MATEMATICA SUPERIOR APLICADA

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1 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE MATEMATICA SUPERIOR APICADA Wilo Crpio Cácr

2 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE A mi qurido hijo...

3 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE El rol rcndn d l rnformd d plc implificr l olucion d cucion difrncil, n u múlipl pliccion n l cmpo d l lcricidd, l mcánic, l dinámic y n gnrl dnro d l fíic ingnirí. TRANSFORMADA DE AS INTEGRAES: S dfin l función rnformd F ) como un ingrl d l función originl f x) muliplicd por lgun función rbirri d l vribl x y dnomind Núclo d l rnformción: F ) = K.x) f x) dx TRANSFORMADA DE APACE {f ) } d l función f ), pr odo >, un ipo d rnformd d ingrl dfinid como: {f )} = {f )} = F ) = - f ) d Dond, : Prámro rl y i l ingrl: - f ) d, : Convrgn: ingrl y l rnformd {f ) } xin, n un Rngo d Convrgnci o d Exinci S o y S. Divrgn: No xin ni ingrl ni l rnformd {f ) }. CONDICIONES PARA A EXISTENCIA DE A TRANSFORMADA DE APACE Pr qu xi {f ) } = - f ) d ncrio qu l función f ) cumpl con lo rquiio:. CONTINUIDAD A TROZOS: función f ) n un inrvlo ci coninu rozo, i: f) El inrvlo pud dividir n un númro finio d ub inrvlo, n cd un d l cul f ) coninu. T o lími d f ) on finio cundo proxim lo xrmo d cd inrvlo.. ORDEN EXPONENCIA Si xin do conn rl M Coficin d rnformción) y γ Vribl d ju), l qu M >, pr odo > N, rul: -γ. f) < M, ó f) < M -γ. función f ) db r d ordn xponncil γ, cundo Ejmplo: f ) = d ordn xponncil pu, = <., pr odo >

4 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE. TEOREMA: Si f ) un función coninu rozo n odo inrvlo finio pr T y i dmá l función d ordn xponncil pr < T, nonc xi l rnformd d l plc { f ) } d l función f ) pr vlor > γ Dmorción: Sprndo l inrvlo d ingrción d: {f ) } = - f ) d, n l gundo mimbro l xprion prcil d l ingrl: { f ) } = - f ) d + - f ) d En l ingrl: - f ) d, como f ) coninu rozo pr T, mbién lo rá - f ), d mnr qu primr ingrl - f ) d xi. Pr dmorr qu l gund ingrl - f ) d mbién xi, rcurrimo l gund condición pr l xinci d l rnformd, qu dic qu f ) M -α A - f ) d l cribimo como - f ) d, y rmplzmo: f ) M -α Aí obnmo - M -α d), qu l rolvr no drá: Si > dmur l ruldo bucdo T ) M d) = PROPIEDADES DE AS TRANSFORMADAS. PROPIEDAD DE INEAIDAD..- INEAIDAD DE OPERADOR : Sn do conn c y c y do funcion culquir f ) y f ) ; l oprdor d l rnformd d plc un OPERADOR INEA i cumpl con l condición: { c f ) + c f ) } = c { f ) } + c { f ) } Ejmplo: { Co }= { } {Co } +5{ -.! }= { } { Dmorción: Rmplzo f ) = {c f ) + c f )} n {f ) } = - f ) d Obngo { f ) } = - f ) d = - { c f ) + c f ) } d Opro corch { f ) } = c - f ) d + c - f ) d Aplico l dfinición { f ) } = - f ) d { f ) } = c { f ) } + c { f ) } } +5{ }..- INEAIDAD DE OPERADOR - : Sn do conn c y c y do funcion culquir f ) y f ); l oprdor - d l rnformd invr d plc un oprdor linl i cumpl con l condición: - {c F ) + c F ) } = c f ) + c f ) Dmorción: Por dfinición: - { c F ) + c F ) } = c f ) + c f ) Opro l primr mimbro: - { c F ) + c F ) }= c - {F ) }+ c - {F ) } Y como - { F) } = f) mbién rá: - { F ) } = f ) y - { F ) } = f ) Finlmn: - {c F ) + c F ) } = c f ) + c f )

5 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 5. PROPIEDAD DE TRASACION..- Primr propidd d rlción: { f ) } = F - ) Muliplicndo mbo mimbro d {f)} = - f ) d por:, ndrmo: { f) } = - [ f)] d = ) Ejmplo: Pr: Co = f) d = F - ) ; rá: Co = ) =..- Sgund propidd d rlción: g ) = - F) Si: f) = F) y g) = f-) pr > ó, g) = pr <, obnmo l Sgundo orm d rlción: g) = - F) 5 Ejmplo: {.! }= 6 =, lugo l rnformd d g) = 6 Aplicndo l mimo cririo pr l rnformd invr d plc ndrmo: Si - { F ) } = f ) como: { f ) } = F - ) Srá - { F - ) } = f ). PROPIEDAD DE CAMBIO DE ESCAA Si f ) = F) nonc: f.) = F ) Ejmplo: Sn =, lugo Sn = ) = 9

6 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 6 METODOS DE CÁCUO d l : A. DIRECTO: Aplicndo l dfinición: {f ) } = {f ) } = F ) = - f ) d Ejmplo: Drminr l pr l función:.- f ) = α Rmplzdo n {f ) } = - f ) d l vlor d f ) = α { α } = - α d = ) d ) = = pr - > :. >.- f ) = Sn w Rmplzdo n {f ) } = - f ) d l vlor d f ) = Sn w { Sn w } = - Sn w d =.- f ) = i.w. nw). w w.cow Rmplzdo n {f ) } = - f ) d l vlor d f ) = i.w. { i.w. } = - i.w. d = iw ) d =.- f ) = 5 pr < < iw) = iw iw = w w Rmplzdo n {f ) } = - f ) d l vlor d f ) = 5 pr < < { f ) = 5 } = 5) d ) d = 5 5 d 5 ) 5.- f ) = A Rmplzdo n {f ) } = - f ) d l vlor d f ) = A { A } = - A ). d = A. d du Por uiución: u ) ; du ). d ; d ) 6.- f ) = Sn + Co Rmplzdo n {f ) } = - f ) d l vlor d f ) = Sn + Co f n. Rmplzndo n f f d l vlor d n. d co. n.. co. co.. n.. co. d { A } = n. A

