Capítulo II VIBRACIONES Mecánicas

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1 Capítulo II VIRACIONES Mecánica

2 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía. INTRODUCCIÓN La vibracione ecánica e refieren a la ocilación de un cuerpo o un itea ecánico alrededor de u poición de equilibrio. Alguna vibracione on deeable, coo por ejeplo el oviiento pendular que controla el oviiento de un reloj, o la vibración de una cuerda de un intruento uical. En cabio en ucha aplicacione ecánica no e deea la preencia de la vibracione. Aí por ejeplo la vibración exceiva de áquina y etructura puede ocaionar que e aflojen la unione y la conexione llegando en alguno cao a producir el colapo de la etructura. El etudio de la vibracione e uy aplio de tal anera que exite un conjunto de publicacione e invetigacione detinado al tea. Nuetra intención en ete trabajo e preentar lo principio báico de la vibracione que deben er entendido por lo aluno de ciencia e ingeniería y que irven de bae para el etudio de otro curo de u epecialidad. En ete entido olo etudiareo la vibracione con un olo grado de libertad, e decir aquel oviiento en el cual la poición e puede exprear con una ola coordenada por ejeplo x, o y en la figura.a, o.b y por θ en el oviiento pendular figura.c. (a) (b) (c) Figura.. Vibracione ecánica con una ólo grado de libertad. La do coponente báica en toda vibración on la aa y la fuerza recuperadora. Eta últia que con frecuencia e proporcionada por un ecanio elático, tiende a regrear a la aa a u poición de equilibrio cuando ella e eparada de dicha poición y liberada. En fora general la vibracione e claifican en vibracione libre y vibracione forzada. La priera on originada y antenida por fuerza elática o la gravitatoria y la egunda on producida por fuerza periódica aplicada exteriorente. La vibracione libre y forzada e dividen a u vez en aortiguada y in aortiguaiento. Cuando la fuerza que e oponen a la fuerza recuperadora on depreciable e dice que la vibración e in aortiguaiento. Cuando la fuerza coo el rozaiento del tipo vicoo no e depreciable e denoinan vibración con aortiguaiento E abido que en todo itea real etá preente la fuerza diipativa coo el rozaiento que tiende a extinguir la vibración. Sin ebargo, en ucho itea la pérdida de energía debido al rozaiento e tan pequeña que a enudo pueden er depreciable reultando entonce una vibración libre. 64

3 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía. VIRACIONES LIRES NO AMORTIUADAS DE UNA PARTÍCULA. Conidereo una partícula de aa ujeta a un reorte ideal de rigidez k tal coo e uetra en la figura.. Si el oviiento decrito por e vertical, la vibración e de un olo grado de libertad. Cuando etá en equilibrio etático, la fuerza que actúan obre ella on el peo, W = g y la fuerza elática Fe k t. Si e aplica la ecuacione de equilibrio al DCL, e tiene F x g k (.) Si ahora e deplaza a un deplazaiento x enor que δ t dede la poición de equilibrio y e uelta in velocidad inicial la partícula e overá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la poición de equilibrio generando de eta fora una vibración libre. Para deterinar la ecuacione que gobiernan a la vibración conidereo a la partícula en una poición arbitraria x edida a partir de la poición de equilibrio coo e uetra en la figura.b, t Figura.. Diagraa de cuerpo libre de : (a) en equilibrio etático y (b) en oviiento. Del diagraa de cuerpo libre y cinético e oberva que la ecuación de oviiento de la aa e Al replazar la ecuación () en (), reulta F x ax g k t x x (.) 65

4 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía x kx (.3)* El oviiento definido por la ecuación (3)* e conoce coo oviiento arónico iple y e caracteriza por que la aceleración e proporcional y de entido opueto al deplazaiento. Tabién e puede ecribir en la fora x x (.4) n En donde ω n e denoina frecuencia natural circular o pulación natural, y e exprea k n (.5) La olución de la ecuación diferencial lineal de egundo orden con coeficiente contante dada por la ecuación (.4) e de la fora t co t x Aen (.6) Donde A y on contante que e deterinan de la condicione iníciale. n A vece e á conveniente ecribir la ecuación (.6) en una fora alternativa dada por La velocidad y la aceleración etán dada por n x x en nt (.7) v x x co t (.8) n n n a x x en t (.9) La gráfica de la poición x en función del tiepo t uetra que la aa ocila alrededor de u poición de equilibrio. La cantidad x e le denoina aplitud de la vibración, y el ángulo φ e denoina ángulo de fae. Coo e uetra en la figura.3, τ e el período de la vibración, e decir el tiepo que tarda un ciclo. n (.) k n La frecuencia natural de vibración que repreenta el núero de ciclo decrito por unidad de tiepo etá dada por k f (.) 66

5 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Figura.3. ráfica deplazaiento en función del tiepo para una ocilación libre.. Péndulo iple. Un péndulo iple e define coo una partícula de aa upendida de un punto fijo por edio de una cuerda de longitud l y de aa depreciable (figura.4). Si la partícula e deplaza un ángulo θ de u poición de equilibrio y luego e uelta, el péndulo ocilará iétricaente repecto a u poición de equilibrio. Fígura.4. Péndulo iple: (a) Intalación y (b) Diagraa de cuerpo libre. Aplicando la ecuacione de oviiento al DCL de la aa reulta. Ft a t gen l g en (.) l Para ángulo pequeño, en, donde θ e exprea en radiane. Entonce la ecuación (), e ecribe en la fora g (.3) l 67

6 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Por tanto, el péndulo decribe un oviiento arónico iple de frecuencia circular dada por g n l (.4) El período de la vibración pendular e exprea en la fora.. Péndulo copueto. l (.5) g Un péndulo copueto e un cuerpo de dienione finita que ocila alrededor de un eje horizontal fijo que paa por un punto del cuerpo debido a la acción de la fuerza gravitacional (peo). El cuerpo rígido ocilará en un plano vertical cuando e le epare de u poición de equilibrio un ángulo θ y e uelte. Para deterinar la ecuacione que gobiernan a ete oviiento conidereo un cuerpo de fora arbitraria tal coo e uetra en la figura.5 en donde ZZ e un eje horizontal y C e u centro de aa ituado a una ditancia b del punto de ocilación O. Figura.5. Diagraa equeático de un péndulo fíico Para una poición angular θ, repecto a la vertical la fuerza que actúan obre el ólido on u peo g y la reacción en el punto de ocilación. Aplicando la ecuacione de oviiento al diagraa e encuentra M I O gben (.6) Donde I O e el oento de inercia del cuerpo con repecto al punto O y e la aceleración angular, el igno eno e debe a que el peo produce un oento de retitución. Para ángulo pequeño, en, entonce la ecuación (6) e ecribe I O gb (.7) 68 I O

7 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía La ecuación (.7) e la ecuación diferencial de un MAS y la olución de la ecuación diferencial e de la fora en n t (.8) Por tanto, el péndulo decribe un oviiento arónico iple de frecuencia circular dada por gb n (.9) I O El período de la vibración pendular e exprea en la fora I O (.) gb Por otro lado el oento de inercia con repecto al punto de ocilación e puede exprear utilizando el teorea de lo eje paralelo en función del oento de inercia con repecto al centro de aa, eto e I O I b (.) C Teniendo en cuanta la definición de radio de giro, KC IO /, la ecuación anterior e puede ecribir I O C K b (.) Al replazar la ecuación (.) en la ecuación (.) e obtiene K C b gb K C b (.3)* gb Eta ecuación e uy iportante porque no perite deterinar en el laboratorio la aceleración de la gravedad y el radio de giro del péndulo fíico...3 Péndulo de torión. Ete péndulo etá contituido por un cuerpo rígido oportado por un eje en la fora indicada en la figura.6. Si el ángulo de torión e pequeño y el itea inicia u oviiento dede el repoo, lo efuerzo dearrollado en el eje producen y antienen un oviiento angular arónico iple. Suponga que 69

8 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía el oviiento vibratorio del cuerpo e iniciara induciendo en el péndulo el ángulo de torión θ, pequeño y liberándolo a continuación. Figura.6. Repreentación de un péndulo de torión En la ecánica de ateriale e deuetra que i no e excede el líite de proporcionalidad del aterial de un eje acizo circular, el oento de torión que e aplica al eje e proporcional al ángulo de torión y e deterina ediante la ecuación. M I P r L L k (.4) Donde I P = πr 4 /, e el oento polar de inercia del área de la ección tranveral del eje acizo, e el ódulo de rigidez del aterial, L e la longitud del eje y θ e ángulo de torión. La ecuación que decribe el oviiento de éte péndulo e M z I z M I Al replazar el valor del oento de torión en eta ecuación, reulta Z k I Z I Z k (.5) La ecuación (.5) indica que el oviiento e angular y arónico con una frecuencia circular natural dada por n k r (.6) I LI Z 4 Z El período de la vibración pendular e exprea en la fora LI Z (.7) 4 r 7

9 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Ejeplo.. Una charola A etá unida a tre reorte coo e uetra en la figura. El período de vibración de la charola vacía e de,75. Depué de que el reorte central C e ha upriido e oberva que el período e de,9. Si e abe que la contante del reorte central e N/. Deterine la aa de la charla. En la figura (a) e uetra el DCL de la charola en poición de equilibrio y en (b) el DCL de la charola A para una poición fuera del equilibrio. (a) (b) Aplicando la ecuacione de equilibrio a (a), e tiene F y g k k k C D () Aplicando la ecuacione de oviiento a (b) reulta Fy ay g k kc kd ( y) y () Replazando la ecuación () en la ecuación (), obteneo y k k k y (3) C D La ecuación (c) e la ecuación diferencial de un M.A.S con frecuencia circular k k k C D (4) El período de vibración erá T k k k C D (5) 7

10 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando el valor de k C e tiene T k N / k D (6) Cuando no exite el reorte C, el período e T k k D (7) Dividiendo la ecuacione (5) y (6) reulta T k N / k T k k,9,75 k kd N / k k k kd 7, 7 N / Replazando eta últia expreión en la ecuación D D D,9 7, 7 4,66 kg Rta Ejeplo.. Una barra de,8 de longitud y 6 N de peo e antiene en poición vertical ediante do uelle idéntico cada uno de lo cuale tiene una contante k igual a 5 N/. Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia natural de la barra alrededor de A e aproxie a un valor nulo para pequeña ocilacione. En la figura (a) e uetra el DCL de la barra en poición de equilibrio y en (b) el DCL de la barra para una poición (θ) fuera del equilibrio. (a) (b) 7

11 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Aplicando la egunda condición de equilibrio e tiene M A k, k,8 () Aplicando la egunda ley de newton para el oviiento de rotación de la varilla M A I k x, co k x,8co W, 4en P,8en I A () Para ángulo pequeño co y en, entonce la ecuación () e ecribe A k x, k x,8 W, 4 P,8 I A (3) Replazando la ecuación () en (), reulta k x, k x,8 W, 4 P,8 I A k,, k,8,8 W, 4 P,8 I A Teniendo en cuenta que k k k y IA l, reulta k,4 k,64 W, 4 P,8 l 3 Replazando valore e tiene La frecuencia circular erá,68, 4,8 3 l k W P 6,8,685,46,8 3 P 9,8, ,8P n 3376 P,36 Para que la frecuencia ea cero e tiene P 3376N Rta. 73

12 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Ejeplo.3. Un cilindro unifore de 7 kg puede rodar in delizare por un plano inclinado y etá ujeto por un uelle coo e uetra. Si u centro e ueve plano abajo y e uelta, hallar: (a) el período de la ocilación y (b) la velocidad áxia del centro del cilindro. En la figura (a) e uetra el DCL del cilindro en la poición (x ) fuera del equilibrio. Aplicando la ecuacione de equilibrio al DCL de la figura para una poición de equilibrio etático e tiene F a ( o) x, x gen4 F F () roz e, roz M I I () e, F r F r Suando la ecuacione () y (), reulta gen4 F () e, gen4 k (3) La ecuación de oviiento de tralación en la dirección x, no da F x a, x gen4 F F x roz e gen5 F k x x (4) roz 74

13 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía La ecuación de oviiento de rotación no da M I F r F r I roz e F r k x r I r Froz k x r (5) roz Suando la ecuacione (3) y (5), reulta gen4 k x x r (6) Replazando 83) en (6), e tiene x r kx (7) La relación entre la aceleración lineal y angular e obtiene toando coo centro intantáneo el punto CI de la figura. x x r r x x r (8) r Replazando (8) en (7) y iplificando reulta 3 x kx 3 7 x 79 x x 5, 48x El periodo e deterina a partir de la frecuencia circular n T T 5, 48 T,5 Rta Para deterinar la velocidad áxia e aplica la condicione iníciale. n 3 3 x Aen t 5. Aen,3() 5. Aen x Aco nt,3aco,3,3co y A= 5 La velocidad para cualquier poición e n La velocidad áxia erá v x,6en,3 t / vax, 6 / Rta 75

