A TEORÍA DE CIRCUITOS I CAPÍTULO 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES. LEYES DE KIRCHHOFF

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1 A.4. TEORÍA DE CIRCUITOS I CAPÍTULO : CONCEPTOS Y DEFINICIONES. LEYES DE KIRCHHOFF Cátedra de Teoría de Crcutos I Edcón 5

2 Capítulo I: CONCEPTOS Y DEFINICIONES. LEYES DE KIRCHHOFF. Los crcutos eléctrcos son fundamentales para la ngenería, tanto eléctrca como electrónca, nvolucrándose en los msmos fenómenos muy nteresantes de orgen eléctrco así como magnétco. Pero, a pesar de que en su estudo se pueden llegar a dscutr los fundamentos físcos del análss, la teoría de crcutos comenza con defncones y axomas, no con físca. La razón es que un problema físco cas nunca se analza exactamente, lo cual es una consecuenca tanto de nuestra falta de habldad para descrbr completamente una stuacón físca como de la crecente complejdad del análss en la medda que se pretenda una mayor precsón. Así, un problema que nvolucra eventos reales sempre se aproxma realzando suposcones que lo smplfcan, váldas bajo certas condcones, consttuyendo así un modelo de los eventos en estudo. Evdentemente, s partmos de modelos, y no de elementos o sstemas reales, puede haber dscrepancas entre la predccón hecha por la Teoría de Crcutos y el comportamento real de los msmos. Será funcón del ngenero contrastar los resultados del modelo con los obtendos a partr del ensayo del elemento real, y estmar así la valdez físca del msmo. En síntess, la Teoría de Crcutos surge de consderar los hechos físcos que resultan de una nterconexón dada de dspostvos eléctrcos, y sendo que en muchos casos dchos dspostvos se vnculan con el medo que los rodea medante sus bornes, se puede caracterzar su comportamento medante un conjunto de correntes y tensones denomnadas varables del crcuto.. Undades. De acuerdo con la práctca nternaconal, en el presente curso utlzaremos el Sstema Internaconal de Undades, abrevado SI y vulgarmente conocdo como sstema métrco o MKS. Las ses undades báscas del SI se muestran en la tabla sguente: MAGNITUD UNIDAD SÌMBOLO Longtud Metro m Masa Klogramo Kg Tempo Segundo S Carga eléctrca Coulomb C Temperatura Grado Kelvn K Intensdad lumínca Candela cd Las restantes undades son dervadas de estas. Así, por ejemplo, el trabajo o energía es el producto de la fuerza por la dstanca, y tene una undad dervada denomnada joule (J = Newton metro). Respecto a la nomenclatura a utlzar, reservaremos las letras mayúsculas para ndcar magntudes nvarantes en el tempo y las mnúsculas para magntudes que son una funcón del tempo.

3 . Carga Todos los fenómenos eléctrcos son manfestacones de carga eléctrca. Las partículas atómcas que transportan carga eléctrca son los protones y los electrones, los cuales tenen cargas de msmo valor pero sgnos opuestos. La carga de un protón es,6-9 coulomb, sendo el coulomb (C) la 9 undad de carga en el sstema nternaconal (SI), por lo que la carga del electrón será,6 C. Según la tabla anteror, vemos que la carga es una undad fundamental. Sabemos que las cargas de sgnos contraros se atraen unas a otras, y las de gual sgno se repelen. Dos cargas de C separadas una dstanca de m ejercerían una sobre otra una fuerza de: F = 8,99 9 (N) La cantdad de carga nvolucrada en procesos eléctrcos smples puede ser muy grande; por ejemplo, se requere 3,36 C de carga para efectuar el plateado electrolítco de gramo de cobre. Ejerccos de aplcacón: ) Encuentre la fuerza de atraccón entre un protón y un electrón separados por una dstanca gual al rado de la órbta más pequeña que sgue un electrón en un átomo de hdrógeno (5 x - m). ) Encuentre la fuerza de atraccón en newtons entre las cargas Q = +μc y Q = - μc cuando la dstanca que las separa es: a) r = m b) r = 3 m c) r = m d) r = cm Grafque la funcón obtenda y obtenga conclusones..3 Corrente Ordnaramente, la Teoría de Crcutos estuda los efectos de la carga. Al flujo de carga (o varacón de carga por undad de tempo) a través de una superfce se lo denomna corrente eléctrca (ver fgura ). Fg. Por defncón, la corrente eléctrca = que pasa a través de una superfce S desde el lado al lado es la carga postva neta por undad de tempo que atravesa la superfce en la msma dreccón. Matemátcamente, lo expresamos como: d q ( t) ( t) = d t donde:

4 3 : es la corrente, expresada en amperes (A), q: es la carga, expresada en coulombs (C), t: es el tempo, expresado en segundos (s). De esta manera, resulta que ampere es equvalente a coulomb por segundo (A = C/s). Podemos determnar la carga neta que pasa a través de la superfce en el ntervalo (, t) s ntegramos la ecuacón anteror con respecto al tempo. Suponendo que q(- ) =, será: q( t) q( ) = t ( τ ) dτ q ( t) = ( τ ) dτ El nstrumento que se utlza para medr corrente se denomna amperímetro. Dado que la corrente se nterpreta como una magntud crculante en el crcuto, para medr la corrente por el elemento en la fgura a, el amperímetro se debe nsertar en sere en el crcuto, como se muestra en la fgura b. Decmos que dos o más elementos están conectados en sere cuando están recorrdos por la msma corrente. La lectura del amperímetro se corresponde con el valor de la varable corrente marcada en el dagrama. Nótese que tene una flecha asocada con ella, e ngresa al amperímetro por el termnal marcado como postvo (+). Al conectarse de esta manera, la corrente tendrá, por defncón, un valor postvo s la lectura del amperímetro es postva. Una lectura negatva sgnfcará que el sentdo real de crculacón de la corrente es opuesto al que habíamos supuesto. Es decr cuando la polardad del amperímetro y el sentdo convenconalmente postvo adoptado para la corrente (e ndcado por la flecha) concuerdan, como en la fgura b, la lectura del amperímetro y el valor real de la corrente son guales. S las polardades no concuerdan (es decr, la corrente real no ngresa por el termnal postvo del amperímetro), la lectura del amperímetro y el valor verdadero de la varable dferen en el sgno. Cuando para la corrente utlzamos una notacón de doble subíndce ( ), la flecha de referenca (y por lo tanto, el sentdo supuesto de crculacón) apunta desde el punto marcado con el prmer subíndce ( ) haca el punto marcado con el segundo subíndce ( ). t Fg. a Fg. Fg. b Ejerccos de aplcacón:

