UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS TEMA 1. ÁLGEBRA Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. A resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes. Operaciones con Polinomios Qué es una ecuación? Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo: x + 2 = 6 Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6) Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

2 Partes de una ecuación Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes. Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un número solo se llama una constante. Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente) Un operador es un símbolo (como +,, etc.) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores). Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos. Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -) Exponente El exponente dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación. Ejemplos: 8 2 = 8 8 = 64 y 3 = y y y y 2 z = y y z

3 Polinomio Un ejemplo de un polinomio: 3x 2 + x 2 Un polinomio puede tener constantes, variables y los exponentes 0,1,2,3,... Y se puede combinar haciendo sumas, restas y multiplicaciones... Monomio, binomio, trinomio Hay nombres especiales para polinomios con 1, 2 o 3 términos: Suma y Resta de Polinomios Sumar polinomios Dos pasos: Pon juntos los términos similares Suma los términos similares Ejemplo: suma 2x 2 + 6x + 5 y 3x 2-2x - 1 Junta los términos similares: 2x 2 + 3x 2 + 6x - 2x Suma los términos similares: (2+3)x 2 + (6-2)x + (3-1) = 5x 2 + 4x + 4

4 Sumar varios polinomios Puedes sumar varios polinomios juntos así. Ejemplo: suma (2x 2 + 6y + 3xy), (3x 2-5xy - x) y (6xy + 5) Ponlos alineados en columnas y suma: 2x 2 + 6y + 3xy 3x 2-5xy - x 6xy + 5 5x 2 + 6y + 4xy + x + 5 Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas. Restar polinomios Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente. Multiplicar Polinomios Para multiplicar dos polinomios: multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio suma las respuestas, y simplifica si hace falta Veamos primero los casos más simples 1 término 1 término (monomio por monomio) Para multiplicar un término por otro, primero multiplica las constantes, después multiplica cada variable y combina el resultado

5 División entre fracciones En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Ejemplos: Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

6 División de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de él polinomio. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: División entre polinomios. En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

7 Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer termino del divisor. Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división. La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. Ejemplos:

8 Productos notables Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio al cuadrado (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Binomio al cubo (a+b) (a-b) = a 2 b 2 Binomios Conjugados (a-5) (a-2) = a 2-7a + 10 Binomios con Término Común Reglas de solución del Binomio al Cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. Ejemplos: (x + 3) 2 = x x = x x + 9 (2x 3) 2 = (2x) 2 2 2x = 4x 2 12 x + 9 Reglas de solución del Binomio al Cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

9 Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. Ejemplos: (x + 3) 3 = x x x = x 3 + 9x x + 27 (2x - 3) 3 = (2x) 3-3 (2x) x = 8x 3-36x x 27 Reglas de solución Binomios Conjugados El primer término se eleva al cuadrado menos el segundo término elevado al cuadrado. Ejemplos: (3x 3 y 2 5x 4 y 6 ) (3x 3 y 2 + 5x 4 y 6 ) = 9x 6 y 4 25x 8 y 12 (5m 2 n 5 3x 3 ) (5m 2 n 5 + 3x 3 ) = 25m 4 y 10 9x 6 Reglas de solución Binomios Con Término Común Se eleva el primer término al cuadrado, Más la suma algebraica de los términos no comunes multiplicado por el término común, Más la multiplicación de los términos no comunes. Ejemplos: (3x 2 5) (3x 2-2)= 9x 4-21x (x 2 + 3) (x 2 +8)= x 4-11x 2 +24

10 Factorización Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos. Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original. Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factor común Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común. Ejemplo: a 4 + a 2 a 3 +a = a (a 3 + a a 2 +1) 18x 2 y 3 12xy 5 +24x 4 y 2 = 6xy 2 (3xy 2y 3 + 4x 3 ) Factor por agrupación de términos En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común. Ejemplo: 2ab 2 + 2a 4 3b 3-3a 3 b = 2a (b 2 + a 3 ) 3b (b 2 + a 3 ) = (2a 3b) (b 2 + a 3 ) 2xz 2xy + 2x z + y 1 = 2x ( z y + 1) -1 ( z y + 1) = (2x -1) ( z y + 1)

11 Trinomio cuadrado perfecto Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado. Ejemplo: Diferencia de cuadrados perfectos 4a a 2 b + 9a 2 b 2 = (2a + 3ab) 2 4m 6-12m 4 n 4 + 9m 2 n 8 = (2m 3 3mn 4 ) 2 Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos. Ejemplo: 36m 2 n 4 49x 6 y 8 = (6mn 2 7x 3 y 4 ) (6mn 2 +7x 3 y 4 ) 100a 6 x 4 y 10 = (10a 3 x 2 y 5 ) (10a 3 + x 2 y 5 ) Trinomio de la forma: Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente: El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado. El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable. El tercer término es independiente (no contiene la variable).