14 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía.3 VIRACIONES LIRES AMORTIUADAS. En análii vibratorio coniderado hata ahora no ha incluido el efecto de la fricción o el aortiguaiento del itea y coo reultado de ello, la olucione obtenida on olo una aproxiación cercana al oviiento real. Debido a que toda la vibracione e diipan con el tiepo, la preencia de fuerza aortiguadora debe incluire en el análii. Se dice que un itea tiene aortiguaiento cuando poee eleento que diipan energía. Exiten vario tipo de aortiguaiento: aortiguaiento vicoo, lo experientan lo cuerpo que e ueven con una velocidad oderada en el interior de fluido; aortiguaiento de Coulob, producido por el oviiento relativo de uperficie eca; y el aortiguaiento etructural, e producido por la fricción interna del aterial elático. En eta ección no dedicareo únicaente al etudio del aortiguaiento vicoo..3. Aortiguador vicoo lineal. Ete tipo de aortiguaiento e preenta en fora natural cuando itea ecánico ocilan en el interior de un edio fluido. Tabién aparece en itea ecánico utilizado para regular la vibración. Una fora de repreentarlo e la otrada en la figura.7. Ete tipo de aortiguador etá forado por un pitón el cual e ueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido vicoo coo el aceite. Al overe el ébolo e opone el fluido el cual debe atravear pequeño orificio practicado en el ébolo. Figura.7. Repreentación de un aortiguador Para nuetro etudio vao a utilizar lo aortiguadore lineale, en ete cao la fuerza de fricción debido al aortiguaiento e directaente proporcional a la velocidad lineal iendo la contante de proporcionalidad el llaado coeficiente de aortiguaiento (c). Eta fuerza e exprea F V cx (.8).3. Vibracione libre con aortiguaiento vicoo. Para deterinar la ecuacione que gobiernan a ete oviiento conidereo un itea aa, reorte y aortiguador coo el otrado en la figura.8. 76

15 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Figura.8. Diagraa de cuerpo libre de una partícula de aa con aortiguaiento Aplicando la egunda ley de Newton al bloque e tiene F X x x cx x g k t (.9) Recordando que en el cao de equilibrio etático, g anterior e ecribe k, la ecuación t x cx k (.3) * La ecuación (.3)* e una ecuación diferencial hoogénea de egundo orden con coeficiente contante. La teoría de la ecuacione diferenciale no dice que la olución e de la fora t x Ae (.3) Replazando la ecuación (.3) conjuntaente con u derivada en la ecuación (.3) e obtiene la ecuación caracterítica expreada por cuya raíce on c k (.3) c c 4k, (.33) 77

16 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía La olución general de la ecuación e ecribe t t x e Ce (.34) La contante y C e deterinan a partir de la condicione iníciale, ientra que λ y λ e deterinan de la ecuación caracterítica. Debe obervare adeá que el coportaiento del itea depende de la cantidad ubradical, éta puede er poitiva, nula o negativa. Coeficiente de aortiguaiento crítico c cr. E el valor del coeficiente de aortiguaiento para el cual e hace cero la cantidad ubradical de la ecuación (.33), en conecuencia c cr k n (.35) El coeficiente de aortiguaiento crítico repreenta la cantidad ínia de aortiguaiento requerida para que el oviiento no ea vibratorio. La olución de la ecuación diferencial (.3) tiene tre fora. A. Moviiento obre aortiguado. En ete cao c > c cr, entonce la do raíce de la ecuación caracterítica on reale y diferente. Por tanto la olución puede ecribire t t x Ae e (.36). Moviiento críticaente aortiguado. Aquí c = c cr, en ete cao la do raíce on iguale. La olución general erá nt A te x (.37) C) Moviiento ubaortiguado. La raíce de la ecuación (33) on copleja y conjugada., c i k c i d (.38) Donde α =c/ y ω d e la frecuencia circular aortiguada dada por k c d (.39) El período de la vibración aortiguada erá d d k c (.4) 78

17 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando la ecuación (.38) en (.3) reulta x t x e Sen dt (.4) El oviiento de la ecuación (.4) e dice que e periódico en el tiepo de aplitud decreciente tal coo e uetra en la figura.9. En donde e oberva que el período e el tiepo entre do valle o pico Figura.9. Repreentación de la poición en función del tiepo para un oviiento ubaortiguado Decreento logarítico. E una cantidad que no perite edir la velocidad de decaiiento de una ocilación, e exprea coo el logarito de la razón entre cualquier par de aplitude uceiva poitiva (o negativa). Eto e x t e x (.4) y la aplitud iguiente e x ( t d ) e x (.43) la razón entre la do aplitude e x x xe x e t t d e d (.44) Por lo tanto el decreento logarítico erá x ln x 79 ln e d

18 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía c d d (.45) Razón de aortiguaiento. Tabién conocido coo factor de aortiguaiento, e una cantidad definida coo la razón entre el coeficiente de aortiguaiento (c) y el coeficiente de aortiguaiento cítrico (c cr ), eto e c c cc (.46)* c k cr En función de eta cantidad e pueden obtener la iguiente relacione, n n i n (.47) En función de la razón de aortiguaiento e puede decir que un oviiento e obre aortiguado i (ξ > ), e críticaente aortiguado i (ξ =) y ubaortiguado í (ξ < ). Para el cao de un oviiento ubaortiguado, la pulación propia aortiguada, el período aortiguado y el decreento logarítico e ecriben en la fora. d n (.48) d (.49) n (.5) 8

19 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Ejeplo.4. El cuerpo M de kg otrado en la figura e utentado por tre reorte y tre aortiguadore vicoo coo e uetra en la figura. Si k = k = 5 N/; k 3 = N/; β = β =,8 N./ y β 3 =,4 N./ y para iniciar el oviiento e deplaza al cuerpo hacia abajo y e uelta dede el repoo. Deterine: (a) La ecuación diferencial que decribe el oviiento, (b) la frecuencia (i exite) y (c) el decreento logarítico. En la figura (a) e uetra el DCL del cuerpo en la poición de equilibrio etático y en (b) el DCL del cuerpo para una poición (y) fuera del equilibrio. (a) (b) Aplicando la ecuacione de equilibrio al diagraa A, e tiene F a ( o) y, y g k k k () 3 Aplicando la egunda ley de Newton al oviiento del bloque reulta F y a, y g k k k y y y Replazando la ecuación ( en () reulta. 3 3 () y+ y k k k y 3 3 Al utituir lo valore dado en el problea e tiene y 3y 4 y (3) La olución de la ecuación diferencial e de la fora t y De y De t y De t 8

20 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando eta cantidade en la ecuación (3) no perite obtener la ecuación caracterítica, dada por La olución de la ecuación (4) no da t De (4),,,5 i 5,9 (5) i d La ecuación (5) indica que el oviiento e ubaortiguado por tanto exite una frecuencia aortiguada. f 5,9 d f,94 hertz Rta. Coo el oviiento e ubaortiguado la olución de la ecuación diferencial (3) e de la fora La velocidad e,5t y Ae en t 5,9 (6),5 t y Ae [5,9co 5,9t,5en 5,9 t ] (7) Replazando la condicione iniciale en la ecuacione (6) y (7) reulta, Aen A[5,9co,5 en] Lo valore de A y φ on A, =89 La poición en cualquier tiepo erá El decreento logarítico e y e en t,5t, 5,9 89,5t,e ln,,5( ttd e,5td,5,5 f,94,33 Rta 8

21 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Ejeplo.5. Se uetra una barra de,5 de longitud y N de peo en la poición de equilibrio etático y oportada por un uelle de rigidez k =4 N/. La barra etá conectada a un aortiguador con un coeficiente de aortiguaiento c = 69 N./. Deterine: (a) La ecuación diferencial para el oviiento angular de la barra, (b) el tipo de oviiento reultante, (c) el período y la frecuencia del oviiento (i procede) y (d) la razón de aortiguaiento. En la figura (a) e uetra el DCL del cuerpo en la poición de equilibrio etático y en (b) el DCL del cuerpo para una poición (y) fuera del equilibrio. g,5 x F V =cv g y A x,5 Kδ S y k(δ S + x e ) Aplicando la egunda condición de equilibrio a la figura (a) reulta M k g,5, 5 () Aplicando la ecuación de oviiento de rotación e tiene M I g,5co k x, 5co cv,85co I () e Para ángulo pequeño enθ θ y coθ=, entonce e tiene g,5 k x, 5 cv,85 I (3) Replazando la ecuación () en (3) reulta De la figura (b) e tiene que e, 5,85 e v k x cx I I cx,85 k x, 5 (4) v e x, 5 (5) e x,85 (6) v 83

22 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando (5) y (6) en (4) e obtiene,85,85, 5, 5 = (7) 3 l c k Replazando lo dato del enunciado y iplificando e tiene 34, 4 36, 875 (8) La frecuencia circular natural e 875 n 5, rad/ 34,4 La razón de aortiguaiento e deterina a partir de ceff 34,4 5, eff,36 Rta, n 36, La ecuación anterior no indica que el oviiento e ubaortiguado por tanto exite la frecuencia y el período aortiguado La frecuencia aortiguada e 34,4 56, 875,, 3, 43 i 4,98 i d 4,98 rad / f / T d d f 3,97 T,5 d Ejeplo.6. Un cilindro unifore que pea 35 N, rueda in delizar por una uperficie horizontal coo e uetra en la figura. El reorte y e aortiguador etán conectado a un pequeño paador exento de fricción ituado en el centro del cilindro de c de diáetro. Deterine: (a) La ecuación diferencial del oviiento; (b) La razón de aortiguaiento; (c) El tipo de oviiento. 84

23 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía En la figura e uetra el DCL del cilindro para una poición arbitraria cualquiera repecto a la poición de equilibrio g F e = k x F V = c v F roz Aplicando la ecuacione de oviiento de tralación, e tiene N C F x x kx F F x roz v kx F cx x roz () Aplicando la ecuacione de oviiento de rotación, e tiene M I Froz r r Froz r () Replazando () en (), y teniendo en cuenta que obteneo x kx cx r kx cx r x r 3 x cx kx 3 35 x 33,3x x 9.8 5,36 x 33,3x x Rta (3) Parte (b) Cálculo de la razón de aortiguaiento ceff 5,36 / 5,36 eff, 656 Rta n 33.3 Parte (c). Tipo de oviiento. Coo ξ < ; el oviiento e ubaortiguado 85

24 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía.4 VIRACIONES FORZADAS..4. Vibracione forzada in aortiguaiento. Uno de lo oviiento á iportante en el trabajo ingenieril e la vibracione forzada in aortiguaiento. Lo principio que decriben ete oviiento pueden aplicare al etudio de la fuerza que originan la vibración en vario tipo de áquina y etructura. Fuerza arónica de excitación. El itea otrado en a figura., proporciona un odelo de un itea aa reorte oetido a una fuerza de carácter arónico dada por F = F en(ωt), donde F e la aplitud de la vibración arónica y ω e a frecuencia de la vibración arónica. (a) (b) Figura.. (a) loque oetido a una fuerza periódica externa, (b) DCL y cinético. Aplicando la ecuacione de oviiento egún el eje x, reulta F x a x F ent kx x x kx F ent (.5)* La ecuación (.5)* e una ecuación diferencial de egundo orden no hoogénea con coeficiente contante. Su olución etá copueta por: i) una olución copleentaria; y ii) una olución particular. La olución copleentaria e deterina haciendo igual a cero el egundo térino de la ecuación (.5)*, y reolviendo la ecuación hoogénea, e decir x kx La olución de eta ecuación e de la fora x x en( nt ) (.5) Coo el oviiento e periódico la olución particular e de la fora x P ent (.53) 86

25 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Deterinando la egunda derivada con repecto al tiepo de la ecuación (.53) y replazando en la ecuación (.5) da por reultado ben t F ent ent k Depejando el valor de la contante reulta F / F / k (.54) k ( ) n Replazando la ecuación (.54) en (.53), reulta x P F / k ent (.55) n La olución general erá F / k x xc xp Aen nt ent (.56) n De la ecuación (.56) e oberva que la ocilación total etá copueta por do tipo de oviiento. Una vibración libre de frecuencia ω n figura.a, y una vibración forzada cauada por la fuerza exterior figura.b. De eto e oberva que la vibración libre e extingue quedando la vibración peranente o particular coo lo uetra la figura.c. (a) (b) (c) Figura.. (a) vibración libre, (b) vibración peranente y (c) Superpoición de aba. En la ecuación (.55) e oberva que la aplitud de la vibración particular depende de la razón entre la frecuencia forzada y natural. Se define coo factor de aplificación al cociente entre la aplitud de la vibración etable y la deflexión etática. 87

