Pruebas de Hipótesis-ANOVA. Curso de Seminario de Tesis Profesor QF Jose Avila Parco Año 2016

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Marta Belmonte Macías
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1 Pruebas de Hipótesis-ANOVA Curso de Seminario de Tesis Profesor Q Jose Avila Parco Año 2016

2 Análisis de la Varianza de un factor (ANOVA) El análisis de la varianza (ANOVA) es una técnica estadística paramétrica de contraste de hipótesis. El ANOVA de un factor sirve para comparar varios grupos en una variable cuantitativa. Se trata, por tanto, de una generalización de la Prueba T para dos muestras independientes al caso de diseños con más de dos muestras. A la variable categórica (nominal u ordinal) que define los grupos que deseamos comparar la llamamos independiente o factor y la representamos por VI. A la variable cuantitativa (de intervalo o razón) en la que deseamos comparar los grupos la llamamos dependiente y la representamos por VD. La hipótesis nula que se pone a prueba en el ANOVA de un factor es que las medias poblacionales (las medias de la VD en cada nivel de la VI) son iguales. Si las medias poblacionales son iguales, eso significa que los grupos no difieren en la VD y que, en consecuencia, la VI o factor es independiente de la VD. 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 2

3 Condiciones: Cada muestra debe ser independiente de las otras. Cada muestra debe haber sido seleccionada al azar de la población de donde proviene. Las población de donde provienen las muestras debe tener distribución normal. Las varianzas de cada población deben ser iguales. 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 3

4 Ejemplo ANOVA Una Directora de un Instituto, preocupada de explicar los problemas de comportamiento de sus estudiantes, se dispuso a hacer un estudio para establecer si existían diferencias en ese aspecto según estado civil de los padres, entre otras variables. Para ese fin, solicitó a los padres de 45 estudiantes la aplicación del Child Behavior Checklist, versión para padres. El CBCL (Achenbach, 1991) es un instrumento conformado por 113 ítems que comprenden problemas específicos, agrupados en síndromes que exploran dos tipos de anomalías de conducta: externalización (agresión, delincuencia y trastornos de conducta) e internalización (aislamiento, preocupaciones somáticas, depresión y ansiedad). Además, (riedrich et al., 1986) seis de sus ítems conforman la escala de problemas sexuales, la quesólo se aplica a jóvenes deambos sexos. Los ítems son categorizados 0=no es cierto o nunca observado, 1=es cierto algunas veces o de cierta manera, 2=muy cierto o a menudo cierto. El puntaje total se obtiene a partir dela suma de los parciales. 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 4

5 Paso 1: Obtiene los siguientes datos ANOVA CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO /08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 5

6 Paso 2: Calculamos la media de cada grupo y la media global CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO M g ,21 46,27 58,18 45,08 45,53 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 6

7 Paso 3: Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones de cada observación respecto a la media global, suma que denominaremos Suma de Cuadrados Total (T) y que refleja la variabilidad total. Si se divide por el tamaño total de muestra se obtiene la varianza total. T M 2 x i g 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 7

8 CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO 1262,26 507, ,41 553,58 703,75 271,32 598,86 598,86 90, ,73 6,11 6,11 89,71 241,13 504,98 307,24 0,28 754,69 271,32 0,28 20,51 241,13 273,18 241,13 241,13 30,56 56,68 89,71 20,51 307,24 504,98 0,28 183,01 6,39 209,43 20,00 0,22 71,77 239,37 12,45 56,68 12,05 155,54 419,09 931,98 703,75 421,41 241,13 271,32 209,43 89,71 307,24 305,26 T 2 x M g 16695, 208 i 16695,208 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 8

9 Paso 4: Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones entre la media de cada grupo y la media general. Esta es la suma de cuadrados explicada por el factor considerado, a la que denominaremos Suma de cuadrados del factor () o variabilidad explicada. n K M M 2 K g Siendo: M n M k g K media global número de sujetos en el grupo k media aritmética del grupo k En la literatura científica también se denomina a la como Entre los grupos (SS Between) o del Modelo (SS Model) 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 9

10 CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO MEDIA GLOBAL MEDIA 35,21 46,27 58,18 45,08 45,53 n (x-x) 2 106,38 0,55 160,11 0,20 n(x-x) ,305 8, ,226 2, ,358 n K 2 M M 3261, 358 K g 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 10

11 Paso 5: Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones entre cada dato y la media de su grupo. Esta es la suma de cuadrados no explicada, a la que denominaremos Suma de cuadrados residual (R) o variabilidad residual. 2 R x ik M k Siendo: x x ik k cada dato i del grupo k media aritmética del grupo k En la literatura científica también se denomina a la R como Dentro de los grupos (SS Within) Si T R R T 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 11

