UAM CSIC Grupo 911 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema Asignatura de Matemáticas Grado en Química

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1 UAM I Grupo 911 Febrero 213 Ejercicios Resueltos del Tema Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: 1 7 y Nota: Los ejercicios pueden contener errores, agradecemos que se comuniquen a los profesores para su corrección. Escribir a roger.casals@uam.es 1. Determinar el trabajo realizado por el campo vectorial F x, y, z) = xy, 2, 4z), a lo largo de la hélice circular H: rt) = cost), sint), t) para t 2π. El trabajo realizado por una fuerza F a lo largo de rt) es la integral de la componente de la fuerza en la dirección de rt). La dirección de una curva en un punto dado es precisamente la derivada r t). Dado un punto rt), la componente de F es el producto escalar F rt)) r t)). El trabajo es la adición de todas estas contribuciones infinitesimales de la fuerza a lo largo de la curva. Luego, el resultado es 2π W = F dl = F rt)) r t)dt H Tenemos r t) = sint), cost), 1) y F rt)) = cost) sint), 2, 4t), así El trabajo de F a lo largo de H es F rt)) r t) = 2 sin 2 t)) cost) + 4t. W = 2π [2 sin 2 t)) cost) + 4t]dt = 8π 2 2. Integrar el campo vectorial hx, y, z) = xy, yz, xz), sobre la curva descrita por rt) = t, t 2, t 3 ) entre los puntos, 1, ) y 1, 1, 1). Notemos en primer lugar que el punto, 1, ) corresponde a r) y r1) = 1, 1, 1). Luego t = da el punto inicial y t = 1 el punto final, por lo tanto t 1. omo en el ejercicio anterior, es necesario integrar h a lo largo de la curva. Esto quiere decir integrar la densidad obtenida al hacer el producto escalar hrt)) r t). iendo hrt)) = t 3, t 5, t 4 ) y r t) = 1, 2t, 3t 2 ): h dl = 1 3. alcular la integral 1, ),, 1) y, ). hrt)) r t)dt = 1 t 3 + 2t 6 + 3t 6 )dt = 1 t 3 + 5t 6 dt = 1 7 hr)dr si hx, y) = e y, sinπx)) y el triángulo de vértices Esta vez la curva, esto es la unión de los lados del triángulo, tiene tres partes 1, 2 y 3, una por lado. Empezemos con el lado horizontal 1 que une el punto 1

2 UAM I Grupo 911 Febrero 213, ) con 1, ), este se describe por r 1 t) = t, ) con t 1. El segmento que une 1, ) con, 1) pertenece a la recta y = x+1, luego 1 es r 2 t) = t, t+1) empezando con t = 1 y terminando en t =. El segmento que une, 1) con, ) pertenece a la recta y = x + 1, luego se describe por r 3 t) = t, t + 1) con punto de inicio en t = y final t =. La integral a lo largo de cada uno de estos segmentos se calcula como en los dos ejercicios anteriores: evaluando h a lo largo de r y haciendo el producto escalar del vector resultante con r t). Tenemos: r 1t) = 1, ), r 2t) = 1, ), r 3t) = 1, 1) hr 1 t)) = 1, sinπt)), hr 2 t)) = e t+1, sinπt)), hr 3 t)) = e t+1, sinπt)) Las tres integrales son: 1 hr 1 t)) r 1t)dt = 1 1dt = 2 hr 2 t)) r 2t)dt = e t+1 + sinπt))dt = 1 e π hr 3 t)) r 3t)dt = e t+1 sinπt))dt = 1 e 2 3 π La integral total es la suma de la integral en los tres lados I = h dl = h dl + h dl + h dl = 2e 2) π Alternativamente podemos calcular la integral en el contorno de un dominio usando el teorema de Green: P x, y)dx + Qx, y)dy = Q x P y ) dxdy, donde P es la fuerza del campo en la dirección x y Q la fuerza en la dirección y, i.e. la primera y la segunda componente del campo. En nuestro caso es el interior del triángulo, cuyos límites de integración son x y y x + 1 para el sector del segundo cuadrante y x 1 y y x + 1 para el sector del primer cuadrante. En nuestro caso la fuerza en la dirección x de h es P x, y) = e y mientras que Qx, y) = sinπx). Luego Q x = π cosπx), P y = e y. egún la teoría, la integral I también se puede calcular integrando Q x P y en el interior del triángulo: I = Q x P y ) dxdy = = x+1 π cosπx) e y ) dxdy + x+1 = 2e 2) 4 π π cosπx) e y ) dxdy = 1 Para describir una recta y = nx + m podemos coger t = x y usar rt) = t, nt + m). 2

