EXPRESION MATEMATICA

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1 TEMA: MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME COMPETENCIA: Analiza, describe y resuelve ejercicios y problemas del movimiento circular uniforme. CONCEPTUALIZACION Es el movimiento cuyo móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales, es un movimiento de rapidez constante y cuya trayectoria es una circunferencia. En este movimiento podemos analizar la velocidad angular (ω); velocidad lineal o tangencial; aceleración centrípeta, período, frecuencia. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Velocidad angular (ω) Velocidad tangencial Aceleración Centrípeta Frecuencia y Periodo Es el cociente entre el ángulo descrito por el radio y el tiempo empleado en describirlo sus unidades son radianes sobre segundos o ángulos sobre segundos Es la velocidad con la que el cuerpo se desplaza sobre la circunferencia. EXPRESION MATEMATICA La magnitud de la velocidad no cambia pero si su dirección, esta aceleración es hacia el centro por ello se denomina centrípeta EXPRESION MATEMATICA T= tiempo que dura el móvil en dar una vuelta completa. F= número de revoluciones en dar una vuelta EXPRESION MATEMATICA v = x t a = v2 r, a = ωf EXPRESION MATEMATICA tiempo empleado T número de vueltas ω = 2π t ; ω = 2πf, ω = α t T # revoluciones tiempo e En los dos casos mostrados en las figuras se cumple que:

2 Sus rapideces tangenciales serán iguales. Angulares. Relación entre los radios y las rapideces Relación entre los radios y sus frecuencias. Relación entre los radios y los periodos de rotación. EJEMPLOS Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg. a) Cual es la rapidez promedio? b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo? a) Cual es la rapidez promedio? b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo? L = 200 metros = 2 π r Despejamos el radio

3 F = 3,01 Newton Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes por segundo y calcula su periodo y frecuencia. Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por segundo, solo tenemos que recordar que una vuelta entera (360o, una revolución) equivale a 2π radianes (o que media vuelta, 180o, son π radianes). Con eso ya podemos hacer regla de tres: 1 vuelta 2π radianes 90 vueltas x radianes 2π x = 90 vueltas 1 vueltas = 180π radianes 180 π radianes 60 segundos x radianes 1 segundo 1 x = 180 π radianes 60 segundos = 3 π radianes/segundos Ya tenemos la velocidad angular (ω). El periodo (T) se saca mediante la formula: La frecuencia (f) es la inversa del periodo: ω = 2π T T = 2π 3π = 2 3 f = 1 T = 3 2 s 1 Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodo d) su frecuencia. El apartado a) se resuelve igual que el ejercicio anterior: 1 vuelta 2π radianes 200 vueltas x radianes 2π x = 200 vueltas = 400π radianes 1 vueltas 400π radianes 60 segundos x radianes 1 segundo x = 20π/3 radianes/segundo 1 x = 400 π radianes 60 segundos = 20 π radianes/segundos 3 b) Para sacar la velocidad lineal a partir de la angular, solo tenemos que multiplicar por el radio (en metros). Esto vale para calcular cualquier magnitud lineal a partir de la angular.

4 v = ω R Secretaria de Educación San José de Cúcuta - Norte de Santander v = 20 π 0,8 = 16,76 m/sv = 3 v = ω r c) Ya vimos en el ejercicio anterior como calcular el periodo a partir de la velocidad angular: ω = 2π T T = 2π 20 = 3 segundos. Recuerde la Ley de Extremos y Medios 3 π 10 3) Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal de un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la aceleración normal para este último. La velocidad angular es la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro. Si no fuera así, algunos caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo modo que en ejercicios anteriores, veras que el resultado es de π radianes/segundo. Pero la velocidad lineal no es la misma para los dos, porque el caballito que este más hacia fuera debe recorrer un circulo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades lineales, multiplicamos las angulares por los respectivos radios: caballito 1: v = π 1,5 = 4,71 m/s caballito 2: v = π 2 = 6,28 m/s Aunque sea un MCU, existe una aceleración, llamada "normal" que es la responsable de que el objeto se mueva en círculos en vez de en línea recta. Esta aceleración es igual a la velocidad lineal al cuadrado dividida entre el radio: a = v r = 6,28 2 TALLER 1. Un volante de 1,50 m de radio gira a razón de 50 vueltas por minuto. Calcular: la velocidad lineal y su velocidad angular. 2. Sabiendo que la tierra tiene un período de 24 horas y que su radio mide Km., calcular la velocidad tangencial con que se mueven los cuerpos que están en la superficie del planeta. 3. Un móvil animado de movimiento circular uniforme describe un ángulo de 2,20 rad en 1/5 de seg. Si el radio de la circunferencia descrita es de 40 cm, calcular: su velocidad angular. Su velocidad lineal. Su período y su frecuencia. 4. Un disco que está animado de movimiento circular uniforme da 100 revoluciones por minuto (r.p.m.), calcular: su período, su frecuencia, su velocidad angular, la velocidad lineal en un punto de su periferia si tiene un diámetro de 3 metros.

