UNA NOTA SOBRE ECONOMETRÍA ESPACIAL (*)

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA Facultad de Cecas Ecoómcas, Jurídcas y Socales Isttuto de Ivestgacoes Ecoómcas Reuó de Dscusó Nº 7 Fecha: /06/003 Hs.: 6 UNA NOTA SOBRE ECONOMETRÍA ESPACIAL (*) Eusebo Cleto del Rey CONICET UNSa. Itroduccó Co motvo de la Reuó de Dscusó (R. D.) Nº 57 (DEL REY, 00) e la que se cosderó el trabao La Cotrbucó de Meoras: U Eercco Empírco, la Prof. Aa María Cerro (Uversdad Nacoal de Tucumá) os sugró realzar tests de correlacó espacal y de heterocedastcdad y, e caso de estar presete alguo de estos feómeos, emplear los métodos de estmacó pertetes. Ello os llevó a estudar Ecoometría Espacal. Habedo avazado algo e este setdo, decdmos escrbr este trabao, cuyas faldades so: a) Oblgar al autor a ordear sus deas, para poerlas por escrto; b) Recbr crítcas y sugerecas, especalmete de aquellos que haya trabaado e el tema; c) Poer e cotacto co el tema a los tegrates

2 del equpo de vestgacó del Proyecto Nº 37, y a los otros partcpates e esta R. D. que o tega coocmetos respecto a él. Cuado uestras observacoes se realza sobre udades ubcadas e el espaco, que etre ellas se terflueca e lo relatvo al feómeo de uestro terés, las téccas de la llamada Ecoometría tradcoal puede coducr a estmadores que o tee las característcas deseables (auseca de sesgo, efceca, etc.). E tal caso debe aplcarse los métodos de la Ecoometría Espacal. Eemplos de tal tpo de observacoes so las realzadas sobre los mucpos de ua provca o las provcas de u país, e cuato a algú aspecto de su actvdad ecoómca, de su poblacó, etc.. E uestro caso, estudamos los precos de terreos localzados e dferetes putos del Departameto Captal de la Provca de Salta (DEL REY, 00 y DEL REY, 00). Este trabao está orgazado como sgue: E la Sec. presetamos el cocepto de vecdad, y la matrz de poderacoes relacoada co ese cocepto; el problema de la depedeca espacal se cosdera e la Sec. 3, e tato que la Sec. 4 está dedcada a la heterogeedad espacal; e la Sec. 5 cosderamos los tests co los que se puede detectar los feómeos presetados e la dos seccoes aterores, y e la Sec. 6 hacemos, a maera de coclusoes, alguas cosderacoes respecto a la aplcacó de todo lo ateror a la estmacó de uestras fucoes hedócas (DEL REY, 00 y DEL REY, 00).. Vecdad Cuado las observacoes que coforma ua muestra se ecuetra ubcadas e u espaco geográfco, puede ser etre ellas vecas o o (*) Este trabao surgó del Proyecto de Ivestgacó Nº 37 del Coseo de Ivestgacó de la Uversdad Nacoal de Salta (UNSa), ttulado: La Cotrbucó de Meoras y Otros Trbutos Locales.

3 serlo. Se dce que so vecas cuado este terflueca etre ellas, e relacó al feómeo bao estudo. Para maear la formacó referda a la vecdad de las observacoes se emplea la matrz de cotactos, poderacoes o pesos, que se smbolza usualmete por W. Esta matrz es de orde, dode es el tamaño de la muestra, y cotee la relacó estete etre cada par de observacoes. Se supoe que ua observacó o es veca de sí msma, por lo que todos los elemetos de la dagoal prcpal so guales a 0. Para obteer el resto de los elemetos se emplea dferetes crteros, como ser el de la cotgüdad y el de la dstaca. El crtero de cotgüdad establece que dos observacoes so vecas s tee etre ellas putos e comú. Para aplcar este crtero este varas reglas partculares, que o os teresa, por lo que sólo damos el sguete eemplo: S trabaamos co provcas argetas como udades de observacó, podemos decr que Tucumá es veca de Salta, pues tee putos e comú (los que correspode al límte etre ambas), pero Córdoba o es veca de Salta, pues o los tee. Al elemeto de la matrz W que correspode a Salta-Tucumá le asgamos el valor, e tato que al que correspode a Salta-Córdoba le asgamos 0. E geeral, s las observacoes so vecas será w, s o lo so será w 0, y sempre es w 0 (por lo dcho e el párrafo ateror), sedo w u elemeto de la matrz W. El crtero de la dstaca establece dsttos grados de vecdad e fucó de la dstaca estete etre las observacoes. Cuato meor sea la dstaca etre u par de observacoes, tato mayor será su vecdad. Se suele emplear... la versa del cuadrado de la dstaca, de forma que w, dode d es la dstaca etre los cetros geográfcos de cada par d de ecoomías. (LÓPEZ-BAZO et al., 999). De esto resulta que todas las 3

