Capítulo 3 Transmisión banda base

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1 Capíulo 3 Transmisión banda base El primer paso esencial en procesamieno digial de señales, formaeo, hace a la señal origen o fuene compaible con el procesamieno digial. En el ransmisor, el formaeo es una ransformación uno a uno de información fuene a símbolos digiales (en el recepor el formaeo es una ransformación inversa). La codificación fuene es un caso especial de formaeo cuando exise reducción de redundancia en los daos (compresión). Nosoros rabajaremos en ese capiulo con formaeo y ransmisión banda base y poseriormene, en el capiulo 6, con el caso especial de una descripción eficiene de la información fuene (codificación fuene). Una señal cuyo especro se exiende a parir de cero (o cercano a cero) hasa un valor finio, usualmene menor que algunos megaherz, es llamada señal banda base o paso bajas. Tal denominación será ácia siempre que nos refiramos a la información, mensaje o daos, ya que las señales de la nauraleza son esencialmene banda base (voz, audio, video, daos, señales de ransducores). Para la ransmisión de señales en banda base en un sisema digial de comunicaciones, la información es formaeada de manera que ésa sea represenada por símbolos digiales. Después, se asignan formas de onda compaibles con el canal de comunicaciones que represenan los símbolos. Enonces las formas de onda pueden ransmiirse ravés de canales de comunicaciones banda base (par renzado, cable coaxial o fibra ópica). 3.. SISTEMAS BANDA BASE La figura 3. presena un sisema de comunicaciones digiales en banda base, realzando el proceso de formaeo. Los daos en forma digial omien la eapa de formaeo. La información exual es ransformada en dígios binarios mediane el codificador. La información analógica es formaeada uilizando res eapas separadas: muesreo, cuanización y codificación. En los res casos de información el resulado del formaeo es una secuencia de dígios binarios llamados símbolos. Enonces los símbolos esan lisos para ser ransmiidos asignándoles previamene una forma de onda compaible con el canal de comunicaciones banda base. El proceso se lleva a cabo mediane el codificador de forma de onda ambién conocido como modulador banda base. Para canales banda base (conducores de cobre o fibra ópica) la forma de onda compaible son los pulsos. La salida del codificador de forma de onda consise en una secuencia de pulsos con una caracerísica que corresponde a los símbolos a ser ransmiidos. Después de la ransmisión a ravés del canal de comunicaciones, las formas de onda son deecadas para esimar los dígios ransmiidos, y el paso final, formaeo inverso, recupera un esimado de la información fuene. de 54

2 Digial Texual Formaeo Analógica Muesreo Cuanización Codificador Codificador de forma de onda Transmisor Información fuene Formaeo Señal PAM Señal PCM Dígios binarios (símbolos) Formas de onda (pulsos) Canal de comunicaciones Analógica Filro paso bajas Decodificador Deecor de forma de onda Recepor Texual Digial Figura 3.. Sisema digial de comunicaciones en banda base. 3.. FORMATEO DE INFORMACION TEXTUAL (CODIFICACION DE CARACTERES Si la información consise de exo alfanumérico, esos caraceres deberán ser codificados con uno de varios formaos esándar. Ejemplos de ales esándares son: el código ASCII (American Sandard Code for Informaion), el código EBCDIC (Exended Binary Coded Decimal Inerchange Code), códigos Baudo y Hollerih. La abla 3. muesra el formao ASCII. El número de bi significa el orden de la ransmisión en serie, en donde el bi con número es el primer elemeno a ser ransmiido. Enonces, la codificación de caraceres es la eapa que ransforma exo en dígios binarios (bis). Algunas veces la codificación de caraceres es modificada para cumplir con necesidades especificas. Por ejemplo, el código ASCII puede ser modificado al agregar un bi para propósios de deección de errores. Oras veces, el código ASCII puede ser runcado a 6 bis que proporciona un conjuno reducido con capacidad de 64 caraceres Mensajes, caraceres y símbolos En la información exual esa incluida una secuencia de caraceres alfanuméricos. Cuando se ransmien digialmene los caraceres primero son codificados en una secuencia de bis, llamada cadena de bis o señal banda base. Los grupos de k bis pueden combinarse para formar nuevos dígios o símbolos, a parir de un conjuno finio de símbolos o alfabeo de M= k símbolos. Un sisema uilizando un conjuno de símbolos de amaño M es referido como un sisema M-ario. El valor de k o M represena una elección inicial imporane en el diseño de un sisema digial de comunicaciones. Para k=, el sisema es llamado binario, el amaño del conjuno de símbolos es M=, y el codificador de forma de onda uiliza una de dos formas de onda diferenes para represenar el binario uno y la ora forma de onda para represenar el binario cero. Para ese caso especial, el símbolo y el bi son los mismos. Para k=, el sisema es conocido como cuaernario o 4-ario (M=4). Para cada duración del símbolo, el codificador de forma de onda usa una de cuaro diferenes formas de onda que represenan el símbolo. La parición de la secuencia de bis de mensaje es deerminada por el amaño del conjuno de símbolos, M. El siguiene ejemplo puede ayudar a clarificar la relación enre los érminos mensaje, carácer, símbolo, bi y forma de onda digial. de 54