5 4 ) S la corrente en un conductor es constante e gual a ma, cuánto tempo se requere para que por el conductor pasen 46 x -6 C? ) Se quemará un fusble cuya corrente nomnal es A s pasan por él 86 C en, mnutos? 3) La carga que fluye por la superfce magnara de la fgura es de,6 C cada 64 ms. Determne la corrente en amperes. 4) Una carga q pasa a través de una superfce de la fgura desde el lado al medante un conductor. Grafcar q(t) e (t) para el ntervalo - t s s q medda en coulombs, está defnda por las sguentes funcones: t - t < 5 s 5 5 t < s - t a ) q( t ) = 4 + t b ) q( t) = e c ) q( t) = - ( t -,5 ) t < t < s s 5) Una corrente pasa a través de un conductor a través de una superfce. Grafcar (t) y q(t), la carga que pasa a través de la superfce entre - y t, para - t s, s (t), medda en amperes, está defnda por las sguentes funcones: ) ( t ) = b ) ( t) = e c ) ( t) = + t - a t t 5 ( t t < 5 s 5 t < s -,5 ) t < 5 5 t < s s.4 Tensón, voltaje o dferenca de potencal. Es la cantdad de energía eléctrca requerda para desplazar una undad de carga desde un punto haca otro del espaco. Así, por defncón, la tensón, voltaje o dferenca de potencal (d.d.p.) v = v entre los puntos y de la fgura a es gual a la cantdad de energía eléctrca gastada para desplazar una undad de carga postva desde el pun to al punto. Lo antes expresado se resume en la sguente ecuacón: donde: v ( t) = d w( t) d q( t) v: es la tensón (voltaje, o dferenca de potenca d.d.p.), expresada en volts w: es la energía, expresada en joules q: es la carga, expresada en coulombs En nuestro curso hablaremos ndstntamente de voltaje, tensón, caída de tensón o dferenca de potencal entre los puntos y. La undad del SI para la tensón es el volt (V), el cual es equvalente a un Joule por Coulomb ( V = J/ C). Vemos que sempre hablaremos de potencal de un punto con respecto a otro, o de dferenca de potencal o caída de tensón entre dos puntos. Asmsmo, podremos asgnarle a uno de esos puntos un valor de potencal de referenca, usualmente cero. Esta posbldad nos va a resultad muy útl cuando aplquemos el método de nudos para resolucón de crcutos. El nstrumento que utlzaremos para medr dferencas de potencal es el voltímetro, el cual se conecta sempre en paralelo, ya sea con un elemento o entre dos puntos del crcuto.

6 5 Decmos que dos o más elementos están conectados en paralelo cuando se encuentran sometdos a la msma dferenca de potencal. En la fgura 3, por ejemplo, medmos la tensón en bornes del elemento A (entre y ), conectando el voltímetro como se muestra. La lectura del voltímetro se asoca, de esta manera, a la d.d.p. v, la cual se ndca con sus sgnos + y - en bornes del elemento A. Nótese que la marca + de v concde con el borne + del voltímetro. S la lectura del voltímetro es negatva, el valor de v es negatvo y, tal como ocurría antes con la corrente, nos ndcará que el sentdo supuesto y el sentdo real de la d.d.p. son opuestos. En otras palabras, la varable v tomará tanto valores postvos como negatvos, ndcados por el sgno de la lectura del voltímetro. Es mportante remarcar que esta correspondenca entre lectura y valor de la varable está basada en la conexón partcular mostrada, es decr, que el borne + del voltímetro y el sentdo convenconalmente postvo de la varable se referan al msmo punto en el elemento A. Fg. 3 S ambas marcas de polardad no concuerdan (v marcada - en la zquerda y + en la derecha), el valor de la varable debe tomarse como el negatvo de la lectura del voltímetro. Una lectura postva del nstrumento corresponde, de esta forma, a un valor negatvo de la tensón. Recordamos que las medcones de tensón se toman, sempre, en bornes de un elemento o entre dos puntos de un crcuto. Hablar de la tensón de un punto sn especfcar la ubcacón del otro no tene sentdo físco. Podemos utlzar, entonces, una notacón con doble subíndce V obvando ndcar la polardad de los bornes, donde el prmer subíndce ndca el punto al cual se conecta el borne + del voltímetro, y el segundo, el punto al cual se conecta el borne -. En caso de utlzar la notacón de subíndce smple (V A ), sí deberá ndcarse en el crcuto el borne adoptado como convenconalmente postvo. Ejerccos de aplcacón: ) Encontrar el voltaje entre dos puntos de un sstema eléctrco s se gastan 6 J de energía desplazando una carga de C entre los msmos. ) Determnar la energía que se dspa para mover una carga de 5 μc a través de una dferenca de potencal de 6 V. 3) Certas medcones de temperatura ndcan que un calentador ha provsto J de energía a un recpente de agua en un ntervalo de mnuto. La carga que ha pasado por el calentador en este ntervalo es de C. Cuánto es la tensón en bornes del msmo?.5 Dpolos Se denomna dpolo a todo componente de un crcuto eléctrco que contene sólo dos bornes para

7 su nterconexón con otros componentes y al cual podemos hacerle corresponder una dferenca de potencal y una corrente u X u N - Fg. 4 - El dpolo podrá estar compuesto nternamente, por uno o varos elementos. S ϕ es el potencal absoluto del borne y ϕ el del borne, la d.d.p. U será: U = ϕ - ϕ Por convencón, dremos que los sentdos de tensón y corrente son concordantes cuando la corrente I ngrese al dpolo por el borne (+). Característca o relacón Volt-Ampere (V-A) de un dpolo es la relacón tensón - corrente que le es propa, así como la representacón gráfca de la msma. U = U (I) I = I (U) N ota: La ley de Ohm es la relacón volt-ampere correspondente a una resstenca (V = R I). Según sea dcha relacón, podemos clasfcarlos en: A ctvos: la característca V-A no pasa por el orgen, o sea, U para I = ó I para U =. Pasvos: la característca V-A pasa por el orgen, o sea V = para I =, y vceversa. Fg. 5 Lneales: su gráfca es una recta. Anómalos: su gráfca no es una recta. Se los subclasfca en smétrcos o asmétrcos.