4 observacoes so vecas, pero e dstto grado, segú las dstacas que las separa. W, la matrz de poderacoes, suele ser ormalzada e sus flas, del sguete modo: w w. De esta forma es posble defr W como el retardo espacal de ua varable, es decr, como la suma (poderada ) del valor de e las ecoomías vecas. (LÓPEZ-BAZO et al., 999). 3. Depedeca Espacal Cuado el valor que toma ua varable e ua udad de observacó es fludo por los valores de esa msma varable e udades vecas, decmos que hay depedeca espacal. També se la suele llamar autocorrelacó espacal. Es el msmo cocepto que se usa e el aálss de seres de tempo, cuado hablamos de autocorrelacó (e este caso temporal ). Este, s embargo, ua gra dfereca etre los dos tpos de autocorrelacó: La autocorrelacó temporal es udreccoal, pues cada observacó sólo puede ser fluda por ua observacó ateror, e tato que la espacal es multdreccoal, pues puede haber varas observacoes vecas que fluya e la cosderada. La autocorrelacó espacal puede ser postva o egatva. S a valores mayores de la varable pertete e la observacó le correspode valores mayores de ella e la observacó cosderada,, y a valores meores de la varable pertete e la observacó le correspode valores meores de ella e la observacó cosderada,, se dce que la autocorrelacó es postva. S a valores mayores de la varable pertete e la observacó le correspode valores meores de ella e la observacó cosderada,, y a valores meores de la varable pertete e la observacó le correspode 4

5 valores mayores de ella e la observacó cosderada,, se dce que la autocorrelacó es egatva. Este feómeo puede presetarse e algua de las varables observadas (sedo más mportate s se trata de la varable depedete) o e los errores de ua regresó. E cuato a los efectos de la autocorrelacó espacal, os dce ALAÑÓN PARDO (999): S se trabaa co u modelo ecoométrco e el que este autocorrelacó espacal, y ésta o se elma o modelza correctamete etoces el auste, la fereca, muchos cotrastes de hpótess será fables. Depededo de la aturaleza de dcha autocorrelacó las estmacoes del modelo podrá ser sesgadas, cosstetes o efcetes. 4. Heterogeedad Espacal LESAGE (998), pág. 6 y 7, caracterza a la heterogeedad espacal como aquella stuacó e que la relacó (etre varables) estudada varía e el espaco, esto es, dfere de u puto observado a otro. Así, e el caso por osotros estudado, la fucó hedóca camba de uo a otro terreo observado, s está presete este feómeo. A esto lo formalza (LESAGE, 998) de la sguete maera: y () X Dode: y es el valor que toma la varable depedete e la observacó ; X es el vector ( k ) de los valores que e esa observacó toma las varables depedetes; es el vector columa ( k ) de los valores de los coefcetes de regresó correspodetes a esa observacó; es el térmo de error; es el úmero de la de la observacó o localzacó cosderada, =,,..., sedo el tamaño de la muestra; k es el úmero de varables depedetes. 5

6 El vector de los parámetros varía de ua a otra observacó, por lo cual tedríamos que estmar de esos vectores, lo que os dearía s grados de lbertad. E otras palabras, la formacó sería sempre sufcete, pues a medda que crece el tamaño de la muestra crece també el úmero de parámetros. Es precso, por lo tato, especfcar la varacó de la relacó e el espaco, de modo que se reduzca el úmero de parámetros a uos pocos y sea así posble estmarlos. Ua forma de hacerlo es establecer restrccoes al modo e que puede varar la relacó. Por eemplo, supoer que los parámetros so homogéeos detro de las áreas urbaa y rural, pero que varía etre esas áreas. E lo que va a cotuacó seguremos a ANSELIN (990, pág. 43 y 44), para ver los efectos que la heterogeedad espacal produce. Trabaaremos co el método de epasó espacal desarrollado por Casett (ctado por ANSELIN, 990). Este método es u caso especal de regresó co coefcetes que varía. Sea la sguete regresó smple la que queremos estmar y 0 () Dode: y es la varable depedete; es la varable depedete; 0 y so los coefcetes de regresó y es el térmo de error, co valor esperado ulo y varaza. Pero es estable, e el setdo de que o es costate a través de las observacoes, ya que varía del sguete modo: 0 z z (3) Dode:, 0 y so costates; z y z so las varables de epasó, cuyo úmero debe ser fto. A que (3) es ua relacó eacta, s térmo de error. lo llamamos el parámetro epaddo. Nótese 6