26 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía MF ( xp ) F / k ax n (.57) De eta ecuación puede obervare que aparece la reonancia cuando la do frecuencia on aproxiadaente iguale eto e. El fenóeno de reonancia no e deeable en la vibracione de eleento etructurale porque producen efuerzo interno que pueden producir el colapo de la etructura. Deplazaiento excitador periódico. La vibracione forzada tabién pueden urgir a parir de la excitación periódica de la cientación de un itea. El odelo indicado en la figura., repreenta la vibración periódica de un bloque que e originada por el oviiento arónico δ = δ enωt. Figura.. Vibración forzada debido a un deplazaiento periódico. En la figura.3, e uetra el DCL y cinético del bloque. En ete cao la coordenada x e ide a partir del punto de deplazaiento cero del oporte e decir cuando el radio vector OA coincide con O. Por lo tanto el deplazaiento general del reorte erá (x δ enωt) Fig. 3. Diagraa de cuerpo libre y cinético Aplicando la ecuación de oviiento egún la dirección horizontal e tiene Fx a x kx ent x x kx kent (.58) 88

27 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Coparado la ecuación (.58) con la ecuación (.5) e oberva que u fora e idéntica por tanto u olución eguirá el io procediiento etablecido anteriorente..4. Vibración libre con aortiguaiento vicoo. En nuetra conideracione obre la vibracione de un olo grado de libertad y con aortiguaiento vicoo, encontrao que la energía era diipada por el aortiguador y la aplitud diinuía con el tiepo. Sin ebargo, i proporcionao una fuente de energía externa podeo antener la ocilacione con una aplitud contante. Para deterinar la ecuacione que la gobiernan a ete oviiento conidereo un itea aa, reorte y aortiguador oetido a una fuerza periódica externa P =P enω, tal coo e uetra en la figura.4. (a) (b) Figura.4. (a) Sitea ecánico forzado, (b) Diagraa de cuerpo libre. Aplicando al DCL la egunda ley de Newton, e obtiene. F x a P ent kx cx x x cx kx P ent (.59)* 89 x La ecuación diferencial (.59)* e una ecuación diferencial lineal, de egundo orden, no hoogénea y con coeficiente contante. Su olución e obtiene uando una olución copleentaria y una olución particular. La olución copleentaria atiface a la ecuación hoogénea y la olución particular e una función cualquiera que atiface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la olución total e ecribe x( t) x ( t) x ( t) (.6) C La olución particular etudiada anteriorente, e extingue rápidaente egún el valor del coeficiente de aortiguaiento. Por el contrario la olución particular o peranente o de etado etacionaria e la que e antiene, iendo eta de carácter arónico y viene expreada por. P

28 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía xp xen t (.6) Replazando la ecuación (6) en la ecuación (6) reulta. t cx cot kx ent P ent xen Haciendo (Ωt-φ) uceivaente igual a cero y π/, reulta c x P en (.6) k x P co (.63) Elevando al cuadrado abo iebro de la do ecuacione anteriore, reulta y uándolo, reulta k c x P (.64) De la ecuación (64), e obtiene la aplitud la ia que etá dada por P x (.65) k c El defaaje φ e obtiene dividiendo la ecuacione (6) y (63) c tg (.66) k ajo eta circuntancia la olución particular e ecribe x P ent (.67) k c Pero la frecuencia natural etá dada por, n k /, y el valor del coeficiente crítico de aortiguaiento e c cr = ω n, el factor de aplificación erá MF x (.68) P / k / c / c n cr / n c / c cr / n / tg (.69) En la figura.5, e uetra el factor de aplificación en función de la razón de frecuencia para ditinto valore de la razón de aortiguaiento. Oberve que a edida que e va diinuyendo la razón de aortiguaiento la aplitud de la vibración va creciendo. La reonancia e produce cuando la 9 n

29 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía razón de aortiguaiento tiende a cero y la frecuencia on aproxiadaente iguale Figura.5. Relación entre el factor de aplificación y la razón de frecuencia. 9

30 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía.5 PROLEMAS RESUELTOS.5. Vibracione libre Problea. Un intruento que e utiliza para edir la vibración de una partícula realiza un oviiento arónico iple de frecuencia propia 5 Hz y aceleración áxia de 4 /..Deterinar la aplitud y la áxia velocidad de la vibración. Dato e incógnita f 5Hz;.. aax 48 / ; A??;.. vax?? X A. Sen(. t ) X. ACo. (. t ) X. A X......( ) Si cuando X =, v = /; entonce e tiene A. A () Adeá e tiene que a X 5 / X 5rad /......(3) Cálculo de la aplitud a ax A (. f ) A aax A (. f ) A 48, Rta. Cálculo de la velocidad áxia v v ax ax. A. f (5)(,486),53 / Rt La velocidad cuando X =, erá Problea 3 v 5,4, v,73 / Rta. Un bloque de aa e deliza por una uperficie horizontal exenta de rozaiento, egún e uetra en la figura. Deterine la contante k del reorte único que podría utituir lo do repreentado in que cabiara la frecuencia del bloque. Problea Una partícula vibra con un oviiento arónico iple. Cuando paa por u poición de equilibrio, u velocidad e de /. Cuando e halla a de u poición de equilibrio, u aceleración e de 5 /. Deterine el ódulo de la velocidad en eta poición. Dato e incógnita. Dato e incógnita X ;.. v / ;.. X ;.. a 5 /,.. v?? E abido que la poición en cualquier tiepo etá dada por ;.. k ;.. k ;.. k;.. k e En la figura e uetra el DCL del bloque en una poición X a partir del equilibrio.?? 9

31 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Dato e incógnita kg;.. X 5;.. v,5 / ;.. t ;.. Ec. Dif.??;.. T??;.. A??;.. X f ( t);.. t?? Aplicando la egunda ley de Newton en la dirección X, reulta Fx. ax F F. X e e kx k X X X ( k k ) X......() Para utituir lo reorte por uno equivalente in odificar la frecuencia, debe cuplire que En la figura e uetra el DCL de la aa en la poición de equilibrio. Se upone que lo reorte etán etirado X k X e ( ) Coparando la ecuacione () y (), reulta k e Problea 4 k... k Rta. Una aa de kg etá upendida en un plano vertical por tre reorte, egún e uetra en la figura. Si el bloque e deplaza 5 hacia abajo a partir de u poición de equilibrio y e uelta con una velocidad hacia arriba de,5 / cuando t =. Deterinar: (a) La ecuación diferencial que rige al oviiento, (b) El periodo y la frecuencia de la vibración, (c) La poición de la aa en función del tiepo y (d) El enor tiepo t > del pao de la aa por u poición de equilibrio Aplicando la ecuacione de equilibrio en la dirección vertical, e tiene g k F y k k ( ) En la figura e uetra el DCL de la aa en una poición arbitraria Y, a partir de la poición de equilibrio Aplicando la ecuación de oviiento g k k k ( k g F e3 g k ( Y) k ( Y) k F k ( Y) Y e F F 3 y e Y Y k ) Y Y...() 93

32 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando la ecuación () en (), reulta Y ( k k k 3 ) Y 7Y Y 35Y......(3) El periodo de vibración e obtiene de la frecuencia circular 35 T T,6 eg ( 4) Calculo de la aplitud. La olución de la ecuación diferencial (3), tiene la fora Y A. Sen(. t ) (5) Su velocidad viene expreado por Dato e incógnita T??;.. f kg;.. k 9N / ;.. t : X,. y. X??;.. X f ( t) En la figura e uetra el DCL de en una poición arbitraria X a partir de la poición de equilibrio Y 59,ACo. (59,t )......(6) Replazando la condicione iniciale, e tiene,5 ASen ( 7),5 59,ACo ( 8) Reolviendo iultáneaente la ec.(7)y (8),reulta A 6,54 49,86º La poición en cualquier tiepo t, erá Y 6,54Sen(59,t,87) Rta. El tiepo t >, erá 6,54Sen(59,t t Problea 5,87),5eg Rta. En la figura, la coordenada X ide el deplazaiento de la aa de kg repecto a u poición de equilibrio. En t =, la aa e uelta del repoo en la poición X =,. Deterinar: (a) El período y la frecuencia natural de la vibracione reultante, (b) La poición de la aa en función del tiepo Aplicando la egunda ley de Newton en dirección horizontal, e tiene. F X x F X e. kx X X kx X 9X X 9X ( ) La frecuencia circular etá dada por El período erá 9 3. rad / () 3 T T,9Seg Rta La frecuencia natural, e 94

33 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía f Y,9 f,48hz Rta La olución de la ecuación diferencial (3), tiene la fora Dato e incógnita 4kg;.. k 8N / ;.. t : X 4,.. X t??;.. X 6 ;.. v??;.. a?? En la figura e uetra el DCL de en poición de equilibrio X ASen( 3t ) (3) La velocidad etá dada por X 3ACo(3t ) (4) Reeplazando la condicione iniciale, e tiene, ASen (5) ACo (6) Reolviendo iultáneaente la ecuacione anteriore, reulta A. Aplicando la ecuacione de equilibrio e tiene F g k ( ) En la figura e uetra el DCL de en una poición arbitraria Y, a partir de u poición de equilibrio La poición en función del tiepo erá X,Sen (3t / ) Rta Problea 6 Un collar de 4 Kg etá unido a un reorte de contante k = 8 N/ coo e uetra en la figura. Si al collar e le deplaza 4 hacia abajo dede u poición de equilibrio y e le uelta, deterinar: (a) El tiepo neceario para que el collar e ueva 6 hacia arriba y (b) La velocidad y aceleración correpondiente. Aplicando la egunda Ley de Newton, en dirección vertical, e tiene F a W Fe Y g k( Y ) Y......( ) Reeplazando la Ec.() en (), reulta y y Y ky 4Y 8Y Y Y ( 3) La ecuación (3), e la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia circular rad/, y la poición en función del tiepo etá dado por 95

34 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Y ASen( 4,4t )......( 4) La velocidad e exprea coo Y 4,4ACo(4,4t ) (5) La aplitud A y el defaaje φ, e deterina utilizando la condicione iniciale, eto e: 4 ASen ( 6) 4,4ACo......( 7) Reolviendo la ecuacione anteriore, reulta A ( 8) / ( 9) En la figura e uetra el DCL de la platafora cuando obre ella etá colocado un bloque de aa i, en etado de equilibrio etático. La poición, velocidad y aceleración coo función del tiepo e exprea en la fora Y 4Sen(4,4t ) Y 565,6Co (4,4t / ) / Y 79.97Sen(4,4t / ) / El tiepo cuando Y = 6 erá 4en (4,4t / ) t,5eg La velocidad y la aceleración cuando t =,5. erán Y 4Co 4,4(,5) / Y 485 / Y 79.79Sen 4,4(,5) / Y 399 / Rta Aplicando la ecuación de equilibrio, e tiene ( P F y ) g 4k......( ) En la figura e uetra el DCL de la platafora á un bloque de aa i en poición Y, a partir de la poición de equilibrio. Problea 7 Una platafora A que tiene una aa deconocida eta oportada por cuatro reorte teniendo cada uno una contante elática k. Cuando no hay nada obre la platafora el período de vibración vertical e de 3,9 ; ientra que i oporta un bloque de kg obre la platafora el período de vibración vertical e de 4,. Calcular la aa de un bloque colocado obre la platafora (vacía) que hace que la platafora vibre verticalente con un período de 4,6. Cuál e el valor de la contante elática k del reorte?. Aplicando la egunda ley de Newton, e tiene F Y ( ) g 4k( Y) ( ) Y...() p Reeplazando la ecuación (), en (), reulta y P 96

35 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía ( P Y ) Y 4kY P 4k Y......(3) La ec (3) e la ecuación diferencial de un M.A.S. con una frecuencia circular 4k n......(4) El período etá expreado por P T P 4k (5) Por condición del ejercicio, cuando =, entonce T = 3,9, e decir Dato e incógnita 3,9 P 4k ( 6) Adeá, cuando = kg; T = 4,, entonce W N;. t : xo 75 ;. vo,5 / En la figura e uetra el DCL del bloque para una poición x a partir de la poición de equilibrio 4, P 4k (7) Reolviendo iultáneaente la ecuación (6 ) y (7), reulta P 9kg (8) k,33n / ( 9) Adeá cuando e coloca obre la platafora un bloque de aa deconocida, el período e T 3 = 4,6, e tiene T 4,6 3 Problea 8 x P 4k 9 x x 4(,33) 7,43kg Rta Un bloque que pea N e deliza por una uperficie horizontal in fricción coo e uetra en la figura. Lo do reorte etán oetido a tracción en todo oento y la polea on pequeña y exenta de rozaiento. Si e deplaza el bloque 75 hacia la izquierda de u poición de equilibrio y e uelta con velocidad de,5 / hacia la derecha cuando t =, deterine: (a) La ecuación diferencial que rige el oviiento; (b) El período y la aplitud de la vibración, (c) La poición del bloque en función del tiepo Cuando el bloque eta en equilibrio etático, x =, entonce F e = k δ y T = T T F x k () Cuando el bloque etá en oviiento, la egunda ley de Newton, etablece F x X W T k ( X ) X......() g En la figura e uetra el DCL de la polea óvil para una poición Y a partir de la poición de equilibrio etático 97

