Ecuaciones Diofánticas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Ecuaciones Diofánticas"

Transcripción

1 2 Ecuaciones Diofánticas (c) 2011 leandromarin.com

2 1. Introducción Una ecuación diofántica es una ecuación con coeficientes enteros y de la que tenemos que calcular las soluciones enteras. En este tema aprenderemos a deducir cuando tienen solución y a calcular sus soluciones cuando las tengan, las ecuaciones diofánticas más sencillas, las de la forma ax+b y= c siendo x e y las incógnitas y a, b y c números enteros. Fijémonos por ejemplo en la ecuación 4x+ 6y= 1. Si x e y tienen que ser números enteros, sean cuales sean los valores elegidos, el primer miembro siempre será un número par, puesto que 4x+ 6y = 2(2x+ 3y) por lo tanto en ningún caso podríamos obtener el 1. Éste es un ejemplo de ecuaciones diofánticas que no tienen solución. El ejemplo se puede generalizar si podemos sacar un factor común de a y b que no divida a c. Para analizar este caso empecemos viendo lo que es el máximo común divisor. 2. Máximo común divisor Dados dos números enteroa a y b, diremos que a divide a b si existe otro número entero c tal que ac=b. Esta relación se suele representar como a b y también se dice que b es un múltiplo de a o que a es un divisor de b. Si a es un divisor de b entonces a también es un divisor de b puesto que si ac= b entonces( a)( c)= b. Entonces cada divisor de un número tiene siempre a su correspondiente divisor de signo contrario. Podemos pues considerar únicamente divisores positivos teniendo presente que los divisores negativos cumplen las mismas propiedades.

3 Dados dos números a y b, podemos considerar el conjunto de divisores comunes entre los dos. De entre todos ellos habrá uno que es el más grande de todos, al divisor común más grande de todos lo llamaremos máximo común divisor y lo denotaremos mcd(a, b). Veamos un ejemplo: Consideremos a=12 y b=16. Podemos calcular los divisores positivos de 12 que son {1,2,3,4,6,12} y los divisores positivos de 16 que son {1,2,4,8,16}, los comunes a ambos números son{1,2,4} y el más grande de todos ellos es 4 que será por tanto el máximo común divisor. Este método de cálculo es muy poco efectivo si lo aplicamos a números grandes. Para números grandes, se utiliza un algoritmo muy sencillo que está basado en dos propiedades: (1) Dados dos números a y b, si a b entonces todo divisor de a es un divisor de b y en particular, como a es el mayor divisor de a, deducimos que mcd(a, b) = a. (2) Dados dos números a y b, sea r el resto de dividir a entre b, entonces a= bq+ r y los divisores comunes de a y b son los mismos que los de b y r, por lo tanto mcd(a, b)=mcd(b, r). (Si d divide a a y b entonces a=a d y b= b d y por tanto r= a bq= d(a b q). Recíprocamente si b = b d y r = r d entonces a=d(b q+ r )). Estas dos propiedades hacen que podamos calcular el máximo común divisor reduciendo paulatinamente el tamaño de los números calculando el resto de la división hasta que lleguemos a que el segundo número divida

4 exactamente al primero, en cuyo caso tendremos ya el máximo común divisor. En forma de tabla, el algoritmo es el siguiente: Partimos de los valores de los cuales queremos calcular el máximo común divisor, por ejemplo 360 y 228, llamándolos por ejemplo a y b. En cada paso calculamos el resto de dividir a entre b y lo llamamos r. Como sabemos que el máximo común divisor de a y b es el mismo que el de b y r, cambiamos a y b por b y r. Esto lo hacemos mientras la división no sea exacta, en cuyo caso el valor que haya quedado en b es el máximo común divisor. Si hacemos un paso más, podemos continuar el proceso hasta que no se pueda hacer la división porque tengamos que dividir por 0, en ese caso el resultado estará en a. En este ejemplo llegamos al máximo común divisor 12. a b r q Si alguno (o los dos) valores son negativos, podemos tomarlos positivos para el cálculo de máximo común divisor ya que los divisores de a son los mismos que los de a y mcd(a, b)= mcd( a, b).

