Problema 1. En cuál de los dos diseños el ángulo de inclinación de la rampa con el suelo es mayor?

Transcripción

1 ONTENIDOS Ls reliones trigonométris en un triángulo retángulo Seno y oseno de un ángulo Tngente de un ángulo Relión entre l tngente y l pendiente de un ret Teorems del seno y del oseno Existen vris situiones que pr ser resuelts requieren del estleimiento de reliones entre ls medids de los ldos de un triángulo y ls medids de sus ángulos. Hst hor en un triángulo se hn estudido ls reliones que se estleen entre sus ldos. Y tmién ls que se estleen entre sus ángulos. En este pítulo se trtrán ls reliones que se pueden estleer entre ls medids de los ldos y los ángulos de un triángulo. L rm de l mtemáti que se enrg de estudir ests reliones es l trigonometrí, plr que signifi medid de triángulos. TRIGONOMETRÍ Prolem 1 Pr el tller de diseño industril los lumnos tienen que relizr un rmp. Deidieron elegir quell propuest en l ul l rmp tiene myor ángulo de inlinión on el suelo. Dos grupos propusieron los siguientes diseños: 3 m 1,5 m m m Diseño 1 Diseño En uál de los dos diseños el ángulo de inlinión de l rmp on el suelo es myor? Si se reliz el oiente entre l ltur de l rmp y su longitud, se otiene en mos sos 1,5 = 0,5 y = 0,5 3 Por lo tnto, 1,5 = 3 1,5 = 3 78 pítulo. Trigonometrí.

2 Los ldos de los esquems que representn ls rmps y sus lturs son proporionles. omo los triángulos son retángulos se puede lulr l medid del otro ldo usndo el Teorem de Pitágors: Estos ldos tmién gurdn l mism proporión: 3 3 : 1 = = 3. 1 = 3 Por lo tnto si en dos triángulos sus tres ldos son proporionles, son semejntes, entones los ángulos son igules. De este modo se pueden superponer los triángulos oinidiendo los ángulos de inlinión on el suelo pues sus ángulos son ongruentes. ulquier rmp que teng el mismo oiente entre l ltur y l longitud tendrá el mismo ángulo de inlinión on el suelo? Diseño 1 3 = 1,5 + x x = 3 3 Diseño = + y y = 1 Si se proede omo se hizo previmente, se otiene que los triángulos son semejntes. Por lo tnto el ángulo que formn ls rmps on el suelo es el mismo. Dos triángulos son semejntes undo sus ldos orrespondientes son proporionles y sus ángulos respetivmente ongruentes. Si Δ y D Δ EF son triángulos semejntes. Entones f e ^ = ^D ; ^ = ^E ; ^ = ^F d = e = _ f d d f e 79

3 Usulmente se utilizn pr designr ángulos ls letrs griegs. lguns de ells son: lf β et δ delt γ gmm φ fi Ls reliones trigonométris en un triángulo retángulo Se tienen dos triángulos retángulos y PMN on un ángulo gudo igul M N P Siempre que se onstruyn triángulos retángulos en los que se uno de sus ángulos interiores no reto se otienen triángulos semejntes. En un triángulo retángulo, los ldos que están inluidos en ls semirrets que formn el ángulo reto se los llm tetos. Y l ldo que se enuentr opuesto l ángulo de 90º se lo llm hipotenus. omo mos triángulos tienen ^ = ^N, por ser retos y ^P = ^ =, son triángulos semejntes, por lo tnto sus ldos orrespondientes son proporionles, entones: = = MP PN MN Si se tom un proporión = MP MN = MN MP Es deir que si se tomn dos ldos de un triángulo retángulo, l rzón entre ellos es l mism que si se tomn los ldos orrespondientes del otro triángulo retángulo on un ángulo gudo igul. Por lo tnto, los oientes entre dos ldos de un triángulo retángulo solo dependen del ángulo gudo. Si se utiliz l terminologí propi pr triángulos retángulos se tiene que: teto opuesto (en Δ ) hipotenus (en ) Δ = teto opuesto (en M NP) hipotenus (en MNP) es l hipotenus es el teto opuesto l ángulo es el teto dyente l ángulo De este modo result que ulquier que se el triángulo retángulo on un ángulo, este oiente es siempre igul. Por este motivo, tiene un nomre espeífio: seno de y se esrie sen. Del mismo modo, el oiente entre el teto dyente l ángulo y l hipotenus result ser siempre igul dependiendo solo del ángulo. Est rzón se llm oseno de y se esrie os. Pr todo ángulo on 0º < < 90º se define: teto opuesto sen = hipotenus os = teto dyente hipotenus Por ejemplo, si se tiene uno de los triángulos retángulos del prolem 1, el seno del ángulo es igul 1,5 = 0,5 y se esrie sen = 0, m 1,5 m omo el seno y el oseno de un ángulo son el resultdo de un oiente de longitudes no tienen uniddes y resultn ser números reles. 80 pítulo. Trigonometrí.