36 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía El período de la vibración reultante, erá 4,3 T T,59eg Rta. La frecuencia de vibración e Cuando la polea etá en equilibrio, Y = entonce F e = k δ y T = T, entonce k T F y k ( Y ) T......( 3) Cuando la polea e etá oviendo hacia abajo, e tiene F a k ( Y) T k k Y T...(4) y P Py Replazando la ecuación () en (3), reulta k k (5) Replazando la ecuación (4) en (), reulta k W ( Y ) k( X ) X g k k Y k k X W g Sutituyendo la ecuación (5) en (6), reulta W g X k k X Y X...(. 6)......(7) De la geoetría de la figura e tiene X Y (8) Replazando la ecuación (8) en la ecuación (7), teneo W k X X kx ( ) g W g X ( k k ) X 4 f T,59,7 Hz Rta. La poición y la velocidad en función del tiepo etán dada por la ecuacione X ASen(,7t )......( ) X,7 ACo(,7t ) () Aplicando la condicione iníciale, e tiene,75 ASen ( ),5,7 ACo......( 3) Reolviendo la ecuacione anteriore, reulta A,38 Tg,64 Por lo tanto la poición en función del tiepo etá dada por la ecuación Problea 9. X,38Sen(,7t ) Rta. Cuando el itea repreentado en la figura etá en equilibrio, el reorte (k =, kn/) etá alargado 5 y el reorte (k =,8 kn/) lo etá. Si e tira de la aa hacia abajo una ditancia δ y e uelta a partir del repoo, deterinar: (a) la ecuación diferencial que rige el oviiento, (b) La ditancia δ ax tal que lo hilo e hallen iepre a tenión, (c) La frecuencia y la aplitud de la vibración reultante y (d) La poición de la aa en función del tiepo 9,8 333 X (833 ) X 4 X 4,3X......( 9) 98

37 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Dato e incógnita k N / ;.. 5;.. k 9;.. Ec. Dif.?;.. ax 8N / ;?;.. f?;.. Y f ( t) g k g Fe Fe Y Y) k ( Y) Y...(3) ( F y Y Replazando la ecuación () y () en (3), reulta En la figura e uetra el DCL del bloque en poición de equilibrio Y ( k k ) 4,Y 3Y Y 88,Y......( 4) Debido a que el reorte etá etirado 5, entonce para que lo do reorte actúen iepre a tenión, la ditancia áxia, erá Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene F F e k y F e k g () g Replazando valore, e tiene 8(,9) (,5) 9,8( ),4kg......( ) En la figura e uetra el DCL del bloque en una poición arbitraria Y, a partir de la poición de equilibrio ax ( 5) Cálculo de la frecuencia natural. De la ecuación (4), e tiene. f 88, f,7hz (6) La poición en función del tiepo tiene la fora Y ASen(. t ) (7) La velocidad intantánea e Y 6,98ACo(6,98t )......( 8) Replazando la condicione iníciale, e tiene 5 ASen ( 9) ACo ( ) Reolviendo iultáneaente e tiene A 5 La poición del cuerpo en cualquier tiepo e Y 5Sen(6,98t / ) Rta. Aplicando la egunda ley de Newton en dirección vertical, reulta Problea. Una placa plana P realiza un oviiento arónico iple horizontal obre una uperficie in fricción con una frecuencia f =,5 Hz. Un bloque decana obre la placa, coo e uetra en la figura, y el coeficiente de rozaiento entre el bloque y la placa e µ =,6. Cuál e la áxia aplitud de ocilación que puede tener el itea 99

38 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía in que rebale el bloque obre la placa?. Cuál e el valor de la velocidad áxia?. X 3. ACo(3. t )......(4) Su aceleración etá dada por la ecuación X 9 ASen(3. t ) (5) La aceleración áxia eta dado por Dato e incógnita f,5 Hz ;..,6;.. A??;.. v ax?? En la figura e uetra el DCL del itea copueto por el bloque á la placa en una poición arbitraria X. X 3 A (6) Ahora e analiza el oviiento del bloque. Según condición del problea el bloque no debe overe repecto a la platafora. Por lo tanto u diagraa cinético e el que e uetra Aplicando la ecuacione Fx X Fe ( P ) X kx ( ) X Ordenando la ecuación anterior X k P X P......( ) La frecuencia circular natural e: k. f (,5 HZ ) 3. rad / P ( ) La olución de la ecuación diferencial () e de la fora X ASen( 3. t ) (3) La velocidad en cualquier tiepo erá Aplicando la ecuacione de oviiento al DCL e tiene F y N / P g ( 7) Fx X F X N / P X ( 8) g X X g ( 9) Coo el bloque no debe overe repecto de la platafora, entonce X A A ax ax ax A g S g,6(9,8) 9, Rta. La velocidad áxia del itea erá v v ax ax Problea A,66(3 ),6 / Rta. La do aa de la figura e delizan por enda uperficie horizontale exenta de fricción. La barra AC etá en poición vertical en el equilibrio

39 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía y u aa e depreciable. Si lo reorte etán oetido a tracción en todo oento, ecribir la ecuación diferencial del oviiento para la poición X(t) de la aa de kg y deterinar la frecuencia y el período de la vibración reultante. (Supóngae ocilacione de pequeña aplitude). F x T k......( ) En la figura e uetra el DCL de la barra AC en la poición de equilibrio Dato e incógnita kg;.. k N / ;.. k T??;.. f??. 5kg;.. 3 AC ;.. k N / 35N / ;.. Ec. Dif.??; En la figura e uetra el DCL de en la poición de equilibrio etático Aplicando la egunda condición de equilibrio, e tiene T (, ) T (,) T (,),k,k,k...( 3) 3 M En la figura e uetra el DCL de en una poición arbitraria X a partir de la poición de equilibrio 3 3 Aplicando la ecuacione de oviiento, teneo Aplicando la ecuación de equilibrio en la dirección horizontal, e tiene F x T k () En la figura e uetra el DCL de en la poición de equilibrio etático Fx a x T k( X ) X T X k ( X )...(4) En la figura e uetra el DCL de en una poición arbitraria X a partir de la poición de equilibrio Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene

40 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Fx a k ( X ) X x T k ( X ) X... (5) En la figura e uetra el DCL de la barra AC, cuando e ha girado un ángulo θ a partir de la poición de equilibrio X kx k3( X ) k( X ) ( X ) ( 4 ) X ( k 4k 4 k3) X ( 6) X ( 4 8) X X 34,86X...() La ecuación () e la ecuación diferencial de un MAS, con frecuencia circular 34,86 8,5rad / La frecuencia natural erá 8,5 f f El período de la vibración e,95hz... Rta. Aplicando la ecuacione de oviiento a la barra AC, e tiene T f,95 T,34eg... Rta. M I T (, Co ) T(,Co ) T (,Co ) ( ) Para ángulo pequeño, Coθ ; y Senθ, entonce la ecuación anterior e ecribe Problea 3 Encuentre la ecuación diferencial del oviiento y el período de vibración del itea otrado en la figura. Deprecie la aa de la barra rígida a la cual etá unida la efera (partícula)., T,T 3,T (6) Replazando la ec.(4) y(5) en (6), reulta X k X k ( X ) k ( X ) X..(7) Replazando la ec.(3) en (7), reulta 3 3 Dato e incógnita X kx k3 X k X X... (8) Del gráfico por triángulo eejante, e oberva que X X,, X X ( 9) a ; L ; ; g ; Ec. Dif. =??; T=?? En la figura e uetra el DCL del itea copueto por la barra á la efera en la poición de equilibrio etático. Replazando la ec.(9) en (8), e tiene

41 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Aplicando la egunda condición de equilibrio, e tiene M A K ( a) g( L)...() En la figura e uetra el DCL del itea para una poición angular θ en entido horario iniciar el oviiento e deplaza el centro de la efera 75 hacia la derecha y e uelta a partir del repoo. Calcular la frecuencia del oviiento reultante y la rapidez áxia del centro de aa de la efera. Dato e incógnita Aplicando la ecuación de oviiento de rotación al itea, e tiene M I glco K( Y)( a. Co ) L A A... () kg;.. Fe 5N;.. K 9KN / ; K N / ;.. f??;.. X?? En la figura e uetra el DCL de la efera cuando u centro etá deplazado una ditancia X a partir de u poición de equilibrio. ax Para ángulo pequeño Coθ ; y Senθ, entonce la ecuación (), e ecribe gl K a K. ay. e L...(3) Replazando la ec.() en la ec. (3), reulta L K. a K. a L (4) La ec. (4) e la ecuación diferencial de un MAS, con frecuencia circular n. L T a Problea 4 K. a L T Rta. K La efera aciza y hoogénea de kg otrada en la figura gira in delizar cuando e deplaza a partir de u poición de equilibrio. La tenión inicial de cada reorte e 5 N/ y la contante elática on K =9 N/ y K = N/. Para 3 Aplicando la ecuacione de oviiento, e tiene ( F e K X X ) ( F M e F e ( K K I F K X ) X e F F ) F x F X X X......( ) F ( ) R R 5 F R () 5 Replazando la ec.() en (), reulta X ( K K ) X R...( 3) 5 Para el cao en el cual la efera rueda in delizar la fuerza de fricción e etática, entonce exite una

42 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular, eto e X R ( 4) Replazando la ec, (4) en (3), reulta X ( K K ) X X 5 5( K K ) X X 7. 5(9 ) X X 7() X 5X...(5) La ec.(5) contituye la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia circular dada por X X La velocidad áxia erá X ax Problea 5 75Sen,5t,98Co,5t /,9 / Rta. La barra unifore A de 8 kg etá articulada en C y ujeta en A a un reorte de contante K = 5N/. Si el extreo A recibe un pequeño deplazaiento y e uelta, hallar: (a) La frecuencia de la pequeña ocilacione, (b) El ínio valor de la contante K del reorte para el que habrá ocilacione. n 5,5rad / La frecuencia de vibración erá f f,5,95hz Rta. La olución de la ecuación diferencial (5), e de la fora ASen(,5t )......(6) X La velocidad del centro de aa de la efera e X,5ACo(,5t )......(7) Replazando la condicione iníciale, e tiene Dato e incógnita 8 kg ; K 5 N / ; f??;.. K in?? En la figura e uetra el DCL de la varilla en una poición definida por un ángulo θ, a partir de la poición de equilibrio.,75 A. Sen,5ACo. Reolviendo iultáneaente la ecuacione anteriore, e tiene A 75 Entonce la velocidad y la aceleración del centro de aa de la efera on: Aplicando la ecuacione de oviiento de rotación a la varilla e tiene 4

43 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía g(.4sen ) KX g(,4sen ) K(,65 (,65 co ) I e M C SenCo I I ) C C...( ) Para ángulo pequeño Coθ ; y Senθ, entonce la ecuación (), e ecribe C,4g,65 K I...( ) El oento de inercia con repecto al punto C, e I,55kg. Donde la ecuación (3) en (), reulta, 4g,65 K, 55,55 (,65 K,4 g)...(4) La ec. (4) contituye la ec. Diferencial de un MAS de frecuencia circular. f n f,65 K,4g,55,65 K,4g...(4),55 Dato e incógnita Ac kg;.. M D kg;.. K K 5N / L,8;.. f?? En la figura e uetra el DCL del itea copueto por la do varilla en la poición de equilibrio etático, auiendo que lo do reorte etán etirado Replazando valore e tiene f f,65 (5),4(8)(9,8),55,Hz Rta El ínio valor de K, erá aquel valor para el cual iepre e antenga poitiva la raíz cuadrada de la ecuación(4), eto e Problea 6,65 K.4g K in,4(8)(9,8) 5,3N / Rta. Do barra unifore cada una de aa = kg y longitud L = 8, etán oldada forando el conjunto que e uetra. Sabiendo que la contante de cada reorte K = 5N/ y que el extreo A recibe un pequeño deplazaiento y luego e uelta, deterine la frecuencia del oviiento ubiguiente. Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene M L L Fe ( ) Fe ( ) K K ( ) C En la figura e uetra el DCL de la barra cuando e ha girado un ángulo θ repecto a la poición de equilibrio 5

44 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía,8,8 3, 5 5 (9,8) 35,3...( 7). La frecuencia circular etá dado por n. f 35,3 5,94rad / La frecuencia de vibración erá f f n 5,94,95Hz Rta. Aplicando la ecuacione de oviiento de rotación al itea e tiene g AC M C I C L K ( Y ) K ( Y ) ( Co ) I...() L ( Sen ) C Para ángulo pequeño Coθ ; y Senθ, entonce la ecuación (), e ecribe Problea 7 Una efera A de 4 g y una efera C de 8 g etán unida a lo extreo de una varilla rígida de aa depreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un eje que paa por. Hallar el período de la pequeña ocilacione de la varilla. g AC L K ( Y ) K ( Y ) ( ) I...(3) L ( ) C Replazando la ec. () en (3), reulta AC g L ( K K )( Y ) ( ) I... (4) ( L ) C Reordenando la ecuación anterior e tiene I C L L K K g...( 5) AC El oento de inercia del itea repecto del punto C erá I I C C I I C AC C D AC LAC D LD 3 ()(,8) ()(,8) 3 3,kg ( 6) Replazando la ec (6) en la ec,(5), e tiene Dato e incógnita A,4kg;..,8kg;... ;... T?? C En la figura e uetra el DCL del itea para una poición θ a partir de la poición de equilibrio. AC 6