5 Si b es más grande que a, este algoritmo sigue funcionando sin ningún problema, simplemente la primera división nos proporcina un cociente Máximo común divisor extendido Una de las propiedades más interesantes que tiene el máximo común divisor d de dos números a y b, es que podemos encontrar valores u y v enteros tal que d= au+ bv. El cálculo efectivo de dichos valores es necesario entre otras cosas para la resolución de ecuaciones diofánticas. Vamos a ver un procedimiento para calcular dichos coeficientes que requiere únicamente el cálculo de dos columnas adicionales en la tabla del máximo común divisor que hemos visto antes. Estas dos columnas las llamaremos v y t y tendrán inicialmente los valores 0 y 1 respectivamente. En cada paso, el valor de v tomará el valor de t el paso anterior y el valor de t será v tq para los valores(v, t) del paso anterior. Por ejemplo, en la segunda fila de esta tabla t toma el valor 0 1 1= 1 y en la tercera 1 ( 1) 1=2. a b r v t q Al llegar al final obtenemos el máximo común divisor 12 y el valor que queda en la columna v el el coeficiente que

6 buscamos de b. Es decir 12=u 360+( 11) 228 El cálculo del segundo coeficiente se hace despejando de la ecuación anterior u 360 = = = 2520 por lo que u = 2520/360 = 7. El resultado final es pues 12=7 360+( 11) 228 Si alguno de los valores a o b (lo los dos) son negativos, podemos hacer el cálculo como si fueran positivos y ajustar el signo al final. Por ejemplo, supongamos que tenemos que hacer el máximo común divisor extendido de 360 y 228, entonces hacemos el de 360 y 228 y obtenemos 12=7 360+( 11) 228 Entonces ponemos un signo negativo en 360 y para compensarlo cambiamos el signo de su coeficiente 7 que pasa a 7, con lo que tenemos 12=( 7) ( 360)+( 11) Fórmula General para la Ecuación Diofántica Vamos a utilizar el algoritmo del máximo común divisor extendido para resolver una ecuación diofántica del tipo ax+b y= m. Lo primero que tenemos que tener presente es que si d es un divisor común de a y b, entonces se puede sacar factor común del primer miembro, con lo que podemos estar seguros de que si m no es un múltiplo exacto de d, la ecuación no tiene solución. Al tener que suceder ésto para todos los divisores comunes de a y b, tiene que suceder en particular para el máximo común divisor de a y b. Esto

7 será lo primero que comprobaremos, si el máximo común divisor de a y b no divide a m podemos estar seguros de que la ecuación no tiene solución. Si esa división es exacta, entonces podemos garantizar que la ecuación tiene infinitas soluciones y para calcularlas lo que hacemos es aplicar el algoritmo del máximo común divisor extendido de a y b, poniendo d = au+ bv para ciertos valores u y v. Con esa notación, las soluciones de la ecuación son: x= u (m/d)+ t (b/d) y= v (m/d) t (a/d) Donde t puede tomar cualquier valor de (las soluciones son infinitas). Comprobar que estos valores son solución de la ecuación es sencillo ax+b y = aum/d+t ab/m+bvm/d t ab/m =(au+bv)m/d La demostración de que son las únicas soluciones posibles no es tan trivial, pero no es difícil. Vamos a ver cómo se aplica con un ejemplo: Supongamos que tenemos que resolver la ecuación 24 = 360x+ 228y. Calculamos el máximo común divisor extendido y obtenemos que 12=( 7) ( 360)+( 11) 228, entonces tenemos que m=24, d= 12, a= 360, u= 7, v = 11 y b = 228. Poniendo las fórmulas tenemos que x= u (m/d)+ t (b/d)= 7 2+ t 19= 14+19t y=v (m/d) t (a/d)= 11 2 t ( 30)= 22+30t

Índice La División Entera El Máximo Común Divisor Algoritmo de Euclides Ecuaciones Diofánticas Factorización. Aritmética I.

Índice La División Entera El Máximo Común Divisor Algoritmo de Euclides Ecuaciones Diofánticas Factorización. Aritmética I. Leandro Marín Septiembre 2010 Índice La División Entera El Máximo Común Divisor Algoritmo de Euclides Ecuaciones Diofánticas Factorización Los Números Enteros Llamaremos números enteros al conjunto infinito

Más detalles

Aritmética modular. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética modular 1 / 16

Aritmética modular. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética modular 1 / 16 Aritmética modular AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética modular 1 / 16 Objetivos Al finalizar este tema tendréis que: Saber qué es Z n. Saber operar en

Más detalles

Aritmética Modular. (c) 2012 Leandro Marin

Aritmética Modular. (c) 2012 Leandro Marin 0214.00 1 Aritmética Modular 3 487002 140007 (c) 2012 Leandro Marin 1. Introducción En este tema veremos el concepto de congruencia módulo n, así como los anillos de restos modulares y su estructura. Calcularemos

Más detalles

Álgebra y Matemática Discreta

Álgebra y Matemática Discreta Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teoría 1 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 16 Sep 2013-22 Sep 2013 Los Números Enteros El Conjunto Z Vamos a empezar por la aritmética más

Más detalles

Algoritmo de Euclides y ecuaciones de congruencia

Algoritmo de Euclides y ecuaciones de congruencia Algoritmo de Euclides y ecuaciones de congruencia Taller de Álgebra I Primer cuatrimestre de 2017 Algoritmo de Euclides El algoritmo de Euclides calcula el máximo común divisor entre dos números a, b Z.