7 Etoces, reemplazado: y z ) ( z ) (4) 0 0 ( La ecuacó (4) es el modelo epaddo. S estmáramos (), sedo correcta la especfcacó de (4), los estmadores de los coefcetes 0 y so sesgados, debdo a que las varables z y z fuero omtdas. S o coocemos eactamete la forma de (3), y por lo tato debemos clur u térmo de error, tedremos, e su lugar: 0 z z (5) Dode: varaza. es u térmo estocástco de error, co valor esperado ulo y Reemplazado e (): y 0 0 ( z ) ( z ) (6) El térmo de error e (6) es: (7) Por lo tato: y z ) ( z ) (8) 0 0 ( Veamos el valor esperado y la varaza de (7): E E E E 0 (9) var (0) El valor esperado del térmo de error de (8) es ulo, pero su varaza depede de, o sea que hay heterocedastcdad. Segú os dce MADDALA (996, pág. 39), las cosecuecas de la heterocedastcdad so: 7

8 . Los estmadores de mímos cuadrados sgue sedo sesgados, pero efcetes.. Los estmadores de las varazas so sesgados, lo que valda las pruebas de sgfcaca [sc]. 5. Tests E las Sec. 3 y 4 vmos que tato la depedeca como la heterogeedad espacales puede producr ua otable pérdda e la caldad de uestros estmadores s o se usa los métodos de estmacó pertetes a cada caso. Es, por lo tato mportate realzar tests que os permta teer evdecas sobre s está o o presetes esos feómeos e uestros datos. 5.. Tests para la Depedeca Espacal E la lteratura sobre Ecoomía Espacal de la que dspoemos (que por certo o es muy abudate) ecotramos varos tests para la depedeca o autocorrelacó espacal, etre los que mecoaremos los que se realza co los estadístcos I de Mora, C de Geary, G de Gets y Ord y W de Wald, además del test del multplcador de Lagrage y el de la razó de verosmltud. De todos ellos, el más frecuetemete mecoado es el I de Mora, que es u dcador de depedeca espacal que se puede aplcar a los errores de ua regresó o a otra varable cualquera. LESAGE (998), pág. 50, preseta al estadístco I de Mora, para depedeca espacal de los errores, del sguete modo: I e' We e' e () Dode: W es la matrz de poderacoes que hemos defdo e Sec., ormalzada e sus flas (s se usa la o ormalzada las fórmulas so u poco 8

9 dferetes, ver: LESAGE (998), pág. 50 y 5); e es el vector columa de los resduos de ua regresó por mímos cuadrados ordaros. Sempre sguedo a LESAGE (998), pág. 5, dremos que Clff y Ord demostraro que la dstrbucó astótca de I, s los resduos provee de ua estmacó por mímos cuadrados, correspode a ua dstrbucó ormal estádar, cuado se estadarza ese estadístco. Para ello hacemos: tr MW E I () k tr MWMW ' tr MW tr MW Vr I (3) d E I d k k (4) I E I Z I (5) Vr I Dode: E I es el valor esperado del estadístco I ; tr smbolza la traza de la matrz que va etre parétess; M ( I X X ' X ') (Nótese que, e esta X fórmula, I es ua matrz utara, o el estadístco de Mora); X es la matrz k de observacoes sobre las varables depedetes; Vr I es la varaza del estadístco I ; Z I es u estadístco que se dstrbuye como ormal estádar; es el tamaño de la muestra; k es el úmero de varables depedetes. Para presetar el ídce I de Mora, aplcable a ua varable X cualquera, segumos a GALVIS APONTE (00), cambado u poco su smbología para mateer uforme la uestra. Este autor preseta al ídce de Mora del sguete modo: w I (6) w 9