12 Para factorizar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números, uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente: Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario. Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio. Ejemplo: a a +72 = (a + 9) (a + 8) (+9)(+8) = = +17 m 4 2m = (m 2 14) (m 2 +12) (-14)(+12) = = -2 Trinomio de la forma Se factoriza en dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno.los primeros términos de cada paréntesis multiplicados deben dar el primer termino (ax 2 ) los dos últimos términos de cada paréntesis multiplicados deben dar el último termino (c) y el producto de los medios, sumados con el producto de los extremos deben dar el de en medio (bx).

13 Ejemplo: 6x x +35 = (3x + 5) (2x + 7) (+3x)(+2x) = +6x 2 (5)(7)= +35 (5)(2x) + (3x)(7) = 31x 24x 2-72x +48 = (4x - 8) (6x - 6) (+4x)(+6x) = +24x 2 (-8)(-6)= +48 (-8)(6x) + (4x)(-6) = -72x Ecuaciones de primer grado Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

14 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el 3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de 3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x = En el primer miembro 3 se elimina con +3 y tendremos: Despejamos y tendremos ahora: 2x = x = 56 x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

15 Resolvamos otros ejemplos: Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario). Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente. Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos. (pasamos todos los términos con x a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como 8x) (redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x 8x = 3x) (dividimos ambos términos por 3 para despejar la x ) ( 15 dividido 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo) Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones. Veamos el siguiente ejemplo: Primero quitamos los paréntesis. Reducimos términos semejantes. Ahora quitamos los corchetes.

16 Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas. Nuevamente reducimos términos semejantes Despejamos x pasando a dividir a 2, luego simplificamos. Advertencia Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que: a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x 5) = 3x 5 b) Si por el contrario, tenemos un signo antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: (3x 5) = 3x + 5 Resolución de ecuaciones con productos incluidos Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Observemos un ejemplo: Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis. Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.) Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad. Despejamos x pasando 3 a dividir.

17 Resolución de Problemas con Ecuaciones de primer grado La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en este caso particular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas las ocasiones. De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llevar a buen puerto la resolución de un problema es el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a proceder de un modo ordenado siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha resolución. Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver un problema son: I. Comprender el problema. II. Plantear el problema. III. Resolver el problema (en este caso, el sistema). IV. Comprobar la solución. 1. Comprender el problema. Leer detenidamente el enunciado. Hacer un gráfico o un esquema que refleje las condiciones del problema. Identificar los datos conocidos y las incógnitas. 3. Resolver el problema. Resolver las operaciones en el orden establecido. Resolver las ecuaciones o sistemas resultantes de la fase 2. Asegurarse de realizar correctamente las operaciones, las ecuaciones y los sistemas. 2. Plantear el problema. Pensar en las condiciones del problema y concebir un plan de acción, Elegir las operaciones y anotar el orden en que debes realizarlas. Expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones. 4. Comprobar la solución. Comprobar si hay más de una solución. Comprobar que la solución obtenida verifica la ecuación o el sistema. Comprobar que las soluciones son acordes con el enunciado y que se cumplen las condiciones de éste.

18 Problema de edades Problema de mezclas Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de $ 6.00 el litro y la segunda de $ 7.20 el litro. Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a $ 7.00 el litro? 1. Planteamiento Clase A Clase B Mezcla Precio por litro 6 7,2 7 Número de litros x 60 - x Ecuación 6x + 7,2 ( 60 - x ) = 7.60 => x = Solución Clase A => 10 litros Clase B => = 50 litros

19 Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Contaduría y Administración Matemáticas Álgebra Este material fue elaborado por: Cárdenas Rosas Oscar Uriel Vázquez Alvarado Daniel Vicente Modalidades Educativas y Tecnologías para el Aprendizaje Centro Universitario, Querétaro, 2011