4 ómo lulr el vlor de un ángulo? Prolem Un grupo de lumnos del tller de diseño industril propusieron her un rmp de 9 metros on un se de,5 metros. Si l onstruyen de est mner, tendrá un ángulo de inlinión myor que un rmp de 6 metros y 3 metros de ltur? Pr l primer rmp se puede diujr el siguiente esquem: ntes de l invenión de l luldor ientífi, l úni form de onoer l medid de un ángulo prtir del vlor del seno o el oseno er trvés de tls. 9 m donde β es el ángulo que form l rmp on el suelo. En este triángulo retángulo solo se uent on ls medids de l hipotenus y del teto dyente l ángulo β, por lo tnto se puede lulr el oseno de β. os β =,5 = 0,5 9 Pr l segund rmp se puede her el siguiente esquem quí es el ángulo que form l rmp on el suelo. omo en este so se tiene l medid de l hipotenus del triángulo retángulo y l medid del teto opuesto se puede lulr el seno de sen = 3 = 0,5 6,5 m 6 m β 3 m Hoy en ls luldors ientífis se enuentrn los vlores de los senos y osenos de los ángulos medidos en grdos. No se neesit reurrir más ess tls. En l luldor verán ls tels y. Pr lulr el seno de un ángulo de 38º deerán teler 38 = sí preerá en el visor el número 0, , lo que signifi que el seno de 38º es proximdmente igul 0, En lguns luldors ientífis, el orden en que se deen presionr ls tels pr relizr los álulos es distinto. Se deerá onsultr el mnul de l luldor pr estr seguros de su mnejo. on l informión del seno de y del oseno de β, lnz pr ser uál es el myor ángulo de inlinión? será igul β? uánto mide y uánto mide β? Pr lulr el vlor de se puede proeder on l luldor del siguiente modo: Siendo que sen = 0,5, telendo o o y luego 0,5 preerá en el visor el número 30, lo que signifi que mide 30º. En lguns luldors hy que oprimir 0,5 y luego ls tels y. on el mismo proedimiento pero on ls tels o o y se otiene el ángulo β. os β = 0,5 β = 60 Por lo tnto l primer rmp tiene myor inlinión que l segund. 1. lulen los siguientes vlores utilizndo l luldor ientífi: sen 5º os 36º sen 5º os 89º sen 1º. usquen on l luldor pr qué vlor de entre 0 y 90 se umple d un de ls siguientes igulddes: os = 0,0001 sen = 0,89 sen = 0,3 os = 0,