Más detalles

Tema 1 Aritmética entera

Tema 1 Aritmética entera Tema 1 Aritmética entera Tema 1 Aritmética entera 1.1 Los números enteros 1.1.1 Relaciones de orden Una relación en un conjunto A es un subconjunto R del producto cartesiano AxA. Se dice que dos elementos

Más detalles

Álgebra y Matemática Discreta

Álgebra y Matemática Discreta Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teoría 3 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 23 Sep 2013-29 Sep 2013 Congruencias Definición Congruencia Módulo n Sea n 1 un número entero. Diremos

Más detalles

Álgebra y Matemática Discreta

Álgebra y Matemática Discreta Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teoría 3 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 23 Sep 2013-29 Sep 2013 Congruencias Definición Congruencia Módulo n Sea n 1 un número entero. Diremos

Más detalles

Y va otro problema. 1 c (2017) Paz Jiménez Seral. Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza

Y va otro problema. 1 c (2017) Paz Jiménez Seral. Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza Era el año 1977 y en el bar de Amadeo en Leciñena se contaba el primer problema que os propongo. En ese bar se jugaba a las cartas, al billar, al futbolín y a las máquinas (buenísmas las de Amadeo). Pero

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a

Más detalles

Cálculo de Determinantes. (c) 2012 Leandro Marin

Cálculo de Determinantes. (c) 2012 Leandro Marin 8. Cálculo de Determinantes 3 487 83 (c) Leandro Marin . Introducción El determinante de una matriz cuadrada es un problema que se puede resolver de diversas formas. Una de ellas es mediante una fórmula

Más detalles

Aritmética Entera MATEMÁTICA DISCRETA I. F. Informática. UPM. MATEMÁTICA DISCRETA I () Aritmética Entera F. Informática.

Aritmética Entera MATEMÁTICA DISCRETA I. F. Informática. UPM. MATEMÁTICA DISCRETA I () Aritmética Entera F. Informática. Aritmética Entera MATEMÁTICA DISCRETA I F. Informática. UPM MATEMÁTICA DISCRETA I () Aritmética Entera F. Informática. UPM 1 / 18 Estructura de los números enteros Estructura de los números enteros Definición

Más detalles

Producto Escalar. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Producto Escalar 1 / 31

Producto Escalar. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Producto Escalar 1 / 31 Producto Escalar AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Producto Escalar 1 / 31 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber usar el producto escalar. Calcular

Más detalles

Aritmética Entera y Modular.

Aritmética Entera y Modular. Tema 5 Aritmética Entera y Modular. 5.1 Divisibilidad en Z. Definición 1. Si a, b Z, a 0, se dice que a divide a b, y se indica por a b, si existe k Z, tal que b = ak. También se dice que a es un divisor

Más detalles

TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO

TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO 1. División de polinomios Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente)

Más detalles

2.1 Introducción. Propiedades.

2.1 Introducción. Propiedades. 19 2 MATRICES II: DETERMINANTES En este segundo capítulo de matrices, aprenderemos a utilizar una herramienta muy importante como son los determinantes Gracias a ellos, podremos calcular la inversa de

Más detalles

Independencia Lineal y Generación. (c) 2012 Leandro Marin

Independencia Lineal y Generación. (c) 2012 Leandro Marin 09.00 Independencia Lineal y Generación 3 48700 9000 (c) 0 Leandro Marin . Independencia Lineal Dada una familia de vectores v, v,, v k de un espacio vectorial V, llamaremos combinación lineal de estos

Más detalles

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que MATRICES INVERTIBLES Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A

Más detalles

Relaciones de orden. Definición 1. Llamamos conjunto ordenado a un par (E, ) donde E es un conjunto y es un orden definido en E

Relaciones de orden. Definición 1. Llamamos conjunto ordenado a un par (E, ) donde E es un conjunto y es un orden definido en E Relaciones de orden Diremos que una relación R es de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Generalmente usaremos la notación en lugar de R para expresar relaciones de

Más detalles

open green road Guía Matemática MÚLTIPLOS Y DIVISORES profesor: Nicolás Melgarejo .cl

open green road Guía Matemática MÚLTIPLOS Y DIVISORES profesor: Nicolás Melgarejo .cl Guía Matemática MÚLTIPLOS Y DIVISORES profesor: Nicolás Melgarejo.cl 1. Múltiplos y divisibilidad Se dice que un número a es divisible por otro b si al dividir a con b, el residuo o resto es cero, dicho