7 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 7 B. POR TABAS DE : Or bl l finl...). f ) { f) } = F). f ) { f) } = F) n Pr: n =,,, n! n S Co w S S w Sn w w S w 5. 6 Ejmplo: ) f ) = Sn > > > > S ) 8 9. Sn Coh Snh Sn Co Co. b S S.. S ) w w > S >.. S ) S S ) b b Tbl d rnformd d plc En co: Nº Función Trnformd Pr l función Trnformd 6 f ) = {f ) } = ) ) f ) = - Tbl d rnformd d plc En co: Nº Función Trnformd Pr l función Trnformd 6 f ) = - { f ) } = ) ) f ) = Co 5 Tbl d rnformd d plc En co: Nº Función Trnformd Pr l función Trnformd Co w S > f ) = Co 5 {f ) } = S w 5) ) f ) = Sn 6 Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr l función Trnformd Pr l función Trnformd Sn w w Sn 6 6 > { f ) } = S w 6)

8 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 8 5)! ) f ) f ) ) 6) 5 f ) 6n 5co f ) 6 5 ) 7) ) coh5 nh 5 f ) f ) n 5) 5 9) f ) 5 ) 5 f ) co ) f ) co. = = co + [f)]= [ co +] = [ co ] + [] [f)]= ) 6 9) f 8) f ) ) f ) co [f)]= [ co co8 + ]= + [ ] = co8 + [ ] =. C. POR SERIES: Si F) in l drrollo d l ri: n n F )..., u pud n clculr por l um d l rnformd d plc d cd umndo d l ri. n n! Ejmplo: Pr l función d curdo l bl, u rnformd : n S Rmplzndo n l ri nrior: f ) = o!.!.!. Rul: {f ) } = {f ) } = +.. = n D. POR ECUACIONES DIFERENCIAES: S drmin l cución difrncil qu ifch por f ). Ejmplo: Si: Y ) = Sn ) / ; Drivo do vc:.y + Y + Y =, hcindo: y = Y ) ; +.. = n n! n n n d Srá: - { y Y o) - Y o) } + { y Y o) } + y =, d ugo: y + 6-)y = c Rolvindo: y = / -/

9 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 9 TRANSFORMADA INVERSA DE APACE: - función mmáic f ) d l rnformd d plc: { f ) } = F ) dfinid como l rnformd invr d plc d F ), rprnd como: - {F ) } = f ) Ejmplo: Drminr l - {F ) } pr: Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr l función Trnformd Pr l función Trnformd n Pr: n =,,,! n S n > F =! = Tbl d rnformd d plc En co: Nº Función Trnformd Pr función Trnformd Sn w w S w > 9 F 9 = = n ) 5 F 5, complndo cudrdo dl dnomindor qud: = co ) F Por propidd d linlidd: = = = 5 in 6co 6 5) ) 5 F ) 5 Como ), rbjo con l formul: n n n ) )!, dond: y n ugo: ) ) 6 ) 5 ) = ) )!

10 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 6) F = ) form d F) ugir ur l formul: b b co ) ) ; b b b in ) ) y b ) ) B A, A y B conn drminr. Muliplico mbo mimbro por: + = A+)+B + = A+A+B) En idnidd nr do polinomio n. l igulo lo coficin d lo érmino: A =, A+B = B = -/ Finlmn: ) = ) ) ) ) = in co 7) 6. 8 Por bl ).. n n. 8 n. 8 8) 8 ) f 8 Por bl lugo: 8 9) Pr {} = l rnformd invr rá - { } = ) f f ) ) )! ) ) f f ) f f n ) 9 ) ) f f n co ) 9 )

11 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE. d DERIVADAS: {f ) } = {f ) } - f o) Suponindo qu pr odo inrvlo finio T, l función coninu f) d ordn xponncil, cuy drivd f ) coninu rozo, nonc: {f ) } = {f ) } - f o) Ejmplo: Pr f ) = Co plico {f ) } = {f ) } - f o) {f ) } = {Co } - f o) Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr función Trnformd Pr l función Trnformd Co w S > f ) = Co S w {f ) } = - f o) = - Co) = - = - = {f ) } = {Co } = = 9 9 f) T T Tn Dmorción d {f ) } = {f ) } - f o) : Si f ) función coninu rozo n T, hbrá un númro finio d ubinrvlo T ), T T ),.., T n- T) En cd uno ocurr qu f ) coninu y u lími on finio, cundo proxim lo xrmo d cd inrvlo. Conidrndo l ubinrvlo: T T Tn f ) d = f )d = [ T T T + f) d ] Tn Si f ) coninu : T f ) d + T f) T i T grnd cumplirá: lugo, {f ) } = dmorr T T T f ) d f ) d; Ingrndo por pr: + f) d ] + [ T f) + T f ) d = T f T) - f o) + ft) M = M f ) d = Tn f ) d ) T T T f) d] [ f) y como f ) xponncil,, n l lími: im T f T) = f ) d - fo) = {f ) } - f o) ; lo qurímo

12 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 5. d INTEGRAES El orm d ingrción pcific qu i {f ) } = F S), lugo { f u) du } = F ) Ejmplo: Pr f ) = Sn pr plicr: { f u) du } = F ) Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr función Trnformd Pr función Trnformd Sn w w > f ) = Sn S w { f u) du } = F ) = ) dond F S) = {f ) } F S) = {f ) } = { Sn } = Dmorción d: { S G ) = f u) du } = F f u) du ) : { G ) } = { G) - Go) } o mbién: { f) } = { G) } por lo no nonc rá G ) = f ), G o) =, Por llo i {G)} = { fu) du } = { f) } = F ) ugo l rnformd invr d plc cumpl qu: - { F ) } = fu) du

13 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 6. TEOREMA DE CONVOUCIÓN Si l funcion n : f y g on coninu por pr n [, ], lugo un produco pcil, dnodo como f *g, dign como CONVOUCIÓN dfinid mdin l ingrl f *g = f ) g d convolución d do funcion conmuiv, dcir: f * g = g * f Si f ) y g ) on funcion coninu por pr n [, ] y d ordn xponncil, nonc: { f ) * g ) } = { f ) } { g ) } = F S) G S) Ejmplo: Aplicr l orm d l convolucion: Pr f ) = y g ) = Sn Aplico l orm: { f ) * g ) } = { f ) } { g ) } = { } { Sn } Tbl d rnformd d plc En co: Nº Función Trnformd Pr función Trnformd 6 f ) = F S) = {f ) } = { } = ) Tbl d rnformd d plc En co: Nº Función Trnformd Pr función Trnformd Sn w w > f ) = Sn S w Rpu: { } { Sn } = ) * = ) G S) = {g ) } = { Sn } = ) ) ) Dmorción: Si F u S) = fu) du y G S) = F S) G S) = F S) G S) = u = u f u) du. uv) f u ) v g v) dv g - u) du d = uv) u uv) v gv) dv f u) gv) f u ) du dv = g - u) du d = f u) g - u) du Aí l d l convolución d do funcion, implic l Torm d Convolución: { f ) * g ) } = { f ) * g ) } = { f ) } { g ) } = F S) G S)