3 5 Bis NUL DEL P p SOH DC A Q a q STX DC B R b r ETX DC3 # 3 C S c s EOT DC4 % 4 D T d ENQ NAK $ 5 E U e u ACK SYN & 6 F V f v BEL ETB 7 G W g w BS CAN ( 8 H X h x HT EM ) 9 I Y i y LF SUB * : J Z j z VT ESC + ; K [ k { FF FS, < L \ l CR GS - = M ] m } SO RS. > N ^ n ~ SI US /? O - o DEL Tabla 3.. Código ASCII Ejemplo de mensajes, caraceres y símbolos La figura 3. muesra un ejemplo de parición de la cadena de bis, basado en la especificación del sisema por los valores de k y M. El mensaje exual en la figura es la palabra THINK. Uilizando el código ASCII de 6 bis (Tabla 3. números de bi a 6) proporciona una cadena de 3 bis. En la figura 3.a, el amaño del conjuno de símbolos, M, ha sido elegido como 8 (cada símbolo represena un dígio 8-ario). Por lo ano, los bis son paricionados en grupos de res (k=log8); los números resulanes represenan símbolos ocales a ser ransmiidos. El codificador de forma de onda debe ener un reperorio de ocho formas de onda, s i (), en donde i=,..., 8, para represenar los símbolos posibles, cada uno de los cuales deberá ransmiirse durane una duración del símbolo. El renglón final de la figura 3.a lisa las formas de onda que el codificador de forma de onda asignará para ransmiir el mensaje exual THINK. En la figura 3.b, el amaño del conjuno de símbolos, M, se ha elegido que sea 3 (cada símbolo represena un dígio 3-ario). Enonces, los bis son omados en grupos de 5 a la vez, y el grupo resulane de 6 números represena los seis símbolos 3-arios a ransmiir. Noe que no hay necesidad de que coincidan los bordes de los símbolos y de los caraceres. El primer símbolo represena 5/6 del primer carácer T y 4/6 del siguiene carácer, H, ec. El sisema ve los caraceres como una cadena de dígios a ser ransmiida; sólo el usuario final (o el usuario de una máquina de eleipo) le da significado a la secuencia final de bis recibidos. En al caso 3-ario, el codificador de forma de onda requiere un reperorio de 3 formas de onda diferenes, s i (), en donde i=,..., 3, una para cada posible símbolo que debe ransmiirse. El renglón final de la figura 3.b lisa las 6 formas de onda que el codificador de forma de onda 3-ario asignará para ransmiir el mensaje exual THINK. 3 de 54

4 Mensaje (exo): T H I N K Codificación de carácer (6 bis ASCII): Dígios 8-arios (símbolos): Formas de onda 8-arias: s () s () s () s 4() s 4() s 4() s 3() s 4() s 6() s 4() Mensaje (exo): T H I N K Codificación de carácer (6 bis ASCII): (a) Dígios 3-arios (símbolos): Formas de onda 3-arias: s 5() s () s 4() s 7() s 5() s () (b) Figura 3.. Mensajes, caraceres y símbolos. (a) ejemplo 8-ario. (b) ejemplo 3-ario FORMATEO DE INFORMACIÓN ANALÓGICA Si la información es analógica, ésa no puede codificarse direcamene como en el caso de la información exual; la información debe ransformarse primero a una forma digial, discrea en iempo y ampliud. El proceso de ransformar una forma de onda analógica a un formao compaible con el sisema digial de comunicaciones empieza con el muesreo de la señal analógica, para discreizarla en el iempo, para producir una forma de onda modulada en ampliud (señal PAM). Poseriormene, las muesras discreas en el iempo pero coninuas en ampliud se cuanizan para discreizar la ampliud y producir una señal de pulsos codificados (señal PCM) Muesreo El enlace enre una forma de onda y su versión muesreada es lo que se conoce como el proceso de muesreo. Ese proceso es implemenado de diferenes formas pero la más popular es la operación muesreo y reención. En al operación, un inerrupor y un mecanismo de almacenamieno (por ejemplo un ransisor y un capacior) forman una secuencia de muesras de la enrada coninua en el iempo. La salida del proceso de muesreo es conocida como pulso modulado en ampliud (PAM) ya que los inervalos sucesivos de salida pueden ser descrios como una secuencia de pulsos cuyas ampliudes esan derivadas de la forma analógica de enrada. La forma analógica original puede recuperarse aproximadamene a parir de la señal PAM mediane un filro paso bajas. Una preguna imporane es: Que an cercanamene se puede aproximar una señal PAM a la forma de onda analógica original? Esa preguna puede conesarse al revisar el eorema del muesreo, que dice: Una señal limiada en ancho de banda sin componenes especrales arriba de f m herz puede ser deerminada en forma única por valores de muesras en inervalos uniformes de T s segundos, en donde Ts (3.) fm 4 de 54