Más detalles

Aritmética II. Leandro Marín. Septiembre

Aritmética II. Leandro Marín. Septiembre Leandro Marín Septiembre 2010 Índice Anillos de Restos Modulares Elementos Singulares Las Unidades de Z n La Exponencial Modular La definición de Z n Definition Sea n > 1 un número entero. Dos números

Más detalles

Operaciones extendidas de conjuntos

Operaciones extendidas de conjuntos 234 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS Tema 3. Operaciones extendidas de conjuntos En este tema extenderemos las operaciones de conjuntos anteriormente definidas a familias arbitrarias de conjuntos.

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES MATRIZ INVERSA

MATRICES Y DETERMINANTES MATRIZ INVERSA Índice Presentación... 3 Determinante de una matriz... 4 Determinante de matrices de orden 2 y 3... 5 Determinante de una matriz... 6 Ejemplo... 7 Propiedades del cálculo de determinantes... 8 Matriz inversa...

Más detalles

Teoría de Números. Divisibilidad. Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas

Teoría de Números. Divisibilidad. Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas Teoría de Números Divisibilidad Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas 1. Introducción Divisibilidad es una herramienta de la aritmética que nos permite conocer un poco más la naturaleza de un número,

Más detalles

1. Expresiones polinómicas con una indeterminada

1. Expresiones polinómicas con una indeterminada C/ Francisco García Pavón, 16 Tomelloso 1700 (C. Real) Teléfono Fa: 96 51 9 9 Polinomios 1. Epresiones polinómicas con una indeterminada 1.1. Los monomios Un monomio es una epresión algebraica con una

Más detalles

Seminario de problemas ESO. Curso Hoja 10

Seminario de problemas ESO. Curso Hoja 10 Seminario de problemas ESO. urso 014-1. Hoja 10 64. Iván escribe los números del 1 al 0 en orden y, puesto que los números del 10 al 0 tienen cifras, se da cuenta de que en total ha escrito 31 cifras.

Más detalles

4.1 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo

4.1 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo Tema 4 Polinomios 4.1 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo Aunque se puede definir el conjunto de los polinomios con coeficientes en un anillo, nuestro estudio se va a centrar en el conjunto

Más detalles

Aritmética de los números enteros

Aritmética de los números enteros Aritmética de los números enteros José Luis Ruiz Muñoz 1 crédito P00/75004/00190 FUOC P00/75004/00190 Aritmética de los números enteros Índice Introducción... 5 Objetivos... 6 1. El anillo de los números

Más detalles

27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7

27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 β 27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 Notación en un triángulo: En un triángulo cualquiera llamaremos a, b y c a sus lados y A, B y C a sus vértices de forma que A sea el vértice formado por los lados

Más detalles

Aritmética entera. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética entera 1 / 15

Aritmética entera. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética entera 1 / 15 Aritmética entera AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética entera 1 / 15 Objetivos Al finalizar este tema tendréis que: Calcular el máximo común divisor de

Más detalles

Tema 2 Aritmética modular

Tema 2 Aritmética modular 1 Tema 2 Aritmética modular 2.1 Relaciones de equivalencia Definición 2.1 Una relación que verifique las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia. Dos elementos

Más detalles

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con

Más detalles

DETERMINANTES. Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE. Determinantes de orden 2

DETERMINANTES. Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE. Determinantes de orden 2 DETERMINANTES Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2 Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + y = 29 5x y = 8 a b x y = 5 0x + 6y

Más detalles

Aritmética entera y modular

Aritmética entera y modular CAPíTULO 2 Aritmética entera y modular 1. Los números enteros Dado un entero z, z es su opuesto, y denotamos por z = máx{z, z} al valor absoluto de z. Propiedades de la suma. La suma de enteros es asociativa,

Más detalles

Propiedades de números enteros (lista de problemas para examen)

Propiedades de números enteros (lista de problemas para examen) Propiedades de números enteros (lista de problemas para examen) Denotamos por Z al conjunto de los números enteros y por N al conjunto de los números enteros positivos: N = 1, 2, 3,...}. Valor absoluto

Más detalles

Entrenamiento ONMAPS Guanajuato. Primaria (Teoría de Números)

Entrenamiento ONMAPS Guanajuato. Primaria (Teoría de Números) Entrenamiento ONMAPS Guanajuato Primaria (Teoría de Números) Un concepto que se usa de manera muy frecuentemente en los problemas de Olimpiada de Matemáticas es el de divisibilidad. Esto no se tratará

Más detalles

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1. Polinomios Un monomio es el producto de un número real por una o más letras que pueden estar elevadas a exponentes que sean números naturales. La suma de los exponentes de

Más detalles

Gu ıa Departamento. Matem aticas U.V.