14 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE Por or pr: f ) * g ) = f ) g d * Sn = n d n co f ) * g ) = * Sn Como: * Sn =. n ). d n ) co ) = n co Aí dmur qu: f ). g ) d f ). g ) d f x) g x) = g x) f x) Aí, vrific l propidd d conmución Aunqu, l ingrl dl produco d funcion no l produco d l ingrl, in mbrgo, l rnformd d plc dl produco pcil, l produco d l rnformd d plc d f x) y g x). El ruldo l orm d convulión. En l jmplo: f ) = g ) = Sn, pr vlur: { n d }, l orm d convolución blc qu l rnformd d plc d l convolución d f x) y g x) l produco d u rnformd d plc: { n d { n d } = { } { Sn } = ) } ) Como: { f ) } = F S) y { g ) } = G S) ; l convolución: F S) G S) = { Por l mimo cririo i: - {F S) } = f ) y - {G S) } = g ), lugo convolución pr l rnformd invr rá: - {F S) G S) } = y como f x) g x) = g x) f x), podmo cribirl como f. g = f u) gu - ) du f u) g -u) du} f u) g -u) du;

15 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 5 FORMA INVERSA DE TEOREMA DE CONVOUCION c{f S). G S) } = f u). g -u) du = f ). g ) Ejmplo: Pr drminr S conocn co y n Por lo cul, plicndo l orm d convolución, in co * n co u n u du co u n co u co n u du n co udu co n u co udu n n co co n n Ejmplo: Pr drminr D l xprión: ruln Aplicndo l orm d convolución: Obrv qu lrnivmn ndrí qu: Concluimo qu:

16 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 6 DESDE A FORMA INVERSA DE TEOREMA DE CONVOUCIÓN E poibl hllr l d l ingrl d f x), prir d l form invr dl orm d convolución, conidrndo qu: g ) =, {g ) } = G S) = /. Por l orm d convolución: o qu n co: f ). d f ). g ) d F ). G ) F ) Y gún l form invr Qu plicd co: f ). d F ) Ejmplo: Drminr: Pr plicr l orm: Por orm d l rnformd d l ingrl : D l bl d rnformd: Drrollndo l ingrl ingrl qud: Por no:

17 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 7 7. MUTIPICACION DE A TRANSFORMADA por n { n.f ) } d l función f ) muliplicd por un monomio n ; { n.f ) } y pud nconrr mdin l difrncición d l d f ) uponindo qu: F S) = {f ) } xi. Y poibl inrcmbir l ordn d difrncición ingrción. d {f) } = d f ). d f ). d d d f ). d = - {.f ) } d Rul: {f) } = - {.f ) } d Uilizndo ruldo pud hllr {.f ) }: d d d d d d {.f ) } = {..f ) } = [f )] [f )] Gnrlizndo pr: { n.f ) }, rul l d d = { f ) } TEOREMA d DERIVADAS DE TRANSFORMADAS: Si F S) = {f ) } y n =,,, lugo { n n d.f ) } = -) n d {f ) } { n n d.f ) } = -) n d F S) Si: {f ) } = F S) ; { n. f ) } = -) n n d n d. Torm: Drivd d rnformd Si F S) = {f ) } y n =,,, nonc: { n.f ) }= -) n F S) = -) n f n S) d d n n FS) Ejmplo: Pr { } = Aplico { n.f ) } = -) n n d F n S) rul: {. n d } = ) = n d. d. ) Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr l función Trnformd Pr l función Trnformd Ejmplo: Pr drminr {.Sn.} {.Sn.} = n ). d Con: f ) = Sn., F S) = Aplico l Torm: y n =

18 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 8 d d {.Sn.} = n d d 8. DIVISIÓN DE A TRANSFORMADA por Si {f ) } = F S), lugo: { f ) / } = F U).du; impr qu xi lími ím -> f)/ Ejmplo: Pr f ) = Sn { Sn } = F S) Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr l función Trnformd Pr l función Trnformd D l bl: Sn w S w w > { Sn } = y como ím -> Sn. =, por no xi Aplico: { f ) / } = F U).du { Sn. } = d. u u = n - Dmorción: { f) } = - f) d Rmplzndo { f) } = v f v) dv fv) dv = v = F ) Dl mimo modo pr l rnformd invr d plc cumpl qu Si - {F S) } = f ) por lo no - { F ) } = f )

19 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 9 9. FUNCIONES PERIODICAS S f ) con príodo T >, l qu f +T) = f ) nonc: { f ) } = T. f ). d. Si un función priódic in priodo T, T >, nonc f +T) = f ), lugo l rnformd d plc d un función priódic obin mdin ingrción obr un priodo. Torm d l Trnformd d l función priódic: Si f ) coninu por pr n [, ], d T ordn xponncil y priódic con priodo T, nonc: { f ) } = T f ) d Ejmplo: Trnformd d plc d l función ond cudrd d priodo T = : E) = i < y i < y fur dl inrvlo mdin f + ) = f). P Aplicndo l orm nrior: E ) E ) d d d Enonc: P l E )

20 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE. APICACIONES A AS ECUACIONES DIFERENCIAES rnformd d plc implific l olución d l:. ECUACIONES DIFERENCIAES DE COEFICIENTES CONSTANTES. d Y dy Si: + α + βy = F); ó : Y + α Y + βy = F) [] d d Dond: α y β: Conn dpndin d condición inicil d fronr Yo)= A é Y o)= B [] A y B: Conn dd. Con l rnformd d plc pr Y + α Y + βy = F ), undo l condición [] logrmo un cución lgbric pr drminr { Y ) } = y ) olución obin clculndo l rnformd invr d plc d y); méodo qu podmo gnrlizr pr l cucion difrncil d ordn uprior. Ejmplo: Rolvr Y + Y =, Pr: Y o) =, Y o) = - Aplicndo l rnformd d l plc: {Y } + {Y } = {}, pr l condicion plnd: y Y) Y )+ y =, lugo: y + + y = ; lugo y = { Y } = + = = + - ) Finlmn: Y = - { y } = - { + - } = + Co + Sn. ECUACIONES DIFERENCIAES DE COEFICIENTES VARIABES. Ecucion d l form: m Y n) ); cuy rnformd d plc : -) m dm m {Y n) ) } d Ejmplo: Rolvr: Y + Y + Y =, Pr: Y o) =, Y o) = Aplicndo l rnformd d l plc: {Y } + {Y } + {Y} = d Pr l condicion plnd: - { dy y Y) Y )}+ {y Y)} - =, d d lugo: dy dy. d +) + y =, d dond: + = d y Ingrndo: ln y + ½ ln c + ) = c ó : y = / )