3 UAM I Grupo 911 Febrero alcular la integral hr) dr, si hx, y) = y 2 + y, 2xy e 2y ) y es la circunferencia unidad. Podemos calcular la integral de línea directamente o integrar la densidad adecuada en el interior del dominio con frontera. En este caso = D 2 el disco unidad centrado en el origen x, y) =, ). Método 1: Integral de línea a lo largo de Describimos la curva mediante rθ) = cos θ, sin θ). Tenemos r θ) = sin θ, cos θ). La densidad a lo largo de la circunferencia es hrθ)) = hcos θ, sin θ) = sin 2 θ + sin θ, 2 sin θ cos θ e 2 sin θ ) Luego la integral de línea es = I = 2π sin 2 θ + sin θ, 2 sin θ cos θ e 2 sin θ ) sin θ, cos θ)dθ = sin θsin 2 θ + sin θ) + cos θ2 sin θ cos θ e 2 sin θ )dθ = π Método 2: Integral en el dominio con = En hx, y) = y 2 + y, 2xy e 2y ) tenemos P x, y) = y 2 + y y Qx, y) = 2xy e 2y. Luego la densidad Q x P y a integrar es P y = 2y + 1, Q x = 2y = Q x P y = y obtenemos de nuevo I = h dl = Q x P y ) dxdy = Area) = π. 5. Un planeta se mueve en el campo gravitatorio del sol: F r) = ρm r r 3, ρ, m constantes Demostrar que el campo de fuerzas es conservativo, hallar una función de energía potencial y determinar la energía gravitatoria del planeta. Recordemos que r 2 = x 2 + y 2 + z 2 y r = x, y, z). Luego el campo gravitatorio en el 3 espacio R 3 es F x, y, z) = ρm x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Un campo de fuerzas en R 3 es conservativo si ocurre alguna de las tres siguientes propiedades equivalentes: 3

4 UAM I Grupo 911 Febrero 213 1) La fuerza proviene de una potencial, es decir existe una función ϕ : R 3 R tal que integra al campo, esto es, cumple la ecuación ϕ = F. 2) El trabajo de F a lo largo de trayectorias cerradas es : F dl =, siendo una curva cerrada cualquiera. 3) El producto vectorial del gradiente con la fuerza es nulo, i.e. F =. omprobemos que se satisface 1) hallando el potencial. Necesitamos una función ϕx, y, z) de modo que ϕ = x ϕ, y ϕ, z ϕ) = F. Luego tenemos que resolver las ecuaciones x ϕ = ρm x y ϕ = ρm y z ϕ = ρm z Integrando respecto a x, y y z la primera, segunda y tercera ecuación obtenemos: ρm ϕx, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 Podemos comprobar que efectivamente ϕ es el potencial gravitatorio, por ejemplo ) ρm x = ρm x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 x x 2 + y 2 + z 2 ) /2) = = ρm 1 ) ) 2 x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 x 2x = ρm que efectivamente corresponde a la primera componente de F. La energía potencial gravitatoria del planeta es el trabajo de la fuerza gravitatoria del origen de potencial a la posición del planeta. Esto es precisamente ϕ evaluado en la posición del planeta por ser ϕ una primitiva de F y centrar el origen de potencial en el ol. La energía total del planeta será su energía cinética sumada a esta energía potencial. 6. onsidera la rampa espiral dada por ru, v) = u cosωv), u sinωv), bv) donde l, b, ω R son constantes y u, v) = [, l] [, 2π/ω]. 4

5 UAM I Grupo 911 Febrero alcula el módulo del vector normal a la superficie. 2. alcula el área de la superficie. 3. alcula x 2 + y 2 dσ. alculemos el módulo del vector normal a la superficie correspondiendo a esta parametrización ru, v). En primer lugar calculemos el vector normal. Recordemos que el producto vectorial de dos vectores en el 3 espacio R 3 es perpendicular a ambos, si encontramos dos vectores tangentes linealmente independientes a la superfície y hacemos su producto vectorial obtendremos un tercer vector, perpendicular a ambos vector tangentes, es decir, normal a la superficie. Los dos vectores tangentes que usamos son u ru, v) y v ru, v). Para la parametrización dada los vectores son u ru, v) = cosωv), sinωv), ), v ru, v) = uω sinωv), uω cosωv), b) u producto vectorial es n = cosωv), sinωv), ) uω sinωv), uω cosωv), b) = cosωv) uω sinωv) i = sinωv) uω cosωv) j = b sinωv), b cosωv), uω) b k El módulo del vector normal n es b sinωv), b cosωv), uω) = b 2 + u 2 ω 2 alculemos el área de la superficie, esto es, la integral a lo largo del dominio del módulo del vector normal n: 2π/ω l Área) = 1 da = b2 + u 2 ω 2 dudv = b2 + u 2 ω 2 dudv = Finalmente calculemos de la superfície es Luego la integral de superfície es l = 2π b2 + u ω 2 ω 2 du x 2 + y 2 dσ. La densidad fx, y, z) = x 2 + y 2 a lo largo fru, v)) = u. l 2π/ω x 2 + y 2 dσ = u b 2 + u 2 ω 2 dvdu = 2π ω 7. Evaluar las integrales de línea I 1 = = 2π b 2 + u 2 ω 2 ) 3/2 l 3ω = 2π[b2 + l 2 ω 2 ) 3/2 b 3 ] 3 3ω 3 xdx, I 2 = ydy a lo largo de las siguientes curvas orientas positivamente: l u b 2 + u 2 ω 2 du = 5