5 Esa inecuación ambién es conocida como el eorema del muesreo uniforme. Dicho en oras palabras, el límie superior en T s puede expresarse en érminos de la asa de muesreo, denominada f s =/T s. La resricción, especificada en érminos de la asa de muesreo, es conocida como el crierio de Nyquis. La desigualdad es fs fm La asa de muesreo f s = f m es conocida ambién como la asa de Nyquis. El crierio de Nyquis es una condición eórica suficiene para permiir que la señal analógica original sea compleamene reconsruida a parir de un conjuno de muesras discreas en el iempo uniformemene espaciadas. En las siguienes dos secciones se demosrará el eorema del muesreo Muesreo impulsional En esa sección demosraremos la validez del eorema del muesreo uilizando la propiedad de muliplicación en el iempo, convolución en la frecuencia. Examinemos primero el caso de un muesreo ideal con una secuencia de funciones impulso uniarios. Asuma que la señal analógica de la figura 3.3, x() iene ransformada de Fourier, X(f) limiada en frecuencia a fm herz. Como se muesra en la figura 3.3, el proceso de muesreo se puede ver como el produco en el iempo de x() con un ren de impulsos x δ () (3.) n= x δ( ) = δ ( nts) en donde T s es el periodo de muesreo y δ() es la función impulso o dela de Dirac. Elijamos T s =(/)f m, de manera que se saisfaga el crierio de Nyquis. x() F (3.3) X(f) -fm fm f x δ () F X δ (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts -3fs -fs -fs fs fs 3fs f x s () F X s (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts -3fs -fs -fs -fm fm fs fs 3fs f Figura 3.3. Muesreo impulsional. 5 de 54

6 La propiedad de desplazamieno de la función impulso demuesra que x()δ(- )=x( )δ(- ) (3.4) Uilizando ésa propiedad, podemos ver que x s (), la versión muesreada de x(), esa dada por n= x s( ) = x( ) xδ ( ) = x( ) δ ( nts) n= x s( ) = x( nts) δ ( nts) (3.5) Uilizando la propiedad de muliplicación en el iempo convolución en la frecuencia, el produco en el dominio del iempo x()x δ () de la ecuación 3.5 se ransforma a la convolución en el dominio de la frecuencia X(f)*X δ (f), en donde X δ (f) es la ransformada de Fourier del ren de impulsos x δ () X δ ( f ) = δ ( f nfs) (3.6) T s n= en donde f s =(/T s ) es la frecuencia de muesreo. Noe que la ransformada de Fourier de un ren de impulsos es oro ren de impulsos. La figura 3.3 muesra el ren de impulsos en el iempo x δ () y su ransformada de Fourier X δ (f). La convolución con la función impulso simplemene desplaza la función original, de la siguiene manera X(f)*δ(f-nf s )=X(f-nf s ) (3.7) Enonces podemos resolver X s (f) el especro de la forma de onda muesreada como X = = s( f ) X ( f )* Xδ( f ) X ( f ) * δ ( f nfs) Ts n= X s( f ) = X ( f nfs) (3.8) T s n= Por lo ano concluimos que denro del ancho de banda original, el especro X s (f) de la señal de muesras x s () es, omando en cuena el facor de escala (/T s ), exacamene el mismo que para x(). Adicionalmene, el especro es periódico cada f s herz. La propiedad de desplazamieno de un impulso hace que la convolución de un ren de impulsos con ora función sea fácil de visualizar. Los impulsos acúan como funciones de muesreo. Enonces, la convolución puede desarrollarse gráficamene al barrer el ren de impulsos, X δ () de la figura 3.3, por la ransformada X(f). Ese muesreo de X(f) en cada paso del barrido replica X(f) en cada posición frecuencial del ren de impulsos, resulando en X s (f), mosrado en la figura 3.3. Cuando la asa de muesreo es elegida, como lo ha sido en ese ejemplo, al que f s =f m, cada réplica especral esa separada de sus vecinos por un banda de frecuencia de f s herz, y la forma de onda analógica original puede recuperarse eóricamene mediane un filro paso bajas ideal. Sin embargo, en la realidad se requieren de filros con bordes no vericales. Es claro que si f s >f m, las replicas se separarán como se muesra en la figura 3.4a, haciendo fácil de implemenar la operación de filrado. La figura 3.4a muesra en línea puneada la respuesa ípica de un filro paso bajas real uilizado 6 de 54

