OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( putos) Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C Solució Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C Adjutos Como A primera fila 0 (-1)(-1) + 2(1) 1 0, existe la matriz iversa A -1 cuya fórmula es A -1 1/( A ) Adj(A t ), y por tato el sistema A X - 2 B C tiee solució. De A X - 2 B C A X 2 B + C, y multiplicado la expresió A X 2 B + C, por la izquierda por A -1 teemos A -1 A X A -1 (2 B + C), I 2 X A -1 (2 B + C), por tato X A -1 (2 B + C) Calculamos A -1 1/( A ) Adj(A t ); A 1; A t , Adj(A t ) 1-2 1, por tato A -1 (1/1) , 2 B + C , luego la matriz pedida es X A -1 (2 B C) EJERCICIO 2_A La gráfica de la fució derivada de ua fució f(x) es ua parábola de vértice (1,-4) que corta al eje de abscisas e los putos (-1,0) y (,0). A partir de la gráfica de f : (1 75 putos) Estudie el crecimieto y el decrecimieto de f. Para qué valores de x se alcaza los máximos y míimos relativos? (1 25 putos) Esboce la forma de la gráfica de ua fució cuya derivada sea la parábola dada. Solució La gráfica de la fució derivada de ua fució f(x) es ua parábola de vértice (1,-4) que corta al eje de abscisas e los putos (-1,0) y (,0). A partir de la gráfica de f : Estudie el crecimieto y el decrecimieto de f. Para qué valores de x se alcaza los máximos y míimos relativos? Co los datos dados podemos calcular f (x), auque o es ecesario. f (x) ax 2 + bx + c V(-ba, f(-b ) V(1,-4) De (1,-4) -4 a + b + c De (-1,0) 0 a b + c De (,0) 0 9a + b + c Se obtiee a 1, b -2 y c - f (x) x 2-2x - U esbozo de la gráfica de la derivada de f (x) dode está señalados los putos que me ha dado es: 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Como f (x) > 0 e (-,-1) (,+ ), por tato f(x) es estrictamete creciete ( ) e (-,-1) (,+ ). Como f (x) < 0 e (-1,), por tato f(x) es estrictamete decreciete ( ) e (-1,). Por defiició e x -1 hay u máximo relativo Por defiició e x hay u míimo relativo Como f (x) es estrictamete decreciete ( ) e (-,1), por tato f (x) < 0 e (-,1), es decir f(x) es cócava ( ) e (-,1). Como f (x) es estrictamete creciete ( ) e (1,+ ), por tato f (x) > 0 e (1,+ ), es decir f(x) es covexa ( ) e (1,+ ). Por defiició e x 1 hay u puto de iflexió Ua de las ifiitas gráficas de f(x) es (recordamos que tiee máximo e x -1, puto de iflexió e x 1 y míimo e x ) es: Mediate técicas de itegració se sabe que f(x) x / x 2 x + K, siedo K cualquier úmero real. EJERCICIO _A Parte I Dos cajas, A y B, tiee el siguiete coteido: La A: 5 moedas de 1 euro y de 10 pesetas. La B: 4 moedas de 1 euro, 4 de 10 pesetas y 2 de 25 pesetas. De ua de las cajas elegida al azar, se extrae ua moeda. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que sea de 1 euro? (1 puto) Si la moeda extraída resulta ser de 10 pesetas, cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B? Solució Dos cajas, A y B, tiee el siguiete coteido: La A: 5 moedas de 1 euro y de 10 pesetas. La B: 4 moedas de 1 euro, 4 de 10 pesetas y 2 de 25 pesetas. De ua de las cajas elegida al azar, se extrae ua moeda. Cuál es la probabilidad de que sea de 1 euro? Llamamos A, B, 1, 10 pts y 25 pts, a los sucesos Elegir la caja A, Elegir la caja B, sacar ua moeda de 1, sacar ua moeda de 10pts y sacar ua moeda de 25pts. 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Del problema teemos p(a) p(b) 1, p(1 /A) 5/8, p(10pts/a) /8, p(1 /B) 4/10, p(10pts/b) 4/10,.. Todo esto lo vemos mejor e u diagrama de árbol (recordamos que las probabilidades que sale desde u mismo odo suma 1) Por el Teorema de la Probabilidad Total p(1 ) p(a) p(1 /A) + p(b) p(1e/b) (1) (5/8) + (1) (4/10) 41/ Si la moeda extraída resulta ser de 10 pesetas, cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B? Utilizado el Teorema de la Probabilidad Total y la Fórmula de Bayes teemos: p( B 10 pts ) p( B) p(10 pts /B) p(b/10 pts ) p(10 ) p A) p(10 /A + p B) p(10 /B pts ( pts ) ( pts ) ( (1) (4/10) ) / ( (1) (/8) + (1) (4/10) ) (1/5) / (1/80) 16/ EJERCICIO _A Parte II (2 putos) Se sospecha que el úmero de uidades que cotiee cada dosis de u medicameto o llega a las que se idica e el evase. Para comprobar que el coteido medio de las dosis es el idicado tomamos, al azar, 100 dosis y determiamos el úmero de uidades de cada ua, obteiedo de media 9940 uidades y de desviació típica 120 uidades. Qué podemos decir sobre la idicació del evase, para u ivel de cofiaza del 99%? