Semana 5 Productos notables. Parte I

Transcripción

1 Multiplicación y división de polinomios Semana 4 Empecemos! Bienvenidos a otro encuentro con el saer matemático. En esta oportunidad estudiaremos los productos notales; la ventaja de estos es que nos permiten resolver de manera más sencilla e inmediata los productos que aparecen con cierta regularidad en algunos prolemas. En esta sesión podrás visualizarlos atendiendo a la diversidad de formas de representarlos: algeraico, geométrico, numérico y veral. Para otener mayores eneficios en el aprendizaje de esta semana necesitas tener conocimiento del cálculo de la superficie de los cuadriláteros y de operaciones algeraicas (traducir expresiones en lenguaje común al algeraico, reducción de términos semejantes ). Anímate a revisar estos temas en las guías de semestres anteriores. Qué saes de...? 1. Expresa en lenguaje algeraico los siguientes enunciados: a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado. ) El cuadrado de la suma de seis y doce. c) La diferencia de los cuadrados de treinta y diez. d) El cuadrado de la diferencia entre sesenta y cuarenta y cinco. El reto es... Un árol de 32m de altura es querado por un rayo en un día lluvioso. Determina la altura de quiere del árol con respecto al suelo, si el trozo roto queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16m de ase. Sugerencias: dado que el árol forma un ángulo recto con respecto al suelo, el triángulo que se forma es, así que aplica el teorema de Pitágoras. 183

2 ?? 16 m Figura 5 Vamos al grano Cómo podemos expresar los valores o incógnitas correspondientes al cateto e hipotenusa? Realicemos la siguiente analogía: comparemos un árol con una línea recta para hacer el análisis. E Extremo E 32m P O Origen P O 32x x 32m x 16 m 32-x a.. c. d. Longitud de árol Punto P de quiere del árol Distriución de segmentos en el árol Las relaciones entre los segmentos Recuerda que el teorema de Pitágoras expresa lo siguiente: (Hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2. Al sustituir nos queda: (32-x) 2 =x Ten presente que x representa la altura a la cual se rompió el árol con respecto al suelo. La expresión del miemro izquierdo (32-x) 2 es un producto notale, conocido como cuadrado de una diferencia. En lo que resta de esta sección, verás cómo se resuelven. Cuadrado de una suma o producto de la forma (x+a) 2 a 2 (a+) a a 2 a 184 a Figura 6

3 Semana 5 La longitud del lado del cuadrado que se muestra en la figura 6 es a+. Con tus conocimientos de geometría saes que el área del cuadrado se otiene multiplicando la longitud de dos de sus lados, esto es (a+) (a+). Al elevar la longitud de su lado al cuadrado se tiene: A= (a+) (a+) (a+) 2 = (a+) (a+). Como oservarás esto es el producto de inomios, resuélvelo aplicando la multiplicación! Por otro lado, si sumas las áreas del interior del cuadrado grande, otienes: A= a 2 +a +a + 2 =a 2 +2a + 2 Por tanto tenemos, que: El cuadrado de la suma de un inomio (o dos monomios) es igual al cuadrado del primero más el dole producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado. (a+) 2 =a 2 +2a + 2 Primer término Segundo término Oserva los siguientes ejemplos: 1. Halla el cuadrado de la suma (3x+5) 2 El cuadrado del 1er término es (3x) 2 =(3x)(3x)=9x 2 El dole producto de amos términos es 2(3x)(5)=(6x)(5)=30x El cuadrado del 2do término es 5 2 =5 5=25 Entonces (3x+5) 2 =9x 2 +30x+25 Recuerda que multiplicar un número por sí mismo es igual que elevarlo al cuadrado, esto es a a=a 2. Con esta idea en mente, puedes inferir que (3x+5) (3x+5)= (3x+5) 2 ; es decir, cualquiera de los dos miemros de la igualdad representa el cuadrado de un suma. 2. Encuentra tres enteros consecutivos tales que las sumas de sus cuadrados sea 65 más que tres veces el cuadrado del más pequeño. Una de las maneras de realizar el ejercicio es haciendo uso de las ecuaciones. Traduzcamos esa información al lenguaje algeraico. Llamemos 185