7 para recuperar la forma de onda analógica original. Cuando la asa de muesreo se reduce al que f s <f m, las replicas se solapan, como se muesra en la figura 3.4b, y se pierde la información en las frecuencias solapadas. Ese fenómeno, el resulado de sub-muesrear (muesrear a una asa muy baja), es conocido como aliasing. La asa de Nyquis, f s =f m, es la asa limie a la cual ocurre el aliasing; para eviar el aliasing, se debe saisfacer el crierio de Nyquis, f s f m. X s (f) -fs -fs -fm fm fs fs f (a) X s (f) -fs -fs -fm fm fs fs f (b) Figura 3.4. Especros para varias asas de muesreo. (a) f s >f m. (b) f s <f m Muesreo naural Aquí demosraremos la validez del eorema de muesreo uilizando la propiedad de desplazamieno en frecuencia de la ransformada de Fourier. No obsane que el muesreo ideal es un modelo conveniene, una forma más prácica de implemenar el muesreo de una señal analógica limiada en ancho de banda, x(), es muliplicarla por un ren de pulsos x p (), como se muesra en la figura 3.5. Cada pulso en x p () iene un ancho del pulso en esado alo T, y ampliud /T. La muliplicación por x p () se puede ver como la aperura y cierre de un inerrupor mecánico o elecrónico. Como se vio aneriormene, la frecuencia de muesreo es f s, y su recíproco, el periodo enre muesras, designado T s. Los daos de muesras (señal PAM), x s (), de la figura 3.5 x s ()=x()x p () (3.9) El muesreo aquí es conocido como muesreo naural, ya que la pare ala de cada pulso en la secuencia x s () reiene la forma de su segmeno correspondiene a la señal analógica original durane el inervalo del pulso. Adicionalmene, podemos expresar el ren de pulsos periódico, x p (), mediane su expansión en serie de Fourier como n= j πnfs xp( ) = Cne (3.) En donde la asa de muesreo, f s =(/T s ), se elige igual a f m, de manera que se cumple el crierio de Nyquis en el límie. Es fácil demosrar que (ver sección A.., Sklar) 7 de 54

8 en donde nt Cn = sinc Ts Ts x() sen(π x) sinc ( x) = πx F X(f) -fm fm f x p () F X p (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts -3fs -fs -fs fs fs 3fs f x s () F X s (f) -4Ts -Ts Ts 4Ts Figura 3.5. Muesreo naural. La envolvene del especro de magniud del ren de pulsos, mosrada en la figura 3.5 como una línea disconinua, iene la caracerísica de una onda sinc. Combinando las ecuaciones 3.9 y 3., podemos expresar x s () como -3fs -fs -fs -fm fm fs fs 3fs f n= jπnfs xs( ) = x( ) Cne (3.) La ransformada, X s (f), de la señal PAM muesreada se obiene aplicando la ransformada de Fourier de x s () como sigue = j πnfs Xs( f ) F x( ) Cne (3.) n= En ése caso, el operador Fourier se aplica a funciones con variable independiene, de manera que los coeficienes C n pueden salir del operador, ya que no dependen de. De esa forma 8 de 54

9 X s( f ) CnF n= { } j π nf s x( ) e = (3.3) Uilizando la siguiene propiedad de Translación en la frecuencia del análisis de Fourier enemos finalmene F j πnf { x( ) e } = X ( f f ) Xs( f ) = CnX ( f nfs) (3.4) n= De forma similar al caso de muesreo impulsional, la ecuación 3.4 y la figura 3.5 muesran que X s (f) es una réplica de X(f), periódicamene represenada en frecuencia cada f s herz. En el caso de muesreo naural, no obsane, observamos que X s (f) esa alerada por los coeficienes de la serie de Fourier del ren de pulsos, comparada conra el valor consane que se obiene del muesreo impulsional. Es saisfacorio noar que en el límie, conforme el ancho del pulso T se acerca a cero, los cruces por cero de la envolvene sinc ienden a infinio, y la ecuación 3.4 converge a la ecuación Muesreo y reención Muesreo y reención es el méodo más simple y popular para muesrear una señal analógica en banda base. Ese méodo puede ser descrio por la convolución del ren de impulsos, x()x δ (), mosrada en la figura 3.3, con un pulso uniario recangular, p(), con ancho del pulso T s. Esa convolución en el iempo resula en una secuencia de ope plano, x s () x s ()=p()*[x()x δ ()] x = s( ) p( ) * x( ) δ ( nts) (3.5) n= La ransformada de Fourier, X s (f), de la convolución en la ecuación (3.5) es el produco en el dominio de la frecuencia enre la ransformada P(f) del pulso recangular y el especro periódico de la figura 3.3 = X s( f ) P( f ) F x( ) δ ( nts) n= = X s( f ) P( f ) X ( f )* δ ( f nfs) Ts n= en donde X f ) = P( f ) X ( f nf ) (3.6) Ts s( s P(f)=T s sinc(ft s ) 9 de 54