21 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE. ECUACIONES DIFERENCIAES ORDINARIAS SIMUTANEAS. Con lo procdimino nrior podmo rolvr im d cucion. Ejmplo: Rolvr dx = X Y; d dy = Y X d Pr X) = 8 Y)= Aplicndo rnformd d plc: {X} = x; {Y} = y; lugo:..x 8 = x y ó : - )x + y = 8..y = y x ó : x + - )x = Aplicndo drminn rul: 8-5 x = = y = = Aplicndo l rnformd invr d plc, rul: X = - { x } = Y = - { y } =

22 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE APICACIÓN: CAIDA DE CUERPOS CON ROZAMIENTO Drminr l vlocidd v ) n l inn d gundo dl prcidi d po = 8Kg, qu c vriclmn prindo dl rpoo, obr l cú l furz d rinci dl ir Fr proporcionl l vlocidd v ) n culquir inn Fr = β v ) ). Do: Po dl prcidi: = 8 Kg Grvdd rrr: g = 9,8 m/ Timpo d cíd: = g Dnidd d ir: ρ =,9 g/m Ár dl prcidi: A =,6 m Coficin d form: δ =,8 Clculo coficin d rozmino dl ir: β. A.,9.,6.,8 β = =, 96 D l d ly d Nwon: El Po dl prcidi: dv m. + β.v =. + β. v) = g d Muliplico por g y divido por mbo mimbro: dv. )g / + β. v) ) g / = ) g / g d dv + β. g. v) ) / = g Dond i l vlocidd : v ) = dx/d clrción rá: v ) = dv/d d v ) + β. g. v ) ) / = g Ecución difrncil d grdo y ordn ). Por propidd d linlidd d l : g {v ) }+ { v) } = {g} Como Clculo d cd érmino: g y g on conn {v) }+ ) Aplico rnformd d plc d drivd: {f ) }= {f ) } - f o) Pr: {v ) } g {v) } = g{} [I] Por dfinición: {f ) }= F ), ugo: {v ) } = v S) rnformd qud: {v ) } = {v S) } - v o = v S) - v o : Aí {v ) } = v S) - v o [II] b) Pr: g {v) }, l rnformd d {v ) } = v S) : Aí Tbl d rnformd d plc En co: g {v) } = Nº Pr l función Trnformd Pr l función Trnformd g{} g g v S) [IV] [III]

23 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE Rmplzo: [II], [III], [IV] n [I] : g.v ) - v o) + g g v) =, Como vo) =.v ) + v) = g g g g Sco fcor común v ) : v ) [ + ] =, dpjo v) v ) = g vlocidd n función d v ) qu l rnformd invr d plc pr v ) : v ) = - {v ) } = - g { } = g - g { } Hgo: =, por bl: g g Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr función Trnformd Pr l función Trnformd ) 7 ) v ) = g - - { } g - ) v ) = g - - g { }= g - ) = g.. = g g g.. = g,96)9,8),96)9,8) 8 Rmplzo vlor: v ) = 8 = 8 58,97,96 g. [V] Vlocidd qu in l prcidi lo gundo lugo d lr dl hlicópro. Rmplzo =,96)9,8)) v ) = 58,97 8,7585 = 58,97 [- ] = 58,97 [-,9695] = 8,875 m/g g. Pr clculr l poición n l impo x ), prir d [V]: v ) = : g g g dx....x ) = = v) = d x ) = = Por propidd d l linlidd d l : { x ) } = { g. } = {} - { g. } [VI] Clculo l cd érmino d [VI]: ) Pr { x ) } plico d drivd: {f ) }= {f ) }- f o) dx Como: f ) = x ) =, y por dfinición: {f) }= F ), rul {x ) } = x S) d Aí, l rnformd qud: {x } = {x S) } - x o = x S) - x o [VII] [VIII] Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr l función Trnformd Pr l función Trnformd b) Pr l érmino {}, d l bl : fs) = {} = f S) = {}

24 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE g. c) Pr l érmino - { }, i = - g, por bl: Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr función Trnformd Pr l función Trnformd 5 g. f S) = - { } - g. f S) = - { } = - = - = - g g Rmplzo n [VI], lo vlor d [VII], [VIII] y [IX], y como: f ) y f ), on x ) y x )..x ) - x o) = Como x o) =.x ) = g g Dpjo x ) : x ) = =. g g poición x ) rpco l impo, rá l invr d plc pr x ) : x ) = - {x ) } = - { }= - { }- - { } g g - x ) = { }- - { } [X], Rulvo cd uno u érmino: g - ) D l bl, pr l érmino { }, conn:. f ) = b) Pr l érmino [IX] Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr función Trnformd Pr l función Trnformd f ) = - - { f ) } = { } =, lugo: f) = x ) = - - { f ) } = { } on conn, g y = g Tbl d rnformd d plc En co: Nº Pr función Trnformd Pr l función Trnformd 7 ) - ) f ) = - { } - [XI], í, d l bl d plc: )

25 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 5. f ) = - - { } = - ) = - g g [XII] Rmplzo n [X], lo vlor d [XI] y [XII] y [IX]: - x ) = { }- - { }= - g g g g x ) = - = - g g g g = [ - ] g g = - g g g Rmplzo lo vlor: x ) = 8,96 8,96).9,8) 8,96)9,8). g K, = 8,96,8,98 Pr clculr l poición dl prcidi, lugo d u lnzmino, rmplzo = : x ) = 8,96 8,8 8,98,98). 8 = 58,979[ - 6,67 + 6,67,7585 ] x ) = 58,979[ - 6,67 +,] = [56, , + 65,5] = 9, m