5 Teorem de Pitágors: En todo triángulo retángulo el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos Si se tiene un triángulo retángulo on ls medids de sus ldos Reliones entre el seno y el oseno de un ángulo gudo Si en un triángulo retángulo se llm uno de sus ángulos gudos por el Teorem de Pitágors se otiene l siguiente iguldd = + l relión entre ls medids de los ldos on el ángulo permite estleer ls siguientes igulddes: sen = os = Pero ests no son ls únis reliones que hy en un triángulo retángulo. Si se pli el Teorem de Pitágors tmién se puede estleer un relión entre los ldos del triángulo retángulo, = + Usulmente (sen ) se esrie omo sen. Es posile relionr ests tres igulddes plnteds? sen =. sen = os =. os = Si se reemplzn y en = +, se otiene Por lo tnto: Si se s ftor omún = ( sen ) + ( os ) = sen + os = (sen + os ) l dividir mos miemros por, que no es ero pues es l hipotenus del triángulo, qued: 1 = sen + os Est iguldd se verifi pr ulquier vlor de entre 0º y 90º. Identidd Pitgóri: Si 0º < < 90º se tiene sen + os = 1 Es deir, que pr ulquier vlor de siempre se puede relionr el vlor del sen y del os. est iguldd se l llm identidd pitgóri. 3. Un puelo está trvesdo por un río. Pr pedir l onstruión de un puente, los poldores quieren medir el nho de ese río. Pero omo es demsido nho y no uentn on los instrumentos neesrios no pueden herlo. Los hios de l esuel del puelo que están estudindo trigonometrí pensron en utilizr sus onoimientos pr yudr l omunidd. Ellos firmn que, utilizndo el grn árol que se enuentr sore un de ls orills del río es posile medir el nho del mismo. Dien que pr eso solo neesitn onoer l ltur del árol y prándose uno de ellos en l orill opuest del río, frente l árol y mirndo hi l punt del árol medir el ángulo de visión. De este modo, utilizndo ls rzones trigonométris que prendieron en lse podrán dr un álulo proximdo del nho del río. onsidern que es posile lo que dien estos lumnos? Por qué? En qué onoimientos de trigonometrí se están poyndo pr her ests firmiones? Si les dien que el árol mide,7 metros y que el ángulo de visión es de 10º, uál será el nho del río? 8 pítulo. Trigonometrí.

6 Reliones entre seno y oseno de ángulos omplementrios Prolem 3 Si se onoe el vlor del sen 36º, es posile onoer el vlor del os 5º? En prinipio, pree que no hy ningun relión entre sen 36º y os 5º. Si se onstruye un triángulo retángulo on un ángulo = 36º, omo l sum de los ángulos interiores de ulquier triángulo es igul 180º, pr lulr l medid del otro ángulo, β: + β + 90 = 180 β = β = β = 5 Por lo tnto y β son ángulos omplementrios. Esto suede en ulquier triángulo retángulo, sus ángulos gudos son omplementrios. Se llmn ángulos omplementrios los ángulos uys mplitudes sumn 90º. Por ejemplo, dos ángulos que miden 36º y 5º son omplementrios. + β = 90º β Si se plnte el sen y el os β se otiene: teto opuesto sen = = hipotenus teto dyente β os β = = hipotenus Luego: sen = os β Pues el teto opuesto l ángulo result ser el teto dyente l ángulo β. Del mismo modo os = y sen β = Se tiene entones que: sen = os β os β = sen Si en el prolem = 36º y β =5º, omo 36º + 5º = 90º se otienen ls siguientes igulddes: sen 36º = os 5º os 36º = sen 5º Si 0º < < 90º, 90º es el omplementrio de y por lo tnto se verifin ls siguientes reliones: sen = os (90º ) os = sen (90º ). Siendo que os 38º es proximdmente 0,78 lulen: sen 38º = os 5º = sen 5º = 5. Siendo que sen 7º es proximdmente 0,73 lulen: os 7º = sen 3º = os 3º = 83

7 álulo de seno y oseno pr ángulos de 30º, 5º y 60º Prolem lulr el vlor del sen 5º sin utilizr l luldor. Si un triángulo retángulo tiene un ángulo de 5º, tmién el otro ángulo mide 5º. Si en un triángulo se tiene dos ángulos igules entones se oponen dihos ángulos, ldos igules. on lo ul el triángulo es isóseles. h Se puede firmr que y tmién sen 5º = h os 5º = h Por lo tnto el sen 5º y el os 5º resultn ser igules. Si se pli l identidd pitgóri, se otiene sen 5º + os 5º = 1 pero omo sen 5º = os 5º, sen 5º + sen 5º = 1 Se reemplz os 5 por sen 5.. sen 5º = 1 Se oper. sen 5º = 1 De este modo se otiene: Por lo tnto sen 5 = sen 5º = 1 = 1 = 1. = ( ) = omo el sen 5 es positivo por que es el oiente ente ls longitudes de dos ldos, que son números positivos, se tiene que: Se despej. sen 5º = 1 Se extre ríz udrd en mos miemros. sen 5º = y tmién os 5º = 8 pítulo. Trigonometrí.