5 5. Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. a) Hallar su velocidad angular, la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta en un punto del borde. b) Repetir los cálculos para otro punto situado a 10 cm del centro. b) Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º y en efectuar 20 revoluciones? 6. Calcular la velocidad angular de cada una de las manecillas de un reloj. 7. Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular gira, cuando el automóvil marcha a 72 km/h en un camino rectilíneo, sin que resbalen. 8. Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de la misma. Si el automóvil tiene aceleración en algún instante, determinar su módulo, dirección y sentido. 9. Un móvil recorre una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia f de 10 Hz. Determinar: c) el período. d) la velocidad angular. e) su velocidad tangencial. f) su aceleración. 10. Cuál es la aceleración y la fuerza centrípeta que experimenta un chico que pesa 500 N y que viaja en el borde de una calesita de 2 m de radio y que da una vuelta cada 8 segundos? 11. Un satélite artificial, cuya masa es 100 kg, gira alrededor de la Tierra, dando una vuelta completa cada 90 minutos. Suponiendo que su órbita es circular, que el radio medio de la Tierra es 6360 km, y que la altura media del satélite sobre la superficie terrestre es de 280 km, determinar su velocidad tangencial, su aceleración y la fuerza centripeta. 12. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, en electrón gira alrededor del protón en una órbita circular de 0,53 x m de radio con una rapidez de 2,18 x 10 6 m/s. a) Cuál es la aceleración del electrón en el átomo de hidrógeno? b) Cuál es la fuerza centrípeta que actúa sobre él? Considere la masa del electrón m e = 9,1 x kg. 1. Calcule a) la velocidad angular; b) la velocidad tangencial c) la aceleración centrípeta de la Luna, sabiendo que ésta efectúa una revolución completa en 28 días y que la distancia media a la Tierra es de 3,8 x 10 8 m. 13. Una rueda de 50 cm de radio gira a 180 r.p.m. Calcula: d) El módulo de la velocidad angular en rad/s Resultado: ω= 6π rad/s e) El módulo de la velocidad lineal de su borde. Resultado: v= 9.42 m/s

6 f) Su frecuencia. Resultado: f= 3 Hz 14. Un CD-ROM, que tiene un radio de 6 cm, gira a una velocidad de 2500 rpm. Calcula: g) El módulo de la velocidad angular en rad/s Resultado: ω= 83.3π rad/s h) El módulo de la velocidad lineal de su borde. Resultado: v= 15.7 m/s i) Su frecuencia. Resultado: f = Hz 15. Teniendo en cuenta que la Tierra gira alrededor del Sol en días y que el radio de giro medio es de m, calcula (suponiendo que se mueve en un movimiento circular uniforme): j) El módulo de la velocidad angular en rad/día Resultado: ω= rad/día k) El módulo de la velocidad a que viaja alrededor del Sol Resultado: v= 29861m/s l) El ángulo que recorrerá en 30 días. Resultado: θ = rad = 29 33' m) El módulo de la aceleración centrípeta provocada por el Sol. Resultado: a = m/s Calcular cuánto tiempo pasa entre dos momentos en que Marte y Júpiter estén sobre el mismo radio de sus órbitas (suponiendo que ambos se mueven con un movimiento circular uniforme). Periodos de sus órbitas alrededor del Sol: Marte: días Júpiter: año Resultado: t = días VER VIDEO 10. Un piloto de avión bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad, durante tiempos breves, sin perder el conocimiento. Para un avión que vuela a 2300 km/h, cuál será el radio de giro mínimo que puede soportar? Resultado: r = 5200 m 11. Tenemos un cubo con agua atado al final de una cuerda de 0.5 m y lo hacemos girar verticalmente. Calcular: a) El módulo de la velocidad lineal que debe adquirir para que la aceleración centrípeta sea igual a 9.8 m/s 2. Resultado: v = 2.21 m/s b) El módulo de la velocidad angular que llevará en ese caso. Resultado: ω = 4.42 rad/s = 0.70 vueltas/s 16. La Estación Espacial Internacional gira con velocidad angular constante alrededor de la Tierra cada 90 minutos en una órbita a 300 km de altura sobre la superficie terrestre (por tanto, el radio de la órbita es de 6670 km). a) Calcular la velocidad angular ω Resultado: ω = π/2700 rad/s b) Calcular la velocidad lineal v Resultado: v = 7760 m/s c) Tiene aceleración? En caso afirmativo, indicar sus características y, en caso negativo, explicar las razones de que no exista. Movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.) 17. Un CD-ROM de 6 cm de radio gira a una velocidad de 2500 rpm. Si tarda en pararse 15 s, calcula: a) El módulo de la aceleración angular. Resultado: α= π rad/s 2 b) Las vueltas que da antes de detenerse. Resultado: θ = 625 π rad = vueltas c) El módulo de la velocidad angular para t=10 s Resultado: ω= 27.77π rad/s