26 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 6 APICACIÓN: SISTEMA DE CONTRO Un im d conrol un conjuno d componn qu rguln u propi conduc o l d oro im pr logrr un funcionmino prdrmindo, bucndo rducir l probbilidd d fllo d un im rl, lo ruldo prdfinido n un im órico plndo. Con fin, un hrrmin mmáic l rnformd d plc Al udir proco rl ncrio conidrr modlo dinámico, d compormino vribl rpco l impo, pr vir o corrgir oporunmn rror dl im rl. Eo implic ur cucion difrncil rpco l impo pr imulr mmáicmn l compormino d proco. úil pr nlizr l im, í, prmiir rolvr cucion difrncil linl mdin l rnformción n cucion lgbric con lo cul fcili u udio. E DISEÑO DE SISTEMA DE CONTRO: Rquir Conocr l proco conrolr, dcir, conocr l cución difrncil qu dcrib u compormino, uilizndo l ly fíic. E cución difrncil l MODEO PANEADO DE PROCESO. Con l modlo plndo, pud diñr l CONTROADOR. A FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Rprn l compormino dinámico dl proco. Mur cómo cmbi l lid d un proco n un cmbio n l nrd. Y X S ) S ) CmbioSlidProco y CmbioEnrd Proco Y X S ) S ) R pudproco FuncionForzn DIAGRAMA DE BOQUES: ENTRADAEímulo forzn) PROCESO SAIDARpu l ímulo) Ejmplo: CONTRO DE VEOCIDAD CRUCERO EN UN VEHÍCUO El conroldor mnin l bilidd dl im rl, cuy nrd on circunncil y n co no conrolbl. Aí, por un ldo, mnin l im n oprción rgulr unqu przcn nrd rbirri y por oro, corrgir lo rror dcdo n l lid. Un im d conrol prmi obnr un lid pcífic dl im mnipulndo propidmn, un drmind nrd. El im d nvgción crucro dl vhículo l Crui Conrol o conrol crucro, un inrumno qu prmi l conducor fijr l vlocidd l qu d circulr y rirr l pi dl clrdor, in mor qu é dcind, pudindo mnnr conn l vlocidd d vnc, lo cul d pcil uilidd n lo vij lrgo. Por Nwon: mv = F ng - Bv ) Ecución difrncil d grdo y d ordn ) Pr: m = Kg y B = 5m.g/m) Dond: m: m dl uo v : clrción B: coficin d fricción v: vlocidd F ng :furz propulor dl moor, función dl impo.

27 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 7 Como l vhículo pr dl rpoo, clrrá h qu l furz dl moor ncunr n quilibrio con l furz d rozmino rulndo un vlocidd conn dopo m/) y clrción cro. Fng Bvmx Fng, or vmx m/ B Por propidd d linlidd d l d l cución ): [ ] [ ] [ ] Como m y B on conn, nonc: [ ] [ ] [ ] ) Cálculo d l cd érmino: ) Pr [ ] plico d drivd: [ ] [ ] Como por dfinición: [ ], rul: [ ] rnformd qud: [ ] [ ] Aí: : [ ] I) b) Pr [ ] por dfinición: [ ], [ ] II) c) [ ] III) Rmplzo I), II), III) n ): v) =, pr dl rpoo ): [ ] función d rnfrnci H) vlocidd d lid dividid n furz d nrd) á dd por: Pr F mx : Furz máxim dl moor. Tbl d rnformd d plc En co: Pr función Trnformd Pr l función Trnformd /S FS)= Fmx / S Fmx Por dfinición d rnformd invr d : { } ) xprión ) in l form d: Tbl d rnformd d plc En co: Pr función Trnformd Pr l función Trnformd S+)./S - - )/ Aplicndo l invr d obnmo: [ ]

28 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 8 Rmplzndo lo vlor: [ ] [ ] Vlocidd m/) Timpo ) ANÁISIS DE A GRÁFICA Y CONCUSIONES: El vhículo lcnz lo m/ 6 m/h) lugo d proximdmn.85 y lugo coninú clrndo h lo m/ 7 m/h). Hy qu nr n cun qu lo cálculo furon rlizdo como i l máxim ponci dl moor fur lcnzdo dd l momno dl ncndido, lo cul fíicmn impoibl, pro l mno no d un id d l iución. ) Mdin cución l conroldor rgul l furz qu db propulr l moor pr mnnr l vlocidd dd conn. ) En un uomóvil con conrol d crucro l vlocidd n y rrolimn coninumn l im qu ju l vlocidd dl moor por mdio dl uminiro d combuibl l mimo, n úlimo co l lid dl im rí l vlocidd dl moor, l conroldor rí l im qu dcid cuno combuibl chr d curdo l vlocidd y l nrd rí l cnidd d combuibl uminirdo. ) cución rá má complj cundo l condicion dl cmino n má irrgulr. Si l uo á cndindo por un pndin, hbrá un componn d l furz d l grvdd qu opondrá l movimino. El uo moviéndo d mnr dcndn por un pndin xprimnrá un componn d l furz d l grvdd qu ndrá clrrlo. F Bv Bv Fg Uphill Down hill Fg F Digrm d curpo libr incluyndo furz xrn

29 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 9 APICACIÓN: FEEDBACK funcion d rnfrnci dl im d conrol por rrolimnción, bucn l olución rnformd Yz), inicilmn obnmo Xz) prir dl im ddo por l función d rnfrnci Fz). función Xz) rnform n l im ddo por Gz) obniéndo Sz). Finlmn Ez) = Y z) Sz), qu u vz vulv r uilizd pr obnr un nuv Xz) mdin l proco ddo por l función d rnfrnci Fz). Bucmo l función d rnfrnci: X z) T z) Y z) Sbmo qu: X z) F z) E z) y z) G z) X z) Como E z) Y z) S z) X z) F z) Y z) S z)) F z) Y z) G z) X z)) D dond F z) T z), prir d función d rnfrnci podmo clculr l bilidd F z) G z) dl im d conrol por rrolimnción plndo clculndo Tz). Por jmplo, i F z) y G z) z nonc: z T z) ) z ) z z z Y rolvindo: z z z, l ríc on: y,., -.6 Mdin l iguin orm podmo obrvr qu l im rá inbl: n S f ) F ) n x ), pr l ríc :. Si <, inoicmn bl.. Si bl. inbl i no cumpln l condicion y Como nmo l ríz q > l im rá inbl. Ahor podmo xprr l cución difrncil linl dl im como: X z) z d dond: X z) z z z) Y z) z ) y dfinindo l Trnformd Invr Y z) z z z D, como F ) F ), con u función d rnfrnci, nmo qu: x -x +x =y -y Pr guir conocindo l inbilidd dl im nmo l función rmp qu vin dd por: : Y z) z) ) z) Aplico por bl z z y m qud como: ) F y) Sindo F y) l función olución d inbilidd dl z z z im d conrol por rrolimnción Fdbc.

30 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE El conrol d rrolimnción implic qu hn runido lguno do, hn nlizdo y hn rgrdo lo ruldo lguin o lgo n l proco qu á conrolndo d mnr qu pudn hcr corrccion. El inconvnin d ipo d conrol qu n l momno n qu l dminirdor in l informción l dño y á hcho, dcir, llv cbo dpué d l cción. Ejmplo: S in un mpr qu in ucurl diribuid por odo l pí: Sucurl A, Sucurl B y Sucurl C. El grn gnrl h dcdo qu l ucurl A in rio problm finnciro, minr qu u or do ucurl án funcionndo corrcmn. E quí cundo l grn db dcidir i informción cu uficin pr crrr dich ucurl o dbrá cmbir l rgi qu hn vnido implmnndo. Sucurl A - B. A. Sucurl B - Córdob ucurl C - Tucumán Ddo F z) y z G z) nonc: T z) función d rnfrnci; z ) z ) z z z Clculo un mono d ingro mínimo pondrdo) pr l ucurl d.. y clculo Tz): 5 T z) = 5x. z z 6 ) Clculmo hor con l función rmp: x F y) ) 5 = 5x 6 z z z x ) Anlizndo l Fdbc, lo do méodo d mdición función d rnfrnci y función Rmp) dbn dr l mimo ruldo. El ruldo obnido m indic l vrición o inbilidd q hy n l rrolimnción, como obrvmo, un vlor dmido pquño, como pr omr lgun dciión imporn obr l ucurl. Suponmo qu l ucurl y inn un uprávi, con lo cul llgn cubrir u mono d ingro mínimo, como í mbién l d l ucurl d B. A. El rbjo d l grnci ri hcr má hincpié n lo do conbl d B.A, hcr un políic fur d pln d horro o firmr lgún convnio con or nidd, como pr podr diminuir l pérdid qu pud uponr qu xi.