8 Prolem 5 Se otuvo on l luldor ientífi que el sen 30º = 1. Si no se tuvier un luldor, ómo se podrí lulr el sen 30º? Si se onsider un triángulo retángulo on un ángulo gudo de 30º, su omplemento será de 60º. 30º 60º Se se que sen 30º = Si se ponen juntos dos triángulos omo el nterior: 30º 30º 60º En un triángulo equilátero todos sus ángulos son igules. omo l sum de los ángulos interiores de un triángulo es igul 180º, entones d ángulo de un triángulo equilátero es igul 60º. El triángulo originl tení un ángulo de 30º y otro de 60º. l juntr en un vértie dos ángulos de 30º se otiene uno de 60º, entones este triángulo tiene los tres ángulos de 60º, por lo tnto es equilátero. Luego el ldo es igul, y si = entones result = De este modo se tiene que se puede onluir que 60º sen 30º = = : = 1 sen 30º = 1 que y se hí luldo nteriormente utilizndo un luldor. 60º omo 60º y 30º son omplementrios, por l relión pr ángulos omplementrios result sen 30º = os 60º = 1 6. Siendo que el sen 30º = 1, lulen el os 30º. 7. Determinen sin utilizr l luldor ientífi el sen 60º. 8. Diujen tres triángulos retángulos diferentes en los ules el vlor del seno de uno de sus ángulos gudos se 1. uántos se podrán diujr? 9. El siguiente diujo represent un triángulo retángulo, en el ul m es ltur: M h m Intenten ompror, utilizndo sen, que. = m. h 10. Qué medids deen tener los ldos del siguiente retángulo pr que, l trzr l digonl, queden formdos dos triángulos retángulos uyos ángulos gudos midn 30 y 60? Hy un úni posiilidd? 85

9 Tngente de un ángulo Otr relión entre ldos y ángulos de un triángulo es l que se present prtir del siguiente prolem: Prolem 6 Si el triángulo es isóseles on = y on se igul 8 m y ltur igul 11 m, uál es l medid de sus ángulos? Pr resolver este prolem se puede her el siguiente esquem donde Des l ltur del triángulo: 11 m omo el triángulo es isóseles, l ltur divide l se en prtes igules, quedndo determindos dos triángulos retángulos ongruentes. D 8 m 11 m Pr todo ángulo on 0º 90º se define: tg = teto opuesto teto dyente D m Pr hllr, por ejemplo, el ángulo on los dtos on que se uentn, no lnz on reurrir l seno y l oseno. En este so se neesit un relión entre el teto dyente l ángulo y su teto opuesto. El oiente entre el teto opuesto de un ángulo y su teto dyente se llm tngente de y se esrie tg o tn. Por lo tnto tg = 11 =,75 Si se proede omo undo se luló el ángulo teniendo el vlor del seno o del oseno; del mismo modo se us l luldor y se tele (según l luldor que se us): o o,75 pree en el visor 70,016893; lo que signifi que el ángulo mide 70,017 proximdmente. 11. iert hor del dí, los ryos del sol formn on l horizontl un ángulo de 30º. Si un árol tiene un ltur de,5 m, uál será l longitud de su somr es hor del dí? 86 pítulo. Trigonometrí.