10 Dode:, so observacoes sobre la varable X ; w so elemetos de la matrz W, s ormalzar. Este autor codcoa a la fórmula (6) escrbedo a su lado:, lo cual pesamos que es ecesaro debdo a que w 0, segú vmos e Sec.. El valor esperado y la varaza del ídce se calcula, e este caso y de acuerdo co GALVIS APONTE (00), del sguete modo: E I (7) 3 3 S S 3S b S S 0 0 Vr I (8) 3 S0 6S m4 Dode: b m m 4 z 4 m z S 0 w S w w S w. w. w. w z es el desvío estádar de. Ua vez calculadas la meda y varaza segú las ecuacoes (7) y (8), se aplca la ecuacó (5). E ambos casos, cuado se obtee co las ecuacoes () y (3), o co las ecuacoes (7) y (8), Z I de (5) se puede comparar co el valor de la tabla de la dstrbucó ormal estádar que correspoda al vel de sgfcacó elegdo para hacer el test. Sea el vector columa ( ) de las observacoes sobre X, epresadas como desvíos respecto a la meda muestral. Esto es, cada elemeto de ese vector es: de Mora (etre otras formas equvaletes) como:. Co él AROCA (000) defe el estadístco 0

11 W I (9) Sedo W la matrz de poderacoes ormalzada. Nótese que el estadístco de (9) es smlar al que hemos presetado e () para los errores. Pero AROCA (000) o recurre a la ormal estádar para realzar su test, so que propoe el sguete crtero: S I es cercao a, este depedeca espacal postva; S I es cercao a -, este depedeca espacal egatva; S I es cercao a, o este depedeca espacal, o, lo que es lo msmo, hay dstrbucó aleatora de los valores. Esta epresó es la presetada como valor esperado de I e la ecuacó (7). Ates de dear este tema dremos que ANSELIN (990) preseta, e su Sec. 3, alguos tests para depedeca espacal que so robustos a la heterocedastcdad. No los cosderamos e este trabao por razoes de espaco. 5.. Tests para la Heterogeedad Espacal BAO (s/f) preseta, e su pág. 5, u test para heterogeedad e preseca de depedeca espacal. Nos dce que, e ese caso, o se matee las propedades de las dstrbucoes de los test tradcoales que se usa para detectar heterocedastcdad, y propoe emplear el test de Chow. Para aplcar el mecoado test formulamos las hpótess ula y alteratva así: H 0 : y X (0) Es ecesaro trabaar co álgebra para tratar de establecer las dferecas y semeazas etre las tres formas del I de Mora aquí presetadas, y també co otras que se ecuetra e la lteratura. La tarea queda pedete para el futuro.

12 X 0 H : y () 0 X Dode: X y X so subcoutos de observacoes sobre las varables depedetes; y so los coefcetes de regresó correspodetes a cada subcouto; BAO (s/f) sostee que es el térmo de error, espacalmete autorregresvo. X y X so ambas matrces de dmesó cual cosderamos que es erróeo: No puede coteer ambas las observacoes de la muestra, pues so subcoutos de la matrz X de (0), la k, lo que sí sería k. E este caso, el estadístco de Chow se defe como: er I W ' I W er e I W ' I W eu C () U Dode: es el estmador mámo verosíml del parámetro espacal; e R es el vector de los resduos de la regresó restrgda; e U es el vector de los resduos de la regresó o restrgda; es la estmacó de la varaza del error, ya sea e el modelo restrgdo, e el o restrgdo o e ambos. Este estadístco tee ua dstrbucó astótca k bao la hpótess ula, o sea la que sgfca que espacal., que a su vez mplca que o este heterogeedad 6. A Modo de Coclusoes Para aplcar a uestras fucoes hedócas (véase: DEL REY, 00 y DEL REY, 00) lo cosderado e las seccoes aterores, debemos defr uestro cocepto de vecdad, aplcable a este caso. Ua alteratva que resulta atractva es dvdr a la cudad de Salta (o al Departameto Captal, e su caso) e zoas, cuyos terreos pueda

13 cosderarse que se ecuetra e el msmo mercado moblaro. Nótese que esta dvsó se realzaría más co crtero ecoómco que geográfco, pues dos zoas puede estar físcamete separadas, pero teer terreos que compte etre sí. A tal f se puede recurrr a u eperto e egocos moblaros, como es el caso del Sr. Armado Romero Dodz. Ua vez zofcada el área de observacó, defmos como vecos a los terreos que se ecuetra e la msma zoa. Hecho esto, ya podemos defr uestra matrz W, de la maera acostumbrada, asgado los valores: w s los terreos y so vecos, y w 0 s o lo so. Esta matrz os permtrá aplcar el test I de Mora, u otro que se cosdere coveete, a f de establecer s este o o depedeca espacal. E cuato a heterogeedad, parece razoable supoer que, s este este feómeo e uestros datos, habrá homogeedad de relacó etre los terreos que está e ua msma zoa de la cudad (de las ates defdas), y varacó de ua zoa a otra. Podemos etoces partcoar la matrz X, como se eplca e la Sec. 5., poedo e cada parte de ella las observacoes de cada zoa, y aplcar el test de Chow para ver s hay heterogeedad. Otro método que se os ocurre es multplcar la dummy de cada zoa (como las que empleamos e DEL REY, 00 y DEL REY, 00) por cada ua de las otras varables eplcatvas, e troducrlas e la regresó uto a esas msmas dummes. El test de sgfcacó del coefcete correspodete a cada ua de esas varables, co respecto a cero, os drá s los parámetros varía o o de zoa a zoa. Esto será factble s teemos sufcetes Que colaboró co osotros e trabaos aterores. Véase DEL REY, 00 y DEL REY, 00. 3