31 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE APICACIÓN: NIVE DE UN TANQUE Flujo qu nr Flujo qu l = Acumulmino q i = Flujo d nrd = Flujo d Slid q A = Ár dl nqu A un lur h) dh ) qi ) qo ) A Si: d dh ) q i ) h ) A R d h ) R q ) o Nivl dl nqu: q i h ) R dh A d Como dh d Sco fcor común h): h ) A ) q i h) h ) Ah ) R q i R q i A h ) R Inviro l Ecución pr obnr h q ) i h qi ) A R H ) Q ) A RA i Aplico l rnformd Invr d plc: Función d Trnfrnci: H ) Q ) i A RA

32 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE APICACIÓN: AMORTIGUADOR Drmin l cución d movimino d un curpo d libr d po á ujo do ror igul y un morigudor. Si prir dl rpoo plic un vlocidd d y un gn xrno l comunic un furz conn d Sn 5) libr. Conn d cd ror: = Condicion inicil: = ; y = ; Conn dl morigudor: C =. Po.- Plno: y + C Po.-Suiuyo: Po.- Opro pr djr l drivd d myor ordn libr d coficin: Po.- Aplico rnformd l cución conidrndo l condicion inicil: Po 5.-Fcorizo l rnformd: Po 6.-Dpjo l rnformd: Po 7.- Aplicndo l rnformd invr od l cución: Po 8.- Como no hy fórmul dirc pr rolvr l xprión implifico n un um d frccion prcil: Po 9.- Rulvo y obngo l cucion: A+C= ; 8.A+B+D= ; 8A+8.B+5C = ; 8B+5D=9 Con lo qu obin: A= -.5 ; B=.57 ; C=.5 ; D= -.8

33 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE En l Mhmic l im d cucion pud rolvr con l inruccion: Solv[{+c==,8.+b+d==,8+8.b+5c==,8b+5d==9}] Po.- Por lo qu l rnformd invr qud: S umn: Po.- Rolvindo por prdo: uiuyndo S=S -.: = Po.- olución finl, : y{}= -.5Co5 +.Sn5+ Po.- Hcindo A= ; B= ; S obin: y{}=.sn[5 -. ]+.5. Ruldo. Po.- El problm pud rolvr n l Mhmic, con l inrucción: DSolv[{y''[]+8.y'[]+8y[]==96.6Sin[5 ],y[]==,y'[]==},y[],]

34 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE APICACIÓN: IMAGENAS EN A ATMOSFERA inhomognidd moféric vrín n impo crcríico d poco miligundo. ugo, pr qu l condicion d l mófr no vrín durn l om d un foogrfí ronómic, l impo d xpoición db r d ordn. En l circunnci, l imágn prnn un prón d inrfrnci d pco grnuldo, dnomindo modo inrfrncil o pcl. Si om un ri d imágn, l prón d inrfrnci diino n od ll, y qu prón cmbi con l impo l vrir l do d l mófr. Por or pr, n un foogrfí ronómic convncionl, l impo d xpoición xcd d un gundo y l imgn y no lori ino un promdio d l imágn d cor xpoición qu dnomin imgn d lrg xpoición. Imgn d cor xpoición Rlción objo-imgn S f l diribución d innidd dl objo n función dl impo y g n l diribución d innidd n l imgn innán. rlción nr l diribucion d innidd d objo imgn linl porqu lo objo ronómico on olmn incohrn. S um dmá l invrinci frn rlcion, lo qu implic qu l prurbcion innán dl frn d ond on idénic pr od l dirccion dl frn d ond. E condición ólo cumpl i l cp urbuln hlln muy crc d l pupil dl lcopio, pro vidn qu o no ucd n l co d l mófr. Aí qu ólo pud umir l invrinci frn rlcion pr objo d pquñ dimnion ngulr, lo qu upon un cmpo d viión limido dnomindo l zon ioplnáic. imcion óric y xprimnl murn qu n l imágn ronómic l zon ioplnáic dl ordn d uno poco gundo d rco. imgn rlcion con l diribución dl objo por un convolución: f * g f. g F ). G ) Dond f * g l imgn d un puno o función d nnchmino d puno PSF) innán. Si l objo in un dimnion ngulr uficinmn pquñ o i l urbulnci locliz crc d l pupil dl lcopio, pud conidrr qu odo lo hc qu llgn un puno d l pupil hn rvdo l mim zon d l mófr. brrcion ocid on ioplnáic. V D i Cp urbu Problm: inhomognidd moféric vrín n impo crcríico d poco miligundo. Por no, pr qu l condicion d l mófr no vrín durn l om d un foogrfí ronómic. o qu bucmo clculr l impo mdido n miligundo pr obnr un foogrfí ronómic. S pln l funcion l cul án n función d un vribl, qu indic l impo mdido n miligundo. f ) = : Diribución d innidd dl objo n función dl impo g ) = n ) Diribución d innidd n l imgn innán. Prindo d l funcion f y g con un impo =, no plnmo l funcion como un produco d funcion pr lugo plicr l orm d convolución. Primr po: plnr l produco d funcion con un ingrl qu v nr lo lími d ingrción prir d y por l vribl. dond: Sgundo po: Con l funcion f y g n función dl impo vmo plicr l orm d l convolución rlizndo l produco d l rnformd d plc Undo l orm d convolución:

35 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 5 Trcr po: Aplicndo l bl pr rolvr cucion n form m prcic y in hcr no cálculo d rolución d ingrl y Aplicdo l orm y l bl llgmo l cución dond l vribl, no drá l ruldo plndo. Dond f g * l imgn d un puno o función d nnchmino d puno innán.