10 Relión entre oseno, seno y tngente de un ángulo Es posile estleer reliones entre seno, oseno y tngente de un ángulo, tl omo se propone en el siguiente prolem: Prolem 7 Sin utilizr luldor ientífi, lulr l tg 30º. Primero se nliz el siguiente triángulo on ángulo gudo Entones sen = os = tg =. sen =. os = tg = sen. os = sen os Se otiene pr ulquier ángulo gudo : tg = sen os En el prolem se dee lulr tg 30, entones: tg 30 = sen 30 os 30 Si se us lo que se luló en el prolem 5 se tiene que sen 30 = 1, flt lulr el os 30. Por l relión pitgóri: sen 30 + os 30 = 1 ( 1 ) + os 30 = 1 ( 1 )+ os 30 = 1 os 30 = 3 Si es un ángulo entre 0 y 90 tg = sen os Nuevmente omo el oseno es el oiente entre dos medids su vlor es positivo, por lo tnto: on lo ul os 30 = 3 tg 30 = 1 : 3 = 1 3 = = Qué ángulo form on l horizontl un le de 6 m que se tens desde el extremo de un poste de m de ltur hst el piso? 13. Se tiene tirntes de mder de m de longitud que se usrán pr rmr el esqueleto de un teho dos gus de un s. L ltur del teho no dee superr 1,5 m. jo qué ángulo de inlinión se deerán olor los tirntes de mder? 1. un distni de 1,5 metros de un pred se poy un esler de 3,5 metros de lrgo. uál es el ángulo de inlinión que form l esler on el suelo? 15. lulen:. tg 5º. tg 60º 87

11 Muhs vees en Mtemáti, y en prtiulr en Geometrí, se utiliz un representión generl de un ojeto. Por ejemplo, el trjo que se reliz en est prte del pítulo on este triángulo en prtiulr, perfetmente podrí relizrse on ulquier triángulo, es deir, que este triángulo, est representión, se está utilizndo modo generl. Se puede relizr el mismo rzonmiento que se he pr este triángulo on ulquier tringulo. Reliones entre los ldos y los ángulos en ulquier triángulo Teorem del seno En el omienzo de este pítulo se estleieron reliones entre ls medids de los ldos y los ángulos de triángulos retángulos. Se podrá relionr los ldos y los ángulos de un tringulo ulquier? Pr ontestr est pregunt es posile relizr un nálisis de l situión tomndo omo modelo el triángulo omo sigue h es l ltur orrespondiente l ldo y lo ort en el punto M. Est ltur divide l triángulo en dos triángulos retángulos, el M y el M. M h En Δ M En Δ M Si se iguln ls expresiones de h sen ^ = h sen ^ = h. sen ^ = h. sen ^ = h. sen ^ =. sen ^ Teorem del seno sen ^ = sen ^ = sen ^ Luego: sen ^ = sen ^ Si se reliz un nálisis similr l nterior pero trzndo l ltur orrespondiente l ldo, se otiene que: sen ^ = sen ^ Si se tomó en uent l otr relión otenid en el udro se tiene lo que se llm el Teorem del seno: sen ^ = sen ^ = sen ^ 88 pítulo. Trigonometrí.

12 Teorem del oseno Hst quí se hn estleido lguns reliones entre los ldos y los senos de los ángulos de este triángulo. ontinuión se estudirán otrs reliones. Por ejemplo, en los triángulos retángulos: M y M, de l págin nterior, si se pli el Teorem de Pitágors se estleen ls siguientes igulddes: En Δ M En Δ M h + M = (1) h + M = h = M () omo M= M, reeplzndo en (1) : h + M = h + ( M) = h +.. M + M = Se resuelve el udrdo del inomio. udrdo de un inomio Si y son dos números, se tiene l siguiente iguldd ( ) = + M +.. M + M = Se reemplz utilizndo () del udro nterior. +.. M = Si se oserv el triángulo M se puede plnter: Se nel M. os ^ = M M=. os ^ Teorem del oseno + os = + os = + os = l reemplzr est ondiión en l últim expresión que se otuvo en el udro, se onsigue lo que se llm el Teorem del oseno: +... os ^ = 16. En d uno de los siguientes triángulos hllr los ldos y los ángulos fltntes:.. m 7,m m d. 7m 5m 71 7m 60 7m 89