8 7 lneal anòmalo Fg. 6 Smétrcos: cumplen con la condcón Asmétrcos: cumplen con la condcón U(I) = -U(-I) U(I) -U(-I) Fg. 7.6 Modelo matemátco Relacón volt-ampere (V-A) El estado de régmen (o respuesta) de un crcuto queda completamente determnado s se conocen las tensones y correntes en todas sus ramas. Las correntes de rama, a su vez, se relaconan con las tensones de rama a través de ecuacones fundamentales que dependen de la característca de los elementos ndependentes que hay en la msma. Por ejemplo, en una rama resstva, la d.d.p. V es V = R I Ley de Ohm sendo I la corrente de la rama y R la resstenca de la rama. Dremos que un dpolo está caracterzado s podemos determnar la relacón funconal entre la tensón Ven bornes del msmo y la corrente I que lo recorre. S obtenemos una expresón que vncule V con I, hemos determnado, en prncpo, su modelo matemátco, o relacón volt-ampere. Para determnar expermentalmente la relacón V-A de un dpolo, medmos v(t) e (t) en bornes del msmo para dstntos valores de la fuente y las grafcamos. Para su manejo funconal, tratamos de descrbr la curva matemátcamente. S es smple, como una recta, será sencllo hacerlo. S por el contraro, a la gráfca V-I no es posble asocarle una funcón de cualquer orden en todo el rango de operacón, nos vemos oblgados a analzar el comportamento del dpolo dentro de certo rango lmtado de varacón de las varables. En este caso será necesaro sectorzar el entorno de varabldad de V e I, optando, en el caso más smple, por una lnealzacón por tramos de la característca V-I. En este caso tendremos una modelzacón por tramos, o representamos segmento-lneal, caso en el cual los modelos adoptados deben cumplr con las condcones de borde

9 (extremos comunes de dos tramos consecutvos), no pudendo haber dscontnudad de la magntud en estudo. 8 Fg. 8 Ejerccos de aplcacón: Indcar qué tpo de relacón V-A es cada una de las sguentes y grafcarlas: a) V = 5 I b) I = V + 4 c) V = 3 I.7 Convencones Una ampla varedad de dspostvos eléctrcos puede modelzarse en funcón de uno o más elementos de dos termnales, con cada uno de los cuales hay asocadas una varable tensón y una varable corrente que podrán ser, o no, funcón del tempo. Como consecuenca de la ley de Gauss (conservacón de la cantdad de carga), la corrente (t) que entra por un termnal del elemento es déntca a la que sale por el otro termnal, estando v(t) e (t) vnculadas entre sí por la característca V-A del elemento. Por convencón, (t) será postva s crcula en dreccón de la flecha, y negatva s lo hace en sentdo contraro. Igualmente, los sgnos (+) y (-) asgnan un sentdo de referenca a la tensón, sendo v (t) postva s el termnal ndcado (+) está a mayor potencal que el (-), y negatva s el termnal ndcado (+) está a menor potencal que el (-). Hablaremos de convencón pasva cuando la corrente ngresa al dpolo al borne al cual se asoca el potencal mayor (+). Por el contraro, hablaremos de convencón actva s la corrente sale del dpolo por el borne marcado (+). convencón pasva Fg. 9 convencón actva S se respeta cualquera de estas convencones, no será necesaro ndcar los sentdos de referenca de ambas varables, dado que la especfcacón de uno mplca el otro. Sn embargo, debe entenderse claramente que la asgnacón de sentdos de referenca no mpone restrccones a los sentdos reales de las tensones y correntes asocadas con cada elemento. Smplemente expresa dreccones de referenca con respecto a las cuales pueden expresarse otras tensones y correntes de cualquer magntud, y no tene por qué concdr con el sentdo real de la magntud, que recén se determnará luego de realzar los cálculos correspondentes.

10 .8 Potenca. Energía Por defncón, la potenca representa la velocdad de cambo de energía, por lo que podemos expresarla como la cantdad de energía entregada al (o consumda por) el dspostvo en estudo en la undad de tempo: d w( t) p ( t) = d t donde: p(t) : es la potenca nstantánea expresada en watts (W, undad del SI) ( W = J/seg) w(t): es la energía nstantánea expresada en joules (J) t: tempo, expresado en segundos (s) Vmos que la tensón o dferenca de potencal v(t), es la energía en joules por coulomb absorbdo de carga postva que se desplaza por el dspostvo X, desde el termnal postvo (+) al negatvo (-), mentras que la corrente es la carga postva neta que se desplaza a través de una superfce por undad de tempo. Por lo tanto, la potenca eléctrca nstantánea absorbda (o entregada) por el dspostvo X en joules/segundo, o watts, resulta ser gual al producto de los valores nstantáneos de tensón y corrente: p ( d w t )= = d t d w d q. d q d t = v ( t Los sentdos de referenca para tensón y corrente mostrados en la fgura, con la flecha de corrente entrando al dspostvo por el termnal marcado + responden a la convencón pasva, que supone que el elemento X consume potenca. Por lo tanto, la potenca absorbda por el elemento X, con la convencón de sgnos pasva, estará dada por: ). ( t ) 9 p(t) = + v(t).(t) (convencón de sgnos pasva) Fg. S se nverte el sentdo de referenca para v(t) o (t), pero no para ambos, como se muestra en la fgura (convencón actva), la potenca eléctrca absorbda por el elemento X está dada por la sguente ecuacón: p(t) = - v(t).(t) ( convencon de sgnos actva) Fg. En este caso, decmos que el elemento entrega potenca al resto del crcuto.

11 En síntess, la potenca nstantánea podrá ser postva o negatva, según sean los sgnos de la tensón y la corrente. S la potenca absorbda es postva, sgnfca que el elemento consume potenca, s la potenca absorbda es negatva, sgnfca que el dspostvo entrega potenca al resto de la red. Salvo que se ndque lo contraro, se usará normalmente la convencón de sgnos pasva. Dado que p(t) podrá ser negatva durante un tempo y luego postva, es mportante saber s, en promedo, el elemento X recbe o entrega potenca. Para determnar esto promedaremos la potenca nstantánea durante un certo período. El resultado es la potenca meda asocada a X, y está dada por: P = t t t t p( t) dt = t t t t v ( t). ( t) dt donde t - t es la longtud del ntervalo de tempo en el cual se promeda la potenca nstantánea. S la potenca meda P es postva, el elemento X recbe potenca, s la potenca meda P es negatva, el elemento X entrega potenca. La potenca meda tambén se mde en watts. Partendo de la expresón que nos dce que la potenca es la varacón de energía por undad de tempo, separando las varables e ntegrando entre t y t, podemos resolverla para w(t): d w = p dt = v d t w( t ) dw = p dt = v dt w( t ) t t t t w t ) w( t ) ( t = p dt = t t t v d t w t ) = w( t ) + t p dt = w( t ( t ) + t t v dt En esta últma ecuacón, w(t ) y w(t ) representan la energía asocada con X en los nstantes de tempo t = t y t = t, respectvamente, mentras que ntervalo (t, t ). S reordenamos la ecuacón que representa la potenca meda obtenemos: t t t p t) dt = v dt = P ( t t t ( t con lo que la expresón de la energía en el nstante t puede escrbrse: w(t ) = w(t ) + P (t - t ) t v dt representa la energía entregada a X en el )