Gu ıa Departamento. Matem aticas U.V. Universidad de Valparaíso Instituto de Matemáticas 1. Determinar el cociente y el residuo de 541 y de -541al dividir por 17 391 y -391 al dividir por 17 Guía de Teoría de Números 2. Sea a Z,n N comparar

Más detalles

Inversa de una matriz

Inversa de una matriz Capítulo 2 Álgebra matricial 2.1. Inversa de una matriz Inversa de una matriz Para una matriz cuadrada A n n, la matriz B n n que verifica las condiciones AB = I n y B A=I n se denomina inversa de A, y

Más detalles

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 2 Aritmética entera y modular 1. Los números enteros Dado un entero

Más detalles

1. Ecuaciones lineales en cuerpos finitos

1. Ecuaciones lineales en cuerpos finitos 1. Ecuaciones lineales en cuerpos finitos Un cuerpo es un conjunto F dotado de dos operaciones suma y producto, usualmente denotadas por + y que satisfacen los axiomas de los números reales, exceptuando

Más detalles

Introducción a la Matemática Discreta

Introducción a la Matemática Discreta Introducción a la Matemática Discreta Aritmética Entera Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 36 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema

Más detalles

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,... INTRO. MATRICES Y DETERMINANTES Prof. Gustavo Sosa Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas

Más detalles

Divisibilidad (en N = N {0})

Divisibilidad (en N = N {0}) Divisibilidad (en N = N {0}) Dados dos números naturales a y c, se dice que c es un divisor de a si existe q N tal que a = q c (es decir, si en la división a c el resto es 0). c a significa que c es divisor

Más detalles

Números enteros. Congruencias

Números enteros. Congruencias Capítulo 5 Números enteros. Congruencias módulo n 5.1. Principio del Buen Orden, Principio de Inducción, Algoritmo de la división Comenzamos por aceptar el Principio del buen orden. (No hay demostración)

Más detalles

PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES

PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES Problema. Dado el número decimal 9, encuentra su representación binaria. Solución. Para encontrar la representación binaria del número, lo pondremos en una columna, en

Más detalles

Apéndice 5: Diagonalización de matrices

Apéndice 5: Diagonalización de matrices Apéndice 5: Diagonalización de matrices Más aplicaciones de la diagonalización. Resolución de ecuaciones en diferencias Hay cierto tipo de problemas cuya resolución depende de la potencia de una matriz.

Más detalles

Teoría de Números. Orlando Ochoa Castillo 25 de septiembre de 2011

Teoría de Números. Orlando Ochoa Castillo 25 de septiembre de 2011 Teoría de Números Orlando Ochoa Castillo 25 de septiembre de 2011 1. Divisibilidad La Teoría de Números es un tema muy importante en las Olimpiadas de Matemáticas, esta área estudia el comportamiento de

Más detalles

Divisibilidad y congruencia

Divisibilidad y congruencia de los ejercicios de la clase 8 Divisibilidad y congruencia Taller de Álgebra I Segundo cuatrimestre de 2016 Introducción A continuación les presentamos algunas soluciones para los ejercicios de la clase

Más detalles

UNIDAD 2.- Polinomios (tema 2 del libro)

UNIDAD 2.- Polinomios (tema 2 del libro) UNIDAD.- Polinomios tema del libro). OPERACIONES CON POLINOMIOS n Un monomio en la indeterminada es toda epresión de la forma a donde a se llama coeficiente y n grado del monomio. Dos monomios se dicen

Más detalles

TEMA 2: ÁLGEBRA 1. TEOREMA DEL RESTO Y APLICACIONES

TEMA 2: ÁLGEBRA 1. TEOREMA DEL RESTO Y APLICACIONES TEMA 2: ÁLGEBRA 1. TEOREMA DEL RESTO Y APLICACIONES Dado un polinomio P(x) y un número real a, el resto de la división de P(x) entre (x a) es P(a) (es decir, el resultado de sustituir el valor de x por

Más detalles

Ecuaciones de recurrencia. Abraham Sánchez López FCC/BUAP Grupo MOVIS

Ecuaciones de recurrencia. Abraham Sánchez López FCC/BUAP Grupo MOVIS Ecuaciones de recurrencia Abraham Sánchez López FCC/BUAP Grupo MOVIS Introducción, I Cuando se analiza la complejidad de un algoritmo recursivo, es frecuente que aparezcan funciones de costo también recursivas,

Más detalles

Veamos que la operación multiplicación heredada de Z m es interna:

Veamos que la operación multiplicación heredada de Z m es interna: Tema 3 El cuerpo (, +,.) (p número primo) 3.1 El grupo multiplicativo En el tema anterior se vio que (Z m, +,.) es un anillo conmutativo con elementos identidad. No preguntamos ahora para qué elementos

Más detalles

UNIDAD 2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

UNIDAD 2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES UNIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.. DIVISORES DE UN NÚMERO. 3. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS. 4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. 5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. 6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR..