10 El efeco de al operación de muliplicación resula en un especro similar en apariencia al presenado para el muesreo naural, figura 3.5. El efeco más obvio de la operación de reención es la significane aenuación de las réplicas de ala frecuencia (compare las figuras 3.3 y 3.5), que es el efeco deseado. Usualmene se requiere de una eapa adicional de pos-filrado para complear el proceso de filrado, aenuando las componenes especrales residuales localizadas en múliplos de la asa de muesreo. Un efeco secundario de la operación de reención es la ganancia especral no uniforme, P(f), aplicada al especro banda base original, que se muesra en la ecuación 3.6. El pos-filrado puede compensar ea aenuación al incorporar la función inversa de P(f) Aliasing La figura 3.6 es una visa deallada del primer cuadrane del especro de la señal banda base y una de las réplicas en el especro periódico. Esa figura ilusra el aliasing en el dominio del iempo. La figura 3.6b muesra las áreas solapadas enre réplicas adyacenes debidas al efeco de submuesrear. Las componenes especrales solapadas represenan información ambigua que no puede ser recuperada en forma sencilla. En general, la ambigüedad no puede ser resuela enre la banda de frecuencias de (f s -f m ) a fm. X(f) fm fs f (a) X s (f) Componenes alias fs-fm fm fs fs+fm f fs/ (b) Figura 3.6. Aliasing en el dominio de la frecuencia. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. La figura 3.7 muesra que una asa de muesreo más ala, f s, puede eliminar el aliasing al separar las réplicas especrales; el especro resulane en la figura 3.7b corresponde al caso presenado en la figura 3.4a. X(f) fm fs f s f (a) de 54

11 X s (f) fs-fm fm f s-fm fs f s fs+fm f s+fm f f s/ (b) Figura 3.7. Una asa de muesreo más ala elimina el aliasing. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. Las figuras 3.8 y 3.9 muesran dos formas de eliminar el aliasing al usar filros ani-aliasing. En la figura 3.8 la señal analógica es pre-filrada de manera que el nuevo ancho de banda en banda base, f m, sea reducido a f s / o menor. Por lo ano la figura 3.8b no muesra componenes de aliasing, ya que f s >f' m. La eliminación de las componenes especrales sensibles al aliasing es una buena prácica en ingeniería. Cuando la esrucura de la señal en banda base es bien conocida, los érminos sensibles al aliasing pueden ser eliminados anes del muesreo, mediane un filrado paso bajas de la señal en banda base. X(f) f m fm fs f X s (f) (a) fs-fm fm fs fs+f m fs+fm f f m fs/ fs-f m (b) Figura 3.8. Los filros con caída abrupa eliminan el aliasing. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. En la figura 3.9 los componenes sensibles al aliasing son removidos al pos-filrar después del muesreo; la frecuencia de core del filro, f m, remueve los componenes sensibles al aliasing; f m necesia ser menor que (f s -f m ). Noe que las écnicas de filrado para eliminar las porciones sensibles al aliasing de los especros en las figuras 3.8 y 3.9 resulan en la pérdida parcial de información. Por al razón, la selección de la asa de muesreo, la frecuencia de core, y el ipo de filro esan relacionados con el ancho de banda en banda base. de 54

12 X(f) fm fs f X s (f) (a) fs-fm fm fs fs+fm f f m fs/ (b) Figura 3.9. El pos-filrado elimina el aliasing. (a) Especro en banda base. (b) Especro de la señal muesreada. Los filros realizables requieren de un ancho de banda no cero, para la ransición enre la banda de paso y la aenuación de core requerida. A al banda de ransición se le llama ancho de ransición. Para minimizar la asa de muesreo, desearíamos que el filro ani-aliasing uviera un ancho de banda de ransición pequeño. El coso y complejidad del filro crecen para anchos de banda de ransición esrechos, de manera que se requiere esablecer un compromiso enre el coso de los filros con anchos de banda esrechos y el coso de alas asas de muesreo, ya que las alas asas de muesreo requieren mas capacidades de almacenamieno y anchos de banda de ransmisión amplios. En muchos sisemas la respuesa a al dilema ha sido hacer el ancho de banda de ransición un o % del ancho de banda en banda base. Si opamos por el % de ancho de banda de ransición para el filro ani-aliasing, enonces enemos una versión para ingenieros para la asa de muesreo de Nyquis f s.f m (.7) La figura 3. muesra el efeco del aliasing en el dominio del iempo. Los insanes de muesreo de la senoide en línea coninua han sido elegidos de manera que la señal es sub-muesreada. Noe que la ambigüedad resulane (pocas muesras para represenar la senoide) nos permie dibujar ora senoide compleamene diferene (línea no coninua) al seguir los punos sub-muesreados. Señal Insanes de muesreo Señal a una frecuencia alias Figura 3.. Aliasing en el dominio del iempo. de 54