36 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 6 APICACIÓN: CIRCUITO SERIE Drminr l corrin I cundo >, i concn n ri l rinci d R = Ohmio, l bobin d = Hnrio y un brí d E = Volio y un inrrupor S. E= Vol Cundo = l inrrupor á crrdo y l corrin I =. = Por l ly d Kirchhoff db cumplir l iguldd Cíd poncil n R + Cíd pon n + Cíd pon n E = Con lo do: I + di di E + -E) = d dond: + 5 I = Como E = rá d d di + 5 I = Io) = o mbién x ) + 5 I = d Aplicndo : { x ) } + 5 { I } = { } y como {f )} = {f)} - fo) [ - Io) ] + 5I = dond I = {I} Io) =, rolvindo rpco d I I = 5) = 5-5 ) = ) d dond: I = - ) APICACIÓN: MOVIMIENTO DE RESORTE Dprcir furz d fricción y drminr l cución dl movimino dl po d libr, ujo l ror d conn: = 6 libr/pi. Cundo l po llg u poición d quilibrio, plic obr l un furz d: F = Fo Sn w w: Frcunci ngulr) F Equilibrio Si x ) l dplzmino hci bjo d l poición d quilibrio, n

37 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 7 R= Ohm x = o l impo, l cución difrncil y u condicion inicil rán: d x + 6 x = Fo Sn w Pr x =, w = cundo = d x = x ) Aplicndo F d x Si w = produc l ronnci idl, l cución qudrá como: + 6 x = Fo Sn, ó d mbién: x ) + 6 x) = Fo Sn ; qu plicndo rá: { x ) } + 6 { x) } = { Fo Sn } y como l rnformd {f )} = {f)} - fo) Pr l condicion inicil x o) = y x o) = rul: Fo X ) + 6 X ) = d dond 6 Fo Fo X ) = Aplicndo l bl l ruldo rá: x ) = Sn - Co ) 6) APICACIÓN: MOVIMIENTO DE RESORTE II Drminr l cución difrncil dl movimino d l m m upndid dl xrmo d un ror vricl d conn [Furz rqurid pr irr l ror un unidd], obr l qu cú un furz xrn Fx), í como un furz rin proporcionl l vlocidd innán. F S x ) Furz rin: -b dx d Suponindo qu x ) l longción d l m n l impo y qu l m l dl rpoo dd x ) = ; nconrr: x ) n un impo culquir Por l y d Nwon, l furz m d x, dbrá r quilibrd por l d um d l furz: Furz d rurción dl ror: - x ). Furz xrn cun obr l m F) Aí: m d x = -b dx d x - x + F), d dond obnmo: m + b dx d d d d como: m. x ) + b x ) - x ) = F) Aplicndo obnmo: m { x ) } + b { x) } - { x } = { F) } - x = F) Como {f)} = F), {x} = X y {f )} = {f)} - fo) rulrá: m [ X - xo) - x o)] + b [X - xo)] + X = F) y como xo) = x o) = F ) F ) x ) = m = ; dond: R = b m[ b / m) R] m - b m qu cribir

38 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 8 Co R > : S R = w - { b / m) w } = b / m n w w F ) Aplicndo n: x ) = ; l orm d convolución - {F) G) }= m[ b / m) R] obin l olución: x ) = wm Fu) b u)/m n w -u) du fu) g-u) du Co R = : S produc - { b / m) Aplicndo l orm d convolución n x ) = } = b /m F ) obin l olución m[ b / m) R] F ) Aplicndo n: x ) = l orm d convolución: - { F) G) } = m[ b / m) R] obin l olución: x ) = m Fu) -u) b u)/ m du fu) g-u) du Co R < : Srá R = ; produc - { b / m) Aplicndo n x ) = - { F) G) } = } = b / m Snh F ) l orm d convolución m[ b / m) R] fu) g-u) du, obin l olución: x= m Fu) b u)/m Snh -u)du APICACIÓN: POSICIÓN DE PARTICUAS prícul P d gr d m muv obr l j x, y ríd hci l orign con un furz d 8X. P Hllr u poición pr un impo uponindo qu no cún or furz y qu inicilmn n rpoo X = Pr l dircción poiiv hci l drch, cundo: X >, l furz n hci l izquird ngiv) y rá dd por 8X. X <, l furz n hci l drch poiiv) y rá dd por 8X Aí, impr l furz n 8X, lugo por Nwon: M x Aclrción = Furz: d X d X 8X o X d d d X X x X d d Enonc: m X - { x} co ; lugo x x = x

39 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 9 APICACIÓN: MOVIMIENTO DE PARTICUAS Un prícul d m m muv l j X y ríd hci l orign con un furz dx numéricmn igul x, >. Acú un Furz morigudor = β, pr β >. d Dicuir l movimino; conidrr odo lo co, uponindo qu X ) X, X ) V cución dl movimino d d X m d dx X d O X ) dond m, m. d X dx d. Al ur l condicion inicil, l d ): x X V x X ) x, o x X V X) ) X ) V ) X Co :. X V X x X co ) n El movimino llm ocilorio morigudo. prícul ocil lrddor d, y l mgniud d cd ocilción v hciéndo mnor cd vz. El príodo d l ocilción á ddo por y l frcunci por., cnidd nurl. corrpondin l co, dcir in morigución) llm l frcunci Co :.

40 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE X V X X x X V X ) ) Aquí l prícul no ocil indfinidmn lrddor d ino qu proxim grdulmn in llgr lcnzrlo. E ipo d movimino llm movimino críicmn morigudo, puo qu culquir diminución d l conn d morigución β producirá ocilcion Co,. X x ) X V X ) ) ) ) V X X coh El movimino llm obr-morigudo y no ocilorio. nh APICACIÓN: CARGA DE CIRCUITO EN SERIE Un inducor d hnry, un rinci d 6 ohmio y un condndor d, frdio X concn n ri con un f..m. d E volio. X En = no l crg dl condndor como l corrin dl circuio vln cro. Enconrr l crg y l corrin n culquir impo > i E = volio), E = Sn volio). Sn Q I rpcivmn l crg y corrin innán n l impo. Por l ly d Kirchhoff di Q d Q dq nmo: 6I E ) y como I dq d, 6 5Q E ) d, d d bjo l condicion inicil Q ), I) Q). d Q dq d d Por nconrmo qu q Q) Q) 8 q Q) 5q ) o q 8 5) 8 5 ) ) ) 9 ) 9 ugo, Q 6 6 co 8 n I dq 5 n d Si E = volio, nonc ) rá. 8 5Q 5 E

