu produc rultado coincidnt con lo ral. Su practicidad y u éxito provocó qu vario matmático ocuparan dl mimo. Aí, T. J. Bromwich [Br], J. R. C. Caron [Ca], y potriormnt K. W. Wagnr, lo jutificaron analíticamnt. Sin mbargo, fu G. Dotch [Do] quin lo vinculó con la tranformación d Laplac, y darrolló l método qu llva t nombr. Como tablció antriormnt, la ba dl método la contituyn lo rultado d la Scción 7, rfrnt a tranformada d drivada intgral, y l complmnto indipnabl para la aplicación a rolución d problma lo proporcionan lo rultado d lo Torma 8., 9. y 9., y u corolario. D llo concluy qu la aplicación d la tranformación d Laplac rduc la opracion d drivacion intgracion n la función objto, a impl multiplicacion o diviion por potncia d la variabl d la función imagn con l agrgado d término qu incluyn la condicion inicial. Eto prmit tranformar cuacion difrncial o íntgro-difrncial n impl cuacion algbraica d primr grado n la tranformada d la función incógnita, y n la cual la condicion inicial qudan incorporada al r aplicada la tranformación. Como un jmplo adicional, conidér la cuación dl mimo itma mcánico maa-rort, in amortiguador, ahora dprciando lo fcto d rozaminto. La cuación rá n t cao d la forma (.6) m x '' w x b ( t ), dond b ( t ) F ( t ) / m. Supongamo conocida la poición y la vlocidad n l intant t, dcir tndrmo como condicion inicial x ( ) x, x '( ) v. Tranformando como ant ambo mimbro d (.6), y tnindo n cunta la linalidad dl oprador L, tin

52 5 La Tranformación d Laplac H. V. Maía L [ x '' ] w L [ x ] L [ b ( t ) ]. Llamando con X ( ) L [ x ( t ) ], y B ( ) L [ b ( t ) ], rulta (.7) X ( ) x v w X ( ) B ( ), d dond obtin (.8) X ( ) x w v w w B ( ). En ta última xprión obrva qu l aport d lo do primro umando dl gundo mimbro db únicamnt a la condicion inicial, mintra qu l trcr umando corrpond xcluivamnt al fcto d b ( t ), qu proporcional a la xcitación F ( t ). Finalmnt, para dtrminar la rputa x ( t ), dbrá hallar la tranformada invra d X ( ). En l cao n qu b ( t ) A n a t, ( a w ), la igualdad (.7) toma la forma (.9) X ( ) x w v w A w a, y uando l rultado dl Ejrcicio 5. i., obtin x ( t ) x co wt v n wt A ( a n wt w n at ). w( a w ) El método dcrito pud utilizar para rolvr cuacion difrncial linal d coficint contant, pro no podrá aplicar n gnral cuando lo coficint an variabl porqu n tal cao dbría tranformar un producto d funcion, y xcpto alguno cao muy particular, no xitn fórmula para la tranformada d un producto. E important dtacar qu cuando la cuación tá aociada a un itma fíico, u coficint rprntan lo parámtro propio dl mimo (ritncia, coficint d autoinducción y capacitancia n l cao d circuito léctrico; o maa, coficin-

53 H. V. Maía La tranformación d Laplac 53 t d amortiguación y d laticidad n itma mcánico, tc.). Gnralmnt tal parámtro pudn r conidrado contant, dcir indpndint dl timpo y d cualquir otra variabl, dntro d un razonabl rango d valor d la variabl. En tal cao l método d la tranformación d Laplac contituy una hrraminta matmática d uma utilidad. EJEMPLO. Hallar la olución d la cuación difrncial x '' 5 x ' 4 x t qu vrifica la condicion inicial x ( ), x ' ( ). Tranformando ambo mimbro d la cuación, introducindo la condicion inicial, y llamando con X ( ) L [ x ( t )], obtin o a Explicitando X ( ), X ( ) 5 X ( ) 4 X ( ) ( 5 4 ) X ( ) X ( ) 4 ( ) ( 5. 4)., Dcomponindo n fraccion impl, rulta X ( ) En concuncia, la olución dl problma d valor inicial x ( t ) L [ X ( )] 5 t t 4t. 4 5