13 TIVIDDES DE INTEGRIÓN. Siendo que sen x = 0,83 y 0º x 90º, lulen 35. lulen, en d so, los posiles vlores de θ siendo que θ. os x. sen (90º x) está omprendido entre 0º y 90º.. os (90º x) d. uánto vle x?. sen θ = 0,951. os (θ + 60º) = 0,85 5. onsideren 0º x 90º. Siendo que sen x = 0,857. os θ + 0,5 = 0,85 d. tg θ +5 = 137. lulen os x, sen (90º x), os (90º x). e. 3 tgθ = 38 f. sen (3θ) = 0,15. on l luldor, hllen el vlor de x. g. 3 sen θ = 9 h. sen θ = 1 i. os θ + os θ = 0 j. os θ + sen θ = 1 6. Si el os (3x) = 0,068 y 0 x 90 utilizndo luldor, lulen:. El vlor de x.. El vlor de os x. 36. Es ierto que, pr ulquier vlor de x result sen (x) = sen x? Justifiquen su respuest. 7. Si sen (5º + x) = 0,78, lulen el vlor de x, siendo que 0 x lulen el áre y el perímetro de un triángulo isóseles uyo ldo 8. Si sen (37º + x ) = 1 y 0 x 90, uánto vle x? Por qué? desigul mide 8 m y el ángulo desigul mide 70º. 9. Si sen 37º + sen x = 1, uánto vle x? 30.. Si se se que el sen (x) = 0,5, uánto vle x, si 0 x 90?. lulen el sen x. 31. Siendo que tg x = y 0 x 90, sin utilizr l luldor lulen:. sen x. os x. sen (90º x) d. os(90º x) 3. Un poste de eletriidd de metros de ltur se dee sujetr on unos tensores desde su extremo superior hst el piso. Los expertos reomiendn que el ángulo de inlinión de los tensores on el suelo dee ser de 50º. uál dee ser l longitud de los tensores? 33. En d so lulen el vlor indido on l letr x siendo que se trt de triángulos retángulos.. 53º 5 m. 6,3 m x 3,5 m x. 1,8 m 3. Hllen l euión de l ret que form un ángulo de 68º on el eje horizontl y ps por el punto ( 1 ; 3). x 38º 38. Si l somr de un señor iert hor del dí es l mitd de su ltur, qué ángulo formn los ryos del sol on el horizonte? 39. Se puede onstruir un retángulo onoiendo un ldo y l digonl. uál es el vlor del ángulo que form l digonl on el ldo del udrdo? 0. Se quiere poyr ontr l pred un esler de,5 m de lrgo. demás el ángulo que form l esler on l pred no dee ser menor que 30º. qué distni de l pred se deerí uir l esler? 1. on los dtos ddos, en d so determinr el perímetro y el áre de los triángulos... 5 m 58º 8 m. En el triángulo, es ierto que el áre del triángulo es igul Áre Δ = 1... sen? 3. lulen los posiles vlores de β siendo que β está omprendido entre 0º y 90º. 0º 10 m. 3 + sen ( 1 5. β) = 3, sen(β 30º) = os β 5 = 7 d. tg (β 15º) = º 90 pítulo. Trigonometrí.

14 UTOEVLUIÓN 3. Siendo que tg x = y demás 0º x 90º, sin utilizr luldor señlen l respuest orret en d so ,1. os x es igul :. tg x = 0 1 d Mrquen l o ls respuests orrets en d so. d d 1,1 5 0, sen (90º x) es igul. Se onoen los siguientes dtos del triángulo ^ = 88º = 7,5 m ^ = 6º Se puede ser que el ldo mide proximdmente e 5, m 1,51 m 10,1 m d 1,51 m on estos dtos no es posile ser uánto mide el ldo. 5. Siendo que sen x = y que 0 < x < 90 mrquen, sin usr l luldor, ls opiones orrets.. os x = 1 0 d 1 Ls opiones válids son:. sen 10 = D D. tg 0 = D. tg 0 = d. tg 50 = tg 0 + D. Ddo el siguiente triángulo, ls respuests válids son:. = +. os ^ = +. os ^ = os ^ d. sen ^ = sen ^ D 91