41 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE d Q dq Si E = Sn volio, nonc ) n co: 8 5Q 5n d d 5 : 8 5) q 9 y q ) 8 5) ) 9 5 ) 9 Aí: Q n n n co co n co n ) 5 5 y nonc I dq 5 co n 7n 6 co d 5 5 Pr grnd vlor d, lo érmino d Q o d I n qu prc on dprcido y llmn lo érmino rniorio o l pr rniori d l olución. o oro érmino llmn lo érmino prmnn o l pr prmnn d l olución. APICACIÓN: CORRIENTES DE CIRCUITOS En l mll lécric, drminr l corrin d l difrn rm, i l corrin inicil vln cro. h P ohmio d ly d Kirchhoff dic qu l um lgbric d l cíd d volj lrddor d culquir mll crrd cro. Rcorrindo l mll KMNK y JKNPJ n nido d l guj dl rloj, rán poiiv l cíd d volj, cundo l rcorrido v n nido opuo l corrin. Y un ubid dl volj conidr un cíd d volj con igno opuo. S n l nudo K, I l corrin n NPJK, qu divid I y I n l form qu I I I. Eo quivln l r ly d irchhoff. Aplicndo l d ly d Kirchhoff n l mll: di di di d KMNK: I I ó 5I I, pr l d d d d condicion I ) I ) di di JKNPJ: I I ó I 5I 55 d d, pr l condicion I ) I) ohmio ohmio K N M J I, pr l condicion inicil : i i I ) i I ) i 5 i I ) i 5i 55, o : 5) i ) i ó ) i 5i 55

42 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE Por l ª cución, i i, l ª cución d 55 55) i ó i 55 55) 55 Enonc: I 55 I I 55 I I I 55 APICACIÓN: DEFEXIÓN DE VIGAS Hllr l dflxión n culquir puno d un vig fij qu n u xrmo x = y x = l opor un crg uniform W o por I unidd d longiud. I cución difrncil y l condicion d fronr on d Y W < x < ) dx EI Y ), Y ), Y ), Y ) ) n lo mimbro d ) nmo qu, i y y ) Y x ), W y Y ) Y) Y ) Y ) ) EI Emplndo n ) l do primr condicion y l condicion dconocid Y ) c c nconrmo qu: c W y 5 EI Invirindo érmino: D l do úlim condicion d ) obnmo: Y x) cx cx W x cx Wx cx! EI! 6 EI W l W l c, c EI EI Y x) W W l x lx x EI EI x l x l lx x dflxión bucd : Y ) c,, APICACIÓN: DEFEXION EN VIGA VOADIZA Un vig voldiz gurd n l xrmo x y libr n l xrmo x, opor un crg W x ) por unidd d longiud dd por

43 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE Y W x W x) l x l l Hllr u dflxión cución difrncil y l condicion d fronr on d Y W x) < x < ) dx EI ), Y), Y l), Y l) Y ) x Pr plicr, xndmo l dfinición d W x ) d l iguin mnr: W x l W x) ) x l Por l función uniri d Hviid w xpr W x) Wu x) u x l ) ) Tomndo d ) nmo qu, i y y ) Y x), Enonc: y Y ) Y) Y ) Y ) W EI D l do primr condicion d l fórmul ) y d l condicion dconocid Y ) c Y ) c l c c W l nconrmo qu: y c x Invirindo lo érmino: Y x) ux l c x! c x! EI 5 W x EI! o cul quivln :! W EI x l ) W cx x x l 6 EI cx Y x) W W c x x x l x l! 6 EI EI Por l condicion Y l), Y l) Wl c, 8EI!, Wl c Ai l dflxión rqurid EI Wl Wl W W Wl Wl W Y x) x x x x l u x l ) = x x x 6EI EI EI EI 6EI EI EI Wl x l, o Yx)= W l W W x x x x l l x l 6EI EI EI EI APICACIÓN: DEFEXION EN VIGA EMPOTRADA Un vig in mpordo u xrmo n x y x. En l puno x l, cú, vriclmn hci bjo, un crg concnrd P. Hllr l dflxión ruln. crg concnrd n x l P x l ) dond l función dl d Dirc o función d impulo. cución difrncil d dflxión y u condicion d d Y P dx EI Y ), Y ), Y l), l), fronr on: x l ) ) Y ) Y

44 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE P l Por, i y Yx ) ndrmo qu: y Y) Y) Y ) Y ) ) EI l c lmo: Y ) c y Y c P ) c, por l condicion d ): y ) EI cx cx P x l ) Al invrir: Y x) u x l ) 5)!! EI! qu quivl : c x c 6 x x l Y x) P cx cx x l 6 6EI l x l P D l do úlim condicion d ) hllmo: l P c, c 7EI 7EI P lx P x P Y x) x l 7EI 8EI 6EI Enonc l dflxión rqurid : u x l ) P x l 8EI 5x) P x l 5x) 8EI o : Y x) P 6EI x l x l l x l APICACIÓN: PESO SUSPENDIDO EN RESORTE Un po d 6 libr upndido d un ror lo ir pi. En l inn l po hll pi por dbjo d l poición d quilibrio y ul. Aum un furz morigudor d vc l vlocidd innán. En l inn l po rcib un golp co, dd bjo, qu rnmi unidd d momno l m; dmá, n l inn civ un furz xrn con un mgniud d unidd. Enonc. Drmin l cución difrncil y condicion inicil qu dcribn l movimino.. Encunr l poición dl po n culquir inn.. Cuál l poición dl po n? Pr hllr l conn dl ror: F= 6= =8. ugo l modlo mmáico.x +8x +6x=-δ-)+H-)) xo) = x o) = - f ) Aplicndo : X)-xo)-x o)+8x)-8xo)+6x)= ) X) = X)= ) ) = ) El qu compñ l función dl db qu l golp dd bjo con un innidd d unidd, dmá rcurd qu x ), pu l po por dbjo d l poición d quilibrio. Aplicndo frccion prcil:

45 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE 5 D dond obnmo qu Y í x 5), 57. gráfic d x ) mur n l iguin figur TABA DE TRANSFORMADAS DE APACE { f) } = F).f) / / T n n n =,,,... n,! = n! n > n rn 5 / -) 6 7 n n =,,,... n n > n,! = n! n rn

46 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE b b b b b b b b b b n co b n b co nh coh b nh b coh b b b b b n co n n co co co n coh nh nh nh coh coh nh

47 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE coh n co 5 8 n co 8 n co 5 8 coh nh 5 6 n 5 co 8 8 co 7 n 8 n co co 6 n nh 8 5 coh coh nh 8 coh nh 8 nh coh 8 nh 5 coh 8 8 coh 7 nh 8 nh coh

48 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE / b / / / / co n coh 6 nh co n / co co / co n n / / / co n coh co nh n n nh coh co co coh nh n coh co nh n coh co b b co nh /

49 Mmáic Suprior y Aplicd Wilo Crpio Cácr // TRANSFORMADAS DE APACE / / n / / ln b b co co b ln b n / Sn ) / 7 U ) - / > 7 n. n! ) 7 α / -) > n 7 ) )