14 observacoes, para o quedaros s grados de lbertad. Pero Se puede multplcar dummy por dummy, para este f? Recuérdese que las varables eplcatvas de uestras fucoes hedócas so, e su mayoría, dcotómcas (véase: DEL REY, 00 y DEL REY, 00). S de los test realzados surge evdecas de que uestros datos preseta depedeca o heterogeedad espacal, ecestaremos buscar el modelo espacal que os permta evtar los problemas que crea esos feómeos. Referecas: ALAÑÓN PARDO, Ágel (999): El Uso Práctco de las Téccas de Ecoometría Espacal: La Productvdad del Trabao Idustral, Documetos de Trabao, Facultad de Cecas Ecoómcas y Empresarales, Uversdad Complutese de Madrd, ANSELIN, Luc (990): Some Robust Approaches to Testg ad Estmato Spacal Ecoometrcs, Regoal Scece ad Hurba Ecoomcs, North Holad, 0, pág AROCA, Patrco (000): Ecoometría Espacal: Ua Herrameta para el Aálss de la Ecoomía Regoal, V Ecuetro de la Red de Ecoomía Socal, Paamá, Septembre. BAO, Shumg (s fecha): A Overvew of Spatal Ecoometrc Models, Cha Data Ceter, Uversty of Mchga, DEL REY, Eusebo Cleto (00): La Cotrbucó de Meoras: U Eercco Empírco, Reuó de Dscusó Nº 57, I. I. E., Fac. Cs. Ecoómcas, J. y S., UNSa, Salta, 8/. DEL REY, Eusebo Cleto (00): La Cotrbucó de Meoras: Teoría, Metodología y u Eercco Empírco, CASTAÑARES (Cuaderos del I. I. E.), Cuadero Nº 9, Año X, Septembre. GALVIS APONTE, Lus Armado (00): La Topografía Ecoómca de Colomba, Documetos de Trabao Sobre Ecoomía Regoal, Baco 4

15 de la Repúblca Sucursal Cartagea, Cartagea de Idas, LESAGE, James P. (998): Spatal Ecoometrcs, Departmet of Ecoomcs, Uversty of Toledo, MATLAB, December. LÓPEZ-BAZO, Erque, VAYÁ, Esther, MORENO, Rosa y SURIÑACH, Jord (999): Eteraldades etre Ecoomías: Efectos sobre el Crecmeto, mmeo, MADDALA, G. S. (996): Itroduccó a la Ecoometría, Seguda Edcó, Pretce Hall, Méco. 5

16 Uversdad Nacoal de Salta Facultad de Cecas Ecoómcas, Jurídcas y Socales Isttuto de Ivestgacoes Ecoómcas Bueos Ares 77 A440FDC Salta Argeta REUNIONES DE DISCUSIÓN Nº Fecha Autor Título 6 8/ 5/0 Eduardo Atoell Cosderacoes sobre la Oferta Agregada 63 / 5/0 Eduardo Atoell Dolarzacó y Demada de Dero 64 7/ 8/0 Eduardo Atoell La Iflacó e la Argeta: Aálss y Evdeca Empírca, / 8/0 Roberto A. Db Ashur Dolarzacó 66 / 8/0 Carola Psell Udad de Aálss y Varables Apropadas para Medr la Desgualdad 67 8/ 8/0 Eduardo Atoell Cosderacoes sobre las Tasas de Varacó de Salaros, Precos y Desempleo 68 4/ 9/0 Eduardo Atoell La Demada y la Oferta Agregadas bao Desequlbro 69 30/ 4/03 Eduardo Atoell Alguas Cosderacoes sobre la Oferta Agregada 70 4/ 5/03 Eduardo Atoell Sobre la Racoaldad e Ecoomía 7 / 6/03 Eusebo Cleto del Rey Ua Nota sobre Ecoometría Espacal 6

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