12 A menudo t se toma gual a cero y t = t, con lo que la ecuacón anteror se escrbe: w t) = w() + P ( t t ) = w () + P t ( sendo w(t) y w() los estados de energía de X en los tempos t y, respectvamente. Salvo que se especfque lo contraro, supondremos w() = (no hay energía almacenada). El prncpo de conservacón de la energía requere que la potenca absorbda por un elemento sea sumnstrada por alguna fuente: energía químca provenente de una batería, energía mecánca a partr del acconamento de un generador, etc. Por esta razón, la suma algebraca de las potencas eléctrcas nstantáneas absorbdas por todos los componentes de un crcuto debe ser cero, ya que la potenca sumnstrada se trata como potenca absorbda negatva. Esto se expresa como: p ( t) = absorbdas La ntegracón de esta expresón conduce a que la suma algebraca de las potencas medas absorbdas por todos los componentes de un crcuto debe ser, tambén, gual a cero (prncpo de conservacón de potenca). Nota: El valor nomnal ampere-hora Las baterías tenen un valor nomnal de su capacdad calculado en amperes-hora (Ah) o mlamperes-hora (mah). Una batería con un valor nomnal de amperes-hora, en teoría, produce una corrente constante de A para h, de A para 5 h, A para h, etc, con lo que se determna la ecuacón sguente: Vda (horas) = Valor nomnal amperes-horas (Ah) / amperes descargados (A) Los factores que afectan este valor nomnal son la temperatura y la velocdad de descarga, producéndose las dos stuacones sguentes: - la capacdad de una batería dsmnuye con un aumento en la demanda de corrente - la capacdad de una batería dsmnuye en temperaturas relatvamente bajas y altas, en comparacón con la temperatura ambente. Ejerccos de aplcacón:. S un conductor por el que pasa una corrente de ma dspa 4 J de energía eléctrca en calor en 3s, cuál es la caída de tensón a través del conductor?. La dferenca de potencal entre dos puntos en un crcuto eléctrco es 4 V. S se dsparan,4 J de energía en un período de 5 ms, cuál sería la corrente crculante entre los dos puntos? 3. Cuánta carga pasa por una batería de,5 V s la energía consumda es 9 J? 4. Cuál es el valor nomnal en Ah de una batería que proporcona,8 A durante 76 h?.9 Leyes de Krchhoff En crcutos eléctrcos a parámetros concentrados, las d.d.p. entre dos nudos cualesquera y las correntes crculantes por cualquer elemento desde un nudo están ben defndas, dado que en ellos, fuera del manto de los componentes que los ntegran, no exste campo electromagnétco, cosa que sabemos no es certa para los componentes reales. Dado que la dreccón real del flujo de corrente y la polardad real de la d.d.p. en un crcuto pueden varar de un nstante a otro, generalmente es mposble especfcar de antemano los sentdos

13 reales tensón y corrente en el msmo. Así como en la mecánca clásca es necesaro establecer un esquema de referenca a partr del cual las poscones nstantáneas reales de un sstema de partículas pueden especfcarse unívocamente, debemos establecer un marco de referenca eléctrco en un crcuto para que las correntes y tensones sean meddas sn ambgüedad. Para establecer este marco de referenca eléctrco asgnaremos arbtraramente una dreccón (o sentdo) de referenca a cada varable corrente medante una flecha, y una polardad de referenca a cada varable tensón medante un par de sgnos (+) y (-), como se muestra en la fg., para elementos de, 3 y n termnales. (a) (b) (c) Fg. En cada cable termnal ndcamos una flecha llamada sentdo de referenca de corrente, cuyo rol es muy mportante. Consderemos la fg. a. S en un nstante t o, (t o ) = A, sgnfca que en t o sale una corrente de A desde el dpolo a través del nudo. S, en un nstante posteror t, (t )= - 5 ma, sgnfca que en t una corrente de 5 ma ngresa al borne. Vemos así que el sentdo de referenca NO concde necesaramente con el sentdo real de la magntud en estudo. Analzando el sentdo de la ddp en la fg. a, vemos que s, en t o, v (t o ) = 3 mv, sgnfca que en ese nstante, el potencal del nudo es 3 mv mayor que el del borne. En la fg.b, como se trata de un elemento de múltples termnales, asgnamos sgnos + y - a los pares de termnales, por ejemplo -,.3 y -3. Estos sgnos ndcan el sentdo de referenca de la d.d.p. Análogamente, en la fg. c, s en un tempo t, v k (t ) = -3 V, sgnfca que el potencal eléctrco del nudo k es, en t, 3 V menor que el del nudo n..9. Ley de Krchhoff de correntes. Defnremos como nudo al punto de unón de dos o más conductores. S exploramos con un amperímetro la dstrbucón de correntes en los nudos de una red real, descubrremos que exste una ley que las goberna. Consderemos, por ejemplo, el nudo sguente: 3

14 (a) (b) Fg. 3 Con este nudo están asocadas tres correntes. S se conectan tres amperímetros con polardades concordantes con las correntes (fg. 3b), se observa que: = Esto sgnfca que los sentdos de las correntes no pueden ser los msmos, sno que al menos uno de ellos debe ser (-) para poder satsfacer la ecuacón. Esta condcón la podemos resumr dcendo que: La suma algebraca de las correntes en un nudo es nula y es una consecuenca de la ndestructbldad de la carga eléctrca, lo que mplca la mposbldad de acumulacón de correntes de conduccón en un nudo. Esto se obtene sempre ndependentemente del sentdo de las correntes de las ramas concurrentes, y fue el físco alemán Krchhoff quen, en 86, lo observó por prmera vez, por lo que a la ley que goberna las correntes en todos los nudos de un crcuto se conoce como ley de Krchhoff de correntes, o Prmera Ley de Krchhoff. Esta ley puede plantearse de tres formas dstntas: 3 (a) (b) (c) Fg. 4 º) S las n correntes ngresan en el nudo P (fg. 4 a), la LKC la podremos expresar dcendo que la sumatora de correntes entrantes al nudo es cero: n j = j º) S las n correntes salen del nudo, dremos que la sumatora de las correntes salentes del nudo es nula: n ' j j = 3º) En el caso en que haya correntes entrantes y salentes, dremos que la sumatora de correntes entrantes es gual a la sumatora de correntes salentes: k n k n ' ' j = j o, lo que es lo msmo, j - j = j= k + Como j = -' j, las tres formulacones son equvalentes. La LKC se cumple en todos los nudos, y es valda para cualquer nstante de tempo. Podemos ver su aplcacón en un ejemplo: = = j = j = k +