Más detalles

k(2k 1)(2k + 1) = + (2k + 1) 2 = (k + 1)(2k + 3)(2k + 1) (H.I)

k(2k 1)(2k + 1) = + (2k + 1) 2 = (k + 1)(2k + 3)(2k + 1) (H.I) Matemática Discreta I: Ejercicios resueltos Temas 2- GRUPO: 1M1S-MI Ejercicio 1. Demuestra por induccin, que para todo n N, 1 2 + 2 + + (2n 1) 2 = n(2n 1)(2n + 1). k = 1: 1 2 1(2 1 1)(2 1 + 1) = (se cumple).

Más detalles

Aritmética en Haskell

Aritmética en Haskell Aritmética en Haskell Taller de Álgebra I Primer cuatrimestre de 2014 Algoritmo de división Para obtener el cociente y resto entre dos números enteros, tenemos las funciones div y mod, respectivamente.

Más detalles

PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES

PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES PREEVALUACIÓN CURSO SOLUCIONES Problema. Dado el número decimal 68, encuentra su representación binaria. Solución. Para encontrar la representación binaria del número, lo pondremos en una columna, en la

Más detalles

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE CONCEPTOS FUNDAMENTALES

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE CONCEPTOS FUNDAMENTALES FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE Índice Presentación... 3 Conjunto de los números reales... 4 Los intervalos... 6 Las potencias... 7 Los polinomios... 8 La factorización de polinomios (I)... 9 La factorización

Más detalles

GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemática - Polinomios

GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemática - Polinomios GUÍA DE EJERCICIOS Área Matemática - Polinomios Resultados de aprendizaje. Realizar operaciones entre polinomios. Aplicar Regla de Ruffini, para determinar raíces de un polinomio. Aplicar los procedimientos

Más detalles

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca Tema Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca.1 De las siguientes operaciones, cuál no permite operar cualquier par de números naturales para obtener un resultado natural? a) La suma.

Más detalles

Introducción a la Teoría de Números

Introducción a la Teoría de Números Introducción a la Teoría de Números Elaborado por: Jeff Maynard Guillén Eliminatoria II Julio, 2011 Introducción a la Teoría de Números A manera de repaso vamos a recordar algunos conjuntos N = {1, 2,

Más detalles

Q(x,t) = -2x 2 t 3 - xt x 5-3x 3 + 4x 2 +2x- 7 22/03/2016. División de polinomios. P(x) = -x 4 + 3x 2-5 R(x) = 5x 4-2x 3 + 3x

Q(x,t) = -2x 2 t 3 - xt x 5-3x 3 + 4x 2 +2x- 7 22/03/2016. División de polinomios. P(x) = -x 4 + 3x 2-5 R(x) = 5x 4-2x 3 + 3x S Escribe un polinomio que cumpla las siguientes condiciones: A)Se llama P(x, y) B)Tiene 5 términos C)Es de grado seis D)No tiene término independiente S Escribe un polinomio que cumpla las siguientes

Más detalles

Tema 3: Expresiones algebraicas

Tema 3: Expresiones algebraicas Tema 3: Expresiones algebraicas Monomios y polinomios Un monomio es una expresión algebraica en las que las únicas operaciones que aparecen son la multiplicación y la potenciación de exponente natural.

Más detalles

TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las

Más detalles

Semana 14. Carlos Hernandez. Helena de Oteyza. Alfredo.