45 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Problea 8 T,833 T 3,43eg Rta Un peo de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg coo e uetra en la figura, ediante un paador in fricción que paa por u centro. Ecriba la ecuación diferencial del oviiento para la poición Y (t) del centro de aa del cilindro y deterine el período y la frecuencia del oviiento vibratorio reultante La ecuación e oviiento de rotación para el itea no da A g,5sen g,sen I....() C M I Para ángulo pequeño Coθ ; y Senθ, entonce la ecuación (), e ecribe A g,5 g, I...( ) C El oento de inercia repecto al punto, erá I I I C I I A C var A,5 C,,4,5,8,,75kg. illa (3) Dato e incógnita 6kg;... Ec. Dif C??;... f 4kg;... R,5;... K 8N /??;... T?? En la figura e uetra el DCL del bloque en poición de equilibrio etático Al utituir la ec.(3) en () reulta,4 9,8,5,89,8,,75...( 4),75,588 ~ 3, ( 5) La frecuencia circular erá 3,36,833 rad / n La ecuación de equilibrio no da El período de la vibración reultante erá F T T y g 6(9,8) 58,86N ( ) 7

46 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía En la figura e uetra el DCL del cilindro en poición de equilibrio etático Aplicando la ecuacione de oviiento e tiene Aplicando la ecuacione de equilibrio teneo T T T F K ( R) T K 4 9,8 58,86 K 98, N () M T Y K W C T ( R) K ( 3) Reeplazando la ec. (3) en () reulta K K 98, K 98, (4) En la figura e uetra el DCL del bloque cuando e ha deplazado una ditancia Y a partir de u poición de equilibrio Y T 4Y... (6) T 39,4 K e C F e y C C y T g F T Y M I T ( R) Fe ( R) T K( Ye ) Suando la ec. (5) y (6), e tiene C C R a R...( 7) Y T Y...(8 ) 98, K e Suando la ec (7) y (8), reulta 98, K e C Y Y R...(9) Replazando la ec.(4) en (9), reulta Y Y (4)(.5) KYe,5 6Y () e De la cineática de lo deplazaiento e tiene Aplicando la ecuacione de oviiento para el bloque, e tiene F Y a y 58,86 T 6Y ( 5) En la figura e uetra el DCL del cilindro en oviiento 8

47 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Y Y R R Adeá Y Ye Ye R R Y......( ),5 Y......( ) 3,6kg;.. 5 ;.. r,5;.. T??;.. aax?? En la figura e uetra el DCL del cilindro en la poición de equilibrio etático Replazando la ec.() y(),en la ec.(), reulta Y Y,5 6Y,5 Y 3Y... Rta. La ecuación anterior contituye la ecuación diferencial de un MAS con frecuencia circular n. f 66,67 6,33rad / La frecuencia de vibración e 6,33 f f,6hz..... Rta. El período T T,38eg... Rta f,6 Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene gsen5º F M F F e x F e......( ) ( r) F ( r) () Replazando la ec. () en (), reulta gsen5º K (3) Problea 9 Un cilindro unifore de 3,6 kg puede rodar in delizar por un plano inclinado 5º. A u períetro etá ujeta una correa y un uelle lo antiene en equilibrio coo e uetra. Si el cilindro e deplaza hacia abajo 5 y e uelta. Deterinar: (a) El período de la vibración, (b) La aceleración áxia del centro del cilindro En la figura e uetra el DCL del cilindro para un deplazaiento intantáneo X a partir de la poición de equilibrio Aplicando la ecuacione de oviiento e tiene Dato e incógnita Tralación 9

48 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía gsen5º F Rotación gsen5º F K X X...( 4) F e x F e X X F ( r) F ( r) I F ( r) K( X M e e I )( r) I Suando la ecuacione (4) y (5), reulta.....(5) gsen 5º K KX X. r. e...( 6) Replazando la ec.(3) en (6), e tiene X. r. KX e......( 7) De la geoetría y teniendo en cuenta que el centro intantáneo de rotación e el punto de contacto, reulta X X r. X r....( 8) r X X e. r.. r X e X..(9) r Replazando la ec.(8) y (9) en (7), reulta X X. r KX r 3 X 4KX 3 (3,6) X X 4(55) X 9,4X......( ) La olución de la ecuación diferencial (), e X 3,8t......() A. Sen La velocidad y la aceleración en cualquier tiepo X X 3,8Co 3,8 3,8 Sen t......( ) 3,8t...(3) Replazando la condicione iníciale, reulta,5 A. Sen 3,8ACo. Reolviendo iultáneaente la ecuacione anteriore, e tiene A 5 Replazando eto valore obtenido reulta X X 5. Sen3,8t Rta.,5(3,8) La aceleración áxia erá a a ax ax Problea Co 3,8t A (3,8) (,5) 5,45 / Rta Una rueda ecalonada que pea 9 N rueda in delizar por un plano horizontal, egún e indica en la figura. Lo reorte etán unido a hilo arrollado de anera egura obre el cubo central de 3 c de diáetro. Si el radio de giro del cilindro ecalonado vale 5, ecribir la ecuación diferencial del oviiento para la poición X (t) del centro de aa del cilindro y deterinar el período y la frecuencia del oviiento vibratorio reultante. La ec. () e la ecuación diferencial de una MAS con una frecuencia circular n 9,4 3,8rad / T T,96 eg ( Rta) Dato e incógnita

49 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía W 9N;.. R 5c;.. R 3c;. K X t??;.. T?? 5 En la figura e uetra el DCL de la rueda para una poición cualquiera X. La fuerza que obran on: el peo (W), la reacción noral (N C ), la fuerza de fricción (F ) y la fuerza elática F e en cada uno de lo reorte X X X R X R R R R......(4)...( 5) R R R R...( 6) R X R X R Replazando la ec. (4), (5) y (6) en la ec (3), reulta R R R R K k X k X X R R R Replazando valore e tiene X X 9,8X Siplificando la ecuación anterior e tiene Aplicando la ecuacione de oviiento e tiene F ( R F k Fx X Fe Fe F X k X k X F X......() ) F e R X R e M I ( R ) F ( R ) K k R X R K R Suando la ecuacione () y (), reulta....() R R K k X k X k X k X X R R R R R K k X kx X...(3) R R R X 3X (8) De la ecuación diferencial (8), e obtiene la frecuencia circular. n 3.45rad / T El período de la vibración e Problea T T,55eg... Rta.,45 Un cilindro de aa y radio R etá conectado con uelle idéntico de contante k y gira in rozaiento alrededor del punto O. Para pequeña ocilacione, cuál erá la frecuencia natural?. El cordón que oporta a W etá enrollado alrededor del cilindro. La cineática para la rueda uetra una relación entre la deforacione de lo reorte y el deplazaiento del centro de aa de la rueda

50 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Dato e incógnita " ", "R","r", "k", "W ", n En la figura e uetra el DCL del bloque.?? Aplicando la ecuacione de oviiento para el bloque e tiene F y MY Mg T MY T Mg MY (3) En la figura e uetra el Dcl del cilindro cuando gira un ángulo θ Aplicando la ecuacione de equilibrio al bloque, e tiene F y T Mg () En la figura e uetra el cilindro en equilibrio etático. Aplicando la ecuacione de oviiento al cilindro, e tiene M I T( R) k( X e )( rco ) k X ( rco ) I e O Para ángulo pequeño Coθ ; y Senθ, entonce la ecuación anterior, e ecribe M T( R) k( X )( r) k X ( r) I (4) e e Replazando la ec. (3) en (4), reulta O I Aplicando la ecuacione de equilibrio para el cilindro M - k ( r) k ( r) Mg( R) O - () En la figura e uetra el DCL del bloque pero deplazado de u poición de equilibrio etático. MgR MRY k r kxer k r kxer I o Al utituir la ec () en (5), reulta MRY kx r R e De la cineática e tiene que X e r y Y R. (7) (5) (6) Replazando la ec (7) en (6), reulta MR( R ) k( r ) r R R MR kr 4kr M R (8)

51 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía La ec.(8) contituye la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia circular natural e n 4kr M R... Rta. k S g ( 3) En la figura e uetra el DCL del cilindro para una poición arbitraria a partir de u poición de equilibrio Problea Un cilindro unifore de 4 kg pende en un plano vertical en el eno de un hilo ligero, coo e uetra en la figura. Si el cilindro de 5 de radio no e deliza por el hilo, ecribir la ecuación diferencial del oviiento para la poición Y (t) del centro de aa del cilindro y deterinar el período y la frecuencia de la vibración reultante. Aplicando la ecuacione de oviiento de tralación y rotación, e tiene F y g k T S y M T y (4) I r k S ye r r T k y r...(5 ) S e e y Dato e incógnita 4kg;.. r 5;.. k 8N / ;.. Y ( t)?? En la figura e uetra el DCL del cilindro en la poición de equilibrio etático Suando la ecuacione (4) y (5), reulta g k S kye y r...6 Replazando la ec.(3) en la ec. (6), teneo ky e y r......(7) La cineática para el cilindro uetra una relación entre la deforación del reorte y el deplazaiento del centro de aa del cilindro Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene F T k M y S g ( ) T ( r) k ( r) () Replazando la ec.() en la ec (), reulta S y ye tg ye y...(8) r r y tg en r y r ( 9) 3

52 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando laa ec. (8) y (9) en la ec. (7), reulta Y k Y 4kY 8k Y 3 y Y r r Y Rta. La ecuación anterior contituye la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia circular e Dato e incógnita,5kg;.. k k t : x 5, v 5N / ;.. T N;.. ;.. Ec. Dif.??,.. f?? En la figura e uetra el DCL de la barra á la partícula en la poición de equilibrio n 3,9rad / n 8k ( ) El período de la vibración erá n T T 3,9 T, Rta. La frecuencia natural de vibración erá Aplicando la ecuacione de equilibrio, reulta f f T,7 3,68 Hz Rta. T, M C,5 T,5 T, T,,......( ) Problea 3. La partícula de,5 kg de aa etá colocada obre una barra rígida C de aa depreciable coo e uetra en la figura. El ódulo de cada uno de lo reorte e 5 N/. La tenión en cada uno de lo reorte e N cuando la barra C etá en poición vertical. Para iniciar el oviiento ocilatorio e deplaza al punto 5 hacia la derecha y e libera a partir del repoo. Calcular: (a) La ecuación diferencial del oviiento, (b) La frecuencia natural de la vibración, (c) La poición angular en función del tiepo. En la figura e uetra el itea barra á partícula para una poición arbitraria θ, a partir de u poición de equilibrio. Aplicando la ecuacione de oviiento de rotación, e tiene 4 g M I C C C,5Sen T kxt kx,5 co I...( )

53 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Para ángulo pequeño e tiene en y co ajo eta condición la ecuación () e reduce a: g,5 kx,5,5,5 5,5X,5,5,5 9,8,65 45 Siplificando e tiene,5,565...(3 ) Dato e incógnita 39, (4) La frecuencia natural e deterina a partir de la ecuación que define la frecuencia circular, e decir: ;.. R;.. k;.. ;... f??;... T?? En al figura e uetra el DCL del cilindro en la poición de equilibrio etático. n. f f 39,8rad / 3,5Hz......Rta. La olución de la ecuación diferencial (4), e de la fora en nt en 9,8t......(5) Aplicando la condicione iniciale, e tiene, en 9,8 co Reolviendo iultáneaente la ecuacione anteriore, reulta,rad Por lo tanto la ecuación (5) e ecribe, en9,8t Rta. Problea 4. Un cilindro unifore de aa y radio R etá flotando en agua. El cilindro etá unido a un punto central uperior a un reorte de contante k. Si el peo epecífico del agua e γ, encuentre la frecuencia aí coo el período de la vibración reultante. Aplicando la ecuacione de equilibrio, reulta S k k S k S F E V y S g g R h g () En la figura e uetra el DCL del cilindro cuando e ha deplazada una ditancia Y hacia abajo a partir de u poición de equilibrio 5

54 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Aplicando la ecuación de oviiento egún el itea de referencia, e tiene g F g E F Y Y g V k S Y Y R h Y k Y Y... () Replazando la ec. () en la ec. (), reulta Y R k R Y S k Y Y y e......( 3) La ecuación (3) e la ecuación diferencial de un MAS, con frecuencia circular f f n k R k R Rta. El período de la vibración reultante erá 6kg;.. t :.. y C 5;.. v A??;... Y ( t)??. kg;.. r C,3;.. d, ;.. Ec. Dif En la figura e uetra el DCL del cilindro??;.. f Aplicando la ecuacione de equilibrio e tiene M k S d T r......( )??; En la figura e uetra el DCL del bloque en poición de equilibrio T f... Rta. k R Problea 5. Una aa de 6 kg pende de un hilo que etá arrollado a un cilindro de kg y 3 de radio, coo e uetra en la figura. Cuando el itea etá en equilibrio, el punto A e encuentra directaente encia del eje, el cual etá exento de rozaiento. Si e tira de la aa hacia abajo deplazándolo 5 y e uelta el itea a partir del repoo, deterinar: (a) La ecuación diferencial que rige el oviiento vertical de la aa, (b) La frecuencia y la aplitud de la vibración y (c) La poición de la aa en función del tiepo. Aplicando la ecuacione de equilibrio, reulta F T y g ( ) Replazando la ec.() en la ec. (), reulta k d S g.r (3) En la figura e uetra el DCL del cilindro para una poición arbitraria θ a partir de la poición de equilibrio. Dato e incógnita 6