15 4 - A - 3 A Fg. 5 Según la formulacón (a) será: (-) + () + 3 = = -A Según la formulacón (b) será: -() = = - A Según la formulacón (c) será: + (-) - (-3) = = - A Superfce de Gauss: Una ley fundamental de físca asegura que la carga eléctrca se conserva: no exsten expermentos que muestren que las cargas eléctrcas se creen o se destruyan y la LKC lo expresa en el contexto de los crcutos a parámetros concentrados. Para formular la LKC podemos tambén usar una superfce de Gauss, la cual es, por defncón una superfce cerrada de dos lados: uno nteror y otro exteror. Para expresar que la suma de las cargas dentro de la superfce S es constante, requerremos que, para todo t, la suma algebraca de las correntes que salen de S sea cero. Así tendremos que: "En los crcutos a parámetros concentrados, para toda superfce de Gauss S, para todo t, la = " Esta formulacón de la LKC la aplcaremos en los dos casos sguentes: Caso : Fg. 6 Eljamos S de forma de cortar sólo los conductores que conectan los elementos de crcuto. En este crcuto vemos un elemento de cuatro termnales: un amplfcador operaconal (A.O), el cual se conecta al resto de la red en los nudos, 3, 4, y 5. Dbujamos 6 superfces de Gauss, y las usaremos para lustrar la LKC. -Para S : - (t) - (t) = esta superfce sólo contene al nudo en su nteror, luego, un nudo puede consderarse un caso especal de superfce de Gauss, la cual se ha 'encogdo" hasta ser un punto.

16 5 -Para S : (t) - (t) = ó (t) = (t) esta superfce encerra a la batería. Luego, como conclusón sacamos que para un elemento de dos termnales, la corrente que ngresa al msmo por un nudo en cualquer nstante t es gual a la corrente que sale del elemento en t. -Para S 3 : - (t) - 4 (t) - 5 (t) - 6 (t) = -Para S 4 : 6 (t) + 5 (t) + 4 (t) - 3 (t) - (t) - 8 (t) - 9 (t) = -Para S 5 : 4 (t) + (t) + 7 (t) - (t) = Notemos que estas son las cuatro correntes vnculadas al A.O. Luego, la eleccón de una superfce de Gauss que ncluye a cualquer elemento de n termnales, nos lleva a plantear que la suma algebraca de las correntes que salen o entran del elemento es gual a cero para todo t. -Para S 6 : (t) + 3 (t) + (t) + 8 (t) + 9 (t) = Esta superfce solo contene al nudo de referenca 5, por lo que la LKC para nudos dce que para todo crcuto a parámetros concentrados, para todo t, la sumatora de las correntes que entran a un nudo es cero. Caso : En la sguente fgura, queremos calcular : 3 A d a c 4 A Fg. 7 b Para resolver, creamos un nudo 'ggante', que ncluye a los elementos a, b, c, d, en una superfce cerrada, solo atravesada por los tres conductores. Aplcamos que: Σ entrantes = Σ salentes y obtendremos: = = 7 A Restrccón: no se puede aplcar la superfce de Gauss s con ella se cortan condensadores..9. Ley de Krchhoff de tensones. Dado cualquer crcuto conectado a parámetros concentrados con n nudos, podemos elegr arbtraramente uno de ellos como referenca, para medr potencales eléctrcos. Por conectado sgnfcamos que cualquer nudo puede alcanzarse desde cualquer otro medante un camno a través de los elementos del crcuto. Con respecto al nudo elegdo como referenca, defnmos n- tensones contra la referenca, como se muestra en la fg. 8. Dado que el crcuto es conectado, estas n- d.d.p. están ben defndas y

17 son, en prncpo, cantdades físcamente mensurables. Luego, las denomnamos ϕ, ϕ, ϕ n- y les asocamos sgnos + y - que ndcan el sentdo de referenca de la tensón. Nótese que ϕ n = dado que n es el nudo de referenca. Sea v k-j la d.d.p. entre los nudos k y j (fg. 8). La LKT plantea: 6 Fg. 8 Para todos los crcutos conectados a parámetros concentrados, y para cualquer eleccón del nudo de referenca, para todo t, para todo par de nudos k y j, se verfca que: v k-j (t) = ϕ k (t) - ϕ j (t) Claramente, v j-k (t) = ϕ j (t) - ϕ k (t) = -v k-j (t) Ejemplo: En el sguente crcuto, consttudo por 5 elementos de dos termnales y uno de 3 denomnado T, hay 5 nudos. Elegmos el 5 como referenca, y defnmos las cuatro tensones ϕ, ϕ, ϕ 3, ϕ 4. Luego, por LKT podemos escrbr las sguentes sete ecuacones. v 5 = ϕ - ϕ 5 = ϕ v 45 = ϕ 4 - ϕ 5 = ϕ 4 v = ϕ - ϕ v 4 = ϕ - ϕ 4 v 3 = ϕ - ϕ 3 v 5 = ϕ 5 - ϕ = -ϕ Fg. 9 v 34 = e 3 - e 4 Vemos que v 5 y v son las tensones en bornes de los elementos de dos termnales A y B; v 4, v 45 y v 5 son las tensones entre los pares de nudos -4, 4-5, y 5- del elemento de tres termnales T.

18 7 S sumamos las tres últmas ecuacones: v 45 + v 4 + v 5 = ϕ 4 + ϕ - ϕ 4 - ϕ = La secuenca de nudos es cerrada porque comenza y termna en el msmo nudo. Luego, la suma de tensones en ella es cero. Consderemos ahora la secuenca Tenendo en cuenta las ecuacones escrtas anterormente, llegamos a que: v + v 3 + v 34 + v 45 + v 5 = ϕ - ϕ + ϕ - ϕ 3 + ϕ 3 - ϕ 4 + ϕ 4 -ϕ = La secuenca es un bucle, es decr, es un camno cerrado que arranca de cualquer nudo, atravesa por elementos de dos termnales y fnalza en el msmo nudo. La secuenca no es un bucle, como tampoco lo es la secuenca o la Replanteamos entonces la LKT en térmnos de secuenca cerrada de nudos (o camnos cerrados); Para todos los crcutos conectados a parámetros concentrados, para todos los camnos cerrados, para todo t, la suma algebraca de todas las d.d.p. entre nudos alrededor del camno elegdo es cero. En forma expermental, s exploramos las tensones en un lazo con un voltímetro, y según los sentdos arbtraramente postvos que hayamos asgnado a las tensones, obtendremos lo sguente: (a) (b) (c) Fg. Supongamos el caso mostrado en la fg. a, adoptando un recorrdo en sentdo horaro. Tendremos: v + v + v 3 = Todas las tensones se suman para dar cero, o sea que no todas son del msmo sgno. En la fg. b, tendremos: y en c será: v' + v' + v' 3 = v + v - v' 3 = Vemos así que, tal como ocurría con la LKC, la LKT puede plantearse tambén de tres formas, consderando el caso general de tener n elementos:

19 8 a) = b) = k n j = v j n v j j = c) v j = v v j - v = j = n k + j A veces se usa una forma alternatva de la LKT: "la suma de tensones entre dos nudos de un crcuto es ndependente del camno tomado para r de uno a otro de los nudos". Esto lo podemos observar con el sguente ejemplo: Ejemplo: k j = n k+ j Fg. En el lazo K: v + v = v 3 + v 4 En el lazo L: v 3 + v 4 = v 5 S el recorrdo se hubera efectuado a través de los elementos --5-, hubera sdo: Así, vemos que: v + v = v 5 v + v = v 3 + v 4 = v 5 = v mn Independentemente del camno elegdo para r de m a n, el valor obtendo es sempre el msmo. Por convencón, el prmer subíndce es + y el segundo es - y se deduce que: v mn = - v nm Nota: Para cualquer crcuto conectado con n nudos, eljamos arbtraramente el nudo n como referenca, luego, las n- d.d.p. contra la referenca ϕ, ϕ,... ϕ n- especfcan en forma unívoca y sn ambgüedad posble la tensón v j-k desde cualquer nudo j a otro nudo k del crcuto. Este hecho es de gran mportanca en la Teoría de Crcutos, y es clave en el análss de crcutos por el método de nudos, tal como se verá oportunamente. RECORDEMOS

20 9 ) La LKT y la LKC son dos postulados fundamentales de la teoría de crcutos a parámetros concentrados. ) La LKT y la LKC se cumplen ndependentemente de la naturaleza de los elementos que consttuyen el crcuto. Luego, podemos decr que reflejan las propedades de nterconexón del msmo. 3) Las leyes de Krchhoff sempre conducen a ecuacones lneales algebracas homogéneas con coefcentes reales constantes de valor, - o. Ejerccos de aplcacón: ) Para los crcutos mostrados en la fgura, verfcar las layes de Krchhoff y calcular el balance de potenca. ) Determnar la potenca absorbda o entregada por cada elemento del crcuto de la fgura sguente. Demostrar que la suma de la potenca entregada es gual a la suma de la potenca absorbda. + 5 V x + + V A B + 3 x 5 V - A 3 A - B Rta: P = 75 W absorbdos PA = 4 W entregados P 5V = W absorbdos P x = 45 W entregados. Resolucón de crcutos medante Leyes de Krchhoff De acuerdo a lo vsto, a cada rama de un crcuto podemos asocarle una corrente o una tensón. S el número total de ramas es b, entonces tendremos b magntudes (correntes o tensones) que jueguen el papel de ncógntas o varables para hallar el estado de régmen del crcuto en cuestón. Lo que debemos demostrar ahora es cuántas de esas correntes o tensones consttuyen un conjunto lnealmente ndependente que nos permtrá efectvamente resolver el crcuto, lo cual nos va a decr cuántas ecuacones necestamos de cada una de las Leyes de Krchhoff. Vmos que la ley de Krchhoff de Correntes (LKC), que en esenca expresa el prncpo de conservacón de carga, plantea que la suma algebraca de las correntes en un nudo es cero:

21 ± = Mentras que la ley de Krchhoff de Tensón (LKT) expresa el hecho smple de que la suma algebraca de las caídas de tensón en cualquer conjunto de ramas sucesvas que forman un camno cerrado (tambén llamado lazo o bucle), debe ser cero. Smbólcamente: ± v = Lo que necestamos saber ahora el cuántas ecuacones lnealmente ndependentes debemos plantear para poder resolver un crcuto medante las leyes de Krchhoff. Respecto de la LKC, supongamos escrbr las ecuacones para varos nudos adyacentes. S las observamos cudadosamente, vemos que cada una contene al menos un térmno que no aparece en las otras. Estas ecuacones son seguramente ndependentes, porque no es posble expresar nnguna como combnacón lneal de las restantes, ya que cada una tene térmnos que las demás no poseen. Esto se cumple hasta que se han escrto las ecuacones de todos los nudos menos uno, o sea que se pueden plantear n a = n - ecuacones l.. de la LKC. En el crcuto sguente: = = = = Fg. Vemos que sumando membro a membro todas las ecuacones, llegamos a =, por lo que conclumos que con 4 nudos, y por lo tanto 4 ecuacones de la LKC, solo 3 son lnealmente ndependentes. Podemos generalzar esta conclusón, dcendo que: En un crcuto con n nudos, solo se pueden plantear n- ecuacones l. de la LKC. Ahora ben, s nuestro crcuto tene b ramas, es decr, b ncógntas, y la ley de Krchhoff de corrente nos provee n- ecuacones l., entonces conclumos que la ley de Krchhoff de tensones nos debe proveer las ecuacones restantes, es decr: En un crcuto con b ramas, se pueden plantear b ( n ) = b n + ecuacones l. de la LKT. Supongamos tener una red con ramas y nudos. Luego, necestaremos plantear: - = ecuacones l. de la LKC y ( -) = 9 ecuacones l. de la LKT.

22 En lo que respecta a los camnos cerrados, podemos dentfcar dos tpos: los que denomnamos mallas, o camnos cerrados mínmos, que no cortan ramas, y los que denomnamos bucles, que pueden encerrar varas mallas en su nteror, y que sí cortan ramas. Estas denomnacones están vnculadas con dos métodos sstemátcos de resolucón de crcutos que analzaremos con más detalle en el capítulo 3. malla Surge, sn embargo, la cuestón de qué camnos cerrados y qué nudos debemos elegr para garantzar que el sstema de ecuacones obtendo es lnealmente ndependente. Para ello, podemos decr que: La LKT se satsfará en toda la red s la escrbmos para cada malla (camno cerrado mínmo) de la msma. Para satsfacer la LKC será sufcente con escrbrla n - veces, donde n es el número de nudos de la red, amplando la defncón de "nudo" al el conjunto de puntos que están undos entre sí por cortocrcutos, o al punto de unón de dos o más ramas. La ndependenca de las leyes de Krchhoff estará asegurada s se verfca lo sguente:. Condcón necesara (aunque no sufcente): que todas las ramas partcpan en los camnos, porque s una o más no lo hceran, las correntes en las msmas serían ndependentes.. Condcón sufcente (no necesara): elegr los camnos cerrados sucesvamente, de forma que cada camno adconal nvolucre al menos una rama que no es parte de los camnos selecconados prevamente. De esta forma, no será posble expresar una ecuacón como combnacón lneal de las otras.. Formulacón matrcal de las Leyes de Krchhoff Las propedades de nterconexón de un crcuto pueden mostrarse por medo de un gráfco, denomnado "grafo del crcuto". El grafo retene todas las propedades de nterconexón del crcuto, pero suprme nformacón respecto a los elementos del msmo. Luego, en lo que concerne a las LKT y LKC, el grafo de un crcuto es todo lo que necestamos, dado que el msmo nos provee nformacón acerca del número de ramas y nudos del crcuto. Un grafo G está especfcado por un conjunto de nudos (,,...n) y un conjunto de ramas ( β, β,...β b ). S a cada rama se le da una orentacón, ndcada por una flecha en la msma, podemos hablar de un grafo orentado, o grafo drgdo (dgrafo). En la Fgura 3 mostramos un grafo con 5 nudos y 7 ramas, o sea n = 5, b = 7. Las flechas en las ramas ndcan las dreccones de referenca de las correntes.