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) x z 1 α,x + z1 α (a, dode z 1-α y z α - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) 1 - α Tambié sabemos que la media es x (a +, el error máximo de la estimació es E z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a 2 z1 α 2 E, de dode E (b, 2 2 z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es E b - a. Se sospecha que el úmero de uidades que cotiee cada dosis de u medicameto o llega a las que se idica e el evase. Para comprobar que el coteido medio de las dosis es el idicado tomamos,

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua al azar, 100 dosis y determiamos el úmero de uidades de cada ua, obteiedo de media 9940 uidades y de desviació típica 120 uidades. Qué podemos decir sobre la idicació del evase, para u ivel de cofiaza del 99%? Datos del problema: 100, x 9940, 120, ivel de cofiaza 99% α, de dode α 0 01, es decir α De p(z z 1-α ) 1 - α Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 2 57 y 2 58, por tato z 1-α es la media es decir z 1-α ( ) 2 575, por tato el itervalo de cofiaza de la media poblacioal es: I.C.(µ) x z 1 α,x + z1 α '575, ' (9909 1, ). Como el valor o perteece al itervalo, el úmero de uidades que cotiee cada dosis de u medicameto o llega a las que se idica e el evase. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Sea el cojuto de restriccioes siguiete: x + y 9 x y 0. x + 2y 16 x 0 (1 puto) Dibuje la regió factible determiada por dichas restriccioes. (1 puto) Calcule los vértices de dicha regió. c) (1 puto) Obtega los putos e los que la fució objetivo F(x,y) x + 2y preseta el máximo y el míimo. Solució y c) Dibuje la regió factible determiada por dichas restriccioes x + y 9; x - y 0; x + 2y 16 y x 0. Calcule los vértices de dicha regió. Obtega los putos e los que la fució objetivo F(x,y) x + 2y preseta el máximo y el míimo. Fució Objetivo F(x,y) x + 2y. Las desigualdades x + y 9; x - y 0; x + 2y 16 y x 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, x + y 9; x - y 0; x + 2y 16 y x 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y -x + 9; y x; y -x + 8 y x 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo limitado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x 0 e y x, teemos y 0, y el puto de corte es A(0,0) De y x e y -x+9, teemos x -x+9, luego 2x 9, x y 4 5, y el puto de corte es B(4 5,4 5) De y -x+9 e y -x+8, teemos -x+9 -x+8-2x+18 -x+16 2 x, luego y 7, y el puto de corte es C(2,7). De x 0 e y -x+8, teemos y 8, y el puto de corte es D(0,8) Vemos que el polígoo covexo cerrado tiee por vértices los putos: A(0,0), B(4 5,4 5), C(2,7) y D(0,8). Calculemos el máximo y el míimo de la fució F(x,y) x + 2y e dicha regió covexa. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada covexa, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(4 5,4 5), C(2,7) y D(0,8). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) (0) + 2(0) 0; F(4 5,4 5) (4 5) + 2(4 5) 1 5; F(2,7) (2) + 2(7) 16; F(0,8) (0) + 2(8) 16. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 16 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(2,7) y C(0,8), es decir e todo el segmeto BC, y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 0 (el meor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(0,0). EJERCICIO 2_B El cosumo de luz (e miles de pesetas) de ua vivieda, e fució del tiempo trascurrido, os viee dado por la expresió: f(t) -t 2 /5 + 2t + 10; 0 t 12. (1 puto) E qué periodo de tiempo aumeta el cosumo? E cuál dismiuye? (1 puto) E qué istate se produce el cosumo máximo? Y el míimo? c) (1 puto) Represete gráficamete la fució. Solució El cosumo de luz (e miles de pesetas) de ua vivieda, e fució del tiempo trascurrido, os viee dado por la expresió: f(t) -t 2 /5 + 2t + 10; 0 t 12. E qué periodo de tiempo aumeta el cosumo? E cuál dismiuye? Sabemos que la mootoía os la dá el estudio de la 1ª derivada f(t) -t 2 /5 + 2t + 10; f (t) -2t/ De f (t) 0, teemos -2t/ , es decir t 5. Como f (4) -2(4)/ /5 > 0, f(t) es estrictamete creciete ( ) e (-,5), e particular e 0 t < 5. Como f (6) -2(6)/ /5 < 0, f(t) es estrictamete decreciete e ( ) (5, ), e particular e 5<t 12. Por defiició e x 5 hay u máximo relativo que vale f(5) -(5) 2 /5 + 2(5) Luego el cosumo aumeta e el periodo 0 t < 5, y dismiuye e el periodo 5 < t 12. E qué istate se produce el cosumo máximo? Y el míimo? La gráfica de la fució -t 2 /5 + 2t + 10 es u parábola ( ) co las ramas hacia abajo, pues el º que multiplica a t 2 es egativo, por tato el máximo está e el vértice, y la abscisa es la solució de h (t) 0, que ya lo hemos calculado V(5,15), es decir el máximo cosumo es de pesetas, y se obtiee e el tiempo t 5. Para calcular el míimo absoluto vemos el valor de la fució f(t) e los extremos del itervalo, es decir e t 0 y t 12. f(0) -(0) 2 /5 + 2(0) f(12) -(12) 2 /5 + 2(12) , es decir el míimo cosumo es de 5200 pesetas y se obtiee e el tiempo t 12. c) Represete gráficamete la fució. La gráfica de -t 2 /5 + 2t + 10 es u parábola ( ) co las ramas hacia abajo, pues el º que multiplica a t 2 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua es egativo, hemos visto que el vértice V era V(5,15), y además teemos los putos (0,10) y (12,5 2), por tato teiedo e cueta la aterior u esbozo de la gráfica de f(t) es: EJERCICIO _B Parte I La probabilidad de que u jugador A marque u gol de pealti es de 5/6, mietras que la de otro jugador B es 4/5. Si cada uo laza u pealti, (1 puto) Halle la probabilidad de que marque gol uo solo de los dos jugadores. (1 puto) Halle la probabilidad de que al meos uo marque gol. Solució La probabilidad de que u jugador A marque u gol de pealti es de 5/6, mietras que la de otro jugador B es 4/5. Si cada uo laza u pealti, Halle la probabilidad de que marque gol uo solo de los dos jugadores. Sea A y B los sucesos el jugador A marca gol de pealti y el jugador B marca gol de pealti. Datos que p(a) 5/6, p(b) 4/5, y como ambos sucesos so idepedietes p(a B) p(a) p(b) (5/6) (4/5) 2/. ( ) Sabemos que p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) p A B ; p(b) 1 - p(b C ); p(a C ) 1 p(a) p(b) p(a C B C ) {Ley de Morga} p(a B) C {suceso cotrario} 1 - p(a B); p(a B C ) p(a) - p(a B). Me pide p(marque gol uo solo de los dos jugadores) p(a B C ) + p(a C B) p(a) - p(a B) + p(b) - p(a B) 5/6-2/ + 4/5-2/ /10 0. Halle la probabilidad de que al meos uo marque gol. Me pide p(a B) p(a) + p(b) - p(a B) 5/6 + 4/5-2/ 29/ EJERCICIO _B Parte II Ua muestra aleatoria de 6 cigarrillos de ua marca determiada dio u coteido medio de icotia de miligramos. Se sabe que el coteido e icotia de estos cigarrillos sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 1 miligramo. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que el coteido medio e icotia de los cigarrillos de esa marca sea superior a 2 miligramos? (1 puto) Obtega u itervalo de cofiaza al 99% para el coteido medio de icotia de estos cigarrillos. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) x z 1 α,x + z1 α (a, dode z 1-α y z α - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) 1 - α Tambié sabemos que la media es x (a +, el error máximo de la estimació es E z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a 2 z1 α 2 E, de dode E (b, 2 2 z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es E b - a. Ua muestra aleatoria de 6 cigarrillos de ua marca determiada dio u coteido medio de icotia de miligramos. Se sabe que el coteido e icotia de estos cigarrillos sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 1 miligramo. Cuál es la probabilidad de que el coteido medio e icotia de los cigarrillos de esa marca sea superior a 2 miligramos? Datos: Datos del problema: 6, x, 1, sabemos que la distribució muestral de medias es 1 X N( x, ) N(, ) N(, 1/6). 6 Me está pidiedo p( X > 2) {Tipificamos} p(z > '2 - ) p(z > 1 2) {cotrario} 1/6 1 p(z 1 2) Obtega u itervalo de cofiaza al 99% para el coteido medio de icotia de estos cigarrillos. Datos del problema: 1, 6, x, ivel de cofiaza 99% α, de dode α 0 01, es decir α De p(z z 1-α ) 1 - α Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 2 57 y 2 58, por tato z 1-α es la media es decir z 1-α ( ) 2 575, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) x z 1 α,x + z1 α 1 1-2'575, + 2'575 (2 5708, 4292)

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