55 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando la ec. (8) en (7), g Y r g. r k d kd S k d kd S r r Y C C C r...(9 ) Replazando la ec.(3) en (9) reulta Aplicando la ecuación de oviiento de rotación reulta M T I r k x d I...( 4) S e co Del gráfico e oberva que x e = d enθ, entonce la ecuación (4) e ecribe r k d. en d co I...(5) T S Para ángulo pequeño e tiene que en y co......( 6) Replazando la ec. (6) en la ec. (5), da T T r k. S d d I r k kd r......(7 ) S En la figura e uetra el DCL del bloque en una poición Y a partir de la poición de equilibrio C kd Teniendo en cuenta que r Y C Y r Y La ecuación () e ecribe C r Y r C r...( ) r......( ) Y r Y kd r d Y k r Y, 6Y Y,3 Y 8,8Y...( ) La ec. () e la ecuación diferencial de una MAS con frecuencia circular dad por f f n 8,8 rad / 8,8 f,43hz... Rta. La olución de la ecuación diferencial (), e Y Y 8,99t......(3) en La velocidad erá Y 8,99Y co 8,99t...( 4) Replazando la condicione iniciale, e tiene Aplicando la ecuacione de oviiento e tiene F Y g T Y y T g Y......( 8),5 Y en 8,99Y co Re olviendo, e tiene Y,5 y / Finalente la poición en función del tiepo erá 7

56 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Y,5en 8,99t Rta. Problea 6. Deterine la pulación natural ω n del itea otrado en la figura. Se deprecian la aa de la polea y el rozaiento en ella. Aplicando la ecuacione de equilibrio, reulta F y T g (). Dato e incógnita k;.. ;.. ;.. n??. Replazando la ec () en (), e tiene g k S gen......( 3) En la figura e uetra el DCL del carro cuando e ha deplazado una cierta ditancia X hacia arriba a partir de la poición de equilibrio En la figura e uetra el DCL del carro, en poición de equilibrio Aplicando la ecuacione de equilibrio egún la direccione otrada, e tiene F T x k S gen......( ) En la figura e uetra el DCL del itea del bloque á la polea Aplicando la ecuacione de oviiento, e tiene F x X T gen k T gen k S X X X X...( 4) S En la figura e uetra el DCL del bloque á la polea cuando e ha deplazado una ditancia Y hacia abajo a partir de u poición de equilibrio 8

57 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía.5.. Vibracione aortiguada Problea 7. Un bloque de aa e deliza por una uperficie horizontal exenta de fricción, coo e uetra en la figura. Deterine el coeficiente de aortiguaiento c del aortiguador único que podrá utituir a lo do repreentado in que cabiara la frecuencia de vibración del bloque. Aplicando la ecuacione de oviiento, e tiene F y Y g T Y ( 5) Replazando la ec. (4) en (5), reulta X X...( 6) g gen k S Y Por cineática de oviiento dependiente, e tiene X Y con tan te A X Y X Replazando la ec (7) en (6) reulta Y......(7) Dato e incógnita ; K, c?? En la figura e uetra el DCL de la aa, para un deplazaiento x a partir de la poición de equilibrio X g gen k S X X...(8 ) Al utituir la ec. (3) en (8), e tiene X X kx 5X 4kX 4k X X ( ) La ec. () contituye la ecuación diferencial del MAS con una frecuencia circular expreada por n 4k Rta. 5 Aplicando la ecuacione de oviiento egún la direccione otrada, e tiene Fx a x k X k X F F X v v ( k k ) X c X c X X X ( c c ) X ( k k ) X Por lo tanto el coeficiente de aortiguaiento único erá c c c Rta. 9

58 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Problea 8 Un bloque que pea 5 N pende, en un plano vertical, de do reorte y de un aortiguador, coo e uetra en la figura. Si e deplaza el bloque 75 por encia de u poición de equilibrio y e uelta dándole una velocidad inicial hacia arriba de 3,75 / cuando t =, deterine: (a) La ecuación diferencial que rige el oviiento, (b) El período de la vibración reultante, (c) la poición del bloque en función del tiepo y (c) El prier intante t > en que el bloque paa por u poición de equilibrio. Aplicando la ecuacione de oviiento en dirección Y e tiene F y Y k( Y) k ( Y) W cy Y () Replazando la ec () en (), reulta Dato e incógnita Y cy 5 Y 83,3Y 333 Y 9,8 Y 6.34Y 457,6Y k k Y (3) W = 5 N; k =333N/;k = N/; c = 83,3 N/; Para t =, y = 75, v = 3,75 /; Ec dif=??; T=??; Y = f(t); t > En la figura e uetra el diagraa del bloque en la poición de equilibrio, aquí la fuerza vicoa e nula. La olución de la ec diferencial (3) E de la fora y Ae t y Ae t y Ae t Replazando la ecuacione anteriore e obtiene t Ae La ecuación caracterítica e 6,34 457,6 6,34 457,6 La raíce de la ecuación caracterítica on Aplicando la ecuacione de equilibrio e tiene k F y k W () En la figura e uetra el DCL del bloque para una poición arbitraria Y a partir de la poición de equilibrio 8,7 (9,76), i De la ecuación anterior e obtiene que γ = 8,7 ω d = 9,76

59 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía El período erá T d =,38 reultante, (c) la poición del bloque en función de tiepo. La poición del bloque en cualquier intante e y Ae t en t d y Ae 8,7t en 9,76t La velocidad e y Ae 8,7t 8,7en (9,76t ) 9,76 co( 9,76t ) Aplicando la condicione iniciale,75 Aen 3,75 8,7Aen 9,76Aco Reolviendo eta ecuacione e tiene Dato e incógnita W = N; k = 833N/;k = 333N/; c = 67 N./; Para t =, x = 75, v =,5 /; Ec dif=??; T=??; Y = f(t); t > En la figura e uetra el diagraa del bloque en la poición de equilibrio, aquí la fuerza vicoa e nula.,4rad A,77 La poición en cualquier intante erá y,77 e 8,7t en 9,76t,4 El tiepo t >, e deterina haciendo Y =,77 e 8,7t en 9,76t,4 Calculando el valor de t e obtiene T =, eg Rta. Aplicando la ecuacione de equilibrio e tiene F x () T k En la figura e uetra el DCL de la polea óvil Problea 9. Un bloque que pea N e deliza por una uperficie in fricción, egún e indica. Lo do reorte etán oetido a tracción en todo oento y la polea on pequeña y in fricción. Si e deplaza al bloque 75 a la izquierda de u poición de equilibrio y e uelta dándole una velocidad de,5 / hacia la derecha cuando t =, deterine: (a) la ecuación diferencial que rige el oviiento, (b) el período de la vibración

60 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Aplicando la ecuacione de equilibrio y TF k Coparando la ecuacione () y (), e tiene k k (3)* () En la figura e uetra el DCL del bloque para un deplazaiento x hacia la derecha. T k Y (5) Replazando la ec (5) en (4), reulta k Y cx k ( X ) X (6) Replazando la ec (3) en (6) e tiene k X cx kx Y (7) Por cineática de oviiento dependiente e obtiene X Y (8) Y X / Al replazar la ec (8) en (7), reulta X cx k k / 4 X 333,X 67X 833 X 4 X 6,37X 44,34X (9) Aplicando la egunda ley de newton, e tiene T X F x X X cx k (4) En la figura e uetra la DCL de la polea iponderable, para un deplazaiento Y hacia abajo La olución de la ecuación diferencial e de la fora t y Ae y Ae y Ae t t () Replazando la ecuacione anteriore e obtiene t Ae 6,37 4,34 La ecuación caracterítica e La raíce on 6,37 4,34 () 8, (6,9) (), i Aplicando la egunda ley de newton e tiene Y F Y Y T k De la ecuación anterior e obtiene que γ = 8, (3) ω d = 6,9 (4) La poición del bloque en cualquier intante e X Ae t en t d

61 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía X Ae 8,t en 6,9t La velocidad en función del tiepo e (5) Dato e incógnita X Ae 8,t 8,en (6.9t ) 6,9 co(6,9 t ) Replazando la condicione iniciale, 75 Aen W AC = N; W D =5N k = 4N/ c = 67 N./; (a) ξ =??; (b) Tipo de ov; (c) T =??, f =? En la figura e uetra el DCL del itea de varilla para una poición angular θ cualquiera,5 8, Aen 6,9 Aco Reolviendo eta ecuacione e tiene,68rad A,9 Por lo tanto la poición en cualquier tiepo e X,9 e 8,t en 6,9t,68 El tiepo t > para el cual v =, e obtiene de la velocidad X,9e,9e 8,t 8,t 8,en (6.9t,68) 6,9 co(6,9t,68) 8,en (6.9t,68) 6,9 co(6,9t,68) Reolviendo eta últia ecuación e deterina el tiepo olicitado Problea 3 t =,9 Rta. Do barra ebelta etán oldada egún e indica. La barra AC pea N y en la poición de equilibrio etá horizontal. La barra D pea 5 N y en la poición de equilibrio etá vertical. Deterine: (a) a) la razón de aortiguaiento δ. (b) el tipo de oviiento y (c) la frecuencia y el período del oviiento (i procede). Aplicando la ecuacione e oviiento al itea, e tiene M I (),3,co,co g en ky F I D v Para ángulo pequeño enθ = θ y coθ =, D,3,,, g ky c I I 5(,3) 4(, ) 8(, ) La ecuación diferencial de la vibración erá I 3, 6, () Se procede a deterinar el oento de inercia de la varilla repecto al punto I AC 9,8 L AC ( )(,4) 3 3 ( D 5 9,8 L D )(,6) I,97kg. (3) 3

62 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando la ec. (3) en (), e tiene,97 3, 3,96 Rta. Parte (a). Cálculo de la razón de aortiguaiento ceff 3, k,97(3,96) eff eff,46 Rta. Parte (b) Tipo de oviiento. Coo la razón de aortiguaiento e ayor que la unidad, el oviiento e obre aortiguado. Parte (c). Coo el oviiento e obre aortiguado no hay período ni frecuencia. Problea 3. Un cilindro unifore de 5 kg rueda in delizar por un plano inclinado, egún e uetra. El reorte etá unido a un hilo ligero inextenible, arrollado obre el cilindro y el aortiguador lo etán a un pequeño paador in fricción ituado en el centro del cilindro de 4 de diáetro. Deterine: (a) la razón de aortiguaiento. (b) el tipo de oviiento y (c) la frecuencia y el período del oviiento (i procede). Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene F x gen F k R M F r k r e, Replazando la ec. () en (), reulta () () gen k (3) En la figura e uetra el DCL del cilindro para un deplazaiento x del centro de aa.. Dato e incógnita = 5kg, k = N7; c= 4 N./; θ = 5º (a) δ =??; (b) tipo de ov.; (c) T =? f =? Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene En la figura e uetra el DCL del cilindro en poición de equilibrio etático. gen F R Fx k( X ) cx e a X x (4) M I F r k X ( r) I R e 4 X I r FR k e / (5)

63 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Suando la ec. (4) y (5), reulta gen k( X ) cx e I X r el coeficiente de aortiguaiento del cilindro hidráulico e c = 3 N./. El cilindro rueda in delizaiento obre u radio r = 5 y el reorte tanto a tracción coo a copreión. Replazando la ec. (3) en (5), e tiene I X cx kx e (6) r Relacione cineática. Toando coo centro intantánea al punto de contacto Dato e incógnita M = 9 kg; K =4 ; k = 6 N/; r =,5 c =3 N./ En la figura e uetra el DCL de la rueda en poición de equilibrio X r X r (7) X e r Replazando la ec. (7) en (6) y el valor del oento de inercia, reulta 3 X cx 4kX Replazando valore, e tiene 3 (5) X 4X 4() X Aplicando la ecuacione de equilibrio reulta 7,5X 4X 48 X F x La razón de aortiguaiento erá c eff eff k eff,5 4 7,5(48) Coo la razón de aortiguaiento e ayor que la unidad el oviiento e obre aortiguado Por lo tanto no exite período ni frecuencia. Problea 3 F k () R M F R (r) = () Replazando () en (), reulta k (3) En la figura e uetra el DCL de la rueda para un deplazaiento X de u centro de aa. Calcular la razón de aortiguaiento ξ del itea repreentado en la figura i la aa y el radio de giro del cilindro ecalonado on = 9 kg y K = 4, la contante del reorte e k =,6 kn/ y 5