23 Fgura 3: Ejemplo de grafo orentado Ley de Krchhoff de correntes: Estudaremos el grafo de 4 nudos y 6 ramas de la Fgura 4, cuyo sstema de ecuacones de la LKC hemos escrto prevamente = + = = + = + Fgura 4 En forma matrcal, este sstema será: = Vemos que aparece una matrz de coefcentes, a la cual denomnaremos A a (matrz ncdenca), cuyos elementos son, - o, y que cada ecuacon tene la forma: = a k jk b k= Los elementos a k de la matrz estarán defndos para j =,,...n y k =,,...b como: s la rama k entra al nudo a k = - s la rama k sale del nudo s la rama k no toca al nudo por lo que podemos escrbr: A a I =

24 De lo vsto anterormente, sabemos que las cuatro ecuacones no consttuyen un sstema lnealmente ndependente. Por lo tanto, sólo habrá n- ecuacones l.. de la LKC. Esto sgnfca tomar un nudo como referenca, y ahora obtenemos, desechando la fla correspondente a ese nudo, la matrz ncdenca reducda A, de dmensón (n - ) x b, de donde la ecuacón de la LKC será, tomando el nudo 4 como referenca: A I = donde: A = [ a k ] matrz ncdenca reducda I = [,,... b ] T vector corrente de rama matrz cero, de dmensones arbtraras y todos sus elementos guales a cero. Ejercco de aplcacón: ) Dbujar el grafo y escrbr el sstema de ecuacones de la ley de Krchhoff de correntes a partr de la sguente matrz ncdenca reducda: 3 A = ) a) Escrbr la matrz ncdenca A a para el grafo de la fgura. b) Escrbr la matrz ncdenca reducda A con el nudo 5 como referenca. b) Usando A, escrbr un sstema de ecuacones de LKT y LKC lnealmente ndependente ) Dada la matrz ncdenca reducda de un grafo: 5 Nudo A = Rama Dbujar el grafo asocado y marcar todas las ramas y nudos. Ley de Krchhoff de tensones: Expresando las tensones de rama como dferenca entre tensones de nudos, la LKT puede escrbrse, en valores nstantáneos, como:

25 4 v k = n - t j= a jk ϕ j para k =,,...b Tal como procedmos con la LKC, podemos obtener la expresón de la LKT en forma matrcal. Escrbremos las ecuacones de la LKT para el grafo de la fg. 4, usando sentdos asocados a los de las correntes (o sea, borne postvo aquél por donde ngresa la corrente), y recordando que hemos elmnado el nudo 4, tomándolo como referenca. v = - ϕ + ϕ v = - ϕ + ϕ 3 v 3 = ϕ - ϕ 3 v 4 = ϕ 4 - ϕ = - ϕ v 5 = ϕ 4 - ϕ 3 = -ϕ 3 v 6 = - ϕ 4 + ϕ = - ϕ En este sstema, φ 4 = dado que lo tomamos como referenca, y pasando a la forma matrcal, tenemos que: v v v3 = v4 v5 v6 La expresón general entonces es de la forma: donde: [V] = (v, v,...v b ) T [ϕ] = [ϕ, ϕ,... ϕ n- ] [V] = [M] [ϕ] es el vector tensón de rama, es el vector potencal de nudos, ϕ ϕ ϕ3 ϕ 4 [M] es una matrz de orden b x (n-) cuyos elementos son, - o. Pensando en funcón de la LKT, vemos que para k =,,...b, e =,,..n-, Comparando las matrces A y M, vemos que: v k = n - t j= a jk ϕ [M] = [A] T con lo cual la ley de Krchhoff de tensones se puede expresar en forma más útl como: [v] (bx) = [A] T(bx(n-)) [ϕ] ((n-)x) j. Teorema de Tellegen. Este teorema aparecó por prmera vez con el título "A general network theorem, wth applcatons"

26 en el Phlps Research Reports 7, 59-69, del año 95, y expresa una consecuenca drecta de prncpo de conservacón de la energía. Su demostracón se basa en las propedades de los crcutos de satsfacer las leyes de Krchhoff, y es medante la expresón de las msmas en forma matrcal que se logra una demostracón senclla y elegante. Problema ntroductoro al teorema: 5 Consderemos el crcuto de la fgura 5 elgendo arbtraramente,, 3 y calculando 4, 5 e 6 para satsfacer la LKC. Sea: = A = A 3 = 3 A Fgura 5 4 = -3 A 5 = - A 6 = 4 A Eljamos ahora arbtraramente v 4, v 5, v 6 con sentdos asocados a los de 4, 5, 6 y calculemos v, v, v 3 para que se cumpla la LKT. v 4 = 4 V v = - V v 5 = 5 V v = - V v 6 = 6 V v 3 = - V Vemos que,... 6 obedecen a la LKC, y v,...v 6 a la LKT. Ahora es fácl verfcar que: v = - W v = - W v 3 3 = - 3 W v 4 4 = - W v 5 5 = - 5 W v 6 6 = 4 W Por lo tanto: 6 k = V k I k = Resultado sorprendente s se consdera que las k y las v k no guardan relacón entre sí. Enuncado y Demostracón del Teorema: Consderemos un crcuto arbtraro, cuyo grafo orentado G tene b ramas. Tomemos sentdos de referenca asocados. Sea = (,,... b ) T un conjunto cualquera de correntes de rama que satsfacen la LKC para G, y sea v = (v, v,...v b ) T un conjunto cualquera de tensones de rama que satsfaga la LKT para G. Luego:

27 6 b k= v k k = Demostracón: Para el grafo orentado conectado G, eljamos un nudo dato, de esta forma, su matrz ncdenca reducda A queda defnda sn ambgüedad. Dado que satsface la LKC, tenemos que, por ley de Krcchoff de correntes: A = Dado que v satsface la LKT, y sendo que estamos utlzando sentdos de referenca asocados, será: v = A T e Utlzando estas dos ecuacones, obtenemos, sucesvamente, que era lo que queríamos demostrar. v T = (A T e) T = e T (A T ) T = e T (A) = Vemos que esto es una consecuenca del prncpo de conservacón de potenca, lo cual nos permte asegurar que en cualquer crcuto la potenca total es cero. Las tensones y corrente nvolucradas no necestan guardar nnguna relacón entre sí, las tensones sólo debe satsfacer LKT y las correntes sólo debe satsfacer la LKC, debendo usarse sentdos de referenca asocados. En conclusón, en todo crcuto se verfcará el balance de potencas s en el msmo se cumplen las Leyes de Krchhoff.. Estados de régmen Dremos que un crcuto eléctrco energzado ha alcanzado su estado de régmen, cuando la evolucón temporal de los parámetros determnantes (tensones o correntes) es una funcón solamente de los elementos que lo energetzan. Es decr, que los dstntos estados de régmen estarán regdos por las dstntas evolucones de las fuentes, las cuales determnarán la solucón permanente. Las magntudes con que trabajaremos al analzar nuestros crcutos: f.e.m., flujo magnétco, corrente, tensón, carga eléctrca, etc., estarán defndas cuando, elegdo un sentdo postvo convenconal, se puedan expresar matemátcamente sus evolucones temporales. Supongamos ahora tener una funcón genérca: y = y(t) que puede representar una corrente o cualquer otra magntud menconada. A esta funcón le asgnamos un sentdo convenconalmente postvo y, de acuerdo con las característcas de su evolucón temporal, clasfcaremos los regímenes correspondentes. Clasfcacón de los estados de régmen a) Régmen estaconaro: la funcón es nvarante en el tempo (o sea, es una constante). A este régmen normalmente se lo desgna de corrente contnua.

28 7 y(t) = K t Fg. 6 b) Régmen varable: la funcón varía en el tempo. Entre los regímenes varables exsten algunos de especal nterés, por lo que hacemos una subclasfcacón: Aperódco: la funcón no admte período alguno, o aparece y desaparece. Fg. 7 Peródco o permanente: la funcón admte un período T, es decr, que se verfca: y ( t) = y ( t + T ) Denomnándose período al menor ntervalo en el cual la funcón repte su valor con la msma pendente.

29 8 Fg.8 Permanente Alterno: la funcón evolucona peródcamente tomando valores > y <. Es decr, camba de sgno (y por lo tanto, la magntud asocada camba de sentdo) en dstntos nstantes de un msmo período. Fg. 9a Fg. 9b Permanente undrecconal: la funcón peródca evolucona sn cambar de sgno. Es decr, la magntud asocada conserva su sentdo en todo el período. Fg. 3 a Fg. 3 b Permanente alternante en el tempo: la funcón camba de sgno cada medo período, o sea: T y ( t) = y ( t ± ) S cumple esta condcón, el desarrollo en sere de Fourer no posee armóncas pares. Fg. 3 Permanente senodal, armónco o sofrecuencal: la funcón alternante en el tempo es de tpo

30 9 senodal: y( t) = Y sen ( ω t + ϕ Y max max ) = ampltud ω = pulsacon ϕ = angulo de fase ncal Fg. 3 El nombre armónco o sofrecuencal provene del hecho de que un desarrollo en sere de Fourer de esta funcón dcho desarrollo nos da una componente de una sola frecuenca (o armónca). En nuestra matera veremos los dstntos estados de régmen, generados por ondas que pueden ser descrptas medante funcones: Constantes: régmen de corrente contnua (CC), Senodales: régmen de corrente alterna (CA), Peródcas: régmen polarmónco, que demostraremos que se puede resolver medante un desarrollo en sere de Fourer como una superposcón de ondas senodales. Tambén estudaremos los crcutos en régmen transtoro, medante el método clásco de planteo y resolucón de ecuacones dferencales, o medante técncas especales (transformada de Laplace), analzando qué ocurre con las tensones y correntes cuando, en un crcuto que está en régmen permanente, se produce una perturbacón (apertura o cerre de una llave, cambo en la forma de onda de la almentacón, etc.). PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Un sstema eléctrco consste en tres partes, A, B y C, como se ndca en la fgura. Se sabe que el dspostvo A absorbe J por cada C de carga postva que se desplaza a través del msmo desde el borne a al b. Al msmo tempo, s C de carga postva se desplaza a través de B desde b hasta c, dcho elemento absorbe 4 J. a) Calcular V ab, V bc y V ca c) Basándose en el hecho de que la carga no se acumula en un dspostvo y en la conservacón de la energía, cuál sería la energía absorbda por el dspostvo C por cada C de carga que lo atravesa desde c hasta a? e) Cuánto es la suma V ab, V bc y V ca? a C A ) Dada la sguente convencón de sgnos: c B b

31 3 hallar y grafcar la potenca nstantánea absorbda por el dspostvo X en funcón del tempo, y la energía total absorbda por X en el ntervalo a t, y calcular la potenca meda absorbda por X en el ntervalo < t <. Las tensones y correntes están en volts y amperes, respectvamente. a) V= =5 t> b) V= =5 e -4t t> c) V= = cos πt t> d) V= cos πt = sen πt t> 3) Respetando la msma convencón de sgnos del problema anteror, y con la tensón y corrente grafcadas en la fgura sguente, determnar y grafcar la potenca nstantánea absorbda por el dspostvo X en funcón del tempo para - < t < 4. Hallar la potenca meda absorbda en dcho ntervalo de tempo. 4) La batería de un automóvl tene una tensón en sus bornes de aproxmadamente V cuando el motor está apagado y no está conectado el arranque. Un auto se estacona con el estereo funconando, el cual consume 6 W, y algunas luces encenddas, que consumen W. Con una carga de este tpo, la batería sumnstrará aproxmadamente, 6 J de energía antes de perder capacdad para arrancar el auto. a) Qué potenca debe sumnstrar la batería? b) Qué corrente debe sumnstrar la msma? c) Aproxmadamente, cuánto tempo podrá permanecer estaconado el auto con las luces encend- das y el estereo andando y luego arrancar? 5) La corrente promedo en un relámpago es de x 4 A, y su duracón es de, segundos (Wllams, 988). La dferenca de potencal entre las nubes y la terra es de 5 x 8 V. Determne la carga total transmtda a la terra y la energía lberada. Rta: Q = x 3 C W = J = TJ 6) Se dspone de una pequeña batería alcalna de,5 V con una energía almacenada nomnal de 5 Joules. Cuántos días funconará una calculadora de bolsllo que consume una corrente de ma? Puede aprecarse por qué el apagado automátco es una buena dea? 8) La batería de un automóvl se carga con una corrente constante de A durante 5 horas. El voltaje en bornes de la batería es v = +,5 t V para t >, donde t está en horas. Determne la energía entregada a la batería durante las cnco horas y grafque w(t). S el costo de la energía eléctrca fuera de centavos / kwh, calcule el costo de cargar la batería durante 5 horas.

32 Rta:,3 centavos 3