7 18. Un coche con unas ruedas de 30 cm de radio acelera desde 0 hasta 100 km/h en 5 s. Calcular: a) El módulo de la aceleración angular. Resultado: α= rad/s 2 b) Las vueltas que da en ese tiempo. Resultado: θ = rad = vueltas c) El módulo de la velocidad angular para t=3 s Resultado: ω= rad/s d) El módulo de la aceleración tangencial Resultado: a T = 5.55 m/s 2 e) El módulo de la aceleración normal para t= 5 s Resultado: a N = 2572 m/s Una centrifugadora pasa de estar detenida a girar a 450 r.p.m. en 15 s. Si el radio del tambor es de 25 cm, calcular: a) El módulo de la aceleración angular. Resultado: α= π rad/s 2 b) Las vueltas que da en ese tiempo. Resultado: θ = 112.5π rad = vueltas c) El módulo de la velocidad angular para t=10 s Resultado: ω= 10π rad/s d) El módulo de la aceleración tangencial Resultado: a T = 0.78 m/s 2 e) El módulo de la aceleración normal para t=15 s Resultado: a N = m/s Una centrifugadora esta girando a 1500 r.p.m., se desconecta y se detiene en 10 s. Calcular a) Su aceleración angular α Resultado: α = rad/s 2 b) Las vueltas que da hasta detenerse. Resultado: θ =125 vueltas 21. Un disco que está girando a 2 vueltas/s, frena y se detiene en 9 s. Calcular: a) Su aceleración angular. Resultado: α = -4 π /9 rad/s 2 b) Las vueltas que da hasta detenerse. Resultado: θ = 9 vueltas c) La velocidad del borde del disco para t=2 s si el radio del disco es de 15 cm. Resultado: v = 1,46 m/s 22. Calcular la rapidez angular, la rapidez lineal y la aceleración centrípeta de la luna. La luna realiza una revolución completa cada 28 días y la distancia promedio desde la tierra a la luna es 3,84 x 10 8 m 23. Una rueda partiendo del reposo acelera de tal manera que su velocidad angular se incrementa uniformemente a 200 rpm en 6 segundos. Después de que ha estado rotando algún tiempo a esta velocidad se aplican los frenos hasta que se para en 5 min. El número total de revoluciones de la rueda es de a) Realiza un grafico velocidad angular en función del tiempo b) Determina el tiempo total de rotación y el ángulo total rotado por la rueda 24. Un volante parte del reposo con aceleración constante. Después de 100 vueltas la frecuencia es de 300 rpm determina. La aceleración angular, la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial de un punto situado a 20 cm del eje. 25. Un disco de 30 cm de radio que rota con movimiento uniforme describiendo 13,2 rad cada 6 segundos. Determina la velocidad angular, el periodo de rotación, la frecuencia de rotación, el tiempo que demora en realizar un desplazamiento de 720º, el tiempo que demora en realizar 12 revoluciones y la aceleración tangencial.

8 26. Un satélite que se mueve con rapidez constante en orbita circular a 400 m de altura de la superficie terrestre posee una aceleración de 8,7 m/s 2 determina: su rapidez lineal y angular, el tiempo que tarda en dar una vuelta completa (R t = 6370 km) 27. A las 12 de la mañana las agujas de un reloj coinciden exactamente una sobre la otra A que hora volverá a hacerlo? II. Preguntas: Analice cada una de las siguientes afirmaciones y diga cuales son ciertas y cuales no 1. Para iguales radios la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme de mayor velocidad tangencial es mayor. 2. Para iguales frecuencias la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme de mayor velocidad tangencial es mayor 3. En un movimiento circular uniforme, la aceleración es nula. 4. En un movimiento circular, si un cuerpo tiene el módulo de la velocidad constante, su aceleración es nula 5. Cuando un péndulo que está oscilando alcanza una posición extrema, su aceleración centrípeta es nula 6. Cuando un péndulo que está oscilando alcanza la posición más baja, su aceleración centrípeta es nula. 7. Un cuerpo atado a un piolín que se hace girar en un plano vertical, puede estar animado de un movimiento circular uniforme 8. Un cuerpo atado a un piolín que se hace girar en un plano horizontal, puede estar animado de un movimiento circular uniforme. 9. Al cortarse el piolín en el caso anterior el cuerpo sale despedido en la dirección del radio. 10. En el punto más bajo de un movimiento pendular, la tensión es igual al peso. 11. La fuerza peso y la fuerza gravitatoria son la misma.

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