13 Inerface de señal para un sisema digial Examinemos cuaro formas en las que podemos describir la información analógica. La figura 3. ilusra las elecciones. La referencia es la forma de onda original en banda base, figura 3.a. La figura 3.b represena una versión muesreada de la señal original, conocida como daos muesreados nauralmene o señal PAM (Modulación por Ampliud del Pulso). No obsane, al señal es incompaible con un sisema de comunicaciones digial, ya que es coninua en ampliud y un sisema digial raa con un número finio de símbolos. La figura 3.c ilusra las muesras cuanizadas, es decir, cada pulso es expresado como un nivel a parir de un conjuno finio de niveles. En ese caso, a cada subnivel le es asignado un símbolo de un alfabeo finio. Los pulsos de la figura 3.c son conocidos como muesras cuanizadas; al formao es la elección obvia para un sisema digial de comunicaciones ya que la señal es represenada por ampliudes discreas. El formao de la figura 3.d es consruido a parir de la salida de un circuio de muesreo y reención. cuando los valores de las muesras son discreas, al formao puede ser uilizado por un sisema digial. En odos los casos mencionados, la señal analógica original puede ser aproximadamene reconsruida a parir de las muesras cuanizadas. No obsane, la fidelidad de la reconsrucción puede mejorarse al incremenar el número de niveles de cuanización (requiriéndose un mayor ancho de banda del sisema de comunicaciones). x () x () (a) x 3 () (b) x 4 () (c) (d) Figura 3.. Señales de daos. (a) Información original. (b) Daos muesreados nauralmene. (c) Muesras cuanizadas. (d) Muesreo y reención Fuenes de degradación La señal analógica regenerada a parir de los pulsos muesreados, cuanizados y ransmiidos coniene degradación proveniene de diferenes fuenes. Las fuenes de degradación esán relacionadas a () Efecos de muesreo y cuanización, y () Efecos del canal, que son descrias a coninuación. 3 de 54

14 Efecos del muesreo y cuanización Ruido de cuanización. La disorsión inherene a la cuanización es el error de redondeo o runcamieno. El proceso de cuanizar una señal PAM involucra la pérdida de información original. Esa disorsión, inroducida por la necesidad de aproximar la información analógica mediane muesras cuanizadas, es conocida como ruido de cuanización; la canidad de al ruido es inversamene proporcional al número de niveles de cuanización. Esa relación señal a ruido de cuanización es raada con mayor dealle en la sección Sauración del cuanizador. El cuanizador (o converidor analógico a digial) uiliza L niveles para la area de aproximar el rango coninuo de enrada a un conjuno finio de salida. El rango de enrada para el cual la diferencia enre la enrada y la salida es pequeña se llama rango de operación del converidor. Si la enrada excede al rango, la diferencia enre la enrada y la salida se hace grande, y enonces se dice que el converidor esá operando en sauración. Enonces los errores de sauración pueden ser superiores al ruido de cuanización. Generalmene, la sauración es eviada al usar circuios con Conrol Auomáico de Ganancia (AGC), que efecivamene evia que señales con ampliud ala sauren el converidor. Agiación del emporizador. Nuesro análisis del eorema del muesreo predice la reconsrucción precisa de señales basado en muesras uniformemene espaciadas. Si exise un ligero desplazamieno aleaorio (agiación) en la posición de la muesra, el muesreo no es del odo uniforme. No obsane, la reconsrucción exaca es aún posible si se conoce exacamene la posición de las muesras. El efeco de la agiación es equivalene a la modulación en frecuencia. En ese caso, se induce una conribución especral debida a la agiación, con propiedades similares al ruido de cuanización. La agiación del emporizador puede conrolarse al inroducir volajes de alimenación aislados y referencias de iempo alamene esables Efecos del canal Ruido en el canal. El ruido érmico en los disposiivos elecrónicos, las señales de inerferencia de oros sisemas y las inerferencias de oros disposiivos exernos al sisema de comunicaciones pueden ocasionar errores en la reconsrucción de los pulsos que poran la información original. Tales errores inducidos por el canal pueden degradar la calidad de la señal reconsruida, como se vio en el capiulo. Si el ruido en el canal es pequeño, no habrá problemas en la reconsrucción de la señal. En ese caso, el ruido del canal es insignificane comparado con el ruido de cuanización. Por ora pare, si el ruido en el canal es lo suficienemene grande para afecar la habilidad de deecar pulsos, la señal reconsruida sólo será una aproximación de la señal original. Inerferencia iner-símbolo. En comunicaciones banda base, el canal es limiado en ancho de banda con caracerísicas paso bajas, como se puede demosrar en las prácicas y del Laboraorio de Comunicaciones Digiales. En al siuación, un canal limiado en ancho de banda esparce la forma de onda de los pulsos. Cuando el ancho de banda del canal es mucho mayor al ancho de banda de los pulsos, el esparcimieno de los pulsos será pequeño. Por ora pare, cuando el ancho de banda del canal es cercano al ancho de banda de los pulsos, el esparcimieno de los pulsos excede la duración del pulso y origina que los pulsos adyacenes se solapen. Tal solapamieno es conocido como Inerferencia Iner-Símbolo (ISI). Al igual que ora fuene de degradación, la ISI ocasiona errores en la deección; ésa es paricularmene insidiosa ya que el aumeno de la poencia de la señal no mejora el desempeño del sisema de comunicaciones. En ése senido, únicamene el incremeno del ancho de banda del canal, o la reducción del ancho de banda de los pulsos pueden mejorar el desempeño del sisema. Los dealles de la ISI pueden observarse en el desarrollo de las prácicas a 3 del Laboraorio de Comunicaciones Digiales. 4 de 54