Semana 14. Carlos Hernandez. Helena de Oteyza. Alfredo. Semana 4 Carlos Hernandez Los apuntes los encuentran en: http://wwwcimatmx/especialidadseg/documentos/algoritmospdf Helena de Oteyza http://wwwcimatmx/especialidadseg/documentos/desigualdadespdf Alfredo

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Polinomios y Fracciones Algebraicas UNIDAD DIDÁCTICA 2 1 o de Bachillerato CCSS Diana Barredo Blanco 1 1 Profesora de Matemáticas 1 o Bachiller (CCSS) 1. POLINOMIOS 1. POLINOMIOS Polinomio: Un polinomio

Más detalles

Teorema de la Función Implícita (f : R R)

Teorema de la Función Implícita (f : R R) Funciones de R n en R 1 Teorema de la Función Implícita f : R R) Teorema 1. Considere la función y = fx). Sea x 0, y 0 ) R 2 un punto tal que F x 0, y 0 ) = 0. Suponga que la función F tiene derivadas

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Se dice expresión algebraica aquella que está formada por números y letras unidos mediante signos. 4x 2 + 1 2 3y Observa que existen dos variables x e y. En la siguiente expresión

Más detalles

Centro Asociado Palma de Mallorca. Tutor: Antonio Rivero Cuesta

Centro Asociado Palma de Mallorca. Tutor: Antonio Rivero Cuesta Centro Asociado Palma de Mallorca Tutor: Antonio Rivero Cuesta 2.1 De las siguientes operaciones, cuál no permite operar cualquier par de números naturales para obtener un resultado natural? a) La suma.

Más detalles

Departamento de Matemáticas. ÁLGEBRA: Ecuaciones

Departamento de Matemáticas. ÁLGEBRA: Ecuaciones 3.5. Ecuaciones bicuadradas. Empezamos ahora a analizar qué pasa cuando el polinomio tiene grado más grande que dos. Todas éstas se engloban dentro de la misma estrategia de resolución que, como posteriormente

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles

EJERCICIOS. 7.3 Valor de un polinomio para x = a. Por lo tanto: para determinar expresiones

EJERCICIOS. 7.3 Valor de un polinomio para x = a. Por lo tanto: para determinar expresiones or lo tanto: para determinar epresiones a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente. Apliquemos este resultado

Más detalles

Álgebra Básica 11/01/2017 Grado en Matemáticas. Grupo C. Curso 2016/2017

Álgebra Básica 11/01/2017 Grado en Matemáticas. Grupo C. Curso 2016/2017 Álgebra Básica 11/01/2017 Grado en Matemáticas. Grupo C. Curso 2016/2017 SOLUCIONES Ejercicio 1 (5 puntos). Sea A un anillo conmutativo y K un cuerpo. a) Definir: i) Unidad en A. ii) Elemento irreducible

Más detalles

Teoría de Números. 1. Introducción. Factorización Algebraica. Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas

Teoría de Números. 1. Introducción. Factorización Algebraica. Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas Teoría de Números Factorización Algebraica Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas 1. Introducción El matemático, físico y astrónomo Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los más importantes personajes

Más detalles

Cociente. Resto Cómo procedimos? 3 x por 2

Cociente. Resto Cómo procedimos? 3 x por 2 COLEGIO SECUNDARIO LA PLATA Colegio Secundario La Plata Educar para un mundo mejor DIVISIÓN DE POLINOMIOS Definición: Dados dos polinomios, P() y Q(), siempre eisten polinomios C() y R(), únicos, llamados

Más detalles

6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.

6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. 6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar

Más detalles

Apéndice 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas. . Analizando el

Apéndice 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas. . Analizando el Apéndice 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define Rx a 0 a 1 x a 2 x 2...a n x n a 0,a 1,a 2,...,a

Más detalles

S2: Polinomios complejos

S2: Polinomios complejos S: Polinomios complejos Un polinomio complejo de grado n es un polinomio de la forma: p x = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n Donde los a i C se llaman coeficientes y a n 0. Observa que como R C los coeficientes

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. del sistema de ecuaciones:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. del sistema de ecuaciones: x + 4y + 4z x + 3y + z SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. La solución ( x, y, z ) del sistema de ecuaciones: x + y + z 6 x + 3y + z verifica: x + y z 3 A) x y z 0; 3; 7 B) x + z 5 C) x + z (Convocatoria

Más detalles

El Algoritmo de Euclides

El Algoritmo de Euclides El Algoritmo de Euclides Pablo L. De Nápoli Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 25 de abril de 2014 Pablo L. De Nápoli (Departamento de Matemática

Más detalles

Sistemas polinomiales

Sistemas polinomiales Sistemas polinomiales (Elementos básicos) ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Introducción 2 2. Generalidades sobre polinomios 5 2.1. Orden monomial.........................

