INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 1

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Lorenzo Fernández Figueroa
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1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 1

2 págin PRODUCTOS NOTABLES 1.- CONCEPTO Conviene recordr lguns definiciones ásics. Así como cundo Adlerto se dedic jugr, por ejemplo, el futol, se le llm futolist cundo cmi de ctividd, por ejemplo l éisol, se le llm hor eisolist, sin que deje por eso de ser Adlerto, de l mism mner un número culquier, por ejemplo el 3, cundo "se dedic jugr el deporte" conocido en Mtemátics como sum, se le llm sumndo si se está en el terreno de l Aritmétic, o ien término si se está en el Álger, cundo cmi otro deporte conocido en Mtemátics como multiplicción, se le llm hor fctor, sin que deje de ser por eso el mismo número 3. L figur 1 muestr los nomres que recien ls cntiddes de cuerdo con el ppel que des-empeñen dentro de un operción. En el cudro de l derech se ve que PRODUCTO signific el resultdo que se otiene de multiplicr dos cntiddes, se en l Aritmétic o en el Álger. PRODUCTO NOTABLE signific entonces "un resultdo notle de ciert multiplicción". Aquí notle dquiere el sentido de especil, o se que un producto notle es sinónimo de un resultdo especil de lgun multiplicción en especil. Los productos notles son regls pr otener el resultdo de lguns multiplicciones especiles en form rápid, sin necesidd de relizr l operción. figur 1.- BINOMIOS AL CUADRADO El inomio ( ), signific ( )( ). Si se reliz l operción pr otener el resultdo, o se, pr otener el producto, se tiene que

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 3 De l mism form, el inomio ( - ), signific ( - )( - ) si se reliz l operción pr otener el resultdo, o se, pr otener el producto, se tiene que de donde se deduce l siguiente regl: Un inomio l cudrdo es igul : * El cudrdo del primer término, * más (o menos) el dole producto del primero por el segundo, * más el cudrdo del segundo término. Ejemplo 1: ( 3) Solución: * Cudrdo del primer término: () = 4 * Dole producto del primero por el segundo: ()(3) = 1 * Cudrdo del segundo término: (3) = 9 Así que ( 3) = Ejemplo : (6c - 7) Solución: * Cudrdo del primer término: (6c) = 36 c * Dole producto del primero por el segundo: (6c)(7) = 84c * Cudrdo del segundo término: (7) = 49 Así que (6c - 7) = 36 c - 84c 49 Ejemplo 3: (4 c 3 ) Solución: * Cudrdo del primer término: (4 c) = 16 4 c * Dole producto del primero por el segundo: (4 c)(3 ) = 4 c * Cudrdo del segundo término: (3 ) = 9 10 Así que (4 c 3 ) = 16 4 c 4 c 9 10

4 págin 4 PRODUCTOS NOTABLES Ejemplo 4: (14) Solución: En este cso, el 14 se puede descomponer en l sum de 10 4, convirtiéndose sí en un inomio, es decir que (14) = (10 4). Aplicándole l regl se otiene: * Cudrdo del primer término: 10 = 100 * Dole producto del primero por el segundo: (10)(4) = 80 * Cudrdo del segundo término: 4 = 16 Así que (10 4) = = 196 Ejemplo : ( - ) Solución: * Cudrdo del primer término: () = 4 * Dole producto del primero por el segundo: ()() = 8 * Cudrdo del segundo término: () = Así que ( - 3) = 4-1 Ejemplo 6: (19) Solución: En este cso, el 19 se puede descomponer en l rest de 0-1, convirtiéndose sí en un inomio, es decir que 19 = (0-1). Aplicándole l mism regl se otiene: * Cudrdo del primer término: 0 = 400 * Dole producto del primero por el segundo: (0)(1) = 40 * Cudrdo del segundo término: 1 = 1 Así que (0-1) = = 361 Ejemplo 7: Solución: * Cudrdo del primer término: = = = * Dole producto del primero por el segundo: ( ) * Cudrdo del segundo término: (4) = 16 Así que =

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin EJERCICIO 1 1) (3 c ) ) ( 9) 3) (c 7m 3 ) 4) (8 c 3 ) ) (9 3 9) 6) (c ) 7) (3 1c ) 8) ( 3 7c 3 ) 9) (c 7 7) 10) ( c ) 11) ( 11c 4 ) 1) (d 9 1) 13) ( 6 6c 6 ) 14) 13 1) 1 16) 1 17) 18) 31 19) 41 0) 4 1) 101 ) 14 3) 1 4) 10 ) ( 9 g - ) 6) (9 3 - ) 7) 38 8) 18 9) 9 30) 39 31) 9 3) 99 33) 88 34) 69 3) ) 99 37) 38) 39) ) 41) 4) ) 44) 4) c ) 47) 48) d c c c c 49) 0) 1) 1 7 d c 1 1 ) 3) 4) ) 6) 7) BINOMIOS CONJUGADOS Dos inomios son conjugdos si un vez se están sumndo otr vez se están restndo, sin importr el orden. Así, ( ) ( - ) son inomios conjugdos. Al multiplicr, se tiene que ( )( )