6 UAM I Grupo 911 Febrero 213 a) = {x 2 + y 2 = ρ 2 } R 2, con el radio ρ constante b) = { x 2 + y2 = 1 } R 2 a 2 b 2 Empezemos por la curva de a), la circunferencia de radio ρ centrada en el origen, ) R 2. Podemos integrar el campo P x, y)dx + Qx, y) en el contorno o la densidad Q x P y en el interior, en este caso el disco de radio ρ centrado en el origen. Usando la integral en el contorno, una posible parametrización es rt) = ρ cost), ρ sint)) con t 2π. El primer campo a integrar es F 1 x, y) = x, ), luego F rt)) = ρ cost), ), r t) = ρ sint), ρ cost)), F rt)) r t) = ρ 2 sint) cost) Entonces la primera integral da I 1 = F dl = 2π ρ 2 sint) cost)dt = dado que la primitiva es inmediata o usando sin2t) = 2 sint) cost). El resultado se podría haber deducido del hecho que el campo F es conservativo ya que la función φx, y) = x 2 /2 cumple φ = x φ, y φ) = x, ) = F x, y) Deducimos que el campo F integrado a lo largo de la curva en b), una elipse de semiejes a y b, tiene trabajo neto cero. Para la integral I 2 a lo largo de las curvas en a) y b) procedemos análogamente. Dado que τx, y) =, y 2 /2) es un potencial para el campo Gx, y) =, y) tenemos I 2 = por ser ambas curvas cerradas. A modo de ejemplo, calculemos la integral I 2 usando el teorema de Green. omo F x, y) = x, ), la fuerza a integrar es xdx: luego P x, y) = x y Qx, y) =. Por lo tanto la densidad a integrar es Q x P y =, y el trabajo neto producido por la fuerza a lo largo de es. En conclusión, las cuatro integrales se anulan. 9. Determinar el trabajo realizado por la fuerza F x, y, z) = x 2, y 2, 1 ) 4 al desplazarnos en la hélice rt) = cost), sint), t) desde el punto p = 1,, ) al punto q = 1,, 3π). Los puntos p y q corresponden a los valores t = y t = 3π respectivamente, luego integraremos en t 3π. La densidad a integrar es el producto escalar F rt)) r t), como F rt)) = cost) 2, sint), ), r t) = sint), cost), 1) = F rt)) r t) = 1 4 6

7 UAM I Grupo 911 Febrero 213 El trabajo realizado es entonces W = F dr = 3π 1 4 dt = 3π 4 1. alcular el trabajo realizado por la fuerza F x, y, z) = x 2 y, x z, xyz) al desplazarnos en la curva descrita por rt) = t, t 2, 2) con t 1. La densidad a integrar es F rt)) r t), esto es F rt)) = t 4, t 2, 2t 3 ), r t) = 1, 2t, ) = F rt)) r t) = t 4 + 2tt 2) El trabajo se calcula integrando la densidad a lo largo de la curva : 1 W = F dl = t 4 + 2tt 2)dt = alcular el trabajo realizado por la fuerza F x, y) = x 3 2x 2, x y/2) al movernos en la curva descrita por rt) = t, t 2 ). omprobar que el trabajo es nulo cuando el vector tangente es perpendicular a la fuerza. Primero calculemos la integral sistemáticamente. La densidad es F rt)) r t), en nuestro caso F rt)) = t 3 2t 2, t t 2 /2), r t) = 1, 2t) = F rt)) r t) = t 3 2t 2 +2t 2 t 3 = Luego el trabajo realizado por la fuerza F entre cualquier par de puntos de la parabola es, por ser la integral de la densidad. Es claro que en general si la fuerza F rt)) es perpendicular al vector tangente r t), i.e. F rt)) r t) =. Por lo tanto, el trabajo realizado es nulo dado que integramos la densidad. 12. Dada la fuerza F x, y) = y, x 2 ), calcular su integral de línea, i.e. el trabajo realizado, en la curva rt) = 4 t, 4t t 2 ) con t 3, y razonar el resultado que se obtendría recorriendo la curva en sentido inverso. La densidad es la fuerza evaluada en los puntos de la curva producto escalar con el vector tangente, que captura la componente de la fuerza en la dirección de la curva: F rt)) = 4t t 2, 4 t) 2 ), r t) =, 4 2t), F rt)) r t) = t 2 4t+4 2t)4 t) 2 La integral es F dl = 3 t 2 4t + 4 2t)4 t) 2 dt = 69 2 En el sentido inverso el resultado cambia de signo. Esto se sigue de la interpretación física o directamente usando la parametrización de t = 3 a t = junto con b a = a b 7