64 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía Replazando lo valore dado en el problea reulta 6,84X 3X 6 X La razón de aortiguaiento erá c eff eff k eff 3 6,84(6),76 Rta. Aplicando la ecuacione de oviiento reulta F F F R R F x X F F e V X kx cx X (4) M I F ( r) K R R K / r (5) Problea 33. Para el itea repreentado ecribir u ecuación diferencial de oviiento en función de la variable x. Hallar la expreión del índice de aortiguaiento en función de la contante del itea indicada. Deprecie la aa de la palanca A y uponer que e efectúan pequeña ocilacione en torno a la poición de equilibrio repreentada. Suando la ecuacione (4) y (5), reulta K kx cx X (6) r Relacione cineática. Toando coo centro intantáneo el punto de contacto de la rueda con el pio. Dato e incógnita M; k; c; a; b; ec. Dif =? En la figura e uetra el DCL del bloque X X r r X r (7) Replazando la ec. (7) en (6), e tiene kx cx X K r X r Aplicando la ecuacione de equilibrio, reulta K r X cx kx 6 T F y g k S ()

65 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía En la figura e uetra el DCL de la palanca acodada Aplicando la ecuacione de oviiento, reulta. M Debido a que la palanca e de aa depreciable, el oento de inercia e nulo I O ( a co ) F ( b co ) T V Aplicando la ecuacione de equilibrio, reulta M o T ( a) () Replazando la ec. () en (), e tiene g k (3) En la figura e uetra el DCL del bloque para un deplazaiento Y a partir de u poición de equilibrio S Para ángulo pequeño coθ =, entonce T( a) FV ( b) (5) Reeplazando la ec(5) en (4), e tiene Y g k Y a cv( b) (6) S Al utituir la ec. (3) en (4), reulta Y ky a cv(b) (7) De la geoetría de la figura e obtiene en Y a YV b b Y V Y a v V Y (8) a Replazando la ec. (8) en (7), e tiene Aplicando la egunda ley de Newton e tiene F y Y T g k( S Y) Y T Y g k( Y) (4) S En la figura e uetra el DCL de la palanca acodada para una poición angular cualquiera. cb Y ay kay a cb k Y Y Y (9) a La razón de aortiguaiento erá c eff cb / a k k / eff eff cb Rta. a k 7

66 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía.5.3 Vibracione forzada. Problea 34 Do efera de M = kg de aa cada una etán oldada a una barra ligera que etá articulada en el punto. Una egunda barra ligera AC etá oldada a la anterior. Se aplica una perturbación en el punto A igual a F =F Senωt. En el otro extreo C, e encuentra un uelle recuperador que cuando AC etá horizontal no preenta deforación. Si la aplitud de la rotación etacionaria del itea e antiene por debajo de. -3 rad, Qué rango de frecuencia ω etá peritido?. Utilizar lo iguiente dato: l = 3 ; K = 7N/; F = N; a =. M I F( a co ) ( Mg Mg) len F a co I Para ángulo pequeño co, entonce F af a F e a I ent I af ent af ent e kx e a Ml Ml kx a Ml kx a e e,() ent ()(,3) 7(,) (),36 7 ent La olución peranente e de la fora ent () La velocidad y la aceleración e exprean (3) cot En la figura e uetra el DCL del itea copueto por la do aa á la do varilla ent (4) Replazando la ec. (), (3) y (4), en() reulta,36 ent 7 ent ent Siplificando e tiene,36 7 7,36 Replazando valore e obtiene 7,45rad / Aplicando la ecuacione de oviiento, e tiene 8 Problea 35 Do barra unifore iguale cada una de aa etán oldada forando un ángulo recto y etán upendida, tal coo e uetra, de un eje horizontal que paa por O: hallar la pulación excitadora crítica ω C del bloque capaz de producir en el itea una ocilacione de

67 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía aplitud exceiva. La aa del conjunto oldado e. Siplificando la ec, reulta 6kl 6g 6kb ent 5l 5l La ecuación obtenida e una ecuación diferencial que decribe el oviiento forzado in aortiguaiento. Su frecuencia natural circular etá dada por la ecuación En la figura e uetra el DCL del itea forado por la do varilla. n 6 k 5 g l La pulación para la reonancia e 6 k g C n Rta. 5 l Problea 36 Aplicando la ecuacione de oviiento, e tiene EL eleento de fijación recibe un oviiento horizontal x = b co ωt. Deducir la Ecuación diferencial del oviiento de la aa y definir la pulación crítica ω C para la cual la ocilacione de la aa e hacen exceivaente aplia. F M o I o l l l co F co g en I ' e e o Para ángulo pequeño, enθ θ y coθ. l l l l l k y g I k Siplificando la ecuación anterior, reulta o En la figura e uetra el DCL de para un deplazaiento x a partir de u poición de equilibrio. kl gl kl I o y () 4 El oento de inercia eta dado por I o 3 l l 5l I o () Replazando la ec. () en (), e tiene 5l kl gl kl bent 9 Aplicando la ecuacione de oviiento al DCL, reulta ' Fe Fe FV a x kx kx x cx x x cx k k x kx

68 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía x cx k k x k bcot En la figura e uetra el DCL del bloque de 75 N. La frecuencia natural e n k k La frecuencia de reonancia etá dada por k k C n Rta. Problea 37. Lo do bloque otrado en la figura pende, en un plano vertical, de una barra de aa depreciable que etá horizontal en la poición de equilibrio. Si e aplica al punto D de la barra una fuerza P(t)=en(Ωt), deterine la áxia aplitud de la ocilación etacionaria del bloque de 5 N. Aplicando la ecuacione de equilibrio, reulta F y ' T k 75N () En la figura e uetra el DCL de la barra de aa depreciable en equilibrio Toando oento repecto a, e tiene M En al figura e uetra el DCL del bloque de 5 N en equilibrio etático. T (,5) T (, 45) (3) ' En la figura e uetra el DCL del bloque de 5N para una poición Y. Aplicando la ecuacione de equilibrio, e tiene F y T 5N () La egunda ley de Newton no da F y a y 3

69 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía T T 5 cy 5 9,8 y 5 cy 5, y (5) En la figura e uetra el DCL para el bloque de 75N para un deplazaiento repecto a u poición de equilibrio. Para ángulo pequeño coθ θ, entonce e tiene,5t, 45T en t, 5 (7) Replazando (5) y (6) en (7), y en ete reultado e reeplaza la ecuación (4), e tiene.68 y 4,85y 5y 4, 5ent La olución particular tiene una aplitud y, eff k c eff F eff y 4,5 5,68 4,85 Aplicando la egunda ley de Newton Fy a y 75 k y 75T y 9,8 T 75 k y 7, 65y (6) La áxia aplitud e obtiene derivando la ecuación anterior repecto de Ω. Al realizar la derivada e igualarlo a cero e tiene 5,59rad / Replazando el valor de la frecuencia circular obtenida en la aplitud de la vibración de etado peranente e tiene En la figura e uetra el DCL de la barra para un deplazaiento angular cualquiera y 4,5 5,68(5,59) 4,85(5,59) y 5 48, ax Rta. Aplicando la ecuacione de oviiento, reulta M I,5T co, 45T co ent, 5co 3

70 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía.6 PROLEMAS PROPUESTOS..6. Vibracione libre. Con la hipótei de auencia de delizaiento, hallar la aa del bloque a colocar encia del carrito de 6 kg para que el período del itea ea de,75 egundo. Cuál e el coeficiente de rozaiento etático ínio μ S del itea para el cual el bloque no rebala obre el carrito cuando éte e aparta 5 de la poición de equilibrio y luego e uelta?. 5. Un bloque de 35 kg etá oportado por el dipoitivo de uelle que e uetra. Dede u poición de equilibrio ufre un deplazaiento vertical decendente y e uelta. Sabiendo que la aplitud del oviiento reultante e 45, halle: (a) la ecuación diferencial que gobierna a cada uno de lo oviiento de lo bloque (b) el período y la frecuencia del oviiento, (c) la velocidad y la aceleración áxia del bloque.. Si lo do reorte etán in deforar cuando la aa e halla en la poición central repreentada, deterine el deplazaiento etático de la ia, Cuál e el período de la ocilacione en torno a la poición de equilibrio?. 3. Hallar la frecuencia natural f n de la ocilacione verticale del cilindro de aa. depreciar la aa del cilindro ecalonado y el rozaiento del io. 6. Una corredera de 5 kg decana obre un uelle in etar unida a él. Se oberva que i la ia e epuja 8 o á hacia abajo y e uelta pierde contacto con el uelle. Halle: (a) la contante del uelle, (b) la poición, velocidad y aceleración de la corredera,6 depué de habere epujado 8 hacia abajo y oltado. 4. La platafora A de 5 kg etá unida a lo reorte y D de contante k = 9 N/ cada uno. Se deea que la frecuencia de vibración de la platafora no varíe cuando obre ella e depoita un bloque de 4 kg, por lo que e añade un tercer uelle C. Deterine la contante del reorte C. 7. Una barra unifore A de 75 g etá articulada en A y unida a do uelle, abo de contante k = 3 N/. Halle: (a) la aa del bloque C para que el período de la pequeña ocilacione ea,4, (b) Si el extreo e deplaza 4 y e uelta, halle la velocidad áxia del bloque C. 3

71 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía repreentada. Si el extreo de la varilla recibe un pequeño deplazaiento a la izquierda y e uelta, halle el período de la vibración del itea. 8. Una barra unifore A de 8 kg etá articulada en A a un oporte fijo ediante lo paadore y C a un dico de kg y 4 de radio. El uelle ujeto en D antiene el equilibrio de la barra el a poición repreentada. Si el punto e ueve 5 hacia abajo y e uelta, halle: (a) el período de la vibración, (b) la velocidad áxia del punto.. Un brazo AC de 635 g etá ujeto en por un paador y en C a un uelle: En C etá conectado a una aa de,4 kg unida a un uelle. Sabiendo que abo uelle pueden trabajar a copreión o a tracción, halle la frecuencia de la pequeña ocilacione del itea cuando la aa reciba un leve deplazaiento vertical y e uelta. 9. Una efera A de 4 g y una efera C de 8 g etán unida a lo extreo de una varilla AC de 56 g que puede rotar en un plano vertical alrededor de un eje que paa por. Halle el período de la pequeña ocilacione de la varilla.. Una barra unifore ebelta de 3 kg etá atornillada a un dico unifore de 5 kg. Al dico etá ujeto un uelle de contante 8 N/ que etá in deforar en la poición. Una aa de 4 kg etá upendida en un plano vertical egún e uetra. Lo do reorte etán oetido y tracción en todo oento y la polea on pequeña y in fricción. Si e lleva a la aa a 5 por encia de u poición de equilibrio y e uelta con una velocidad de 75/ hacia abajo cuando t =. Halla: (a) La ecuación que rige al oviiento, (b) el periodo y la aplitud de la vibración reultante, (c) la poición de la aa en función del tiepo. 33

72 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía 3. Un dico delgado de kg y radio r = pende por u borde de un pequeño paador in fricción, coo e uetra en la figura. Ecribir la e. D del oviiento para la poición angular θ(t) del dico y deterinar el período y la frecuencia del oviiento vibratorio reultante. 5. Do cuerda elática etán unida a una pelota de aa y etirada a una tenión inicial T. Si la pelota recibe un pequeño deplazaiento lateral y e uelta, deterine la frecuencia de la vibración reultante. 4. El hilo ligero atado al bloque de 5 N de la figura etá arrollado a un cilindro unifore de 35 N. Si el hilo no e deliza por el cilindro, ecribir la e. D del oviiento para la poición y(t) del bloque de 5 N y deterine el período y la frecuencia de la vibración reultante. 6. Un cilindro ecalonado de 3 kg e antiene obre un plano inclinado ediante un uelle cuya contante e k = 4 N/. El radio de giro del cilindro con repecto a u centro de aa e K = 5 ; R = y R =. Deterine: (a) La ecuación diferencial del oviiento del carrete, (b) El período y la frecuencia para pequeña ocilacione. 5. Cuál e la frecuencia natural de vibración torional del cilindro ecalonado?. La aa del cilindro e de 45 kg y u radio de giro e de,46. Utilizar lo dato iguiente: D =,3 ; D =,6 ; K = 875 N/; K = 8N/ y W A = 78 N. 6. Una barra unifore AC de kg etá ujeta por un paador en y ujeta en C a un uelle. En A etá conectada a un bloque DE de kg, que puede rodar in delizar, unido a un uelle. Sabiendo que abo uelle pueden trabajar a tracción o a copreión, deterine la frecuencia de la pequeña ocilacione del 34