Más detalles

Tema 1. Anillos e ideales. Operaciones. Divisibilidad

Tema 1. Anillos e ideales. Operaciones. Divisibilidad Tema 1. Anillos e ideales. Operaciones. Divisibilidad y factorización. La parte correspondiente a Anillos e ideales. Operaciones se corresponde con el capítulo 1 del libro Atiyah, M.F., Macdonald, I.G.,

Más detalles

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real

Más detalles

RSA: Implementación. Ya resolvimos (3), ahora vamos a resolver (2). IIC3242 Complejidad Probabiĺıstica 28 / 77

RSA: Implementación. Ya resolvimos (3), ahora vamos a resolver (2). IIC3242 Complejidad Probabiĺıstica 28 / 77 RSA: Implementación Para poder implementar RSA necesitamos algoritmos eficientes para los siguientes problemas: (1) Generar primos P y Q (2) Generar números e y d tales que e d modφ(n) = 1 (3) Calcular

Más detalles

Algoritmos en teoría de números

Algoritmos en teoría de números Algoritmos en teoría de números IIC2283 IIC2283 Algoritmos en teoría de números 1 / 92 Para recordar: aritmética modular Dados dos números a, b Z, si b > 0 entonces existen α, β Z tales que 0 β < b y a

Más detalles

Definición 1.2. Sea (K, +, ) un dominio de integridad. Un polinomio de grado n sobre K es una expresión de la forma

Definición 1.2. Sea (K, +, ) un dominio de integridad. Un polinomio de grado n sobre K es una expresión de la forma Polinomios Definición 1.1. Un conjunto K junto con dos operaciones definidas en él que denotaremos por + : K K K : K K K para las cuales se cumplen las siguientes propiedades: Asociatividad Conmutatividad

Más detalles

Introducción a la Matemática Discreta

Introducción a la Matemática Discreta Introducción a la Matemática Discreta Aritmética Modular Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 39 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema

Más detalles

Seminario de problemas. Curso Hoja 5

Seminario de problemas. Curso Hoja 5 Seminario de problemas. Curso 2014-15. Hoja 5 29. Encuentra los números naturales N que cumplen las siguientes condiciones: sus únicos divisores primos son 2 y 3, y el número de divisores de N 2 es el

Más detalles

Tema 5: Funciones. Límites de funciones

Tema 5: Funciones. Límites de funciones Tema 5: Funciones. Límites de funciones 1. Concepto de función Una aplicación entre dos conjuntos y es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto un único elemento del conjunto. Una función

Más detalles

Euclides Extendido y Teorema Chino del Resto

Euclides Extendido y Teorema Chino del Resto Euclides Extendido y Teorema Chino del Resto Taller de Álgebra I Segundo cuatrimestre de 2013 Lema de Bézout Recordemos este lema: Lema (Étienne Bézout) Sean a, b Z, alguno distinto de 0. Entonces existen

Más detalles

POSICIONES RELATIVAS

POSICIONES RELATIVAS POSICIONES RELATIVAS En muchos problemas de Álgebra se pide estudiar la posición relativa en el espacio de dos rectas, dos planos, una recta y un plano, etc y suelen generar no pocos quebraderos de cabeza,

Más detalles

Dominios Euclideos. Eugenio Miranda Palacios

Dominios Euclideos. Eugenio Miranda Palacios Dominios Euclideos Eugenio Miranda Palacios 4. Dominios Euclídeos 4.1. Definiciones y resultados básicos Definición 4.1. Sea A un dominio de integridad. Una función euclídea es una función φ : A {0} Z

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios 1 Operaciones básicas Operaciones con polinomios Cuando realizamos la suma de dos o más polinomios sumamos términos semejantes con términos semejantes. El estudiante al escuchar esto puede causarle confusión

Más detalles

1.1. Relaciones de equivalencia

1.1. Relaciones de equivalencia Capítulo 1 Preliminares. Operaciones 1.1. Relaciones de equivalencia Denición 1.1. El producto cartesiano A B de conjuntos A y B es A B = {(a, b) a A, b B} Los elementos de A B se llaman pares ordenados.

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Los segmentos se determinan por su longitud. Supongamos que tenemos dos

Más detalles

Índice Proposiciones y Conectores Lógicos Tablas de Verdad Lógica de Predicados Inducción

Índice Proposiciones y Conectores Lógicos Tablas de Verdad Lógica de Predicados Inducción Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 5. Lógica y Formalismo Matemático Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Proposiciones y Conectores Lógicos 2 Tablas de Verdad

Más detalles

Propiedades más importantes de los logaritmos: El logaritmo de una multiplicación es igual el logaritmo de la suma. log =log +log

Propiedades más importantes de los logaritmos: El logaritmo de una multiplicación es igual el logaritmo de la suma. log =log +log Para empezar a tratar el tema de los logaritmos tenemos que tener en muy en cuenta, la definición de logaritmo, así como las tres propiedades más importantes de los logaritmos. Definición de logaritmo:

Más detalles