15 Relación señal a ruido para pulsos cuanizados La figura 3. muesra un cuanizador de L niveles para una señal analógica con excursión de volaje V pp =V p -(-V p )=V p vols. Los pulsos cuanizados oman valores posiivos y negaivos, como lo muesra la figura 3.. El amaño del paso enre niveles de cuanización, conocido como inervalo cuaníl, es q vols. Cuando los niveles de cuanización esan disribuidos uniformemene en el rango compleo, el cuanizador es conocido como cuanizador uniforme o lineal. Cada valor de la muesra de la señal analógica es aproximado con un pulso cuanizado; la aproximación resula en un error no mayor a q/ en la dirección posiiva o (q/) en la dirección negaiva. La degradación de la señal debida a la cuanización esa, por lo ano, limiada a la miad del inervalo cuanil, ±(q/) V p q=v pp /L V p -q/ V p -3q/ 5q/ 3q/ q vols... Valores cuanizados q/ -q/ L niveles V pp -3q/ -5q/ -V p +3q/... -V p +q/ -V p Figura 3.. Niveles de cuanización. Una figura de mério úil para el cuanizador uniforme es la varianza del cuanizador σ (error cuadráico medio asumiendo media cero). Si asumimos que el error de cuanización, e, iene disribución de probabilidad uniforme en un inervalo cuanil de ancho q, y media cero E(e)=, como el mosrado en la figura 3.3, enemos que /q p(e) E(e)= -q/ q/ e Figura 3.3. Esadísica del error de cuanización. 5 de 54

16 q / q σ = ( e E( e)) p( e) de = e de = (3.8) q / q La varianza, σ, corresponde a la poencia promedio del ruido de cuanización. La poencia de pico de la señal analógica (normalizada a una carga resisiva de ohm) puede expresarse como V Vpp Lq L q P = = Vp = = = (3.9) R 4 Las ecuaciones 3.8 y 3.9 pueden combinarse para en la siguiene relación señal a ruido de cuanización S N q P = σ L q / 4 q / = = 3 L (3.) De la ecuación 3. se puede ver que la relación señal a ruido de cuanización,(s/n) q, mejora para un número de niveles de cuanización, L, grande. En el límie (conforme L ), la señal cuanizada se acerca a la señal original, y la relación señal a ruido de cuanización es muy grande Cuanización La Modulación por el Código del Pulso, PCM, es el nombre dado a una clase de señal banda base obenida de cuanizar señales PAM al codificar cada muesra cuanizada en una palabra digial. La información analógica original es muesreada y cuanizada en uno de L niveles; enonces cada muesra cuanizada es codificada digialmene en una palabra de código l-bi (l=log L). Para ransmisión banda base, los bis de palabras de código se ransforman en formas de onda de pulsos Cuanización uniforme Las caracerísicas esenciales de PCM se muesran en la figura 3.3. Asuma que la excursión analógica de la señal x() esá limiada a ±4V. El inervalo cuaníl o amaño del paso es V uniforme para odos los niveles de cuanización. Enonces se uilizan 8 niveles de cuanización localizados en 3.5, -.5,..., 3.5V. A cada nivel de cuanización se le asigna un número de código desde (H) hasa 7 (H). La ordenada de la figura 3.4 coniene los niveles de cuanización y sus correspondienes números de código. A cada muesra de la señal analógica se le asigna el nivel de cuanización más cercano al valor de la muesra. La abscisa de la figura 3.4 muesra cuaro represenaciones de x(): Los valores del muesreo naural, los valores de las muesras cuanizadas, los números de código, y la secuencia PCM. Noe que en la figura 3.4 cada muesra es represenada por una palabra de código de 3 bis L= l, 8= 3. 6 de 54

17 Número de código Nivel de cuanización x() Valor del muesreo naural Valor de la muesra cuanizada Número de código Secuencia PCM Esadísica de las señales de voz Figura 3.4. Cuanizador uniforme. La comunicación de señales de voz es un área de ala especialización e imporancia en comunicaciones digiales. La voz humana es caracerizada por propiedades esadísicas únicas; una de ales propiedades es ilusrada en la figura 3.5. La abscisa represena las magniudes de la señal de voz, normalizadas al valor cuadráico medio (rms) de ales magniudes a ravés de un canal ípico de comunicaciones, y la ordenada es su probabilidad. Para la mayoría de los canales de comunicación de voz, los volúmenes bajos predominan; 5% del iempo, el volaje que caraceriza la energía de la voz es menor que ¼ del valor rms. Las ampliudes grandes son relaivamene raras; sólo el 5% del iempo la señal de voz excede el valor rms...8 Probabilidad Magniud de la señal de voz normalizada Figura 3.5. Esadísica de la señal de voz. Hemos viso, de la ecuación 3.8, que el ruido de cuanización depende del amaño del paso (inervalo cuanil). También hemos viso que en la cuanización uniforme el amaño del paso es uniforme. Tal sisema puede ser derrochador para señales de voz; muchos de los pasos de 7 de 54