6 págin 6 PRODUCTOS NOTABLES de donde se deduce l siguiente regl: El producto de dos inomios conjugdos es: * El cudrdo del primer término, * menos el cudrdo del segundo término. Ejemplo 9: ( - )( ) Solución: * Cudrdo del primer término: () = 4 * Cudrdo del segundo término: () = Así que ( - )( ) = 4 - Ejemplo 10: (6c 7)(6c - 7) Solución: * Cudrdo del primer término: (6c) = 36 c * Cudrdo del segundo término: (7) = 49 Así que (6c 7)(6c - 7) = 36 c - 49 Ejemplo 11: (4 c - )(4 ) Solución: * Cudrdo del primer término: (4 c) = 16 4 c * Cudrdo del segundo término: ( ) = 10 Así que (4 c - )(4 ) = 16 4 c - 10 Ejemplo 1: (1)(19) Solución: En este cso, los números 1 19 se pueden descomponer en los inomios conjugdos (0 1) (0-1), convirtiéndose sí su multiplicción en dos inomios conjugdos. Aplicándole l mism regl se otiene: * Cudrdo del primer término: 0 = 400 * Cudrdo del segundo término: 1 = 1 Así que (1)(19) = (0 1)(0-1) = = 399

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 7 EJERCICIO 1) (3 - c)(3 c) ) ( - 9 )( 9 ) 3) (c - 9m)(c 9m) 4) ( c )( - c ) ) (8n 3-9m )(8n 3 9m ) 6) (7c 6-10 )(7c 6 10 ) 7) (8 4 - c )(8 4 c ) 8) ( 3 7)( 3-7) 9) (3k 4 - d )(3k 4 d ) 10) (6f - c )(6f c ) 11) (3 3 )(3 3 - ) 1) 18 13) (8 - c )(8 c ) 14) (11 3 )( ) 1) ) ) ) ) ) ) ) ) 4) ) ) 3 3 7) BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Si se tienen los inomios ( 3) ( - 8), se puede oservr que están formdos por un término común, l ("común" en el sentido de que se repite en mos inomios) los otros dos, el 3 el - 8 son no comunes o no repetidos. Al relizr l multiplicción ( 3)( - 8) pr otener el resultdo, o se, pr otener el producto, se tiene que de donde se deduce l siguiente regl: El producto de dos inomios con un término común es: * El cudrdo del término común, * más l sum lgeric de los no comunes por el término común, * más el producto de los términos no comunes.

8 págin 8 PRODUCTOS NOTABLES Ejemplo 13: ( - 9)( 1) Solución: * Cudrdo del término común: () = 4 * Sum lgeric (es decir, con su signo) de los no comunes = - 8 por el término común: ()(- 8) = - 16 * Producto de los términos no comunes: (- 9)( 1) = - 9 Así que ( - 9)( 1) = Ejemplo 14: (6c 7)(6c - ) Solución: * Cudrdo del término común: (6c) = 36 c * Sum lgeric de los no comunes 7 - = por el término común: (6c)( ) = 30c * Producto de los términos no comunes: ( 7)(- ) = - 14 Así que (6c 7)(6c - ) = 36 c 30c - 14 Ejemplo 1: (1)() Solución: En este cso, (1)() se puede descomponer en dos inomios con un término común, de l siguiente form: (1)() = (0 1)(0 ). Así que plicándole l mism regl se otiene: * Cudrdo del término común: 0 = 400 * Sum lgeric de los no comunes 1 = 3, por el término común: ( 3)(0) = 60 * Producto de los términos no comunes: ( 1)( ) = Así que (1)() = = 46 Comprorlo con l clculdor. EJERCICIO 3 1) (3 - )(3 1) ) ( - 9)( - 3) 3) (c - 9)(c 9) 4) ( )( ) ) (8n 3 - )(8n 3 9) 6) (7c 6-10)(7c 6 - ) 7) (8 4 - )(8 4 1) 8) ( 3 7)( 3 6) 9) (3k 4-1)(3k 4 - ) 10) (6c 3)(6c - 1) 11) (3 3 )(3 3-9) 1) (4k - 6)(4k - ) 13) (c 3)(c - 1) 14) (3 3 1)(3 3-9) 1) (4-6)(9-6) 16) 17 17) ) ) ) ) 41 34

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