12 CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO 635,76 541,34 392,76 532,54 262,90 247,54 139,67 621,16 0, ,60 103,67 8,54 391,47 264,60 96,40 291,62 95,76 714,67 14,58 0,01 33,47 264,60 851,58 227,31 27,19 39,27 407,31 98,47 33,47 333,67 96,40 0,01 10,33 10,67 3,31 24,24 116,33 59,80 7,94 9,47 7,76 7,47 0,03 437,78 408,62 743,47 403,08 27,19 247,54 222,70 391,47 333,67 280,00 R xik M 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO k , ,850 12

13 Paso 6: Calculamos las medias cuadráticas, para lo cual necesitamos conocer los grados de libertad correspondiente a cada suma de cuadrados de las desviaciones Cada suma de cuadrados tiene sus propios grados de libertad. La T es el número total de casos menos uno, es decir n-1; La es el número de grupos menos uno, es decir, k-1 y La R es el número total de datos menos k, es decir, n-k. En el análisis de la varianza, se define una media cuadrática como el cociente entre la suma de cuadrados y sus correspondientes grados de libertad: 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 13

14 Grados de libertad actor, Entre los grupos (between) (k-1): (4-1) = 3 ANOVA Residual, Dentro de los grupos (within) (n-k): 53-4 = 49 Total = (n 1): 53-1 = 52 gl T gl gl R 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 14

15 Medias Cuadráticas MC k 1 MC 3261, ,119 MC R R n k MC R 13433, ,160 MC T n T 1 MC T 16695, /08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 15

16 Paso 7: Calculamos el estadístico de Snedecor, que nos informará si tenemos pruebas suficientes para rechazar o aceptar la hipótesis nula. 2 MC S k 1 2 MC R R S R n k En nuestro caso 1087, ,160 3,965 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 16

17 Paso 8: Con el fin de informar los resultados, se procede a generar el cuadro resumen del ANOVA. UENTE DE VARIACIÓN SUMA DE CUADRADOS () GRADOS DE LIBERTAD (gl) MEDIA DE CUADRADOS (MC) calculado ACTOR ENTRE k - 1 Entre / k-1 MC Entre /MC Dentro RESIDUAL DENTRO n - k Dentro / n-k TOTAL TOTAL n - 1 En nuestro caso UENTE DE VARIACIÓN SUMA DE CUADRADOS () GRADOS DE LIBERTAD (gl) MEDIA DE CUADRADOS (MC) calculado ACTOR 3261, ,119 3,965 RESIDUAL 13433, ,160 TOTAL 16695, /08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 17

18 Paso 9) Se procede a establecer la probabilidad de error tipo I o alfa asociada a nuestro valor. Procedimiento: Encuentre el valor crítico en una distribución, con k-1 grados de libertad en el numerador (en las columnas) y n-k grados de libertad en el denominador (en las filas), que deje una probabilidad de en la cola superior de la distribución. Rechace la hipótesis nula si el estadístico calculado en el Paso 7 es mayor o igual que el valor crítico (k-1, n-k) que encontramos en la tabla de. 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 18

19 REGLAS DE DECISIÓN 1 ANOVA H... 0 : H 1 2 : (... ) 1 2 k k Las reglas de decisión en este procedimiento son las siguientes: Rechace H 0 si obs ( ) No rechace H 0 si obs ( ) 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 19

20 Si desarrollamos el contraste en nuestro ejemplo, tenemos los siguientes valores: gl R 3, 965 gl ( k 1) 3 ( n k) 49 En la tabla correspondiente, ubicamos los valores (k-1) en las columnas; y (n-k) en las filas y el punto de intersección nos informa el valor con el cual compararemos el obs 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 20

21 Los valores críticos de son: ANOVA ,28 2,92 3,59 5,24 Al realizar la comparación de obs con, se observa que obs ,965 2,920 Paso 10) Se concluye sobre la Hipótesis nula. Por lo tanto, podemos rechazar la hipótesis nula, al 2,5% y aceptamos que existe evidencia empírica suficiente para afirmar que existen diferencias significativas entre las medias de, al menos, dos de los grupos de padres. 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 21

22 A partir de los resultados expuestos sabemos que las cuatro categorías de la variable independiente presentan resultados diferentes. Pero no sabemos exactamente entre que categoría se presentan dichas diferencias, pues ANOVA no nos informa al respecto. Nos dice que hay diferencias significativas, pero no entre que pares 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 22

23 Podemos tener varias preguntas: Los hijos de padres casados presentan menos problemas específicos que los de padres separados? Los hijos de padres viudos presentan más problemas específicos que los de padres separados? Existen diferencias entre los hijos de padres solteros y los de padres separados El ANOVA de un factor no responde estas preguntas 18/08/2016 Q JOSE AVILA PARCO 23

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