4 z al menor de los números, así los otros números consecutivos serán, z+1 y z+2, elevamos al cuadrado cada uno de ellos: z2+(z+1) 2 +(z+2) 2, luego con la información restante escriimos la ecuación: z 2 +(z+1) 2 +(z+2) 2 = 65+3z 2 Desarrollamos los productos notales otenidos en el miemro izquierdo de la ecuación: (z+1) 2 = z 2 +2 z = z 2 +2z+1 y (z+2) 2 = z 2 +2 z = z 2 +4z+4 z 2 +z 2 +2z+1+z 2 +4z+4= 65+3z 2 Agrupando términos semejantes: 3z 2 +6z+5= 65+3z 2 Aplicando la propiedad de cancelación: z= 10 Así que los otros números consecutivos son 11 y 12. Compruea que estos son los correctos! Cuadrado de una diferencia o producto de la forma (x-a) 2 Aplicando tus conocimientos de multiplicación de polinomios, encontrarás el resultado del cuadrado de una diferencia (a-) 2 = (a-) (a-) Te sorprende? Los resultados son similares al caso del cuadrado de una suma, sólo difieren en el signo del segundo término: (a-) 2 = a 2-2a + 2 Escrie el enunciado para esa igualdad. Geométricamente, el cuadrado de una diferencia representa la región coloreada (ver figura 7). a a- (a-) 2 a- Figura 7 Haz uso de la suma de las áreas interiores del cuadrado, para hallar el cuadrado de una diferencia (a-). Inténtalo! 186

5 Semana 5 Veamos unos ejemplos: 1. (0.3x 4-6) 2 a) El cuadrado del 1er término es (0 3x 4 ) 2 = (0 3x 4 )(0 3x 4 )= 0.09x8 ) El dole producto de amos términos es -2(0 3x 4 )(6)= (0 6x 4 )(6)= 3 6x 4 c) El cuadrado del 2do término es 6 2 = 6 6= 36 d) Entonces (0.3x 4-6) 2 = 0 09x 8-3 6x Ahora puedes desarrollar el producto notale propuesto en el prolema inicial. 2. (32-x) 2 = (32) x+x 2 = x+x 2 Justifica el resultado. Luego resuelve la ecuación y compara el resultado. La altura a la cual se rompió el árol es de 12m. Cuando elevamos un inomio al cuadrado, otenemos un trinomio cuadrado perfecto (oserva que tiene tres términos). Producto de una suma por su diferencia o de la forma (a+) (a-) Consideremos los siguientes productos de dos inomios que sólo difieren en el signo, es decir, uno es una suma y el otro una diferencia. *(x+6) (x-6)= x 2-6x+6x 36=x 2-36 *(7+3x) (7-3x)= x+7 3x+(3x) 2 = 49-21x+21x 9x2= 49-9x 2 *(8 x 2-10y) (8x 2 +10y)=(8x 2 ) 2 +8x 2 10y-10y.8x 2 -(10y) 2 =64x 4 +80x 2 y -80x 2 y+100y 2 Qué tienen en común los resultados de estos productos de inomios? Estos ejemplos sugieren la regla siguiente para multiplicar la suma y la diferencia. El producto de la forma (a+)(a-), es igual al cuadrado del primer término (a 2 ) menos el cuadrado del segundo término ( 2 ). En general, el producto de una suma por su diferencia se expresa así: (a-)(a+)=a

6 Para saer más Estudiemos los dos primeros casos de la sección Qué saes de?, ves la diferencia entre las expresiones a) y )? a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado: ) El cuadrado de la suma de seis y doce: (6+12) 2 Un error muy común que se comete al resolver productos notales, es asumir que (6+12) 2 = Cuadrado de Suma de cuadrados una suma Como ves esta igualdad no es cierta, si resuelves el miemro derecho sólo tienes que elevar al cuadrado amos números y sumar, mientras que en el miemro izquierdo al desarrollar el cuadrado de una suma otenemos tres términos. Incorrecto Correcto (3+11) 2 = (3+11) 2 = Al comparar geométricamente las expresiones: (a+) 2 y a de la figura 7, verás que la primera representa el área total del cuadrado y la segunda sólo una parte del cuadrado más grande; por tanto, el área de esas expresiones no es equivalente. Aplica tus saeres 1. Copia y completa la tala 2. Tala 2 a a 2 2 2a (a+) 2 a Oserva los resultados de la tala 2 y responde: a) (a+) 2 es igual a a 2 + 2?

7 Semana 5 ) Qué número hay que sumarle a a para que sea igual a (a+) 2? 2. Encuentra dos números positivos consecutivos tales que el producto de la suma y su diferencia más 8 sea igual a la suma de los cuadrados. 3. Calcula utilizando los productos notales: a) (4x+1) 2 ) (3z 3-2) 2 c) (2x-y 3 ) 2 d) (x+5) 2 e) (x-6) (x+6) f) (2z - 1/5) 2 g) (8a 2 -y) 2 h) (2w+5) (2w-5) i) (6-m) (6+m) j) (a+1) (a-1) k) (4a 2 +6xy) 2 Comproemos y demostremos que En el CCA formaran pequeños grupos para comparar los resultados de los ejercicios propuestos en la sección anterior. Luego de la discusión y los consensos generados en el grupo entreguen el traajo al facilitador. No permitáis que nadie venga a vosotros y se vaya sin ser mejor y más feliz. LeiAn-Jai 189