73 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía itea cuando la barra e gira leveente y uelta. 7. Sobre do polea A y que rotan en entido opueto decana una barra de aa y longitud L. Siendo μ K el coeficiente de rozaiento cinético entre la barra y la polea, halle la frecuencia de vibración i la barra recibe un leve deplazaiento hacia la derecha y e uelta.. Una varilla delgada unifore tiene una aa de 3 kg. Halle la poición x en que debe encontrare el curor de kg de aa para que el período del itea ea,9 egundo. Suponer pequeña ocilacione en torno a la poición horizontal de equilibrio repreentada.. Lo do bloque otrado en la figura e delizan por enda uperficie horizontale in fricción. La barra de conexión tienen peo depreciable y en la poición de equilibrio, AC etá vertical. Supóngae ocilacione de pequeña aplitud y deterine. (a) la ecuación diferencial del oviiento del bloque de 75 N y (b) la pulación propia de la ocilación. 8. Sobre una uperficie horizontal e depoita un eicilindro acizo y e le hace rotar un pequeño ángulo y e uelta. Suponiendo que rueda in delizar. Deterine la frecuencia de u ocilacione pequeña. 9. Hallar el período T del itea i la pieza articulada A de aa etá horizontal en la Poición de equilibrio etático repreentada. El radio de giro de A con repecto a O e K y u centro de gravedad etá ubicado en el punto. Suponga pequeña ocilacione.. Una barra de de longitud y N de peo e antiene en poición vertical ediante do uelle idéntico cada uno de lo cuale tiene una contante k igual a 5 N/. Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia natural de la barra alrededor de A e aproxie a un valor nulo para pequeña ocilacione. 35

74 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía 6. Halle el valor del coeficiente de aortiguaiento vicoo para el cual e crítico el aortiguaiento del itea repreentado. 3. Una barra de aa y longitud L etá fija en la poición vertical ediante do uelle idéntico cuya contante e K. Una carga vertical P actúa en el extreo uperior de la barra Qué valor de P, en función de, L y K, hará que la barra tenga una frecuencia natural de ocilación alrededor de A próxia a cero para pequeña ocilacione?. Qué ignificado fíico tiene eto? 7. Halle la razón de aortiguaiento del itea repreentado. Se deprecian la aa de la polea y el rozaiento en la ia y e upone que el cable etá iepre teno..6.. Vibracione Aortiguada. 4. Halle el valor de la razón de aortiguaiento del dipoitivo encillo copueto de una aa, aortiguador y reorte. 8. (a) Deduzca la ecuación diferencial de oviiento para el itea que e uetra. (b) Deterine la aplitud de la vibración de etado etable y el ángulo por el que x e atraa a y i = 6 kg, k = 8 kn/, c = 4 N./, Y = 8 y = 3 rad/. 5. Halle el valor del coeficiente de aortiguaiento vicoo para el cual la razón de aortiguaiento del itea vale. (a),5 y (b), Se uetra una barra de,5 de longitud y 5 N de peo en la poición de equilibrio etático y oportada por un uelle de rigidez k = N/. La barra etá conectada a un aortiguador con un coeficiente de

75 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía aortiguaiento c = 5 N./. Si un oento ipulivo proporciona a la barra una velocidad angular en el entido de la aguja del reloj de,5 rad/ en la poición que e uetra. Cuál erá la poición angular de A para t =,?. 3. La barra unifore de aa etá en equilibrio en la poición horizontal. (a) Deduzca la ecuación diferencial de oviiento para pequeña ocilacione de la barra. (b) Deterine la razón de aortiguaiento i = 6 kg; c = 3 N./; c = N./;y k = 9 N/. 3. Una bola eférica de 34 N de peo etá oldada a una barra ligera vertical que, a u vez, etá oldada en el punto a una biela horizontal. Un uelle de rigidez k = 8,8 N/ y un aortiguador c = 79 N./ etá conectado a la biela horizontal. Si A e deplaza 75 hacia la derecha, Cuánto tiepo tardará en volver a la configuración vertical?. 33. La platafora, oportada por un paador en y un uelle en C, etá en equilibrio en la poición que e uetra. Cuando el aortiguador vicoo ituado en A e deconecta, la frecuencia del itea para pequeña ocilacione e,5 Hz. Deterine el coeficiente de aortiguaiento c que aortiguará críticaente al itea. 3. Encuentre la expreión para le repueta de etado etable x(t) del bloque i Y = = 6 rad/. Se adelanta o e atraa x(t) al deplazaiento ipueto Y(t)?. 34. Una aa de 4 kg pende en un plano vertical coo e ve en la figura. El reorte e halla oetido a tracción en todo oento y la polea on pequeña y in fricción. Si e deplaza la aa 5 por encia de u poición de equilibrio y e uelta dándole una velocidad hacia debajo de,75 / cuando t =, deterine: (a) La ecuación diferencial que rige al oviiento, (b) El período de la vibración reultante y ( c ) la poición de la aa en función del tiepo. 37

76 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía 35. Una aa de kg pende, en el plano vertical, de do uelle, coo e uetra en la figura. Si e deplaza la aa 5 por debajo de u poición de equilibrio y e uelta dándole una velocidad hacia arriba de / cuando t =, deterine: (a) la ecuación diferencial que rige al oviiento; (b) El período de la vibración reultante; (c) la poición de la aa en función del tiepo. oviiento; (b) La razón de aortiguaiento; (c) El tipo de oviiento ; (d) El período de la vibración reultante (i procede) y (c) El valor de a para el aortiguaiento crítico 36. Lo do bloque de la figura penden, en un plano vertical, de una barra de aa depreciable que etá horizontal en la poición de equilibrio. Si a = 5 c y e uponen ocilacione de pequeña aplitud, deterine: (a) La ecuación diferencial del oviiento; (b) La razón de aortiguaiento; (c) El tipo de oviiento ; (d) El período de la vibración reultante (i procede) y (c) El valor de a para el aortiguaiento crítico 38. La barra rígida en fora de T y de aa depreciable otrada en la figura gira en un plano vertical alrededor de un eje horizontal que paa por e punto O. El equilibrio del itea e perturba girando la barra y liberándola del repoo. Calcule la frecuencia aortiguada y la razón entre lo ciclo prier y tercero. 39. El itea de la figura etá copueto por el cuerpo W de 45 kg, un reorte cuya contante e 65 N/ y un aortiguador vicoo cuyo coeficiente e N./. Deterine el coeficiente de aortiguaiento crítico y el decreento logarítico. 37. El bloque de 5 N de peo de la figura e deliza por una uperficie horizontal in fricción ientra que el que pea 5 N pende en un plano vertical. La barra AC tiene una aa depreciable y en la poición de equilibrio tiene u brazo A horizontal. Si c = 5 N./ y e upone ocilacione pequeña, deterine: : (a) La ecuación diferencial del La aa del cuerpo en fora de T del itea de la figura e depreciable y la aa del cuerpo e de 3 kg, el odulo del reorte e N/ y el coeficiente de aortiguaiento e 7N./. El itea etá en equilibrio A e encuentra horizontal. Suponga que b = c =

77 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía 4.,6 y calcule, para el oviiento que e produce al perturbar el equilibrio, (a) El tipo de oviiento que e dearrolla, (b) La frecuencia de la ocilación i procede y (c) La razón de aortiguaiento. horizontal. Deterine: deterine: (a) La ecuación diferencial del oviiento; (b) La razón de aortiguaiento; (c) El tipo de oviiento ; (d) El período de la vibración reultante (i procede) y (c) El valor de a para el aortiguaiento crítico 4. Una barra unifore de,6 kg etá articulada en O y ujeta en A por un uelle y en etá unida a un aortiguador. Halle: (a) La ecuación diferencial del oviiento para pequeña ocilacione, (b) El ángulo que fora la barra con la horizontal 5 egundo depué de epujar la barra 3 hacia abajo y oltarla. 45. La do aa otrada en la figura e delizan por uperficie in fricción. En la poición de equilibrio la barra AC etá vertical, iendo depreciable la aa. Si a = y e uponen ocilacione de pequeña aplitud, deterine: (a) La razón de aortiguaiento; (b) El tipo de oviiento; (c) La frecuencia y el período del oviiento (i procede) y (d) El valor de a que da aortiguaiento crítico. 43. Se quiere deterinar el coeficiente de aortiguaiento c de un aortiguador obervando la ocilación de un bloque de 5N de peo que pende de él egún e uetra en la figura. Cuando e tira hacia abajo el bloque y e uelta, e oberva que la aplitud de la vibración reultante diinuye de 5 a 75 en ciclo de ocilación. Deterine el valor de c i lo ciclo e copletan en Vibracione forzada. 46. El itea otrado etá copueto por un cuerpo W de 4 kg y do reorte de contante k = 35 N/ y k = 5N/. El deplazaiento de E e arónico y etá dado por y E =, cot, donde y E y t e exprean en etro y egundo, repectivaente. Deterine la aplitud de la vibración etable de W. 44. Una barra ebelta unifore de kg y 5 de longitud gira alrededor del pivote exento de fricción ituado en, coo e uetra en la figura. En la poición de equilibrio la barra e 39

78 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía 47. En la figura e uetra la fora coo e utenta a una eferita de 5 kg. La aa de la barra e depreciable y la contante del reorte e k = 4 N/. El oviiento del rodillo E e arónico y etá dado por y E = co7t, donde y E y t e exprean en ilíetro y egundo, repectivaente. Obtenga la olución etable que decribe el oviiento de. 5. La do aa de la figura e delizan por uperficie horizontale lia. La barra AC e de aa depreciable y etá vertical en la poición de equilibrio. Si al punto D de la barra e aplica una fuerza P(t) = 5 enωt N, deterine la áxia aplitud de la ocilación etacionaria del bloque de kg. 48. El oviiento del bloque E de la figura e arónico y lo define la ecuación y E =,5 ent, donde y E y t e exprean en etro y egundo, repectivaente. La contante de R e 5 N/ y la contante de R e 5 N/. Se conidera depreciable la aa de la barra que oportan al cuerpo W de 5 kg. Halle la olución etable que decribe el oviiento del itea. 5. Hallar la aplitud X del oviiento etacionario de la aa de kg i (a) c = 5 N./ y (b) c =. 49. El itea repreentado en la figura e ajuta para que e encuentre en equilibrio cuando A eté horizontal y x E ea igual a cero. La aa del cuerpo e 5 kg, la contante del reorte e N/ y el valor del coeficiente de aortiguaiento e c = 3 nn./. La poición del punto E varía de acuerdo con la ecuación x E =,5 en 5t, donde x E y t e exprean en etro y egundo, repectivaente. Deterine la aplitud del oviiento de y u velocidad áxia. 5. El carro de 3 kg etá oetido a la acción de una fuerza arónica coo e indica. Si c =, deterine lo líite peritido a la pulación excitadora de odo que la aplitud de la repueta etacionaria ea inferior a 75. 4

79 Fíica eneral II Vibracione Mecánica Optaciano Váquez arcía 53. El eleento de fijación recibe un oviiento horizontal x = b co t. deducir la ecuación del oviiento de a aa y deterine la pulación crítica para la cual la ocilacione e vuelven extreadaente grande. 57. El otor de 3 kg decana obre un reorte (k = 5 kn/) y un aortiguador (c = N. /) egún e indica en la figura. En el borde de la polea del otor (e = 5 c) etá fija una pequeña aa ( =,5 kg). Deterine la áxia aplitud de la vibración forzada reultante del otor. 54. El eleento de fijación recibe un oviiento horizontal x = b co t. deducir la ecuación del oviiento de a aa y deterine la pulación crítica para la cual la ocilacione e vuelven extreadaente grande. Halle tabién la razón de aortiguaiento. 55. El cuerpo W de 3 kg otrado en la figura e une a la pared ediante lo reorte R z R cuzo ódulo on kn/ y 4 N/, repectivaente. La fuerza F expreada en newton varía con la ley F = en t, donde t e el tiepo en egundo. (a) obtenga la olución etable que decribe el oviiento de W, (b) Deterine la velocidad áxia de W. 58. El bloque que pea N e deliza por una uperficie in fricción tal coo e indica en la figura. El reorte tiene una longitud natural cuando la barra A etá vertical y C horizontal. La aa de la barra on depreciable. Suponiendo pequeña ocilacione, deterine: (a) El doinio de pulacione para el cual el oviiento angular etacionario de la barra A e inferior a 5 o (b) La poición del bloque en función del tiepo i e deplaza 5 c hacia la derecha y e uelta a partir del repoo cuando t = y = 5 rad/. 56. La barra unifore de aa y longitud L tiene un eje de ocilación en u centro. E reorte de contante k de la izquierda etá ujeto a una uperficie inóvil, pero el de la derecha, tabién de contante k, lo etá a un oporte oetido a un oviiento arónico dado por y = b en t. halla la pulación excitadora de reonancia. 59. Lo do bloque de la figura penden en un plano vertical, de una barra de aa depreciable que etá horizontal en la poición de equilibrio. Si e le aplica al punto D de la barra una fuerza hacia arriba (P = en t) N, deterine: (a) La áxia aplitud de la ocilación etacionaria del bloque de 5 N; (el doinio de pulacione que hay que evitar para que la aplitud de la ocilación del bloque de 5 N no upere lo 37,5. 4