18 cuanización serán raramene uilizados. En un sisema que usa niveles de cuanización igualmene espaciados, el ruido de cuanización es el mismo para odas las magniudes de señal. Por lo ano, con cuanización uniforme, la relación señal a ruido (SNR) es más pobre para señales de bajo nivel que para las de alo nivel. Una cuanización no uniforme puede proporcionar cuanización fina para las señales débiles (mas probables) y cuanización burda para señales alas (menos probables). Enonces en el caso de cuanización no uniforme, el ruido de cuanización puede hacerse proporcional al amaño de la señal. El efeco es mejorar la SNR al reducir el ruido para las señales débiles predominanes, a expensas de incremenar el ruido para las señales alas que raramene ocurren. La figura 3.6 compara la cuanización uniforme y no uniforme para una señal débil y una fuere. De la figura es nooria la mejora en el SNR que proporciona la cuanización no uniforme para señales débiles Cuanización uniforme Cuanización no uniforme Figura 3.6. Cuanización uniforme y no uniforme. La cuanización no uniforme para hacer que la SNR para odas las señales denro de un rango de enrada. Para las señales de voz, el rango de enrada ípico para una señal de enrada es 4 decibeles (db), en donde el decibel es definido en érminos de poencias P Número de db = log (3.) P Con un cuanizador uniforme, las señales débiles experimenarán una relación señal a ruido 4 db más pobre que aquella para señales fueres. La écnica elefónica esándar para manejar un rango grande de niveles posibles en la señal de enrada es usar un cuanizador con compresión logarimica en lugar de uno uniforme. Con al compresor no uniforme la SNR de salida es independiene de la disribución de niveles en la señal de enrada Cuanización no uniforme Una manera de conseguir la cuanización no uniforme es uilizar una caracerísicas de cuanización no uniforme, como la mosrada en la figura 3.7a. Más comúnmene, la cuanización no uniforme se consigue al disorsionar la señal original con una caracerísica de compresión logarímica, como se muesra en la figura 3.7b, y enonces usar un cuanizador uniforme. Para señales de magniud pequeña la caracerísica de compresión iene una pendiene más grande que para aquellas de magniud grande. Enonces un cambio dado para magniudes pequeñas llevará al cuanizador uniforme a ravés de mas pasos que el mismo cambio para magniudes grandes. La 8 de 54

19 caracerísica de compresión efecivamene cambia la disribución de las magniudes en la señal de enrada de manera que no exise preponderancia de magniudes bajas de señal a la salida del compresor. Después de la compresión, la señal disorsionada es usada como enrada a un cuanizador uniforme, mosrado en la figura 3.7c. En el recepor, una caracerísica inversa de compresión, llamada expansión, se aplica de manera que la ransmisión en conjuno no resule disorsionada. El par de procesamieno (compresión y expansión) es conocido como compansión. Salida Enrada (a) Salida Compresión Salida Sin compresión Enrada Enrada (b) (c) Figura 3.7. Cuanización. (a) Caracerísica para un cuanizador no uniforme. (b) Caracerísica de compresión. (c) Caracerísica para un cuanizador uniforme Caracerísicas de compansión Los primeros sisemas PCM se implemenaron con funciones logarímicas suaves de compresión. Hoy en día, la mayoría de los sisemas PCM usan pedazos de aproximaciones lineales a la caracerísica de compresión logarímica. En América del nore se uiliza la siguiene caracerísica de compresión llamada ley µ en donde [ + µ ( x / xmax) ] log e y = ymax sgn x (3.) log e( + µ ) + sgn x = para x para x < 9 de 54

20 y en donde µ es una consane posiiva, x y y represenan los volajes de enrada y salida respecivamene, y x max y y max son las excursiones posiivas máximas de los volajes de enrada y salida respecivamene. Tal caracerísica de compresión es mosrada en la figura 3.8a para diversos valores de µ. El valor esándar de µ es 55. Noe que µ= corresponde a una amplificación lineal (cuanización uniforme). Ora caracerísica de compresión, usada principalmene en Europa, es la ley A, definida como A( x / xmax) x ymax sgn x < + log ea xmax A y = (3.3) + log e( A( x / xmax)) x max y sgn x < < + log ea A xmax En donde A es una consane posiiva. La caracerísica de compresión de la ley A se muesra en la figura 3.8b para diversos valores de A. El valor esándar para A es Salida, y /ymax µ=5.5 µ = µ = Enrada, x /xmax (a) Salida, y /ymax A=87.5 A=5.5.4 A= Enrada, x /xmax (b) Figura 3.8. Caracerísicas de compresión. (a) Ley µ. (b) Ley A. Para graficar la ley µ en Malab» x=:.:;» y=leymu(x,.);» y=leymu(x,);» y5=leymu(x,5);» plo(x, y, x, y, x, y5) en donde funcion h=leymu(x, mu); h=log(+(mu*x)); h=log(+mu); h=h/h; de 54

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